点共线与三线共点的证明方法
（2）点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用
2012年高中数学竞赛讲座在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。
1. 点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。
n(n≥4)点共线可转化为三点共线。
例1 如图，设线段AB的中点为C，以AC和CB为对角线作平行四边形AECD，BFCG。
又作平行四边形CFHD，CGKE。
求证：H，C，K三点共线。
证连AK，DG，HB。
由题意，AD EC KG，知四边形AKGD是平行四边形，于是AK DG。
同样可证AK HB。
四边形AHBK是平行四边形，其对角线AB，KH互相平分。
而C是AB中点，线段KH过C点，故K，C，H三点共线。
例2如图所示，菱形ABCD中，∠A=120°，为△ABC外接圆，M为其上一点，连接MC交AB于E，AM交CB延长线于F。
求证：D，E，F三点共线。
证如图，连AC，DF，DE。
因为M在O上，则∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB，有△AMC∽△ACF，得FA BCDEFHKG第 3 页 共 23 页。
CDCFCA CF MA MC ==又因为∠AMC =BAC ，所以△AMC ∽△EAC ，得。
AEADAE AC MA MC ==所以，又∠BAD =∠BCD =120°，知△CFD ∽AEADCD CF =△ADE 。
所以∠ADE =∠DFB 。
因为AD ∥BC ，所以∠ADF =∠DFB =∠ADE ，于是F ，E ，D 三点共线。
例3 四边形ABCD 内接于圆，其边AB 与DC 的延长线交于点P ，AD 与BC 的延长线交于点Q 。
由Q 作该圆的两条切线QE 和QF ，切点分别为E ，F 。
求证：P ，E ，F 三点共线。
证 如图。
连接PQ ，并在PQ 上取一点M ，使得B ，C ，M ，P 四点共圆，连CM ，PF 。
设PF 与圆的另一交点为E ’，C E (E')ABDF PMQ G并作QG丄PF，垂足为G。
7.怎样巧证“三线共点”问题 --刘培杰
7 怎样巧证"三线共点"问题在平面几何中，证明“三线共点”的问题，是不乏其例的；证明“三线共点”的方法亦很多．本节再介绍一种比较有效的证明方法．先看图1，已知点P 在△ABC 的边BC ，CA ，AB(或者所在直线)上的射影是D ，E ，F ，联结PA ，PB ，PC 以后，易证=-++-).()2.()(2222BF A CE DC BD 0)()()(222222=-+-+-PB PA PA PC PC PB反过来，我们完全可以设想：在△ABC 的边BC ，CA ，AB(或其所在直线)上分别取点D ，E ，F ，如果有等式0).()2.()(2222=-+-+-BF A CE DC BD 成立，过D ，E ，F 分别作BC ，CA ，AB 的垂线，那么这三条垂线必然相交于一点．本命题的证明不困难．先过D ，E 分别作BC ，CA 的垂线交于点P ，再过P 作PF /⊥AB 于点F /．根据给出的等式条件，借助同一法，很快就可以证明点F /与点F 必重合．具体过程不再赘述了．这是一个出现不多，用得较少，但的确颇有用处的几何定理；它们的作用主要表现在证明三线共点的问题上．不过，运用该定理时必须注意以下三点： (1)先寻找或明显或隐含的三角形；(2)再观察这个三角形的各边(或其所在直线)上是否各存在一个点且有上述等量关系； (3)看过这三个点是否各存在一条垂线．如果具备了上述条件，那么在证明三条垂线共点的问题上，该定理就可以大显身手了． 下面略举数例，说明这个定理的应用． 例1 求证：三角形的三条高相交于一点．分析 这道题怎样运用本文介绍的定理证明三高共点呢?不妨以锐角△ABC(图2)为例． 证明 AD ，BE ，CF 是,△ABC 的三条高．显然可以得到=-+-+-).()4()(22222FB A E CE DC BD 0)()()(222222=-+-+-BC AC AB BC AC AB所以AD ，BE ，CF 相交于一点．若△ABC 为钝角三角形，仿上亦可获证；若△ABC 为直角三角形，证明更简单．例2 圆,1O 圆,2O 圆3O 两两相交，其圆心⋅321,,O O o 不共线，试证：三条公共弦必共点． 分析 这里没有明显的三角形，怎么办?但联想到三个圆心不共线，立即可以构成,O 321O O ∆如图3所示，其中D ，E ，F 分别是连心线与公共弦的交点．显然三条公共弦分别与三条连心线互相垂直．下面就看有没有等量关系式了．设圆,1O 圆,O 2圆3O 的半径依次是,,,321R R R 易证212321232322232222212221,,R R EO E O R R DO D O R R FO F O -=--=--=-三者相加，即为所要的等量关系式．例3如图4。
线共点(Ceva定理)
1.1 线共点:Ceva 定理
Ceva 定理由意大利工程师 Gviovanni Ceva(1647-1734)发表于 1678 年.为了纪念 Ceva, 人们把三角形顶点与其对边上任一点的连线叫做 Ceva 线. Ceva 定理 ABC 是三角形, P, Q , R 分别是直线 BC , CA, AB 上的点.直线 AP, BQ , CR 共 点的充要条件是(使用有向距离) BP CQ AR ⋅ ⋅ = 1. PC QA RB 证明:必要性 设直线 AP, BQ , CR 相交于点 T , 由于 BP 与 PC 的比等于 B 到 AP 的距离与 C 到 AP 的距离的比,所以
别是 EF , FD, DE 上的点,求证 AM , BN , CP 共点的充要条件是 DM , EN , FP 共点.
