直线与圆高考题精选培优(含答案)
高考数学复习专题训练—直线与圆(含答案及解析)
高考数学复习专题训练—直线与圆一、单项选择题1.(2021·全国甲,文5)点(3,0)到双曲线x 216−y29=1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.452.(2021·湖南湘潭模拟)已知半径为r(r>0)的圆被直线y=-2x和y=-2x+5所截得的弦长均为2,则r的值为()A.54B.√2C.32D.√33.(2021·北京清华附中月考)已知点P与点(3,4)的距离不大于1,则点P到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.74.(2021·江西鹰潭一中月考)已知点M,N分别在圆C1:(x-1)2+(y-2)2=9与圆C2:(x-2)2+(y-8)2=64上,则|MN|的最大值为()A.√7+11B.17C.√37+11D.155.(2021·湖北黄冈中学三模)已知直线l:mx+y+√3m-1=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=()A.2B.4√33C.2√3D.46.(2021·重庆八中月考)已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0及直线l:y=kx-k+2(k∈R),设直线l与圆C相交所得的最长弦为MN,最短弦为PQ,则四边形PMQN的面积为()A.4√2B.2√2C.8D.8√27.(2021·山西临汾适应性训练)直线x+y+4=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-4)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[8,12]B.[8√2,12√2]C.[12,20]D.[12√2,20√2]8.(2021·山东青岛三模)已知直线l:3x+my+3=0,曲线C:x2+y2+4x+2my+5=0,则下列说法正确的是()A.“m>1”是曲线C表示圆的充要条件B.当m=3√3时,直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1C.“m=-3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件D.当m=-2时,曲线C与圆x2+y2=1有两个公共点9.(2021·河北邢台模拟)已知圆M:(x-2)2+(y-1)2=1,圆N:(x+2)2+(y+1)2=1,则下列不是M,N 两圆公切线的直线方程为()A.y=0B.4x-3y=0C.x-2y+√5=0D.x+2y-√5=0二、多项选择题10.(2021·广东潮州二模)已知圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆D:x2+y2=4有且仅有两条公共切线,则实数a的取值可以是()A.-3B.3C.2D.-211.(2021·海南三亚模拟)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则()A.圆O1和圆O2有两条公切线B.直线AB的方程为x-y+1=0C.圆O2上存在两点P和Q,使得|PQ|>|AB|D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2三、填空题12.(2021·辽宁营口期末)若直线l1:y=kx+4与直线l2关于点M(1,2)对称,则当l2经过点N(0,-1)时,点M到直线l2的距离为.13.(2021·山东滨州检测)已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0,圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,则圆N的标准方程为.14.(2021·山东烟台二模)已知两条直线l1:y=2x+m,l2:y=2x+n与圆C:(x-1)2+(y-1)2=4交于A,B,C,D四点,且构成正方形ABCD,则|m-n|的值为.15.(2021·河北沧州模拟)已知圆C:x2+y2-4x+2my+1=0(m>0),直线l:y=kx+m与直线x+√3y+1=0垂直,则k=,直线l与圆C的位置关系为.答案及解析1.A 解析 由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=34x ,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为√32+(−4)2=95.故选A . 2.C 解析 直线y=-2x 和y=-2x+5截圆所得弦长相等,且两直线平行,则圆心到两条直线的距离相等且为两条平行直线间距离的一半,故圆心到直线y=-2x 的距离d=12×√4+1=√52,2√r2-d 2=2√r 2-54=2,解得r=32.3.B 解析 设点P (x ,y ),则(x-3)2+(y-4)2≤1,圆心(3,4)到3x+4y+5=0的距离为d=√32+42=6,则点P 到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为6-1=5. 4.C 解析 依题意,圆C 1:(x-1)2+(y-2)2=9,圆心C 1(1,2),半径r 1=3.圆C 2:(x-2)2+(y-8)2=64,圆心C 2(2,8),半径r 2=8, 故|MN|max =|C 1C 2|+r 1+r 2=√37+11.5.B 解析 直线过定点(-√3,1),该点在圆上.圆半径为r=2,且|AB|=2,所以△OAB 是等边三角形,圆心O 到直线AB 的距离为√3,所以√3m-1|√1+m 2=√3,m=-√33,直线斜率为k=-m=√33,倾斜角为θ=π6, 所以|CD|=|AB|cosθ=2cosπ6=4√33. 6.A 解析 将圆C 的方程整理为(x-2)2+(y-1)2=4,则圆心C (2,1),半径r=2.将直线l 的方程整理为y=k (x-1)+2,则直线l 恒过定点(1,2),且(1,2)在圆C 内. 最长弦MN 为过(1,2)的圆的直径,则|MN|=4,最短弦PQ 为过(1,2),且与最长弦MN 垂直的弦,∵k MN =2−11−2=-1,∴k PQ =1.直线PQ 方程为y-2=x-1,即x-y+1=0. 圆心C 到直线PQ 的距离为d=√2=√2,|PQ|=2√r 2-d 2=2√4−2=2√2.四边形PMQN 的面积S=12|MN|·|PQ|=12×4×2√2=4√2.7.C 解析 直线x+y+4=0分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,A (-4,0),B (0,-4),故|AB|=4√2.设圆心(4,0)到直线x+y+4=0的距离为d ,则d=√1+1=4√2.设点P 到直线x+y+4=0的距离为h ,故h max =d+r=4√2+√2=5√2,h min =d-r=4√2−√2=3√2,故h 的取值范围为[3√2,5√2],即△ABP 的高的取值范围是[3√2,5√2],又△ABP 的面积为12·|AB|·h ,所以△ABP 面积的取值范围为[12,20].8.C 解析 对于A,曲线C :x 2+y 2+4x+2my+5=0整理为(x+2)2+(y+m )2=m 2-1,曲线C 要表示圆,则m 2-1>0,解得m<-1或m>1,所以“m>1”是曲线C 表示圆的充分不必要条件,故A 错误;对于B,m=3√3时,直线l :x+√3y+1=0,曲线C :(x+2)2+(y+3√3)2=26, 圆心到直线l 的距离d=√3×(−3√3)+1|√1+3=5,所以弦长=2√r 2-d 2=2√26−25=2,故B错误;对于C,若直线l 与圆相切,圆心到直线l 的距离d=2√9+m 2=√m 2-1,解得m=±3,所以“m=-3”是直线l 与曲线C 表示的圆相切的充分不必要条件,C 正确;对于D,当m=-2时,曲线C :(x+2)2+(y-2)2=3,其圆心坐标为(-2,2),r=√3,曲线C 与圆x 2+y 2=1两圆圆心距离为√(-2-0)2+(2−0)2=2√2>√3+1,故两圆相离,不会有两个公共点,D 错误.9.D 解析 由题意,圆M :(x-2)2+(y-1)2=1的圆心坐标为M (2,1),半径为r 1=1,圆N :(x+2)2+(y+1)2=1的圆心坐标为N (-2,-1),半径为r 2=1.如图所示,两圆相离,有四条公切线.两圆心坐标关于原点O 对称,则有两条切线过原点O , 设切线l :y=kx ,则圆心M 到直线l 的距离为√1+k 2=1,解得k=0或k=43.故此时切线方程为y=0或4x-3y=0.另两条切线与直线MN 平行且相距为1,又由l MN :y=12x , 设切线l':y=12x+b ,则√1+14=1,解得b=±√52, 此时切线方程为x-2y+√5=0或x-2y-√5=0. 结合选项,可得D 不正确.10.CD 解析 圆C 方程可化为(x-a )2+y 2=1,则圆心C (a ,0),半径r 1=1;由圆D 方程知圆心D (0,0),半径r 2=2.因为圆C 与圆D 有且仅有两条公切线,所以两圆相交.又两圆圆心距d=|a|,有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-3<a<-1或1<a<3.观察4个选项,可知C,D两项中的a的取值满足题意.11.ABD解析对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故A正确;对于B,将两圆方程作差可得-2x+2y-2=0,即得公共弦AB的方程为x-y+1=0,故B正确;对于C,直线AB经过圆O2的圆心(0,1),所以线段AB是圆O2的直径,故圆O2中不存在比AB长的弦,故C错误;对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为√2=√2,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2,D正确.12.√5解析因为直线l1:y=kx+4恒过定点P(0,4),所以P(0,4)关于点M(1,2)对称,所以P(0,4)关于点M(1,2)的对称点为(2,0),此时(2,0)和N(0,-1)都在直线l2上,可得直线l2的方程y-0-1-0=x-20−2,即x-2y-2=0,所以点M到直线l2的距离为d=√1+4=√5.13.(x-6)2+(y-1)2=1解析圆的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.14.2√10解析由题设知:l1∥l2,要使A,B,C,D四点构成正方形ABCD,正方形的边长等于.直线l1,l2之间的距离d,则d=√5若圆的半径为r,由正方形的性质知d=√2r=2√2,故=2√2,即有|m-n|=2√10.√515.√3相离解析x2+y2-4x+2my+1=0,即(x-2)2+(y+m)2=m2+3,圆心C(2,-m),半径r=√m2+3,)=-1,解得k=√3.因为直线l:y=kx+m与直线x+√3y+1=0垂直,所以k·√3=√3+m.直线l:y=√3x+m.因为m>0,所以圆心到直线l的距离d=√3+m+m|√3+1因为d2=m2+2√3m+3>m2+3=r2,所以d>r.所以直线l与圆C的位置关系是相离.。
直线与圆的方程培优试题
已知圆 C 的方程为 x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0，求圆 C 的圆心坐标 和半径。
直线方程的一般式和点斜式，以及它们的转换关系 圆的方程的三种形式及其特点 直线与圆的位置关系：相切、相交和相离 求解直线与圆的交点坐标
解析步骤：先确 定圆心和半径， 再利用点到直线 距离公式求出圆 心到直线的距离， 最后根据距离判 断直线与圆的位
圆的参数方程：$(x=a+rcos\theta, y=b+rsin\theta)$，其中 $ ( r, \ t h e t a ) $ 为 参 数
圆的切线方程：圆的切线方程有三种形式，分别为点斜式、斜截式和两点 式
相交：直线与圆有两个交点 相切：直线与圆有一个交点 相离：直线与圆没有交点 相交、相切、相离的判定方法
直接法：根据题意，直接列出 直线方程
点斜式：已知一点和斜率，写 出直线方程
斜截式：已知斜率和y轴截距， 写出直线方程
两点式：已知两点坐标，写出 直线方程
直接法：根据题 意，直接写出圆 的方程
待定系数法：先 假设圆的方程， 再根据条件求出 待定系数
几何法：根据题 意，利用几何性 质确定圆心和半 径，进而写出圆 的方程
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01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 直 线 与 圆 的 基 本 概 念 03 直 线 与 圆 的 方 程 解 题 方 法 04 直 线 与 圆 的 方 程 培 优 练 习 05 直 线 与 圆 的 方 程 培 优 试 题 解 析 06 直 线 与 圆 的 方 程 培 优 试 题 总 结
置关系。
解析方法：通过 观察直线与圆的 位置关系，选择 合适的解析方法， 如代数法或几何
高考数学专题《直线与圆的位置关系》习题含答案解析
专题9.2 直线与圆的位置关系1．（福建高考真题（理））直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离d =..所以1122OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时,OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A.2.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.3．（2021·全国高二单元测试）已知直线l 与直线1y x =+垂直，且与圆221x y +=相切，切点位于第一象限，则直线l 的方程是（ ）．A．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D．0x y +=【答案】A 【分析】根据垂直关系，设设直线l 的方程为()00x y c c ++=<，利用直线与圆相切得到参数值即可.【详解】由题意，设直线l 的方程为()00x y c c ++=<．练基础圆心()0,0到直线0x y c ++=1，得c =c =，故直线l 的方程为0x y +=．故选：A4．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.5.【多选题】（2021·吉林白城市·白城一中高二月考）若直线0x y m ++=上存在点P ，过点P 可作圆O ：221x y +=的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且60APB ∠=︒，则实数m 的取值可以为（ ）A ．3B ．C ．1D ．-【答案】BCD 【分析】先由题意判断点P 在圆224x y +=上，再联立直线方程使判别式0∆≥解得参数范围，即得结果.【详解】点P 在直线0x y m ++=上，60APB ∠=︒，则30APO OPB ∠=∠=︒，由图可知，Rt OPB V 中，22OP OB ==，即点P 在圆224x y +=上，故联立方程224x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，得222240x mx m ++-=，有判别式0∆≥，即()2244240m m -⨯-≥，解得m -≤≤A 错误，BCD 正确.故选：BCD.6．（2022·江苏高三专题练习）已知大圆1O 与小圆2O 相交于(2,1)A ，(1,2)B 两点，且两圆都与两坐标轴相切，则12O O =____【答案】【分析】由题意可知大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，进而设圆的圆心为(,)(0)a a a >，待定系数得5a =或1a =，再结合两点间的距离求解即可.【详解】由题知，大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为(,)(0)a a a >，其方程为222()()x a y a a -+-=，将点(1,2)或(2,1)代入，解得5a =或1a =，所以221:(5)(5)25O x y -+-=，222:(1)(1)1O x y -+-=，可得1(5,5)O ，2(1,1)O ，所以12||O O ==故答案为：7．（江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d，2d 即3k 2≤4k，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.8.