7-3随机变量及其分布
《医用高等数学》(第二版)7-3随机变量及其分布
X0 1 2
P 0.16 0.48 0.36
高等数学
07-03-26
分布函数有下列三条性质：
(1) F(x) 是一个不减函数，即若 x2>x1， 则 F(x2)F(x1)； (2) 0F(x)1，且 F() lim F(x)0
F() lim F(x)1； x x
(3) F(x) 在任何点 x 处至少右连续， 即 F(x+0)=F(x)。
高等数学
07-03-23 1ml 500ml
高等数学
07-03-24
分布函数(distribution function) 设 X 是一随机变量，x 是任意实
数，函数
F(x)=P(Xx) (<x<) 称为随机变量 X 的分布函数。
高等数学
07-03-25
例 给青蛙按每单位体重注射一定 剂量的洋地黄。由以往实验获知， 致死的概率是 0.6，存活的概率是 0.4，今给 2 只青蛙注射，求青蛙死 亡只数 X 的分布函数。
高等数学
07-03-12
二项分布(binomial distribution) 若随机变量 X 的概率函数为
P ( X k ) C n k p k q n k ( k 0 ,1 , ,n )
其中 0<p<1，则称随机变量 X 服从 参 数 为 n,p 的 二 项 分 布 ， 记 为 X~B(n,p)。
离散型随机变量 随机变量所可能取到的值是有
限个或至多可列个，这种随机变量 称为离散型随机变量。
连续型随机变量 随机变量可取到某个有限或无
限区间上的一切值，这样的随机变 量称为连续型随机变量。
高等数学
07-03-06
第七章随机变量及其分布小结PPT课件(人教版)
第1课时 条件概率、乘法公式及全概率公式
条件概率公式：PA|B＝
PAB
，
PB
加法公式：如事件 B，C 互斥，则有 P( B
C | A) P( B | A) P(C | A).
乘法公式：PAB＝PBPA|B，
PAB
.
P ( A)
P ( A)
P ( B)
P ( B) 2
A产生，则B一定产生
P ( A)
由此可得， 若A B,则P ( B | A) 1,P ( A | B )
.
P ( B)
课本48页
夯实概念
2．下列说法正确的是(
)
P（B）
是可能的
P（A）
A．P(B|A)＝P(AB)
B．P(B|A)＝
C．0<P(B|A)<1
D．P(A|A)＝0
P（AB）
1
解析：∵ P(B|A)＝
，
≥1，
P（A） P（A）
∴P(B|A)≥P(AB)，故 A 不正确；
当 P(A)＝1 时，P(B)＝P(AB)，
P（B）
则 P(B|A)＝P(B)＝
，所以 B 正确；
P（A）
而 0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，∴ C、D 不正确．
击落，求飞机被击落的概率．
解：设 A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被 i 人击中}，i＝1,2,3，则
P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．
P(B1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36，
P(B2)＝0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41，
新教材高中数学 第七章 随机变量及其分布 7.4.1 二项分布课件 新人教A版选择性必修第三册
则 P(D)＝C14
1 2
4
×12
＝18
.
所以做了 5 次试验就停止的概率为18 .
方法归纳
在与二项分布有关的应用问题中，经常利用核心素养中的数学 建模，通过已知的情景以及数据，找出该问题符合的数学模型——n 次独立重复试验，利用该模型解决问题．
微点 2 可转化为与二项分布有关的应用题 例 2 甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队 3 人，每人回答 一个问题，答对者为本队赢得一分，答错者得零分．假设甲队中每
4.已知 X～B(n，p），E(X）＝8，D(X）＝1.6， 则 n＝___1_0____，p＝____0_._8__．
解析：因为随机变量 X～B(n，p)，所以 E(X)＝np＝8，D(X)＝np(1 －p)＝1.6，解得 p＝0.8，n＝10.
题型一 二项分布——自主完成
1.已知 X～B5，13 ，则 P32≤X≤72 ＝(
状元随笔 判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于
它是否同时满足以下两个条件： ①在一次试验中只有两种试验结果，而且事件 A 发生的概率为
p，事件－A 发生的概率为 1－p. ②试验可以独立重复地进行，即每次重复做一次试验，事件 A
发生的概率都是同一常数 p，事件－A 发生的概率都是 1－p.
[基础自测]
方法归纳
对于二项分布，关键是通过题设环境确定随机变量服从二项分 布，然后直接应用公式计算．
跟踪训练 2 一出租车司机从某饭店到火车站途中有 6 个交通 岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率
是13 . (1）求这位司机遇到红灯数 ξ 的期望与方差． (2）若遇上红灯，则需等待 30 秒，求司机总共等待时间 η 的
第二章随机变量及其分一、基本要求、重点与难点
第二章随机变量及其分一、基本要求、重点与难点（一）基本要求1．理解随机变量的概念。
2．掌握离散型随机变量和连续型随机变理的描述方法。
3．理解分布列与概率密度的概念及其性质。
4．理解分布函数的概念及性质。
5．会应用概率分布计算有关事件的概率。
6．掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布和指数分布。
7．会求简单随机变量函数的分布。
（二）重点1．离散型随机变量的分布列和分布函数的概念及性质。
2．连续型随机变量的密度函数和分布函数的概念及性质。
3．掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布和指数分布。
4．随机变量的一些简单函数的概率分布的求法。
（三）难点1．离散型随机变量的分布列与分布函数的关系。
2．连续型随机变量的密度函数与分布函数的关系。
3．随机变量函数的分布的计算。
二、重点内容简介§1 随机变量的概念及分类定义定义在样本空间Ω上的一个实值函数X=X(ω)，使随机试验的每一个结果ω都可用一个实数X(ω)来表示，且实数X满足1）X是由ω唯一确定；2）对于任意给定的实数x，事件{X≤x}都是有概率的，则称X为一随机变量，一般用大写字母X,Y,Z等表示。
引入随机变量后，随机事件就可以通过随机变量来表示，这样，我们就把对事件的研究转化为对随机变量的研究。
随机变量一般可分为离散型和非离散型两大类。
非离散型又可分为连续型和混合型。
由于在实际工作中我们经常遇到的是离散型和连续型的随机变量，因此一般情况下我们仅讨论这两个类型的随机变量。
§2 随机变量的分布函数及其性质定义 设X 为一随机变量，x 是任意实数,称函数 F(x)=P(X ≤x) (-∞<x<+∞) 为随机变量X 的分布函数。
分布函数是一个以全体实数为其定义域，以事件{ω|∞＜X(ω)≤∞}的概率为函数值的一个实值函数。
分布函数具有以下的基本性质： 1） 0≤F(x )≤1;2） F(x )是非减函数； 3） F(x )是右连续的； 4）lim ()0,lim ()1;x x F x F x →−∞→+∞==设随机变量X 的分布函数为F(x )，则可用F(x )来表示下列概率：(1) ()();(2) ()(0);(3) ()1()1();(4) ()1()1(0);(5) ()()()()(0);(6) (||)()()()(0)();P X a F a P X a F a P X a P X a F a P X a P X a F a P X a P X a P X a F a F a P X a P a X a P X a P X a F a F a ≤=<=−>=−≤=−≥=−<=−−==≤−<=−−<=−<<=<−≤−=−−−§ 3 离散型随机变量1 定义定义 如果随机变量X (ω)所有可能取值是有限个或可列多个，则称X (ω)为离散型随机变量（discrete random variable ）简写作d .r .v .。
新教材2023年高中数学第七章随机变量及其分布列7
[规律方法] 应用乘法公式的关注点 1．功能：已知事件A发生的概率和事件A发生的条件下事件B发生的 概率，求事件A与B同时发生的概率． 2 ． 推 广 ： 设 A ， B ， C 为 三 个 事 件 ， 且 P(AB) ＞ 0 ， 则 有 P(ABC) ＝ P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)P(B|A)P(A)．
[解析] (1)令事件 A＝{取得蓝球}，B＝{取得蓝色 E 型玻璃球}．
解法一：∵P(A)＝1116，P(A∩B)＝146＝14，
1 ∴P(B|A)＝PPA∩AB＝141＝141.