4. ΔABC 的内切圆与 BC , CA, AB 分别相切于 D, E , F .过 E 作平行于 AB 的直线交 DF 于 Q ,过 D 作平行于 AB 的直线交 EF 于 T .求证 CF , DE , QT 共点.
G H C F
AD SΔAEC CG SΔCBF = , = ,所以 DB SΔBEC GA SΔABF
E
D B
AD BH CG BH SΔAEC SΔCBF ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ . DB HC GA HC SΔBEC SΔABF
3
平面几何讲义
因为 ΔABE ∽ ΔACF ,所以
AE AB BE = = , ∠EAB = ∠FAC ,所以 AF AC CF 1 SΔAEC 2 ⋅ AE ⋅ AC ⋅ sin ∠EAC = =1. SΔABF 1 ⋅ AF ⋅ AB ⋅ sin ∠BAF 2
B A
F I D
E
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲 点共线与线共点(含答案)
第二十讲 点共线与线共点趣题引路】例1 证明梅涅劳斯定理：如图20-1，在△ABC 中，一直线截△ABC 的三边AB 、AC 及BC 的延长线于D 、E 、F 三点。
求证：1=⋅⋅DBADEA CE FC BF 解析:左边是比值的积，而右边是1，转化比值使其能约简，想到平行线分线段成比例作平行线即可. 证明过点C 作CG /∥EF 交AB 于G . ,,BF BD EC DGCF DG AE AD∴== ∴1=⋅⋅=⋅⋅BDADAD DG DG BD BD AD EA CE FC BF例2 证明塞瓦定理：如图20-2，在△ABC 内任取一点P ，直线AP 、BP 、CP 分别与BC 、CA 、AB 相交于D 、E 、F ，求证：1=⋅⋅FBAF EA CE DC BD 证明,,.BCP ACPABP ACP BAP BCPS S S BD CE AF DC S EA S FB S ∆∆∆∆∆∆===∴1=⋅⋅=⋅⋅∆∆∆∆∆∆BCPACPABP BCP ACP ABP S S S S S S FB AF EA CE DC BD知识拓展】1.证明三点共线和三线共点的问题，是几何中常遇到的困难而有趣的问题，解这类问题一定要掌握好证三点共线和三线共点的基本方法。
2.证明三点共线的方法是：（1）利用平角的概念，证明相邻两角互补、 （2）当AB ±BC =AC 时，A 、B 、C 三点共线。
（3）用同一方法证明A 、B 、C 中一点必在另两点的连线上。
（4）当AB 、BC 平行于同一直线时，A 、B 、C 三点共线。
（5）若B 在PQ 上，A 、C 在P 、Q 两侧，∠ABP =∠CBQ 时，A 、B 、C 三点共线. （6）利用梅涅劳斯定理的逆定理. 3.证明三线共点的基本方法是：（1）证明其中两条直线的交点在第三条直线上 （2）证明三条直线都经过某一个特定的点.（3）利用已知定理，例如任意三角形三边的中垂线交于一点，三条内角平分线交于一点，三条中线交于一点以及三条高所在直线交于一点等。
平面几何中三点共线的常见解法
2叙嗲活幼嫘歿讲；I中等数学平面几何中三点共线的常见解法T S J瑜(天津师范大学数学科学学院2019级硕士研究生，300387 )中图分类号:〇123.1 文献标识码:A文章编号：1005 - 6416(2021)04 - 0002 - 06(本讲适合高中）证明三点共线是数学竞赛中的一种常见 题型.本文结合近几年国内外数学竞赛中的 典型例题介绍几种常见的解题方法.1利用梅涅劳斯定理的逆定理例 1 已知的三条中线A4'、与其九点圆分别交于点£>、£、厂直线fiC、C4、仙上的点L、M、iV分别为A/lfiC 的三条高线的垂足，九点圆上以Z)、瓦、F为切 点的三条切线与直线M/V、L/V、L M分别交于 点'(?、/?.证明:P、<?、/?三点共线.[1](第17届地中海地区数学竞赛）证明如图1，设A/I S C的重心为C.图1由梅涅劳斯定理的逆定理，知只要证收稿日期:2020-11 -18NP MR LQ^p m'~r l'q n='A P D N c^^PMD.别得+h.NP^apdn ND1^P M~S^d m~DM2'^./i U X i U MR MF2LQ LE2类似地，RL = Fl T#= Ei y r为证式①成立，只要证ND MF LEd m'~f l'e n='②在A和A中，由正弦定理分ND ADsin Z BAG~ sin Z A N D'MD ADsin 乙 CAG sin Z A M D '两式相除得ND sin Z CAG sin AMDDM sin Z BAG sin Z ANDsin Z B'A'D B'D③sin C'A'D~C'D '类似地，MF sin Z BCGFL sin Z ACGA'FB'F，④LE sin 乙 ABG C'E⑤EN sin Z CBG A'E '对A4S C和点G应用角元塞瓦定理知sin /_ BAG sin X ACG sin X CBG_ .