（2018·全国高考真题（文））直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为22(1)4x y ++=，所以圆的圆心为(0,1)-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==，结合圆中的特殊三角形，可知AB ==，故答案为.9．（2021·湖南高考真题）过圆2240x y x +-=的圆心且与直线20x y +=垂直的直线方程为___________【答案】220x y --=【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为1-求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.【详解】由2240x y x +-=可得()2224x y -+=，所以圆心为()2,0，由20x y +=可得2y x =-，所以直线20x y +=的斜率为2-，所以与直线20x y +=垂直的直线的斜率为12，所以所求直线的方程为：()1022y x -=-，即220x y --=，故答案为：220x y --=.10.（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【解析】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C到直线的距离等于半径，即1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.1．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.练提升故选：D.2.【多选题】（2021·全国高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142xy+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB 4=>，所以，点P 到直线AB 42-<，410<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，=，4MP =CD 选项正确.故选：ACD.3．【多选题】（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（）A ．圆A 的半径为4B ．圆A 截y 轴所得的弦长为C ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为1D ．圆A 与圆22:88230B x y x y +--+=相离【答案】BC 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A ；利用几何法求出弦长可判断B ；求出圆心A 到直线的距离再减去半径可判断C ；求出圆B 的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由22230x y x +--=可得()2214x y -+=，所以A 的半径为2r =，故选项A 不正确；对于B ：圆心为()1,0到y 轴的距离为1d =，所以圆A 截y 轴所得的弦长为==B 正确；对于C ：圆心()1,0到直线34120x y -+=3，所以圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为3321r -=-=，故选项C 正确；对于D ：由2288230x y x y +--+=可得()()22449x y -+-=，所以圆心()4,4B ，半径3R =，因为5AB r R ===+，所以两圆相外切，故选项D 不正确；故选：BC.4．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是_______.【答案】403k ≤≤【分析】求出圆C 的圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求解.【详解】由228150x y x +-+=可得22(4)1x y -+=，因此圆C 的圆心为(4,0)C ，半径为1，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离112d =≤+=，即22(21)1k k -≤+，所以2340k k -≤，解得403k ≤≤，所以k 的取值范围是403k ≤≤，故答案为：403k ≤≤.5．（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为________．【答案】60 【分析】由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．【详解】直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为所以，圆心()0,0O 到直线20kx y -+=的距离1d ==，1=，解得)0k k =>．设直线的倾斜角为()0180θθ≤<，则tan θ=，则60θ= ．因此，直线()20y kx k =+>的倾斜角为60 ．故答案为：60 ．6．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））已知圆O : x 2+y 2=4， 以A (1,为切点作圆O 的切线l 1，点B 是直线l 1上异于点A 的一个动点，过点B 作直线l 1的垂线l 2，若l 2与圆O 交于D ， E 两点，则V AED 面积的最大值为_______.【答案】2【分析】由切线性质得2//OA l ，O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，因此ADEODE S S =!!，设O 到2l 距离为d ，把面积用d 表示，然后利用导数可得最大值．【详解】根据题意可得图，1OA l ⊥，所以2//OA l ，因此O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，ADEODE S S =!!，过点(00)O ，作直线2l 的垂线，垂足为F ，记||(20)OF d d =>>，则弦||DE =角形ADE 的面积为S ，所以12S d =g g ，将S 视为d 的函数，则S '=+ 1(2)2d d -当0d <<时，0S '>，函数()S d 2d <<时，0S '<，函数()S d 单调递减，所以函数()S d 有最大值，当d =max ()2S d =，故AED V 面积的最大值为2．故答案为：2．7．（2021·全国高三专题练习）已知ABC V 的三个顶点的坐标满足如下条件：向量(2,0)OB →=，(2,2)OC →=，,CA α→=)α，则AOB ∠的取值范围是________【答案】5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求出点A 的轨迹是以(2,2)C . 过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，得到MOB NOB θ∠∠…….所以15BOM ∠=︒，75BON ∠=︒，即得解.【详解】由题得||CA →=所以点A 的轨迹是以(2,2)C .过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，则向量OA →与OB →的夹角θ的范围是MOB NOB θ∠∠…….由图可知45COB ∠=︒.∵||OC →=1||||||2CM CN OC →→→==知30COM CON ∠=∠=︒，∴453015BOM ∠=︒-︒=︒，453075BON ∠=︒+︒=︒.∴1575θ︒︒…….故AOB ∠的取值范围为{}1575θθ︒≤≤︒丨.故答案为：{}π5π15751212θθ⎡⎤︒≤≤︒⎢⎥⎣⎦丨或，8．（2021·全国高三专题练习）已知x 、y R ∈，2223x x y -+=时，求x y +的最大值与最小值．【答案】最小值是1，最大值是1+【分析】根据2223x x y -+=表示圆()2214x y -+=，设x y b +=表示关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形，然后由直线与圆的位置关系求解.【详解】2223x x y -+=的图形是圆()2214x y -+=，既是轴对称图形，又是中心对称图形．设x y b +=，由式子x y +的对称性得知x y b +=的图形是关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形．如图所示：当b 变化时，图形是一个正方形系，每个正方形四个顶点均在坐标轴上，问题转化为正方形系中的正方形与圆有公共点时，求b 的最值问题．当1b <时，正方形与圆没有公共点；当1b =时，正方形与圆相交于点()1,0-，若令直线y x b =-+与圆()2214x y -+=相切，2，解得1b =±所以当1b =+当1b >+故x y +的最小值是1，最大值是1+．9．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知ABC V 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M （1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC V 面积的最小值.【答案】（1）22(1)1y x +-=；（2）2；（3）163.【分析】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,M b ，先求得圆心到直线210x y +-=的距离，再根据直线截圆M （2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，易知不成立；当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，然后由圆心到直线的距离等于半径求解； （3）根据AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，进而得到直线AC 和直线 BC 的斜率，写出直线AC 和BC 的方程，联立求得点C 的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.【详解】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,,0M b b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d又因为直线截圆M21+=，解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，则圆心到直线的距离 0221d r =-=≠=，不成立，当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，即 240kx y k --+=，圆心到直线的距离d ，解得2k =（3）因为AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111ACt t k MAO t t-=∠==---，同理直线BC 的斜率为： ()()222241411BCt t k t t --+==+-- ，所以直线AC 的方程为：()221ty x t t =---，直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+- ，由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得 22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭，又 ()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-，当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83，所以ABC V 面积的最小值.18164233ABC S =⨯⨯=V .10．（2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高二期末（文））已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）存在，()4,0N .【分析】（1）设出圆心坐标(),0C a ，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，由此求解出a 的值（注意范围），则圆C 的方程可求；（2）当直线AB 的斜率不存在时，直接根据位置关系分析即可，当直线AB 的斜率存在时，设出直线方程并联立圆的方程，由此可得,A B 坐标的韦达定理形式，根据AN BN k k =-结合韦达定理可求点N 的坐标.【详解】解：（1）设圆心(),0C a ，∵圆心C 在l 的上方，∴4100a +>，即52a >-，∵直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，∴d r =，即41025a +=，解得：0a =或5a =-（舍去），则圆C 方程为224x y +=；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为()1y k x =-，(),0N t ，()11,A x y ，()22,B x y ，由224(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得，()22221240k x k x k +-+-=，所以212221k x x k +=+，212241k x x k -=+若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即()()1212110k x k x x tx t--+=--，整理得：()()12122120x x t x x t -+++=，即()()222224212011k k t t k k -+-+=++，解得：4t =，当点()4,0N ，能使得ANM BNM ∠=∠总成立．1．（2021·山东高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（ ）A ．充分没必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要条件【答案】C 【分析】由直线与圆相切的等价条件，易判断【详解】由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”，因此充分性成立；“直线与圆相切”⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件故选：C2．（2021·北京高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m = A ．±1B．C．D ．2±【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =则弦长为||MN =则当0k =时，弦长|MN取得最小值为2=，解得m =故选：C.3.（2020·全国高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）练真题A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D 【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d >，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=V，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.4．【多选题】（2021·全国高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l的距离d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以d =则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以d =则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以d =则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以d =l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.5.（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．【答案】【分析】由于22670x my m +--=是圆，可得1m =，通过圆心和半径计算,,a b c ，即得解【详解】由于22670x my m +--=是圆，1m ∴=即：圆22670x y x +--=其中圆心为()3,0，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即3c =，4a =，b ==那么短轴长为故答案为：6．（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.。
