高中数学 第三章 第一节 第一课时 数系的扩充与复数的概念教案 新人教版选修1-2
高中数学3.1.1数系的扩充与复数的概念教学设计
课型：新授课课时：一课时年级：高二〔下〕一、教材分析《数系的扩充与复数的引入》是新课标高中数学选修2-2第三章的第一节课的内容，属于高中数学必修课程中几何与代数主题下的内容。
这节课的主要内容是数系扩充的意义与复数概念的引入，是第一次提出数系扩充的概念，也是阶段数系的最后一次扩充，对于高中生来说，对复数的根本概念的掌握是十分重要的，复数的学习不仅是高中数学中的重要内容，可以帮助学生对数的概念有一个初步的较为完整的认识，也给他们运用数学解决问题增添了新的工具。
并且在实际生活中，复数在电力学、热力学、流体力学、固体力学、系统分析、信息分析等方面都得到了广泛发运用，是现代人才必备的根底知识之一。
因此本节课具有重要的承前启后的作用，是本章的重点内容。
二、学情分析本节课之前，学生已经有了根本的数系扩充的经历与体会，这些内容的学习为本节发学习起到了一定的铺垫作用，但是学生对数的分类的掌握还是主要依靠简单的概念理解与记忆，对数系扩充过程中实际意义及在这其中人类理性的作用体会并不是很深，现阶段大局部学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，并且局部学生学习的信心不够，对数学产生不了兴趣，学生有根本的分类与抽象概括的数学方法与思想思想，并且观察抽象能力，以及特殊到一般的概括、归纳能力，逻辑思维能力得到了一定的锻炼。
通过情境设置引导学生独立思考，大胆探索和灵活运用分类，归纳等数学思想的学习方法，可以让学生很好的掌握本节课的内容体会数学扩充的意义。
三、教学目标1.知识与技能(1)通过回忆数系扩充的过程，体会数系扩充的必要性与意义，能说出每次数系扩充的实际意义；(2)理解并掌握复数的有关概念〔复数、复数集、复数的代数形式、实部、虚部〕，能准确说出复数的实部虚部；(3)理解并掌握复数相等的充要条件、复数集与实数集的关系、复数的分类，并能用语言或图形表达复数的分类，能解决含有字母的复数相关问题。
2.过程与方法(1)通过回忆数系扩充的过程，让学生通过类比的方法对实数系进行扩充，提高学生类比思考与总结归纳的能力。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念学案 新人教A版选修1
2017-2018版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念学案新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念学案新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
1.1 数系的扩充和复数的概念1．了解数系的扩充过程。
2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．（重点)3．掌握复数的代数形式、分类等有关概念并能够进行简单应用．(难点、易混点）［基础·初探］教材整理1 复数的有关概念及复数相等的充要条件阅读教材P50～P51“思考”以上内容，完成下列问题．1．复数（1）定义:形如a＋b i（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a 叫做复数的实部,b叫做复数的虚部．（2）表示方法：复数通常用字母z表示,即z＝a＋b i（a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．2．复数集（1)定义:全体复数所构成的集合叫做复数集．(2)表示:通常用大写字母C表示．3．复数相等的充要条件设a,b，c，d都是实数,则a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d，a＋b i＝0⇔a＝b＝0。
1．若复数2－b i（b∈R）的实部与虚部互为相反数，则b的值为( ）A．－2 B。
2 3C．－错误!D．2【解析】2－b i的实部为2,虚部为－b，由题意知2＝－(－b),所以b＝2。
3.1.1《熟悉的扩充和复数的概念》教案
课题：《数系的扩充和复数的概念》教案
一、教材分析
本课选自普通高中课程标准实验教科书选修2-2第三章第一节《数系的扩充和复数的概念》。
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。
通过本节课的学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性。
二、教学目标
1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i.
2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律
3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念
三、教学重点、难点：
复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.
教学难点：虚数单位i的引进、复数的概念及复数相等是本节课的教学难点.