⑥sin CAG sin /_ BCG sin 乙ABG2021年第4期3③〜⑥四式相乘得ND MF LE BfD ArF C E----•—• — —-----•------•DM FL EN~ C'D B'F A'E'又由六点共圆，则A G D B'c^^GEA'B'D DGZ E =£G '米加她 A，F FG C，E EG类似地，C,Z)—D G W F— F G .三式相乘并代人式⑦，即得式②成立.【注】对于证明中的式⑦，由于圆内接凸 六边形水/满足氺£)、57、(：7三线共点，由角元塞瓦定理的推论也可得A'F B'D C'E~FB''15C''~EA'=j即式⑦右边=1.2利用平角的定义或角相等(1)如图，…，/)…为平面上 » +3个点，若Z A B D t +Z D'BD2+.._+Z D…B C= M)。
证明三点共线问题的方法Word版
证明三点共线问题的方法1、利用梅涅劳斯定理的逆定理例1、如图1，圆内接ΔABC 为不等边三角形，过点A 、B 、C 分别作圆的切线依次交直线BC 、CA 、AB 于1A 、1B 、1C ，求证：1A 、1B 、1C 三点共线。
解：记,,BC a CA b AB c ===，易知1111AC CCC BS AC C B S ∆∆=又易证11AC C CC B ∆∆.则11222AC C CC B S AC b S CB a∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭.同理12121212,BA c CB a A C b B A c ==.故1112221112221AC BA CB b c a C B A C B A a b c⋅⋅=⋅⋅=.由梅涅劳斯定理的逆定理，知1A 、1B 、1C 三点共线。
2、利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补得到共线）例2 、如图，以锐角ΔABC 的一边BC 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的两条切线，切点为M 、N ，点H 是ΔABC 的垂心.求证：M 、H 、N 三点共线。
(96中国奥数证明：射线AH 交BC 于D ，显然AD 为高。
记AB 与⊙O 的交点为E ，易知C 、H 、E 三点共线。
联结OM 、ON 、DM 、DN 、MH 、NH ，易知090AMO ANO ADO ∠=∠=∠=，∴A 、M 、O 、D 、N 五点共圆，更有A 、M 、D 、N 四点共圆， 此时，0+180AND ∠∠=AMD因为2AM AE AB AH AD =⋅=⋅（B 、D 、H 、E 四点共圆），即AM ADAH AM=；又MAH DAM ∠=∠，所以AMH ADM ∆∆，故AHM AMD ∠=∠同理，AHN AND ∠=∠。
因为0180AHM AHN AMD AND ∠+∠=∠+∠=，所以，M 、H 、N 三点共线。
3、利用面积法如果SS EMNFMN=∆∆，点E 、F 位于直线MN 的异侧，则直线MN 平分线段EF ，即M 、N 与ABCC 1B 1A 1EF的中点三点共线。
三点共线与三线共点的证明方法
三点共线与三线共点的证明方法三个点共线指的是这三个点同时在一条直线上，也可以说是三个点在同一条直线上。
三线共点指的是通过三个不共线的点分别画一条直线，这三条直线交于同一点。
三点共线的证明方法主要有以下几种：1.直线方程法：设三个点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
利用直线方程的一般式Ax+By+C=0来确定三个点是否共线。
具体步骤如下：-计算直线AB的方程：A1x+B1y+C1=0（其中A1=y2-y1，B1=x1-x2，C1=x2y1-x1y2）-将点C的坐标代入直线AB的方程：A1x3+B1y3+C1=0-如果等式成立，则三个点共线；如果不成立，则不共线。
2.坐标法：设三个点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
根据点的坐标特点，通过计算三个点的斜率来判断是否共线。
具体步骤如下：-计算AB和BC两个线段的斜率：k1=(y2-y1)/(x2-x1)，k2=(y3-y2)/(x3-x2)-如果k1=k2，则三个点共线；如果k1≠k2，则不共线。
