随机变量及其分布列知识点
随机变量及其分布列
中装有3个红球、2个白球、
中装有3个红球、2个白球、
5个黑球，它们大小形状
5个黑球，它们大小形状完
完全相同。现从10个球中
全相同。现从10个球中任
有放回的抽取3次，并做
意抽取3个。
好记录。
(1)求抽取的3个球是来自2
(1)求抽取的3个球中恰有2
种不同颜色球的概率；
个球是黑色的概率；
所以抽取的 5 辆汽车中恰有 2 辆是蓝色汽车的概率 P＝C25
3312 135
＝
.
512
4 4
返回
(2)在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问
题， 监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部
门作进一步抽样检测，并规定：若抽到的是黄色汽车，则将
其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝
，
125
8
3 2 3
P(X＝3)＝C3 5 ＝
，
125
∴X的分布列为
X
0
1
2
27
54
36
P
125
125
125
27
54
36
8
6
∴E(X)＝0×
＋1×
＋2×
＋3×
＝ .
125
125
125
125 5
3
8
125
返回
2
法二：∵随机变量X～B3，5，
k 2 k 3 3－k
3n－1 1
3n
＋…＋(n－1)×4
分布列知识点总结
分布列知识点总结一、概念介绍1.1 分布列的定义分布列是离散随机变量的取值和相应概率的列。
对于离散型随机变量X，其所有可能取值x1，x2，……，xn及其上对应的概率P(X=x1)，P(X=x2)，……，P(X=xn)就构成了X的分布列。
1.2 分布列的性质（1）分布列的概率和为1对于任意一个随机变量X，其分布列中所有可能取值的概率之和为1，即∑P(X=xi)=1。
（2）随机变量的取值是有限个或可列无限个分布列中的随机变量的取值只能是有限个或可列无限个，不可能是连续的。
二、分布列的应用2.1 用分布列计算期望和方差分布列是计算离散随机变量的期望和方差的有力工具。
根据期望和方差的公式，可以直接利用分布列中的取值和概率来计算期望和方差。
2.2 利用分布列进行概率计算通过分布列，可以计算得到随机变量取某个值的概率，或者计算随机变量在某个范围内取值的概率等。
这对于一些概率问题的求解非常有用。
三、分布列的例子3.1 二项分布二项分布是一种常见的离散型概率分布，用于描述在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数。
设X为二项分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 …… nP C(n,0) * p^0 * (1-p)^n C(n,1) * p^1 * (1-p)^(n-1) C(n,2) * p^2 * (1-p)^(n-2) …… C(n,n) * p^n * (1-p)^0其中，p为成功的概率，n为试验的次数。
3.2 泊松分布泊松分布描述了单位时间内随机事件发生的次数。
设X为泊松分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 3 4 ……P e^(-λ) * λ^0 / 0! e^(-λ) * λ^1 / 1! e^(-λ) * λ^2 / 2! e^(-λ) * λ^3 / 3! e^(-λ) * λ^4 / 4! ……其中，λ为单位时间内随机事件发生的平均次数。
四、分布列与其他概率分布的关系4.1 分布列与连续型概率分布分布列适用于离散型随机变量，而连续型随机变量则需要用概率密度函数进行描述。
高考数学总复习考点知识专题讲解11 离散型随机变量及其分布列
高考数学总复习考点知识专题讲解 专题11离散型随机变量及其分布列知识点一 随机变量的概念、表示及特征1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X (ω)与之对应，我们称X 为随机变量．2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X ，Y ，Z ；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x ，y ，z .3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：(1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是明确的． 知识点二 离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量． 判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果； (2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．【例1】（（2023•丰台区期末）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为() ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数1X ；②一个沿直线2y x 进行随机运动的质点离坐标原点的距离X；③某同学射击3次，命中的次数3X；④某电子元件的寿2命X；4A．①②B．③④C．①③D．②④【例2】（2023•从化区期中）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是()A．25B．10C．9D．5知识点三离散型随机变量的分布列及其性质1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，x n，我们称X取每一个值x i的概率P(X＝x i)＝p i，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．2．分布列的性质(1)p i≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋p n＝1.分布列的性质及其应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．【例3】（2023•辽宁期末）随机变量X的分布列如下表所示，则(2)(…)P XA ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4【例4】（2022•朝阳区开学）设随机变量X 的分布列为()(1P X k k k λ===，2，3，4)，则λ的值为() A ．10B ．110C ．10-D ．110-【例5】（2023•珠海期末）已知某离散型随机变量ξ的分布列为：则(q =)A ．13和1-B ．13C ．12D ．