四、教学方法：
根据上述分析，贯彻启发性教学原则，结合本校学生实际水平，确定本节课主要使用两种教学方法：1、情景探究式教学；2、讲练结合教学。
五、教学过程：
六、板书设计：。
高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案
高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案一、教学目标1. 让学生理解实数和虚数的概念，了解复数的基本形式。
2. 让学生掌握复数的运算规则，包括加、减、乘、除以及共轭复数的概念。
3. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 实数和虚数的概念：介绍实数和虚数的定义，举例说明实数和虚数的区别。
2. 复数的基本形式：介绍复数的一般形式，解释实部和虚部的意义。
3. 复数的运算规则：讲解复数的加、减、乘、除运算方法，并通过例题演示。
4. 共轭复数的概念：介绍共轭复数的定义，讲解共轭复数的性质和运用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：实数和虚数的概念，复数的基本形式，复数的运算规则，共轭复数的概念。
2. 教学难点：复数的运算规则，共轭复数的性质和运用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解实数、虚数和复数的概念，复数的运算规则，共轭复数的性质和运用。
2. 利用例题演示，让学生直观地理解复数的运算方法。
3. 设计练习题，让学生巩固所学知识。
五、教学步骤1. 引入实数和虚数的概念，举例说明实数和虚数的区别。
2. 讲解复数的一般形式，解释实部和虚部的意义。
3. 讲解复数的加、减、乘、除运算方法，并通过例题演示。
4. 介绍共轭复数的定义，讲解共轭复数的性质和运用。
5. 设计练习题，让学生运用所学知识解决问题。
教案仅供参考，具体教学过程中请根据学生的实际情况进行调整。
六、教学评价1. 通过课堂讲解、例题分析和练习题，评价学生对实数、虚数和复数的概念的理解程度。
2. 通过复数运算的练习题，评价学生对复数运算规则的掌握情况。
3. 通过共轭复数相关练习题，评价学生对共轭复数性质和运用的理解程度。
七、教学拓展1. 介绍复数在工程、物理等领域的应用，激发学生学习复数的兴趣。
2. 引导学生思考复数运算的规律，培养学生的逻辑思维能力。
八、教学资源1. PPT课件：实数、虚数和复数的概念，复数的运算规则，共轭复数的性质和运用。
人教版高中选修1—2数学3.1数系的扩充和复数的概念教案(2)
板书设计：
[教学反馈]
学生对于如何进行数系的扩充有了一定的认识，大体理解复数的分类，复数相等的充要
条件，课本作业的完成情况较好，但部分同学对于逻辑连结词“或”、“且”的理解不到位，
一是不知该使用或还是且，二是或与且的连结不知如何得到结果。
【教学反思】
这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类。
高中数学新人教版A版精品教案《3.1.1 数系的扩充和复数的概念》
2过程与方法目标:(1)经历数概念的发展和数系的扩充,体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用; (2)通过借助复数几何意义来加深对复数及其有关概念的理解,渗透数形结合的数学思想方法 3情感、态度与价值观目标:在经历数概念的发展和数系扩充的过程中,激发学生对数学的兴趣,培养他们的钻研与探索精神五、教学重点、难点1. 教学重点:初步理解复数及有关概念,初步理解复数的几何意义; 2. 教学难点: 对虚数的理解六、 教法与手段1教学方法: 发生教学法:发生教学法的基础是数学史,是数学史融入数学教育的一种方式发生教学法要求教师了解所教主题的历史;理解该主题历史进化的关键步骤;在现代情境下重构推动进化的关键思想或问题,使之在教学上适合介绍新的概念、方法或理论;按从易到难得顺序给出系列问题,后面的问题建立在前面问题的基础上,采取有序的问题驱动模式,揭示知识产生的动机,借以促进学生的学习 2教学手段:提出问题 课堂检测数系的扩充 探究途径 解决问题 总结提升 导入复数的几何表示:平面直角坐标系中的点一一对应点(,)z a bi Z a b =+←−−−−−→师:表示复数的平面叫做复平面,轴称为实轴,对应实部;轴称为虚轴,对应虚部例如,原点0,0表示实数0, 实轴上的点2,0表示实数2 虚轴上的点0,-1表示纯虚数-i,点-2,3表示复数-23i复数的几何意义:平面向量一一对应z a bi OZ =+←−−−−−→点评:通过有序数对a,b 