高中数学直线与圆精选题目(附答案)
高中数学直线与圆精选题目（附答案）一、两直线的位置关系1．求直线斜率的基本方法(1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k ＝tan α. (2)公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.2．判断两直线平行的方法(1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2⇔l 1∥l 2.(2)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l 1∥l 2. 3．判断两直线垂直的方法(1)若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1⇔l 1⊥l 2. (2)已知直线l 1与l 2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l 1⊥l 2.1.已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)－b ＝0，① 又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②解①②组成的方程组得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即ab ＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝－(－b )．④由③④联立，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.经检验此时的l 1与l 2不重合，故所求值为 ⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23 ，b ＝2.注：已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(1)对于l 1∥l 2的问题，先由A 1B 2－A 2B 1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l 1和l 2是否重合，若重合，舍去．(2)对于l 1⊥l 2的问题，由A 1A 2＋B 1B 2＝0解出字母的值即可． 2．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－43 C ．2D ．3解析：选D 由2a －6＝0得a ＝3.故选D.3．已知直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.32 B.32或0 C ．0D ．－2解析：选A 当a ＝0时，两直线的方程化为x ＝1和x ＝1，显然重合，不符合题意；当a ≠0时，a －11＝a 2a ，解得a ＝32.故选A.二、直线方程1．直线方程的五种形式2．常见的直线系方程(1)经过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都不能得到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2.(2)平行直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )．(3)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0.4.过点A (3，－1)作直线l 交x 轴于点B ，交直线l 1：y ＝2x 于点C ，若|BC |＝2|AB |，求直线l 的方程．[解] 当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝3， ∴B (3,0)，C (3,6)．此时|BC |＝6，|AB |＝1，|BC |≠2|AB |， ∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)， 显然k ≠0且k ≠2. 令y ＝0，得x ＝3＋1k ， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1k ，0，由⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＋1＝k (x －3)，得点C 的横坐标x C ＝3k ＋1k －2.∵|BC |＝2|AB |，∴|x B －x C |＝2|x A －x B |，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ＋1k －2－1k －3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k ， ∴3k ＋1k －2－1k －3＝2k 或3k ＋1k －2－1k －3＝－2k ， 解得k ＝－32或k ＝14.∴所求直线l 的方程为3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0. 注：求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解：(1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程．5．已知直线l 1：3x －2y －1＝0和l 2：3x －2y －13＝0，直线l 与l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，若d 1∶d 2＝2∶1，求直线l 的方程．解：由直线l 1，l 2的方程知l 1∥l 2，又由题意知，直线l 与l 1，l 2均平行(否则d 1＝0或d 2＝0，不符合题意)．设直线l ：3x －2y ＋m ＝0(m ≠－1且m ≠－13)，由两平行直线间的距离公式，得d 1＝|m ＋1|13，d 2＝|m ＋13|13，又d 1∶d 2＝2∶1，所以|m ＋1|＝2|m ＋13|，解得m ＝－25或m ＝－9.故所求直线l 的方程为3x －2y －25＝0或3x －2y －9＝0. 6．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)． ∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.三、圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：①过两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ为参数，λ≠－1)，该方程不包括圆C 2；②过圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ为参数，λ∈R)．7.在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－3,0)，B (2,0)，C (0，－4)，经过这三个点的圆记为M .(1)求BC 边的中线AD 所在直线的一般式方程； (2)求圆M 的方程．[解] (1)法一：由B (2,0)，C (0，－4)，知BC 的中点D 的坐标为(1，－2)． 又A (－3,0)，所以直线AD 的方程为y －0－2－0＝x ＋31＋3，即中线AD 所在直线的一般式方程为x ＋2y ＋3＝0. 法二：由题意，得|AB |＝|AC |＝5， 则△ABC 是等腰三角形， 所以AD ⊥BC .因为直线BC 的斜率k BC ＝2， 所以直线AD 的斜率k AD ＝－12，由直线的点斜式方程，得y －0＝－12(x ＋3)， 所以直线AD 的一般式方程为x ＋2y ＋3＝0. (2)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将A (－3,0)，B (2,0)，C (0，－4)三点的坐标分别代入方程，得⎩⎨⎧9－3D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，16－4E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1，E ＝52，F ＝－6.所以圆M 的方程是x 2＋y 2＋x ＋52y －6＝0. 注：利用待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值．(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，从而求出D ，E ，F 的值．8．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8解析：选B 直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.9．已知圆C 经过点A (2，－3)，B (－2，－5)，且圆心在直线l ：x －2y －3＝0上，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由题意，得⎩⎨⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.10．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程．解：联立两圆的方程得方程组 ⎩⎨⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，相减得公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0解得两圆交点坐标为(－1,2)，(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径长为12 (5＋1)2＋(－6－2)2＝5.∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.四、直线与圆的位置关系1．直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径长为r .若d <r ，则直线和圆相交；若d ＝r ，则直线和圆相切；若d >r ，则直线和圆相离．(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离．2．过圆外一点(x 0，y 0)与圆相切的切线方程的求法①当切线斜率存在时，设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，化成一般式kx －y ＋y 0－kx 0＝0，利用圆心到直线的距离等于半径长，解出k ；②当切线斜率存在时，设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2联立，化为关于x 的一元二次方程，利用判别式为0，求出k .当切线斜率不存在时，可通过数形结合思想，在平面直角坐标系中作出其图象，求出切线的方程．3．圆中弦长的求法(1)直接求出直线与圆或圆与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式求解． (2)利用圆的弦长公式l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2(其中x 1，x 2为两交点的横坐标)．(3)利用垂径定理：分别以圆心到直线的距离d 、圆的半径r 与弦长的一半l 2为线段长的三条线段构成直角三角形，故有l ＝2r 2－d 2.4．圆与圆的位置关系：(1)利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系． (2)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交．则两圆方程相减后得到的新方程：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0表示的是两圆公共弦所在直线的方程．11.(1)直线x ＋y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.22B.32C. 3D. 2(2)若直线x －my ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则m 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．±3D. 3(3)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 过定点A (1,0)． ①若l 与圆C 相切，求l 的方程；②若l 与圆C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝22，求此时直线l 的方程． [解析] (1)∵圆心(1,2)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝22，∴|AB |＝212－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，故选D.(2)由x 2＋y 2－2x ＝0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|1－0＋1|1＋m2＝1，解得m ＝±3. 答案：(1)D (2)C(3)解：①若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝1，符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由题意知，圆心(3,4)到直线l的距离等于2，即|3k－4－k|k2＋1＝2，解得k＝34，此时直线l的方程为3x－4y－3＝0.综上可得，所求直线l的方程是x＝1或3x－4y－3＝0.②由直线l与圆C相交可知，直线l的斜率必定存在，且不为0，设直线l的方程为k0x－y－k0＝0，圆心(3,4)到直线l的距离为d，因为|PQ|＝24－d2＝22，所以d＝2，即|3k0－4－k0|k20＋1＝2，解得k0＝1或k0＝7，所以所求直线l的方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0.注：研究直线与圆位置关系综合问题时易忽视直线斜率k不存在情形，要注意作出图形进行判断．12．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为()A．1 B．2 2C.7 D．3解析：选C切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7.13．P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，P A，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形P ACB面积的最小值是()A. 2 B．2 2C. 3 D．2 3解析：选C圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心C(1,1)，半径r＝1.根据对称性可知四边形P ACB的面积等于2S△APC ＝2×12×|P A|×r＝|P A|＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1.要使四边形P ACB 的面积最小，则只需|PC |最小，最小值为圆心C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋42＝105＝2，所以四边形P ACB面积的最小值为4－1＝ 3.14．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 满足：以AB 为直径的圆经过原点．解：假设存在且设l ：y ＝x ＋m ，圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C (1，－2)，则过圆心C 垂直弦AB 的直线为y ＋2＝－x ＋1，解方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y ＋2＝－x ＋1得AB 的中点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋12，m －12，由于以AB 为直径的圆过原点，所以|AN |＝|ON |. 又|AN |＝|CA |2－|CN |2＝ 9－2×⎝⎛⎭⎪⎫m ＋322， |ON |＝⎝⎛⎭⎪⎫－m ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122.所以9－2×⎝⎛⎭⎪⎫3＋m 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122， 解得m ＝1或m ＝－4.所以存在直线l ，其方程为x －y ＋1＝0和x －y －4＝0，并可以检验，这时l 与圆是相交于两点的．。
