学而思小升初排列组合(排列组合三宝)

学而思高中题库完整版排列与组合[1].版块七.排列组合问题的常用方法总结1.学生版

1．基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2．排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m n n n n n m n m m n m ---+==-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤．知识内容排列组合问题的常用方法总结1组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； ④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．直接法（优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论）【例1】从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有．【例2】北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A ．124414128C C C B ．124414128C A A C ．12441412833C C C AD ．12443141283C C C A【例3】在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有（）A ．30个B ．35个C ．20个D ．15个【例4】一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，⑴从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？⑵若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？典例分析【例5】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？⑶从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？【例6】有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷也会划右舷．从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？【例7】若x A∈，则1Ax∈，就称A是伙伴关系集合，集合11{101234}32M=-，，，，，，，的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）A．15B．16C．82D．52【例8】从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为______．A ．3264C C ⋅B ．2364C C ⋅C ．510CD ．3264A A ⋅【例9】某城市街道呈棋盘形，南北向大街3条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．【例10】某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用7步走完，则上楼梯的方法有______种．【例11】亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？【例12】设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则TS的值为（）A．20128B．15128C．16128D．21128【例13】设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，经过5次跳动质点落在点(10)，（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法种数为．【例14】从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有________种（用数字作答）【例15】在AOB 的边OA 上有1234A A A A ，，，四点，OB 边上有12345B B B B B ，，，，共9个点，连结线段(1415)i j A B i j ≤≤，≤≤，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，和睦线的对数共有：（）A ．60B ．80C ．120D ．160【例16】从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？⑴ A 、B 必须当选； ⑵ A 、B 都不当选； ⑶ A 、B 不全当选； ⑷ 至少有2名女生当选；⑸ 选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．【例17】甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（） A ．150种 B ．180种 C ．300种 D ．345种【例18】从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A ．85B ．56C ．49D ．28【例19】某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（） A ．14 B ．24 C ．28 D ．48【例20】要从10个人中选出4个人去参加某项活动，其中甲乙必须同时参加或者同时不参加，问共有多少种不同的选法？【例21】有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？若其中的一辆车必须停放在两边的停车位上，共有多少种不同的停法？【例22】某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（） A ．288种 B ．72种 C ．42种 D ．36种【例23】某班有30名男生，30名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组，其中男、女学生均不少于2人的选法为（）A ．221302046C C CB ．555503020C C C -- C ．514415*********C C C C C --D ．322330203020C C C C +【例24】用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个⑴数字1不排在个位和千位⑵数字1不在个位，数字6不在千位．【例25】甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，5人的名次排列共有_______（用数字作答）种不同情况．【例26】某高校外语系有8名奥运会志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（）A．45种B．56种C．90种D．120种【例27】用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为（）A．120B．72C．48D．36【例28】某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（）A．120种B．48种C．36种D．18种【例29】从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有_____种（用数字作答）．【例30】从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（）A．108种B．186种C．216种D．270种【例31】甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【例32】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_______种（用数字作答）．【例33】用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）A．48个B．36个C．24个D．18个【例34】一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．72种【例35】 2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为（）A ．36B ．42C ． 48D ．60【例36】从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为______．A ．3264C C ⋅B ．2364C C ⋅C ．510CD ．3264A A ⋅【例37】 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有种（用数字作答）．【例38】给定集合{1,2,3,,}n A n =L ，映射:n n f A A →满足：①当,,n i j A i j ∈≠时，()()f i f j ≠；②任取n m A ∈，若2m ≥，则有{(1),(2),,()}m f f f m ∈L ．则称映射f ：n n A A →是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”．表1 表2⑴已知表2表示的映射f ：44A A →是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；⑵若映射f ：1010A A →是“优映射”，且方程()f i i =的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是_____．【例39】将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有__________种．【例40】将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（） A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种【例41】一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，⑴从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？⑵若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？i 1 2 3 ()f i2 3 1 i1 2 3 4 ()f i 3i12 3 4 ()f i 23 1 4【例42】正整数122221(1)n n n a a a a a n n --∈>N L L ，称为凹数，如果12n a a a >>>L ，且2122n n n a a a -->>>L ，其中{0129}(12)i a i ∈=L L ，，，，，，，请回答三位凹数12313()a a a a a ≠共有个（用数字作答）．【例43】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（） A ．36种 B ．12种 C ．18种 D ．48种【例44】某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有_______种．（用数字作答）【例45】某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A ，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？【例46】从7人中选派5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有（）A ．5557105C A A 种B ．5557105AC P 种 C ．55107C C 种D ．55710C A【例47】 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）A ．4441284C C C 种 B ．34441284C C C 种 C ．4431283C C A 种D ．444128433C C C A 种【例48】袋中装有分别编号为1,2,3,4的4个白球和4个黑球，从中取出3个球，则取出球的编号互不相同的取法有（）A．24种 B．28种 C．32种 D．36种．【例49】现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（）A．男生2人，女生6人B．男生3人，女生5人C．男生5人，女生3人D．男生6人，女生2人．【例50】将4个小球任意放入3个不同的盒子中，⑴若4个小球各不相同，共有多少种放法？⑵若要求每个盒子都不空，且4个小球完全相同，共有多少种不同的放法？⑶若要求每个盒子都不空，且4个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【例51】将7个小球任意放入4个不同的盒子中，每个盒子都不空，⑴若7个小球完全相同，共有多少种不同的放法？⑵若7个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【例52】四个不同的小球，每球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中．⑴随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒中）有多少种放法？⑵四个盒都不空的放法有多少种？⑶恰有一个空盒的放法有多少种？⑷恰有两个空盒的放法有多少种？⑸甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？【例53】设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，若经过5次跳动质点落在点()，处（允许重复过此点），则质点不同的运30动方法共___________种；若经过m次跳动质点落在点()0n，处（允许重复过此点），其中m n≥，且m n-为偶数，则质点不同的运动方法共有_______种．【例54】设集合{12345}I=，，，，，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种【例55】f是集合{1234}N=，，的映射，g是集合N到集合M的映M=，，，到集合{123}射，则不同的映射f的个数是多少？g有多少？满足()()()()8+++=f a f b f c f d的映射f有多少？满足[()]f g，有多少？=的映射对()f g x x【例56】排球单循坏赛，胜者得1分，负者0分，南方球队比北方球队多9支，南方球队总得分是北方球队的9倍，设北方的球队数为x．⑴试求北方球队的总得分以及北方球队之间比赛的总得分；⑵证明：6x=；x=或8⑶证明：冠军是一支南方球队．【例57】已知集合{}1,2,3,4A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意,()i A f i i ∈≠．设1234,,,a a a a 是1,2,3,4的任意的一个排列，定义数表12341234()()()()a a a a f a f a f a f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为（） A ．216 B ．108 C ．48 D ．24间接法（直接求解类别比较大时）【例58】有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？【例59】从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（）A ．36B ．48C ．52D ．54【例60】以三棱柱的顶点为顶点共可组成个不同的三棱锥．【例61】设集合{}1,2,3,,9S =L ，集合{}123,,A a a a =是S 的子集，且123,,a a a 满足123a a a <<，326a a -≤，那么满足条件的子集A 的个数为（）A ．78B ．76C ．84D ．83【例62】将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（） A ．18 B ．24 C ．30 D ．36【例63】某高校外语系有8名奥运会志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3 人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（） A ．45种 B ．56种 C ．90种 D ．120种【例64】对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ⋅⋅⋅（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i <，则称“p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组()2,4,3,1中有顺序“2,4”，“2,3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是4，则()54321,,,,a a a a a 的“顺序数”是_________．【例65】已知集合{5}C=，，，从这三个集合中各取一个元素构A=，{12}B=，，{134}成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）A．33B．34C．35D．36【例66】甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．【例67】设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内，⑴只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？⑵没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？⑶每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？【例68】在排成44⨯的方阵的16个点中，中心4个点在某一个圆内，其余12个点在圆外，在16个点中任选3个点构成三角形，其中至少有一顶点在圆内的三角形共有（）A．312个B．328个C．340个D．264个【例69】从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（） A ．70种 B ．112种 C ．140种D ．168种【例70】若关于x y ，的方程组22117ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，且所有解都是整数，则有序数对()a b ，的数目为（）A ．36B ．16C ．24D ．32【例71】从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（） A ．70种 B ．80种 C ．100种 D ．140种【例72】甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（） A ．6种 B ．12种 C ．30种 D ．36种【例73】 {}129，，，A =L ，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的A 的子集个数为_____．【例74】在由数字0，1，2，3，4所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_______个．【例75】在AOB ∠的OA 边上取4个点，在OB 边上取5个点（均除O 点外），连同O 点共10个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作出三角形的个数为多少？【例76】，，，，a b c d e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同的选法总数是（）A．20B．16C．10D．6【例77】将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A．18B．24C．30D．36【例78】三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成___ _个三角形．【例79】从5名奥运志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）A．24种B．36种C．48种D．60种【例80】某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有种（）A．1320B．288C．1530D．670【例81】从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的选法有_____种（用数字作答）。