将复数和复平面上的点及平面向量建立起一一对应的关系同向量一样,复数有运算法则和模,这些内容我们下节课探究练习2复数和复平面上的点连连看3)4(0)3(3)2(23)1(--i i 练习3在复平面中,复数-2i1对应的点位于 A 一象限 B 二象限 C 三象限 D 四象限学生答复数的分类四、解决问题师:经历了将实数集扩充到复数集的艰辛过程,我们提出的问题是否得到了解决师:通过数系扩充到复数系,一元二次方程无实解的问题在复数集中得到了解决,复数在其他方面有更广泛的应用等待同学们的探索学生解出答案提出问题,寻找途径,最终落实到解决问题上,让学生体会问题得以解决的成功感1′五、总结新知师:从知识、学习方法、数学思想三个方面谈谈自己的收获学生分享自己的收获通过归纳总结的过程,促使学生形成知识体系,锻炼学生抽象概括能力1′六、课堂检测师:课前预习、课堂探究、课下复习检测是学习的基本环节,请同学们进入检测环节学生独立完成利用相关题目,巩固所学知识,检测知识达成度2′问题预设:有学生出错解决方案:学生自己改错九、板书设计数系的扩充和复数的概念一、虚数单位i 例1二、复数的概念三、几何意义十、教学设计特点1体现数学的文化内涵。
高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案
高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案一、教学目标1. 让学生理解实数和复数的概念，掌握实数和复数的关系。
2. 让学生掌握复数的代数表示法，了解复数的几何表示。
3. 让学生学会运用复数的概念和性质解决实际问题。
二、教学内容1. 实数和复数的概念2. 复数的代数表示法3. 复数的几何表示4. 复数的运算5. 复数的应用三、教学重点与难点1. 重点：实数和复数的概念，复数的代数表示法，复数的几何表示，复数的运算。
2. 难点：复数的几何表示，复数的运算。
四、教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法、讲授法等，引导学生主动探究，提高学生分析问题、解决问题的能力。
五、教学过程1. 实数和复数的概念（2）引入复数的概念，解释复数的概念。
（3）通过实例让学生理解实数和复数的关系。
2. 复数的代数表示法（1）介绍复数的代数表示法，让学生掌握复数的标准形式。
（2）讲解复数的实部和虚部的含义。
（3）通过实例让学生学会写出复数的标准形式。
3. 复数的几何表示（1）介绍复数的几何表示，让学生了解复平面的概念。
（2）讲解复数在复平面上的位置与实部和虚部的关系。
（3）通过实例让学生学会在复平面上表示复数。
4. 复数的运算（1）讲解复数的加减乘除运算规则。
（2）通过实例让学生掌握复数的运算方法。
5. 复数的应用（1）讲解复数在实际问题中的应用，如电路分析、信号处理等。
（2）通过实例让学生学会运用复数解决实际问题。
（3）引导学生思考复数的在其他领域中的应用。
六、课后作业2. 练习复数的代数表示法，写出给定复数的标准形式。
3. 学习复数的几何表示，画出给定复数在复平面上的位置。
4. 练习复数的运算，掌握加减乘除运算规则。
5. 思考复数在实际问题中的应用，举例说明。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生的作业完成情况，评估学生对知识点的掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，了解学生的合作能力和解决问题的能力。
3.1.1_数系的扩充和复数的概念课件人教新课标
把实数 a与新引入的数i相加,结果记作a +i; 把实数b与i相乘,结果记作bi; 把实数a与实数b和i相乘的结果相加,结果 记作a + bi.
加法和乘 法的运算律仍然成立 ,这些运算的结果 都可以写成 a + bi(a,b∈R)的形式,把这些数都添 加到数集 A中去.
数集扩充到有理数集
边长为1的正方形的对角线长度为多少？
？
1Hale Waihona Puke 1无理数是“推”出来 的.公元前六世纪，古希 腊毕达哥拉斯学派利用毕 达哥拉斯定理，发现了 “无理数”. “无理数” 的承认（公元前4世纪） 是数学发展史上的一个里 程碑.
数集扩充到有实数集
毕达哥拉斯 (约公元前560——480年）
数集扩充到实数集
负数是“欠”出来的. 它是由于借贷关系中量的 不同意义而产生的.我国 三国时期数学家刘徽（公 元250年前后）第一给出 了负数的定义、记法和加 减运算法则. 数集扩充到整数集
刘徽（公元250年前后）
分数（有理数）是“分” 出来的.早在古希腊时期， 人类已经对有理数有了非 常清楚的认识，而且他们 认为有理数就是所有的数.
这样的数都可以看作是a + bi(a,b∈R) 的特殊形式,所以实数系经过扩充后
得到的新数集应该是C = a + bi|a,b∈R .
