证明三点共线问题的方法

证明三点共线问题的方法
1、利用梅涅劳斯定理的逆定理
例1、如图1，圆内接ΔABC 为不等边三角形，过点A 、B 、C 分别作圆的切线依次交直线BC 、CA 、AB 于1A 、1B 、1C ，求证：1A 、1B 、1C 三点共线。

解：记,,BC a CA b AB c ===，易知1111AC C
CC B
S AC C B S ∆∆=
又易证1
1
AC C CC B ∆∆:.则112
2
2AC C CC B S AC b S CB a
∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭.
同理12121212,BA c CB a A C b B A c ==.故111222
1112221AC BA CB b c a C B A C B A a b c
⋅⋅=⋅⋅=.
由梅涅劳斯定理的逆定理，知1A 、1B 、1C 三点共线。

2、利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补得到共线）
例2 、如图，以锐角ΔABC 的一边BC 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的两条切线，切点为M 、N ，点H 是ΔABC 的垂心.求证：M 、H 、N 三点共线。

(96中国奥数) 证明：射线AH 交BC 于D ，显然AD 为高。

记AB 与⊙O 的交点为E ，易知C 、H 、E 三点共线。

联结OM 、ON 、DM 、DN 、MH 、NH ，
易知090AMO ANO ADO ∠=∠=∠=，
∴A 、M 、O 、D 、N 五点共圆，更有A 、M 、D 、N 四点共圆， 此时，0+180AND ∠∠=AMD
因为2AM AE AB AH AD =⋅=⋅（B 、D 、H 、E 四点共圆），
即
AM AD
AH AM
=；又MAH DAM ∠=∠，所以AMH ADM ∆∆:，故AHM AMD ∠=∠ 同理，AHN AND ∠=∠。

因为0180AHM AHN AMD AND ∠+∠=∠+∠=，所以，M 、H 、N 三点共线。

3、利用面积法
如果S
S EMN
FMN
=∆∆，点E 、F 位于直线MN 的异侧，则直线MN 平分线段EF ，即M 、N 与
EF 的中点三点共线。

A
B
C
C 1
B 1A 1
例3 、如图，延长凸四边形ABCD 的边AB 、DC 交于点E ，延长边AD 、BC 交于点F ，又 M 、N 、L 分别是AC 、BD 、EF 的中点，求证：M 、N 、L 三点共线。

证明：设BC 的中点为O ，辅助线如图所示， 由//,//OM AE ON DE 可知， 点O 必在EMN ∆内，此时，
S S S S EMN OMN OME ONE =++∆∆∆∆
O O O B MN MB NC MN BCN S S S S S ∆∆∆∆∆=++=+
B B B
C 11111
()()()22224
MD BCD MC DMC A ADC ABCD S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=+=+=⋅+=四边形 同理，1
4
FMN S S ∆=四边形ABCD 。

因此S
S EMN
FMN
=∆∆。

此时，直线MN 平分EF ，即M 、N 、L 三点共线。

注：利用梅涅劳斯定理的逆定理也可证明此题。

4、利用同一法
尽管同一法是一种间接证法，但它却是一各很有用的证法，观察例4后，你会感到，同一法在证明三点共线问题时，也有其用武之地。

例4 、如图4(a)，凸四边形ABCD 的四边皆与⊙O 相切，切点分别为P 、M 、Q 、N ，设PQ 与 MN 交于S ，证明：A 、S 、C 三点共线。

证明：如图4(b)，令PQ 与AC 交于/
S
易证//APS CQS ∠∠与互补。

而//AS P CS Q ∠=∠，则
//////
sin sin sin sin AS APS CQS S C
AP AS P CS Q CQ
∠∠===∠∠， 故//AS AP S C CQ =。

再令MN 与AC 交于//S 。

同理可得////AS AM S C CN
= 但AP AM CQ CN =，所以//////AS AS S C S C =。

利用合比性质得，///
AS AS AC AC
=。

因此，///AS AS =，可断定/S 与//S 必重合于点S ，故A 、S 、C 三点共线。

注：观察本题图形,显然还可证得B 、S 、D 三点共线；换言之，AC 、BD 、PQ 、MN 四线共点。

E
(b)
(a)
B
5、利用位似形的性质
如果ABC ∆与///A B C ∆是两个位似三角形，点O 为位似中心，那么不仅A 、/A 、O ；B 、
/B 、O ；C 、/C 、O 分别三点共线，而且ABC ∆、///A B C ∆的两个对应点与位似中心O 也三
点共线，位似形的这种性质，对于证明三点共线，颇为有用。