3.向量法：设三个点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
通过判断向量AB和向量AC的平行性来确定三个点是否共线。
具体步骤如下：-计算向量AB和向量AC的分量：AB=(x2-x1,y2-y1)，AC=(x3-x1,y3-y1)-如果向量AB和向量AC平行，则三个点共线；如果不平行，则不共线。
三线共点的证明方法有以下几种：1.十字交叉法：通过在纸上画出三个不共线的点A、B、C，然后通过直尺（或者铅笔加线板）在三个点上分别连线，如果三条线段交叉于同一点，则三个点共线。
2.逆向思维法：设三个点为A、B、C。
可以通过逆向思维，即假设不共线，来反证明三条线段共点。
首先连线AB、AC，得到两条直线，然后通过延长AB和AC，使其相交于点D。
如果D与C重合，则三线共点；如果D与C不重合，则不共点。
由于三个点不共线，所以最后的结论是D与C不重合，即三线不共点。
向量证明三线共点与三点共线问题
用向量证明三线共点与三点共线问题山东徐鹏三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难,简捷得多.证明A、B、C三点共线，只要证明AB与AC共线即可，即证明AB线共点一般须证两线交点在第三条直线上.图1使得OC OA OB ；反之，也成立.证明:如图1 ,若OA、.OB ；、OC 的终点A、B、C共线,则AB BC BC mAB BC OC OB AB OB OA OC OB m(OB OA) OC mOA (1 m)OB m, 1 m, ,，且1, OC OA OB OC OA OB 1, 1 OC OA (1 )OB OC OB OA OB BC BA BC和BA OA OB OC例2.. -片证明：三角形的三条中线父于点.证明：女口图 2 ,D、E、F分另U是ABC 三边上的中证明：若向量OA、OB、OC的终点A B C共线，则存在实数，且用向量法解决则AC •证明三C占八、、♦设CA a,CB b,AD BE G.设AG AD, BG BE.则AG AB BG (b a) BE (b a) (BC 】CA) b a1 ■ (?a b)2(0a (1 —*■ ■-)b，又AG , AD (AC CD) (a 12b)• 1 Ka b212 1所以 2 解得311 22 3则CG CA AG a 2 AD a2( -V 1- a b) a3 3 2 3 3CF 1 a !b,所以CG 2CF ，所以G在中线CF上,所以三角形三条中线交于一点223。
关于点共线、线共点问题的多种证法
关于点共线、线共点问题的多种证法学生姓名：贾娟 指导教师：杨慧摘要： 在初等几何中，我们常常会遇到点共线、线共点这方面的问题。
而射影几何的基本不变性是点线的结合性，因此点共线、线共点问题是射影几何的主要研究对象之一。
对于点共线、线共点问题的解决方法也有很多，本文则主要探讨的是利用射影几何方法与初等几何方法解决这类问题，通过比较发现具体问题用哪种方法更合适，以及解题时需要注意的问题。
关键词： 射影变换 德萨格定理 完全四点形 赛瓦定理 一维基本形的透视对应作为师范类院校的学生，将来若想成为一名合格的中学数学教师，就必须在学习解析几何的基础上再进一步学习高等几何。
而高等几何对中学数学教师几何基础的培养、解题观点的提高、思维方法的多样性等都起着重要的指导作用。
对于高等几何到来说，尤其是其中的射影几何，既包含了解析几何中主要研究图形性质的内容，也融合了欧氏几何中主要研究空间几何结构的内容。
因此，学习高等几何知识，不仅使我们开阔了几何学的视野，也让我们更好地理解、把握了初等几何的本质。
比如初等几何中点共线、线共点的问题，在中学数学教学中既是一个重点也是一个难点。
如果只是用初等几何方法去解决，有时会很复杂，相反若要用射影几何中的知识如完全四点形的调和性质、德萨格定理及其逆定理、一维基本形的透视对应性质等知识点来解决，会更简便。
这样也为我们提供了多种解决初等几何问题的研究方法。
用高等几何的观点指导初等几何的教学内容，进而不断地改进初等几何的教学方式，这样也有助于提高中学几何的教学质量。
1.主要定义及定理 一维基本形的透视对应：定义1如果一个点列与一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的，则这个对应叫做点列与线束之间的透视对应。
同理，如果两个点列与同一线束成透视对应，则这两个点列叫做透视点列；如果两个线束与同一点列成透视对应，则这两个线束叫透视线束。
由此可知，两个成透视对应的点列，其对应点之连线共点。
