常微方程

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常微分方程

常微分方程

dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
(3)检验改进模型, 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题,
用实际问题检验该模型, 如果存在问题,则需研究, 改进模型.
27
例 冷却问题 将一个温度为50º的物体,放在20º的恒温 环境中冷却,求物体温度变化的规律.
解 冷却定律:“温度为T的物体,在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解:第一步,设未知函数:
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步,根据条件写出方程 dP P, 为比例系数,
dx
第三步,取比例系数为正:因 dP 0, 故 0,
第九章 常微分方程

常微分方程第三版全文

常微分方程第三版全文
设镭的衰变规律与该时刻现有的量成正比, 且已知t 0时, 镭元素的量为R0克,试确定在 任意t时该时镭元素的量.
解 设t时刻时镭元素的量为R(t),
依题目中给出镭元素的衰变律可得 :
dR dt
kR,
R(0) R0
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少.
解之得 :
例2 RLC电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源 e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当 开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.
沃特拉把所有的鱼分为两类:被食鱼 与捕食鱼,设t时刻被食鱼的总数为x(t),而 捕食鱼的总数为y(t).

Volterra
dx
被捕食-捕食模型:
dt dy
x(a by), y(c dx)
dt
Volterra
dx
模型:
dt dy
x(a bx cy), y(d ex fy)
dt
欧拉 (1707 – 1783)
瑞士数学家. 他写了大量数学经典 著作, 如《无穷小分析引论 》, 《微 分学原理 》, 《积分学原理》等, 还 写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 为分析学的重 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和 发展奠定了基础. 在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数, 公式和定理.
一、什么是微分方程?
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的; 在初等数学中就有各种各样的方程,比如线性方 程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、 三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究 的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来, 列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多 个方程式,然后取求方程的解。

常微分方程的基本概念

常微分方程的基本概念

常微分方程的基本概念什么是常微分方程常微分方程(Ordinary Differential Equations,ODE)是描述自变量只有一个的函数的微分方程。

通常表示为形如dy/dx = f(x, y)的方程,其中y是未知函数,x是自变量,dy/dx表示y对x的导数,f(x, y)是已知函数。

常微分方程主要用于描述变量之间的关系和变化规律。

常微分方程的分类常微分方程可以根据其阶数、线性性质和特殊形式进行分类。

阶数根据常微分方程中导数的阶数,可以将其分为一阶常微分方程、二阶常微分方程和高阶常微分方程。

一阶常微分方程一阶常微分方程具有形式dy/dx = f(x, y),其中f(x, y)是已知函数。

一阶常微分方程的解包含一个任意常数。

二阶常微分方程二阶常微分方程具有形式d²y/dx² = f(x, y, dy/dx),其中f(x, y, dy/dx)是已知函数。

二阶常微分方程的解包含两个任意常数。

线性和非线性根据常微分方程中的未知函数和导数之间的线性关系,常微分方程可以分为线性常微分方程和非线性常微分方程。

线性常微分方程线性常微分方程具有形式aₙ(x) * dⁿy/dxⁿ + aₙ₋₁(x) * dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + … + a₁(x) * dy/dx + a₀(x) * y = f(x),其中aₙ(x)到a₀(x)是已知函数,f(x)是已知函数。

非线性常微分方程非线性常微分方程中的未知函数和导数之间的关系是非线性的,不能表示为线性的组合。

特殊形式常微分方程可以根据其特殊形式进行分类,包括可分离变量形式、齐次形式、恰当形式等。

常微分方程的解法常微分方程的解法包括解析解和数值解。

解析解解析解是指可以用一种或多种已知的函数表达式表示出来的解。

常微分方程的解析解的求解过程可以使用分离变量法、线性常系数齐次方程解法、变量替换法等。

数值解数值解是通过数值计算方法得到的近似解。

常微分方程知识点整理

常微分方程知识点整理

常微分方程知识点整理常微分方程是数学中的一个重要分支,研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。

在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。

本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。

一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。

一般形式为dy/dx = f(x, y),其中y是未知函数,x是自变量,f是已知的函数。

常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。

1. 一阶常微分方程:一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。

常见形式为dy/dx = f(x, y)。

其中f(x, y)是已知的函数,也可以是常数。

2. 高阶常微分方程:高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。

常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1)),其中n为方程的阶数,f是已知的函数。

二、常微分方程的分类根据方程的形式和性质,常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。

1. 线性常微分方程:线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。

常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x),其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。

2. 非线性常微分方程:非线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是非线性的微分方程。

常见形式为dy/dx = f(x, y),其中f(x, y)是已知的非线性函数。

3. 齐次线性常微分方程:齐次线性常微分方程是指方程中没有常数项的线性常微分方程。

常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = 0。

偏微分方程和常微分方程

偏微分方程和常微分方程

偏微分方程和常微分方程
偏微分方程和常微分方程是数学中两个不同的概念。

常微分方程是一个只包含一个自变量和其导数的方程,如y'=f(x,y)。

常微分方程用于描述单个变量随时间变化的规律,例如物理学中的运动方
程或生物学中的人口增长方程。

相反,偏微分方程包含多个自变量和它们的偏导数,如u(x, y, t)
满足的偏微分方程。

偏微分方程通常用于描述多个变量之间的关系,例如
物理学中的波动方程、热传导方程或流体力学中的Navier-Stokes方程。

总的来说,常微分方程用于描述单个系统的变化,而偏微分方程用于
描述涉及多个系统的变化。

常微分方程的基本概念

常微分方程的基本概念

esin x esin xesin xdx C
esin x x C .
例2. 解方程 (x 1) dy y ex (x 1)1, (为常数)
dx
解:dy y ex (x 1)
dx x 1 利用求解公式
y
e
(
)dx x1
[
ex (x
1)
e
(
)dx x1
dx
C]
e [ ln(x1) e x (x 1) e ln(x1)dx C]
代入上式后化简,
k
得特解
v
m
g
(1
e
k m
t
)
v
mg k
k
5.2.2 可化为可分离变量的方程
形如y' f ( y )的微分方程称为齐次微分方程. x
解齐次方程时,通常用变量替换法,即 设u y ,
x
将齐次方程化为可变量分离的方程.
由y ux, dy u x du , 代入原方程 ,得u x du f (u)
[解] 令 u y , y ux , y' u xu'
x
则 u xu' 1 u 1u
即 xu' 1 2u u2 1u
两端积分
1u 1 2u
u2
du
1 x
dx
凑微分
1 2
d(u2 1 2u
2u 1) u2
1 x
dx

1 2
ln(u2
2u
1)
ln
x
ln
C1
u2
2u 1
C x2
B.质点自由下落
一质点在重力作用下自由下落(不计空气阻力),试求 质点下落距离S与时间t的函数关系。

