2014年北京高考数学文科试题及答案(可打印修改)

（1）若集合 A 0,1, 2, 4， B 1, 2,3，则 A I B （ ） （A）0,1, 2,3, 4 （B）0, 4 （C）1, 2 （D）3
（2）下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是（ ） （A） y ex （B） y x （C） y ln x （D） y x
r
r
rr
（3）已知向量 a 2, 4， b 1,1，则 2a b （ ）
1 10 0.9 ． 100
从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于 12 小时的概率为 0.9 ．
（Ⅱ）课外阅读时间落在组[4 ，6) 的有 17 人，频率为 0.17 ，所以
a 频率 0.17 0.085 ． 组距 2
课外阅读时间落在组[8，10) 的有 25 人，频率为 0.25 ，
间的平均数在第几组（只需写出结论）
（19）（本小题 14 分）已知椭圆 C： x2 2 y2 4 .（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率； （Ⅱ）设 O 为原点，若点 A 在直线 y 2 ，点 B 在椭圆 C 上，且 OA OB ，求线段 AB 长度的最小值.
（20）（本小题 13 分）已知函数 f (x) 2x3 3x . （Ⅰ）求 f (x) 在区间[2,1] 上的最大值； （Ⅱ）若过点 P(1, t) 存在 3 条直线与曲线 y f (x) 相切，求 t 的取值范围； （Ⅲ）问过点 A(1, 2), B(2,10), C(0, 2) 分别存在几条直线与曲线 y f (x) 相切？（只需写出结论）
所以 b 频率 0.25 0.125 ． 组距 2
（Ⅲ）样本中的 100 名学生课外阅读时间的平均数在第 4 组． （19）（共 14 分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆 C 的标准方程为 x2 y2 1 ．
42 所以 a2 4 ， b2 2 ，从而 c2 a2 b2 2 ．
因此 a 2 ， c 2 ．
A G
C F B
所以 AB AC2 BC2 3 ． 所以三棱锥 E ABC 的体积
V
1 3 S△ABC
AA1
1 3
1 2
3 1 2 3 ． 3
（18）（共 13 分）解：（Ⅰ）根据频数分布表，100 名学生中课外阅读时间不少于 12 小时的学生共有
6 2 2 10 名，所以样本中的学生课外阅读时间少于 12 小时的频率是
由题意得 q3 b4 a4 20 12 8 ，解得 q 2 ． b1 a1 4 3
所以 bn an b1 a1 qn1 2n1 ．
从而 bn 3n 2n1 n 1，2， L
（Ⅱ）由⑴知 bn 3n 2n1 n 1，2， L ．
数列3n的前 n 项和为 3 n n 1，数列 2n1 的前 n 项和为1× 1 2n 2n 1．
工序
时间
粗加工
精加工
原料
原料 A
9
15
原料 B
6
21
则最短交货期为
工作日.
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。
（15）（本小题 13 分）已知an是等差数列，满足 a1 3， a4 12 ，数列bn满足 b1 4 ， b4 20 ， 且 bn an为等比数列.（Ⅰ）求数列an和bn的通项公式；（Ⅱ）求数列bn的前 n 项和.
g(x) 至多有 2 个零点．
当 g(1) t 1≥ 0 ，即 t ≥ 1时，此时 g(x) 在区间 ( ，0) 和 0 ， 上分别至多有 1 个零点，所以
g(x) 至多有 2 个零点．
当 g 0 0 且 g 1 0 ，即 3 t 1 时，因为 g 1 t 7 0 ，g 2 t 11 0 ，所以 g x 分别 在区间 1，0， 0 ，1 和 1，2 上恰有1个零点.由于 g x在区间 ，0和 1， 上单调，所以 g x分 别在区间 ，0和 1， 上恰有 1 个零点.
APB 90o ，则 m 的最大值为（ ）
（A） 7
（B） 6
（C） 5
（Fra Baidu bibliotek） 4
（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 p 与加工时 间 t （单位：分钟）满足的函数关系 p at2 bt c （ a 、 b 、 c 是常数），如图记录了三次实验的数据.根
(D) 既不充分不必要条件
主主
k=0主 S=0
k<3 主 S=S+2k
k=k+1
主 主主S 主主
（6）已知函数
f
x
6 x
log2
x
，在下列区间中，包含
f
x 零点的区间是（
）
(A) 0,1 (B) 1, 2 (C) 2, 4 (D) 4,
（7）已知圆 C : x 32 y 42 1和两点 Am, 0， B m, 0m 0，若圆 C 上存在点 P ，使得
62
3
（17）（共 14 分）解：（Ⅰ）在三棱柱 ABC A1B1C1 中， BB1 底面 ABC ．
所以 BB1 AB ．
又因为 AB BC ．
所以 AB 平面 B1BCC1 ． 所以平面 ABE 平面 B1BCC1 ． （Ⅱ）取 AB 中点 G ，连结 EG ， FG ． 因为 E ， F 分别是 A1C1 ， BC 的中点， 所以 FG ∥ AC ，且 FG 1 AC ．
（16）（本小题
13
分）函数
f
x
3sin
2x
6
的部分图象如图所示.
（Ⅰ）写出 f x的最小正周期及图中 x0 、 y0 的值；
y
y0
（Ⅱ）求
f
x 在区间
2
,
12
上的最大值和最小值.
O
x0
x
（17）（本小题 14 分）如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧棱垂直于底面， AB BC ， AA1 AC 2 ，
.