高考数学(理科)-直线与圆-专题练习(含答案与解析)
高考数学（理科）专题练习已知2O x y ：＋的O 的两条切，求AOC的面积22：＋＋x y已知ABC的三个顶点坐标分别为圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为3＋，则k≥OA OB AB||||，＋A．(3)∞OA，OB满足-=+，则实数O A O B O A O B23||23|．(2016·滨州二模)在平面直角坐标系．已知ABC的三个顶点，其外接圆为H．）若直线l过点，且被H截得的弦长为的方程；）对于线段BH上的任意一点P，若在以点为圆心的圆上都存在不同的两点的中点，求C的半径的取值范围．高考数学（理科）专题练习直线与圆，＋][)1∞Rt ACD中，可得CD PD＝，，即0，－＝，x y()?5022被H 截得的弦长为3＝为所求；的C 上，222y r ⎫-=故C的半径山东省2017年高考数学（理科）专题练习直线与圆 －4－2＋－1－2－＝－1，将圆化为标准方程得⎝⎛x －1－2＋－－2＝＋y 2＝by －1＋4b 2＋b2＝，当且仅当＋－2＝分的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为4y＋20－2＋－2＋－2＝＋－2＝，∴以原点为圆心的圆若与三角形有唯一的公共点，则公共点为(0，，∴圆的半径为1或37则该圆的方程为x2．故选a－2＋b－2的最小值为B因为圆心(3，－5)到直线4x＝2的距离等于1时，⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－－a ＋2＝|a |＝2，a ＝2，4分的方程是(2)2＋y 24．5分－2＋＋(y －3)2＝l 的距离为x 轴时，显然符合题意，即⎪⎧x －2＋y －2＝⎝⎛⎭⎫m ＋x 2－32＋⎝⎛⎭⎫n ＋y 2－2⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝x ＋m －2＋y ＋n －2＝因为该关于x ，y 的方程组有解，即以(3，为圆心，r 为半径的圆与以为半径的圆有公共点，。
高三数学直线与圆的位置关系试题答案及解析
高三数学直线与圆的位置关系试题答案及解析1.已知直线（其中为非零实数）与圆相交于两点，O为坐标原点，且为直角三角形，则的最小值为 .【答案】4【解析】∵直线（其中为非零实数）与圆相交于两点，O为坐标原点，且为直角三角形，∴，∴圆心O（0,0）到直线的距离，化为，∴，当且仅当取等号，∴的最小值为4.【考点】基本不等式.2.已知直线，若曲线上存在两点P、Q关于直线对称，则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为已知直线，若曲线上存在两点P、Q关于直线对称，所以直线必过圆的圆心(-1,3),从而有,故选D.【考点】1.圆的一般方程;2.圆的对称性.3.直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（）充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由时,圆心到直线的距离.所以弦长为.所以.所以充分性成立,由图形的对成性当时, 的面积为.所以不要性不成立.故选A.【考点】1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.4.直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则 .【答案】2【解析】依题意，设与单位圆相交于两点，则∠°.如图，当时满足题意，所以.【考点】直线与圆相交，相等弧的概念，容易题.5.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．C．D．【答案】B【解析】可知点(3,5)在圆内,所以最长弦AC 为圆的直径.设AC 与BD 的交点为M(3,5) x 2+y 2-6x-8y=0(x-3)2+(y-4)2="25" AC=10,圆心O(3,4) ∵BD 为最短弦∴AC 与BD 相垂直,垂足为M,所以OM==1 ∴BD=2BM=2=4∵S 四边形ABCD =S △ABD +S △BDC =×BD×MA+×BD×MC=×BD×(MA+MC) =×BD×AC ∴S 四边形ABCD =×4×10=20.6. 已知圆C 的方程为：x 2＋y 2－2mx －2y ＋4m －4＝0(m ∈R)． (1)试求m 的值，使圆C 的面积最小；(2)求与满足(1)中条件的圆C 相切，且过点(1，－2)的直线方程．【答案】（1）当m ＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小． （2）x ＝1或4x －3y －10＝0.【解析】圆C 的方程：(x －m)2＋(y －1)2＝(m －2)2＋1.(1)当m ＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小． (2)当m ＝2时，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1， 设所求的直线方程为y ＋2＝k(x －1)， 即kx －y －k －2＝0， 由直线与圆相切，得＝1，k ＝，所以切线方程为y ＋2＝(x －1)，即4x －3y －10＝0，又因为过点(1，－2)且与x 轴垂直的直线x ＝1与圆也相切， 所以所求的切线方程为x ＝1或4x －3y －10＝0.7. 设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－，1＋]B ．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)C ．[2－2，2＋2]D ．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)【答案】D【解析】圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为＝1，所以m ＋n ＋1＝mn≤(m ＋n)2， 所以m ＋n≥2＋2或m ＋n≤2－2.8. 在平面直角坐标系中，直线（为参数）与圆（为参数）相切，切点在第一象限，则实数的值为 . 【答案】. 【解析】直线的一般式方程为，圆的圆心坐标为，半径长为，则有，解得或，由于切点在第一象限，则直线必过第一象限，则，因此.【考点】1.参数方程与普通方程间的转化；2.直线与圆的位置关系9.已知，则直线与圆：的位置关系是( )．A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】B【解析】方程组只有一解，即题设中直线与圆只有一个公共点，因此它们相切，选B.【考点】直线和圆的位置关系.10.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1过定点A(1，0)．(1)若l1与圆相切，求l1的方程；(2)若l1与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，判断AM·AN是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）x＝1或3x－4y－3＝0（2）6【解析】(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即＝2，解得k＝. ∴所求直线方程是x＝1或3x－4y－3＝0.(2)(解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.由得N.又直线CM与l1垂直，由得M.∴AM·AN＝·＝＝6为定值．故AM·AN是定值，且为6.(解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.由得N.再由得(1＋k2)x2－(2k2＋8k＋6)x＋k2＋8k＋21＝0.∴x1＋x2＝，得M.以下同解法1. (解法3)用几何法连结CA并延长交l2于点B，kAC＝2，kl2＝－，∴CB⊥l.如图所示，△AMC∽△ABN，则，2可得AM·AN＝AC·AB＝2·＝6，是定值11.已知t∈R，圆C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0.(1)若圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，求圆C的方程；(2)圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由．【答案】（1）x2＋y2＋2x－2y－8＝0或x2＋y2－4x－8y＋4＝0（2）过定点(2，0)．【解析】(1)配方得(x－t)2＋(y－t2)2＝t4＋t2－4t＋4，其圆心C(t，t2)．依题意t－t2＋2＝0t＝－1或2.即x2＋y2＋2x－2y－8＝0或x2＋y2－4x－8y＋4＝0为所求方程．(2)整理圆C的方程为(x2＋y2－4)＋(－2x＋4)t＋(－2y)·t2＝0，令故圆C过定点(2，0)．12.已知圆C的圆心与点P(－2，1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A、B两点，且＝6，求圆C的方程．【答案】x2＋(y＋1)2＝18.【解析】设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心C(a，b)，由题意得解得故C(0，－1)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝3.∵AB＝6，∴r2＝d2＋＝18，∴圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.13.已知圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P、Q两点．(1)求圆C的方程；(2)若·＝－2，求实数k的值．【答案】（1）x2＋y2＝4（2）k＝0.【解析】(1)设圆心C(a，a)，半径为r.因为圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，所以圆C的方程是x2＋y2＝4.(2)因为·＝2×2×cos〈，〉＝－2，且与的夹角为∠POQ，所以cos∠POQ＝－，∠POQ＝120°，所以圆心C到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝1，又d＝，所以k＝0.14.在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：(x－1)2＋y2＝4上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则线段PQ长度的最小值为________．【答案】－2【解析】点Q在直线x－2y－6＝0上，圆心(1，0)到该直线的距离为d＝＝，因此线段PQ长度的最小值为－2.15.如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C.求证：BT平分∠OBA.【答案】见解析【解析】证明连接OT，因为AT是切线，所以OT⊥AP.又因为∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，所以AB∥OT，所以∠TBA＝∠BTO.又OT＝OB，所以∠OTB＝∠OBT，所以∠OBT＝∠TBA，即BT平分∠OBA.16.已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：x cos θ＋y sin θ＝1.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝________.【答案】4【解析】圆心O到直线l的距离d＝＝1，又圆O半径为，∴圆O上到l的距离等于1的点有4个．17.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程为为参数），圆的极坐标方程为.（1）若圆关于直线对称，求的值；（2）若圆与直线相切，求的值.【答案】（1）2；（2）或【解析】（1）因为要求圆关于直线对称的圆，首先将直线的参数方程化为普通方程，同样的要将圆的极坐标方程化为普通方程，由于圆关于直线对称，所以直线经过圆的圆心.所以将圆心的坐标代入直线方程即可求出结论.（2）若圆与直线相切，则圆心到直线的距离为半径的长，由（1）可得的直线方程和圆的方程可得相应的量，从而可求出结论.试题解析：（1）直线;圆,圆心为,半径.由题设知,直线过圆心,所以,所以；（2）点到直线的距离为因此整理得,所以或【考点】1.直线的参数方程.2.圆的极坐标方程.3.直线与圆的位置关系.18.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是()．A．－B．－C．－D．－【答案】A【解析】因为圆C的方程可化为：(x－4)2＋y2＝1，所以圆C的圆心为(4,0)，半径为1.依题意知直线y＝kx＋2上至少存在一点A(x0，kx＋2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，所以存在x0∈R，使得|AC|≤1＋1成立，即|AC|min≤2.因为|AC|min即为点C到直线y＝kx＋2的距离.所以≤2，解得－≤k≤0，所以k的最小值为－.19.已知椭圆的离心率为，且经过点，圆的直径为的长轴.如图，是椭圆短轴端点，动直线过点且与圆交于两点，垂直于交椭圆于点.（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）已知椭圆的离心率为即可得到与的关系式,再结合椭圆过点,代入椭圆方程组成方程组可求解得到椭圆方程; （2）要求面积可先求两个弦长度,是一直线与圆相交得到的弦长,可采用圆的弦长公式,而是椭圆的弦长,使用公式求解,把面积表示成变量的函数, 求其最值时可用换元法求解.对当斜率为0时要单独讨论.试题解析：（1）由已知得到,所以,即.又椭圆经过点,故,解得,所以椭圆的方程是（2）因为直线且都过点①当斜率存在且不为0时,设直线,直线,即,所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截弦由得,所以所以.令,则,当,即时,等号成立,故面积的最大值为,此时直线的方程为②当斜率为0时,即,此时当的斜率不存在时,不合题意;综上, 面积的最大值为,此时直线的方程为.【考点】直线与圆的位置关系,弦长公式,换元法求函数最值.20.已知的三个顶点，，，其外接圆为．(1)若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程；(2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）求的外接圆方程可用待定系数法或利用两边垂直平分线的交点先求出圆心，再利用两点之间距离公式求出半径，求出圆的方程后再利用待定系数法求出直线的方程，此时要注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论；（2）可设出点的坐标，再把点的坐标用其表示，把点的坐标代入圆的方程，利用方程组恒有解去考察半径的取值范围，但要注意三点不能重合，即圆和线段无公共点.试题解析：(1)线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心，半径，的方程为． 4分设圆心到直线的距离为，因为直线被截得的弦长为2，所以．当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求； 6分当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，综上，直线的方程为或． 8分(2) 直线的方程为，设，因为点是点，的中点，所以，又都在半径为的上，所以即 10分因为该关于的方程组有解，即以为圆心为半径的圆与以为圆心为半径的圆有公共点，所以， 12分又，所以对]成立．而在[0，1]上的值域为[，10]，故且． 15分又线段与圆无公共点，所以对成立，即.故的半径的取值范围为． 16分【考点】圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.21.已知圆的方程为，直线l的方程为，若圆与直线相切，则实数m= .【答案】2或－8【解析】因为直线与圆相切，所以.