排列组合ppt课件

在工程领域，排列组合用于优化设计、规划、调度等问题，如计算机科学、信息论、控制论等。
02
排列组合基础
排列数公式与组合数公式
排列数公式
从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，用符号A(n,m)表示，公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×...×3×2×1。
给定一个无向图，用k种颜色对图中的边进行染色，使得每条边的颜色都不相同，求所有可能的染色方案。
染色问题的解法
使用递归和回溯法，从全不染色的情况开始，逐渐增加染色的边数，直到全部染色。
染色问题的应用
在解决一些组合优化问题时，染色问题可以用来计算不同方案的数量。
平均分组
平均分组的定义
将n个元素平均分成m组，每组k 个元素，求所有可能的分组方案
反序：若在排列a中有i<j，且 a(i)=a( j)，则称a中i和j为反序
。
奇偶性：若n个元素全排列的排法数为偶数，则称n个元素全排列为偶排列，否则称为奇
排列。
组合的定义与性质
组合的定义：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，记作C(n,m)。
结合律：C(n,k)C(n-k,m)=C(n,m)C(nm,k)。
03
排列组合进阶
错位重排
错位重排的定义
在n个元素中，如果有m个元素互不相邻，则称这个排列为错位重排。
错位重排的公式
$n!(1-1/2!+1/3!-...+(-1)^n/n!)$
错位重排的应用
在解决一些排列组合问题时，错位重排公式可以用来计算某些元素不在一起排列的总数。
染色问题
染色问题的定义
等待时间