16
解法二：∵n(A)＝11，n(A∩B)＝4，
∴P(B|A)＝nnA∩AB＝141.
题型二
概率的乘法公式
典例2 (1)已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，则P(B|A)＝ ___0_._7_5__；
及格的概率是
( A)
A．51
B．130
C．12
D．31
[解析] 设 A 为事件“数学不及格”，B 为事件“语文不及格”， P(B|A)＝PPAAB＝00..0135＝15，所以当数学不及格时，该学生语文也不及格的 概率为15.
2．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一
次失败、第二次成功的概率是
(2)某市场供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂 产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率为80%，则买到一个甲厂的合 格灯泡的概率为___0_.6_6_5___.
[解析] (1)∵P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6， ∴ P (AB)＝ P (B) ·P (A|B) ＝0.5×0.6＝0.3. ∴P(B|A)＝PPAAB＝00..34＝0.75. (2)记事件 A 为“买到甲厂产品”，事件 B 为“买到合格产品”，则 P(A)＝70%，P(B|A)＝95%，所以 P(AB)＝P(A) ·P(B|A)＝70%×95%＝0.665.
第七章 随机变量及其分布【章末复习】-2022-2023学年高二数学【单元通关复习】(人教A版201
2 重点题型
反思感悟 (1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算 较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”. (2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件， 求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率.
跟踪训练1 抛掷两颗质地均匀的骰子各一次. (1)向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是多少？ 解 记事件A表示“两颗骰子中，向上的点数有一个是2”，事件B表 示“两颗骰子向上的点数之和为7”， 则事件AB表示“向上的点数之和为7，其中有一个的点数是2”， 则 P(B)＝366＝16，P(AB)＝326＝118，
解 甲公司送餐员日平均送餐单数为 38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7， 则甲公司送餐员日平均工资为80＋4×39.7＝238.8(元)， 因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8<241.8， 所以推荐小王去乙公司应聘.
反思感悟 (1)求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值 和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式即可. (2)根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从均值的大小关系作出比 较后得到结论.
当 a＝38 时，X＝38×6＝228，P＝550＝110； 当 a＝39 时，X＝39×6＝234，P＝1500＝15； 当 a＝40 时，X＝40×6＝240，P＝1500＝15； 当 a＝41 时，X＝40×6＋1×7＝247，P＝2500＝25； 当 a＝42 时，X＝40×6＋2×7＝254，P＝550＝110，
送餐单数 38 39 40 41 42
天数
10 15 10 10 5
乙公司送餐员送餐单数频数表：
高中数学随机变量及其分布内容简介
高中数学随机变量及其分布内容简介
随机变量是概率论中的重要概念，指的是一个变量的取值由随机试验的结果决定。
在高中数学中，我们常常接触到一些常见的随机变量及其分布，这些内容是数学学习中的重要一环。
首先，我们要了解离散随机变量及其分布。
离散随机变量是指只取有限个或可数无限个可能值的随机变量。
在离散随机变量的分布中，最常见的是二项分布和泊松分布。
二项分布是指在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数的概率分布，而泊松分布则是用于描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生的次数的分布。
另外，连续随机变量及其分布也是我们需要了解的内容。
连续随机变量是指取值在一段或多段连续区间内的随机变量。
在连续随机变量的分布中，最常见的是正态分布和指数分布。
正态分布是一种在数学、物理、工程领域中非常常见的分布，其形状呈钟形曲线，具有均值和标准差这两个参数。
而指数分布则是描述独立随机事件发生的时间间隔的分布。
在学习高中数学中的随机变量及其分布时，我们需要掌握如何计算随机变量的期望值、方差以及概率分布等重要性质。
通过学习随机变量及其分布，我们可以更好地理解概率论中的概念，为后续的数学学习打下坚实的基础。
总的来说，高中数学中的随机变量及其分布是一项重要的内容，通过学习这一部分知识，我们可以更好地理解概率论的相关概念，提高数学分析和问题解决的能力。
希望同学们能够认真学习这一部分内容，掌握其中的关键知识点，为未来的学习和发展打下良好的基础。
高中数学第七章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.2离散型随机变量的方差课件新人教
[典例 1] (1)随机变量 X 的分布列为
X －1 0 1
Pa
bc
若 a，b，c 成等差数列，E(X)＝13，则 D(X)＝
()
A.49
B.59
1
2
C.3
D.3
(2)两封信随机投入 A，B，C 三个空邮箱中，则 A 邮箱的信件数 ξ 的方差
D(ξ)＝________.
[解析]
a＋b＋c＝1，
(1)由题可得－a＋c＝13， 2b＝a＋c，
别为 D(X 甲)＝11，D(X 乙)＝3.4.由此可以估计
()
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
解析：因为 D(X 甲)>D(X 乙)，
所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．
答案：B
4．已知随机变量 ξ，D(ξ)＝19，则 ξ 的标准差为________． 解析：ξ 的标准差 Dξ＝ 19＝13. 答案：13
[对点练清] 如图，左边为国外的著名数学家，右边为国籍，一位数 学教师为了激发学生了解数学史的热情，在班内进行数学家 和其国籍的连线游戏，参加连线的同学每连对一个得 1 分．假定一个学生对这些数学家没有了解，只是随机地连线， 试求该学生得分 X 的分布列及其数学期望、方差．
解：该学生连线的情况：连对 0 个，连对 1 个，连对 2 个，连对 4 个，故
ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)可得 E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)， E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)． D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1
随机变量及其分布函数
随机变量及其分布函数随机变量是描述随机事件的数学工具，它将随机事件映射到实数上。
我们可以将随机变量理解为一个函数，它将样本空间上的随机事件转化为一个实数。
随机变量的取值通常用大写字母来表示，例如X、Y、Z等，并且随机变量的取值可以是有限个或无限个。
随机变量的分布函数一个随机变量有着不同取值的可能性，而这些可能性可以用概率来描述。
针对一个随机变量而言，其取值在不同的范围内所对应的概率，就被称为该随机变量的分布函数。
分布函数通常用F(x)来表示，其中F是函数符号，x是随机变量的取值。
对于一个随机变量X，其分布函数定义为：F(x) = P(X≤x)其中P(X≤x)指的是随机变量X小于或等于x的概率。
因此，对于小于或等于x的所有可能取值，X的分布函数F(x)均可以计算出来。
随机变量的类型随机变量可以分为两类：离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量离散随机变量是只能取某些特定离散值的随机变量，它们通常意味着某个事件只能发生某些确定的次数。
例如，抛掷一颗骰子的结果就是一个典型的离散随机变量，因为其可能取的值只有1、2、3、4、5、6六种可能。
对于某个离散随机变量而言，它的分布函数是一个阶梯函数，在每个离散值处有一个跳跃，即：F(x) = P(X≤x) = ΣP(X=i)，i≤x其中ΣP(X=i)表示随机变量取i的概率，i≤x表示X取i的所有取值小于或等于x。
例如，对于一个只能取0或1的离散随机变量X，其分布函数F(x)可以表示为：F(x) = P(X≤0) + P(X=1) = P(X=0) + P(X=1)其中P(X=0)和P(X=1)表示X取0和1的概率，因此：F(0) = P(X=0)F(1) = P(X=0)+P(X=1)连续随机变量连续随机变量是指可以取到任意实数值的随机变量，通常用于描述某个事件的结果可以连续变化的场景。
例如，衡量人的身高或体重就是一种典型的连续随机变量。
对于某个连续随机变量而言，由于它可以取到任意实数值，因此其分布函数也是一个连续函数。
第七章 随机变量及其分布(章末小结课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
（2）小红和小明在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入 号球槽得到的奖金为 元，其中 .小明改进了高尔顿板（如图2），首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有 的概率向左， 的概率向右滚下，最后掉入编号为1， ， ， 的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入 号球槽得到的奖金为 元，其中 .两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明谁的盈利多？请说明理由.