常微分方程pdf

常微分方程pdf

常微分方程常微分方程是指只涉及一元函数和它的导数的方程,通常用来描述自然界中的各种现象。

例如,物理学中的牛顿第二定律、生物学中的人口增长模型等等。

常微分方程在各个学科都有着广泛的应用,因此掌握常微分方程的解法和相关理论非常重要。

一阶常微分方程我们先来看一阶常微分方程,形式一般如下:$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中$y=y(x)$,$f(x,y)$是已知的函数,我们需要求出$y=y(x)$的解。

这种形式的常微分方程也称为首次积分方程,因为我们需要对$f(x,y)$进行积分才能得到$y(x)$。

通常我们使用分离变量法。

具体步骤如下:1.把方程两边关于$x$和$y$分离,得到$\frac{dy}{f(x,y)}=dx$。

2.对两边同时积分,得到$\int\frac{dy}{f(x,y)}=\intdx+C$,其中$C$是常数。

3.解方程得到$y=y(x)$。

二阶常微分方程二阶常微分方程的一般形式为:$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$其中$y=x(t)$,$p(x),q(x),f(x)$的表达式已知,我们需要求解$y=x(t)$的解析表达式。

二阶常微分方程比一阶常微分方程更广泛,它可以用来描述许多自然现象,例如弹簧振动、震荡现象等等。

我们可以采用以下几种方法求解二阶常微分方程:1.常系数线性齐次方程的解法,对于形如$y''+ay'+by=0$的方程,我们可以假设$y=e^{mx}$作为解,代入方程得到特征方程$m^2+am+b=0$,然后求出$m$的值,进一步得到方程的通解。

2.变系数线性齐次方程的解法,对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y=0$的方程,通常采用欧拉-柯西方程的方法来求解,这个方法可以将一个二阶常微分方程转化为一个一阶常微分方程。

3.非齐次方程的解法,对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$的方程,我们可以采用常数变易法或者伯努利方程的方法来求解,从而得到方程的通解。

常微分方程基本公式

常微分方程基本公式

常微分方程基本公式一、一阶常微分方程。

1. 可分离变量方程。

- 形式:(dy)/(dx)=f(x)g(y)- 解法:将方程变形为(dy)/(g(y)) = f(x)dx,然后两边分别积分∫(dy)/(g(y))=∫f(x)dx + C,其中C为任意常数。

2. 齐次方程。

- 形式:(dy)/(dx)=F((y)/(x))- 解法:令u = (y)/(x),即y = ux,则(dy)/(dx)=u + x(du)/(dx)。

原方程化为u + x(du)/(dx)=F(u),这是一个可分离变量方程,可按照可分离变量方程的方法求解。

3. 一阶线性微分方程。

- 形式:(dy)/(dx)+P(x)y = Q(x)- 通解公式:y = e^-∫ P(x)dx(∫ Q(x)e^∫ P(x)dxdx + C)二、二阶常系数线性微分方程。

1. 齐次方程。

- 方程形式:y''+py'+qy = 0(其中p,q为常数)- 特征方程:r^2+pr + q=0- 当特征方程有两个不同实根r_1,r_2时,通解为y = C_1e^r_1x+C_2e^r_2x;- 当特征方程有重根r时,通解为y=(C_1+C_2x)e^rx;- 当特征方程有一对共轭复根r_1,2=α±β i时,通解为y = e^α x(C_1cosβ x + C_2sinβ x)。

2. 非齐次方程。

- 方程形式:y''+py'+qy = f(x)- 通解结构:y = y_h+y_p,其中y_h是对应的齐次方程的通解,y_p是一个特解。

- 当f(x)=P_m(x)e^λ x(P_m(x)是m次多项式)时,特解y_p的形式:- 若λ不是特征方程的根,则y_p=Q_m(x)e^λ x(Q_m(x)是m次待定多项式);- 若λ是特征方程的单根,则y_p=xQ_m(x)e^λ x;- 若λ是特征方程的重根,则y_p=x^2Q_m(x)e^λ x。

微分方程中的常微分方程与偏微分方程

微分方程中的常微分方程与偏微分方程

微分方程是数学中一个重要的研究对象,它是描述自然现象和工程问题的数学模型。

微分方程分为常微分方程和偏微分方程两大类。

常微分方程描述的是只涉及一个自变量的函数的导数关系,而偏微分方程描述的是涉及两个及以上自变量的函数的导数关系。

常微分方程即只包含一个自变量的导数的方程。

它可以描述一维变量的变化情况,比如物体在时间轴上的运动。

以牛顿第二定律为例,当只考虑一个物体在直线上的运动时,可以得到一个常微分方程: $m\frac{d^2x}{dt^2} = F$,其中 $m$ 是物体的质量,$\frac{d^2x}{dt^2}$ 表示物体在时间 t 上的加速度,$F$ 是物体所受的力。

常微分方程的解是一个函数,描述了物体在时间轴上的位置随时间的变化。

偏微分方程是涉及两个及以上自变量的函数的导数关系方程。

与常微分方程不同,偏微分方程描述的是多维变量的变化情况,比如物体在空间中的传热过程。

以热传导方程为例,假设物体的温度分布是一个函数 $u(x, y, z, t)$,可以得到三维空间中的偏微分方程:$\frac{\partial u}{\partial t} = k \cdot \nabla^2 u$,其中 $\frac{\partial u}{\partial t}$ 表示温度随时间的变化率,$k$ 是热传导系数,$\nabla^2 u$ 表示温度的二阶空间导数。

偏微分方程的解也是一个函数,描述了物体在空间中的温度分布随时间的变化。

常微分方程和偏微分方程在理论和应用上都有重要的意义。

在理论上,它们为数学分析提供了丰富的对象和工具,丰富了数学的研究领域。

在应用上,常微分方程和偏微分方程广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域的建模和求解问题。

无论是描述天体运动、传热过程、生物动力学,还是分析控制系统、优化问题,微分方程都起到了重要的作用。

常微分方程和偏微分方程的研究方法各不相同。

对于常微分方程,传统的求解方法主要包括分离变量法、变量代换法、级数法等。

常微分方程的分类及其解法

常微分方程的分类及其解法

常微分方程的分类及其解法常微分方程是数学中非常重要的一门学科,它涉及到的领域很广,如物理学、工程学、经济学等等都有很多应用。

常微分方程的分类及其解法,是常微分方程学习的重要内容,下面本文将就此做出一定的阐述。

一、常微分方程的分类常微分方程按照阶数,可以分为一阶常微分方程、二阶常微分方程、三阶常微分方程以及高阶常微分方程。

按照变量的个数,可以分为一元常微分方程和多元常微分方程。

按照系数的定性,可以分为常系数微分方程和变系数微分方程。

二、常微分方程的解法1. 一阶常微分方程的解法(1)可分离变量方程法对于形如$y^{'}=f(x)g(y)$的方程,如果能将变量x和y分离到等式两端,即$$\frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx$$两端对x积分,得到$$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$$式中C为常数。