1-【例6】（2022•多选•天津模拟）设随机变量ξ的分布列为()(15kP ak k ξ===，2，3，4，5)，则()A ．115a =B ．141()255P ξ<<= C ．112()10215P ξ<<=D ．23()510P ξ=…【例7】（2023•湖北模拟）设随机变量ξ的分布列如表：则下列正确的是()A ．当{}n a 为等差数列时，5615a a += B ．数列{}n a 的通项公式可以为109(1)n a n n =+C ．当数列{}n a 满足1(1,2,9)2n na n ==时，10912a =D ．当数列{}n a 满足2()(1k P k k a k ξ==…，2，10)时，1110(1)n a n n =+知识点四 两点分布如果P (A )＝p ，则P (A )＝1－p ，那么X 的分布列为我们称X 服从两点分布或0－1【例8】（多选）若离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则下列说法错误的是()A ．常数c 的值为23或13B ．常数c 的值为23C ．1(0)3P X ==D ．2(0)3P X ==【例9】（2023•阜南县期末）从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【例10】（2023•崂山区期末）某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是2 3，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列．（3）求这位挑战者闯关成功的概率．同步训练1.（2022•多选•临朐县开学）下列X是离散型随机变量的是()A．某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数XB ．一天内的温度为XC ．某网页一天内被点击的次数XD ．射击运动员对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X 表示该运动员在一次射击中的得分2.（2023•上蔡县校级月考）设随机变量ξ的概率分布列如下表：则(|2|1)(P ξ-==) A ．712B ．12C ．512D ．163.（2023•周至县期末）设随机变量X 的分布列为()(1,2,3,4,5,6)2kcP X k k ===，其中c 为常数，则(2)P X …的值为() A ．34B ．1621C ．6364D ．64634.（2023•多选•宝安区期中）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a 的值为()A ．12-B ．12C ．14D ．14-5.（2023•和平区校级期末）设随机变量与的分布列如下：则下列正确的是()A ．当{}n a 为等差数列时，5615a a +=B ．当数列{}n a 满足1(12n na n ==，2，⋯，9)时，10912a = C ．数列{}n a 的通项公式可以为109(1)n a n n =+D ．当数列{}n a 满足2()(1k P k k a k ξ==…，2，⋯，10)时，1110(1)n a n n =+6.（2023•郫都区模拟）甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．。
随机变量及其分布列.几类典型的随机分布
随机变量及其分布列.几类典型的随机分布1． 离散型随机变量及其分布列 ⑴离散型随机变量如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示．如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量．⑵离散型随机变量的分布列将离散型随机变量X 所有可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,,)i n =列表表示：X X 的分布列．2．几类典型的随机分布 ⑴两点分布如果随机变量X其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布．两点分布又称01-以这种分布又称为伯努利分布． ⑵超几何分布一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn NP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． ⑶二项分布1．独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)kk n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 2．二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =．于是得到X 的分布列由式001110()C C C C n n n kk n k nn n n n n q p p qp qp q p q --+=++++各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布， 记作~(,)X B n p ．二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑷正态分布1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()2()x f x μσ--=，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布．⑶重要结论：①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．⑷若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特别的，2~(01)N ξμσ-，，称22()t x x dt φ-=⎰为标准正态分布函数． ()()x P x μξφσ-<=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．3．离散型随机变量的期望与方差 1．离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则1122()n n E x x p x p x p =+++，叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）．离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 2．离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X 的方差．离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．