高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系解析！
高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系解析！一、空间点、直线、平面之间的位置关系1、平面的基本性质的应用① 公理1：公理1② 公理2：公理2③ 公理3：2、平行公理主要用来证明空间中的线线平行 .3、公理 2 三推论：① 一条直线和直线外一点唯一确定一个平面；② 两条平行直线唯一确定一个平面；③ 两条相交直线唯一确定一个平面 .4、点共线、线共点、点线共面问题① 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上 .② 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上 .③ 证明点线共面问题的常用方法：方法一：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；方法二：先证明有关的点、线确定平面α ，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β 重合 .【例题1】如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD = ∠FAB = 90°，BC ∥且= ½ AD，BE ∥且= ½ FA，G , H 分别为 FA , FD 的中点 .(1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2) C , D , F , E 四点是否共面？请说明理由 .例题1图【解析】(1) 证明：∵ G , H 分别为 FA , FD 的中点，∴ GH 是△FAD 的中位线，∴ GH ∥且= ½ AD ，又∵ BC ∥且= ½ AD，∴ GH ∥且 = BC，∴ 四边形 BCHG 是平行四边形 .(2) 证明：方法一：证明点 D 在 EF 和 CH 确定的平面内 .∵ BE ∥且= ½ FA，点 G 为 FA 的中点，∴ BE ∥且= FG，则四边形 BEFG 为平行四边形，∴ EF∥BG .由 (1) 可知BG∥CH，∴ EF∥CH，即 EF 与 CH 共面，又∵ D∈FH，∴ C , D , F , E 四点共面 .方法二：分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，在证点 M 和 M’重合，从而 FE 和 DC 相交 .如上图所示，分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，∵ BE ∥且= ½ FA，∴ 点 B 为 MA 的中点，∵ BC ∥且= ½ AD，∴ 点 B 为 M''A 的中点，∴ M 与 M'' 重合，即 FE 与 DC 相交于点 M (M'') ,∴ C , D , F , E 四点共面 .二、异面直线的判定（方法）1、定义法（不易操作）；2、反证法先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交；再由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面 .假设法在异面直线的判定中会经常用到 .3、常用结论过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点(A) 的直线是异面直线 .【例题2】如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点 .(1) AM 和 CN 是否是异面直线？请说明理由；(2) D1B 和 CC1 是否是异面直线？请说明理由 .例题2图【解析】（注：先给结论，再给理由，注意答题规范！）(1) AM 和 CN 不是异面直线 .理由：如图上图所示，分别连接 MN , A1C1 和 AC，∵ 点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点，∴ MN∥A1C1 ,又∵ AA1∥且=CC1 ,∴ 四边形 AA1C1C 是平行四边形，∴ A1C1∥AC，∴ MN∥AC，∴ 点 A , M , N , C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线 .(2) D1B 和 CC1 是异面直线 .证明：∵ ABCD-A1B1C1D1 是正方体，∴ B , C , C1 , D1 四点不共面 .