这里需要注意的是,$g(y)$不能为0,如果出现$g(y)$为0的情况,需要特别处理。

(2)积分因子法对于形如$y^{'}+P(x)y=Q(x)$的方程,如果能找到一个函数$\mu(x)$,使得方程两端同时乘上$\mu(x)$得到的新方程,可以写成$$\mu(x)y^{'}+\mu(x)P(x)y=\mu(x)Q(x)$$其中左边一项可以通过链式法则写成$(\mu(x)y)^{'}$的形式,于是方程可以转化为$$ (\mu(x)y)^{'}=\mu(x)Q(x)$$这是一个可积的方程,可以积分得到原方程的解。

(3)直接积分法对于形如$y^{'}=f(x)$的方程,可以直接对方程两边积分得到$$y=\int f(x)dx+C$$式中C为常数。

2. 二阶常微分方程的解法(1)常系数齐次线性方程法形如$y^{''}+py^{'}+qy=0$的方程称为齐次线性方程,如果其系数不随自变量x的变化而变化,即p、q为常数,那么称为常系数齐次线性方程。

常微分方程基本概念

常微分方程基本概念
其中c1,, cn为相互独立的任常数 .
注1:称函数y (x, c1,, cn )含有n个独立常数,是指
存在(x, c1,, cn )的某一邻域,使得行列式
c1
(, ',, (n1) )
(c1, c2 ,, cn )
'
c1
(n1)
c1
c2
cn
'
c2
'
cn 0
(n1) (n1)
为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实 际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.
求满足定解条件的求解问题称为定解问题.
常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初
始条件是指如下的n个条件:
当x
x 0时,
y
y0 ,
dy dx
y (1) 0
,,
d (n1) y dxn1
y (n1) 0
这里x0 , y0 , y0(1) ,, y0(n1)是给定的 n 1个常数.
定义6 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解 称ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程的特解.
例如 y sinx, y cosx都是方程 y" y 0的特解. 可在通解y c1sinx c2cosx中分别取 c1 1, c2 0,得到 : y sinx,
c1 0, c2 1,得到 : y cosx.
3 定解条件
tx
dx dt
3
x
0;
d4x d2x (4) dt4 5 dt2 3x sin t;
都是常微分方程
2.偏微分方程 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程.
如 (5) z z z ;
x y

常微分方程常见形式及解法

常微分方程常见形式及解法

常微分方程常见形式及解法在数学的广袤领域中,常微分方程是一个极其重要的分支,它在物理学、工程学、经济学等众多领域都有着广泛的应用。

简单来说,常微分方程就是含有一个自变量和未知函数及其导数的方程。

接下来,让我们一起深入探讨常微分方程的常见形式以及相应的解法。

一、常微分方程的常见形式1、一阶常微分方程可分离变量方程:形如$dy/dx = f(x)g(y)$的方程,通过将变量分离,将其化为$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$,然后两边分别积分求解。

齐次方程:形如$dy/dx = F(y/x)$的方程,通过令$u = y/x$,将其转化为可分离变量的方程进行求解。

一阶线性方程:形如$dy/dx + P(x)y = Q(x)$的方程,使用积分因子法求解。

2、二阶常微分方程二阶线性常微分方程:形如$y''+ p(x)y' + q(x)y = f(x)$的方程。

当$f(x) = 0$时,称为二阶线性齐次方程;当$f(x) ≠ 0$时,称为二阶线性非齐次方程。

常系数线性方程:当$p(x)$和$q(x)$都是常数时,即$y''+ py'+ qy = f(x)$,这种方程的解法相对较为固定。

二、常微分方程的解法1、变量分离法这是求解一阶常微分方程的一种基本方法。

对于可分离变量的方程,我们将变量分别放在等式的两边,然后对两边进行积分。

例如,对于方程$dy/dx = x/y$,可以变形为$ydy = xdx$,然后积分得到$\frac{1}{2}y^2 =\frac{1}{2}x^2 + C$,从而解得$y =\pm \sqrt{x^2 +2C}$。

2、齐次方程的解法对于齐次方程$dy/dx = F(y/x)$,令$u = y/x$,则$y = ux$,$dy/dx = u + x(du/dx)$。

原方程可化为$u + x(du/dx) = F(u)$,这就变成了一个可分离变量的方程,从而可以求解。

常微分方程

常微分方程

●凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程。

●未知函数是一元函数的,叫做常微分方程。

未知函数是多元函数的,叫做偏微分方程。

●微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的阶。

●在研究某些实际问题时,首先要建立微分方程,然后找出满足微分方程的函数(解微分方程),就是说,找出这样的函数,把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。

这个函数就叫该微分方程的解。

●如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解。

●设微分方程中的未知函数为y=y(x),如果微分方程是一阶的,通常用来确定任意常数的条件是x=x0时,y=y0,或写成y|x=x0=y0,其中x0,y0都是给定的值;如果微分方程是二阶的,通常用来确定任意常数的条件是:x=x0时,y=y0,y′=y0′,或写成y|x=x0=y0,y′|x=x0=y0′,其中x0,y0和y0′都是给定的值,上述这种条件叫做初始条件。

●确定了通解中的任意常数以后,就得到微分方程的特解。

●求微分方程y′=f(x,y)满足初始条件y|x=x0=y0的特解这样一个问题,叫做一阶微分方程的初值问题,记作{y′=f(x,y);y|x=x0=y0}●可分离变量方程。

一阶可分离变量方程:dy/dx=f(x)/g(y),可分离变量为:∫g(y)dy=∫f(x)dx,设g(y)、f(x)的原函数分别为G(y)、F(x),则可解出方程的通解:G(y)=F(x)+C。

●例:求微分方程dy/dx=2xy的通解。

解:方程是可分离变量的,分离变量后得dy/y=2xdx,两端积分∫dy/y=∫2xdx,得ln|y|=x2+C1,从而y=±e C1e x2。

因±e C1仍是任意常数,把它记作C,便得方程的通解y=Ce x2。

●齐次方程。

如果一阶微分方程dy/dx=f(x,y)中的函数f(x,y)可写成y/x的函数,即f(x,y)=φ(y/x),则称这方程为齐次方程。

常见的常微分方程的一般解法

常见的常微分方程的一般解法

常见的常微分方程的一般解法总结了常见常微分方程的通解。

如无意外,本文将不包括解的推导过程。

常微分方程,我们一般可以将其归纳为如下n类:1.可分离变量的微分方程(一阶)2.一阶齐次(非齐次)线性微分方程(一阶),包含伯努利3.二阶常系数微分方程(二阶)4.高阶常系数微分方程(n阶),包含欧拉1.可分离变量的微分方程(一阶)这类微分方程可以变形成如下形式:f ( x ) d x =g ( y ) d y f(x)dx=g(y)dy f(x)dx=g(y)dy函数可以通过同时整合两边来解决。