()D X 叫做离散型随机变量X 的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．3．X 为随机变量，a b ，为常数，则2()()()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=，； 4． 典型分布的期望与方差：⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．⑵二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑶超几何分布：若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布， 则()nME X N=，2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-．4．事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件． 如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．5．条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =（或D AB =）．正态曲线（正态随机变量的概率密度曲线）【例1】 下列函数是正态分布密度函数的是（ ）A ．2()2()2x r f x eσσ-=π B ．222π()x f x -=C ．2(1)4()22x f x e -=πD ．22()2x f x e =π【例2】 若正态分布密度函数2(1)2()()2x f x x --=∈R π，下列判断正确的是（ ）A ．有最大值，也有最小值B ．有最大值，但没最小值C ．有最大值，但没最大值D ．无最大值和最小值【例3】 对于标准正态分布()01N ，的概率密度函数()222πx f x -=，下列说法不正确的是（ ）A ．()f x 为偶函数B ．()f x 2πC ．()f x 在0x >时是单调减函数，在0x ≤时是单调增函数D ．()f x 关于1x =对称典例分析【例4】 设ξ的概率密度函数为2(1)2()x f x --=，则下列结论错误的是（ ）A ．(1)(1)P P ξξ<=>B ．(11)(11)P P ξξ-=-<<≤≤C ．()f x 的渐近线是0x =D ．1~(01)N ηξ=-，【例5】 设2~()X N μσ，，且总体密度曲线的函数表达式为：2214()x x f x -+-=，x ∈R ．⑴求μσ，；⑵求(|1|P x -及(11P x -<+的值．【例6】 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为2(80)200()x f x --=，则下列命题中不正确的是（ ）A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学标准差为10正态分布的性质及概率计算【例7】 设随机变量ξ服从正态分布(01)N ，，0a >，则下列结论正确的个数是____．⑴(||)(||)(||)P a P a P a ξξξ<=<+=⑵(||)2()1P a P a ξξ<=<- ⑶(||)12()P a P a ξξ<=-< ⑷(||)1(||)P a P a ξξ<=->【例8】 已知随机变量X 服从正态分布2(3)N a ，，则(3)P X <=（ ） A ．15B ．14C ．13D ．12【例9】 在某项测量中，测量结果X 服从正态分布()()210N σσ>，，若X 在()01，内取值的概率为0.4，则X 在()02，内取值的概率为 ．【例10】 已知随机变量X 服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P X =≤，则(0)P X =≤（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84【例11】 已知2(1)XN σ-，，若(31)0.4P X -=≤≤-，则(31)P X -=≤≤（ ）A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．无法计算【例12】 设随机变量ξ服从正态分布(29)N ，，若(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，则_______c =．【例13】 设~(01)N ξ，，且(||)(010)P b a a b ξ<=<<>，，则()P b ξ≥的值是_______（用a 表示）．【例14】 正态变量2~(1)X N σ，，c为常数，c >，若(2)(23)0.4P c X c P c X c <<=<<=，求(0.5)P X ≤的值．【例15】 某种零件的尺寸服从正态分布(04)N ，，则不属于区间(44)-，这个尺寸范围的零件约占总数的 ．【例16】 某校高中二年级期末考试的物理成绩ξ服从正态分布2(7010)N ，． ⑴若参加考试的学生有100人，学生甲得分为80分，求学生甲的物理成绩排名；⑵若及格（60分及其以上）的学生有101人，求第20名的物理成绩． 已知标准正态分布表(0.97)0.833φ=．【例17】 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布(70100)N ，．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名．⑴试问此次参赛学生总数约为多少人？⑵若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？附：标准正态分布表(1.30)0.9032(1.31)0.9049(1.32)0.9066φφφ===，，．正态分布的数学期望及方差【例18】 如果随机变量2~()1N E D ξμσξξ==，，，求(11)P ξ-<<的值．正态分布的3σ原则ξ，，要使灯【例19】灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ（单位：h），已知2~(100030)N泡的平均寿命为1000h的概率为99.7%，则灯泡的最低使用寿命应控制在_____小时以上．【例20】一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？【例21】某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是______．杂题（拓展相关：概率密度，分布函数及其他）【例22】 已知连续型随机变量ξ的概率密度函数01()1202x f x x a x x ⎧⎪=-<⎨⎪⎩≤≤≥，⑴求常数a 的值；⑵求3(1)2P ξ<<．