复数的概念
我们把集合 C = a + bi|a,b∈R 中的数,即形
如a + bia,b∈R的数叫做复数(complex number),
其中i叫做虚数单位(imaginary unit).全体复数 所成的集合 C叫做复数集(set of complex numbers).
数系的扩充与复数的概念教案
3.1.1数系的扩充与复数的概念【教学目标】（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示方法【教学重难点】重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定、复数的有关概念难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数概念的理解【教学过程】一、创设情景、提出问题问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？问题2：类比引进，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决在实数集中无解的问题呢？问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？二、学生活动1.复数的概念：⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数．(4)对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做虚数;当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做纯虚数;2.学生分组讨论⑴复数集C和实数集R之间有什么关系?⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？3.练习：(1).下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？2+ 2i , 0.618, 2i/7 , 0,5 i +8, 3-9 i(2)、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数三、归纳总结、提升拓展例1 实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：归纳总结：确定复数z＝a＋bi是实数、虚数、纯虚数的条件是：练习：实数m分别取什么值时，复数z＝m2+m-2＋(m2-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？两个复数相等，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是a+bi=c+di _______________________（a、b、c、d为实数）由此容易出：a+bi=0 _______________________例2已知x +2y +(2x+6)i=3x-2 ,其中，x,y为实数，求x与y．四、反馈训练、巩固落实1、若x,y为实数，且 2x -2y+(x+ y)i=x-2 i求x与y.2、若x为实数，且(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0，求x的值.。
数系的扩充和复数的概念教案
数系的扩充和复数的概念教案一、教学目标1. 了解数系的扩充，掌握实数集、有理数集、无理数集和复数集的概念；2. 掌握复数的定义和表示方法；3. 理解复数加法和乘法的几何意义；4. 能够计算复数的模、共轭和商。
二、教学重难点1. 数系的扩充，包括实数集、有理数集、无理数集和复数集的概念；2. 复数的定义和表示方法；3. 复数加法和乘法的几何意义。
三、教学内容1. 数系的扩充（1）实数集：包括有理数和无理数两部分，用符号“R”表示。
（2）有理数集：可以表示为两个整数之比（分母不为0），用符号“Q”表示。
（3）无理数集：不能表示为两个整数之比，用符号“Q'”表示。
（4）复数集：由实部和虚部构成，形如a+bi，其中a和b均为实数，i是虚单位，用符号“C”表示。
2. 复数的定义与表示方法（1）定义：由一个实部a和一个虚部b构成的有序数组(a,b)称为一个复数z，即z=a+bi。
其中a称为z的实部，b称为z的虚部。
（2）表示方法：用复平面上的点表示。
3. 复数加法和乘法的几何意义（1）复数加法：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i。
即把两个复数看作向量，在复平面上用平行四边形法则相加。
（2）复数乘法：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则z1×z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i。
即把两个复数看作向量，在复平面上用角度叠加原理相乘。
4. 计算方法（1）模：|a+bi|=√(a²+b²)。
（2）共轭：若z=a+bi，则其共轭为z*=a-bi。
（3）商：设z1=a+bi，z2=c+di，则它们的商为(z1/z2)=(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i。
四、教学过程Step 1 引入新知识介绍实数集、有理数集和无理数集，并引入复数集的概念。
高中数学《第三章 复数》(4个课时)章节学案 新人教A版选修12
第三章 复数二．课标要求：复数的概念：①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义。
复数的四则运算：①会进行复数代数形式的四则运算；②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
第一节 数系的扩充和复数的概念学习目标：①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义。
第一课时 复数的概念 一．归纳重点1．复数的代数形式：形如 的数叫做复数，其中 叫做虚数单位。
复数的实部为 ，虚部为 。
2．虚数和纯虚数：对于),(R b a bi a z ∈+=，当 时，它是实数；当 时，它是虚数；当 时，它是纯虚数。
3．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间关系如右图所示：4．复数的相等：di c bi a +=+的充要条件为 。
二．典型例题例1．实数m 取什么值时，复数i m m z )1(1-++=是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？例2．如果i y y x i y y x )12()32()1()(+++=-++，求实数y x ,的值。
三．延伸训练1．下列四个命题中，真命题是（ ）①1-的平方根只有一个i ；②i 是方程012=+x 的一个根；③i 2是一个无理数；④)(1R a ai ∈-是一个复数。
.A ①② .B ②③ .C ①④ .D ②④ 2．对于复数bi a +，下列结论正确的是（ ）.A bi a a +⇔=0为纯虚数 .B bi a b +⇔=0为实数 .C 3,323)1(-==⇔+=-+b a i i b a .D 1-的平方等于i 3．复数i a a 234--与复数ai a 42+相等，则实数a 的值为（ ）.A 1 .B 1或4- .C 4- .D 0或4-4．复数i 312+-的实部为 ，虚部为 。