例5、如图,ABC ∆内部的三个等圆⊙1O 、⊙2O 、⊙3O 两两相交且都经过点P ，其中每两个圆都与ABC ∆的一边相切,已知O 、I 分别是ABC ∆的外心、内心，证明：I 、P 、O 三点共线。

证明：联结12O O 、13O O 、23O O
12//O O AB 、23//O O BC 、13//O O 可断定ABC ∆与123O O O ∆且易知ABC ∆的内心I 因为⊙1O 、⊙2O 、⊙3O 为等圆， 即123PO PO PO ==,
所以点P 是123O O
O ∆的外心。

又点O 是的外心，故P 、O 两点是两个位似三角形的对应点，利用位似形的性质，即得I 、P 、O 三点共线。

6、 利用反证法
有的几何题利用直接证法很难，而用反证法却能很快达到预期目的。

例6、如图，梯形ABCD 中、DC//AB ，对形内的三点1P 、2P 、3P ，如果到四边距离之和皆相等，那么，1P 、2P 、3P 三点共线，试证之。

证明：先看12P P 、两点，
设直线12PP 分别交AD 、BC 于M 、N ，
11PE BC ⊥于1E ，22P E BC ⊥于2E ， 11PF AD ⊥于1F ，22P F AD ⊥于2F 。

因为DC//AB ，则点1P 到AB 、CD 的距离之和等于点2P 到AB 、CD 的距离之和。

由已知可得
/
B
11112222PE PF P E P F +=+。

过点1P 作AD 的平行线、过点2P 作BC 的平行线得交点P （由于AD
与BC 不平行）。

记1P P 交22P F 于G ，2P P 交11PE 于H 。

观察上式有11222211PE P E P F PF -=-。

所以，1
2PH P G =。

因为12PPP ∆有两条高12PH P G =，所以，12PPP ∆是等腰三角形，则1221PPP PP P ∠=∠。

故1221DMN PPP PP P CNM ∠=∠=∠=∠。

再用反证法证明点3P 一定在12PP 上：假设点3P 不在12PP 上，联结13P P 并延长分别交AD 、BC 于//M N 、，易知点//M N 、在MN 的异侧；因为点1P 到AD 、BC 的距离之和等于点3P 到AD 、BC 的距离之和，由上述证明过程知必有////DM N CN M ∠=∠。

事实上，观察图形只能得到////DM N DMN CNM CN M ∠>∠=∠>∠，矛盾，这说明点3P 必在12PP 上，即MN 上，因此1P 、2P 、3P 三点共线。

7、 用塞瓦定量的逆定理
变三点共线为三线共点，利用塞瓦定理的逆定理，在圆内接凸六边形ABCDEF 中，若
AB CD EF BC DE FA ⋅⋅=⋅⋅，则AD 、BE 、CF 三线共点；反之亦然，利用这个结果来证明某
些三点共线问题，可立竿见影。

例7、如图7，凸四边形ABCD 内接于圆，延长AD 、BC 交于点P ，作PE 、PF 切圆于E 、F ，又AC 与BD 交于K ，证明：E 、K 、F 三点共线。

解：联结AE 、ED 、CF 、FB 得凸六边形ABFCDE 。

欲证E 、K 、F 三点共线，即AC 、BD 、EF 三线共点， 只须证AB FC DE BF CD EA ⋅⋅=⋅⋅。

注意到,,PAB PCD PFC PBF PDE PEA ∆∆∆∆∆∆:::。

则
,,AB PA FC PC DE PE
CD PC BF PF EA PA ===。

又PE=PF ， 则1AB FC DE PA PC PE CD BF EA PC PF PA ⋅⋅=⋅⋅=。

故AB FC DE BF CD EA ⋅⋅=⋅⋅。

因此，AC 、BD 、EF 三线共点，即E 、K 、F 三点共线。