难点主要在于不定积分,不定积分是最简单的微分方程。

p.s. 某些方程看似不可分离变量,但是经过换元之后,其实还是可分离变量的,不要被这种方程迷惑。

2.一阶齐次(非齐次)线性微分方程(一阶)形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x)的方程叫做一阶线性微分方程,若 Q ( x ) Q(x) Q(x)为0,则方程齐次,否则称为非齐次。

解法:直接套公式:y ( x ) = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C ) y(x)=e^{-\int{P(x)}dx}(\int{e^{\int{P(x)dx}}Q(x)}dx+C)y(x)=e−∫P(x)dx(∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C)多套几遍熟练就好。

伯努利方程形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n , n ∈R , n ≠ 1\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},n\in\mathbb{R},n\ne1dxdy+P(x)y=Q(x)yn,n∈R,n=1的方程称为伯努利方程,这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程:y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) y−ndxdy+P(x)y1−n=Q(x)1 1 − n ⋅ d y 1 − n d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) \frac{1}{1-n}·\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)1−n1⋅dxdy1−n+P(x)y1−n=Q(x)令 y 1 − n = u y^{1-n}=u y1−n=u,方程两边同时乘以 1 − n 1-n 1−n,得到d u d x + ( 1 − n ) P ( x ) u = ( 1 − n ) Q ( x )\frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x) dxdu+(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)即 d u d x + P ′ ( x ) u = Q ′ ( x )\frac{du}{dx}+P'(x)u=Q'(x) dxdu+P′(x)u=Q′(x)这是一个可以公式化的一阶线性微分方程。

什么叫做常微分方程

什么叫做常微分方程

什么叫做常微分方程导论:在数学中,方程是研究数学问题最基本的工具之一。

所谓方程,就是包含未知数的等式或不等式,通过求解方程,我们可以找到满足条件的未知数的值。

常微分方程(Ordinary Differential Equation, ODE)是一类描述自然和科学现象中变化率的数学方程。

本文将介绍常微分方程的定义、特点以及一些解法。

一、常微分方程的定义常微分方程是描述未知函数和它的导数之间关系的方程。

通常,常微分方程可以写成以下形式:dy/dx = f(x, y),其中y是未知函数,f(x, y)是已知函数。

这个方程就是一个一阶常微分方程。

如果方程中含有更高阶的导数,那么它就是高阶常微分方程。

常微分方程的求解目标是找到满足方程的函数。

二、常微分方程的特点1. 未知函数与导数之间的关系:常微分方程是通过已知函数和它的导数来描述未知函数与其自身的变化关系。

换句话说,通过已知的输入和输出值,我们可以推断未知函数的变化规律。

2. 存在多个解:与代数方程不同的是,常微分方程往往具有多个解。

这是因为常微分方程描述的是函数的变化规律,而同一个变化规律可以对应不同的函数形式。

3. 初始条件:为了确定常微分方程的解,需要给出初始条件。

初始条件通常是未知函数在某个点的函数值和导数值。

通过给出初始条件,我们可以唯一确定一个解。

三、常微分方程的解法常微分方程的解法众多,常见的解法包括分离变量法、常数变易法、齐次方程法等等。

以下是其中两种常用的解法:1. 分离变量法:分离变量法适用于可以将方程中的变量分开的情况。

首先将方程两边的变量分开,变成一个只包含y的方程和一个只包含x的方程,然后对两个方程进行积分,最后解出y的表达式。

2. 常数变易法:常数变易法适用于一些特殊形式的常微分方程。

首先假设待解方程的解为y = u(x) * v(x),其中u(x)和v(x)都是关于x 的函数,然后将y及其导数带入原方程,得到关于u(x)和v(x)的方程组,通过求解该方程组,最后解出u(x)和v(x),再将它们代入y= u(x) * v(x),得到方程的解。

常微分方程的基本类型

常微分方程的基本类型

常微分方程的基本类型常微分方程是研究物理、化学、生物、经济等领域中的变化规律与关系的一种数学工具。

它的研究对象是某些变量(例如时间、物体位置、人口数量)随着自变量的变化而变化的情况。

常微分方程可以提供不同领域所需要的模型和预测,因此它是非常重要的数学分支。

在研究常微分方程时,需要首先确定它的类型。

根据方程的形式和特点,常微分方程可以分为多种类型,其中比较基本的有以下几种。

一、一阶常微分方程一阶常微分方程是指一个未知函数y关于自变量x的导数y',与y本身及x的关系式。

一阶常微分方程的一般形式为dy/dx=f(x),其中f(x)是x的函数。

特别地,对于一阶线性常微分方程dy/dx+p(x)y=q(x),其中p(x)和q(x)是x的函数,可以通过变量分离的方法求解,得到y=(C+∫q(x)e^(-∫p(x)dx)dx)e^(∫p(x)dx)。

其中C是任意常数。

二、二阶常微分方程二阶常微分方程是指未知函数y的二阶导数y'',与y本身、一阶导数y'以及自变量x的关系式。

二阶常微分方程的一般形式为y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),其中p(x)、q(x)和f(x)都是x的函数。

特别地,对于二阶齐次常微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=0,其中p(x)、q(x)是x的函数,可以通过特征根的方法求解,得到y=C1e^(m1x)+C2e^(m2x)。

其中m1和m2是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的两个特征根,C1和C2是待定常数。

三、高阶常微分方程高阶常微分方程是指未知函数y的高阶导数,与y本身、低阶导数以及自变量x的关系式。

高阶常微分方程的一般形式为y^(n)+a1y^(n-1)+a2y^(n-2)+...+an-1y'+an=0,其中a1、a2、...、an 都是常数。

特别地,对于高阶齐次常微分方程y^(n)+a1y^(n-1)+a2y^(n-2)+...+an-1y'+an=0,可以通过特征根的方法求解,得到y=C1e^(m1x)+C2e^(m2x)+...+Cne^(mnx)。