【例23】 已知连续型随机变量ξ的概率密度函数201()1202x f x ax x x ⎧⎪=<⎨⎪⎩≤≤≥，求a 的值及3(1)2P ξ<<．【例24】 设随机变量X 具有概率密度30()00x ke x f x x -⎧=⎨<⎩≥，求k 的值及(0.1)P X >．【例25】 美军轰炸机向巴格达某铁路控制枢纽投弹，炸弹落弹点与铁路控制枢纽的距离X 的密度函数为100||||100()100000||100x x f x x -⎧⎪=⎨⎪>⎩≤，若炸弹落在目标40米以内时，将导致该铁路枢纽破坏，已知投弹3颗，求巴格达铁路控制枢纽被破坏的概率．【例26】 以()F x 表示标准正态总体在区间(),x -∞内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则概率()P ξμσ-<等于（ ）A ．()()F F μσμσ+--B ．()()11F F --C ．1F μσ-⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()2F μσ+【例27】 某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位为分）服从正态分布()250,10N ；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布()260,4N⑴若只有70分钟可用，问应走哪条路线？⑵若只有65分钟可用，又应走哪条路线？。
离散型随机变量及其分布列知识点
离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量是指在有限个或无限个取值中，只能取其中一个数值的随机变量。
离散型随机变量可以用分布列来描述其概率分布特征。
离散型随机变量的概率分布列概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的表格，通常用符号P 表示。
其一般形式如下：P(X=x1)=p1P(X=x2)=p2P(X=x3)=p3…P(X=xn)=pn其中，Xi表示随机变量X的取值，pi表示随机变量X取值为Xi的概率。
离散型随机变量的特点1. 离散型随机变量只取有限或无限个取值中的一个，变化不连续。
2. 取值之间具有间隔或间距。
3. 每个取值对应一个概率，概率分布可用概率分布列来体现。
4. 概率之和为1。
离散型随机变量的常见分布1. 0-1分布0-1分布是指当进行一次伯努利试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=0)=1-pP(X=1)=p2. 二项分布二项分布是进行n次伯努利试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p时，恰好出现k次事件发生的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)为从n中选出k个的组合数。
3. 泊松分布泊松分布是指在某个时间段内，某一事件发生的次数符合泊松定理的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=λ^ke^(-λ)/k!其中，λ为这段时间内事件的平均发生次数。
总结离散型随机变量及其分布列是概率论中的重要基础概念之一，具有广泛的应用。
掌握离散型随机变量及其分布列的知识点对于深入理解概率论及其实际应用有重要意义。
随机变量及其分布考点总结
第二章 随机变量及其分布 复习一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.3、分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x xξ取每一个值),2,1( =i x 的概率p x P ==)(，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.1=≥i p ； ②121=++++ i p p p .注意：若随机变量可以取某一区间的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 典型例题：1、随机变量ξ的分布列为(),1,2,3(1)cP k k k k ξ===+……，则P(13)____ξ≤≤=2、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为17，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用ξ表示取球的次数。
（1）求ξ的分布列（2）求甲取到白球的的概率3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X 的分布列。
4已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率．k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828(参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)二、几种常见概率1、条件概率与事件的独立性（1）B|A 与AB 的区别：__________________（2）P(B|A)的计算公式_____________,注意分子分母事件的性质相同 （3）P(AB)的计算公式_____________注意三点：前提，目标，一般情况___________________ （4）P （A+B ）的计算公式__________注意三点：前提，目标，一般情况____________________ 典型例题：1、市场上供应的灯泡，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率80%，则从市场上买到一个是甲厂产的合格品的概率是多少？2、把一副扑克52随即均分给钱四家，A={家得到六章草花}，B={家得到3草花}，计算P(B|A)，P(AB)3、从混有5假钞的20百元钞票中任取两，将其中1在验钞机上检验发现是假钞，求两都是假钞的概率。
2022年人教A版高中数学选择性必修第三册第七章随机变量及其分布列 章末知识梳理
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
事实上，对于具体问题，若能设出 n 个事件 Ai(i＝1,2，…，n)，使之 满足AA1iA＋j＝A2∅＋…＋An＝Ω，(任意两个事件互斥，i，j＝1,2，…，n，i≠j)．(1) 就可得 B＝BΩ＝BA1＋BA2＋…＋BAn．(2)这样就便于应用概率的加法公 式和乘法公式．
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
