(物理)物理万有引力定律的应用专项及解析

(1)月球的密度；
(2)月球的第一宇宙速度。
【答案】（1） （2）
【解析】
【详解】
(1)根据竖直上抛运动的特点可知：
所以：g=
设月球的半径为R,月球的质量为M,则：
体积与质量的关系：
联立得：
（2）由万有引力提供向心力得
解得;
综上所述本题答案是：（1） （2）
【点睛】
会利用万有引力定律提供向心力求中心天体的密度，并知道第一宇宙速度等于 。
（1）人在这个行星表面能举起的物体的质量为多少？
（2）这个行星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的多少倍？
【答案】（1）40kg（2） 倍
【解析】
【详解】
（1）物体在星体表面的重力等于物体受到的万有引力，又有同一个人在两个星体表面能举起的物体重力相同，故有： ；
所以， ；
（2）第一宇宙速度即近地卫星的速度，故有：
7．我们将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，且沿半径不同的同心轨道作匀速圆周运动，设双星间距为L，质量分别为M1、M2 万有引力常量为G)试计算：
双星的轨道半径
双星运动的周期．
【答案】 ； ；
【解析】
设行星转动的角速度为 ，周期为T．
如图，
对星球 ，由向心力公式可得：
（1）卫星B做圆周运动的周期；
（2）卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔（信号传输时间可忽略）．
【答案】（1） （2） (arcsin +arcsin )T
【解析】
试题分析：（1）设卫星B绕地心转动的周期为T′，地球质量为M，卫星A、B的质量分别为m、m′，根据万有引力定律和圆周运动的规律有：
即：
则探测器离开飞船时的速度（相对于地心）至少是： ．
【点睛】
本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力，同时注意应用能量守恒定律进行求解．
2．已知地球的自转周期和半径分别为T和R，地球同步卫星A的圆轨道半径为h．卫星B沿半径为r（r<h）的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同．求：
由图中几何关系得：∠BOB′＝2（arcsin ＋arcsin ）⑤
由③式知，当r＜h时，卫星B比卫星A转得快，考虑卫星A的公转后应有：β－α＝∠BOB′ ⑥
由③④⑤⑥式联立解得：t＝ （arcsin ＋arcsin ）T
考点：本题主要考查了万有引力定律的应用和空间想象能力忽略其他星体对它们的影响，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）若A星体的质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
【分析】
(1)由k值可得加速过程宇航员所受的支持力，进而还有牛顿第二定律可得加速过程的加速度．
(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，此时万有引力近似等于地球表面的重力，然后结合牛顿第二定律即可求出；
(3)由万有引力提供向心力的周期表达式，可表示周期，再由地面万有引力等于重力可得黄金代换，带入可得周期数值．
【解析】
【详解】
（1）设地球表面的物体质量为m,有
解得
（2）设地球的近地卫星质量为m，有
解得
（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。设太阳质量为M，地球绕太阳运动的轨道半径为r、周期为T，根据 可知若知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量可求得太阳的质量。
⑶设地球质量为me，地球半径为R。质量为m的物体在地球表面附近环绕地球飞行时，环绕速度为v1
由万有引力定律和牛顿第二定律
解得
逃逸速度
假如地球变为黑洞
v2≥c
代入数据解得地球半径的最大值
R=9×10-3m
6．在月球表面上沿竖直方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落回抛出点，已知该月球半径为R，万有引力常量为G，月球质量分布均匀。求：
(1)假设宇航员在火箭刚起飞加速过程的载荷值为k＝6，求该过程的加速度；（结论用g表示）
(2)求地球的笫一宇宙速度；
(3)“神舟”十号飞船发射成功后，进入距地面300km的圆形轨道稳定运行，估算出“神十”绕地球飞行一圈需要的时间．（π2≈g）
【答案】(1)a＝5g(2) (3)T=5420s
【解析】
【详解】
(1)由k＝6可知，F＝6mg，由牛顿第二定律可得：F-mg＝ma
即：6mg-mg＝ma
解得：a＝5g
(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，
由万有引力提供向心力得：
所以：
(3)由万有引力提供向心力周期表达式可得：
在地面上万有引力等于重力：
解得：
【点睛】
本题首先要掌握万有引力提供向心力的表达式，这在天体运行中非常重要，其次要知道地面万有引力等于重力．
