2014年北京朝阳高考二模数学(文)
北京市西城区2014年高三5月二模数学文试卷(word版)
北京市西城区2014年高三5月二模数 学（文科） 2014.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|20}A x x =-<，集合{|1}B x x =>，则（ ） （A ）A B ⊆ （B ）B A ⊆（C ）AB =∅ （D ）A B ≠∅2．在复平面内，复数=(12i)(1i)z +-对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）（A（B）2（C（D）24．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ） （A ） 2A Î，且4A Î （BA ，且4A Î（C ） 2A Î，且A （DAA俯视图侧(左)视图5．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．在△ABC 中，若4a =，3b =，1cos 3A =，则B =（ ） （A ）π4 （B ）π3 （C ）π6（D ）2π37. 设函数2244, ,()log , 4.x x x f x x x -+⎧=⎨>⎩≤ 若函数()y f x =在区间(,1)a a +上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） （A ）(,1]-∞ （B ）[1,4]（C ）[4,)+∞（D ）(,1][4,)-∞+∞8. 设Ω为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω，点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω.如果Ω是边长为1的正方形，那么()()x y Ω+Ω的取值范围是（ ） （A）（B）（C）（D）[1第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在等差数列{}n a 中，11a =，47a =，则公差d =_____；12n a a a +++=____.10．设抛物线2 4C y x =：的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，且点M 的横坐标为2，则||MF = .11．执行如图所示的程序框图，输出的a 值为______．12．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤所表示的平面区域是α，不等式组440,0x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤所表示的平面区域是β. 从区域α中随机取一点(,)P x y ，则P 为区域β内的点的概率是_____． 13．已知正方形ABCD ，AB =2，若将ABD ∆沿正方形的对角线BD 所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中，四面体A BCD -的体积的最大值是____.14．已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x yN N =挝上的一个映射，正整数数对(,)x y 在映射f下的象为实数z ，记作(,)f x y z =. 对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：(,)x y (,)n n (,)m n (,)n m (,)f x yn m n -m n +则(3,5)f =__________，使不等式(2,)4x f x ≤成立的x 的集合是_____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos (sin cos )1f x x x x =-+.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当π[,0]2x ∈-时，求函数()f x 的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A ，B 两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A 班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.B 班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？ （Ⅱ）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明） （Ⅲ）根据数据推断A 班全班40名学生中有几名学生的视力大于4.6?17．（本小题满分14分）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，12AA =，E 为1AA 的中点，O 为1BD 的中点. （Ⅰ）求证：平面11A BD ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求证：//EO 平面ABCD ；（Ⅲ）设P 为正方体1111D C B A ABCD -棱上一点，给出满足条件OP 的点P 的 个数，并说明理由.18．（本小题满分13分）已知函数2e ()1xf x ax x =++，其中a ∈R .（Ⅰ）若0a =，求函数()f x 的定义域和极值；1（Ⅱ）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，并证明.19．（本小题满分14分）设12,F F 分别为椭圆22: 12x W y +=的左、右焦点，斜率为k 的直线l 经过右焦点2F ，且与椭圆W 相交于,A B 两点. （Ⅰ）求1ABF ∆的周长；（Ⅱ）如果1ABF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率k .20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*n a ∈N ，1n n a a +<. 设*m ∈N ， 记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b .（Ⅰ）设数列{}n a 为1，3，5，7，，写出1b ，2b ，3b 的值；（Ⅱ）若{}n a 为等比数列，且22a =，求12350b b b b ++++的值；（Ⅲ）若{}n b 为等差数列，求出所有可能的数列{}n a .参考答案及评分标准高三数学（文科） 2014.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．A 3．C 4．D5．B 6．A 7．D 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．2 2n 10．3 11．2- 12．1213．14．8 {1,2} 注：第9，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：2()sin cos cos 1f x x x x =-+11cos 2sin 2122xx +=-+ ……………… 4分 111sin 2cos 2222x x =-+π1)42x =-+， ……………… 6分 所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ……………… 7分 （Ⅱ）解：由 π02x -≤≤，得5πππ2444x --≤≤-.所以 π1sin(2)42x --≤， ……………… 9分所以π1)42x -+≤1，即 ()1f x ≤. ……… 11分当ππ242x -=-，即π8x =-时，函数()f x 取到最小值π1()82f -=；… 12分 当π5π244x -=-，即π2x =-时，函数()f x 取到最大值π(12f -=. …………13分 16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：A 班5名学生的视力平均数为A 4.3+5.1+4.6+4.1 4.9==4.65x +， ………… 2分B 班5名学生的视力平均数为B 5.1+4.9+4.0+4.0 4.5==4.55x +. …………… 3分从数据结果来看A 班学生的视力较好. ……………… 4分 （Ⅱ）解：B 班5名学生视力的方差较大. ……………… 8分 （Ⅲ）解：在A 班抽取的5名学生中，视力大于4.6的有2名，所以这5名学生视力大于4.6的频率为25． ……………… 11分 所以全班40名学生中视力大于4.6的大约有240165⨯=名，则根据数据可推断A 班有16名学生视力大于4.6． ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在正方体1111D C B A ABCD -中，因为 11A D ⊥平面11ABB A ，11A D ⊂平面11A BD ，所以平面11A BD ⊥平面11ABB A . ……………… 4分 （Ⅱ）证明：连接BD ，AC ，设BDAC G =，连接OG .因为1111D C B A ABCD -为正方体， 所以 1//DD AE ，且121DD AE =，且G 是BD又因为O 是1BD 的中点，所以 1//DD OG ，且121DD OG =，所以 AE OG //，且AE OG =，即四边形AGOE 是平行四边形，所以//EO AG ， ……………… 6分 又因为 EO ⊄平面ABCD ，⊂AG 平面ABCD ，所以 //EO 平面ABCD . ……………… 9分 （Ⅲ）解：满足条件OP 的点P 有12个. ……………… 12分理由如下：因为 1111D C B A ABCD -为正方体，12AA =， 所以 AC = 1所以 12EO AG AC === ……………… 13分 在正方体1111D C B A ABCD -中，因为 1AA ⊥平面ABCD ，AG ⊂平面ABCD ， 所以 1AA AG ⊥， 又因为 //EO AG ，所以 1AA OE ⊥，则点O 到棱1AA所以在棱1AA 上有且只有一个点（即中点E ）到点O同理，正方体1111D C B A ABCD -每条棱的中点到点O所以在正方体1111D C B A ABCD -棱上使得OP =的点P 有12个. ……… 14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数e ()1xf x x =+的定义域为{|x x ∈R ，且1}x ≠-. ……………… 1分22e (1)e e ()(1)(1)x x xx x f x x x +-'==++. ……………… 3分 令()0f x '=，得0x =，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：∞……………… 4分故()f x 的单调减区间为(,1)-∞-，(1,0)-；单调增区间为(0,)+∞．所以当0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =. ……………… 5分 （Ⅱ）解：结论：函数()g x 存在两个零点.证明过程如下：由题意，函数2e ()11xg x x x =-++， 因为 22131(024x x x ++=++>， 所以函数()g x 的定义域为R . ……………… 6分求导，得22222e (1)e (21)e (1)()(1)(1)x x x x x x x x g x x x x x ++-+-'==++++， ………………7分令()0g x '=，得10x =，21x =，当x 变化时，()g x 和()g x '的变化情况如下：∞故函数()g x 的单调减区间为(0,1)；单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞．当0x =时，函数()g x 有极大值(0)0g =；当1x =时，函数()g x 有极小值e(1)13g =-. ……………… 9分因为函数()g x 在(,0)-∞单调递增，且(0)0g =，所以对于任意(,0)x ∈-∞，()0g x ≠. ……………… 10分 因为函数()g x 在(0,1)单调递减，且(0)0g =，所以对于任意(0,1)x ∈，()0g x ≠. ……………… 11分因为函数()g x 在(1,)+∞单调递增，且e (1)103g =-<，2e (2)107g =->， 所以函数()g x 在(1,)+∞上仅存在一个0x ，使得函数0()0g x =， ………… 12分 故函数()g x 存在两个零点（即0和0x ）. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：椭圆W 的长半轴长a =1(1,0)F -，右焦点2(1,0)F ， … ……… 2分由椭圆的定义，得12||||2AF AF a +=，12||||2BF BF a+=， 所以1ABF ∆的周长为1212||||||||4AF AF BF BF a +++== ……………… 5分（Ⅱ）解：因为1ABF ∆为直角三角形，所以o 190BF A ∠=，或o 190BAF ∠=，或o190ABF ∠=， 当o 190BF A ∠=时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ， ……………… 6分由 221,2(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得 2222(12)4220k x k x k +-+-=， ……………… 7分所以 2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+. ……………… 8分由o190BF A ∠=，得110F A F B ⋅=， ……………… 9分因为111(1,)F A x y =+，122(1,)F B x y =+， 所以11121212()1F A F B x x x x y y ⋅=++++2121212()1(1)(1)x x x x k x x =++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =++-+++2222222224(1)(1)101212k k k k k k k-=+⨯+-⨯++=++， ……………10分解得k = ……………… 11分 当o190BAF ∠=（与o190ABF ∠=相同）时，则点A 在以线段12F F 为直径的圆221x y +=上，也在椭圆W 上，由22221,21,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得(0,1)A ，或(0,1)A -， ……………… 13分 根据两点间斜率公式，得1k =±，综上，直线l 的斜率7k =±，或1k =±时，1ABF ∆为直角三角形. ……………14分20．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：11b =，21b =，32b =. ……………… 3分 （Ⅱ）解：因为{}n a 为等比数列，11a =，22a =，所以12n n a -=， ……………… 4分 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以11b =，232b b ==，45673b b b b ====，89154b b b ====， 1617315b b b ====，3233506b b b ====， ……………… 6分所以12350243b b b b ++++=. ……………… 8分（Ⅲ）解：由题意，得1231n a a a a =<<<<<， 结合条件*n a ∈N ，得n n a ≥. ……………… 9分 又因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，使得1n a m +≤成立的n 的最大值为1m b +，所以11b =，*1()m m b b m +∈N ≤. ……………… 10分 设2 a k =，则 2k ≥.假设2k >，即2 >2a k =，则当2n ≥时，2n a >；当3n ≥时，1n k a +≥.所以21b =，2k b =.因为{}n b 为等差数列，所以公差210d b b =-=，所以1n b =，其中*n ∈N .这与2(2)k b k =>矛盾，所以22a =. ……………… 11分 又因为123n a a a a <<<<<，所以22b =，由{}n b 为等差数列，得n b n =，其中*n ∈N . ……………… 12分 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ， 所以n n a ≤，由n n a ≥，得n n a =. ……………… 13分。
2014年高三二模数学(文)北京市西城区试题Word版带解析
北京市西城区2014年高三二模试卷数 学（文科） 2014.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|20}A x x =-<，集合{|1}B x x =>，则（ ） （A ）A B ⊆（B ）B A ⊆（C ）AB =∅ （D ）A B ≠∅解析：{|20}{|2}A x x x x =-<=<，所以答案D. 知识点;集合与常用逻辑用语--------集合的运算 难度系数：22．在复平面内，复数=(12i)(1i)z +-对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限解析：2=(12i)(1i)1223z i i i i +-=-+-=+，所以对应的点是（3,1）点在第一象限。
知识点; 推理与证明、数系的扩充与复数--------复数---复数乘除和乘方 难度系数：23．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）（A （B ）2（C （D ）2解析：双曲线的渐近线方程为b y x a =±，2222222,,5,5,bc a b c a e e a∴==+===，所以答案为C知识点：解析几何---------圆锥曲线--------双曲线 难度系数：34．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ） （A ） 2A ∈，且4A ∈ （BA ，且4A ∈（C ） 2A ∈，且A （DAA解析：有三视图可得，该四棱锥是底面边长的正方形，高为4的正四棱锥，所以=D 。
知识点：立体几何-------空间几何体----------空间几何体的三视图和直观图 难度系数：25．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件解析：平面向量a ，b ，c 均为非零向量，()0⋅-=a b c ，可以得出=b c 或者()⊥-a b c ；所以为必要不充分条件。
【恒心】(2014海淀二模)北京市海淀区2014年高三二模数学(文科)试题及参考答案【首发版】