③二项分布与超几何分布的区别：有放回抽样，每次抽取时的总体 没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复 试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样，取出一个则总体中就 少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模 型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回 抽样还是不放回抽样．
i＝1
i＝1
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
P(Ai|B)＝PAPiPBB |Ai
＝
PAiPB|Ai
k
，i＝1,2，…，n
PAkPB|Ak
i＝1
3．独立性与条件概率的关系：当 P(B)＞0 且 P(AB)＝P(A)P(B)时，
有 P(A|B)＝PPABB＝PAPPBB＝P(A)
率公式求解．
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
[解析] 解法一：记“至少出现 2 枚正面朝上”为事件 A，“恰好出 现 3 枚正面朝上”为事件 B，所求概率为 P(B|A)，事件 A 包含的基本事 件的个数为 n(A)＝C52＋C53＋C54＋C55＝26，
▲随机变量及分布知识点
随机变量及分布知识点(一)条件概率1、条件概率：事件B 在事件A 已经发生的情况下，发生的概率称为B 在A 条件下的条件概率，记为|B A2、条件概率的计算方法：（1）按照条件概率的计算公式：()()()|P AB P B A P A =（2）考虑事件A 发生后，题目产生了如何的变化，并写出事件B 在这种情况下的概率例如：5张奖券中有一张有奖，甲，乙，丙三人先后抽取，且抽完后不放回，已知甲没有中奖，则乙中奖的概率：按照（1）的方法：设事件A 为“甲没中奖”，事件B 为“乙中奖”，则所求事件为|B A ，按照公式，分别计算()(),P AB P A ，利用古典概型可得：()25415P AB A ==，()45P A =，所以()()()1|4P AB P B A P A == 按照（2）的方法：考虑甲已经抽完了，且没有中奖，此时还有4张奖券，1张有奖。
那么轮到乙抽时，乙抽中的概率即为143、含条件概率的乘法公式：设事件,A B ，则,A B 同时发生的概率()()()|P AB P A P B A =⋅ ，此时()|P B A 通常用方案（2）进行计算4、处理此类问题要注意以下几点：（1）要分析好几个事件间的先后顺序，以及先发生的事件对后面事件的概率产生如何的影响（即后面的事件算的是条件概率）（2）根据随机变量的不同取值，事件发生的过程会有所不同，要注意区别（3）若随机变量取到某个值时，情况较为复杂，不利于正面分析，则可以考虑先求出其它取值时的概率，然后用间接法解决。
(二)事件的相互独立性1、互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 2、对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=- 3、互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么)(21n A A A P ⋅⋅⋅++＝)()()(21n A P A P A P ⋅⋅⋅++ 4、相互独立事件的定义：设B A ,为两个事件，如果)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与事件B 相互独立（mutually in de p e n de nt ) . 事件A （或B ）是否发生对事件B （或A 若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 5、相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 6、对于非独立事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系：)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+（三）离散型随机变量分布列1、随机变量：对于一项随机试验，会有多个可能产生的试验结果，则通过确定一个对应关系，使得每一个试验结果与一个确定的数相对应，在这种对应关系下，数字随着每次试验结果的变化而变化，将这种变化用一个变量进行表示，称这个变量为随机变量（1）事件的量化：将试验中的每个事件用一个数来进行表示，从而用“数”即可表示事件。
(完整版)随机变量及其分布列概念公式总结
随机变量及其分布总结1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，，，… 表示．ξη2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为，则称表()i i P x p ξ==ξx 1x 2…x i …PP 1P 2…P i…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：（1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1．5.求离散型随机变量的概率分布的步骤:ξ（1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(=x i )=p i ξ（36.两点分布列:ξ01P1p -p7超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k ｝发生的概率为,其中(),0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k m C --=== ，且．称分布列min{,}m M n =,,,,n N M N n M N N *≤≤∈X 01…mP0n M N Mn NC C C -11n M N Mn NC C C --…m n m M N Mn NC C C --为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是，（k ＝0,1,2,…，n ，）．kn k k n n q p C k P -==)(ξp q -=1于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nPnn qp C 00111-n n qp C …kn k k n qp C -…qp C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。
随机变量及其分布列
一、离散型随机变量的函数的分布
设离散型随机变量X的概率分布为：
X
x11 x22 x33 ….xkk….
概率 p11 p22 p33 ….pkk….
概率
p11
p22
…. pkk
….