方法总结 求离散型随机变量的均值、方差的步骤： 明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果； 求出随机变量取各个值的概率； 列出分布列； 用期望、方差公式求解； 标准差代入公式 求解.本题渗透了数据分析、数学运算的素养.
题型7 正态分布
例7 某物理量的测量结果服从正态分布 ，则下列结论中不正确的是( ).
方法总结 正态曲线的应用及求解策略：解答此类题目的关键在于将待求的问题向 ， ， 这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应的概率.解题过程渗透了直观想象、数学运算以及数据分析的素养.
高尔顿与高尔顿板
一、高尔顿简介
弗朗西斯·高尔顿（ ， —1911）是英国著名的统计学家、心理学家和遗传学家.他是达尔文的表弟，虽然不像达尔文那样声名显赫，但也不是无名之辈.并且，高尔顿幼年是神童，长大是才子，九十年的人生丰富多彩，是个名副其实的博学家.他涉猎范围广泛，研究水平颇深，纵观科学史，在同辈学者中能望其项背之人寥寥可数.他涉足的领域包括天文、地理、气象、机械、物理、统计、生物、遗传、医学、生理、心理等，还有与社会有关的人类学、民族学、教育学、宗教学，以及优生学、指纹学、照相术、登山术等等.
随机变量及其分布
随机变量及其分布在我们的日常生活和科学研究中，常常会遇到各种各样的不确定现象。
比如，明天的天气是晴是雨，一场考试的成绩是高是低，或者在生产线上产品的质量是否合格等等。
为了更好地理解和描述这些不确定的情况，数学中引入了一个重要的概念——随机变量。
那么，什么是随机变量呢？简单来说，随机变量就是一个将随机试验的结果与实数对应起来的函数。
它的取值是由随机试验的结果决定的，并且具有不确定性。
举个例子，假设我们进行一次掷骰子的试验。
如果我们关心掷出的点数，那么可以定义一个随机变量 X ，它的值就是掷出的点数。
在这个例子中，随机变量 X 可能的取值就是 1、2、3、4、5、6 。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量的取值是可以一一列举出来的，就像上面掷骰子的例子。
而连续型随机变量的取值则是在某个区间内连续变化的，比如测量一个人的身高，身高可以在一定的范围内取任意实数值。
了解了随机变量的类型，接下来我们看看它们的分布。
分布描述了随机变量取不同值的概率情况。
对于离散型随机变量，我们通常用概率分布列来描述它的分布。
概率分布列就是列出随机变量的所有可能取值以及对应的概率。
比如，对于上面掷骰子的随机变量 X ，它的概率分布列为：X ： 1 2 3 4 5 6P ： 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6这个概率分布列清楚地告诉我们，掷出每个点数的概率都是 1/6 。
连续型随机变量的分布则通常用概率密度函数来描述。
概率密度函数并不是直接给出随机变量取某个值的概率，而是给出概率在某个区间内的分布情况。
比如说，正态分布就是一种常见的连续型分布，它的概率密度函数是一个钟形曲线。
在实际应用中，随机变量及其分布有着广泛的用途。
比如在保险行业，保险公司需要根据投保人的风险情况（可以用随机变量来表示）以及风险的分布来制定合理的保险费率；在质量控制中，通过对产品质量指标（随机变量）的分布进行分析，可以判断生产过程是否稳定，是否需要进行调整；在金融领域，股票价格的波动可以看作是一个随机变量，对其分布的研究有助于投资者做出合理的决策。
7-2离散型随机变量及其分布列(教学课件) 高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册
我们就称这样的试验是一个随机试验.
求随机事件的概率时，我们往往需要为随机试验建立样本空间，并会 涉及样本点和随机事件的表示问题.类似函数在数集与数集之间建立对应 关系，如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应，将 不仅可以为一些随机事件的表示带来方便，而且能更好地利用数学工具 研究随机试验.
0，抽到次品， X 1，抽到正品，
那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系.
类似地，掷一枚硬币，可将试验结果“正面朝上”用1表 示，“反面朝上”用0表示；随机调查学生的体育综合测试 成绩，可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别 赋值5, 4, 3, 2, 1；等等.
探究 考察下列随机试验及其引入的变量:
现实生活中，离散型随机变量的例子有很多. 例如，某射击运动员射 击一次可能命中的环数X，它的可能取值为0, 1, 2, ‧‧‧ , 10；某网页在24 h 内被浏览的次数Y，它的可能取值为0, 1, 2, ‧‧‧；等等.
现实生活中还有大量不是离散型随机变量的例子. 例如，种子含水量 的测量误差X1；某品牌电视机的使用寿命X2；测量某一个零件的长度产 生的测量误差X3. 这些都是可能取值充满了某个区间、不能一一列举的随 机变量. 本节我们只研究取有限个值的离散型随机变量.
P( X xi ) pi ,i 1,2, ,n
为X的概率分布列(list of probability distribution)，简称分布列.
X
x1
x2
‧‧‧
xn
随机变量及其分布
80
P{ X 4} C8k0 (0.01)k (0.99)80k k4 3 1 C8k0 (0.01)k (0.99)80k k0 0.0087
解：（续）再讨论第一种方法．设Ai表示事件“第 i 个人负 责的20台设备发生故障不能得到及时维修”，则所求概率
S
P(B)
e1
0.5
P(A)
e2
1
X (e1 )
0
X (e2 )
X () 是定义在样本空间 S 上的函数
附注：随机变量与普通函数有着本质的区别. 随机变量是一种因变量（而非自变量），它的取值依赖于 样本点，所以其定义域是抽象的样本空间. 随机变量的取值随试验的结果而定，而试验各个结果的出 现有一定的概率，因而随机变量的取值也有一定的概率. 随机变量常用大写字母X, Y, Z, …表示，而以小写字母x, y, z, …表示实数. 若 L 是一个实数集合，则集合{e | X(e) ∈L}表示样本空间 S 中满足X(e) ∈L的所有样本点组成的子集（随机事件）.
解：记400次射击中命中的次数为X，那么X ~ b(400, 0.02)，
于是
P{ X
k}
C
k 400
(0.02)k
(0.98)400
k
,
k
0,1,
400
P{X 2}
C
k 400
(0.02)k
(0.98)400
k
k2
1 P{ X 0} P{ X 1}
, 400
1
(0.98)400
C1 400
随机变量及其分布
随机变量及其分布律
随机变量的分类
离散随机变量
离散随机变量的取值可以列举出来，如投掷一枚骰子出现的点数。
连续随机变量
连续随机变量的取值范围是连续的，如人的身高、体重等。
随机变量的数学表示
离散随机变量常用概率分布列表示，如二项分布、泊松分布等。
连续随机变量常用概率密度函数表示，如正态分布、指数分布等。
PART 02
离散型随机变量及其分布 律
REPORTING
WENKU DESIGN
离散型随机变量的定义
离散型随机变量是在一定范围内可以一一列举出来的随机变量，其取值范围称为样本空间，样本空间 中的每一个元素称为样本点。
离散型随机变量的取值可以是整数、分数等，但取值范围必须是有限的或者可数的。
协方差的计算公式为： Cov(X,Y) = Σ[(x-E(X))*(yE(Y))*p(x,y)]，其中x、y分 别是两个随机变量的取值， p(x,y)是相应的联合概率。
相关系数是协方差与两个 随机变量标准差的乘积之 比，用于衡量两个随机变 量的线性相关程度。
相关系数的计算公式为： ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ(X)*σ(Y))，其中σ(X)、 σ(Y)分别是X、Y的标准差。
方差
01
方差是衡量随机变量取值分散程度的量，表示随机变量取值 偏离期望值的程度。
02
方差的计算公式为：Var(X) = Σ[(x-E(X))^2*p(x)]，其中x是 随机变量的取值，p(x)是相应的概率。
03
方差具有非负性，即Var(X) ≥ 0。
协方差与相关系数
协方差是衡量两个随机变 量同时取值的分散程度和 趋势的量。
离散型随机变量及其分布列 课件 高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册
自学新教材，提炼知识要点
1．随机变量 一般地，对于随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点 ω，都有唯一 的 实数 X(ω)与之对应，我们称 X 为随机变量．可能取值为有限个或可 以 一一列举 的随机变量，我们称之为离散型随机变量．通常用大写 英文字母表示随机变量，例如 X，Y，Z ；用小写英文字母表示随机 变量的取值，例如 x，y，z .