北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模）数学文试题北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模） 数 学 （文科）参考答案 2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.C2.B3.D4.B5.A6.A7.D8.B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.10.2 11.8 12.①② 13.2，0 14.5，3.6 {第13，14题的第一空3分，第二空2分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解：（Ⅰ）()cos21f x x x a ++- --------------------------4分12cos2)12x x a =++- π2sin(2)16x a =++- ---------------------------6分∴周期2ππ.2T == ----------------------------7分 （Ⅱ）令()0f x =，即π2sin(2)1=06x a ++-， ------------------------------8分则π=12sin(2)6a x -+， --------------------------------9分因为π1sin(2)16x -≤+≤， ---------------------------------11分所以π112sin(2)36x -≤-+≤， --------------------------------12分所以，若()f x 有零点，则实数a 的取值范围是[1,3]-. -----------------------------13分 16.解：（Ⅰ）上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值.--------------------4分 （Ⅱ）从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降的月份有4月、5月、6月、9月、10月. ------------------------------------------6分设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件A ， --------------------------------------7分在这12个月份中任取连续两个月共有11种不同的取法，------------------------------8分 其中事件A 有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共3种情况. ---------9分 ∴3().11P A =-----------------------------------------10分 （Ⅲ）从2012年11月开始，2012年11月,12月,2013年1月这连续3个月的价格指数方差最大.-----------------------------------------13分17.解： （I ）1A A ⊥底面ABC ，1A A ∴⊥AB ， -------------------------2分 A B A C ⊥，1A A AC A =，AB ∴⊥面11A ACC . --------------------------4分 （II ）面DEF //面1ABC ，面ABC 面DEF DE =，面ABC 面1ABC AB =，AB ∴//DE ， ---------------------------7分 在ABC ∆中E 是棱BC 的中点，D ∴是线段AC 的中点. ---------------------------8分 （III ）三棱柱111ABC A B C -中1A A AC = ∴侧面11A ACC 是菱形，11AC AC ∴⊥， --------------------------------9分 由（1）可得1AB A C ⊥，1A B A CA =， 1A C ∴⊥面1ABC ， --------------------------------11分 1A C ∴⊥1BC . -------------------------------12分 又,E F 分别为棱1,BC CC 的中点，EF ∴//1BC ， ------------------------------13分1E F A C ∴⊥. ------------------------------14分18. 解：（Ⅰ）由已知可得2'()24f x x ax =++. ---------------------------------1分'(0)4f ∴=， ---------------------------------2分 又(0)f b =()f x ∴在0x =处的切线方程为4y x b =+. ---------------------------------4分令321443x ax x b x b +++=+，整理得2(3)0x a x +=.0x ∴=或3x a =-， ----------------------------------5分10a ≠ 30a ∴-≠， ----------------------------------------6分 ()f x ∴与切线有两个不同的公共点. ---------------------------------------7分 （Ⅱ）()f x 在(1,1)-上有且仅有一个极值点，∴2'()24f x x a x =++在(1,1)-上有且仅有一个异号零点， --------------------------9分 由二次函数图象性质可得'(1)'(1)0f f -<， ------------------------------------10分即(52)(52)0a a -+<，解得52a >或52a <-， --------------------------12分 综上，a 的取值范围是55(,)(,)22-∞-+∞. -----------------------------13分19.解:（Ⅰ）由已知可设椭圆G 的方程为：2221(1)x y aa +=> ------------------------------------------1分由2e =，可得222112a e a -==，----------------------------------------------------------------3分 解得22a =, -----------------------------------------------------------4分所以椭圆的标准方程为2212x y +=. ----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）法一：设00(,),C x y 则000(,),0D x y x -≠ ------------------------------------------------------6分 因为(0,1),(0,1)A B -， 所以直线BC 的方程为0011y y x x +=-， ------------------------------------------------------7分 令0y =，得001M x x y =+，所以00(,0)1xM y +. ---------------------------------------------8分 所以0000(,1),(,1),1x AM AD x y y =-=--+ ------------------------------------------9分 所以200011x AM AD y y -⋅=-++， --------------------------------------------10分 又因为2200121x y +=，代入得200002(1)111y AM AD y y y -⋅=+-=-+ ------------------11分 因为011y -<<，所以0AM AD ⋅≠. -----------------------------------------------------------12分 所以90MAN ∠≠， -------------------------------------------------------13分所以点A 不在以线段MN 为直径的圆上. -------------------------------------------14分 法二：设直线BC 的方程为1y kx =-，则1(,0)M k. ------------------------------------------------6分由22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=-⎩化简得到222(1)20x kx +--=，所以22(12)40k x kx +-=，所以12240,21kx x k ==+， -------------------------------------8分 所以22222421112121k k y kx k k k -=-=-=++，所以222421(,)2121k k C k k -++，所以222421(,)2121k k D k k --++ ----------------------------------------9分 所以2221421(,1),(,1),2121k k AM AD k k k --=-=-++ ---------------------------------------------10分 所以2222421210212121k AM AD k k k ---⋅=-+=≠+++， --------------------------------------12分 所以90MAN ∠≠， ---------------------------------------13分所以点A 不在以线段MN 为直径的圆上. ------------------------------------14分 20.解：（Ⅰ）①因为5135514S =<-，数列1,3,5,2,4-不是“Γ数列”， ---------------------------------2分②因为31113311284S =>-，又34是数列2323333,,444中的最大项所以数列2323333,,444是“Γ数列”. ----------------------------------------------4分（Ⅱ）反证法证明：假设存在某项i a <0，则12111i i k k k i k a a a a a a S a S -+-+++++++=->.设12111max{,,,,,,,}j i i k k a a a a a a a -+-=，则12111k i i i k k j S a a a a a a a k a -+--=+++++++≤(-1)，所以(1)j k k a S ->，即1kj S a k >-， 这与“Γ数列”定义矛盾，所以原结论正确． --------------------------8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）问可知10,0b d ≥≥．①当0d =时，121m m m S Sb b b m m ====<-，符合题设； ---------------------9分 ②当0d >时，12m b b b <<<由“Γ数列”的定义可知1m m S b m ≤-，即111(1)[(1)](1)2m b m d mb m m d -+-≤+- 整理得1(1)(2)2m m d b --≤（*）显然当123m b =+时，上述不等式（*）就不成立所以0d >时，对任意正整数3m ≥，1(1)(2)2m m d b --≤不可能都成立. 综上讨论可知{}n b 的公差0d =. --------------------------------------------------13分。
2014北京朝阳高考二模数学理解析
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类) 2014．5第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合}{|230A x x =∈-R ≥，集合}{2|320B x x x =∈-+<R ，则AB =（ ）．A ．3|2x x ⎧⎫⎨⎬⎭⎩≥ B ．3|22x x ⎧⎫<⎨⎬⎭⎩≤ C ．}{|12x x << D ．3|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩2．如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（ ）．A ．33log log a b <B ．11()()44a b >C ．11a b< D ．22a b <3．执行如右图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（ ）．A ．}{1,2,3,4,5B ．}{1,2,3,4,5,6C ．}{2,3,4,5D ．}{2,3,4,5,64．已知函数π()si n()(0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如右图所示，则ϕ=（ ）．A ．π6-B ．π6C ．π3-D ．π35．已知命题:p 复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题:q 0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是（ ）．A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧6．若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）．A ．(1,2]B ．[2,)+∞C ．(1,3]D ．[3,)+∞(P )M ND CBA7．某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．煤（吨）电（千度）纯利润（万元）1箱甲产品 31 21箱乙产品1 1 1若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是（ ）． A ．60万元 B ．80万元 C ．90万元 D ．100万元8．如图放置的边长为1的正P M N △沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当P M N △沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点P 的轨迹长度是（ ）．A ．8π3B ．16π3C ．4πD ．5π第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=ab __________．10．5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___________．（用数字表示）11．如图，AB 为圆O 的直径，2AB =，过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点．则•AC BC =___________．ODMCBA12．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是________；表面积是_________．13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24n n S a =-*()n ∈N ，则n a =_________；数列{}2log n a 的前n 项和为_____________．14．若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()≤f x M ，则称函数()f x 在(1,)+∞上是有界函数．下列函数① 1()1f x x =-；②2()1x f x x =+；③ln ()xf x x=；④()sin f x x x =，其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2π3A =，3b =，ABC △的面积为1534． （I ）求边a 的边长；（II ）求cos 2B 的值．16．（本题满分13分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（I ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率； （II ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）-中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，,E F分别为PA,BD中如图，在四棱锥P ABCD点，2===．PA PD AD（I）求证：//EF平面PBC;（II）求二面角E DF A--的余弦值；（III）在棱PC上是否存在一点G,使GF⊥平面EDF?若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数21()e 1,x f x ax a +=-+∈R ．（I ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （II ）求函数()f x 的单调区间；（III ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()1f x …成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ,焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到到右顶点的距离为1． （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）是否存在与椭圆C 交于A ,B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB+=-uu r uu u r uu r uu u r成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．20．（本小题满分13分）已知12,x x 是函数2()f x x mx t =++的两个零点，其中常数,m t ∈Z ，设120nn r rn r T x x -==∑（*n ∈N ）．（I ）用,m t 表示1T ，2T ; （II ）求证：543T mT tT =--;（III ）求证：对任意的*n ∈N ，n T ∈Z ．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014．5一、选择题（满分40分）题号1 2 34 5 6 7 8 答案B C C DDACB二、填空题（满分30分）题号 9 10 11121314答案2380- 382383 12n +(3)2n n + ②③1. B 【解析】考查集合的运算.由题意知，由选项A 知32x ≥，由选项B 得12x <<，所以3{2}2A B xx =<<，故选B. 2. C 【解析】考查函数的奇偶性与单调性.因为a>b>0，对于选项A ，33log log ,a b >故不选，对于选项B ，11()()44a b <故不选，对于选项C ，11a b<，正确，对于选项D 22a b >，故不选，故选C. 3. C 【解析】考查程序框图.由题意知，四个选项中都有元素2、3、4、5，所以只许看a=1,和a=6得结果即可.当a=1时，输出i=3，不和题意，当a=6时，输出i=1，也不和题意，故答案选C. 4. D 【解析】考查求三角函数解析式.由题意得24()312T ππππω=-==，所以ω=2，()0,22<=3323f k ππππϕππϕϕ=∴+=+∴又又故选D.5. D 【解析】考查命题之间的关系真假命题的判断.命题P ：复数21(1)111i i i i z i i i ++-====--，在复平面内所对应的点位于第四象限，所以命题P 为真；命题q ：如图：存在x ∈(,)2o π时，x=cosx ，所以命题q 为真，故p q ⋂为真. 故选D.6. A 【解析】考查双曲线的性质.有题意知双曲线的渐近线的方程是y=bx ，圆心为（0，2），半径r=1,由题意得：圆心到直线的距离d=2211b ≥+解得：b 2≤3，所以2222222214c a b b e a a a+===+≤，又因为e>1，所以双曲线离心率的取值范围是 1<e ≤2，故选A.7.C 【解析】考查线性规划.设生产甲，乙两种产品各x,y 箱，有题意得00312060x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，总利润z=2x+y ，画出可行域及目标函数，如图：当目标函数经过点A 时z 取最大值，最大利润z=2×30+30=90，故选C.8.B 【解析】考查运动轨迹问题.当△PMN 在AB 边上运动时，点P的运动轨迹如图所示，从p 1到p 2和从p 2到p 3都是以1为半径以23π为圆心角的一段弧，轨迹长度L=242133ππ⨯⨯=，点p 在另外三条边上的运动轨迹与AB 边相同，所以点p 运动的轨迹长度为4L=163π.故选B.9. 23【解析】考查向量的运算.22212(2)4444412=232a b a b a b a b +=+=++=++⨯⨯⨯10.-80【解析】考查二项式定理.通项3331455(2)r=3(2)= -80x rr r T x T x C C +=-=-，当时，故答案为-80. 11.3【解析】考查圆中的切割线定理、三角形相似.如图所示连接OM ，易知△ODM ∽△OMC,S 所以2OM OD OC =,代入已知数据可得OC=2，所以BC=1，所以•3AC BC =. 12.823；83【解析】考查三视图下几何体的表面积与体积.由三视图可知，四棱锥的底面边长为2，高为2，所以四棱锥的侧面高为221(2)3+=，故几何体的体积为118222222333Sh ⨯=⨯⨯⨯⨯=，其表面积为8个全等的等腰三角形，所以表面积为1832832⨯⨯⨯=.13. 12n +,(3)2n n +【解析】考查数列的求通项和求和.当n=1时，a 1=s 1=2a 1-4，解得a 1=4；当n ≥2时，a n =s n -s n-1=2a n -4-2a n-1+4,所以a n =2a n-1，所以数列{a n }是首项为4，公比q=2的等比数列，所以a n =2n+1.设T n 为数列{log 2a n }的前n 项和，所以T n = log 2a 1+ log 2a 2+log 2a 3+……+ log 2a n =2123log (a a )n a a =23412log (2222)n +⨯⨯=(234(1))2(3)log 2234(1)2n n n n +++++=++++=14. ②③【解析】考查函数的性质求最值.对于①1(),1(x)+1f x x f x =→→∞-当时，不存在最大值，不和题意； 对于②211(x)==,(x)1+12+x f f x x x所以有最大值，符合题意；对于③2ln 1-ln (x)=(x)>0,(x)=(x),f (x)=x xf f f x x'，因为f 所以由可得，f(x) 在(1,e)单调递增，()1e,=(x)f e+∞在单调递减，当x e 时，取得最大值，符合题意；对于④(x)=xsinx +sinx>(x)+,sinx<f →∞→∞，当x 时，当0时，f 当0时，(x)- ,sin x=0f(x)=0,(x)f →∞f 当时，故不存在最大值，不和题意。