常微分方程基本概念

常微分方程基本概念
常微分方程基本概念
目录
• 常微分方程的定义与分类 • 常微分方程的解法 • 常微分方程的应用 • 常微分方程的数值解法 • 常微分方程的稳定性 • 常微分方程的近似解法
01 常微分方程的定义与分类
定义
定义1
常微分方程是包含一个或多个未知函数的导 数的方程。
定义2
常微分方程是描述一个或多个未知函数随时间变化 的数学模型。
非线性系统的稳定性
01
非线性系统的稳定性是指系统在受到扰动后,能否 保持在一定的平衡状态。
02
非线性系统的稳定性可以通过分析系统的动态行为 来判断。
03
非线性系统的稳定性判据包括:局部稳定性和全局 稳定性。
稳定性判据
劳斯-霍尔维茨判据
用于判断线性时不变系统的稳定性,通过 计算系统的极点和零点来确定系统的稳定
参数法适用于一些难以直接求解的常微分 方程,通过引入参数,对方程进行变形, 使其转化为可求解的形式。这种方法在求 解某些特殊类型的常微分方程时非常有效 。
积分因子法
总结词
积分因子法是一种通过引入积分因子来化简常微分方程的方法。
详细描述
积分因子法适用于具有特定形式的常微分方程,通过引入积分因子,将原方程转化为易于求解的形式。这种方法 在求解某些特殊类型的常微分方程时非常有效。
牛顿第二定律
01
描述物体运动规律时,常使用常微分方程来表达加速度与力和
质量的关系。
波动方程
02
在研究波动现象,如声波、光波和水波时,常微分方程用来描
述波的传播规律。
热传导方程
03
在研究热量传递和扩散时,热传导方程用来描述温度随时间和
空间的变化规律。
生物问题
种群动态

常微分方程的解法及应用

常微分方程的解法及应用

常微分方程的解法及应用常微分方程是数学中的一个重要分支,广泛应用于各个领域,例如物理学、生物学、经济学等。

本文将介绍常微分方程的解法和应用。

一、常微分方程的解法常微分方程是描述物理现象和自然现象的重要数学工具,例如天文学、电子学、量子力学、流体力学、热力学、生物学、化学等。

常微分方程主要分为初值问题和边值问题两种。

1.初值问题初值问题是指在某个初始时刻$t_0$,系统的状态已知,求在此后的任意时间$t$内该系统的状态。

其一般形式如下:$$\frac{dy}{dt}=f(y,t), \ \ \ \ y(t_0)=y_0$$其中,$y$是未知的函数,$f$是已知的函数,$y_0$是已知的常数。

2.边值问题边值问题是指在某个区间$[a,b]$内,系统的状态已知,求满足某个条件的函数$y(t)$。

其一般形式如下:$$\frac{d^2y}{dt^2}=f(y,t), \ \ \ \ y(a)=y_A, \ \ \ \ y(b)=y_B$$其中,$y_A$和$y_B$是已知的常数。

3.解法常微分方程的解法有多种方法,下面介绍比较常用的两种方法:欧拉法和四阶龙格-库塔法。

(1)欧拉法欧拉法是常微分方程求解的一种最简单的数值方法,它的基本思想是将微分方程转化为差分方程,利用差分方程求解。

假设在时间t时,y的值为$y(t)$,而在时间$t+h$时的y的值可以用下式计算:$$y(t+h)=y(t)+h\times f(y(t),t)$$其中,$f(y,t)$是微分方程的右端函数,$h$是每次迭代的步长。

(2)四阶龙格-库塔法四阶龙格-库塔法是常微分方程求解的一种较为精确的数值方法,其基本思想是采用区间加权平均法对微分方程进行求解。

四阶龙格-库塔法是由四个步骤组成,分别为:1)计算斜率$k_1=f(y_i,t_i)$2)计算斜率$k_2=f(y_i+\frac{h}{2}k_1,t_i+\frac{h}{2})$3)计算斜率$k_3=f(y_i+\frac{h}{2}k_2,t_i+\frac{h}{2})$4)计算斜率$k_4=f(y_i+hk_3,t_i+h)$将这四个斜率加权平均后即得到四阶龙格-库塔法的解式:$$y_{i+1}=y_i+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$$二、常微分方程的应用常微分方程广泛应用于各个领域,本节将介绍三个常微分方程的应用:自然增长模型、振动模型和物理模型。

第六讲 常微分方程

第六讲  常微分方程

第六讲 常微分方程 一 知识点详解(一)常微分方程的概念 1内容展开(1) 定义:含有未知一元函数及其导数和自变量的方程称为常微分方程,简称微分方程 (2) 微分方程的阶:微分方程中含有的未知函数的导数色最高阶称为微分方程的阶 (3) 微分方程的解:1) 解得定义:将()y f x =带入微分方程,使方程称为恒等式,则称()y f x =是微分方程的解 2) 通解:微分方程的解中含有自由常数,且含独立自由常数的个数等于微风方程的阶数,则称该解为通解3) 特届:不含任意常数的解称为微分方程的特解。

