数学物理方程第八章_非线性偏微分方程与积分方程

⎧ dv ⎪
= v2,
t
>0
⎨ dt
⎪⎩v(0) = v0 (v0是常数)
容易求出它的解
v(t) = v0 1− v0t
显然，若 v0
<
0 ，则方程的解对所有 t
≥
0 都存在，简称存在整体解；若 v0
>
0 ，则当 t
→
1 v0
时， v(t)
→
+∞, 这时解在时刻 t0
=
1 v0
产生破裂，所以方程只在[0, 1 v0
ut + uux = λuxx
是一个半线性的三阶偏微分方程，为了解这个方程，令 u = vx , 对 x 积分一次可得
再令
vt
+
1 2
v
2 x
=
λv xx
v = −2λInφ
则得
φt = λφxx
这是一维的线性热传导方程，对它的各种定解问题可以用第 2，3 章中的方法求出它的解，
有了φ 之后就可以求出 u
(u
−u1
)
(8.2.3)
式中， β 是常数，可以验证，若 u 是式（8.2.3）的解，则 u 必是式（8.2.1）的解
而式（8.2.2）的通解为
u1 (x, y) = f (x) + g( y)
（8.2.4）
式中， f , g 是任意可微函数，将式（8.2.4）代入式（8.2.3）中，可求出
⎡
⎤
u
(8.1.5)
这个方程通常称为极小曲面方程。它有什么特点？它关于二阶导数 uxx,uxy 及 u yy 是线性的，
但它们前面的系数分别含有
u
2 y
,
u
xu
y
及
u
2 y
，所以对
u
x
,
u
y
来说它不是线性关系，特别是，
如果把 ux , u y ， uxx,uxy 及 u yy 同等对待，则这个方程对它们不是一个线性方程，故它是一个
∆u = f (x,u,∇u)
（8.1.10）
在微分几何中，若要求出总曲率 k 为已知的曲面时，就需要求解下列方程
rt − s 2 = f (x, y,u, p, q)
（8.1.11）
其中 p = ux , q = u y , r = uxx , s = u xy , t = u yy 这个方程称为蒙日—安培尔方程
∂t ∂x
∂x ∂y
∂y ∂z
∂z
(8.1.6)
这也是一个非线性方程 在流体力学中，描述粘性气体运动的方程是著名的纳维—斯托克斯方程，其形式为
∑ ∂ρ + 3 ∂(ρui ) = 0
∂t i=1 ∂xi
（连续性方程）
∑ dui = − 1 ∂P + ∂τ xy
dt
ρ ∂xi j ∂x j
（动量方程）
积分上下限为 x ，即式（8.3.2）和式（8.3.3）变为
8.2 非线性偏微分方程的概念及求解
上面我们给出了一些描述不同现象的非线性方程或方程组，现在对它们的特点作进一步 的分析以便分类及求解。式（8.1.11）中的最高导数部分纯粹是线性的，它的非线性只出现
在函数 u 及其一阶导数项，这样的方程称为半线性方程，式（8.1.10）也是半线性的；式（8.1.5）
非线性方程。 我们以极小曲面问题为例得到了一个非线性偏微分方程。其实，在力学、物理学及几何
学中都有大量的非线性偏微分方程。例如，在热传导问题中，如果热传导系数 k 不是常数，
而是温度的函数，则三维热传导方程为
∂u = ∂ (k(u) ∂u ) + ∂ (k(u) ∂u ) + ∂ (k(u) ∂u )
第 8 章 非线性偏微分方程与积分方程