北京市朝阳2014届高三二模文科数学试卷(带解析)
北京市朝阳2014届高三二模文科数学试卷（带解析）1．若全集{},,,U a b c d =，{},A a b =，{}B c =，则集合{}d 等于（ ）（A ）()U A B ð （B ）A B （C ）A B （D ）()U AB ð 【答案】A 【解析】 试题分析：因为{,,}A B a b c =,所以()U A B ð{}.d =而A B .φ=()U AB ð.U =所以选A.考点：集合运算2．下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）3y x = （D ）2x y = 【答案】C【解析】试题分析：sin y x =是奇函数但在区间0,+∞（）上不是单调函数．ln y x =在区间0,+∞（）上单调递增但不是奇函数，3y x =既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数，2xy =在区间0,+∞（）上单调递增但不是奇函数.考点：函数奇偶性及单调性3．已知抛物线22x y =,则它的焦点坐标是（ ）（A ）1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】试题分析：因为抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为(0,),2p 所以抛物线22x y =的焦点坐标是10,2⎛⎫⎪⎝⎭.考点：抛物线焦点4．执行如图所示的程序框图．若输入3a =,则输出i 的值是（ ）（A ）2 （B ） 3 （C ） 4 （D ） 5 【答案】C 【解析】试题分析：第一次循环，9,1,a i ==第二次循环，21,2,a i ==第三次循环，45,3,a i ==第四次循环，93,4,a i ==结束循环，输出 4.i = 考点：循环结构流程图5．由直线10x y -+=，50x y +-=和10x -=所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为（ ） （A ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （B ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （C ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩ （D ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩【答案】A 【解析】试题分析： 由题意得：所围成的三角形区域在直线10x y -+=的上方，直线50x y +-=的下方，及直线10x -=的右侧，所以10x y -+≤，50x y +-≤，10.x -≥ 考点：不等式组表示平面区域6．在区间ππ[-,]上随机取一个实数x ，则事件：“cos 0x ≥”的概率为（ ）（A ）14 （B ） 34 （C ）23 （D ）12【答案】D 【解析】试题分析：由cos 0x ≥，x ∈ππ[-,]得：[,]22x ππ∈-，所以事件：“cos 0x ≥”的概率为()122.()2ππππ--=-- 考点：几何概型概率7．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若11a d ==，则8n n S a +的最小值为（ ） （A ）10 （B ）92 （C ）72 （D）12+【答案】B 【解析】试题分析：由题意得：(1),2n n n n a n S +==，所以8n n S a+1819.222n n +=+≥+=当且仅当4n =时取等号.因此8n n S a +的最小值为92.考点：基本不等式求最值8．已知平面上点{2200(,)()()16,P x y x x y y ∈-+-=其中}22004x y +=，当0x ，0y 变化时，则满足条件的点P 在平面上所组成图形的面积是（ ）(A ）4π (B ）16π ( C ）32π （D ）36π 【答案】C 【解析】试题分析：圆心00(,)x y 在圆224x y +=上运动 一周，点P 在平面上所组成图形为以坐标原点为圆心，6为半径的实心圆减去以坐标原点为圆心，2为半径的实心圆的一个圆环，面积是226232πππ-=.考点：圆的方程，动点轨迹9．计算12i1i +=- . 【答案】13i 22-+【解析】 试题分析：12i (12i)(1+i)13.1i (1i)(1+i)2i++-+==-- 考点：复数运算10．已知两点()1,1A ，()1,2B -，若12BC BA =，则C 点的坐标是 . 【答案】30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：设C 点的坐标是(,)x y ，则由12BC BA =得1(1,2)(11,12),2x y +-=+-即30,.2x y ==C 点的坐标是30,2⎛⎫⎪⎝⎭.考点：向量坐标运算11．圆心在x 轴上，半径长是4，且与直线5x =相切的圆的方程是 ．【答案】()22116x y -+=和()22916x y -+=【解析】试题分析：设圆心为(),a b ，因为与直线5x =相切，所以|5|4,1a r a -===或9.a =因此圆的方程是()22116x y -+=和()22916x y -+=考点：圆的标准方程12．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积是 ．【答案】3, 【解析】2的正方形．因此体积为21223⨯=表面积为8个全等的边长为2的等边三角形面积之和，即282= 考点：三视图 13．设一列匀速行驶的火车，通过长860m 的隧道时,整个车身都在隧道里的时间是22s .该列车以同样的速度穿过长790m 的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时33s ，则这列火车的长度为___m . 【答案】200 【解析】试题分析：设这列火车的长度为xm ，则由题意得：860790,200.2233x xx -+==.考点：实际问题应用题14．在如图所示的棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，作与平面1ACD 平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是___；截得的平面图形中，面积最大的值是___.AC【答案】【解析】试题分析：截得的三角形中，面积最大的是三角形11ACB ，面积为2=的平面图形中，面积最大的是正六边形，如图，面积为26=考点：空间想象15．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A B C ，，的对边.已知a =π3A =. （1）若b =C 的大小； （2）若2c =，求边b 的长. 【答案】（1）,125π（2）4b =. 【解析】 试题分析：（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化. 由正弦定理由于B 为三角形内角，b a <，则4B π=，所以3412C ππ5π=π--=.（2）由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=得2141224b b +-=整理得2280b b --=，又0b >，所以4b =.本题也可由正弦定理sin sin a c A C =2sin C=，解得1sin 2C =.由于a c >,所以π6C =.由π3A =，得π2B =. 由勾股定理222b c a =+，解得4b =.（1由于B 为三角形内角，b a <，则4B π=，所以3412C ππ5π=π--=. 6分（2）依题意，222cos 2b c a A bc+-=，即2141224b b +-=.整理得2280b b --=，又0b >，所以4b =. 13分另解： 由于sin sin a c A C =2sin C=，解得1sin 2C =.由于a c >,所以π6C =. 由π3A =，得π2B =. 由勾股定理222b c a =+，解得4b =. 13分考点：正余弦定理16．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段75,80),80,85),[85,90),[90,95),[95,100][[（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．【答案】（Ⅰ）6,（Ⅱ）7.15【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图中小长方形面积为频率，而频数为总数与频率之积. 因此参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为200.0454⨯⨯=（人），参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为200.0252⨯⨯=（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+26=（人）．（Ⅱ）解概率应用题，要注意“设、列、解、答”. 设所选学生的参加服务时间在同一时间段内为事件A ．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段,95)[90的学生有4人，记为,,,a b c d ；参加社区服务在时间段5,100[9]的学生有2人，记为,A B .从这6人中任意选取2人有,,,,,,,,a b ac ad a A a B b c b d b A b B c d共15种情况．事件A 包括,,,,,,a b a c a d b c b d c d AB 共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率7()15P A =． 解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为200.0454⨯⨯=（人）， 参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为200.0252⨯⨯=（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+26=（人）． 5分 （Ⅱ）设所选学生的参加服务时间在同一时间段内为事件A ． 由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段,95)[90的学生有4人，记为,,,a b c d ； 参加社区服务在时间段5,100[9]的学生有2人，记为,A B ．从这6人中任意选取2人有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB 共15种情况．事件A 包括,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况． 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率7()15P A =． 13分 考点：频率分布直方图,古典概型概率17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）若E ，F 分别为PC ，BD 中点，求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥CD ；（Ⅲ）若2PA PD AD ==，求证：平面PAB ⊥平面PCD ．A【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）详见解析. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，关键在于找出线线平行.本题条件含中点，故从中位线上找线线平行. E ，F 分别为PC ，BD 中点，在△PAC 中，E 是PC 中点，F 是AC 中点，所以EF ∥PA ．又因为EF ⊄平面PBC ，PA ⊂平面BC P ，所以EF ∥平面PAD ．（Ⅱ）由面面垂直性质定理可得线面垂直，因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面=ABCD AD ，又CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥面PAD ．又因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥．即PA ⊥CD ．（Ⅲ）证明面面垂直，关键找出线面垂直. 在△PAD中，因为2PA PD AD ==，所以PA PD ⊥．由（Ⅱ）可知PA ⊥CD ，且=C D P D D ， 所以PA ⊥平面PCD ．又因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． 证明：（Ⅰ）如图，连结AC ． 因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分． 又因为F 是BD 中点， 所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PC 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PA ．又因为EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． 4分 （Ⅱ）因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面=ABCD AD ， 又CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥面PAD ． 又因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥．即PA ⊥CD ． 9分（Ⅲ）在△PAD 中，因为PA PD AD ==， 所以PA PD ⊥． 由（Ⅱ）可知PA ⊥CD ，且=CD PD D ，所以PA ⊥平面PCD ． 又因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． 14分 考点：线面平行判定定理，面面垂直性质定理与判定定理18．已知函数e ()xa f x x⋅=（a ∈R ,0a ≠）.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处切线的方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，()f x 1≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）e y =,（Ⅱ）0a >时，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞；单调减区间为(),0-∞，()0,1.0a <时, 函数()f x 的单调增区间为(),0-∞，()0,1;单调减区间为()1,+∞.（Ⅲ）1ea ≥ 【解析】试题分析：（Ⅰ））利用导数的几何意义，在1x =处切线的斜率为0即为(1).f '因为22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==，所以当1a =时，2e (1)()x x f x x -'=.(1)0f '=，又(1)e f =，则曲线()f x 在1x =处切线的方程为e y =. （Ⅱ）利用导数求函数单调区间，需明确定义域{}0x x ≠，再导数值的符号确定单调区间. （1）若0a >，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即0x <和01x <<时，函数()f x 为减函数.若0a <，当()0f x '>，即0x <和01x <<时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 为减函数.（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题. 当()0,x ∈+∞时，要使()f x =e 1x a x ⋅≥恒成立，即使e x xa ≥在()0,x ∈+∞时恒成立. 设()e xx g x =，易得max 1()(1)e g x g ==，从而1ea ≥. （Ⅰ）22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==,0x ≠. 当1a =时，2e (1)()x x f x x -'=.依题意(1)0f '=，即在1x =处切线的斜率为0.把1x =代入e ()xf x x=中，得(1)e f =.则曲线()f x 在1x =处切线的方程为e y =. .4分 （Ⅱ）函数()f x 的定义域为{}0x x ≠.22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==.（1）若0a >，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即0x <和01x <<时，函数()f x 为减函数. （2）若0a <，当()0f x '>，即0x <和01x <<时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 为减函数.综上所述，0a >时，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞；单调减区间为(),0-∞，()0,1. 0a <时, 函数()f x 的单调增区间为(),0-∞，()0,1;单调减区间为()1,+∞. .9分（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，要使()f x =e 1x a x⋅≥恒成立，即使e x x a ≥在()0,x ∈+∞时恒成立. 设()e x x g x =，则1()ex x g x -'=.可知在01x <<时，()0g x '>，()g x 为增函数； 1x >时，()0g x '<，()g x 为减函数.则max 1()(1)e g x g ==.从而1ea ≥. 另解：(1)当0a <时，()e 1a f a =<，所以()f x 1≥不恒成立.