向量法证明三点共线的又一方法及应用

向量法证明三点共线的又一方法及应用

蒋李萍 201１年１0月2４日

平面向量既具有数量特征,又具有图形特征，学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明.

原题 已知OB λOA μOC =+，其中1λμ+=. 求证:A 、B 、C 三点共线 思路:通过向量共线(如AB k AC =)得三点共线. 证明:如图,由1λμ+=得1λμ=-,则

(1)OB λOA μOC μOA μOC =+=-+ ∴()OB OA μOC OA -=- ∴AB μAC =

∴A 、B 、C 三点共线.

思考：１. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法，点O 具有灵活性;

２. 反之也成立(证明略):若A 、B 、C 三点共线,则存在唯一实数对λ、μ，满

足OB λOA μOC =+,且1λμ+=．揭示了三点共线的又一个性质; 3. 特别地,12λμ==

时,1

()2

OB OA OC =+，点B 为AC 的中点,揭示了OAC

中线OB 的一个向量公式,应用广泛．

应用举例:

例1 如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且1

3

BN BD =. 利用向量法证明：M 、N 、C 三点共线.

思路分析：选择点B ，只须证明BN λBM μBC =+,且1λμ+=. 证明:由已知BD BA BC =+,又点N 在BD 上,且1

3

BN BD =

,得 1111()3333BN BD BA BC BA BC ==+=+

又点M 是AB 的中点,

1

2BM BA ∴=,即2BA BM =

21

33BN BM BC ∴=+

而21133

+= ∴M 、N 、C 三点共线．

D

A

B

C

M

N

点评：证明过程比证明MN mMC =简洁. 例2如图，平行四边形OACB 中，13BD BC =

,OD 与AB 相交于E ,求证：. 1

4

BE BA =． 思路分析:可以借助向量知识,只须证明：14

BE BA =，而

BA BO BC =+,又O 、D 、E 三点共线,存在唯一实数对λ、μ,

且1λμ+=，使BE λBO μBD =+，从而得到BE 与BA 的关系．

证明:由已知条件,BA BO BC =+，又B 、E 、A 三点共线,可设BE k BA =,则

BE k BO k BC =+①

又O 、E 、D 三点共线，则存在唯一实数对λ、μ,使BE λBO μBD =+，且1λμ+=. 又13

BD BC =

1

3

BE λBO μBC

∴=+②

根据①、②得

131k λk μλμ=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得141434k λμ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪

⎪=⎪⎩

1

4BE BA ∴=

1

4BE BA ∴=

点评：借助向量知识,充分运用三点共线的向量性质解决问题,巧妙、简洁. 练习题:

D O

A

C

E

B

ﻩ