变式训练
设随机变量 X 的概率分布列为
X1 2 34
P
1 3
m
1 4
1 6
则 P(|X－3|＝1)＝( )
7 A.12
B．152
C．14
D．16
变式训练
B 解析：根据概率分布列的性质得出：13＋m＋14＋16＝1，所以m＝ 1 4. 所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝152.
变式训练
【例 4】从装有除颜色外完全相同的 6 个白球，4 个黑球，2 个黄球 的箱中随机地取出 2 个球，规定每取出 1 个黑球赢 2 元，而每取出 1 个白球输 1 元，取出黄球无输赢． (1)以 X 表示赢得的钱数，随机变量 X 可以取哪些值？求 X 的分布列； (2)求出赢钱(即 X>0 时)的概率．
方法总结
判定离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果． (2)将随机试验的结果数量化． (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出， 则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
例题剖析
【例 3】设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝kkC＋1，k＝1,2,3，C 为常数，则 P(0.5<X<2.5)＝________.
变式训练
所以随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 1
第3章 随机变量及其分布
郑州轻工业学院数学与信息科学系第二章：随机变量及其分布概率统计教研组我们观察一个随机现象，其样本空间的样本点可以是数量性质的，也可以是非数量性质的，概率论是从数量的角度来研究随机现象的统计规律性，建立起一系列的公式和定理，借以更好地描述、处理和解决各种与随机现象有关的理论和应用问题．为此，需要将样本空间的样本点与实数联系起来，建立样本空间与实数空间或某一部分的对应关系，这就是随机变量．本章首先引入随机变量的概念，介绍一些常用的随机变量，最后讨论随机变量函数的分布．主要内容§ 2.1随机变量§ 2.2离散型随机变量§ 2.3连续型随机变量§ 2.4随机变量函数的分布第二章：总结●【工作效率问题】某工厂有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一人处理．为了提高设备维修的效率，节省人力资源，考虑两种配备维修工人的方法：其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台．试比较两种配备维修工人方法的工作效率，即比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小．●2.1.1随机变量的概念随机试验的结果有些本身就是数量，例如，一只灯泡的寿命，每天的最高气温等；随机试验的结果有些不是数量例如，检查一个产品，结果可能是“合格”与“不合格”，但是我们可以将其数量化，比如用“1”表示“合格”，用“0”表示“不合格”．这样，随机试验的结果就是随机变化的变量．把随机试验的结果数量化，便于应用数学知识研究随机现象，使对随机现象的研究更深入和简单．●2.1.1随机变量的概念【例2-1】有朋自远方来，他可能乘船，乘火车，或者乘飞机，记ω1={乘船}，ω2={乘火车}，ω3={乘飞机}，这就是以Ω={ω1，ω2，ω3}为样本空间的随机试验，现考虑该客人的旅费，假定乘船，火车与乘飞机的单价分别为100，200，300元，则所需旅费就是如下实值函数X =X (ω)是随试验结果而变化的变量,称之为随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=====321 ,ωωωωωωω若若若,300,200100)(X X●2.1.1随机变量的概念【定义2.1】设随机试验的样本空间为Ω={ω}，X=X(ω)是定义在样本空间Ω上的实值单值函数，称X=X(ω)为随机变量．常用大写字母X，Y，Z等表示随机变量，其取值常用小写字母x，y，z等表示．这个定义表明：随机变量X是样本点的一个实值函数，一个样本点只能对应一个实数，不同样本点可以对应不同的实数，也可以对应同一个实数．随机变量的取值随试验的结果而定，在试验之前不能预知它取到的值，且它的取值有一定的概率，这些性质显示了随机变量与普通函数和普通变量有着本质的区别．●2.1.1随机变量的概念【定义2.1】设随机试验的样本空间为Ω={ω}，X=X(ω)是定义在样本空间Ω上的实值单值函数，称X=X(ω)为随机变量．常用大写字母X，Y，Z等表示随机变量，其取值常用小写字母x，y，z等表示．引入随机变量后，我们很容易用随机变量表示随机事件及其概率．如用随机变量X表示掷一枚骰子朝上一面的点数，则{X=1}和{X≤3}分别表示事件“朝上一面的点数为1”和“朝上一面的点数小于等于3”两事件，P{X=1}= 1/6，P{X≤3}=1/2则分别表示两事件发生的概率．●2.1.2随机变量的分布函数为了计算与随机变量X 有关事件的概率，下面引入随机变量分布函数的概念．【定义2.2】设X 是一个随机变量，对任意实数x ，称事件{X ≤x }发生的概率(2.1)为随机变量X 的分布函数,且称X 服从F (x ),记为X ～F (x ) 由分布函数的定义易知，对任意实数a ，b （a ≤b ），有},{)(x X P x F ≤=∞<<∞-x =≤<}{b X a P }{}{a X P b X F ≤-≤}{a X P >,．)()(a F b F -=}{1a X P ≤-=)(1a F -=●2.1.2随机变量的分布函数 容易证明分布函数F (x )具有以下三条基本性质：(1)单调性：F (x )是定义在整个实数轴(–∞，+∞)上的单调非减函数，即对任意的x 1<x 2，有F (x 1)≤F (x 2)；(2)有界性：对任意的，有0≤F (x )≤1，且(3)右连续性：F (x )是x 的右连续函数，即对任意的x 0，有这三个基本性质成为判别分布函数的充要条件．0)(lim )(==-∞-∞→x F F x ,1)(lim )(==+∞+∞→x F F x )()(lim 00x F x F x x =+→}{)(x X P x F ≤=●2.1.2随机变量的分布函数【例2-2】向半径为r 的圆内随机抛一点，求此点到圆心的距离X 的分布函数，并求解：事件{X ≤x }表示所抛一点落在半径为x 的圆内．若x <0，{X ≤x }为不可能事件，则F (x )=P {X ≤x }=0； 若x ≥r ，{X ≤x }为必然事件，F (x )=P {X ≤x }=1； 若0≤x <r ，由几何概型知}{)(x X P x F ≤=22r x ππ=2⎪⎭⎫ ⎝⎛=r x .32⎭⎬⎫⎩⎨⎧>r X P●2.1.2随机变量的分布函数【例2-2】向半径为r 的圆内随机抛一点，求此点到圆心的距离X 的分布函数，并求 从而X 的分布函数为 且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛<=r x rx r x x x F ,10,0,0)(2}32{r X P >)32(1r F -=}32{1r X P ≤-=2321⎪⎭⎫ ⎝⎛-=95=.32⎭⎬⎫⎩⎨⎧>r X P●2.1.2随机变量的分布函数【例2-3】证明是一个分布函数．证：显然F (x )在整个数轴上是连续、单调严增函数，且，因此它满足分布函数的三条基本性质，故F (x )是一个分布函数．该函数称为柯西分布函数．+∞<<-∞+=x x x F ],2[arctan 1)(ππ●2.2.1离散型随机变量及其分布律有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量．如掷骰子朝上一面的点数，一昼夜110接到的呼叫次数等均为离散型随机变量．●2.2.1离散型随机变量及其分布律【定义2.3】设X是一个离散型随机变量，若X的全部可能取值为x1，x2，…，xn，…，则称X取xi的概率P{X=xi}=p i，i=1，2，…为X的概率分布或简称分布律，也可以称为概率函数．X的分布律也可用如下方式表示：X x1x2…xn…p i p1p2…pn…●2.2.1离散型随机变量及其分布律【定义2.3】设X 是一个离散型随机变量，若X 的全部可能取值为x 1，x 2，…，x n ，…，则称X 取x i 的概率P {X =x i }=p i ，i =1，2，…为X 的概率分布或简称分布律，也可以称为概率函数．显然分布律应具有如下性质：(1)非负性：p i ≥0，i =1，2，…(2)归一性： 这两条性质是判别离散型随机变量分布律的充要条件．11=∑∞=i i p●2.2.1离散型随机变量及其分布律【定义2.3】设X 是一个离散型随机变量，若X 的全部可能取值为x 1，x 2，…，x n ，…，则称X 取x i 的概率P {X =x i }=p i ，i =1，2，…为X 的概率分布或简称分布律，也可以称为概率函数．由分布函数的定义，知离散型随机变量X 的分布函数为：)(x F }{x X P ≤=,∑≤=x x ii p +∞<<∞-x●2.2.1离散型随机变量及其分布律【例2-4】设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以概率p 禁止汽车通过，以X 表示汽车首次停下来时已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求X 的分布律．解：因为每一组信号灯禁止汽车通过的概率为p ，允许汽车通过的概率为1–p ，则X 的分布律为01234p (1-p )p (1-p )2p (1-p )3p (1 –p )4Xp i●2.2.1离散型随机变量及其分布律【例2-4】设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以概率p 禁止汽车通过，以X 表示汽车首次停下来时已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求X 的分布律．