2014年北京朝阳高考二模数学(文)

2014年北京朝阳高考二模数学（文）

一、选择题（共8小题；共40分）

1. 若全集U=a,b,c,d，A=a,b，B=c，则集合d等于______

A. ∁U A∪B

B. A∪B

C. A∩B

D. ∁U A∩B

2. 下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞上单调递增的函数为______

A. y=sin x

B. y=ln x

C. y=x3

D. y=2x

3. 已知抛物线x2=2y，则它的焦点坐标是______

A. 1

4,0 B. 0,1

2

C. 0,1

4

D. 1

2

,0

4. 执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值是______

A. 2

B. 5

C. 11

D. 23

5. 由直线x−y+1=0，x+y−5=0和x−1=0所围成的三角形区域（包括边界），用不等式

组可表示为______

A. x−y+1≤0,

x+y−5≤0,

x≥1

B.

x−y+1≥0,

x+y−5≤0,

x≥1

C. x−y+1≥0,

x+y−5≥0,

x≤1

D.

x−y+1≤0,

x+y−5≤0,

x≤1

6. 在区间−π,π上随机取一个实数x，则事件：“ cos x≥0”的概率为______

A. 1

4B. 3

4

C. 2

3

D. 1

2

7. 设等差数列a n的公差为d，前n项和为S n．若a1=d=1，则S n+8

a n

的最小值为______

A. 10

B. 9

2C. 7

2

D. 1

2

+22

8. 已知平面上点P∈x,y x−x02+y−y02=16，其中x02+y02=4，当x0，y0变化时，

则满足条件的点P在平面上所组成图形的面积是______

A. 4π

B. 16π

C. 32π

D. 36π

二、填空题（共6小题；共30分）

9. 计算25

43

2= ____.

10. 已知两点A1,1，B−1,2，若BC=1

2

BA，则C点的坐标是______．

11. 圆心在x轴上，半径长是4，且与直线x=5相切的圆的方程是______．

12. 由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是______；表面积是______．

13. 设一列匀速行驶的火车，通过长860 m的隧道时，整个车身都在隧道里的时间是22 s．该列车

以同样的速度穿过长790 m的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时33 s，则这列火车的长度为______ m．

14. 在如图所示的棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的

三角形中，面积最大的值是______；截得的平面图形中，面积最大的值是______．

三、解答题（共6小题；共78分）

15. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a=23，A=π

3

．

（1）若b=22，求角C的大小；

（2）若c=2，求边b的长．

16. 某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学

生参加社区服务的数据，按时间段75,80，80,85，85,90，90,95，95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．

（1）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；

（2）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．

17. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD．

（1）若E，F分别为PC，BD中点，求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：PA⊥CD；

（3）若PA=PD=2

2

AD，求证：平面PAB⊥平面PCD．

18. 已知函数f x=a⋅e x

x

（a∈R，a≠0）．

（1）当a=1时，求曲线y=f x在点1,f1处切线的方程；

（2）求函数f x的单调区间；

（3）当x∈0,+∞时，f x≥1恒成立，求a的取值范围．

19. 已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为1

2

，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l:mx+y+1=0与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使OA+OB= OA−OB成立?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

20. 已知函数f x对任意x,y∈R都满足f x+y=f x+f y+1，且f1

2

=0，数列a n满足：a n=f n，n∈N∗．

（1）求f0及f1的值；

（2）求数列a n的通项公式；

（3）若b n=1

4a n

−1

2

3+a n

，试问数列b n是否存在最大项和最小项?若存在，求出最大项和

最小项；若不存在，请说明理由．