4
y 1
（13）若
x
,
y
满足
x
y
1
0
，则
z
3x y 的最小值为
.
x y 1 0
（14）顾客请一位工艺师把 A 、 B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每
件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料
每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
则 y0 2x03 3x0 ， 且切线斜率为 k 6x02 3，
所以切线方程为 y y0 6x02 3 x x0 ，
因此 t y0 6x02 3 1 x0 .
整理得 4x03 6x02 t 3 0 .
设 g x 4x3 6x2 t 3，
则“过点 P 1，t 存在 3 条直线与曲线 y f x相切”等价于“ g x有 3 个不同零点”.
据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
p
（A） 3.50 分钟 （B） 3.75 分钟
0.8
（C） 4.00 分钟 （D） 4.25 分钟
0.7
0.5
O
第二部分（非选择题 共 110 分）
345 t
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
2
（9）若 x ii 1 2i x R，则 x
绝密★考试结束前
2014 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）参考答案
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
（1）C （2）B （3）A （4）C
（5）D （6）C （7）B （8）B
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
（9）2
（10） x2 y2 1
组号
分组
频数
1
0，2
6
2
2，4
8
3
4，6
17
4
6，8
22
5
8，10
25
6
10，12
12
7
12，14
6
8
14，16
2
9
16，18
2
合计
100
主主 主主 b a
O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 主主主主
（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率； （Ⅱ）求频率分布直方图中的 a，b 的值； （Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100 名学生该周课外阅读时
2
1 2
所以，数列
bn 的前
n
项和为
3 2
n n
1
2n
1．
（16）（共 13 分）解：（Ⅰ） f x 的最小正周期为 π
x0
7π 6
．
y0
3
（Ⅱ）
因为
x
π 2
，
π 12
，所以
2
x
π 6
5π 6
，0
．
于是当 2x π 0 ，即 x π 时， f x 取得最大值 0；
6
12
当 2x π π ，即 x π 时， f x 取得最小值 3 ．
（A） 5, 7 （B） 5,9 （C） 3, 7 （D） 3,9
（4）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）
（A） 1
（B） 3
（C） 7
（D）15
（5）设 a 、 b 是实数，则“ a b ”是“ a2 b2 ”的（ ）
(A) 充分而不必要条件
(B) 必要而不必要条件
(C) 充分必要条件
故椭圆 C 的离心率 e c 2 ． a2
（Ⅱ）设点 A ， B 的坐标分别为 t ，2， x0 ，y0 ，其中 x0 ≠ 0 ．
因为 OA OB ， uuur uuur
所以 OA OB 0 ，
即 tx0
2 y0
0 ，解得 t
2 y0 x0
．
又 x02 2 y02 4 ，所以
AB 2 x0 t 2 y0 22
（20）（共 13 分）解：（Ⅰ） 由 f x 2x3 3x 得 f x 6x2 3 .
令 f x 0 ，得 x 2 或 x 2 .
2
2
因为
f
2 10 ，
f
2 2
2，
f
2 2
2 ，f 1 1
所以 f x
在区间 2 ，1上的最大值为
f
2 2
2
.
（Ⅱ） 设过点 P 1，t 的直线与曲线 y f x相切于点 x0 ，y，0
绝密★启封并使用完毕前
2014 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷）
本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
第一部分（选择题 共 40 分）
1、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
2
A1
E
C1
B1
因为 AC ∥ A1C1 ，且 AC A1C1 ， 所以 FG ∥ EC1 ，且 FG EC1 ． 所以四边形 FGEC1 为平行四边形． 所以 C1F ∥ EG ． 又因为 EG 平面 ABE ， C1F 平面 ABE ， 所以 C1F ∥平面 ABE ． （Ⅲ）因为 AA1 AC 2 ， BC 1 ， AB BC ，
（11） 2 2
（12） 2 15 8
（13）1
（14）42
三、解答题（共 6 小题，共 80 分）
（15）（共 13 分）
解：（Ⅰ）
设等差数列an的公差为 d ，由题意得 d
a4 a1 3
12 3 3 3
所以 an a1 n 1d 3nn 1，2， L ．
设等比数列 bn an 的公比为 q ，
E 、 F 分别为 A1C1 、 BC 的中点. （Ⅰ）求证：平面 ABE 平面 B1BCC1 ； （Ⅱ）求证： C1F // 平面 ABE ；
A1
E
C1
B1
（Ⅲ）求三棱锥 E ABC 的体积.
A
C
F B
（18）（本小题 14 分）从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据， 整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
.
（10）设双曲线 C 的两个焦点为 2, 0 ， 2, 0 ，一个顶点是 1, 0，
2 主主主主主主
1
1
1 主主主主主主
则 C 的方程为
.
（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为
主主主
.
（12）在 ABC 中， a 1， b 2 ， cos C 1 ，则 c
； sin A
gx 12x2 12x 12x x 1.
g x与 gx的情况如下：
x
( ，0)
0
(0 ，1)
1
(1， )
g ( x)
0
0
g(x)
↗Z
t3
]↘
t 1
Z↗
所以， g(0) t 3 是 g(x) 的极大值， g(1) t 1是 g(x) 的极小值．
当 g(0) t 3≤ 0 ，即 t ≤ 3 时，此时 g(x) 在区间 ，1和 (1， ) 上分别至多有 1 个零点，所以
x0
2 y0 x0
2
y0
22
x02
y02
4 y02 x02
4
x02
4
x02 2
2
4 x02 x02
4
x02 2
8 x02
4
0 x02 ≤ 4
．
因为
x02 2
8 x02
≥≤4 0
x02
4 ，且当 x02 4 时等号成立，所以 AB 2 ≥ 8 ．
故线段 AB 长度的最小值为 2 2 ．