解： 如果p =0.5,则X 的分布律为X01234p (1-p )p (1-p )2p (1-p )3p (1 –p )4p i X012340.50.250.1250.06250.0625p i●2.2.1离散型随机变量及其分布律【例2-5】设离散型随机变量X 的分布律为试求P {X ≤0.5},P {1.5<X ≤2.5},并写出X 的分布函数．解：．X 的分布函数为X -123p i 1/41/21/4}5.0{≤X P }5.25.1{≤<X P 41}1{=-==X P 21}2{===X P●2.2.1离散型随机变量及其分布律【例2-5】设离散型随机变量X 的分布律为试求P {X ≤0.5},P {1.5<X ≤2.5},并写出X 的分布函数．解：F (x )的图形呈阶梯形右连续，在X 的可能取值处有跳跃X -123p i 1/41/21/4F (x )=0,1/4,1/4 +1/2, 1,x < -1-1≤x <22≤x <3x ≥3●2.2.2常用离散分布1.0-1分布如果随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是则称X服从0-1分布或两点分布．分布律也可写成对于一个随机试验，如果它的样本空间Ω只包含两个样本点ω1、ω2，我们总能在Ω上定义一个服从0-1分布的随机变量)10(1,0,)1(}{1<<=-==-pkppkXP kkX01pi1 –p p●2.2.2常用离散分布1.0-1分布如果随机变量X 只可能取0与1两个值，它的分布律是则称X 服从0-1分布或两点分布．分布律也可写成来描述这个随机试验的结果．)10(1,0,)1(}{1<<=-==-p k p p k X P k k X01p i 1 –p p⎩⎨⎧====21,1,0)(ωωωωωX X●2.2.2常用离散分布2.二项分布在上一章介绍的n 重伯努利试验中我们已经知道，若事件A 在每次试验中发生的概率为P (A )=p (0<p <1)，则n次试验中事件A 发生k 次的概率为 如果随机变量X 的分布律是k =0，1，…，n则称X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )．显然，B (1，p )就是0-1分布，实际上二项分布是n 重伯努利试验的概率模型．,,,1,0,)1(n k p p C k n k k n =--==}{k X P ,)1(k n k k n p p C --●2.2.2常用离散分布2.二项分布二项分布是一种常用的离散分布，例如，检查10个产品，10个产品中不合格品的个数X服从二项分布B(10，p)，其中p为不合格品率；又如，调查50个人，50个人中患色盲的人数Y服从二项分布B(50，p)，其中p为色盲率．●2.2.2常用离散分布2.二项分布【例2-6】设X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P{X≥1}=5/9，试求P{Y≥1}．解：由P{X≥1}=5/9，知P{X=0}=4/9，所以(1–p)2=4/9，由此得p=1/3．再由Y～B(3，p)，可得P{Y≥1}=1–P{Y=0}=1–(1–1/3)3=19/27．●2.2.2常用离散分布3.泊松分布泊松分布是概率论中又一种重要的离散分布，它在理论和实践中都有广泛的应用．如果随机变量X 的分布律为为参数，k =0,1,2,...， 则称X 服从泊松分布，记为X ～P (λ)．,!}{>==-λλλe k k X P k●2.2.2常用离散分布3.泊松分布【例2-7】某种铸件的砂眼（缺陷）数服从参数为的泊松分布，试求该铸件至多有一个砂眼（合格品）的概率和至少有2个砂眼（不合格品）的概率．解：以X 表示铸件的砂眼数，由题意知X ～P (0.5)，则该种铸件上至多有1个砂眼的概率为至少有2个砂眼的概率为}1{≤X P 5.00!05.0-=e 5.01!15.0-+e 91.0=}2{≥X P }1{1≤-=X P 09.0=●2.2.2常用离散分布3.泊松分布在二项分布B (n ，p )的概率计算中，往往计算量很大，利用下面的泊松定理近似计算，可以大大减少计算量．下面不加证明地给出泊松定理．【定理2.1】（泊松定理）设λ>0是一个常数，n 是任意正整数，设np =λ（p 与n 有关），则对于任一固定的非负整数k ，有定理条件np =λ（常数）意味着当n 很大时p 必定很小.!)1(lim λλ--∞→=-e k p p C k k n k k n n●2.2.2常用离散分布3.泊松分布【定理2.1】（泊松定理）设λ>0是一个常数，n 是任意正整数，设np =λ（p 与n 有关），则对于任一固定的非负整数k ，有 因此，当n 很大p 很小，有下面近似计算公式该公式说明，在对二项分布B (n ，p )计算概率时，如果n 很大p 很小，可由参数为λ=np 的泊松分布的概率值近似.!)1(lim λλ--∞→=-e k p p C k k n k k n n ,2,1,0,!)()1(=≈---k e k np p p C np kk n k kn●2.2.2常用离散分布3.泊松分布【例2-8】已知某疾病发病率为0.001，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数不超过5人的概率解：设该单位患有这种疾病的人数为X ，则有X ～B (5000，0.001)，则所求概率为取λ=np =5，用泊松分布近似计算并查附表1得}5{≤X P kk k k C-=∑=5000505000999.0001.0}5{≤X P ∑=-≈505!5k ke k 616.0=●2.2.2常用离散分布3.泊松分布【实验2.1】X ～B (5000，0.001)，求P {X ≤5}；np =5,X ~P (5)，求P {X ≤5}实验准备：AB 1n =50002p =0.0013P {X ≤5}0.61594P {X ≤5} ≈0.6159近似=BINOMDIST(5, 5000,0.001,TRUE)=POISSON(5,5,TRUE)●2.2.2常用离散分布3.泊松分布【实验2.1】X ～B (5000，0.001)，求P {X ≤5}；np =5,X ~P (5)，求P {X ≤5}实验结果：近似n =5000p=0.001P (X <=5)=0.615961P (X <=5)≈0.61596●2.2.2常用离散分布3.泊松分布【实验2.2】二项分布与泊松分布分布关系 实验准备,2,1,0,!)()1(=≈---k e k np p p C np kkn kk nA B CD E F 1n =100λ=6p =0.12k B (n , p )P (λ)310.0403110.073263…………=BINOMDIST(A3, $B$1, $F$1, FALSE)= POISSON(A3, $D$1, FALSE)●2.2.2常用离散分布3.泊松分布【实验2.2】二项分布与泊松分布分布关系 实验结果：,2,1,0,!)()1(=≈---k e k np p p C np kkn k k nn =50λ = 6p = 0.1k B (n, p )P (λ)10.01140.014920.03820.044630.08330.089240.13340.133950.16740.160660.17120.160670.14670.137780.10750.103390.06840.0688100.03830.0413110.01900.0225120.00840.0113130.00340.0052140.00120.0022150.00040.0009160.00010.0003170.00000.0001180.00000.0000二项分布与泊松分布0.020.040.060.080.10.120.140.160.18系列1系列2●2.2.2常用离散分布3.泊松分布在应用中，诸如服务系统中对服务的呼叫数，产品的缺陷（如布匹上的疵点、玻璃内的气泡等）数，一定时期内出现的稀有事件（如以外事故、自然灾害等）个数，放射性物质发射出的离子数等等，都以泊松分布为其概率模型．这是因为上述例子本来就是n大p小的二项分布．以服务系统中的呼叫数为例，服务设施的用户n很大，每个用户在指定时间内使用这个设施的概率p很小，而且各用户使用情况又独立．●2.2.2常用离散分布3.泊松分布在应用中，诸如服务系统中对服务的呼叫数，产品的缺陷（如布匹上的疵点、玻璃内的气泡等）数，一定时期内出现的稀有事件（如以外事故、自然灾害等）个数，放射性物质发射出的离子数等等，都以泊松分布为其概率模型．因此，服务系统中的呼叫数应是n大p小的二项分布，由泊松定理，可以近似认为服从 =np泊松分布．上述应用表明泊松分布广泛用于社会生活的许多方面，它在运筹学、管理科学中占有突出的地位．●2.3.1连续型随机变量及其概率密度【定义2.4】如果对于随机变量X 的分布函数F (x )，存在非负函数f (x )，使得对于任意实数x 有(2.2)则称X 为连续型随机变量．其中函数f (x )称为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数．从(2.2)式可以看出，连续型随机变量的分布函数一定是连续函数，且在F (x )的导数存在的点上有(2.3)⎰∞-=x dtt f x F )()()()(x f x F ='●2.3.1连续型随机变量及其概率密度【定义2.4】如果对于随机变量X 的分布函数F (x )，存在非负函数f (x )，使得对于任意实数x 有(2.2)则称X 为连续型随机变量．其中函数f (x )称为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数． 概率密度的基本性质：(1)非负性：(2)归一性：以上两条基本性质是判别概率密度的充要条件．)(≥x f ⎰+∞∞-=1)(dx x f ⎰∞-=x dtt f x F )()(●2.3.1连续型随机变量及其概率密度．