【考点】直线与圆的位置关系.22.若点在曲线（为参数，）上，则的取值范围是 .【答案】.【解析】曲线（为参数，）表示的是以点为圆心，以为半径长的圆，令，即，即点既在直线上，也在圆上，则圆心到直线的距离，解得，即的取值范围是.【考点】1.圆的参数方程；2.直线与圆的位置关系23.过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（）A．2x+y-3=0B．2x-y-3="0"C．4x-y-3=0D．4x+y-3=0【答案】A【解析】因为过点作圆的两条切线，切点分别为，所以圆的一条切线方程为，切点之一为，显然B、D选项不过，B、D不满足题意；另一个切点的坐标在的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选A．【考点】圆的切线方程，直线的一般方程．24.直线与圆有两个不同交点,则满足（）．A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】直线与圆有两个不同交点，则圆心到直线距离小于半径，即，解得．【考点】直线与圆的位置关系．25.如图，已知半径为的⊙与轴交于、两点，为⊙的切线，切点为，且在第一象限，圆心的坐标为，二次函数的图象经过、两点.（1）求二次函数的解析式；（2）求切线的函数解析式；（3）线段上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）切线的函数解析式为；（3）点的坐标为或.【解析】（1）先求出圆的方程，并求出圆与轴的交点和的坐标，然后将点和的坐标代入二次函数中解出和的值，从而确定二次函数的解析式；（2）由于切线过原点，可设切线的函数解析式为，利用直线与圆求出值，结合点的位置确定切线的函数解析式；（3）对或进行分类讨论，充分利用几何性质，从而确定点的坐标.试题解析：（1）由题意知，圆的方程为，令，解得或，故点的坐标为，点的坐标为，由于二次函数经过、两点，则有，解得，故二次函数的解析式为；（2）设直线所对应的函数解析式为，由于点在第一象限，则，由于直线与圆相切，则，解得，故切线的函数解析式为；（3）由图形知，在中，，，，在中，，由于，因为，则必有或，联立，解得，故点的坐标为，当时，直线的方程为，联立，于是点的坐标为；当时，，由于点为线段的中点，故点为线段的中点，此时点的坐标为.综上所述，当点的坐标为或时，.【考点】1.二次函数的解析式；2.直线与圆的位置关系；3.相似三角形26.设，，直线：，圆：．若圆既与线段又与直线有公共点，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】圆：，圆心，圆与直线相交，则，；当圆过时，圆心，从该位置圆向左平移至与相切时，取负值，直线为：，相切时有：，即（），所以，则.所以.【考点】1.点到直线的距离公式；2.圆与直线的位置关系.27.过点作圆的两条切线,切点分别为,,则直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为过点作圆的两条切线，切点分别为、，所以，圆的一条切线方程为，切点之一为，显然、选项直线不过，、不符合题意；另一个切点的坐标在的右侧，所以切线的斜率为负，选项不满足，满足．故选．【考点】直线与圆的位置关系28.若，则直线被圆所截得的弦长为 ( )A．B．1C．D．【答案】D【解析】因为，所以设弦长为，则，即.【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系——相交.29.若直线经过点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知直线经过点，而点在圆上，所以直线与圆有交点，所以圆心到直线的距离小于或等于半径：．【考点】点与圆、直线与圆的位置关系．30.在极坐标系中，直线与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【答案】C【解析】直线方程为，圆的方程为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离.【考点】极坐标方程、直线与圆的位置关系.31.直线y= x+1被圆x2-2x +y2-3 =0所截得的弦长为_____【答案】【解析】圆的标准方程为，圆心，半径．圆心到直线的距离，所以弦长．【考点】直线与圆的位置关系．32.若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为直线y=kx与圆（x-2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，直线2x+y+b=0的斜率为-2，所以k=，并且直线经过圆的圆心，所以圆心（2，0）在直线2x+y+b=0上，所以4+0+b=0，b=-4．故选A．【考点】直线与圆的位置关系；关于点、直线对称的圆的方程．点评：本题考查直线与圆的位置关系，对称直线方程的应用，考查分析问题解决问题与计算能力. 33.直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若，则根据圆心到直线的距离、圆半径和半弦长组成一个直角三角形可以得到，圆心到直线的距离等于1，若，则圆心到直线的距离小于等于1，根据点到直线的距离公式可知，解得k的取值范围是.【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式的应用.点评：遇到直线与圆相交的题目，常常用到圆心到直线的距离、圆半径和半弦长组成一个直角三角形，进而用点到直线的距离公式或数形结合解决问题.34.直线R与圆的交点个数是( )A．0B．1C．2D．无数个【答案】C【解析】判断直线与圆的位置关系经常利用圆的几何性质来解决，即当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，故本题应先求圆心（2，0）到直线x+ay-1=0的距离，再证明此距离小于半径，即可判断交点个数。
直线与圆高考题精选培优
直线与圆高考题精选培优引言在高考数学中，直线与圆是一个非常重要的知识点，涉及到的知识点较多，且题目多样化。
本文将为大家精选了一些高考题，旨在帮助大家理解直线与圆的相关概念和解题技巧，加深对该知识点的理解。
1. 直线与圆的基本概念在开始解答高考题之前，我们需要先了解直线与圆的基本概念。
直线：直线是一个无限延伸的平面几何对象，其上的点满足相邻两点间的距离是恒定的。
圆：圆是一个平面几何对象，由一个平面上距离中心恒定为r的点组成，其中r称为圆的半径。
对于直线和圆的相关性质和定理，请参考数学教材和相关学习资料。
2. 高考题精选解析题目一已知点A(-2,3)和点B(4,-1)分别在直线l上，且l与圆C的交点为M(-1,2)和N(3,0)。
求直线l的方程和圆C的方程。
解析：首先求直线l的方程。
由题目可知，直线l过点A(-2,3)和点B(4,-1)，我们可以使用两点式求直线的方程。
直线l的斜率为：m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1 - 3) / (4 - -2) = -1然后我们可以使用点斜式求直线l的方程。
直线l通过点A(-2,3)，斜率为-1，直线的方程为：y - y1 = m(x - x1) => y - 3 = -1(x - -2) => y - 3 = -x - 2 => y = -x + 1接下来，我们求圆C的方程。
已知圆C的两个交点为M(-1,2)和N(3,0)，我们可以使用两点式求圆的方程。
圆C的半径为r，中心点为O(x0, y0)，则圆的方程为：(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2代入两个交点的坐标，我们有：(-1 - x0)^2 + (2 - y0)^2 = r^2 和 (3 - x0)^2 + (0 - y0)^2 = r^2通过联立方程，我们可以求解圆的方程。
具体的求解过程省略。
题目二已知圆O的半径为4，点A(3,0)为圆上的一点，直线l过点A且与圆O相切。
直线与圆的方程培优试题
直线与圆的方程培优试题题目一给定一个圆的方程为：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，求出过点(x0, y0)且与该圆相切的直线的方程。
解析我们知道，直线与圆相切的条件是：直线上的一点到圆心的距离等于圆的半径。
因此，我们需要找到一条直线，使得直线上的某个点(x, y)到圆心(a, b)的距离等于半径r。
设直线的方程为y = kx + c，将其代入圆的方程中，得到：(x - a)^2 + (kx + c - b)^2 = r^2展开并整理得到：(x^2 - 2ax + a^2) + (k^2x^2 + c^2 + b^2 - 2kcx - 2kb)x + (2bkc - 2bc) = r^2由于直线与圆相切，所以该方程有唯一解。
根据相等斜率定理，我们知道，直线与圆相切意味着两者的切点处的斜率相等。
因此，我们可以通过解方程组来求解该问题。
将上述方程与圆的方程联立，可得到一个二元一次方程组：2bk - 2a = 02bkc - 2bc - r^2 + a^2 + b^2 - c^2 = 0解方程组得到：k = (a - c) / bc = r^2 / (b - k)因此，过点(x0, y0)且与给定圆相切的直线的方程为：y = ((x0 - a) / b) * x + (r^2 / (b - ((x0 - a) / b)))题目二给定一个直线的方程为：y = kx + c，求该直线与圆(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2的交点坐标。
解析我们需要找到直线与圆的交点，也就是说，找到直线和圆的方程组的解。
将直线的方程代入圆的方程中，得到：(x - a)^2 + (kx + c - b)^2 = r^2展开并整理得到：(x^2 - 2ax + a^2) + (k^2x^2 + c^2 + b^2 - 2kcx - 2kb)x + (2bkc - 2bc) = r^2合并同类项得到：(1 + k^2)x^2 + (-2a - 2ck - 2kb)x + (a^2 + c^2 + b^2 - 2kcx - 2bc -r^2) = 0这是一个二次方程，我们可以使用二次方程的求根公式来求解。
高三数学《直线与圆》专题测试题含答案
高三数学《直线与圆》专题测试题含答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．直线l 过点(2，2)，且点(5，1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0 C ．3x －y －4＝0 D ．x －3y －4＝03．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C.3D ．24．过点P (－2，2)作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条5．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0 6．已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y ＝07．已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213 C.253 D.438．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝59．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，3 2 ]10．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．26B ．4 C.6D ．211．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离12．已知两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D.49第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。
直线与圆的位置关系练习(含参考答案)
直线与圆的位置关系习题课班级 学号 姓名-----------------------------------------------------【基础训练】-------------------------------------------------------1．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值解析 由y ＝kx ＋1知直线过定点(0,1)，由x 2＋y 2－2y ＝0得x 2＋(y －1)2＝1.∴直线经过圆的圆心，∴直线与圆相交．答案 A2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1. 答案 C3．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别 为（ ）A ．k ＝12，b ＝－4B ．k ＝－12，b ＝4C ．k ＝12，b ＝4D ．k ＝－12，b ＝－4 解析 因为直线y ＝k x 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝k x与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4. 答案 A4．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为 ． 解析 显然x ＝2为所求切线之一；另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，即3x －4y ＋10＝0. 答案 x ＝2或3x －4y ＋10＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0(m ＜3)的一条弦AB 的中点为P (0,1)，则垂直于AB 的直径所在直线的方程为 .解析 由圆的方程得该圆圆心为C (－1,2)，则CP ⊥AB ，直线CP 的斜率为－1，故垂直于AB 的直径所在直线的方程为y －1＝－x ，即x ＋y －1＝0.6．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为 ．解析 由题意得，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，从而直线方程y －1＝－1－120－1⎝⎛⎭⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.答案 2x －4y ＋3＝07．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，求实数a 的值.解析：圆C ∶x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆心为C (－1,2)，半径为3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |2＝322，所以a ＝0或6.8．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解析 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2， 解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎨⎧ |CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.-------------------------------------------------------【能力提升】-----------------------------------------------------9．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析 选A 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.10．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切；②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离；③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交；④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析 根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．答案 A11．