5．下列数中，其中实数为 ，虚数为 ，纯虚数为 。
①72+；②e ；③i 72；④0；⑤i ；⑥2i ；⑦3i ；⑧85+i ；⑨)31(-i ；⑩i -2。
高中数学 数系的扩充和复数的概念教案 新人教A版选修1
数系的扩充与复数的引入目标认知学习目标：1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；2.了解复数的代数表示法及其几何意义；3.会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 重点：复数的概念，复数的代数运算及数系的扩充难点：对概念的准确理解以及复数的几种意义学习策略①复数是对数系的又一次扩充，对复数a bi +（,a b R ∈），既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部和虚部分解成两部分去认识它，这是理解复数问题的重要思路。
②复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；求解计算时，要充分利用i 的性质计算问题；③复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.知识要点梳理知识点一：复数的基本概念1.虚数单位i :（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）i 是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；（3）i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；2.概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，记作：z a bi =+（,a b R ∈）；其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 是虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。
说明：这里,a b R ∈容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据. z a bi =+（,a b R ∈）(0)0(0)0b a b a =⎧⎪=⎧⎨≠⎨⎪≠⎩⎩实数纯虚数（）虚数非纯虚数（）N Z Q R C5.复数与实数、虚数、纯虚数、0的关系：对于复数z a bi =+（,a b R ∈）①当且仅当0b =时，复数z a bi a =+=是实数；②当且仅当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；③当且仅当0a =且0b ≠时，复数z a bi bi =+=叫做纯虚数；④当且仅当0a b ==时，复数0z a bi =+=就是实数0.6.复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：特别地：00a bi a b +=⇔==.说明：（1）.a bi c di a c b d +≠+⇐≠≠或 （2）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.（3）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.（4）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.6.共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，那么这两个复数叫做互为共轭复数.复数z 的共轭复数用z 表示。
数系的扩充与复数的概念参考教案
数系的扩充与复数的概念一、教学目标：1、知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i ；2、过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律；3、 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。
二、教学重点，难点：复数的基本概念以与复数相等的充要条件。
三、教学方法：阅读理解，探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、问题情境1、情境：数的概念的发展：从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面．①解决实际问题的需要．由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)．②解方程的需要．为了使方程40x +=有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；为了使方程320x -=有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程22x =有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集． 引进无理数以后，我们已经能使方程2x a =(0)a >永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当0a <时，方程2x a =在实数范围内无解．为了使方程2x a =(0)a <有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．（可以以分解因式：44x -为例）2、问题：实数集应怎样扩充呢？（二）、新课探析1、为了使方程2x a =(0)a <有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于1-的“新数”开始．为此，我们引入一个新数i ，叫做虚数单位（imaginary unit ）．并作如下规定：①21i =-；②实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．在这种规定下，i 可以与实数b 相乘，再同实数a 相加得i b a ⋅+．由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成a bi + (,a b R ∈)的形式．2、复数概念与复数集C形如a bi +(,a b R ∈)的数叫做复数。
中学高中数学 第三章 第一节 第一课时 数系的扩充与复数的概念课件 新人教版选修1-2
式,应先化为这种形式,得到复数的实部、虚部再进行求解.
(2)应特别注意 z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数的条件是 a=0 且 b≠0,
不能忘记 b≠0 这一限制条件.
三、复数相等
活动与探究 3
(1)已知(a2-b)+4i=6+(a-b)i,求实数 a,b 的值.
那么 a+bi≠c+di(a,b,c,d∈R).所以,一般地,两个复数只有说相等或
不相等,而不能比较大小,例如 1+i 和 3+5i 不能比较大小.
当堂检测
1.复数 2+ 3的虚部为(
)
A. 3
B.2
C.i
D.0
解析:复数 2+ 3为实数,虚部为 0.