(2)当0a >且()0,x ∈+∞时，由（Ⅰ）知，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1.所以函数()f x 的最小值为(1)e f a =，依题意(1)e 1f a =≥，解得1ea ≥. 综上所述，1ea ≥． .13分 考点：利用导数求切线，利用导数求单调区间，利用导数求最值 19．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l 10mx y ++=与椭圆C 交于,A B 两点，是否存在实数m ，使O A O B O A O B +=-成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22143x y +=,（Ⅱ）不存在. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，关键利用待定系数法求出a,b. 由..及1a c -=，解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=．（Ⅱ）存在性问题，一般从假设存在出发,建立等量关系，有解就存在，否则不存在. 条件22OA OB OA OB +=-的实质是垂直关系，即0OA OB ⋅=.所以12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++=,221212(1)()0k x x km x x m ++++=把1y mx =--代入椭圆C:223412x y +=中，整理得22(34)880m x mx ++-=.整理得2512m =-，矛盾． （Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c . 依题意1,21.c e a a c ⎧==⎪⎨⎪-=⎩ 解得1c =，2a =，所以2223b a c =-=.所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=. .4分 （Ⅱ）不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-，证明如下：把1y mx =--代入椭圆C:223412x y +=中，整理得22(34)880m x mx ++-=. 由于直线l 恒过椭圆内定点()0,1-，所以判别式0∆>.设1122(,),(,)A x y B x y ，则122843m x x m +=-+,122843x x m -⋅=+. 依题意，若||||OA OB OA OB +=-，平方得0OA OB ⋅=.即12121212(1)(1)0x x y y x x mx mx +=+--⋅--=,整理得21212(1)()10m x x m x x ++++=，所以2(1)m +2843m -+2281043m m -+=+, 整理得2512m =-，矛盾． 所以不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-. .14分考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系20．已知函数()f x 对任意,x y ∈R 都满足()()()1f x y f x f y +=++，且1()02f =，数列{}n a 满足：()n a f n =，*n ∈N .（Ⅰ）求(0)f 及(1)f 的值;（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅲ）若311()()42n n a a n b +=-，试问数列{}n b 是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）(0)1f =-,(1)1f =,（Ⅱ）21na n =-,（Ⅲ）当12t =，即1n =时，{}nb 的最大项为1316b =.当132t =，即3n =时，{}n b 的最小项为331024b =-.【解析】试题分析：（Ⅰ）对应抽象函数，一般方法为赋值法. 在()()()1f x y f x f y +=++中，取0x y ==，得(0)1f =-，在()()()1f x y f x f y +=++中，取12x y ==，得(1)1f =，（Ⅱ）在()()()1f x y f x f y +=++中，令x n =，1y =，得(1)()2f n f n +=+，即12n n a a +-=.所以{}n a 是等差数列，公差为2，又首项1(1)1a f ==，所以21n a n =-,*n ∈N .（Ⅲ）研究数列{}nb 是否存在最大项和最小项，关键看通项公式的特征.令2111()()22n a n t -==，则22111()816256n b t t t =-=--，显然102t <≤，又因为N n *∈，所以当12t =，即1n =时，{}n b 的最大项为1316b =.当132t =，即3n =时，{}n b 的最小项为331024b =-解：（Ⅰ）在()()()1f x y f x f y +=++中，取0x y ==，得(0)1f =-，在()()()1f x y f x f y +=++中，取12x y ==，得(1)1f =， 2分（Ⅱ）在()()()1f x y f x f y +=++中，令x n =，1y =，得(1)()2f n f n +=+，即12n n a a +-=. 所以{}n a 是等差数列，公差为2，又首项1(1)1a f ==，所以21n a n =-,*n ∈N . 6分（Ⅲ）数列{}n b 存在最大项和最小项令2111()()22na nt-==，则22111()816256nb t t t=-=--，显然12t<≤，又因为Nn*∈，所以当12t=，即1n=时，{}n b的最大项为1316b=.当132t=，即3n=时，{}n b的最小项为331024b=-. 13分考点：等差数列，赋值法研究抽象函数。
2014北京各区高考数学二模试题及答案解析
2014北京各区高考数学二模
试题及答案解析
2014年北京市各县区的高考二模对于测验高三考生的复习成果和接下来的高考志愿填报具有非常重要的参考价值。
本人特将一模试题进行整理汇总，以下是2014年北京各城区高考二模试题及答案汇总，供考生
参考！
北京市西城区2014年高三二模试卷
数 学（理科） 2014.5
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项．
1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，
则实数a 的取值范围是（ ） （A ）(,2]-∞-
（B ）[2,)-+∞
（C ）(,2]-∞
（D ）[2,)+∞
2．在复平面内，复数2
=(12i)z +对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限
（D ）第四象限
3．直线2y x =为双曲线22
22 1(0,0)x y C a b a b
-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）
（A （B （C
（D。
2014年北京市朝阳区高三二模数学(理)试题和答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则A B =（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ （C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（A ）33log log a b < （B ）11()()44a b > （C ）11a b< （D ）22a b <（3）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是 （A ）{}1,2,3,4,5（B ）{}1,2,3,4,5,6（C ）{}2,3,4,5（D ）{}2,3,4,5,6（4）已知函数()π()sin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ= （A ）π6- （B ）6π（C ）π3- （D ）π3（5）已知命题p ：复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是（A ）()()p q ⌝∧⌝ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）p q ∧（6）若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）[2,)+∞（C） （D）)+∞（7）某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如上表所示.若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨,电不超过60千度,则可获得的最大纯利润和是（A ）60万元 （B ）80万元（C ）90万元（D ）100万元 （8）如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点P 的轨迹长度是 （A ）83π （B ）163π（C ）4π （D ）5π 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b ____． （10）5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___．（用数字表示）（11）如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点，则AC BC ⋅=_____． （12）由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示， 则其体积是 ；表面积是 ．（13）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24()n n S a n *=-∈N ，则n a = ；数列2{log }n a 的前n 项和为 ．（14）若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞ 上是有界函数．下列函数①1()1f x x =-；②2()1x f x x =+；③ln ()xf x x =； 22俯视图侧视图正视图（第12题图）④()sinf x x x=，其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A2π=，3b=，△ABC的面积．（Ⅰ）求边a的长；（Ⅱ）求cos2B的值．（16）（本小题满分13分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，2PA PD AD===．（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角E DF A--的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．（18）（本小题满分13分）已知函数21()e1xf x ax+=-+，a∈R．（Ⅰ）若曲线()y f x=在点(0,(0))f处的切线与直线e10x y++=垂直，求a的值；（Ⅱ）求函数()f x的单调区间；（Ⅲ）设32ea<,当[0,1]x∈时，都有()f x≥1成立，求实数a的取值范围．（19）（本小题满分14分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C交于,A B两点的直线l：()y kx m k=+∈R，使得22OA OB OA OB+=-成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知1x，2x是函数2()f x x mx t=++的两个零点，其中常数m，t∈Z，设12()nn r rnrT x x n-*==∈∑N．（Ⅰ）用m，t表示1T，2T；（Ⅱ）求证：543T mT tT=--；（Ⅲ）求证：对任意的,nn T*∈∈N Z．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014.515．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由1sin2ABCS bc A∆=得，13sin23ABCS c∆2π=⨯⨯=．所以5c=．由2222cosa b c bc A=+-得，22235235cos493a2π=+-⨯⨯⨯=，所以7a=．……………7分（Ⅱ）由sin sina bA B=3sin B=，所以sin14B=．所以271cos212sin98B B=-=．…………13分FABCDPE服务时间/小时16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人．所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +===…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以0031123323272354(0)()();(1)()()5512555125P C P C ξξ==⋅===⋅=； 221330332336238(2)()();(3)()()5512555125P C P C ξξ==⋅===⋅=．随机变量ξ的分布列如右表。
【恒心】(2014海淀二模)北京市海淀区2014年高三二模数学(文科)试题及参考答案(Word版答案)【首发版】
北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模） 数 学 （文科） 2014.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知全集为R ，集合{|1}A x x =≥，那么集合A R ð等于A.{|1}x x >B.{|1}x x >-C.{|1}x x <D.{|1}x x <- 2. 已知命题p: 210x x x ∃∈+-<R ，,则p ⌝为A. 210x x x ∃∈+->R ，B.210x x x ∀∈+-≥R ，C. 210x x x ∃∉+-≥R ，D.210x x x ∀∉+->R ，3. 下列函数中，既是偶函数又在区间0+∞（，）上单调递增的是A.3y x =B.y x =C.cos y x =D.2x y =4. 设2log 3a =，4log 3b =，sin90c ︒=，则A.a c b <<B.b c a <<C.c a b <<D.c b a <<5. 下面给出的四个点中, 位于10,10x y x y ++>⎧⎨-+<⎩表示的平面区域内,且到直线10x y -+=的距离为22的点是A.(1,1)-B.(2,1)-C.(0,3)D.(1,1) 6. 已知向量AC ，AD 和AB 在正方形网格中的位置如图所示， 若AD AB AC μλ+=，则=+μλA. 2B. 2-C. 3D. 3-7. 如图所示，为了测量某湖泊两侧A B ,间的距离，李宁同学首先选定了与A B ,不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：（ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别记为,,a b c ）： ① 测量,,A C b ② 测量,,a b C ③测量,,A B a 则一定能确定A B ,间距离的所有方案的序号为ABCDB AA.①②B. ②③C. ①③D. ①②③8. 已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA的中点，点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则与平面ABCD 垂直的直线MN 有A.0条B.1条C.2条D.无数条二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 复数2+i 的模等于______.10. 若抛物线22y p x =(0)p >的准线经过双曲线221x y -=的左顶点，则p =_____.11. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为_______. 12. 下列函数中：①sin 2y x =-；②cos2y x =；③3sin(2)4y x π=+，其图象仅通过向左（或向右）平移就能与函数()sin 2f x x =的图象重合的是_____.（填上符合要求的函数对应的序号）13. 已知实数0a >且1a ≠，函数, 3,(), 3.x a x f x ax b x ⎧<=⎨+≥⎩若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a 是等差数列，则___,____.a b ==14. 农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：根据上表所提供信息，第_____号区域的总产量最大，该区域种植密度为_____株/2m .5432187654324.5O1 2.40.721.281.00.60.40.28765432O12m 种植密度（株数/）单株产量（千克）区域代号区域代号EFB 1A 1C 1D 1B CDA 是 否开始n >1021n n =+输出S结束S =0，n =1 S =S +n三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数2()23sin cos 2sin f x x x x a =-+,a ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围.16.（本小题满分13分）下图为某地区2012年1月到2013年1月鲜蔬价格指数的变化情况:记Δx =本月价格指数-上月价格指数. 规定：当Δ0x >时，称本月价格指数环比增长； 当0x ∆<时，称本月价格指数环比下降；当0x ∆=时，称本月价格指数环比持平. （Ⅰ）比较2012年上半年与下半年鲜蔬价格指数月平均值的大小（不要求计算过程）；（Ⅱ）直接写出从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降．．的月份. 若从这12个 月中随机选择连续的两个月进行观察，求所选两个月的价格指数都．环比下降的概率; （Ⅲ）由图判断从哪个月开始连续三个月的价格指数方差最大. (结论不要求证明)17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1,AB AC AC AA ⊥=，E 、F 分别是棱1BC CC 、的中点.（Ⅰ）求证：AB ⊥平面AA 1 C 1C ；（Ⅱ）若线段AC 上的点D 满足平面DEF //平面1ABC ，试确定点D 的位置，并说明理由； （Ⅲ）证明：EF ⊥A 1C .18.（本小题满分13分）已知函数321()43f x x ax x b =+++，其中,a b ∈R 且0a ≠.（Ⅰ）求证：函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线与()f x 总有两个不同的公共点； （Ⅱ）若函数()f x 在区间(1,1)-上有且仅有一个极值点，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知椭圆G 的离心率为22,短轴端点分别为(0,1),(0,1)A B -. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）若C ,D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线BC 与x 轴交于点M ，判断以线段MD为直径的圆是否过点A ，并说明理由.20.（本小题满分13分）给定正整数3k ≥，若项数为k 的数列{}n a 满足：对任意的1,2,,i k =，均有ki a k S ≤-1（其中12k k S a a a =+++），则称数列{}n a 为“Γ数列”．（Ⅰ）判断数列1,3,5,2,4-和2323333,,444是否是“Γ数列”，并说明理由；（Ⅱ）若{}n a 为“Γ数列”，求证：0i a ≥对1,2,,i k =恒成立；（Ⅲ）设{}n b 是公差为d 的无穷项等差数列，若对任意的正整数m ≥3，12,,,m b b bF EB 1C 1A 1BA C均构成“Γ数列”，求{}n b 的公差d ．北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模）数 学 （文科）参考答案 2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