小升初复习排列组合

去掉的数字只能是3或9。

去掉的数字为3时，即选2，5，7，9四个数字，能排出4×3×2×1=24（个）符合要求的数，去掉的数字为9时也能排出24个符合要求得数，因此这样的四位数一共有24+24=48（个）【变式4-1】在1，2，3，4，5这五个数字中，选出四个数字组成被3除余2的四位数，这样的四位数有多少个？【变式4-2】在1，2，3，4，5这五个数字中，选出四个数字组成能被3整除的四位数，这样的四位数有多少个？【例5】从学校到少年宫有4条东西方向的马路和3条南北方向的马路相通（如图），小明从学校出发到少年宫（只许向东或向南行进），最后有多少种走法？解：为了方便解答，把图中各点用字母表示如图。

根据小明步行规则，显然可知由A到T通过AC边上的各点和AN边上的各点只有一条路线，通过E点有两条路线（即从B点、D点来各一条路线），通过H点有3条路线（即从E点来有二条路线，从G点来有一条路线），这样推断可知通过任何一个交叉点的路线总数等于通过该点左边、上方的两邻接交叉点的路线的总和，因此，可求得通过S点有4条路线，通过F点有3条路线……由此可见，由A点通过T点有10条不同的路线，所以小明从学校到少年宫最多有10种走法。

【变式5-1】从学校到图书馆有5条东西的马路和5条南北的马路相通（如图）。

李菊从学校出发步行到图书馆（只许向东或向南行进），最多有多少种走法？【变式5-2】某区的街道非常整齐（如图），从西南角A处走到东北角B处，要求走最近的路，一共有多少种不同的走法？5、在1，4，5，6，7这五个数字中，选出四个数字组成被3除余1的四位数，这样的四位数有多少个？6、如图有6个点，9条线段，一只小虫从A 点出发，要沿着某几条线段爬到F 点。

行进中，同一个点或同一条线段只能经过一次，这只小虫最多有多少种不同的走法？1、今年父亲36岁，儿子8岁，年后儿子的年龄是爸爸年龄的125。

2、一片草地，草每天生长量相同，17头牛30天可将草吃完，19头年24天可将草吃完。

(完整word版)排列组合公式(全)(word文档良心出品)

排列组合公式排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。

排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。

排列的个数用P(n,r)表示。

当r=n时称为全排列。

一般不说可重即无重。

可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。

组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。

组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合有记号C(n,r),C(n,r)。

一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。

二、两个基本计数原理及应用(1)加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！集合B为数字不重复的六位数的集合。

把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。

显然各子集没有共同元素。

每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则S（A）=S（B）*3！S（B）=9！/3！这就是我们用以前的方法求出的P（9，6）例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。

排列组合基础知识

排列组合基础知识一、两大原理1.加法原理（1）定义：做一件事，完成它有n 类方法，在第一类方法中有1n 中不同的方法，第二类方法中有2n 种不同的方法......第n 类方法中n n 种不同的方法，那么完成这件事共有n n n n N +++=...21种不同的方法。

（2）本质：每一类方法均能独立完成该任务。

（3）特点：分成几类，就有几项相加。

例1. 从甲地到乙地，可以乘动车，也可以乘汽车；一天中动车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？如上图，从甲地到乙地共有3+2种方法。

2.乘法原理（1）定义做一件事，完成它需要n 个步骤，做第一个步骤有1m 中不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法......做第n 个步骤有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ...21=种不同的方法。

（2）本质：缺少任何一步均无法完成任务，每一步是不可缺少的环节。

（3）特点：分成几步，就有几项相乘。

例 2. 从甲地到乙地，要先从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中火车2班，汽车3班。

那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的方法？解：由上图可知共有的可能路线为：火车1—汽车1，火车2—汽车1火车1—汽车2，火车2—汽车2火车1—汽车3，火车2—汽车3所以共有82=⨯种方式。

4二、排列组合1.排列（1）排列的定义：从n个不同的元素中，任取m个（nm≤）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。

（2）使用排列的三条件①n个不同元素；②任取m个；③讲究顺序。

2.组合（1）组合的定义：从n个不同的元素中，任取m个（nm≤）元素并为一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合。