若有xii≠xjj而f(xii)=f(xjj)(i ≠ j)，则应把那些相等的值分别合并 起来，并根据概率的加法公式把对应的概率相加，就可得Y=f（X）的概
率分布。
1、 型随机变量的函数的分布 设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)，y=g(x)是一连续函 数，则Y=g(X)也是连续型随机变量。求Y的概率密度函数有两中方法。
§4 连续型随机变量 1 定义
若对于r.v.X，存在一定义在R上的非负函数f(x)，使对aR，满足：
则称X为连续型随机变量，简记：c.r.v.X；其中函数f(x)称为X的概率密 度函数（probability density function,简记为p.d.f.），简称概率密度。 由定义易知，概率密度具有下列性质： ：
（1） 公式法 设X为连续型随机变量，其概率密度函数为fxx(x)，又 设y=g(x)处处可导，且严格单调，则Y=g(X)也是以个连续型随机变量， 它的概率密度函数为：
（2）分布函数法 根据随机变量X的概率密度函数fXX(x)寻找随机变量 Y=g(X)的概率密度函数fYY(y)，关键在于把Y=g(X)的分布函数在y的函数 值FYY(y)转化为X的分布函数在g--11(y)处的值FXX[g--11(y)]，这就建立了分布 函数之间的关系，然后利用分布函数的定义以及分布函数与密度函数的 关系，通过对y求导可得到Y的概率分钟，并且各分机是否占线相互独
随机变量及其分布列知识点
随机变量及其分布列知识点随机变量是描述随机实验结果的数值，它可以是离散的（只能取一些离散的数值）或连续的（可以取所有的数值）。
随机变量可以用来描述实验结果的各种特征，如数量、位置、时间等。
离散随机变量的分布列是一个表格，列出了随机变量取各个值的概率。
概率可以通过实验或理论分析得出。
在计算机科学和统计学中，分布列通常被表示为一个数组或字典。
离散随机变量的分布列有以下几个重要性质：1. 概率和为1：所有随机变量取值的概率之和等于1，即P(X=x1) + P(X=x2) + ... + P(X=xn) = 12.非负性：概率永远不会为负数，即P(X=x)>=0，对于所有的x。
3.互斥性：不同取值的随机变量概率互不重叠，即P(X=x1)与P(X=x2)不重叠，对于所有的x1和x24.互斥性：如果随机变量取值是离散的，那么分布列是一个离散函数，概率只在取值点有定义。
如果随机变量是连续的，那么分布列是一个连续函数，概率在区间上有定义。
离散随机变量的分布列可以用于计算各种统计量，如期望值、方差、标准差等。
期望值是随机变量取值的加权平均，方差是随机变量取值偏离平均值的程度。
标准差是方差的平方根，用来度量随机变量的离散程度。
在实际应用中，离散随机变量的分布列可以用来描述概率分布、事件的发生概率等。
它可以用来解决各种问题，如生活中的投资决策、经济模型的拟合、产品质量控制等。
例如，一个骰子的随机变量可以描述它可能的取值为1、2、3、4、5或6，对应的分布列是[1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6]。
这个分布列可以用来计算骰子摇出特定点数的概率，以及求得骰子取值的期望值和方差。
另一个例子是二项分布，它描述了在一系列独立实验中成功次数的概率分布。
二项分布的随机变量是一个离散随机变量，它的分布列可以用来计算成功次数的概率和期望值。
连续随机变量的分布列被称为概率密度函数。
概率密度函数描述了随机变量取值的概率密度，而不是概率。
随机变量及其分布列概念公式总结
随机变量及其分布总结1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示．2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：（1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1． 5.求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤: （1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(ξ=x i )=p i （3）画出表格6.两点分布列:7超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n kM NMnNC C P X k k m C --===,其中min{,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 01 … k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n n称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。
随机变量及其分布列
随机变量及其分布列.几类典型的随机分布一、离散型随机变量及其分布列随机变量是指在试验中可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的。
离散型随机变量是指所有可能的取值都能一一列举出来的随机变量。
离散型随机变量常用大写字母X,Y表示。
离散型随机变量的分布列是将所有可能的取值与对应的概率列出的表格。
二、几类典型的随机分布1.两点分布二点分布是指随机变量X的分布列为X:1，P:pq，其中p 为0~1之间的参数，q为1-p。
伯努利试验只有两种可能结果的随机试验，因此又称为伯努利分布。
2.超几何分布超几何分布是指有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件，这n件中含有这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为C(n,m)C(M,m)/C(N,n)。