高考数学 2014-2015朝阳高三二模数学文答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学试卷答案（文史类）2015.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）解：2()cos cos )sin f x x x x x =+-22cos cos sin x x x x =+-2cos 2x x =+2sin(2)6x π=+．（Ⅰ）因为[,]2x π∈π，所以7132[,]666x πππ+∈，所以1sin(2)[1,]62x π+∈-，所以，当且仅当13266x ππ+=，即x =π时，max ()1f x =． ……………… 8分（Ⅱ）依题意，02sin(2)26x π+=，所以0sin(2)16x π+=．又0(0,2)x ∈π，所以0252(,)666x ππ+∈π，所以0262x ππ+=或05262x ππ+=，所以06x π=或076x π=． ……………………………………………… 13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，设数列{}n a 的公差为(0)d d >．由12318a a a ++=，可得26a =，则16a d =-，36a d =+．由前三项之积为120可得，(6)6(6)120d d -创+=，解得4d =?. 舍负得4d =.所以 42n a n =-． …………………………………………… 5分（Ⅱ）由于点111(,)A a b ，222(,)A a b ，…，(,)n n n A a b 依次都在函数23xy =的图象上，且42n a n =-，所以213n n b -=．所求这n 个点123,,A A A ,…，n A 的纵坐标之和即为数列{}n b 的前n 项和n T ． 由于19n nb b +=，所以数列{}n b 为以3为首项，9为公比的等比数列． 所以 ()3193(91)198n nn T -==--． ……………………………………… 13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可得，试卷的抽出比例为31=18060， 所以应从选择B 题作答试卷中抽出2份，从选择C 题作答试卷中抽出2份．……4分（Ⅱ）记在（Ⅰ）中抽出的选择A 题作答的试卷分别为123,,a a a ，其中12,a a 得优；选择B 题作答的试卷分别为12,b b ，其中12,b b 得优；选择C 题作答的试卷分别为12,c c ，其中1c 得优．从123,,a a a ，12,b b 和12,c c 中分别抽出一份试卷的所有结果如下：111{,,}a b c 112{,,}a b c 121{,,}a b c 122{,,}a b c 211{,,}a b c 212{,,}a b c 221{,,}a b c 222{,,}a b c311{,,}a b c 312{,,}a b c 321{,,}a b c 322{,,}a b c所有结果共有12种可能，其中3份都得优的有111{,,}a b c 121{,,}a b c 211{,,}a b c 221{,,}a b c ，共4种．设“从被抽出的选择,,A B C 题作答的的试卷中各随机选1份，这3份试卷都得优”为事件M ，故所求概率41123P ==． …………………………… 13分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：由已知，DA DM =．因为点O 是线段AM 的中点， 所以DO AM ⊥．又因为平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM I 平面ABCM AM =，DO ⊂平面ADM ，所以DO ⊥平面ABCM ．因为DO ⊂平面DOB ，所以平面DOB ⊥平面ABCM ． ……………………………………………… 5分 （Ⅱ）证明：因为在矩形ABCD 中，2AB AD =,且M 为CD 的中点，所以2AM BM AB ===， 所以AM BM ⊥．由（Ⅰ）知，DO ⊥平面ABCM ，因为BM⊂平面ABCM ，所以DO BM ⊥．因为DO ⊂平面ADM ,AM ⊂平面ADM ，且DO AM O =I ，所以BM⊥平面ADM ．而AD ⊂平面ADM ，所以AD BM ⊥． …………………………………………………………… 10分 （Ⅲ）过D 点不存在一条直线l ，同时满足以下两个条件：（1）l Ì平面BCD ； （2）//l AM ． 理由如下：（反证法）假设过D 点存在一条直线l 满足条件， 则因为//l AM ，l Ë平面ABCM ，AM ⊂平面ABCM ，所以//l 平面ABCM ．又因为l Ì平面BCD ，平面ABCM I 平面BCD BC =， 所以//l BC .于是//AM BC ，由图易知AM ，BC 相交，矛盾.所以，不存在这样的直线l ． ……………………………………… 14分19．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)不妨设直线l 在x 轴的上方，则,A B 两点关于y 轴对称.设11(,)A x y ，11(,)B x y -11(0,0)x y <>，则11(,)OA x y =uu r ，11(,)OB x y =-uu u r．由90AOB?o，得0OA OB?uu r uu u r，所以2211y x =．又因为点A 在椭圆上，所以221114x y +=． 由于10x <，解得1x =-1y = 则(A -，B ．所以142555OAB S D =创=． …………………………………………5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立方程组 22,4 4.y kx m x y ì=+ïïíï+=ïî 整理得222(41)8440k x kmx m +++-=． 由方程的判别式0D >，得22410k m -+>， （※）则 122841kmx x k -+=+，21224441m x x k -=+．由90AOB?o，得0OA OB?uu r uu u r，即12120x x y y +=，而1212()()y y kx m kx m =++，则2212121212(1)()0x x y y k x x mk x x m +=++++=．所以 2222244(8)(1)04141m km k mk m k k --+++=++． 整理得 225440m k --=，把22454k m =-代入（※）中，解得 234m >而224540k m =-?，所以 245m ³，显然满足234m >． 直线l 始终与圆222x y r +=相切，得圆心(0,0)到直线l 的距离d 等于半径r ．则22221m r d k ==+，由224455m k =+，得245r =，因为0r >，所以5r =．当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =?，此时，直线l 与圆2245x y +=相切，5r =．综上所述5r =． ………………………………………………………… 14分20．（本小题满分13分） 解：(Ⅰ)因为1a ³，π[0,]4x Î，所以()cos sin cos sin 0f x a x x x x ¢=-??．故()f x 在区间π[0,]4上是单调递增函数． ………………………………… 4分（Ⅱ）令()0f x ¢=，得cos sin a x x =， 因为在区间π[0,]4上cos 0x ¹，所以tan a x =． 因为(0,1)a Î，tan [0,1]x Î， 且函数tan y x =在π[0,]4上单调递增，所以方程tan a x =在π(0,)4上必有一根，记为0x ，则000()cos sin 0f x a x x ¢=-=． 因为()cos sin f x a x x ¢=-在π[0,]4上单调递减， 所以，当0(0,)x x Î时，0()()0f x f x ⅱ>=； 当0(,)4x x p Î时，0()()0f x f x ⅱ<=． 所以()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0π(,)4x 上单调递减， 所以max 000()()sin cos f x f x a x x ==+．又因为00cos sin a x x =，且2200sin cos 1x x +=，所以220(1)cos 1a x +=，2021cos 1x a =+，故2max 00()()(1)cos f x f x a x ==+=．依题意，(0,1)a Î22t at ++恒成立，即(0,1)a Î时，2(2)20t a t -++>，恒成立． 令2()(2)2h a =t a t -++，则 (0)0,(1)0,h h ì³ïïíï³ïî 即2220,0.t t t ìï+?ïíï+?ïî 解得 1t ?或0t ³． ……………………………………………………… 13分。
【2014朝阳二模】北京市朝阳区2014届高三第二次综合练习_理科数学_Word版无答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类) 2014．5第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合}{|230A x x =∈-R ≥，集合}{2|320B x x x =∈-+<R ，则A B =I （ ）．A ．3|2x x ⎧⎫⎨⎬⎭⎩≥ B ．3|22x x ⎧⎫<⎨⎬⎭⎩≤ C ．}{|12x x << D ．3|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩2．如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（ ）．A ．33log log a b <B ．11()()44a b >C ．11a b< D ．22a b <3．执行如右图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（ ）．A ．}{1,2,3,4,5B ．}{1,2,3,4,5,6C ．}{2,3,4,5D ．}{2,3,4,5,64．已知函数π()sin()(0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如右图所示，则ϕ=（ ）．A ．π6-B ．π6C ．π3-D ．π35．已知命题:p 复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题:q 0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是（ ）．A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧6．若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）．A ．(1,2]B ．[2,)+∞C ．3]D ．[3,)+∞7．某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．煤（吨）电（千度） 纯利润（万元）1箱甲产品 31 2(P )M NDCBA 1箱乙产品1 1 1若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是（ ）．A ．60万元B ．80万元C ．90万元D ．100万元8．如图放置的边长为1的正PMN △沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当PMN △沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点P 的轨迹长度是（ ）．A ．8π3 B ．16π3C ．4πD ．5π 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．9．已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b __________．10．5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___________．（用数字表示）11．如图，AB 为圆O 的直径，2AB =，过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点．则•AC BC =___________．ODMCBA12．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是________；表面积是_________．13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24n n S a =-*()n ∈N ，则n a =_________；数列{}2log n a 的前n 项和为_____________．14．若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()≤f x M ，则称函数()f x 在(1,)+∞上是有界函数．下列函数 ① 1()1f x x =-；②2()1x f x x =+；③ln ()x f x x=；()sin f x x x =， 其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2π3A =，3b =，ABC △的面． （I ）求边a 的边长；（II ）求cos2B 的值．16．（本题满分13分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（I ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率； （II ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）-中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，,E F分如图，在四棱锥P ABCD别为PA,BD中点，2===．PA PD AD（I）求证：//EF平面PBC;（II）求二面角E DF A--的余弦值；（III）在棱PC上是否存在一点G,使GF⊥平面EDF?若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数21()e 1,x f x ax a +=-+∈R ．（I ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （II ）求函数()f x 的单调区间；（III ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()1f x …成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ,焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到到右顶点的距离为1．（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）是否存在与椭圆C 交于A ,B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．20．（本小题满分13分）已知12,x x 是函数2()f x x mx t =++的两个零点，其中常数,m t ∈Z ，设12nn r rn r T x x -==∑（*n ∈N ）．（I ）用,m t 表示1T ，2T ; （II ）求证：543T mT tT =--;（III ）求证：对任意的*n ∈N ，n T ∈Z ．。
2014年高三二模数学（文）北京市朝阳区试题Word版带解析
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2014．5（考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）若全集{},,,U a b c d =，{},A a b =，{}B c =，则集合{}d 等于（）． （A ）()UA B （B ）A B （C ）A B （D ）()UA B解析：根据集合的运算性质，验证选项，答案为A. 考点：集合与常用逻辑用语-----集合的运算 难度系数：2（2）下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（）．（A ）sin y x =（B ）ln y x =（C ）3y x =（D ）2x y =解析：A,C 是奇函数，A 不是一致单调函数；B,D 非奇非偶。
所以答案C 。
考点：函数与导数------------函数-----------函数的单调性；函数与导数------------函数-----------函数的奇偶性 难度系数：2（3）已知抛物线22x y =,则它的焦点坐标是（）．（A ）1,04⎛⎫⎪⎝⎭（B ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（C ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）1,02⎛⎫⎪⎝⎭解析：根据抛物线的性质，抛物线是开口向上的，交点，答案B 。
考点：解析几何-----------圆锥曲线----------抛物线 难度系数：2（4）执行如图所示的程序框图．若输入3a =,则输出i 的值是（）．（A ）2 （B )3 （C )4 （D )5解析：第一次循环a=9，i=1；第二次循环a=21，i=2；第三次循环a=45，i=3；第四次循环 A=93，i=4，输出结果，答案为C.考点：算法与框图---------算法和程序框图 难度系数：3（5）由直线10x y -+=，50x y +-=和10x -=所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）．10,2⎛⎫⎪⎝⎭（A ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩（B ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩（C ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩（D ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩解析：做出平面区域，带入特殊点验证，答案为A.考点：不等式------线性规划------二元一次不等【组】表示的平面区域难度系数：3（6）在区间ππ[-,]上随机取一个实数x ，则事件：“cos 0x ≥”的概率为（）． （A ）14（B )34（C ）23（D ）12解析：该题考察解概率模型，画出余弦函数，结合函数图像答案为D. 考点：概率与统计---------概率--------几何概率 难度系数：3（7）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ．若11a d ==，则8n nS a +的最小值为（）．（A ）10（B ）92（C ）72（D）12+解析：11(1)(1)888(1)81922(1)222n nn n n n a n d S n a a n d n n +++++++===+≥=+-，答案为B 。
2014年北京市朝阳区高考数学二模试卷(文科)(附答案解析版)