假设 D1B 和 CC1 不是异面直线，则存在平面α，使 D1Bㄷ平面α，CC1ㄷ平面α，∴ D1 , B , C , C1 ∈平面α，∴ 与ABCD-A1B1C1D1 是正方体矛盾，∴ 假设不成立，∴ D1B 和 CC1 是异面直线 .三、异面直线所成的角1、求异面直线所成角的方法关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与令一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交 .2、求异面直线所成角的步骤① 通过作出平行线，得到相交直线；② 证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；③ 通过解三角形求出该角的大小 .【例题3】如图所示，在空间四边形 ABCD 中，已知 AB = CD 且 AB 与 CD 所成的角为30°，点 E , F 分别是 BC 和 AD 的中点，求 EF 与 AB 所成角的大小 .例题3图【解析】要求 EF 与 AB 所成的角，可以经过某一点作两条直线的平行线，因为 E，F 都是中点，所以可以过点 E 或点 F 作 AB 的平行线找到异面直线所成的角 .取 AC 的中点，平移 AB 和 CD，使已知角和所求的角在同一个三角形中求解 .【解答过程】取 AC 的中点 G，分别连接 EG 和 FG ，则有EG∥AB，FG∥CD，∵ AB = CD ,∴ EG = FG ,∴ ∠GEF （或它的补角）为 EF 与 AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为 AB 与 CD 所成的角，又∵ AB 与 CD 所成的角为30°，∴ ∠EGF = 150° 或30°，由 EG = FG , 可知△GEF为等腰三角形，当∠EGF = 30° 时，∠GEF = 75°，当∠EGF = 150° 时，∠GEF = 15°，∴ EF 与 AB 所成的角为15° 或75° .。
平面的基本性质共点共线共面
“共点”、“共线”、 “共面” 问题 １、理论依据：
(1)公理1： 判断或证明直线是否在平面内 确定两个平面的交线， (2)公理2： 判定两平面相交 （“点共线”，“线共 点”） (3)公理3, 推论 1、2、3: 确定平面 证点、线共面的依据， 也是作辅助面的依据 ２、反证法
点共面、线共面、三点共线、三线共点 问题的一般方法．
例、两个平面两两相交，有三条交线，若其中两
条相交于一点，证明第三条交线也过这一点．
证法：先证两条交线交于一点，再证第三条直线也过改点
已知：如图1-26，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c ＝p． 求证：p∈a． 证明：∵b∩c＝p， ∴p∈b． ∵β∩γ＝b， ∴p∈β． 同理，p∈α． 又∵α∩β=a， ∴个。
2个平面分空间有两种情况：
（1）两平面没有公共点时
（2）两平面有公共点时
两个平面把空间分成3或4个部分。
3个平面 个平面把空间分成4，6，7或8个部分。
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
求证：直线AB和CD既不相交也不平行.
A
反证法
D B C
小结
１、要证“点共面” 、“线共面”可 先由部分点、直线确定一平面，在证 其余点、直线也在此平面内， 即纳入法 ２、反证法的应用的意识
1．空间四点A、B、C、D共面但不共线，则下列 结论成立的是（ ） A．四点中必有三点共线． B．四点中有三点不共线． C．AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条 平行． D．直线AB与CD必相交．
例2、如图：在四面体ABCD中，E,F分别
是AB,BC的中点，G,H分别在CD,AD上,且 DG:DC=DH:DA=1:m(m>2) 求证：直线EH与FG,BD相交于一点
三线合一的逆定理
三线合一的逆定理引言三线合一的逆定理是现代几何学中的一条重要定理，它与欧几里得几何中的三线合一定理相对应。
三线合一定理是指，对于一个三角形，其垂心、重心和外心三点共线。
而逆定理则是指，如果一个三角形的垂心、重心和外心三点共线，那么这个三角形一定是等腰三角形。
本文将详细介绍三线合一的逆定理的证明过程，包括关键概念和基本原理的讲解，理论推导和数学公式的证明推演，最后总结归纳。
关键概念在介绍逆定理的证明过程之前，我们首先需要了解一些关键概念。
垂心是指一个三角形中，三条高线的交点。
在一个锐角三角形中，垂心恰好在三个顶点的连线上；在一个钝角三角形中，垂心在三个顶点的连线的延长线上。
重心是指一个三角形中，三个中线的交点。