求特解时,初始条件的个数等于微分方程的阶数 (二)一介微分方程 1 内容展开(1)变量可分离微分方程 1)方程形式()()'y f x g y =2) 解法 当()0g y ≠时,()()()()'dyy f x g y f x dx g y =⇔= 两边求不定积分()()dy f x dx C g y =+⎰⎰其中拨C 为任意常数,其中()dyg y ⎰表示函数()1g y 的一个原函数,()f x dx ⎰表示函数()f x 的一个原函数若0y 使()00g y =,则0y y =也是原方程的一个特解注:①尽可能把y 写成x 的函数,也尽可能把y 从对数中“解脱”出来 ②不要漏掉()00g y =这种常数解 (2)齐次微分方程 1)方程形式 'y y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭2)解法 令y u x =由于''y u xu =+,所以微分方程'y y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭变为()()'1u f u u x =-,这是关于未知函数u 的一个变量可微分方程,由此方程解得未知函数()u u x =,进而得到微分方程的解()()y x xu x =(3)一阶线性微分方程 1)方程形式 ()()'y p x yq x +=当右端项()q x 恒为零时称其为一阶齐次线性微分方程,否则称其为一阶非齐次线性微分方程 2)解法()()()p x dx p x dy y e q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ (4)伯努利方程1)方程形式 形如()()()',0,1n y p x y q x y n +=≠2)解法 令1n u y -=,则伯努利方程变为()()()()'11u n p x u n q x +-=-,这是关于未知函数()u u x =的一个一阶线性微分方程 (5)全微分方程1)方程形式 ()(),,0p x y d x Q x y d y+=,若P Qy x∂∂=∂∂,该方程称为全微分方程 2)解法()()()()00,,,,x y x y P x y dx Q x y dy C +=⎰2 记忆方法(1)齐次微分方程和一阶齐次线性微分方程最终都要化为变量可分离微分方程求解 (2) 齐次微分方程的基本方法是:令y u x=; (3) 一阶非齐次线性微分方程的求解就是记公式 3 例题讲解【例6.1】微分方程()'1y x y x-=的通解是() 解析:可分离变量微分方程()()11,y x x dy dy dx dx x y x--== 1,dy dx dx y x =-⎰⎰⎰即ln ln y x x C =-+所以xy Cxe -=【例6.2】微分方程'2ln xy y x x +=满足()119y =-的解为() 解析: 将'2ln xy y x x +=化为'2ln y y x x+=带入通解公式得 222ln 2ln ln ln dx dxx x x x y e x e C e x e dx C --⎡⎤⎰⎰⎡⎤=⋅+=⋅+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰221ln x xdx C x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 2ln 39x x C x x=-+由()119y =-求得0C =所以1ln 33x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【例6.3】 微分方程312dy y y dx x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足11x y==的特解为y=()解析:令y ux =,有dy du u x dx dx =+原方程化为312du u x u u dx +=-即 32du dx u x =-,积分得21ln x C u =+即22ln x y x C=+ 由于1,1,x y ==得C=1,所以得解y =(三)可降阶微分方程 1内容展开 (1) 方程()()n yf x =求n 次定积分得解(2) 方程()''',y f x y =这类方程的特点是不显含未知函数y ,显含自变量x ,令()'p x y =,则微分方程()''',y f x y =变为()',p f x p =,这是关于()p p x =的一个一阶微分方程(3) 方程()''',y f y y =这类方程的特点是不显含自变量x ,显含未知函数y ,令()'p y y =,则2'2d y d p d p d y p p d x dx dy dx===,因此微分方程()''',y f y y =变为()',p p f y p =这是一个以y 为自变量,()p y 为未知函数的一阶微分方程2记忆方法1) 方程形如()''',y f x y =时,令()'p x y = 2) 方程形如()''',y f y y =时,令()'p y y =3例题讲解【例6.4】微分方程()2'''0yy y+=满足初始条件'011,2x x yy ====的特解是() 解析:令''',d p d p d y d p y p y p d x d y d x d y ===⋅=原方程化为:20dp yp p dy+=得00dpp yp dy=+=或 0p =不满足初始条件'01x y ==舍弃0dpyp dy +=按分离变量法解之得1C p y=由初始条件'012x y ==解得112C =于是得12dy dx y=解之得22y x C =+以'01x y ==带入,得21C =且取+号所以y =(四)二阶线性微分方程解得性质1内容展开()()()'''y p x y q x y f x ++= ①非齐次()()'''0y p x y q x y ++= ②齐次(1) 若12,y y 是②得解,则123c y c y +也是②的解,其中12,c c 为任意常数 (2) 若12,y y 是②得两个线性无关的解12y c y ⎛⎫≠⎪⎝⎭,则1122yc y c y =+ 是②的通解 (3) 若12,y y 是①的解,则12y y -为②得解(4) 若y是②的通解,*y 是①的特解,则*y y y =+ 是①的通解 (5) 若*1y 是()()()'''1y p x y q x y f x ++=得解,*2y 是()()()'''2y p x y q x y f x ++=的解,则**12y y +是()()()()'''12y p x y q x y f x f x ++=+得解 2记忆方法与线性代数中方程组得解的理论是类似的 3例题讲解 无(五) 高阶常系数线性微分方程 1 内容展开(1) 二阶常系数齐次线性微分方程1) 方程形式 '''0y ay by ++=,其中a,b 是常数 2) 解法(特征方程法)方程20a b λλ++=称为它的特征方程,特征方程的根12,λλ称为它的特征根 ①当12λλ≠且均为实数时,微分方程的通解是()1212xxy x C e C eλλ=+②当12λλ=时,微分方程的通解是()1112xxy x C e C xe λλ=+③当1,2i λαβ=±时,微分方程的通解是()()12cos sin x y x e C x C x αββ=+ (2) 高于二阶常系数齐次线性微分方程方法和二阶常系数线性微分方程类似(3) 二阶常系数非齐次线性微分方程 1) 方程形式()'''y ay by f x ++=2) 解法:由解得性质知,需找到对应齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解,下找特解: ①右端项为()xn f x Pe μ=其中()n P x 为n 次多项式设方程的特解形式为()()*k x n yx x Q x e μ=,其中A) ()1110nn n n n Q x a x a xa x a --=++++ ,为n 次多项式的一般形式;B) k 的取值:当μ不是'''0y ay by ++=的特征根时,k=0 当μ是'''0y ay by ++=的单特征根时,k=1 当μ是'''0y ay by ++=的复特征根时,k=2 将()()*k x n yx x Q x e μ=代入微分方程()'''xn y a y b y P x e μ++=求出特定系数(),0,1,2,3,k a k n =②右端项为()()cos xn f x e P x x αβ=的方程,其中()n P x 为n 次多项式设方程的特解形式为()()()*cos sin k x n n yx x e Q x x W x x αββ=+⎡⎤⎣⎦其中“A )()1110,nn n n n Q x a x a x a x a --=++++ ()1110,n n n n n W x b x b x b x b --=++++B)k 的取值:当i αβ±不是'''0y ay by ++=的特征根时,k=0 当i αβ±是'''0y ay by ++=的特征根时,k=1 将()()()*cos sin k x n n y x x e Q x x W x x αββ=+⎡⎤⎣⎦代入()'''c o s x n y a y b y eP xαβ++=求出待定系数(),0,1,2k k a b k n =注:数三只要求自由项为多项式函数,指数函数,正炫函数,余弦函数的二阶常系数非齐次方程 2记忆方法(1) 方程右端含有三角函数时,所设特解中有与微分方程右端项中最高次幂相同的多项式函数,相同的指数函数和kx (k 的取值取决于右端项中的指数函数x e μ中的μ的作为特征根的重数)(2) 方程右端含有三角函数时,所设特解中有与微分方程右端项中最高次幂相同的多项式函数,相同的指数函数,相同系数正炫函数与余弦函数,和k x (k 的取值取决于右端项中的指数函数x e μ和三角函数()cos sin x x ββ和中的i αβ±是否为特征根)3例题讲解【例6.5】求微分方程'''2432x y y y e -+=的通解解析:与所给方程对应的齐次线性微分方程为'''430y y y -+=它的特征方程为2430r r -+=得特征根121,3r r ==所以,对应齐次线性微分方程的通解为312x x Y C e C e =+由于2不是特征方程的根,故设该非齐次线性微分方程的特解为*2xy Ae=,将()()'''*2*2*2,2,4x x xy Ae y Ae y Ae ===带入原方程,有222244232x x x x Ae Ae Ae e -⋅+=解得2A =-所以*22x y e =-所以,原方程通解为*32122x x x y Y y C e C e e =+=+- (六) 欧拉方程 1内容展开(1) 方程形式 形如()2'''x y axy by f x ++=的微分方程称为2阶欧拉方程,其中a ,b是常数(2) 解法,当0x >时,令'x e =,欧拉方程变为()2'2(1)d y dya by f e dt dt+-+=,这时一个以t 为自变量,y 为未知函数的2阶线性常系数微分方程当0x <时,作变量代换'x e =-,可类似求解 2记忆方法当0x >时令'x e =;当0x <时,令'x e =- 3例题讲解 无 (七) 差分方程 1内容展开 (1)定义一阶常系数齐次线性差分方程 10t t y ay ++=一阶常系数非齐次线性差分方程 ()1t t y ay f t ++=其中()f t 为已知常数,a 为非零常数 (2)其次差分方程的通解通过迭代,并由数学归纳法可得一阶常系数齐次线性差分方程的通解为:()()tC y t C a =⋅-其中C 为任意常数(3) 非齐次差分方程的解得性质1) 若*y 是非齐次差分方程的一个特解,()C y t 是齐次差分方程的通解,则非齐次差分方程的通解为()*t C t y y t y =+2) 若1t y y 和分别是差分方程()11t t y ay f t ++=和()12t t y ay f t ++=的解,则1t y y +是差分方程()()112t t y ay f t f t ++=+得解 (4) 非齐次差分方程的特解形式非齐次差分方程()1t t y ay f t ++=的特解*t y 形式的设定如下表2记忆方法其次差分方程1t t y ay ++的通解为()()tC y t C a =⋅- 非齐次差分方程()1t t y ay f t ++=的特解*t y 形式设定如下3例题讲解【例6.6】差分方程121050t t y y t ++-=的通解为() 解析:原方程的一般形式为1552t t y y t ++=对应的其次差方程为150t t y y ++=,其通解为()()'5C y t C =-(C 为任意常数)()52f t t =是t 的一次多项式且51a =≠-,故设原方程的特解*t y At B =+带入原方程得()()5152A t B At B t ++++=即5662At A B t ++=比较系数知 55,1272A B ==-故*51126t y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭从而原差分方程的通解为()()'*515126t C t y y t y C t ⎛⎫=+=-+- ⎪⎝⎭三 典型例题【例6.7】设函数()y x 连续,求解方程:()()2012xy s ds y x x +=⎰1) 分析:题目中遇到变项积分一般都是要求导数的 2) 解析:易判断()y x 可导,等式两端对x 求导得:()()'122y x y x x +=在原方程中令()000x y ==得从而得初值问题()'2400y y xy ⎧+=⎪⎨=⎪⎩这是含初始条件时的一阶非齐次线性微分方程,由公式有:222421dx dx xy e xe C x Ce --⎛⎫⎰⎰=+=-+ ⎪⎝⎭⎰代入初始条件()001y C =⇒=所以221x y x e -=-+3) 备注:变限积分与微分方程综合考察时,注意确定初始条件,方法—令积分上下限取值相同 【例6.8】求微分方程''cos y y x x +=+1) 分析:自由项是函数之和时二阶常系数非齐次线性微分方程的特解利用解得叠加原理 2) 解析:原方程对应的 齐次方程''0y y +=的特征方程为210λ+=,特征根1,2,i λ=±故齐次方程的通解为12cos sin yC x C x =+ 设非齐次方程''y y x +=的特解为1y Ax B =+代入方程,得A=1,B=0所以1y x = 设非齐次方程''cos y y x +=的特解为2c o s s i n y Ex x Dx x =+代入方程得10,2E D ==所以21sin 2y x x = 由于12y y +为原方程''cos y y x x +=+的一个特解,所以原方程的通解为12121cos sin sin 2y yy y C x C x x x x =++=+++ 3)备注:数学三不要求自由项是函数之和时二阶常系数非齐次线性微分方程,但大家要学会自由项为一项时的二阶常系数非齐次线性微分方程,即数学三考生要学会解微分方程''y y x +=和''cos y y x +=。