2014年北京市朝阳区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 若全集U={a, b, c, d}，A={a, b}，B={c}，则集合{d}等于（）A.∁U(A∪B)B.A∪BC.A∩BD.∁U(A∩B)2. 下列函数中，既是奇函数又是区间(0, +∞)上的增函数的是( )A.y=x 12 B.y=x−1 C.y=x3 D.y=2x3. 已知抛物线x2=2y，则它的焦点坐标是（）A.(14, 0) B.(0, 12) C.(0, 14) D.(12, 0)4. 执行如图所示的程序框图．若输入a=3，则输出i的值是（）A.2B.3C.4D.55. 由直线x−y+1=0，x+y−5=0和x−1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）A.{x−y+1≤0x+y−5≤0x≥1B.{x−y+1≥0x+y−5≤0x≥1C.{x−y+1≥0x+y−5≥0x≤1D.{x−y+1≤0x+y−5≤0x≤16. 在区间[−π, π]上随机取一个数x，则事件：“cos x≥0”的概率为（）A.14B.34C.23D.127. 设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n．若a1=d=1，则S n+8a n的最小值为（）A.10B.92C.72D.12+2√28. 已知平面上点P∈{(x, y)|(x−x0)2+(y−y0)2=16，其中x02+y02=4，当x0，y0变化时，则满足条件的点P在平面上所组成图形的面积是（）A.4πB.16πC.32πD.36π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．计算1+2i1−i=________．已知两点A(1, 1)，B(−1, 2)，若BC→=12BA→，则C点坐标是________．圆心在x轴上，半径长是4，且与直线x=5相切的圆的方程是________．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，其体积是________；表面积是________．设一列匀速行驶的火车，通过长860m的隧道时，整个车身都在隧道里的时间是22s．该列车以同样的速度穿过长790m的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时33s，则这列火车的长度为________m．在如图所示的棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的三角形中面积最大的值是________；截得的平面图形中面积最大的值是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a=2√3，A=π3．（1）若b=2√2，求角C的大小；（2）若c=2，求边b的长．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格.某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75, 80)，[80, 85)，[85, 90)，[90, 95)，[95, 100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．(1)求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；(2)从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD．（1）若E，F分别为PC，BD中点，求证：EF // 平面PAD；（2）求证：PA⊥CD；（3）若PA=PD=√22AD，求证：平面PAB⊥平面PCD．已知函数f(x)=a⋅e xx(a∈R, a≠0)．（1）当a=1时，求曲线f(x)在点（1, f(1)）处切线的方程；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）当x∈(0, +∞)时，若f(x)≥1恒成立，求a的取值范围．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l:mx +y +1=0与椭圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使|OA →+OB →|=|OA →−OB →||成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．已知函数f(x)对任意x ，y ∈R 都满足f(x +y)=f(x)+f(y)+1，且f(12)=0，数列{a n }满足：a n =f(n)，n ∈N ∗．（1）求f(0)及f(1)的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）若b n =(14)a n −(12)3+a n ，试问数列{b n }是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2014年北京市朝阳区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据题意确定出所求集合即可．【解答】解：∵全集U={a, b, c, d}，A={a, b}，B={c}，∴A∪B={a, b, c}，则∁U(A∪B)={d}．故选：A．2.【答案】C【考点】函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断【解析】y=x12定义域为[0, +∞)不关于原点对称，；y=x−1为(0, +∞)上减函数；对于y=2x，是指数函数；y=x3是幂函数，指数大于零为增函数；又f(−x)=f(x)．【解答】解：A，y=x 12定义域为[0, +∞)，不关于原点对称，不具有奇偶性，故A不符合题意；B，y=x−1在(0, +∞)上是减函数，故B不符合题意；C，y=x3是幂函数，在[0, +∞)上为增函数，又f(−x)=−f(x)，所以是奇函数，符合题意；D，y=2x是指数函数，不具有奇偶性，故D不符合题意；故选C.3.【答案】B【考点】抛物线的求解【解析】利用抛物线方程求得p，根据焦点在y轴上求得抛物线的焦点坐标．【解答】解：∵抛物线方程为x2=2y，∴2p=2，p=1，∵焦点在y轴上，∴抛物线焦点为(0, 12)，故选B4.【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图及已知中输入a=3，可得：进入循环的条件为a>45，模拟程序的运行结果，即可得到输出的i值．【解答】解：当a=9时，i=1；当a=21时，i=2；当a=45时，i=3；当a=93时，i=4；结束循环故选：C5.【答案】A【考点】简单线性规划【解析】作出对应的平面区域，根据二元一次不等式组与平面之间的关系即可得到结论．【解答】解：作出对应的平面区域，则三角形区域在直线x=1的右侧，∴x≥1，在x−y+1=0的上方，则x−y+1≤0，在x+y−5=0的下方，则x+y−5≤0，则用不等式组表示为{x−y+1≤0x+y−5≤0x≥1，故选：A．6.【答案】D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】解：求出cos x≥0的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：在[−π, π]由cos x≥0得−π2≤x≤π2，则由几何概型的概率公式可得：“cos x≥0”的概率P=π2−(−π2)π−(−π)=π2π=12，故选：D7.【答案】B【考点】等差数列的前n项和【解析】由已知条件推导出S n+8a n =n+n(n−1)2+81+n−1=n2+8n+12，由此利用均值定理S n+8a n取最小值．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n．a1=d=1，∴S n+8a n =n+n(n−1)2+81+n−1=1+n−12+8n=n2+8n+12≥2√n2⋅8n+12=92，当且仅当n2=8n，即n=4时，S n+8a n取最小值92．故选：B．8.【答案】C【考点】圆的标准方程【解析】先根据圆的标准方程求出圆心和半径，然后研究圆心的轨迹，根据点P在平面内所组成的图形是一个环面进行求解即可．【解答】解：由题意可得，点P在圆）|(x−x0)2+(y−y0)2=16上，而且圆心(x0, y0)在以原点为圆心，以2为半径的圆上．满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是以6为半径的圆的面积减去以2为半径的圆的面积，即36π−4π=32π，故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．【答案】−12+32i，【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．【解答】解：原式=(1+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=−1+3i2=−12+32i，故答案为：−12+32i，【答案】(0,32)【考点】平面向量的坐标运算【解析】利用向量的坐标运算和数乘运算即可得出．【解答】解：∵BC→=12BA→，∴OC→=OB→+12(OA→−OB→)=12OB→+12OA→=12[(−1,2)+(1,1)]=(0,32)．故答案为：(0,32)．【答案】(x−1)2+y2=16和(x−9)2+y2=16【考点】圆的标准方程【解析】设圆心的坐标为(a, 0)，则圆心到直线x=5的距离等于半径，即|a−5|=4，求得a的值，可得所求的圆的方程．【解答】解：设圆心的坐标为(a, 0)，则圆心到直线x=5的距离等于半径，即|a−5|=4，求得a=1，或a=9，故所求的圆的方程为(x−1)2+y2=16和(x−9)2+y2=16，故答案为：(x−1)2+y2=16和(x−9)2+y2=16．【答案】8√23,8√3【考点】由三视图求体积【解析】几何体为两个完全相同的正四棱锥底面对接的组合体，根据三视图判断四棱锥的底面边长与高，并计算侧面上的斜高，把数据代入棱锥的表面积公式与体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体为两个完全相同的正四棱锥底面对接的组合体，四棱锥的底面边长为4，高为√2，∴侧面上的斜高为√3，∴几何体的体积V=2×13×22×√2=8√23；几何体的表面积S=8×12×2×√3=8√3．故答案为：8√23，8√3．【答案】200【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】根据条件设列出长度为x，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：设列车长度为x，则由题意得在桥上的速度为790+x33，则隧道里速度为860−x22，则有790+x33=860−x22，解得x=200，故答案为：200【答案】2√3,3√3【考点】棱柱的结构特征【解析】截得的三角形中面积最大是以正方体的表面正方形的对角线所构成的等边三角形，结合图形判断截面为正六边形时，截面的面积最大，利用梯形的面积公式计算可得最大面积．【解答】解：截得的三角形中面积最大是以正方体的表面正方形的对角线所构成的等边三角形，如图中的△A1C1B，∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，∴A1C1=C1B=A 1B=2√2，∴S△A1C1B=12×2√2×√32×2√2=2√3，如图平面α截正方体所得截面为正六边形，此时，截面面积最大，其中MN=2√2，GH=√2，OE=√1+12=√62，截面面积S=2×√2+2√22×OE=3√3．故答案为：2√3，3√3．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．【答案】解：（1）由正弦定理asin A=bsin B，∴sin B=ba⋅sin A=√22√3×√32=√22，∴B=π4或3π4，∵b<a，∴B=π4，∴C=π−π3−π4=5π12．（2）依题意，cos A=b2+c2−a22bc，即12=b2+4−124b．∴b2−2b−8=0，又b>0，∴b=4．【考点】正弦定理余弦定理【解析】（1）根据正弦定理和已知条件求得sin B的值，进而求得B，最后利用三角形内角和求得C．（2）用余弦定理列出关于b的表达式，整理求得b．【解答】解：（1）由正弦定理asin A =bsin B，∴sin B=ba ⋅sin A=√22√3√32=√22，∴B=π4或3π4，∵b<a，∴B=π4，∴C=π−π3−π4=5π12．（2）依题意，cos A=b 2+c2−a22bc，即12=b2+4−124b．∴b2−2b−8=0，又b>0，∴b=4．【答案】解：(1)由题意可知，参加社区服务在时间段[90, 95)的学生人数为20×0.04×5=4（人），参加社区服务在时间段[95, 100]的学生人数为20×0.02×5=2（人），所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为4+2=6（人）．(2)设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A．由(1)可知，参加社区服务在时间段[90, 95)的学生有4人，记为a，b，c，d；参加社区服务在时间段[95, 100]的学生有2人，记为A，B．从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况．事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率P(A)=715．【考点】频数与频率古典概型及其概率计算公式【解析】(1)利用频率分布直方图，求出频率，进而根据频数=频率×样本容量，得到答案；(2)先计算从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人的情况总数，再计算所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：(1)由题意可知，参加社区服务在时间段[90, 95)的学生人数为20×0.04×5=4（人），参加社区服务在时间段[95, 100]的学生人数为20×0.02×5=2（人），所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为4+2=6（人）．(2)设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A．由(1)可知，参加社区服务在时间段[90, 95)的学生有4人，记为a，b，c，d；参加社区服务在时间段[95, 100]的学生有2人，记为A，B．从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况．事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率P(A)=715．【答案】（1）证明：如图，连结AC．因为底面ABCD是正方形，所以AC与BD互相平分．又因为F是BD中点，所以F是AC中点．在△PAC中，E是PC中点，F是AC中点，所以EF // PA．又因为EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EF // 平面PAD．…（2）证明：因为平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，又CD⊥AD，所以CD⊥面PAD．又因为PA⊂平面PAD，所以CD⊥PA．故PA⊥CD．…（3）证明：在△PAD中，因为PA=PD=√22AD，所以PA⊥PD．由（2）可知PA⊥CD，且CD∩PD=D，所以PA⊥平面PCD．又因为PA⊂平面PAB，所以面PAB⊥平面PCD．…【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）连结AC．由正方形性质得AC与BD互相平分，由三角形中位线定理得EF // PA．由此能证明EF // 平面PAD．（2）由线面垂直得CD⊥AD，所以CD⊥面PAD．由此能证明PA⊥CD．（3）由勾股定理得PA⊥PD．再由PA⊥CD，得PA⊥平面PCD．由此能证明面PAB⊥平面PCD．【解答】（1）证明：如图，连结AC．因为底面ABCD是正方形，所以AC与BD互相平分．又因为F是BD中点，所以F是AC中点．在△PAC中，E是PC中点，F是AC中点，所以EF // PA．又因为EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EF // 平面PAD．…（2）证明：因为平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，又CD⊥AD，所以CD⊥面PAD．又因为PA⊂平面PAD，所以CD⊥PA．故PA⊥CD．…（3）证明：在△PAD中，因为PA=PD=√22AD，所以PA⊥PD．由（2）可知PA⊥CD，且CD∩PD=D，所以PA⊥平面PCD．又因为PA⊂平面PAB，所以面PAB⊥平面PCD．…【答案】解：（1）由f(x)=a⋅e xx，得：f′(x)=ax⋅e x−ae xx2=ae x(x−1)x2，x≠0．当a=1时，f′(x)=e x(x−1)x2．依题意f′(1)=0，即在x=1处切线的斜率为0．把x=1代入f(x)=e xx 中，得f(1)=e．则曲线f(x)在x=1处切线的方程为y=e．（2）函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．由于f′(x)=ax⋅ex−ae xx2=ae x(x−1)x2．①若a>0，当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；当x<0和0<x<1时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数．②若a<0，当x<0和0<x<1时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；当x>1时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数．综上所述，a>0时，函数f(x)的单调增区间为(1, +∞)；单调减区间为(−∞, 0)，(0, 1)．a<0时，函数f(x)的单调增区间为(−∞, 0)，(0, 1)；单调减区间为(1, +∞)．（3）当x∈(0, +∞)时，要使f(x)=a⋅exx≥1恒成立，即使a≥xe x在x∈(0, +∞)时恒成立．设g(x)=xe x，则g′(x)=1−xe x．可知在0<x<1时，g′(x)>0，g(x)为增函数；x>1时，g′(x)<0，g(x)为减函数．则g(x)max=g(1)=1e．从而a≥1e．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值【解析】（1）求出原函数的导函数，代入a=1，求得f′(1)，再求出f(1)的值，利用直线方程的点斜式求曲线f(x)在点（1, f(1)）处切线的方程；（2）由（1）中求出的f′(x)，然后对a进行分类讨论，根据a>0和a<0分别求出函数的增区间和减区间；（3）当x∈(0, +∞)时，f(x)≥1恒成立，等价于a≥xe x在x∈(0, +∞)时恒成立．构造辅助函数g(x)=xe x，由导数求出函数g(x)的最大值，则a的取值范围可求．【解答】解：（1）由f(x)=a⋅exx，得：f′(x)=ax⋅e x−ae xx2=ae x(x−1)x2，x≠0．当a=1时，f′(x)=ex(x−1)x2．依题意f ′(1)=0，即在x =1处切线的斜率为0． 把x =1代入f(x)=e x x中，得f(1)=e ．则曲线f(x)在x =1处切线的方程为y =e ． （2）函数f(x)的定义域为{x|x ≠0}． 由于f′(x)=ax⋅e x −ae xx 2=ae x (x−1)x 2．①若a >0，当x >1时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；当x <0和0<x <1时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数． ②若a <0，当x <0和0<x <1时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数； 当x >1时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数．综上所述，a >0时，函数f(x)的单调增区间为(1, +∞)；单调减区间为(−∞, 0)，(0, 1)． a <0时，函数f(x)的单调增区间为(−∞, 0)，(0, 1)；单调减区间为(1, +∞)． （3）当x ∈(0, +∞)时，要使f(x)=a⋅e x x≥1恒成立，即使a ≥xe x 在x ∈(0, +∞)时恒成立． 