中线是连接一个顶点与对边中点的线段。
外心是指一个三角形中，三条垂直平分线的交点。
垂直平分线是连接一个顶点与对边的中垂线。
基本原理为了证明三线合一的逆定理，我们需要利用以下基本原理：1.垂心、重心和外心三点共线的判定方法。
根据欧拉线的性质，三角形的垂心、重心和外心三点共线的条件是，这个三角形的外接圆的圆心位于这三个点所形成的直线上。
2.等腰三角形的性质。
等腰三角形的两个底角相等，两边长相等。
证明过程1.假设一个三角形ABC的垂心、重心和外心三点共线。
我们需要证明这个三角形ABC是等腰三角形。
2.根据基本原理1，我们知道这个三角形的外接圆的圆心位于垂心、重心和外心三点所形成的直线上。
设这个直线为l。
3.假设D是l上的一个点，与A相对。
根据垂心的性质，我们知道AD是三角形ABC的高线，即与BC垂直并经过B和C的线段。
4.设E是l上的一个点，与A相对。
根据重心的性质，我们知道AE是三角形ABC的中线，即连接A和BC中点的线段。
5.设F是l上的一个点，与A相对。
根据外心的性质，我们知道AF是三角形ABC的垂直平分线，即与BC相交于BC中点的线段的垂直平分线。
6.由于垂心、重心和外心三点共线，根据基本原理1，我们知道A、D、E和F四个点共圆。
三点共线坐标关系
三点共线坐标关系
嘿，朋友们！今天咱来聊聊三点共线坐标关系，这可有意思啦！
你想想看啊，这三点就好像三个好伙伴，它们在坐标的世界里有着特别的联系呢。
就好像咱生活中，三个人如果总是一起出现，那肯定有啥特别的缘分呀！
三点共线，那可不是随便凑在一起的哦。
它们就像是在跳一场默契十足的舞蹈，每一个点的位置都那么恰到好处。
要是其中一个点稍微挪一挪位置，哎呀，可能这共线的关系就被打破啦，就像跳舞的时候有人突然乱了舞步一样。
咱可以把这三个点想象成是三个地标，你要从一个地标走到另一个地标，再到第三个地标，并且是直直地走过去，中间没有任何偏差。
这得多难呀，但它们就能做到！这难道不神奇吗？
比如说，咱在地图上找三个地方，要让它们在一条直线上，那可得好好琢磨琢磨。
这可不是随便指三个地方就行的呀！这就跟三点共线坐标关系一样，得精确，得有那个神奇的联系在。
再打个比方，你看那铁路上的三根铁轨，它们是不是在某些地方看起来就是三点共线呀？这就是一种很直观的体现呢。
要是这三根铁轨不共线了，那火车还不得跑偏啦？
在数学的世界里，三点共线坐标关系有着重要的地位呢。
它就像是一把钥匙，可以打开很多难题的大门。
你要是能掌握好它，那解决问题的时候可就轻松多啦。
咱平时生活中其实也能找到很多类似三点共线的例子呀。
比如你和你的两个好朋友总是一起上学、一起吃饭、一起玩，这不就有点像三点共线嘛！你们三个就是那个特别的存在呀。
所以啊，可别小看了这三点共线坐标关系，它在数学里是个宝，在生活中也能找到它的影子呢。
好好去发现，好好去体会，你会发现它真的超级有趣！这就是三点共线坐标关系，神奇又有趣，不是吗？。
三点共线的证明方法
向量三点共线定理及其扩展应用详解一、平面向量中三点共线定理的扩展及其应用一、问题的提出及证明。
1、向量三点共线定理：在平面中A 、B 、C 三点共线的充要条件是：.O A xO B y O C =+（O为平面内任意一点），其中1x y +=。
那么1x y +<、1x y +>时分别有什么结证？并给予证明。
结论扩展如下：1、如果O 为平面内直线BC 外任意一点，则 当1x y +<时 A与O 点在直线BC 同侧，1x y +>时，A 与O 点在直线BC 的异侧，证明如下：设 O A xO B y O C=+且 A 与B 、C 不共线，延长OA 与直线BC 交于A 1点设 1O A O Aλ= （λ≠0、λ≠1）A 1与B 、C 共线则 存在两个不全为零的实数m 、n1O A m O B n O C =+ 且1m n +=则 O A m O B nO C λ=+m n O A O B O C λλ⇒=+mx λ∴=、ny λ=1m nx y λλ++==（1）1λ> 则 1x y +< 则111O A O A O Aλ=<∴A与O 点在直线BC 的同侧（如图[1]）（2）0λ<,则101x y λ+=<<，此时O A与1O A 反向A 与O 在直线BC 的同侧（如图[2]）（3）1oλ<<，则1x y +>此时 111O A O A O A λ=>∴ A 与O 在直线BC 的异侧（如图[3]）2、如图[4]过O 作直线 平行AB ，延长BO 、AO 、将AB 的O 侧区域划分为6个部分，并设O P xO A y O B=+,则点P 落在各区域时，x 、y 满足的条件是：（Ⅰ）区：0001x y x y <⎧⎪>⎨⎪<+<⎩ （Ⅱ）区：0001x y x y >⎧⎪>⎨⎪<+<⎩ （Ⅲ）区：0001x y x y >⎧⎪<⎨⎪<+<⎩（Ⅳ）区：0011x y x y >⎧⎪<⎨⎪-<+<⎩（Ⅴ）区：00x y <⎧⎨<⎩ （Ⅵ）区：0010x y x y <⎧⎪>⎨⎪-<+<⎩（证明略）二、用扩展定理解高考题。