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1（0<θ<π2）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝ .解析 圆O 的圆心(0,0)到直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1的距离d ＝1.而圆的半径r ＝5，且r －d ＝5－1>1，∴圆O 上在直线l 的两侧各有两点到直线l 的距离等于1.答案：412．已知直线l ：y ＝－3(x －1)与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于 ．解析 依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y轴的交点A 的坐标为(0，3)．由2211x y y +==-⎧⎪⎨⎪⎩，得点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34. 答案 3413．过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是 ．解析 法一 如图所示，|OP |＝|OA |sin ∠OP A＝2，易得P 为CD 中点，故P (2，2)． 法二 设P (x ，y )，由法一可得⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝2，x ＋y －22＝0⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，故P (2，2)．答案 (2，2)14．半径为5的圆C 过点A )4,2(-，且以)3,1(-M 为中点的弦长为34，求圆C 的方程.解析 设圆方程为22()()25x a y b -+-=，依题意，2222(2)(4)2525a b ⎧--+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=⎩. 所以圆C 方程为：22(1)25x y -+=或22(2)(1)25x y -+-=. 15. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求下列各式的最大值与最小值：（1）y x； （2）y －x ； （3）(x +1)2＋y 2．解析 (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. (2)y +x 可看作是直线y ＝-x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝-x＋b 与圆相切时，纵截距b取得=，解得b ＝2±6.所以y +x 的最大值为2＋6，最小值为2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与点(-1,0)距离的平方，由平面几何知识知，在点(-1,0)与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．3=，所以x 2＋y 2的最大值是(3＋3)2＝12＋63，x 2＋y 2的最小值是(3－3)2＝12－6 3.16．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．（1）若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程；（2）求四边形QAMB 面积的最小值；（3）若|AB |＝423，求直线MQ 的方程． 解析 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP |＝ 1－⎝⎛⎭⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9.设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。
圆高考题——精选推荐
直线和圆的高考题(一) 制作人 韩永权 审核人 程奋权 2013.10.第一周 1 有关圆的方程1（2004全国卷1理） 14．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为的轨迹方程为 . 2（2001上海理）6．圆心在直线x y =上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程为________． 3（2010广东）12若圆心在x 轴上、半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线0x y +=相切，则圆O 的方程是的方程是 ． 4 (2009辽宁理) (4) 已知圆C 与直线x －y=0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C 的方程为的方程为（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++=5（2006四川理）（6）已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2P A PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于的轨迹所包围的图形的面积等于（A ）9p （B ）8p （C ）4p （D ）p2有关圆与圆的位置关系有关圆与圆的位置关系6（2008重庆理）（(3)(3)圆圆221:20O x y x +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是的位置关系是(A)(A)相离相离相离(B)(B)相交相交相交(C)(C)外切外切外切(D)(D)内切内切内切3 3 有关直线和圆的位置关系有关直线和圆的位置关系有关直线和圆的位置关系7（2008陕西理）5．直线30x y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ） A ．3或3-B ．3-或33C ．33-或3D ．33-或338（2008重庆理）（（1515）直线）直线l 与圆22240(3)x y x y a a ++-+=<相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为（的中点为（00，1），则直线l 的方程为的方程为 . . 9（2008全国一）10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M a a ，，则（，则（ ） A ．221a b+≤B ．221a b +≥ C ．22111a b +≤ D ．22111a b+≥1010（（2009陕西理）陕西理）4.4.4.过原点且倾斜角为过原点且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（A ）3 （（B ）2 2 （（C ）6 （（D ）23 112010江西)8.直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M,N 两点，若23MN ³，则k 的取值范围是的取值范围是A. 304éù-êúëû，B. []304éù-¥-+¥êúëû ，，C. 3333éù-êúëû，D. 203éù-êúëû，4有关最值问题有关最值问题12（2008山东理）11．已知圆的方程为22680x y x y +--=．设该圆过点(35)，的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（的面积为（ ） A ．106B ．206C ．306D ．40613（2007山东理）15．与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是_________. 14（2009全国二）16. 已知AC BD 、为圆O :224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为()1,2M ,则四边形ABCD 的面积的最大值为的面积的最大值为 。
高中数学-直线、圆与方程压轴题(培优、提高)汇编
高二数学 第3讲 直线与圆综合1.已知圆C ：x 2+y 2+2x -3=0．（1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，求证：2111x x 为定值；（3）斜率为1的直线m 与圆C 相交于D 、E 两点，求直线m 的方程，使△CDE 的面积最大．2.已知点G （5，4），圆C 1：（x -1）2+（x -4）2=25，过点G 的动直线l 与圆C 1相交于E 、F 两点，线段EF 的中点为C ．（1）求点C 的轨迹C 2的方程；（2）若过点A （1，0）的直线l 1与C 2相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为M ；又l 1与l 2：x +2y +2=0的交点为N ，求证|AM|•|AN|为定值．3.已知点C （1，0），点A ，B 是⊙O ：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足0=⋅BC AC ，设M 为弦AB 的中点．求点M 的轨迹T 的方程；4.已知平面直角坐标系上一动点(,)P x y 到点(2,0)A -的距离是点P 到点(1,0)B 的距离的2倍。
（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 与点Q 关于点(2,1)对称，点(3,0)C ，求22||||QA QC +的最大值和最小值；（3）过点A 的直线l 与点P 的轨迹C 相交于,E F 两点，点(2,0)M ，则是否存在直线l ，使EFM S △取得最大值，若存在，求出此时l 的方程，若不存在，请说明理由。
5.已知圆22:4O x y +=和点(1,)M a ．（1）若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求正数a 的值，并求出切线方程；（2）若a =M 的圆的两条弦AC ，BD 互相垂直．①求四边形ABCD 面积的最大值；②求||||AC BD +的最大值．6.已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2+y 2-6x +5=0相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆C 1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L ：y =k （x -4）与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．7.已知以点A（-1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切．过点B（-2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．（I）求圆A的方程；2时，求直线l的方程；（Ⅱ）当MN＝19（Ⅲ）BPBQ 是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．8.已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．9.平面直角坐标系xoy中，直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6.（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．10.已知圆M：x2+（y-4）2=4，点P是直线l：x-2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．11.已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．。
2022年高考数学总复习考点培优——直线与圆、圆与圆的位置关系
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系【教材回扣】1．直线与圆的位置关系设圆O的半径为r(r＞0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示：相离相切相交Δ______0Δ______0Δ______0若P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2(r＞0)上，则以P为切点的切线方程为F7______________.3．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R，r(R>r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：相离外切相交内切内含____________________________________【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．“k＝2”是“直线x＋y＋k＝0与圆x2＋y2＝2相切”的必要不充分条件．() 2．若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．()3．若两圆相切，则有且只有一条公切线．()4．从两圆的方程中消掉二次项后得到二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()题组二教材改编1．直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦AB的长为()A.102B.10C.265D.22652．已知直线4x＋3y－35＝0与圆心在原点的圆C相切，则圆C的方程为() A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝5C．x2＋y2＝7 D．x2＋y2＝493．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为________．题组三易错自纠1．若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是()A．[－2，2] B．[－22，22]C．[－2－1，2－1] D．[－22－1,22－1]2．(多选题)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A．0＜m＜1 B．－1＜m＜0C．m＜1 D．－3＜m＜13．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3,1)作圆C的切线，则切线方程为________．题型一直线与圆的位置关系的判断[例1](1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是()A．(2＋1，＋∞) B．(2－1，2＋1)C．(0，2－1) D．(0，2＋1)[听课记录]类题通法判断直线与圆的位置关系的一般方法1．几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．2．代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系.巩固训练1：(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定(2)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为________．题型二圆的切线与弦长问题高频考点角度|圆的切线问题[例2](1)[2020·浙江卷](一题两空)已知直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝________，b＝________.(2)从直线l：x＋y＝1上一点P向圆C：x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________．[听课记录]类题通法1.求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－1k，由点斜式可写出切线方程．2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的2种方法(1)几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程．(2)当斜率存在时，设为k，则切线方程y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．