答案:D
2.若复数 z=(x2-1)+(x-1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为(
并非不可以比较大小,当两个复数都是实数时就可以比较大小,故③
错.因此正确命题的个数为 0.
答案:(1)①②③ (2)0
迁移与应用
下列说法中正确的是(
)
A.在复数 a+bi(a,b∈R)中,若 a≠0,则 a+bi 一定不是纯虚数
B.实数 a 与纯虚数 ai 是一一对应的
C.满足 x2=-1 的数 x 只能为 i
预习导引
1.复数
(1)复数与复数集
集合 C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复
数,其中 i 叫做虚数单位,全体复数所成的集合 C 叫做复数集.
(2)复数的代数形式
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§3.1.1 数系的扩充与复数的概念
【教材分析】
教材地位和作用：
数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.
教材处理办法：
精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.
重点：
数系扩充的过程和方法，复数的相关概念.
难点：
数系扩充的过程和方法，虚数的引入.
【教学目标】
知识目标：
了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.
能力目标：
发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识.
情感目标：
初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观.
【教学方法】
教学模式：
“4+1”教学模式
教学方法：
开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价.
【教学程序】
以问题为载体，以学生活动为主线.
自主学习合作探究成果展示精讲点拨巩固提高小结与作业
1、【自主学习】(课前完成)
阅读教材P102～P104《§3.1.1 数系的扩充与复数的概念》内容，思考：
(1) 你对数的发展的了解
(2) 由得
你有，何困惑？
(3)方根x2-x+1=0无实根的原因是什么？如果扩充数系，使之有解，如何扩充？
(4)虚数单位i的性质？i与实数的运算性质？
(5)复数的有关概念？
(6)实数集R与复数C的关系？
2、【合作探究】
探究任务一：数系的扩充过程。
问题1：回顾归纳从小学到昨天为止数系的扩充过程。
探究任务二：数系扩充的必要性。
问题2：方根x2-x+1=0无实根的原因是什么？如果扩充数系，使之有解，如何扩充？探究任务三：虚数单位
问题3：虚数单位i的性质？i与实数的运算性质？
探究任务四：复数的有关概念
问题4：复数的概念？实部、虚部？复数的代数形式？
探究任务五：复数相等
问题5：复数相等的充要条件？
探究任务六：复数的分类
问题6：实数集R与复数C的关系？复数的分类图？
探究任务七：问题7：例1 实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i分别是实数，虚数和纯虚数？
探探究任务八：问题8：例2 设复数z
1＝(x－y)＋(x＋3)i，z
2
＝(3x＋2y)－yi，若z
1
＝z
2
，求
实数x，y的值.
3、【成果展示与精讲点拔】
问题1：由第1学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。
【展示：】
精讲点拔：1、数的概念产生和发展的历史进程：N+(增加：正分数)→Q+(增加：正无理数) →R+(增加：零和负数) →R.
数系每次扩充的基本原则：
第一、增加新元素；
第二、原有的运算性质仍然成立；
第三、新数系能解决旧数系中的矛盾.
问题2：由第2学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。
【展示：】
精讲点拔：由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾的结果
问题3：由第3学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。
【展示：】
精讲点拔：见课件
问题4：由学生举手展示，其他学生可点评或纠错和完善。
由第4学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。
【展示：】
精讲点拔：见课件
问题5：由第5学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。
【展示：】
精讲点拔：见课件
问题6：由第6学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。
【展示：】
精讲点拔：见课件
问题7：由第7、1、3学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。
【展示：】
精讲点拔：见课件
问题8：由第8、9、4学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。
【展示：】
5、【课堂小结】(学生偿试归纳小结，教师补充完善)
(1).复数的有关概念；
(2). 两复数相等的充要条件；
(3).数集的扩充.
6、课外作业
(1)、教材106面A组第1、2题；
(2)、下堂课【自主学习】
阅读教材P104～P106《复数的几何意义》内容，思考：
①在什么条件下，复数z惟一确定？
②设复数z＝a＋b i（a，b∈R），以z的实部和虚部组成一个有序实数对（a，b），那么复数z与有序实数对（a，b）之间是一个怎样的对应关系？
③有序实数对（a，b）的几何意义是什么？复数z＝a＋b i（a，b∈R）可以用什么几何量来表示？。