超几何分布只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X取不同值时的概率P(X=m)，从而列出X的分布列。
3.二项分布二项分布是指在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X服从二项分布，事件A不发生的概率为q=1-p，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=C(n,k)p^kq^(n-k)。
其中p为事件A发生的概率，k为事件A发生的次数，n为试验的总次数。
首先，将文章中的格式错误和明显有问题的段落删除。
然后对每段话进行小幅度改写。
对于二项分布，当一个试验重复进行n次，每次成功的概率为p，失败的概率为q=1-p时，事件发生k次的概率可以用公式P(n,k) = n。
/ (k!(n-k)!) * p^k * q^(n-k)来计算。
这个公式可以展开成X的分布列，其中X表示事件发生的次数。
因为每个值都可以对应到表中的某个项，所以我们称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X~B(n,p)。
二项分布的均值和方差可以用公式E(X) = np和D(X) = npq(q=1-p)来计算。
正态分布是一种连续型随机变量的概率分布。
高中数学随机变量分布列知识点
第二章随机变量及其分布内容提要：一、随机变量的定义设是一个随机试验，其样本空间为，若对每一个样本点，都有唯一确定的实数与之对应，则称上的实值函数是一个随机变量（简记为）。
二、分布函数的概念和性质1．分布函数的定义设是随机变量，称定义在上的实值函数为随机变量的分布函数。
2．分布函数的性质(1) ，（2）单调不减性：，（3）（4）右连续性：。
注：上述4个性质是函数是某一随机变量的分布函数的充要条件。
在不同的教科书上，分布函数的定义可能有所不同，例如，其性质也会有所不同。
（5）注：该性质是分布函数对随机变量的统计规律的描述。
三、离散型随机变量1．离散型随机变量的定义若随机变量的全部可能的取值至多有可列个，则称随机变量是离散型随机变量。
2．离散型随机变量的分布律（1）定义：离散型随机变量的全部可能的取值以及取每个值时的概率值，称为离散型随机变量的分布律，表示为或用表格表示：或记为~（2）性质：，注：该性质是是某一离散型随机变量的分布律的充要条件。
其中。
注：常用分布律描述离散型随机变量的统计规律。
3．离散型随机变量的分布函数=，它是右连续的阶梯状函数。
4．常见的离散型分布（1）两点分布（0—1分布）：其分布律为即（2）二项分布（ⅰ）二项分布的来源—重伯努利试验：设是一个随机试验，只有两个可能的结果及，，将独立重复地进行次，则称这一串重复的独立试验为重伯努利试验。
（ⅱ）二项分布的定义设表示在重伯努利试验中事件发生的次数，则随机变量的分布律为，，称随机变量服从参数为的二项分布，记作。
注：即为两点分布。
（3）泊松分布：若随机变量的分布律为，，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记作（或。
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n 次独立重复试验的公式:
一般地, 在n次独立重复试验中, 设事件A发生的次数 为X , 在每次试验中事件A发生的概率为p, 那么在n次 独立重复试验中, 事件A恰好发生k次的概率为
k k k k n k P ( X k ) Cn p (1 p)n k C n p q , k 0,1,2,..., n. (其中q 1 p)
即A、B相互独立 P ( AB ) P ( A) P ( B )
若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立: ② A 与 B； ③ A 与 B . ① A 与 B； 注： (1)互斥事件: 指同一次试验中的两个事件不可能同时发生.
(2)相互独立事件: 指在不同试验下的两个事件互不影响.
离散型随机变量的分布列
设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1 , x2 , x3 , , xi ξ取每一个值 xi (i 1, 2, ) 的概率P(x xi ) pi
则称表格
ξ p
x1 p1
x2 p2
… …
xi pi
… …
为随机变量x的概率分布列，简称x的分布列. 注:离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：
有 20 件产品， 其中 5 件是次品， 其余都是合格品，现不放回地从中依次 抽 2 件，求： (1)第一次抽到次品的概率； (2)第一次和第二次都抽到次品的概 率； (3)在第一次抽到次品的条件下，第 二次抽到次品的概率．
【规范解答】 设第一次抽到次品为事件 A，第二次抽 到次品为事件 B. 5 1 (1)第一次抽到次品的概率 P(A)＝20＝4. 1 (2)P(AB)＝P(A)P(B)＝19.
……
超几何分布列. 像上面这样的分布列称为
注:超几何分布的模型是不放回抽样
n次独立重复试验: 一般地,在相同条件下，重复做的n次试验称为 n次独立重复试验.
注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征， 第一：每次试验是在同样条件下进行; 第二：各次试验中的事件是相互独立的; 第三:每次试验都只有两种结果,即事件要么发生, 要么不发生.
(1) pi ≥ 0, i 1， 2， 3，
(2) p1 p2 p3
1
一、两点分布列
如果随机变量ξ的分布列为：
ξ P
1 p
0 1-p
这样的分布列称为两点分布列(又称0-1分布),称随机变 量ξ服从两点分布,而称P(ξ=1) =p为成功概率.