设g(x)=x ex ，则g′(x)=1−x e x．可知在0<x <1时，g′(x)>0，g(x)为增函数； x >1时，g′(x)<0，g(x)为减函数． 则g(x)max =g(1)=1e ． 从而a ≥1e ． 【答案】解：（1）设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，半焦距为c ． 依题意{e =ca =12a −c =1.解得c =1，a =2，所以b 2=a 2−c 2=3． 所以椭圆C 的标准方程是x 24+y 23=1．（2）不存在实数m ，使|OA →+OB →|=|OA →−OB →|，证明如下：把y =−mx −1代入椭圆C:3x 2+4y 2=12中，整理得(3+4m 2)x 2+8mx −8=0． 由于直线l 恒过椭圆内定点(0, −1)，所以判别式△>0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−8m4m 2+3，x 1⋅x 2=−84m 2+3． 依题意，若|OA →+OB →|=|OA →−OB →|，平方得OA →⋅OB →=0． 即x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(−mx 1−1)•(−mx 2−1)=0， 整理得(m 2+1)x 1x 2+m(x 1+x 2)+1=0，所以(m 2+1)−84m 2+3−8m 24m 2+3+1=0， 整理得m 2=−512，矛盾．所以不存在实数m ，使|OA →+OB →|=|OA →−OB →|． 【考点】 椭圆的定义 【解析】（1）根据离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1，可得{e =ca =12a −c =1.，即可求椭圆C 的标准方程；（2）依题意，若|OA →+OB →|=|OA →−OB →|，平方得OA →⋅OB →=0．把y =−mx −1代入椭圆C:3x 2+4y 2=12中，整理得(3+4m 2)x 2+8mx −8=0，利用韦达定理，即可得出结论． 【解答】解：（1）设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，半焦距为c ．依题意{e =ca =12a −c =1.解得c =1，a =2，所以b 2=a 2−c 2=3．所以椭圆C 的标准方程是x 24+y 23=1．（2）不存在实数m ，使|OA →+OB →|=|OA →−OB →|，证明如下：把y =−mx −1代入椭圆C:3x 2+4y 2=12中，整理得(3+4m 2)x 2+8mx −8=0． 由于直线l 恒过椭圆内定点(0, −1)，所以判别式△>0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−8m4m 2+3，x 1⋅x 2=−84m 2+3． 依题意，若|OA →+OB →|=|OA →−OB →|，平方得OA →⋅OB →=0． 即x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(−mx 1−1)•(−mx 2−1)=0， 整理得(m 2+1)x 1x 2+m(x 1+x 2)+1=0， 所以(m 2+1)−84m 2+3−8m 24m 2+3+1=0， 整理得m 2=−512，矛盾．所以不存在实数m ，使|OA →+OB →|=|OA →−OB →|．【答案】 解：（1）在f(x +y)=f(x)+f(y)+1中，取 x =y =0，得f(0)=−1， 在f(x +y)=f(x)+f(y)+1中，取x =y =12，得f(1)=1，（2）在f(x +y)=f(x)+f(y)+1中，令x =n ，y =1， 得f(n +1)=f(n)+2，即a n+1−a n =2，所以数列{a n }是等差数列，公差为2，又首项a 1=f(1)=1，所以a n =2n −1，n ∈N ∗．（3）数列{b n }存在最大项和最小项， 令t =(12)a n =(12)2n−1，则b n =t 2−18t =(t −116)2−1256，显然0<t ≤12，又因为n ∈N ∗，所以当t =12，即n =1时，数列{b n }的最大项为b 1=316．当t =132，即n =3时，数列{b n } 的最小项为b 3=−31024． 【考点】抽象函数及其应用 【解析】（1）利用赋值法，分别令x =y =0，x =y =12，求得f(0)及f(1)的值；（2）令x =n ，y =1，得f(n +1)=f(n)+2，即a n+1−a n =2，问题得以解决； （3）数列{b n }存在最大项和最小项，利用换元和配方法，去求最值 【解答】 解：（1）在f(x +y)=f(x)+f(y)+1中，取 x =y =0，得f(0)=−1， 在f(x +y)=f(x)+f(y)+1中，取x =y =12，得f(1)=1，（2）在f(x +y)=f(x)+f(y)+1中，令x =n ，y =1， 得f(n +1)=f(n)+2，即a n+1−a n =2，所以数列{a n }是等差数列，公差为2，又首项a 1=f(1)=1，所以a n =2n −1，n ∈N ∗． （3）数列{b n }存在最大项和最小项，令t =(12)a n =(12)2n−1，则b n =t 2−18t =(t −116)2−1256， 显然0<t ≤12，又因为n ∈N ∗，所以当t =12，即n =1时，数列{b n }的最大项为b 1=316．当t =132，即n =3时，数列{b n } 的最小项为b 3=−31024．。
北京市海淀区2014届高三下学期期末练习(二模)文科数学试卷(带解析)
北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模）文科数学试卷（带解析）1）【答案】C【解析】考点：集合的运算．2．已知命题）【答案】B【解析】x∃∈RB．考点：命题的否定．3）【答案】D【解析】选D．考点：函数的性质．4）【答案】B【解析】考点：比较大小5．下面给出的四个点中,,）【答案】A【解析】）【答案】A【解析】考点：向量的运算．A.①②B.②③C.①③D.①②③【答案】D【解析】；②测量考点：解三角形．8）A.0条B.1条C.2条D.无数条【答案】B【解析】81012141618考点：线面垂直的判定．9______.【解析】考点：复数的模．10【答案】2 【解析】考点：抛物线与双曲线的几何性质．11．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为_______.【答案】8【解析】考点：算法框图．12（或向右）_____.（填上符合要求的函数对应的序号）【答案】①②【解析】不同，因此仅通过向左（或向右）平移就能与函图象重合，而考点：三角函数图像变化．13．已知实数且，函数若数列满足【答案】2，0【解析】考点：等差数列的性质．14．农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：根据上表所提供信息，第_____号区域的总产量最大，该区域种植密度为_____株第13，14题的第一空3分，第二空2分}【答案】5，3.6【解析】试题分析：由图中数据可得，，总产量即第考点：二次函数．15（1（2.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1利用二倍角公式将函数化为s21-，由周期；（2）若函数有零点，即，有解，移项得（1分分分（2）8分9分11分12分分考点：三角恒等变化，三角函数的周期，值域．16．下图为某地区2012年1月到2013年1月鲜蔬价格指数的变化情况:记Δx =本月价格指数-上月价格指数.规定：当Δ0x >时，称本月价格指数环比增长； 当0x ∆<时，称本月价格指数环比下降；当0x ∆=时，称本月价格指数环比持平.（1） 比较2012年上半年与下半年鲜蔬价格指数月平均值的大小（不要求计算过程）； （2） 直接写出从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降．．的月份.若从这12个月中随机选择连续的两个月进行观察，求所选两个月的价格指数都．环比下降的概率; （3）由图判断从哪个月开始连续三个月的价格指数方差最大.(结论不要求证明) 【答案】（1）上半年鲜蔬价格指数月平均值大于下半年鲜蔬价格指数月平均值；（2）；（3）2013年1月这连续3个月的价格指数方差最大．【解析】试题分析：（1）由折线统计图可知，上半年的价格指数普遍比较高，下半年的价格指数普遍比较低，故可得上半年鲜蔬价格指数月平均值大于下半年鲜蔬价格指数月平均值；（2）由折线统计图可知，折线下降的月份即为价格指数环比下降的月份，从这12个月中随机选择连续的两个月，选法有（２月，３月），（３月，４月），（４月，５月），（５月，６月），（６月，７月），（７月，８月），（８月，９月），（９月，１０月），（１０月，１１月），（１１月，１２月），（１２月，１月），共１种方法，而所选两个月的价格指数都环比下降的有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共3种情况，由古典概率的求法，即可求出所选两个月的价格指数都环比下降的概率；（3）可由图观察，连续三个月的极差越大，方差就越大，显然2012年11月,12月,2013年1月这连续3个月的价格指数方差最大． （1）上半年鲜蔬价格指数月平均值大于下半年鲜蔬价格指数月平均值．．．．４分（2）从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降的月份有：４月、5月、6月、9月、10月. 6分设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件A ， 7分在这12个月份中任取连续两个月共有11种不同的取法， 8分其中事件A 有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共3种情况. 9分分（3）从2012年11月开始，2012年11月,12月,2013年1月这连续3个月的价格指数方差最大. 13分考点：古典概率，统计变量中平均数，极差，方差． 17．（本小题满分14分）E、F分别是棱.（1）求证：AB⊥平面AA1C1C；（2（3A1C.【答案】（1）详见解析；（2（3）详见解析．【解析】试题分析：（1）求证：AB⊥平面AA1C1C，证明线面垂直，只需证明线线垂直，得结论；（2（3A1C，证明线线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面，则由（2）（12分ACA=分（2）面//面1ABC，面ABC7分. 8分（319分由（1）可得C ，1AC A =，面，11分. 12分13分分考点：线面垂直的判定，线面垂直的性质，面面平行的性质．18（1（2.【答案】（1）详见解析；（25(,)2+∞ 【解析】试题分析：（1()x 总有两个不同的公共点，先从有两个不同的公共点，（2有且仅有一个极值点，且在解的两边异号，（1分2分分5分6分. 7分（2在上有且仅有一个异号零点，9分10分12分 综上，的取值范围是5(,)2+∞.13分考点：导数的几何意义，函数的极值． 19（1（2.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1短轴端点分别为（2即（1分3分分分（2分7分分分2x-10分22x y分AD≠. 12分13分. 14分分8分分所以10分所以22212 k--，12分所以，13分. 14分考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，圆的性质．20．Γ数列”．（1Γ数列”，并说明理由；（2Γ（3均构成“Γ【答案】（1（2）详见解析；（3【解析】试题分析：Γ数列”，根据“Γ数列”的定义，就是“Γ数列”，有一项不满足就不是“Γ一项，符合定义，故是“Γ数列”；（2）Γ数列”，盾，从而得证；（32（1 2分所以数列是“数列”.4分（2）反证法证明：12111max{,,,,,,,i i k k a a a a a a -+-，即kS a >，所以原结论正确. 8分（3）由（2m =9分b <*）*）就不成立.分考点：新定义，等差数列的通项公式．。
2014朝阳二模教师版
故选D．
6. 若双曲线x2 −
y2
=
1(b
>
0) 的一条渐近线与圆x2
+
(y
−
2 2)
=
1 至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（
）．
2
b
A. (1, 2]
B. [2, +∞)
C. (1, √3]
D. [√3, +∞)
答案 A
解析
/30 由题意得a2 = 1 双曲线的一条渐近线方程为y = bx ，圆心坐标为(0, 2) ，半径r = 1 ，因为渐近线与圆至多有一
= 49
，
3
所以a = 7 ．
（2） 求cos 2B的值．
答案
71
cos 2B =
．
98
解析
由
a
b
=
7
3
得， =
3 √3
，所以sin B =
．
sin A
sin B
√3
sin B
14
2
所以 ． 2
71
cos 2B = 1 − 2sin B =
98
30 16. 某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200学生参加社区服务的 /12/ 数据，按时间段[75, ， 80) [80, ， 85) [85, ， 90) [90, ， 95) [95, 100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所 2017 示．
) =π=
, ⇒ ω = 2
3
12
ω
π
π
π
又f ( ) = 0 ⇒
⋅ 2 + φ = π + 2kπ ⇒ φ =
2014年北京市朝阳区二模试题数学【理科】试题及答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则AB =（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭（C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（A ）33log log a b < （B ）11()()44a b>（C ）11a b< （D ）22a b <（3）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是 （A ）{}1,2,3,4,5 （B ）{}1,2,3,4,5,6 （C ）{}2,3,4,5 （D ）{}2,3,4,5,6（4）已知函数()π()sin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ=（A ）π6- （B ）6π（C ）π3- （D ）π3（5）已知命题p ：复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是（A ）()()p q ⌝∧⌝ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）p q ∧（6）若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）[2,)+∞ （C） （D)+∞ （7）某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是（A ）60万元 （B ）80万元 （C ）90万元 （D ）100万元（8）如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位 置时，点P 的轨迹长度是 （A ）83π （B ）163π（C ）4π （D ）5π第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b ____． （10）5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___．（用数字表示）（11）如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延BA长线于点C ，过点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点，则AC BC ⋅=_____． （12）由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积是 ．（13）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24()n n S a n *=-∈N ，则n a = ；数列2{log }n a 的前n 项和为 ．（14）若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞上是有界函数．下列函数 ①1()1f x x =-； ②2()1x f x x =+； ③ln ()x f x x=； ④()sin f x x x =， 其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3A 2π=，3b =，△ABC的面积为4． （Ⅰ）求边a 的长； （Ⅱ）求cos 2B 的值．A （第11题图）22俯视图侧视图正视图（第12题图）（16）（本小题满分13分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参 加社区服务时间不少于90小时的概率； （Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PA ，BD 中点，2PA PD AD ===．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角E DF A --的余弦值； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．（18）（本小题满分13分）已知函数21()e 1x f x ax +=-+，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．服务时间/小时FABCDP E（19）（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知1x ，2x 是函数2()f x x mx t =++的两个零点，其中常数m ，t ∈Z ，设120()nn r rn r T x x n -*==∈∑N ．（Ⅰ）用m ，t 表示1T ，2T ； （Ⅱ）求证：543T mT tT =--； （Ⅲ）求证：对任意的,n n T *∈∈N Z ．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014．5二、填空题（满分30分）三、解答题（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由1sin 2ABC S bc A ∆=得，13sin 23ABC S c ∆2π=⨯⨯=． 所以5c =．由2222cos a b c bc A =+-得，22235235cos493a 2π=+-⨯⨯⨯=， 所以7a =． ……………7分（Ⅱ）由sin sin a bA B=3sin B =，所以sin B =所以271cos 212sin 98B B =-=． ……………13分 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人）， 参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）． 所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +=== ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=； 11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=；22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=；3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=．随机变量ξ的分布列为因为 ξ~2(3)5B ，，所以355E ξ=⨯=． ……………13分 17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．因为底面ABCD 是正方形， 所以AC 与BD 互相平分． 