注1：对于连续型随机变量X来说，它取任一指定实数值a的概率为0，即P{X=a}=0．事实上，设X的分布函数为F(x)，∆x>0，则由{X=a}⊂{a–∆x<X≤a}得0≤P{X=a}≤P{a–∆x<X≤a}=F(a)–F(a–∆x)在上述不等式中令∆x→0，并注意到X为连续型随机变量，其分布函数F(x)是连续的，即得P{X=a}=0．这表明：概率为0的事件不一定是不可能事件；类似地，概率为1的事件不一定是必然事件．●2.3.1连续型随机变量及其概率密度．注2：由于连续型随机变量X仅取一点的概率恒为0，故在事件“a≤X≤b”中减去“X=a”或“X=b”，不影响其概率，即P{a≤X≤b}=P{a<X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b}=F(b)–F(a)⎰=b a dt t f)(这给计算带来很大的方便．●2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-9】设随机变量X 的概率密度为试求：(1)系数A ；(2)X 落在(–1/2，1/2)内的概率；(3)X 的分布函数F (x )．解:(1)由概率密度的归一性知所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1||,01||,1)(2x x x A x f ⎰∞+∞-=dx x f )(1dx x A ⎰--=112110arcsin 2x A =AA ππ=⋅=22.1π=A2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-9】设随机变量X 的概率密度为试求：(1)系数A ；(2)X 落在(–1/2，1/2)内的概率；(3)X 的分布函数F (x )．解:(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1||,01||,1)(2x x x A x f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2121X P ⎰--=2/12/12111dx x π31arcsin 22/10==x π⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1||,01||,11)(2x x x x f π●2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-9】设随机变量X 的概率密度为试求：(3)X 的分布函数F (x )．解:(3)因为 当x <-1时， 当-1≤x <1时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1||,01||,1)(2x x x A x f =)(x F ⎰∞-xdtt f )(=)(x F ;00=⎰∞-x dt ；=)(x F dt t x ⎰--12111πx t 1arcsin 1-=π;21arcsin 1+=x π●2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-9】设随机变量X 的概率密度为试求：(1)系数A ；(2)X 落在(–1/2，1/2)内的概率；(3)X 的分布函数F (x )．解:(3)因为 当x ≥1时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1||,01||,1)(2x x x A x f =)(x F ⎰∞-xdt t f )()(x F dt t ⎰--=112111π1=2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-9】设随机变量X 的概率密度为试求：(1)系数A ；(2)X 落在(–1/2，1/2)内的概率；(3)X 的分布函数F (x )．解:(3)X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1||,01||,1)(2x x x A x f ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+-<=11,21arcsin 110)(x x x x x F , 11 , π●2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-10】设随机变量X 的概率密度为现对X 进行n 次独立重复观测，以Y 表示观测值不大于0.1的次数，试求随机变量Y 的分布律．解：事件“观测值不大于0.1”，即事件{X ≤0.1}的概率由题意Y 服从B (n ，0.01)，于是Y 的分布律为⎩⎨⎧<<=其它 ,010,2)(x x x f }1.0{≤X P ⎰∞-=1.0)(dx x f ⎰=1.002xdx 01.0=nk C k Y P k n k kn ,,2,1,0,)99.0()01.0(}{ ===-●2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-11】设随机变量X 的分布为求：(1)系数A 和B ；(2)X 落在(–1，1)内的概率；(3)X 的概率密度．解：(1)由可知于是,,arctan )(+∞<<-∞+=x x B A x F ,1)(,0)(=+∞=-∞F F ⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=-⨯+ 1)2(0)2(ππB A B A π,B A 121==⇒ +∞<<-∞+=x x x F ,arctan 121)(π2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-11】设随机变量X 的分布为求：(1)系数A 和B ；(2)X 落在(–1，1)内的概率；(3)X 的概率密度．解：(2)(3),,arctan )(+∞<<-∞+=x x B A x F {}11<<-X P )1()1(--=F F ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1arctan 121π⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-)1arctan(121π21=+∞<<-∞+=x x x F ,arctan 121)(π+∞<<-∞+==x x x F x f ,)1(1)(')(2π●2.3.2常用连续分布1.均匀分布如果连续型随机变量X 具有概率密度(2.4)则称X 在区间(a ，b )上服从均匀分布，记为X ～U (a ，b )．均匀分布的分布函数为：(2.5)⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它 ,0,1)(b x a a b x f ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=b x bx a ab a x a x x F , ,1,0)(。
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y)
y,
1,
y0 0 y1
其他
因此
fY
( y)
FY'
(
y)
1 ,
2y
y0
0, 其他
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6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例：设随机变量X服从正态分布，X~N(0，1)，试求随机 变量函数Y=|X|的密度函数
解 X的密度函数为
f x 1 ex2 /2
Px
(
x)
x3e x2 0, x
,x 0
0
求随机变量 Y X 2和Y 2x 3 的概率密度
解：先求随机变量 Y X 2 的分布函数
FY (y) PY y P x2 y P y x y F x( y) F x( y)
p p y
y
(x)dx (x)dx
- x
- x
Φ (10 11) Φ (1) 1Φ (1) 1 0.84 0.16
1
P(Y=20)= P(10≤X≤12
Φ (1211) Φ (1011)
1
1
Φ (1) Φ (1) 0.68
综合得Y的分布律为 Y -5 -1 20
p 0.16 0.16 0.68
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6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例 设随机变量x的概率密度为 求随机变量Y=2X+8的概率密度
P
x
(
x)
x / 8,0 x 4 0, 其他情况
解：第一先求Y=2X+8的分布函数 FY (y)
F p (y) Y
pY y
p2x 8 y
随机变量及其分布教案