（2）使用三条件①n个不同元素；②任取m个；③并为一组，不讲顺序。

排列与组合的共同点：都是“从n个不同元素中任取m个元素”；排列与组合的不同点：排列与元素的顺序有关系，而组合与元素的顺序无关。

学而思高中题库完整版排列与组合.版块五.排列组合问题的常见模型1.学生版

1．基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2．排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m n n n n n m n m m n m ---+==-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤．知识内容排列组合问题的常见模型1组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； ④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典例分析排队问题【例1】三个女生和五个男生排成一排⑴如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？⑵如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？⑶如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？【例2】6个人站成一排：⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？⑵其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？⑶其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？⑷其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？【例3】7名同学排队照相．⑴若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？⑵若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？⑶若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？⑷若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？【例4】6个队员排成一排，⑴共有多少种不同的排法？⑵若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？⑶若甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？【例5】ABCDE五个字母排成一排，若ABC的位置关系必须按A在前、B居中、C在后的原则，共有_______种排法（用数字作答）．【例6】用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有_ __个（用数字作答）．【例7】记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A．1440种B．960种C．720种D．480种【例8】12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A ．2283C AB ．2686C AC ．2286C AD ．2285C A【例9】记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（） A ．1440种 B ．960种 C ．720种 D ．480种【例10】在数字123，，与符号+-，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（）A ．6B ．12C ．18D ．24【例11】计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有_____种．【例12】 6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法（用数字作答）．【例13】一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻位不相邻，共有几种坐法？【例14】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A ．360B ．288C ．216D ．96【例15】古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有种（结果用数值表示）．【例16】在1234567，，，，，，的任一排列1234567，，，，，，a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式共有（）种．A ．288B ．576C ．864D ．1152【例17】从集合{}P Q R S ，，，与{}0123456789，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）【例18】从集合{}O P Q R S ，，，，与{0123456789}，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母O Q ，和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）【例19】 6个人坐在一排10个座位上，问⑴ 空位不相邻的坐法有多少种?⑵ 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种? ⑶ 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?【例20】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A ．360B ．288C ．216D ．96【例21】 12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（）A ．2283C A B ．2686C A C ．2286C A D ．2285C A【例22】两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_______．【例23】2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组．如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（）A．36种B．108种C．216种D．432种数字问题【例24】给定数字0、1、2、3、5、9，每个数字最多用一次，⑴可能组成多少个四位数？⑵可能组成多少个四位奇数？⑶可能组成多少个四位偶数？⑷可能组成多少个自然数？【例25】用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例26】在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．【例27】用12345，，，，排成一个数字不重复的五位数12345a a a a a ，，，，，满足12233445a a a a a a a a <><>，，，的五位数有多少个？【例28】用0129L ，，，，这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？【例29】用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个（用数学作答）．【例30】有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法数一共有种． 432；【例31】有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）A．1344种B．1248种C．1056种D．960种【例32】有4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有____种（用数字作答）．【例33】用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【例34】用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）A．48个B．36个C．24个D．18个【例35】从1238910，，，，，这6个数中，取出两个，使其和为偶数，则共可得到个这样的不同偶数？【例36】求无重复数字的六位数中，能被3整除的数有______个．【例37】用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数学作答）．【例38】从012345，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．300B．216C．180D．162【例39】从012345，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．300B．216C．180D．162【例40】从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：⑴能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？⑵上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？⑶⑴中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？⑷⑴其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？【例41】用0到9这九个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例42】有4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有______种（用数字作答）．【例43】在由数字12345，，，，组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（）个A．56个B．57个C．58个D．60个【例44】由0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a，则19a=_____．A．2014B．2034C．1432D．1430【例45】从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程20++=，其中有实数根的有几个？ax bx c【例46】从{}，，，，，，，---中任选三个不同元素作为二次函数232101234=++y ax bx c 的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?。

学而思小升初排列组合(排列组合三宝)

之老阳三干创作1．排列组合的意义与计算方法2．排列组合三宝：捆绑法、插空法、挡板法(★★☆)8月26日晚上师资组刚到蜜桃仙谷，大家都很兴奋。

王雨洁、夏川、杨秀情、谷运增、崔兆玉、刘丽娜、兰海等高年级的七位老师想站在一块儿合个影，这个时候争执出现了：⑴雨洁觉得：7个人随便站成一排，她认为这样简单公平；⑵夏川认为：7个人可以站成两排，前3后4，这样看起来比较美观；⑶兰海固执：自己必须站在正中间，因为自己的脑瓜长的比他人更圆一些；⑷兆玉发言：自己和丽娜站两端，“我们俩宽度一样，这样比较对称”⑸秀情老师：“我和阿增不站两端，其余的随便排，快点，不要磨叽！”(★★☆)高年级组的7位老师继续照相，这次排队有了新的讲究：雨洁、夏川、丽娜三位美女老师强烈要求必须相邻，任谁劝都不听，这小升初计数重点考查内容————排列组合时候只见摄像师老段拿着一根绳子嘿嘿阴笑着就走过来了：我能很快解决你们这样一共有几种排队方式的问题。

(★★☆)刚才的事儿影响了照相的进度。

嘿，在这段时间里老杨和谷老师打起来了，还把谷老师的耳朵给咬了……海哥在劝架的过程由于处理不当和老杨、谷老师同时起了矛盾，3人带着情绪照相，强烈要求：互不相邻(秀情：下一步就是把海哥的鼻子给啃下来)，这样还有几种排队的方式？(★★☆)7个人照完相，集体已经讨论好晚饭的事儿了，大家一致决定从我们7人中推选出3个人来去买晚饭，其余人在这儿围着篝火唱个舞、跳个歌啊什么的。