三点共线,线共点
是平行四边形，于是 第三讲点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、 塞瓦定理 的应用。
1•点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线 必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。
n(n A 4)点共线可转化为三点共线。
例1如图，设线段AB 的中点为C,以AC 和CB 为对角线作平行四边形AECD ,BFCG 。
又作平行四边形 CFHD , CGKE 。
求证：H , C , K 三点共线。
证连AK , DG , HB 。
£可证AK^HB 。
四边形AHBK 其对角线AB , KH 互相平分。
而C 是AB 中点，线段KH由题意，AD^EC^KG , 是平行四边形,过C点，故K, C, H 点共线例2 如图所示，菱形ABCD中，/A=120 ° , O为△ABC外接圆，M为其上点，连接MC交AB于E, AM 交CB延长线于F。
求证：D , E, F 点共线证如图，连AC ，DF ，DE因为M 在Go 上,则 ZAMC =60 ° zSABC= ZACB ， 有△AMC S /ACF ,得MC CF CF MA CA CD又因为Z AMC = BAC ，所以A AMC ^z EAC ,得 MC AC ADMA AE AECF AD 所以 ，又Z BAD = ZBCD=120。
，知Z FD s CD AE△ADE 。
所以Z ADE= /DFB 。
因为 AD //BC ，所以Z ADF= ZDFB= ZADE ,于是 F ,E , D 三点共线例3 四边形ABCD 内接于圆，其边 AB 与DC 的延长线交于点P , AD 与BC的延长线交于点Q 。
由Q 作该圆的两条 点分别为E , F 。
求证：P , E , F 三点共 如图。
连接PQ ,并在PQ 上取一点M ，使得切线QE 和QF , 切B ,C , M , P 四点共圆，连 CM , PF 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三点共线与三线共点的证明方法
公理 1.若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论1.经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面；
推论2.经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3.经过两条平行直线有且只有一个平面。
公理 3.若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
例1.如图，在四面体ABCD中作截图PQR，
PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K．求证M、N、
K三点共线．
由题意可知，M、N、K分别在直线PQ、
RQ 、RP 上，根据公理1可知M 、N 、K 在平面PQR 上，同理，M 、N 、K 分别在直线CB 、DB 、DC 上，可知M 、N 、K 在平面BCD 上，根据公理3可知M 、N 、K 在平面PQR 与平面BCD 的公共直线上，所以M 、N 、K 三点共线．
例2.已知长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为1AA 与AB 的中点，求证：1
D M 、DA 、CN 三线共点．
由M 、N 分别为1AA 与AB 的中点知1//MN A B 且112MN A B =，又1A B 与1D C 平行且相等，所以1//MN D C 且112MN D C =，根据推论3可知M 、N 、C 、1D 四点共面，且1D M 与CN 相交，若1D M 与CN 的交点为K ，则点K 既在平面11ADD A 上又在平面ABCD 上，所以点K 在平面11ADD A 与平面ABCD 的交线DA 上，故1
D M 、DA 、CN 三线交于点K ，即三线共点．
从上面例子可以看出，证明三线共点
的步骤就是，先说明两线交于一点，再证明此交点在另一线上，把三线共点的证明转化为三点共线的证明，而证明三点共线只需要证明三点均在两个相交的平面上，也就是在两个平面的交线上。