武忠祥常微分方程公式

武忠祥常微分方程公式

武忠祥常微分方程公式:
武忠祥常微分方程公式是指常微分方程领域的专家武忠祥教授提出的一系列公式和结论。

由于武忠祥教授在常微分方程领域的突出贡献,他的名字被应用于命名相关的公式和定理。

以下是一些常见的武忠祥常微分方程公式:
1. 武忠祥公式:对于常微分方程y' = f(x, y),若存在函数F(x, y) 满足F'(x) = f(x, F(x, y)), 则称F(x, y) 为原方程的一个特解。

武忠祥公式给出了求解常微分方程的一个方法,即通过寻找特解来解决原方程。

2. 武忠祥定理:若函数y = y(x) 满足y'(x) = f(x, y(x)), 则称y(x) 为原方程的一个解析解。

武忠祥定理给出了常微分方程存在唯一解析解的条件,即函数y = y(x) 满足L[y] = f(x, y(x)), 其中L[y] 表示y(x) 的微分。

3. 武忠祥变换:对于常微分方程y' = f(x, y),武忠祥变换是一种将原方程转化为易解形式的方法。

通过引入一个新的变量,将原方程化为一个更容易求解的形式。

以上是武忠祥常微分方程公式的一部分,这些公式和结论对于常分方程领域的研究和应用具有重要的意义。

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Peano现象: Cauchy问题解不唯一,即通过某个初 值点的积分曲线至少两条.
dy 2 y, dx y ( x0 ) 0,
sol1: y 0, 0, x x0 , sol 2 : y ( x x )2 , x x . 0 0
原则上讲初始函数 0(x) 可以任意取, 但在实际上,为方便起见,往往取 0(x) 的常数 值函数 0(x) y0 问题:这样构造函数列是否可行,即上述的积 分是否有意义?
n(x) 在 x0 x x0 h 命题2:对任意的自然数 n ,
上有定义,连续且满足 |n(x)-y0 | b
其相互关系:
代数方程 f ( x) x
x0 R, xn 1 f ( xn )
积分方程 y y0 x f ( , y( ))d
0
x
0 ( x) y0 x n 1 ( x) y0 x f ( , n ( )) d . 0
dy f ( x, y ), dx y ( x0 ) y0 ,
x0 a x x0 a, R: y0 b y y0 b.
其中函数 f ( x, y) 的条件可以是
(i) f ( x, y) C( R),
(ii) f y C( R),
n n n
即 x0 为 f ( x) 的不动点 下面证明唯一性:
f ( x0 ) x0 , ) x0 , f ( x0