推选三个人去买饭，有几种选法？(★★★☆)饭终于买回来了，这时候海哥、老杨、兆玉买回来了20个桃子，只见海哥悄悄地说：咱们7人悄悄的分了，每人至少一个(假定桃子一模一样)到底有多少种分法呢？1．由数字1，2，3，4，5可以组成 ______个没有重复数字的正整数？2．(2010年10月西城区实验中学小升初试题)三个老师和五个学生排成一列照相，如果要求三个男同学不相邻，两个女同学必须相邻，而三个老师必须相邻，那么一共有______种分歧的排法。

学而思小升初培优三：规律,程序,新运算(原版)

小升初培优（三）找规律、定义新运算和程序运算一、课堂要求二、知识结构l.找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况人手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件，一般有下列几个类型：(1)-列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系．(2)-列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系．(3)图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关系．(4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数．(5)数形结合的规律：观察前n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论．常见的数列规律：Λ(n为正整数)．n,9,7,5,3,1)1(-12,,8,6,4,2)2(Λ(n为正整数)．10n2,,n16,,8,4,2)3(Λ(n为正整数)．322,,10,5,2)4(2+Λ(n为正整数)．17n,1,,26,,8,3,0)5(2-nΛ(n为正整数)．151,,,24,6,2)6(+12Λ(n为正整数)．nn,,()1,20+)7(-,-,+-Λ(n为正整数)．,-+,xxx,xxx(,,x n)1-+--8+,+,（(n为正整数)．）-+xx,xxxx n1x,)1,(,...,(9)特殊数列：①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.②三角形数：⋅+2)1(,,21,15,10,6,3,1n n Λ 2.定义新运算(1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代人，转化为加、减、乘、除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算．(2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序． ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用． 3.程序计算解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题． 4.数学能力：探究、归纳总结和知识迁移的能力.本节重点讲解：两大能力，三种题型(找规律、定义新运算和程序计算)．三、全能突破小试牛刀1．根据图2-3-1中数字的规律，在图形中填空．2．观察下面一列整式：,,201,121,61,21161698442Λy x y x y x y x --照此规律第6个整式是，第n 个（n≥1且为整数）整式是3．正整数按图2-3-2中的规律排列．请写出第45行，第46列的数字4．图2-3-3所示是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，以此递推，第10层中含有正三角形个数是个．5．如图2-3-4所示，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”，如：小宇在编号为3的顶点时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是；第2012次“移位”后，则他所处顶点的编号是．6．观察下列等式：;531422⨯=-① ;732522⨯=-② ;933622⨯=-③ ;1134722⨯=-④…则第n （n 是正整数）个等式为7．我们规定一种运算：,bc ad d c ba -=若,0124=-x x 则=x8．魔术师为大家表演魔术，他请观众想一个数，然后将这个数按图2-3-5所示的步骤操作：魔术师立刻说出观众想的那个数．(1)如果小明想的数是-1，那么他告诉魔术师的结果应该是，(2)如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93，那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是 (3)观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，请你说出其中的奥妙．能力提升9．已知：,,10244,2564,644,164,4454321Λ=====以上算式结果的个位数字分别为4，6，4，6，…，按照上面的研究方法确定2006200720072006+的个位数字为( )3.A4.B5.C6.D10．如图2-3-6所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是．11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图2-3-7 (a)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2-3-7(b)中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )15.A 25.B 55.C 1225.D12．(1)探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数，先把这个数每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字立方再求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数T ，我们称它为数字“黑洞”，T 为何具有如此魔力，通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T 是． (2)任取一个自然数串，数出这个数中的偶数字个数、奇数字个数及所有数字的个数，用这3个数组成下一个数字串，重复上述程序，就能得到一个固定的数，我们称它为数字“黑洞”，则这个固定的数为．13.在下表中，我们把第i 行第j 列的数记为j i a ,（其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数j i a ,规定如下：当j i ≥&时，;1,=j i a 当j i <时，.0.i =j a 例如：当1,2==j i &&时，.11,2,==a a j i 按此规定，=3,1a ．；表中的25个数中，共有个1；计算.3,12,2,11,1,1a a a a a i i +⋅+⋅5,5,14,4,13,i i i a a a a a ⋅+⋅+的值为14.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文一密文（加密），接收方由密文一明文（解密），已知加密规则如图2-3-8所示，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为．15．已知,2,2≥≥n m 且m ，n 均为正整数，如果将nm 进行如图2-3-9所示方式的“分解”，那么下列三个叙述：①在52的“分解”中最大的数是11．②在34的“分解”中最小的数是13． ③若3m 的“分解”中最小的数是23，则m 等于5．其中正确的是16．有一个运算程序，当n b a =Θ(n 为常数)时，则,2)1(,1)1(-=+Θ+=Θ+n b a n b a 若,211=Θ则=Θ20122012 17.按图2-3-10所示的程序计算：若输入x = 100，输出结果是501，若输入x = 25，输出结果是631，若开始输入的x 值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x 的可能值为．18．如图2-3-11所示，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中9 & # x -62 … …图2-3-11(1)可求得x= ．第2012个格子中的数为．(2)判断：前m 个格子中所填整数之和是否可能为20127若能，求出m 的值；若不能，请说明理由；19．阅读图2-3-12并回答下列问题： (1)若A 为785，则E= ；(2)按框图流程，取不同的三位数A ，所得E 的值都相同吗？如果相同，请说明理由；如果不同，请求出E 的所有可能的值；(3)将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A ，它的百位数字减去个位数字所得的差大于2”，其余的步骤不变，请猜想E 的值是否为定值？并对你猜想的结论加以证明．中考链接20．图2-3-13所示为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D.请你按图中箭头所指方向（即Λ→→→→→→→→→C B A B C D C B A 的方式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是；当字母C 第2n +1次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是（用含n 的代数式表示）．21．符号“f"表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：Λ,3)4(,2)3(,1)2(,0)1(====f f f f ①Λ,5)51(,4)41(,3)31(,2)21(====f f f f ②利用以上规律计算：=-)2012()20121(f f22．(1)如图2-3-14所示的运算程序中，若开始输入的x 值为96，我们发现第1次输出的结果为48，第2次输出的结果为24，…，第2009次输出的结果为．(2)计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表所示：十六进制 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15例如，用十六进制表示：,1,123,5B D E F F A =+=+=+则=⨯C A难点突破23.图2-3-15所示是一个流程图，图中“结束”处的计算结果是24.对于两数a 和b ，给定一种运算,:ab b a b a -+=井“井”则在下列等式中： ;a b b a 井井①= ;0a a =井② ).()(c b a c b a 井井井井③=正确的是 (填序号）．25.正整数，n 小于100，并满足等式,]6[]3[]2[n n n n =++其中[x]表示不超过x 的最大整数，这样的正整数 n 有多少个？。