[提醒]当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况.巩固训练2：(1)(多选题)过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线的方程为()A．x＝－2 B．x＝2C．4x－3y＋4＝0 D．4x＋3y－4＝0(2)直线l是圆x2＋y2＝4在(－1，3)处的切线，点P是圆x2－4x＋y2＋3＝0上的动点，则点P到直线l的距离的最小值等于________．角度|圆的弦长问题[例3](1)(多选题)[2021·山东德州模拟]直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为()A．6 B．8C．12 D．16(2)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．5 2 B．102C．15 2 D．202(3)[2020·天津卷]已知直线x－3y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点，若|AB|＝6，则r的值为________．[听课记录]类题通法有关弦长问题的2种求法1．几何法：直线被圆截得的半弦长l2，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝(l2)2＋d2.2．代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·(y1＋y2)2－4y1y2.巩固训练3：(1)[2020·全国卷Ⅰ]已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A．1 B．2C．3 D．4(2)(多选题)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为()A．4x－3y＋9＝0 B．x＝0C．3x＋4y－12＝0 D．3x＋4y＋12＝0(3)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝________.题型三圆与圆的位置关系[例4]已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．[听课记录]类题通法(1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察．(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．(3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长l2，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解.巩固训练4：(1)已知圆C1：x2＋y2＋2x＋3y＋1＝0，圆C2：x2＋y2＋4x－3y－36＝0，则圆C1和圆C2的位置关系为()A．相切B．内含C．外离D．相交(2)[2021·山东潍坊模拟]已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋3)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围是________．(3)若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为23，则a＝________.[预测1] 核心素养——直观现象 过点P(x 0，y 0)作圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1的切线，切点分别为A ，B.若|PA|＝|PB|，则x 20＋y 20的最小值为( )A .52B .54C .54 D ．5 [预测2] 新题型——多选题已知圆M 与直线x ＋y ＋2＝0相切于点A(0，－2)，圆M 被x 轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是( )A ．圆M 的圆心在定直线x －y －2＝0上B ．圆M 的面积的最大值为50πC ．圆M 的半径的最小值为1D ．满足条件的所有圆M 的半径之积为10第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 课前基础巩固[教材回扣]＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜x 0x ＋y 0y ＝r 2 d ＞R ＋r d ＝R ＋r R －r ＜d ＜R ＋r d ＝R －r 0≤d ＜R －r [题组练透] 题组一1．× 2.√ 3.× 4.× 题组二1．解析：由已知可知圆C 的圆心为(1,2)，半径为5，圆心到直线的距离为d ＝|3×1－2－6|32＋12＝102.∴|AB |＝2r 2－d 2＝252－⎝⎛⎭⎫1022＝10. 故选B. 答案：B2．解析：由题意知：圆心到直线4x ＋3y －35＝0的距离d 等于半径r .即d ＝3542＋32＝7＝r ，故所求圆的方程为x 2＋y 2＝49. 故选D.答案：D3．解析：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0， 得x －y ＋2＝0.已知圆x 2＋y 2－4＝0的圆心(0,0)，半径r 为2，且圆心(0,0)到直线x －y ＋2＝0的距离d ＝22＝2， 则公共弦长为2r 2－d 2＝24－2＝2 2.答案：22 题组三1．解析：已知圆的圆心坐标为(2,1)，半径r ＝2. 则圆心到直线l 的距离为d ＝|2－1＋m |2≤r ＝2. 解得－22－1≤m ≤22－1. 故选D. 答案：D2．解析：已知圆的圆心坐标为(1,0)，半径r ＝2， 则圆心到直线的距离d ＝|1＋m |2＜2，解得－3＜m ＜1，则－3＜m ＜1的一个充分不必要条件是0＜m ＜1或－1＜m ＜0. 故选AB. 答案：AB3．解析：由题意知P 在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x ＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k ，所以切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，所以|k ×0－0＋1－3k |k 2＋1＝3，解得k ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －15＝0.综上，切线方程为x ＝3或4x ＋3y －15＝0.答案：x ＝3或4x ＋3y －15＝0课堂题型讲解题型一例1 解析：(1)法一 (代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5，消去y 得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0. 因为Δ＝16m 2＋20＞0， 所以直线l 与圆相交．法二 (几何法)由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋1＜1＜5，故直线l 与圆相交．法三 易得直线l 过定点(1,1)．把点(1,1)代入圆的方程有1＋0＜ 5.∴点(1,1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交．(2)计算得圆心到直线l 的距离为22＝2＞1，如图，直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1.故选A.答案：(1)A (2)A巩固训练1 解析：(1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2＜1.所以直线与圆相交．故选B.(2)∵x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0表示圆， ∴8－4b ＞0，即b ＜2.∵直线ax ＋y ＋a ＋1＝0过定点(－1，－1)， ∴点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0的内部， ∴6＋b ＜0，解得b ＜－6，∴b 的取值范围是(－∞，－6)． 答案：(1)B (2)(－∞，－6) 题型二例2 解析：(1)解法一 因为直线y ＝kx ＋b (k ＞0)与圆x 2＋y 2＝1，圆(x －4)2＋y 2＝1都相切，所以|b |1＋k 2＝|4k ＋b |1＋k 2＝1，得k ＝33，b ＝－233. 解法二 因为直线y ＝kx ＋b (k ＞0)与圆x 2＋y 2＝1，圆(x －4)2＋y 2＝1都相切，所以直线y ＝kx ＋b 必过两圆心连线的中点(2,0)，所以2k ＋b ＝0.设直线y ＝kx ＋b 的倾斜角为θ，则sin θ＝12，又k ＞0，所以θ＝π6，所以k ＝tan π6＝33，b ＝－2k ＝－233. (2)如图：圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋4y ＋7＝0的标准方程为：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1.圆心C (－2，－2)，半径r ＝1.∴圆心到直线l ：x ＋y －1＝0的距离|CP |＝|－2－2－1|2＝522，则切线长的最小值为：|CP |2－|CQ |2＝252－1＝462.答案：(1)33 －233 (2)462巩固训练2 解析：(1)根据题意，圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，半径r ＝1.过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，若切线的斜率不存在，此时切线的方程为x ＝2，符合题意；若切线的斜率存在，设此时切线的斜率为k ，则其方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0，则有|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线的方程为4x －3y ＋4＝0.综上可得，切线的方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.故选BC.(2)圆x 2＋y 2＝4在点(－1，3)处的切线为l ：－x ＋3y ＝4，即l ：x －3y ＋4＝0，点P 是圆(x －2)2＋y 2＝1上的动点，圆心(2,0)到直线l ：x －3y ＋4＝0的距离d ＝|2－0＋4|1＋3＝3，∴点P 到直线l 的距离的最小值等于d －1＝3－1＝2.答案：(1)BC (2)2例3 解析：(1)圆C 的圆心坐标为(－3,3)，半径为6，所以弦长AB 的最大值为圆C 的直径12.又直线y ＝kx －1过点P (0，－1)，当直线CP 与直线y ＝kx －1垂直时，弦长AB 最短，此时|AB |＝262－|CP |2＝262－52＝211，所以211≤|AB |≤12，故选BC.(2)圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1,3)，半径r ＝10，由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.故选B.(3)由题意得，圆心(0,0)到直线x －3y ＋8＝0的距离d ＝82＝4，因此r 2＝d 2＋|AB |22＝25，又r ＞0，∴r ＝5.答案：(1)BC (2)B (3)5巩固训练3 解析：(1)将圆的方程x 2＋y 2－6x ＝0化为标准方程(x －3)2＋y 2＝9，设圆心为C ，则C (3,0)，半径r ＝3.设点(1,2)为点A ，过点A (1,2)的直线为l ，因为(1－3)2＋22＜9，所以点A (1,2)在圆C 的内部，则直线l 与圆C 必相交，设交点分别为B ，D .易知当直线l ⊥AC 时，直线l 被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C 到直线l 的距离为d ，则d ＝|AC |＝(3－1)2＋(0－2)2＝22，所以|BD |min ＝2r 2－d 2＝232－(22)2＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B.(2)将圆的方程化为标准形式为：(x －1)2＋(y －1)2＝4，所以圆心为C (1,1)，圆的半径r ＝2，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，圆心到直线l 的距离为d ＝1，所以|AB |＝24－1＝23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，易知圆心C (1,1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，因为d 2＋|AB |22＝r 2，所以(k ＋2)2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x ＋3.即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0，故选BC.(3)记圆C 与y 轴的两个交点分别是A ，B ，由圆心C 到y 轴的距离为1，|CA |＝|CB |＝2可知，圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离也等于1才符合题意，于是|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝± 5.答案：(1)B (2)BC (3)±5 题型三例4 解析：两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)， 半径分别为11和61－m .(1)当两圆外切时， (5－1)2＋(6－3)2 ＝11＋61－m .解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离，故只有61－m －11＝5.解得m ＝25－1011.因为k MN ＝6－35－1＝34，所以两圆公切线的斜率是－43.设切线方程为y ＝－43x ＋b ，则有43×1＋3－b 432＋1＝11.解得b ＝133±5113.容易验证，当b ＝133＋5113，直线与后一圆相交，舍去．故所求公切线方程为y ＝－43x ＋133－5311，即4x ＋3y ＋511－13＝0.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，得公共弦的长为 2×(11)2－|4＋3×3－23|42＋322＝27.巩固训练4 解析：(1)圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋3y ＋1＝0，即(x ＋1)2＋y ＋322＝94，∴C 1－1，－32，圆C 1的半径r 1＝32.圆C 2：x 2＋y 2＋4x －3y －36＝0，即(x ＋2)2＋y －322＝1694， ∴C 2－2，32，圆C 2的半径r 2＝132.∴两圆的圆心距|C 1C 2|＝(－2＋1)2＋32＋322＝10.又∵r 1＋r 2＝32＋132＝8，r 2－r 1＝132－32＝5，∴|C 1C 2|＝10＜r 2－r 1＝5，故两圆内含．故选B.(2)由题意易得∠APO ＝12∠APB ＝30°，|OP |＝|OA |sin ∠APO ＝1sin 30°＝2，∴点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上，∴此圆与圆M 有公共点，∴2－1≤|OM |≤2＋1，即1≤|OM |2≤9.∵|OM |2＝a 2＋(a －3)2＝2a 2－6a ＋9，∴1≤2a 2－6a ＋9≤9，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－6a ＋8≥0，2a 2－6a ≤0，解得0≤a ≤3，∴a 的取值范围是[0,3]． (3)两圆作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0.原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝6a－a .∵公共弦长为2 3.∴a 2＝(3)2＋6a－a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.答案：(1)B (2)[0,3] (3)±2高考命题预测预测1 解析：如图所示，由圆的切线的性质，得|P A |2＝|PC 1|2－1，|PB |2＝|PC 2|2－1.又|P A |＝|PB |，所以|PC 1|＝|PC 2|，所以点P 在线段C 1C 2的垂直平分线上．因为C 1C 2的垂直平分线为y ＝－21(x －1)＋12，即y ＝－2x ＋52，点P (x 0，y 0)在y ＝－2x ＋52上，所以点P 的坐标满足y 0＝－2x 0＋52，所以x 20＋y 20＝x 20＋－2x 0＋522＝5(x 0－1)2＋54≥54，所以x 20＋y 20的最小值为54.故选B. 答案：B预测2 解析：∵圆M 与直线x ＋y ＋2＝0相切于点A (0，－2)，∴直线AM 与直线x ＋y ＋2＝0垂直，∴直线AM 的斜率为1，则点M 在直线y ＝x －2，即x －y －2＝0上，A 正确；设M (a ，a －2)，∴圆M 的半径r ＝|AM |＝a 2＋(a －2＋2)2＝2|a |，∴圆M 被x 轴截得的弦长为2r 2－(a －2)2＝2a 2＋4a －4＝2，解得a ＝－5或a ＝1，当a ＝－5时，圆M 的面积最大，为πr 2＝50π，B 正确；当a ＝1时，圆M 的半径最小，为2，C 错误；满足条件的所有圆M 的半径之积为52×2＝10，D 正确．故选ABD.答案：ABD。