概率论与数理统计教学教案第2章 随机变量及其分布 教 学 基 本 内 容一．随机变量1. 随机变量：设E 是随机试验，样本空间为S ，如果对随机试验的每一个结果ω，都有一个实数()X ω与之对应，那么把这个定义在S 上的单值实值函数()X X ω=称为随机变量．随机变量一般用大写字母,,X Y Z ,…表示．2.随机变量的两种常见类型:离散型随机变量和连续型随机变量.二．分布函数1. 分布函数：设X 是一个随机变量，x 是任意实数，称函数{}(),F x P X x x =≤-∞<<∞为随机变量X 的分布函数，显然，()F x 是一个定义在实数域R 上，取值于[0,1]的函数．2．几何意义：在数轴上，将X 看成随机点的坐标，则分布函数()F x 表示随机点X 落在阴影部分（即X x ≤）内的概率，如下图．3．对任意的实数,,()a b c a b <，都有：{}{}{}()()P a X b P X b P X a F b F a <≤=≤-≤=-,授课序号02(,)B n p ，其中在二项分(1,)B p X 服从（0-1）分布是二项分布的特例，简记0,1,2,...，其中λ()P λ．A 在一次试验中出现的概率为(1k k n n C p →∞-.）说明：泊松定理表明，泊松分布为二项分布的极限分布，即在试验次数很大，而n np 不太大时，()G p ．）说明：几何分布描述的是试验首次成功的次数(,,H n N件不合格，从产品中不放回）超几何分布与二项分布之间的区别：超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取，因此，二项两个分布之间也有联系，当总体的容量授课序号03U a b．(,)()E λ．1,0,x e x λ-⎧->⎪⎨⎪⎩其它.（指数分布的无记忆性）设随机变量()E λ，则对于任意的正数{}{P X s t t P >+>=为连续型随机变量，若概率密度为2(,N μσ处取到最大值，并且对于同样长度（iv ）当参数σ固定时，随着μ值的变化，()f x 图形的形状不改变，位置发生左右平移，由此可见参数μ的变化能改变图形的位置，称μ为位置参数．（4）标准正态分布(0,1)X N（i ）概率密度221(),2xx e x ϕπ-=-∞<<∞（ii ）分布函数221(),.2t xx e dt x π--∞Φ=-∞<<∞⎰ （iii ）根据概率密度()x ϕ的对称性，有()1().x x Φ-=-Φ（5）定理：（标准化定理）若2(,)X N μσ，则(0,1).X Z N μσ-=（6）标准化定理的应用：设,,()x a b a b <为任意实数，则 (){}{}{}(),X x x x F x P X x P P Z μμμμσσσσ----=≤=≤=≤=Φ {}{}()().a X b b a P a X b P μμμμμσσσσσ-----<≤=<≤=Φ-Φ 6.“3σ”法则：设2(,)XN μσ，则 {33}(3)(3)2(3)10.997,P X μσμσ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≈即正态分布2(,)N μσ的随机变量以99.7%的概率落在以μ为中心、3σ为半径的区间内，落在区间以外的概率非常小，可以忽略不计，这就是“3σ”法则.三．例题讲解例1．车流中的“时间间隔”是指一辆车通过一个固定地点与下一辆车开始通过该点之间的时间长度.设X表示在大流量期间，高速公路上相邻两辆车的时间间隔，X 的概率密度描述了高速公路上的交通流量规律，其表达式为：0.15(0.5)0.15,0.5,()0,x e x f x --⎧≥⎪=⎨⎪⎩其它. 概率密度()f x 的图形如下图，求时间间隔不大于5秒的概率.例2．设随机变量X 表示桥梁的动力荷载的大小（单位:N ），其概率密度为13,02;()880,x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.求：（1）分布函数()F x ；（2）概率{1 1.5}P X ≤≤及{1}P X >.例3．某食品厂生产一种产品，规定其重量的误差不能超过3克，即随机误差X 服从（-3,3）上的均匀分布.现任取出一件产品进行称重，求误差在-1~2之间的概率.例4．设随机变量X 在（1,4）上服从均匀分布，对X 进行三次独立的观察，求至少有两次观察值大于2的概率.例5.设随机变量X 表示某餐馆从开门营业起到第一个顾客到达的等待时间（单位：min ），则X 服从指数分布，其概率密度为0.40.4,0,()0,x e x f x -⎧>⎪=⎨⎪⎩其它.求等待至多5分钟的概率以及等待3至4分钟的概率. 例6．汽车驾驶员在减速时，对信号灯做出反应所需的时间对于帮助避免追尾碰撞至关重要．有研究表明，驾驶员在行车过程中对信号灯发出制动信号的反应时间服从正态分布，其中μ=1.25秒，σ=0.46秒．求驾驶员的制动反应时间在1秒至1.75秒之间的概率？如果2秒是一个非常长的反应时间，那么实际的制动反应时间超过这个值的概率是多少？例7．设某公司制造绳索的抗断强度服从正态分布，其中μ=300千克，σ=24千克.求常数a ，使抗断强度以不小于95%的概率大于a .授课序号04数字化仓库评估规范1 范围本文件规定了数字化仓库评估的基本原则与评估指标构成及评估内容，并提供了评估指标体系的构建和评估分析方法。
第7章 随机变量及其分布-精编版
第7章 随机变量及其分布§7.1 条件概率与全概率公式1.条件概率：设A ,B 为两个随机事件，且()0P A > ，称()()()P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率.2.乘法公式：对任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()()()P AB P A P B A =.3.全概率公式：设12,,n A A A …… 是一组两两互斥的事件，12=n A A A Ω……，且()0i P A >，1,2,,i n =，则对任意的事件B ⊆Ω,有()()()1ni i i P B P A P B A ==∑. §7.2 离散型随机变量及其分布列1.随机变量：对于随机试验样本空间中的每个样本点ω，都有唯一的实数()X ω与之对应，我们称X 为随机变量，可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量.随机变量常用大写英文字母表示，例,,Z X Y .2.概率分布列：（1）定义：设离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,n x x x ，我们称X 取每一个值i x 的概率：(,1,2,,P X x p i n ===，为X 的概率分布列，简称分布列.常用表格表示：… …… …（2）性质：①2,3;i n ②12 1.n p p p ++=3.两点分布：若X 01 1p - p1分布.§7.3 离散型随机变量的数字特征1.离散型随机变量的均值（1… …… …则称则称()11221n i i n n i ii E X x p x p x p x p x p ==+++++=∑为离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.（2）性质：()()E aX b aE X b +=+.2.离散型随机变量的方差（1… …… …则称为离散型随机变量的方差，也记为()Var X 为随机变量的标准差.记为()X σ.它反映了离散型随机变量取值的离散程度.()D X 越小，取值越集中; ()D X 越大，取值越分散.（2）性质：2()().D aX b a D X +=§7.4 二项分布与超几何分布1.二项分布我们只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n X 1x 2x i x n x P 1p 2p i p n p X P X 1x 2x i x n x P 1p 2p i p n p X X 1x 2x i x n x P 1p 2p i p n p 21()(())ii i D X x E X p ==-∑X ()D X X重伯努利试验，n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为()01p p <<，用X 表示事件A 发生的次数，则A 的分布列为()(1),0,1,2,.k k n k n P X k C p p k n -==-=随机变量的具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作.2.超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件（不放回）,用X 表示抽取的n 件产品中的次品数,则X 的分布列为()(0,1,2,,)k n k M N M n NC C P X k k m C --===, 其中{}min ,m M n =,*,,,,n M N N n N M N ∈≤≤,{}max 0,m n N M =-+,{}min ,r n M =.如果随机变量X 的分布列具有上式形式,那么称随机变量X 服从超几何分布.§7.5 正态分布1.正态分布定义：若连续性随机变量的概率分布密度函数为()()222,,,02x f x x R R μσμσσπ--=∈∈>⋅，则称随机变量服从正态分布，记为记作2(,).X N μσ它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. 当0,1μσ== 时，称随机变量服从标准正态分布.2.正态曲线的特点：曲线是单峰的，它关于直线x μ= 对称；曲线在x μ=2σπ； 当x 无限增大时，曲线无限接近x 轴； 当σ较小时，峰值高，正态曲线瘦高，表示随机变量的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线矮胖；表示随机变量的分布比较分散.3.正态分布的期望、方差若2(,)XN μσ，则()2(),E x u D x σ==. 4.3σ原则 若2(,),X N μσ()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈，由此看到一次试验中，X 的取值几乎总是落在区间[]3,3μσμσ-+内，在此区间外的概率大约只有0.0027，通常认为服从正态分布的随机变量X 只取[]3,3μσμσ-+中的值，这在统计学中称为3σ原则. X X ()p n B X ,~X X X X X。
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( ) ( )
2t
xx e dt x
医用高等数学07-03-42x
O)
(xx
x( ) 1 ( )
x x 医用高等数学07-03-43X~N(0,1)
1P(X≤2.5)
2P(X>2.5)
3P(|X|<2.5)医用高等数学07-03-44X~N( ,2))1,0(~N
11p
jp1
1
ip
ijppi?p1?pi?