排列组合学习中的常用方法与技巧

排列组合学习中的常用方法与技巧1.排列与组合的定义排列是指从一组对象中选取一部分对象（有顺序地排列）的方法。

组合是指从一组对象中选取一部分对象（不考虑顺序）的方法。

设集合A包含n个元素，k是一个非负整数，排列的数量记作P(n,k)，组合的数量记作C(n,k)。

这里有两个重要的定理:P(n,k)=n!/(n-k)!C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)2.乘法原理乘法原理是排列组合学中最基本的推理方法之一、它指出，如果一个任务可以被分解为几个独立的子任务，那么完成整个任务的方式数等于各个子任务方式数的乘积。

举例来说，如果一个班级有3个男生和4个女生，要从中选取一个男生和一个女生担任班级的代表，那么总共的方式数为3*4=12种。

3.加法原理加法原理是排列组合学中另一个基本的推理方法，它指出，如果一个任务可以通过几种不同的方式完成，那么完成任务的总方式数等于各个方式数的和。

举例来说，如果一个班级要在体育馆选取5个学生参加篮球比赛，班级有12个男生和8个女生，那么总的方式数为12+8=20种。

4.阶乘函数的应用阶乘函数在排列组合学中经常出现，我们可以利用它来计算排列和组合的数量。

阶乘函数定义为n!=n*(n-1)*...*2*1、这个函数有以下几个重要的性质:-0!=1-对于任意正整数n,n!=n*(n-1)!-P(n,k)=n!/(n-k)!-C(n,k)=n!/((n-k)!*k!)5.特殊问题的解决方法在排列组合学中，有一些特殊的问题需要使用特殊的解决方法。

例如，对于一些问题，我们可以使用集合的包含排除原理来求解。

对于其他问题，我们可以使用二项式系数和二项式定理来计算排列和组合的数量。

这些特殊的解决方法在实际问题中非常有用。

在学习排列组合学时，需要掌握的还有一些重要的概念和技巧，如容斥原理、鸽笼原理、分组问题的解决方法等。

此外，多做题目、理解概念和定理的证明，以及灵活运用解决问题的方法，都是学习排列组合学的关键。

小升初奥数—排列组合问题

小升初奥数—排列组合问题一、排列组合的应用【例 1】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。

【解析】（1）775040P =（种）。

（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =（种）.（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×66P =1440(种)．（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ⨯= (种)．（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400P P ⨯=（种）. （6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P =（种）.（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×55P ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。

【例 2】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？【解析】四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种。

第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择；第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312⨯=(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次．【例 3】一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24：30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?【解析】设A :BC DE 是满足题意的时刻，有A 为8，B 、D 应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不同的数字，所以有26P 种选法，而C 、E 应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有27P 种选法，所以共有26P ×27P =1260种选法。

简单的排列组合问题

简单的排列组合问题排列组合问题是概率与统计学中常见的数学问题之一。

它涉及到对象的有序和无序排列方式的计算。

在解决排列组合问题时，我们需要考虑不同对象之间的关系、顺序以及是否重复等因素。

本文将介绍排列和组合的概念，并通过一些简单的例子来解释这些概念的应用。

一、排列排列是指一组对象按照一定的顺序进行排列的方式。

排列的计算常用到阶乘的概念。

阶乘，表示为n!，是指从1到n的所有正整数的乘积。

例如，5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。

排列的计算公式如下：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n表示元素的总数，r表示要选择的元素的个数。