直线和圆的方程十年高考题(含答案)
直线和圆的方程十年高考题（含答案）直线和圆的方程・考点阐释解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科.在建立坐标系后，平面上的点与有序实数对之间建立起对应关系，从而使平面上某些曲线与某些方程之间建立对应关系；使平面图形的某些性质(形状、位置、大小)可以用相应的数、式表示出来；使平面上某些几何问题可以转化为相应的代数问题来研究.学习解析几何，要特别重视以下几方面：(1)熟练掌握图形、图形性质与方程、数式的相互转化和利用；(2)与代数、三角、平面几何密切联系和灵活运用.•试题类编一、选择题1.(2003北京春文12,理10)已知直线ax+by+c=0 (abcw 0)与圆x2+y2=1 相切，贝U三条边长分别为|a|, |b|, |c|的三角形( )A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在2.（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy 中，已知△ AOB三边所在直线的方程分别为x=0, y=0, 2x+3y=30,贝U/XAOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）A.95B.91C.88D.753.（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（）A.x —y=0B.x+y=0C.|x| —y=0D.|x|—|y|=04.（2002京皖春理，8）圆2x2 + 2y2=1与直线xsin e+y—1 = 0（0 GR, e# 万十kjt,kGZ）的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不确定的5.（2002 全国文）若直线（1+a）x+y+1=0 与圆x2+y2—2x=0相切，则a的值为（）B.2, —2C.1A.1 , —16. （2002全国理）圆（x —1） 2+ y 2=1 的圆心到直线y=^33x 的距离是（）A.1B.‘C.122D.T 37. （2002北京，2）在平面直角坐标系中，已知两点 A （cos80° ,sin80° ） ,B（cos20° , sin20° ）,则 |AB|的值是（ ）A.1B.—C.-D.12228. （2002北京文，6）若直线l: y=kx V3与直线2x + 3y —6=0的交点位于第一象限，则直 线l 的倾斜角的取值范围是（）B.(6,2)D.[6,2]9.（2002北京理，6）给定四条曲线：①x=1.其中与直线x+y —京=0仅有一个交点的曲线是（）十2X一4④1= 2L4 + 2XA.[6,3)A.①②③B.②③④C.①d④ D.①③④10.(2001 全国文，2)过点A (1, —1)、B (―1, 1)且圆心在直线x+y—2=0上的圆的方程是( )A. (x —3) 2+ (y+1) 2 = 4B. ( x + 3) 2+ (y—1) 2=4C. (x—1) 2+ (y—1) 2 = 4D. (x+1) 2+ (y+1) 2= 411.(2001上海春，14)若直线x=1的倾斜角为a ,则a ( )A.等于0B.等于zC.等于万D.不存在12.(2001天津理，6)设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是 ( )A.x+y— 5=0B.2x —y—1=0C.2y—x —4=0D.2x+y — 7=013.(2001京皖春，6)设动点P在直线x=1 上，O为坐标原点.以OP为直角边，点。
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直线与圆高考题精选培优01（10安徽文）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是A（A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=002(10广东文）若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O 的方程是DA.22(5x y +=B.22(5x y +=C.22(5)5x y -+=D.22(5)5x y ++=03（10广东理）已知圆心在x 的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O 的方程是04（10天津文）已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切。
则圆C 的方程为05（10上海文）圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d06（10四川理）直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则AB∣07（09辽宁文）已知圆C 与直线x-y ＝0 及x-y-4＝0都相切，圆心在直线x+y ＝0上，则圆C 方程BA ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y +++=08（09宁夏海南文）圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为BA.2(2)x ++2(2)y -=1B.2(2)x -+2(2)y +=1C.2(2)x ++2(2)y +=1D.2(2)x -+2(2)y -=1 09（10江苏通州高三检测）已知两圆(x-1)2+(y-1)2＝r 2和(x+2)2+(y+2)2＝R 2相交于P,Q 两点，若点P 坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为 ．（2,1）10（10安徽理）动点(),A x y 在圆221x y +=上绕原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒转一周。
已知时间0t =时，点A 的坐标是1(2，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （秒）的函数的单调递增区间是D A 、[]0,1 B 、[]1,7 C 、[]7,12 D 、[]0,1和[]7,1211（10山东文）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为则圆C 的标准方程为 . 22(3)4x y -+=12（10山东理）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被圆C 所截得的弦长为则过圆心且与直线l 13（10江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是14（09上海）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 的值是CA.1或3B.1或5C.3或5D.1或215. Rt△A BC 的斜边为AB ，点A(-2，0),B(4，0)，则△ABC 的重心G 的轨迹方程是CA.(x-1)2+y 2=1(x≠0)B.(x-1)2+y 2=4(y≠0)C.(x-1)2+y 2=1(y≠0)D.(x+1)2+y 2=1(y≠0)16．直线过点(-3,-2)且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线方程为_________2x －3y ＝0或x ＋y ＋5＝017．过点Ｍ(２,１)的直线l 与x 轴，y 轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且MQ MP =,则l 的方程是18．在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：10kx y -+=与圆C ：224x y +=相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数19（10湖南文）若不同两点P,Q 的坐标分别为（a,b ），（3-b,3-a ），则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为 ，圆(x-2)2+(y-3)2＝1关于直线l20（10宁夏理）过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点B(2,1)．则圆C 21（09四川）若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB22. ①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应;②倾斜角的范围是:0°≤α<180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大;③过两点A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示;④过点(1,1),且斜率为1的直线的方程为111y x -=-; ⑤直线Ax+By+C=0(A,B 不同时为零),当A,B,C 中有一个为零时,这个方程不能化为截距式.⑥若两直线平行,则它们的斜率必相等;⑦若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于-1.23．ABC ∆中，点A (),1,4-AB 的中点为M (),2,3重心为P (),2,4求边BC 的长。
5 24mx+y+3=0，x -y -2=0，2x-y+2=0不能成为一个三角形三边所在的直线，则m=25．点)1,2(P 到直线)(0)11()3()12(R k k y k x k ∈=--+--的最远距离为BA.1B.2C.3D.426．圆心为C 的圆经过)1,1(A ，)2,2(-B ，且圆心C 在直线01=+-y x l ：上，求圆心为C 的圆的标准方程。
25)2()3(22=+++y x 27（10江西理）直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=交M,N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是AA. 304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B. []304⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦U ，，C. 33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，203⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 28. 求函数545222+--+-=x x x x y 的最大值，并求出最大值时x 的值。
2，329．如图，在∆ABC 中，∠C=900，P 为三角形内的一点，且PCA PBC PAB S S S ∆∆∆==，求证：2225PC PB PA =+30．当曲线y=1+24x -与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是CA.（0，125）B.（43,31］C.（43,125］D.（125，+∞） 31．已知圆C ：22262(1)102240x y mx m y m m +---+--=，求证：（1）求圆心所在的直线l 的方程；x-3y-3=0（2）若直线l ：x-3y+7=0与圆相交于A ，B ，求弦AB 长。
15232．已知圆C ：x 2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0（1）求证：对m∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点。
（2）设l 与圆C 交于A 、B 两点，若|AB|=17，求直线l 的倾斜角。
3π或32π （3）求弦AB 的中点M 的轨迹方程。
21)21()21(22=-+-y x 33．设圆221x y +=的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则线段AB 长度的最小值为 234．已知点)1,3(A ，点M 在直线0=-y x 上，点N 在x 轴上，则AMN ∆周长的最小值是________5235．点P （x,y ）满足2+y 2=1求：（1）x y的最大值33（2）求22x y +的范围]9,1[（3）y-x 的最小值22-- 36．如直线01=+-y ax ，当]3,2[-∈x 时，]5,3[-∈y ，则a 的取值范围是DA.]2,2[-B.]2,34[-C.]34,2[-D.]34,34[- 37．如图，已知△ABC 的两个顶点A(-10，2)，B(6，4)，垂心是H(5，2)，求顶点C 的坐标．（6，-6）38（全国1理）圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PB PA ⋅ 的最小值为D(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+39（09全国Ⅰ）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是 ①15o ②30o ③45o ④60o ⑤75o 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）①或⑤40．已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半。
41. 已知三点A(0,a ）,B(b,0)，C(c,0），b+c ≠0，a ≠0，矩形EFGH 的顶点E 、H 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，F 、G 都在边BC 上，不管矩形EFGH 如何变化，它的对角线EG 、HF 的交点P 恒在一条定直线l 上，那么直线l 的方程是 2a a y x b c =-+ 42（09上海）过圆22(1)(1)1C x y -+-=：的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，AOB ∆被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足III II I S S S S +=+Ⅳ则直线AB 有BA. 0条B. 1条C. 2条D. 3条43（09天津）若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（a>0）的公共弦的长为23，则a =_____144（09全国2）已知AC 、BD 为圆O ：422=+y x 的两条相互垂直的弦，垂足为(1,2)M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为 .545（09江西）设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,对于下列四个命题：A ．M 中所有直线均经过一个定点B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形,其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．B ,C46（09江苏）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为23，求直线l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。
(1) 0y =或724280x y +-= (2) 点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-。