同学们在查阅相关资料后知道：①黑洞具有非常强的引力，即使以3×108m/s的速度传播的光也不能从它的表面逃逸出去。②地球的逃逸速度是第一宇宙速度的 倍，这个关系对于其他天体也是正确的。③地球质量me=6.0×1024kg，引力常量G= 6.67×10-11N• m2/ kg2。
请你根据以上信息，利用高中学过的知识，通过计算求出：假如地球变为黑洞，在质量不变的情况下，地球半径的最大值（结果保留一位有效数字）。（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）
（1）在近地轨道Ⅰ上运行时，飞船的动能是多少？
（2）若飞船在转移轨道Ⅱ上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化．已知飞船在椭圆轨道Ⅱ上运行中，经过 点时的速率为 ，则经过 点时的速率 多大？
（3）若在近地圆轨道Ⅰ上运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围（即探测器可以到达离地心无穷远处），则探测器离开飞船时的速度 （相对于地心）至少是多少？（探测器离开地球的过程中只有引力做功，动能转化为引力势能）
【答案】（1） （2） （3）
【解析】
【分析】
（1）万有引力提供向心力，求出速度，然后根据动能公式进行求解；
（2）根据能量守恒进行求解即可；
（3）将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围，动能全部用来克服引力做功转化为势能；
【详解】
（1）在近地轨道（离地高度忽略不计）Ⅰ上运行时，在万有引力作用下做匀速圆周运动
10．已知地球质量为M，万有引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。忽略地球自转影响。
（1）求地面附近的重力加速度g；
（2）求地球的第一宇宙速度v；
（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道哪些相关数据？请分析说明。
【答案】（1） （2） （3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。
(2)天文观测发现，在银河系中，由两颗相距较近、仅在彼此间引力作用下运行的恒星组成的双星系统很普遍。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，周期为T，两颗恒星之间的距离为d，引力常量为G。求此双星系统的总质量。
(3)北京时间2019年4月10日21时，由全球200多位科学家合作得到的人类首张黑洞照片面世，引起众多天文爱好者的兴趣。
（1）A星体所受合力的大小FA；
（2）B星体所受合力的大小FB；
（3）C星体的轨道半径RC；
（4）三星体做圆周运动的周期T．
【答案】（1） （2） （3） （4）
【解析】
【分析】
【详解】
（1）由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为
,
则合力大小为
（2）同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为
则合力大小为
＝mh ①
＝m′r ②
联立①②两式解得：T′＝ ③
（2）设卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔t，在时间间隔t内，卫星A和B绕地心转过的角度分别为α和β，则：α＝ ×2π，β＝ ×2π ④
若不考虑卫星A的公转，两卫星不能直接通讯时，卫星B的位置应在下图中B点和B′点之间，图中内圆表示地球的赤道．
所以， ；所以， ；
9．“神舟”十号飞船于2013年6月11日17时38分在酒泉卫星发射中心成功发射，我国首位80后女航大员王亚平将首次在太空为我国中小学生做课，既展示了我国在航天领域的实力，又包含着祖国对我们的殷切希望．火箭点火竖直升空时，处于加速过程，这种状态下宇航员所受支持力F与在地球表面时重力mg的比值后 称为载荷值．已知地球的半径为R＝6.4×106m（地球表面的重力加速度为g＝9.8m/s2）
【答案】(1) (2) (3) 9×10-3m
【解析】
【详解】
⑴设太阳质量为ms，地球质量为me，地球绕太阳公转的半径为r
太阳对地球的引力是地球做匀速圆周运动的向心力
根据万有引力定律和牛顿运动定律
解得常量
⑵设双星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2
根据万有引力定律及牛顿运动定律
且有
双星总质量
同理对星 ，有：
两式相除得： 即轨道半径与质量成反比
又因为
所以得：
有上式得到：
因为 ，所以有：
答： 双星的轨道半径分别是 ；
双星的运行周期是
点睛：双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径之比，进一步计算轨道半径大小；根据万有引力提供向心力计算出周期．
8．据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星．假设该行星质量约为地球质量的6倍，半径约为地球半径的2倍．若某人在地球表面能举起60kg的物体，试求：
（物理）物理万有引力定律的应用专项及解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用