例如，现有5个不同的字母，要从中选择3个进行排列，计算排列的方式如下：P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60因此，从5个不同的字母中选择3个进行排列的方式有60种。

二、组合组合是指一组对象按照一定的规则进行选择的方式，与排列不同，组合不考虑对象之间的顺序。

组合的计算同样可以通过阶乘的概念来实现。

组合的计算公式如下：C(n, r) = n! / (r! × (n-r)!)其中，n表示元素的总数，r表示要选择的元素的个数。

例如，现有5个不同的字母，要从中选择3个进行组合，计算组合的方式如下：C(5, 3) = 5! / (3! × (5-3)!) = 5! / (3! × 2!) = 10因此，从5个不同的字母中选择3个进行组合的方式有10种。

三、排列组合的应用排列组合广泛应用于各个领域，在概率论、统计学以及计算机科学等领域都有重要的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 抽奖活动：在一些抽奖活动中，组织者需要确定中奖号码的组合方式。

通过排列组合，可以计算出不同奖项的中奖概率。

2. 制定时间表：在计划会议、考试或其他活动时，需要制定合理的时间表，以确保不发生时间冲突。

小升初复习排列组合

去掉的数字只能是3或9。

去掉的数字为3时，即选2，5，7，9四个数字，能排出4×3×2×1=24（个）符合要求的数，去掉的数字为9时也能排出24个符合要求得数，因此这样的四位数一共有24+24=48（个）【变式4-1】在1，2，3，4，5这五个数字中，选出四个数字组成被3除余2的四位数，这样的四位数有多少个？【变式4-2】在1，2，3，4，5这五个数字中，选出四个数字组成能被3整除的四位数，这样的四位数有多少个？【例5】从学校到少年宫有4条东西方向的马路和3条南北方向的马路相通（如图），小明从学校出发到少年宫（只许向东或向南行进），最后有多少种走法？解：为了方便解答，把图中各点用字母表示如图。

根据小明步行规则，显然可知由A到T通过AC边上的各点和AN边上的各点只有一条路线，通过E点有两条路线（即从B点、D点来各一条路线），通过H点有3条路线（即从E点来有二条路线，从G点来有一条路线），这样推断可知通过任何一个交叉点的路线总数等于通过该点左边、上方的两邻接交叉点的路线的总和，因此，可求得通过S点有4条路线，通过F点有3条路线……由此可见，由A点通过T点有10条不同的路线，所以小明从学校到少年宫最多有10种走法。

【变式5-1】从学校到图书馆有5条东西的马路和5条南北的马路相通（如图）。

李菊从学校出发步行到图书馆（只许向东或向南行进），最多有多少种走法？【变式5-2】某区的街道非常整齐（如图），从西南角A处走到东北角B处，要求走最近的路，一共有多少种不同的走法？5、在1，4，5，6，7这五个数字中，选出四个数字组成被3除余1的四位数，这样的四位数有多少个？6、如图有6个点，9条线段，一只小虫从A 点出发，要沿着某几条线段爬到F 点。

行进中，同一个点或同一条线段只能经过一次，这只小虫最多有多少种不同的走法？1、今年父亲36岁，儿子8岁，年后儿子的年龄是爸爸年龄的125。

2、一片草地，草每天生长量相同，17头牛30天可将草吃完，19头年24天可将草吃完。

小学数学-学而思奥数网奥数专题-排列组合

排列组合
1、排列组合问题：
难度：中难度
用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数答：
2、排列组合问题：
难度：中难度
甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间最多有两个人，问一共有多少种站法？
答：
3、排列组合问题：
难度：中难度
从19、20、21……93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少?
答：
4、排列组合问题：
难度：高难度
已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？
答：
5、排列组合问题：
难度：高难度
平面内有12个点，其中6点共线，此外再无三点共线．
答：
学而思奥数网奥数专题（排列组合）
1、五年级排列组合问题答案：
2、五年级排列组合问题答案：
3、五年级排列组合问题答案：
两数之和为偶数时，必须是同奇或同偶，且加法可交换，故不必考虑顺序．因此只须分两类讨论即可．19、20……93、94共有38个奇数，38个偶数．从38个数中任选2个数的方法有
238C 3837(21)703=⨯÷⨯=种．
即奇加奇、偶加偶各有703种，所以选法共有1406种．
4、五年级排列组合问题答案：
五年级排列组合问题答案：。

排列组合基础的知识点

排列组合基础知识一、两大原理1.加法原理（1）定义：做一件事，完成它有n 类方法，在第一类方法中有1m 中不同的方法，第二类方法中有2m 种不同的方法......第n 类方法中n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法。

（2）本质：每一类方法均能独立完成该任务。

（3）特点：分成几类，就有几项相加。

2.乘法原理（1）定义做一件事，完成它需要n 个步骤，做第一个步骤有1m 中不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法......做第n 个步骤有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ...21=种不同的方法。