f ( x0 ) f ( x0 ) N x0 x0 x0 x0
. x0 x0
如下图所示:
y
x2 f ( x1 )
定理1(存在唯一性定理)对于Cauchy问题 dy f ( x, y) ,( x, y) R {( x, y) || x x0 | a,| y y0 | b} (1) dx y( x0 ) y0 如果 f ( x, y) 在R上连续且关于 y 满足Lipschitz条件, 令 b M = max | f ( x, y ) |, h min(a, ). (x,y) R M
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0
的求解上。与代数方程类似,对于不能用初等解 法求解的微分方程,我们往往用数值法求解。在 用数值法求解Cauchy问题之前,需要在理论上先 解决下面二个基本问题:
(1) Cauchy问题
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0

x
x0
f (t , y)dt
的定义于 x0 x x0 h 上的皮卡(Picard)
. 的逐次逼近函数数列{n(x)}
取在 x0 x x0 h上的一个连续函数 作为逼近函数列的初始函数.令
0(x)
n(x)=y0 f (t ,n1(t))dt ,
x0
x
n 1, 2,......
(x,n(x)) R ,即 这表明:在 x0 x x0 h 上, n(x) 中的定积分总是有意义的。 命题3:函数列 {n(x)} 在 x0 x x0 h上一致收敛
记 lim n(x )=(x)
n
命题4: 为积分方程 y y0 f (t , y)dt y=(x)
x[ , ]
注5: 解的存在唯一定理还可用泛函分析的 Banach压缩映照原理证明
T : y0 f ( , ( ))d .
x0 x
B, B 为一Banach空间.
在一定条件下可以证明 T 为一压缩映照,从而 有唯一不动点,该不动点即为积分方程的解.
注6:解的存在唯一性定理对线性方程组的情形 也成立,我们有如下定理:
第 5讲
基本定理(1)
本节内容提要
一、解的存在唯一性与逐步逼近法 二、Gronwall不等式与比较定理
三、解的延拓
一、解的存在唯一性定理与 逐步逼近法
1.解的存在唯一性定理
1)导数解出情形
dy f ( x, y ), dx y ( x0 ) y0 ,
问题的提出:在前一章中,我们介绍了能用 初等方法求解的一阶方程的几种类型,但同时指 出,大量的一阶微分方程是不能用初等方法求出 其通解的;另一方面,实际问题所需要的往往是 要求满足某种初始条件的解,因此现在我们把注 意力集中在Cauchy问题
x0
x
的定义于 x0 x x0 h上的连续解,从而为Cauchy
dy f ( x, y ) 的定义于 x0 x x0 h上的解。 问题 dx y ( x0 ) y0
命题5:设 y=(x)为积分方程 y y0 x f (t , y)dt
xm xn

m1 i n
Ni

0
x1 x0

N 1 N
n
mn
n 1 N
n
x0 R,
limx
n
x0 .
f ( x0 ) f (limxn ) lim f ( xn ) limxn1 x0 .
0
x
的定义于 x0 x x0 h 上的一个连续解,则
(x) (x)
(x0 x x0 h) 即为Cauchy问题(1)的解。
n 注1 : 由命题2,函数列 {n ( x)}n0 有如下性质:
n ( x)
n ( x)在 x0 x x0 h上有定义,连续且
n ( x) y0 b ( x) y0 b.
注2:
b h M
的几何意义如下图
注3:
f y
的连续性可以保证Lipschitz条件
f C ( R) y f L, ( x, y) R. y
f f ( x, y1) f ( x, y2 ) ( x, y2 ( y1 y2 ) y1 y2 L y1 y2 . y
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0
x
的定义于 x0 x x0 h上的解的充分必要条件是
y=(x) 为积分方程 y y0 x0 f (t , y)dt 的定义于
x0 x x0 h 上的解。
现在我们先构造积分方程 y y0
(iii) L 0, ( x, y1 ), ( x, y2 ) R, f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2
在历史上 •1820年Cauchy在(i)和(ii)的条件下证明方程解 存在唯一性。 •1876年Lipschitz在(i)和(iii)下证明方程解存 在唯一性。 •1890年Picard用逐次逼近法证明方程解的存在 唯一性。 Peano在(i)的条件下证明解的存在性。我 们先来看Peano的方法。
证明 lim xn 存在 n
证明函数列 { n ( x)}n n 0 在 某区间 I 上一致收敛
证明极限值 为方程的解
) 证明收敛的连续函数 ( x是 定义在区间 I上的方程的解
我们用皮卡(Picard)的逐次逼近法来证明 定理1。为了简单起见,只就区间 x0 x x0 +h 来讨论,对于 x0 h x x0 的讨论完全一样。 命题1:y=(x) 为Cauchy问题
Peano现象的稀有性: 存在测度,使得会发生 Peano现象的方程类的测度为零. Lavrentief现象:即在任一点处都发生Peano现象.
下面我们给出如下定义: 定义1:设 f ( x, y) 在R上有定义, 若存在 L 0 ,对任意 的 ( x, y1 ),( x, y2 ) R ,使得 | f ( x, y1) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 |, 则称 f ( x, y)在R上关于 y 满足Lipschitz常数,且称 L 为Lipschitz常数。
证明:先证存在性,构造如下数列 x0 R, xn 1 f ( xn ), n 0, 1, 2,
{ x } 下面证明, n n0 收敛于 f ( x) 的不动点。 即证
0, N,
m n N,
xm xn .
xm xn xm xm1 xm1 xm2 xn1 xn
易判断的两个充分条件。
结果1:如果 f ( x, y)在R上关于 y 的偏导数 f y ( x, y) 存在 且有界,则 f ( x, y) 在R上关于 y 满足Lipschitz条件。
结果2:如果 f ( x, y) 在R上关于 y 的偏导数f y ( x, y) 连续,则 f ( x, y) 在R上关于y满足Lipschitz条件。 有了上面的准备知识后,我们就可以叙述Cauchy问 题的解的存在唯一性定理了。
附注1:如果 f ( x, y) 在R上关于 y 满足Lipschitz 条件,则 f ( x, y)在R上关于 y 是连续的,有时也 称为Lipschitz连续的。 附注2:对于给出在R上有定义的函数 f ( x, y) ,根
据定义去验证它是否关于 y 满足Lipschitz条件,
一般是困难的,下面我们给出在实际应用中容
但反之不对.例 f ( x, y) y 。 注4: 当右端函数 f ( x, y) 是线性时,Cauchy问题 解有 什么样的存在范围? 即
dy P( x) y Q( x), P( x), Q( x) C[ , ]. dx
结论:过任一初值 ( x0 , y0 ), x0 [ , ] 所确定的解在 [ , ] 上都有定义。 在证明过程中取 M max P( x) y0 Q( x) .
x0
x
如果存在定义在区间 I [ , ] 上的一个连续函数, 使得
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