p? jp?1p?
j
yjy1X
Y),(jiijyYxXPp.)()(ijiijxXyYPxXPp6 , 1/6 1/3 1/2
2 . X, Y
y( , )
( , ) 0F 1),(0yxF( , ) 1F ( , ) 0F y ( , ) 0F x 固定x, 对任意的y1<y2,
固定y, 对任意的x1<x2, F(x0 , y0) = F(x0+ 0 , y0 )
F(x0 , y0) = F(x0 , y0 + 0 )
医用高等数学07-03-29(5)0 0( ) ( )
( ) ( )x x
xP x X x x p t dt
p x x x x x x x
Op(x)x
baP(a<X≤b)
F(x)=P(X≤x)
医用高等数学07-03-30X
.
X Y 0 , 1 0 , 1 , 2.(X, Y)
.,15/32
5
2
3
2
6
2
5
C
C
C
C)
00()0()0,0(XYPxPYXP,15/3/)0,1(2
6
1
3
1
1
CCCYXP,15/2/)1,1(2
i j
ijpr.v., .x y 已知联合分布律可以求出其联合分布函数
反之, 由分布函数也可求出其联合分布律
,2,1,ji,),( xx yy
iji jp
yxF)0,0(),0(jijiyxFyxF)0,(),(),(jijijiyxFyxFyYxXPr.v.,2,1,)(1
X x
Y y=f(x)Y
X Y=f(X)医用高等数学07-03-50X
X医用高等数学07-03-51X
9 10 11 12P0.2 0.3 0.4 0.1YX医用高等数学07-03-52X
1
0 1P0.2 0.3 0.5
Y=X2+1. X~U[0 1](1) Y=eX ;
xi (i=1,2,3,
)
piP(X=xi)=pi (i=1,2,3,
)
X
(distribution law)医用高等数学07-03-061 (i=1,2,3, )
20
ip11
i
i
p医用高等数学07-03-07X
X医用高等数学07-03-08X
nP X k C p q k n 0<p<1
X
n,p
X~B(n,p)医用高等数学07-03-12(two point distribution)
0 10<p<1
q=1pX p0-1医用高等数学07-03-13X0 1
P q p10
5医用高等数学07-03-140.3
y
x
x
y
y
由联合分布函数 边缘分布函数, 逆不真.r.v.(X ,Y ),
(X ,Y ) r.v.
r.v.r.v.r.v.设( X ,Y )的所有可能的取值为
则称
为二维r.v.( X ,Y ) 的联合概率分布
也简称概率分布或分布律
显然
,2,1,,),(jipyYxXPijji,2,1,),,(jiyxji,2,1,,0jipij11 1
function)XF(x)
p(x)xxxdttpxF)()()(医用高等数学07-03-28Xp(x)X(4)p(x)x(1)
(2)
(3)0
)(xp
1)(dxxp
b
adx
xpaFbFbxaP)()()()()()(xpxF
医用高等数学07-03-01医用高等数学07-03-023 7
2
1 医用高等数学07-03-03(random variable)
E
={e}
e X(e)
X(e)
X医用高等数学07-03-04医用高等数学07-03-05(probability function)
X
6
1
2
1
1
CCCYXP.0)2,1(YXP,15/6/)1,0(2
6
1
3
1
2
CCCYXP;15/1/)2,0(2
6
2
i
ppxXPi
j
iji
记作
,2,1,)(1
jppyYPj
i
ijj
记作x1xi
11p
jp1
1
ip
ijpXY( X ,Y ) 的联合分布律
y1yj1x1xi
F(x, y1) F(x, y2)
F(x1,y) F(x2, y)F (b,d) –F (b,c) –F (a,d) + F (a,c) 0
a < b, c < d–F (b,c)
–F (a,d) + F (a,c) , 0
P a X b c Y d F (b,d)a
150 1mL
1医用高等数学07-03-221mL
500mL
医用高等数学07-03-23(distribution function)
X x
F(x)=P(X x) ( <x< )
X医用高等数学07-03-240.6
0.4 2
X
X
X0 1 2P
0.16 0.48 0.36医用高等数学07-03-25(1)F(x) x2>x1F(x2)F(x1)
X
Y
( ) ( )
x
F x
医用高等数学07-03-45X~N(1.5,22)
1P(X<3.5)
2P(X< 4)
3P(X>2)
4P(|X|<3) 医用高等数学07-03-46X~N( ,2)
1P(|X| )
2P(|X| 2 )3
[a,b] X~U[a,b]医用高等数学07-03-32x
Op(x)b
aa
b
1医用高等数学07-03-33c
c+l(exponential distribution)
X
0
,0
0,
)(
x
xe
xpx>0
XX~E( )医用高等数学07-03-34X1=1000h 3
8 (1)
;(2)
;(3)
2医用高等数学07-03-15p
X医用高等数学07-03-16许多稀疏现象如1生三胞胎2某种少见病如食管癌、胃癌的发
病例数;3用显微镜观察片子上每一格子内的细菌或血细胞数4用X-线
照射一种细胞或细菌细胞发生某种变化或细菌死亡的数目等等都服从或近似服从泊松分布所以泊松分布律又称为稀疏现象律。另外
(3)F(x) x F(x+0)=F(x)
(2) 0F(x) 10
)(lim)(xFFx1)(lim)(xFFx医用高等数学07-03-2610
5
X医用高等数学07-03-27XX
0 1 2 3 4 5P0.59049 0.32805 0.07290 0.00810 0.00045 0.00001(probability density
x1x2xiP p1p2piX0 1 2P
0.5
0.9 0.6Y
1
0 2P0.6 0.1 0.15医用高等数学07-03-09X
X医用高等数学07-03-100.6
0.4 2
X医用高等数学07-03-11(binomial distribution)
X( ) ( 0,1, , )k k n k
)=10
95医用高等数学07-03-19. Xp{X=1}=p{X=2}, p{X=4}4(1) 8 ;(2) 10n Apnn nnpn>0lim ( ; , )
!k
nb k n p e
k
医用高等数学07-03-20(k=0,1,2,
)100000.000110000 51041050,1,2医用高等数学07-03-21500mL
0
,0
0,
)(2x
xce
xpxc
F(x)
P(0<X≤1)医用高等数学07-03-31(uniform distribution)
X