（2）本质：缺少任何一步均无法完成任务，每一步是不可缺少的环节。

（3）特点：分成几步，就有几项相乘。

二、排列组合1.排列（1）定义：从n 个不同的元素中，任取m 个（n m ≤）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中，选取m 个元素的一个排列，排列数记为m n P ，或记为m n A 。

（2）使用排列的三条件①n 个不同元素；②任取m 个；③讲究顺序。

（3）计算公式)!(!)1)....(2)(1(m n n m n n n n A m n -=+---= 尤其：!,,110n P n P P n n n n ===2.组合（1）定义：从n 个不同的元素中，任取m 个（n m ≤）元素并为一组，叫做从n 个不同的元素中，选取m 个元素的一个组合，组合数记为m n C 。

（2）使用三条件①n 个不同元素；②任取m 个；③并为一组，不讲顺序。

（3）计算公式12)...1()1)...(1()!(!!⨯-+--=-==m m m n n n m n m n P P C m m m n m n尤其：m n n m n n n n n C C C n C C -====,1,,110例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？A.226B.246C.264D.288解析：由于首位和末位有特殊要求，应优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置，末位有13C 种选择，然后排首位，有14C 种选择，左后排剩下的三个位置，有34A 种选择，由分步计数原理得：13C 14C 34A =288例2.旅行社有豪华游5种和普通游4种，某单位欲从中选择4种，其中至少有豪华游和普通游各一种的选择有（）种。

排列组合技巧公式

排列组合技巧公式排列组合是数学中常见的一个概念，用于求解对象的不同组合方式。

在实际应用中，我们经常需要使用排列组合来求解各种场景下的问题，比如从一组元素中选择出若干个元素的组合数、计算某个事件的可能发生方式等。

在排列组合中，有很多公式和技巧可以帮助我们快速求解问题。

下面是一些常见的排列组合技巧及其相关公式：1. 排列计算公式：排列是指从一组元素中选择若干个元素，并按照一定的顺序进行排列的方式。

设有n个元素，需要选择r个元素进行排列，那么排列的总数可以使用以下公式计算：A(n, r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。

2. 组合计算公式：组合是指从一组元素中选择若干个元素，不考虑元素的排列顺序。

设有n个元素，需要选择r个元素进行组合，那么组合的总数可以使用以下公式计算：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)其中，r!表示r的阶乘。

3. 组合公式的推导：组合公式可以通过排列公式进行推导。

假设有n个元素，需要选择r个元素进行组合，那么可以先将n个元素进行排列，然后再除以r!，因为组合不考虑元素的排列顺序。

4. 二项式定理：二项式定理是指在(a+b)^n的展开式中，对于每一项的系数的计算规律。

二项式定理中的系数可以使用组合公式进行计算。

二项式定理的一般形式如下：(a+b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n5. 集合的幂集计算：集合的幂集是指一个集合的所有子集的集合。

设集合S有n个元素，那么集合S的幂集的大小为2^n个子集。

这可以使用排列计算公式得到。

6. 重复排列计算公式：重复排列是指从一组元素中选择若干个元素进行排列，并允许重复。

设有n个元素，需要选择r个元素进行重复排列，那么重复排列的总数可以使用以下公式计算：A(n, r) = n^r以上是一些常见的排列组合技巧和公式。

(完整版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)

教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

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1、五年级排列组合问题：
难度：中难度
用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数答：
2、五年级排列组合问题：
难度：中难度
甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间最多有两个人，问一共有多少种站法？
答：
3、五年级排列组合问题：
难度：中难度
从19、20、21……93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少?
答：
4、五年级排列组合问题：
难度：高难度
已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？
答：
5、五年级排列组合问题：
难度：高难度
平面内有12个点，其中6点共线，此外再无三点共线．
答：
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1、五年级排列组合问题答案：
2、五年级排列组合问题答案：
3、五年级排列组合问题答案：
两数之和为偶数时，必须是同奇或同偶，且加法可交换，故不必考虑顺序．因此只须分两类讨论即可．19、20……93、94共有38个奇数，38个偶数．从38个数中任选2个数的方法有
238C 3837(21)703=⨯÷⨯=种．
即奇加奇、偶加偶各有703种，所以选法共有1406种．
4、五年级排列组合问题答案：
五年级排列组合问题答案：。

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排列组合教学目标1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。

5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。

知识点拨：一.加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1中不同的方法，在第二类办法中有M2中不同的方法，……，在第N类办法中有M n种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M n种不同的方法。

二.乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤，完成第一步有n1种不同的方法，完成第二步有n2种不同的方法，……完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法，那么完成此项任务共有ｎ１×ｎ２×……×ｎｋ种不同的方法。

三.两个原理的区别⏹做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。

每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)⏹做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．四.排列及组合基本公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 P mn表示.P mn=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号C mn表示.C mn = P mn/m!=n!(n-m)!×m!一般当遇到m比较大时（常常是m>0.5n时），可用C mn = C n-mn来简化计算。

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