二、超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有 X k发生的概率为： X件次品数，则事件
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度 的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程 度越小，即越集中于均值。
易证离散型随机变量的方差满足以下性质：
性质1：x 与ax b期望与方差的关系
性质2：
（1）若x ~两点分布
（2）若x~B(n,P） （3）若x～几何分布
求相互独立事件的概率
(1)若 A， B 互斥， 则 P(A∪B)＝P(A) ＋P(B)，反之不成立． (2)若 A，B 相互独立，则 P(AB)＝ P(A)P(B)，反之成立．
设对某目标进行三次相互独立 的射击，各次的命中率分别为 0.2、0.6、 0.3，试求： (1)在三次射击中恰有一次命中的概 率； (2)在三次射击中至少有一次命中的 概率．
k n k CM CN M P( X k ) n CN
k=0,1,2, …… , m
则随机变量X的概率分布列如下： X 0 1
M , n, 其中m min 且n N , M N , n, M , N N *
m
m n m CM CN M n CN
……
P
0 n 0 1 n 1 CM CN C C M M N M n n CN CN
注:n 为重复试验的次数；p是在1次试验中某事件A发生的 概率；k是在n次独立试验中事件A发生的次数.
三、二项分布 在一次试验中某事件发 生的概率为p, 那么在n 次独立重复试验中这个 事件恰好发生 k次的概率为 k k n k P ( X k ) C n p (1 p) ，这样的随机变量 X服从 二项分布, 记作X ~ B( n, p)
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布x (1 p)
（即n=1的二项分布）
2．一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中 取 n 个球，记下红球的个数 x . M ⑴如果是有放回地取，则 x B( n, ) N ⑵如果是不放回地取, 则 x 服从超几何分布.
条件概率：
定义：一般地 , 设 A,B 为两个事件 , 且 P( A) 0 , 称 P ( AB ) 为在事件 A 发生的条件下, 事件 B P ( B | A) P ( A) 发生的条件概率 .
A AB B
条件概率
PAB (1)P(B|A)＝ ； PA nAB (2)P(B|A) ＝ . 在古典概型下， nA n(AB)指事件 A 与事件 B 同时发生的基本 事件个数；n(A)是指事件 A 发生的基本 事件个数．
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np.
结论3:若随机变量x服从几何分布，则E x=1/p
离散型随机变量取值的方差和标准差: 一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为： x x2 x1 · · · xi · · · xn p1 p2 P · · · pi · · · pn
则称 2 2 2 Dx ( x1 Ex ) p1 ( x2 Ex ) p2 ... ( xn Ex ) pn 为随机变量x的方差. 称x＝ Dx 为随机变量x的标准差.
2 2
2
上述计算结果可用下表和图来表示：
区间 , 2 , 2 取值概率
0.6826
0.9544
3 , 3
0.6826
0.9974
0.9544
0.9974
已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(0， σ )， 若 P(ξ＞2)＝0.023， 则 P(－2≤ξ≤2) ＝( ) A．0.447 C．0.954 B．0.628 D．0.977
于是得到随机变量X的概率分布如下： X p 0 1 … k … n
n n 0 Cn pq 0 0 n 1 1 n 1 Cn p q Cn pq … k k n k Cn pq …
k k n k 注 :由于C n p q 恰好是二项展开式 (q p)n中的第k 1 项( k 0,1,2,..., n).所以称这样的随机变量 X服从二项分布.
2Hale Waihona Puke 数学期望的定义:一般地，随机变量ξ的概率分布列为
x1 x2 xi xn pn pi P p1 p2 则称 Ex x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn 为x 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随
x
机变量取值的平均水平.
根据定义可推出下面三个结论: 结论1：若 ax b, 则 E aEx b ;
(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率 1 1 4 为 P(B|A)＝19÷4＝19.
5 个乒乓球，其中 3 个新的，2 个旧 的，每次取一个，不放回地取两次，求 在第一次取到新球的情况下，第二次取 到新球的概率．
相互独立事件的定义:
设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发 生的概率没有影响(即 P ( AB) P ( A) P ( B) ), 则称 事件A与事件B相互独立.
k n k CM CN M P (x k ) (k 0,1, 2, n CN
, m) (其中 m min( M , n)
四、正态分布
若x ~ N（， ） , 则Ex , Dx ,x
2 2
正态曲线：f x
1 2
e
x