又因为F 是BD 中点， 所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PA 中点，F 是AC 中点，所以EF ∥PC ．又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ． ……………4分 （Ⅱ）取AD 中点O ．在△PAD 中，因为PA PD =， 所以PO AD ⊥．因为面PAD ⊥底面ABCD ， 且面PAD面=ABCD AD ，E P DCBAF所以PO ⊥面ABCD ．因为OF ⊂平面ABCD 所以PO OF ⊥． 又因为F 是AC 中点，所以OF AD ⊥．如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．因为2PA PD AD ===，所以OP =，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(1,0,0)D -，P ，1(,0,)22E ，(0,1,0)F ．于是(0,2,0)AB =，3(2DE =，(1,1,0)DF =． 因为OP ⊥面ABCD，所以OP =是平面FAD 的一个法向量． 设平面EFD 的一个法向量是000=(,,)x y z n ．因为0,0,DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以00000,30,2x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩即0000,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 令01x =则=(1,1,-n ．所以cos ,OP OP OP ⋅<>===⋅n n n由图可知，二面角E-DF-A 为锐角，所以二面角E-DF-A …10分 （Ⅲ）假设在棱PC 上存在一点G ，使GF ⊥面EDF ．设111(,,)G x y z ，则111=(,1,)FG x y z -． 由（Ⅱ）可知平面EDF 的一个法向量是=(1,1,-n ． 因为GF⊥面EDF ，所以=FG λn ．于是，111,1,xy z λλ=-=-=，即111,1,x y z λλ==-=． 又因为点G 在棱PC 上，所以GC 与PC 共线．因为(1,2,PC =-，111(+1,2,)CG x y z =-， 所以111212x y +--==．所以1112λλ+---==，无解． 故在棱PC 上不存在一点G ，使GF ⊥面EDF 成立． ……………14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知得21()2e x f x a +'=-．因为曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直， 所以(0)e f '=．所以(0)2e e f a '=-=．所以e a =． ……………3分 （Ⅱ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，21()2e x f x a +'=-．（1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞． （2）当0a >时，令()0f x '>，得11ln 222a x >-，所以()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞； 令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-．综上所述，当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞， ()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． ……………8分（Ⅲ）当0x =时，(0)e 11f =+≥成立，a ∈R ． “当(0,1]x ∈时，21()e 11x f x ax +=-+≥恒成立”等价于“当(0,1]x ∈时，21e x a x+≤恒成立．”设21e ()x g x x+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．”212(21)e ()x x g x x +-'=． 令()0g x '<得，12x <且0x ≠，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(0, )2上为减函数；令()0g x '>得，12x >，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(,1]2上为增函数．所以函数()g x 在12x =处取得最小值，且21()2e 2g =．所以22e a ≤． 又因为a 32e <， 所以实数a 的取值范围22(,e ]-∞． ……………13分（Ⅲ）另解：（1）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知， ()f x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)e 1f x f ≥=+．所以当0a ≤时，有()1f x ≥成立．（2）当02e a <≤时， 可得11ln 0222a -≤． 由（Ⅱ）可知当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞， 所以()f x 在[0,1]上单调递增，又()(0)e 1f x f ≥=+，所以总有()f x ≥1成立． （3）当32e 2e a <<时，可得110ln 1222a <-<． 由（Ⅱ）可知，函数()f x 在11[0,ln )222a -上为减函数，在11(ln ,1]222a -为增函数，所以函数()f x 在11ln 222a x =-处取最小值，且ln 211(ln )e ln 1ln 122222222a a a a a a af a -=-++=-+．当[0,1]x ∈时，要使()f x ≥1成立，只需ln 1122a aa -+≥， 解得22e a ≤．所以22e 2e a <≤． 综上所述，实数a 的取值范围22(,e ]-∞．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c .依题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=． 解得1c =，2a =． 所以2223b a c =-=． 所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=． ……………4分 （Ⅱ）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=-成立.理由如下：由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=． 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+． 若22OA OB OA OB +=-成立，即2222OA OB OA OB +=-，等价于0OA OB ⋅=．所以12120x x y y +=． 1212()()0x x kx m kx m +++=，221212(1)()0k x x km x x m ++++=，222224128(1)03434m km k km m k k -+⋅-⋅+=++, 化简得，2271212m k =+． 将227112k m =-代入2234k m +>中，22734(1)12m m +->， 解得，234m >． 又由227121212m k =+≥，2127m ≥，从而2127m ≥，m ≥m≤ 所以实数m 的取值范围是2(,[21,)7-∞+∞． ……………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由12x x m +=-，12x x t =．因为120n n r r n r T xx -==∑，所以11112120r r r T x x x x m -===+=-∑． 222222************()r r r T x x x x x x x x x x m t -===++=+-=-∑． …………3分 （Ⅱ）由120k k r r k r T x x -==∑，得 545455512112214200r r r r r r T xx x x x x x T x --====+=+∑∑． 即55142T xT x =+，同理，44132T xT x =+．所以5241232x T x x T x =+．所以5142412312412343()()T x T x T x x T x x T x x T mT tT =+-=+-=--．……………8分 （Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）当1,2n =时，由（Ⅰ）问知k T 是整数，结论成立． （2）假设当1,n k =-n k =（2k ≥）时结论成立，即1,k k T T -都是整数． 由120k k r r k r T xx -==∑，得111112112200k kk r r k r r k k r r T x x x x x x ++--++====+∑∑． 即1112k k k T x T x ++=+．所以112k k k T xT x -=+，121212k k k x T x x T x +-=+．所以11212112121()()k k k k k k T x T x T x x T x x T x x T +--=+-=+-． 即11k k k T mT tT +-=--．由1,k k T T -都是整数，且m ，t ∈Z ，所以1k T +也是整数． 即1n k =+时，结论也成立．由（1）（2）可知，对于一切n *∈N ，120n n r r r x x -=∑的值都是整数． ………13分。
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2014年北京朝阳高考二模数学（文）一、选择题（共8小题；共40分）1. 若全集U=a,b,c,d，A=a,b，B=c，则集合d等于______A. ∁U A∪BB. A∪BC. A∩BD. ∁U A∩B2. 下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞上单调递增的函数为______A. y=sin xB. y=ln xC. y=x3D. y=2x3. 已知抛物线x2=2y，则它的焦点坐标是______A. 14,0 B. 0,12C. 0,14D. 12,04. 执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值是______A. 2B. 5C. 11D. 235. 由直线x−y+1=0，x+y−5=0和x−1=0所围成的三角形区域（包括边界），用不等式组可表示为______A. x−y+1≤0,x+y−5≤0,x≥1B.x−y+1≥0,x+y−5≤0,x≥1C. x−y+1≥0,x+y−5≥0,x≤1D.x−y+1≤0,x+y−5≤0,x≤16. 在区间−π,π上随机取一个实数x，则事件：“ cos x≥0”的概率为______A. 14B. 34C. 23D. 127. 设等差数列a n的公差为d，前n项和为S n．若a1=d=1，则S n+8a n的最小值为______A. 10B. 92C. 72D. 12+228. 已知平面上点P∈x,y x−x02+y−y02=16，其中x02+y02=4，当x0，y0变化时，则满足条件的点P在平面上所组成图形的面积是______A. 4πB. 16πC. 32πD. 36π二、填空题（共6小题；共30分）9. 计算25432= ____.10. 已知两点A1,1，B−1,2，若BC=12BA，则C点的坐标是______．11. 圆心在x轴上，半径长是4，且与直线x=5相切的圆的方程是______．12. 由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是______；表面积是______．13. 设一列匀速行驶的火车，通过长860 m的隧道时，整个车身都在隧道里的时间是22 s．该列车以同样的速度穿过长790 m的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时33 s，则这列火车的长度为______ m．14. 在如图所示的棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是______；截得的平面图形中，面积最大的值是______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a=23，A=π3．（1）若b=22，求角C的大小；（2）若c=2，求边b的长．16. 某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段75,80，80,85，85,90，90,95，95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（1）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（2）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．17. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD．（1）若E，F分别为PC，BD中点，求证：EF∥平面PAD；（2）求证：PA⊥CD；（3）若PA=PD=22AD，求证：平面PAB⊥平面PCD．18. 已知函数f x=a⋅e xx（a∈R，a≠0）．（1）当a=1时，求曲线y=f x在点1,f1处切线的方程；（2）求函数f x的单调区间；（3）当x∈0,+∞时，f x≥1恒成立，求a的取值范围．19. 已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l:mx+y+1=0与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使OA+OB= OA−OB成立?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．20. 已知函数f x对任意x,y∈R都满足f x+y=f x+f y+1，且f12=0，数列a n满足：a n=f n，n∈N∗．（1）求f0及f1的值；（2）求数列a n的通项公式；（3）若b n=14a n−123+a n，试问数列b n是否存在最大项和最小项?若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由．答案第一部分1. A2. C3. B4. D5. A6. D7. B8. C第二部分9. 125810. 0,3211. x−12+y2=16和x−92+y2=1612. 823；813. 20014. 23；33第三部分15. （1）由正弦定理asin A =bsin B，得33=22sin B,解得sin B=22.由于B为三角形内角，b<a，则B=π4，所以C=π−π3−π4=5π12．（2）依题意cos A=b2+c2−a22bc ，即12=b2+4−124b．整理得b2−2b−8=0,又b>0，所以b=4．其他解法：由于asin A =csin C，3 3 2=2sin C，解得sin C=12.由于a>c，所以C=π6．由A=π3，得B=π2．由勾股定理b2=c2+a2，解得b=4.16. （1）由题意可知，参加社区服务在时间段90,95的学生人数为20×0.04×5=4（人），参加社区服务在时间段95,100的学生人数为20×0.02×5=2（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为4+2=6（人）．（2）设所选学生的参加服务时间在同一时间段内为事件D．由（1）可知，参加社区服务在时间段90,95的学生有4人，记为a,b,c,d；参加社区服务在时间段95,100的学生有2人，记为A,B．从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB 共15种情况．事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率P D=715．17. （1）如图，连接AC．ABCD是正方形，所以AC与BD互相平分．又因为F是BD中点，所以F是AC中点．在△PAC中，E是PC中点，F是AC中点，所以EF∥PA．又因为EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD．（2）因为平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，又CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥面PAD．又因为PA⊂平面PAD，所以CD⊥PA．即PA⊥CD．（3）在△PAD中，因为PA=PD=22AD，所以PA⊥PD．由（2）可知PA⊥CD，且CD∩PD=D，所以PA⊥平面PCD．又因为PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．18. （1）fʹx=ax⋅e x−a e xx =a e x x−1x，x≠0．当a=1时，fʹx=e x x−1x2．依题意fʹ1=0，即在x=1处切线的斜率为0．把x=1代入f x=e xx中，得f1=e．则曲线f x在x=1处切线的方程为y=e．（2）（i）当a>0时，令fʹx>0，即x>1时，函数f x为增函数；令fʹx<0，即x<0和0<x<1时，函数f x为减函数．（ii）当a<0时，令fʹx>0，即x<0和0<x<1时，函数f x为增函数；令fʹx<0，即x>1时，函数f x为减函数．综上所述：当a>0时，函数f x的单调增区间为1,+∞；单调减区间为−∞,0，0,1．当a<0时，函数f x的单调增区间为−∞,0，0,1；单调减区间为1,+∞．（3）当x∈0,+∞时，要使f x=a⋅e xx≥1恒成立，即使a≥xe 在x∈0,+∞时恒成立，即a≥xe max．设g x=xe x ，则gʹx=1−xe x．令gʹx>0，得g x的增区间为0,1；令gʹx<0，得g x的减区间为1,+∞；所以g x max=g1=1e ．从而a≥1e．其他方法：（i）当a<0时，f x<0，所以f x≥1不恒成立．（ii）当a>0且x∈0,+∞时，由（1）知，函数f x的单调增区间为1,+∞，单调减区间为0,1．所以函数f x的最小值为f1=a e，依题意知f x min≥1，故f1=a e≥1，解得a≥1e．综上所述，a≥1e．19. （1）设椭圆C的方程为x2a +y2b=1a>b>0，半焦距为c．依题意e=ca=12,a−c=1.解得c=1，a=2，所以b2=a2−c2=3．所以椭圆C的标准方程是x 24+y23=1．（2）不存在实数m，使OA+OB=OA−OB，证明如下：把y=−mx−1代入椭圆C：3x2+4y2=12中，整理得3+4m2x2+8mx−8=0.由于直线l恒过椭圆内定点0,−1，所以判别式Δ>0．设A x1,y1，B x2,y2，则x1+x2=−8m4m2+3,x1⋅x2=−84m2+3.依题意，若OA+OB=OA−OB，平方得OA⋅OB=0，即x1x2+y1y2=x1x2+−mx1−1⋅−mx2−1=0,整理得m2+1x1x2+m x1+x2+1=0,所以m2+1−84m+3−8m24m+3+1=0,整理得m2=−512，无解．所以不存在实数m，使OA+OB=OA−OB．20. （1）在f x+y=f x+f y+1中，令x=y=0，得f0=−1；在f x+y=f x+f y+1中，令x=y=12，得f1=1．（2）在f x+y=f x+f y+1中，令x=n，y=1，得f n+1=f n+2,即a n+1−a n= 2．所以a n是等差数列，公差为2，又首项a1=f1=1，所以a n=2n−1，n∈N∗．（3）数列b n存在最大项和最小项．令t=12a n=122n−1，则b n=t2−18t= t−1162−1256,显然0<t≤12，又因为n∈N∗，所以当t=12，即n=1时，b n有最大项，为b1=316．当t=132，即n=3时，b n有最小项，为b3=−31024．。