前面几章所研究的偏微分方程都是线性的，但在工程实践中遇上的许多问题都是与非线 性方程有关的,在有些情况下,人们为了便于研究工作的展开,对实际问题补充了一些合理的 假设,略去了一些次要的非线性项,这样得出了线性方程.可是有时这些非线性项很重要,无法 略去,这样我们就必须要面对非线性方程求解的问题.在实际工作中,还经常碰上另外一类重 要的方程—积分方程，它在弹性介质理论和流体力学中应用很广，本章，我们对这两类重要 的方程做一个简单的介绍，掌握一些基本概念和方法，更深入的结果请查阅相关的书籍和论 文。
∫∫ J (v) =
1+
v
2 x
+
v
2 y
dσ
(8.1.1)
Ω
于是上述极小曲面问题就变成求一个函数 u ，使得
{ （1）u = u(x, y) 所表示的曲面以 l 为周界，即 u ∈ M ϕ ，其中 M ϕ = v v ∈ c1 (Ω), v ∂Ω = ϕ};
（2） J (u) = min J (v) v∈M ϕ
意 ε ∈ R, j(ε ) ≥ j(0) ，即 j(ε ) 在 ε = 0 处取的是最小值，故 j′(0) = 0)
∫∫ 不难算出 j′(ε ) =
(u + εv) x vx + (u + εv) y vy dxdy
Ω 1 + (ux + εvx )2 + (u y + εv y )2
∫∫ [ Ω
8.1 极小曲面问题
设 Ω 是平面上的有界区域，它的边界 ∂Ω 是充分光滑的，其方程为
⎧x = x(s)
⎨ ⎩
y
=
y(s)
(0 ≤ s ≤ s0 )
式中， x(0) = x(s0 ), y(0) = y(s0 ) ，即 ∂Ω 是一条闭曲线
在空间作一条闭曲线 l ，其在平面上的投影为 ∂Ω ，有
⎧x = x(s)
u
2 x
+
u
2 y
∂n
由于 v ∈ M 0 ，即 v ∂Ω = 0 ，因此上式左端第二项为零，再由 v 的任意性及被积函数的连续
性可知
∂ [
ux
]+ ∂ [
uy
]=0
∂x
1+
u
2 x
+
u
2 y
∂y
1+
u
2 x
+
u
2 y
(8.1.3)
这个方程称为变分问题（8.1.2）的欧拉方程
上面的推导说明，如果 u 是式（8.1.2）的解，且 u ∈ C 2 (Ω) ，则 u 必满足式（8.1.3），当然
ϕ
2 x
= δϕ xx
（8.2.9）
对比式（8.2.6）、式（8.2.9）两式，易知 g(ϕ) 满足方程
− δ g′′(ϕ) = 1 g′(ϕ) 2
积分得
−1ϕ
g(ϕ) = C1e 2δ + C2
−1ϕ
取 C1 = 1,C2 = 0, 并将 g(ϕ) 代入式（8.2.8），得 v = g(ϕ) = e 2δ
−
1 ρ
∂P ∂xi
+
η ρ
∆ui
(8.1.8)
取 ρ ≡ 1，则上述方程组为
∑ ∂ui
∂t
− η∆u i
+
3
ui
j =1
∂ui ∂x j
+
∂P ∂xi
=0
∑3 ∂ui = 0
i=1 ∂xi
(i = 1,2,3)
（8.1.9）
这是关于 P, u1, u2 , u3 的非线性方程组
在热平衡问题中，如果热传导系数是常数，但物体内含有一个依赖于温度及温度梯度的 热源，则可得
即ϕ = −2δInv
代入式（8.2.5）可得 u(x, t) = −2δ ∂Inv ∂x
（8.2.10）
变换式（8.2.10）称为柯勒—霍普夫变换。在处理非线性问题时，常常会用到这种变换。由
此例可看出，选取柯勒——霍普夫变换后，求解非线性的伯格斯方程就转化为求解线性的扩
散方程了
8.3 积分方程简介
还应满足边界条件
u ∂Ω = ϕ
(8.1.4)
因此定义在 Ω 上且以空间曲线 l 为周界的极小曲面 u = u(x, y) 必定在 Ω 内满足式（8.1.3）
并在 ∂Ω 上满足边界条件式（8.1.4）式（8.1.3）可以改写成
(1
+
u
2 y
)u
xx
− 2u xu yu xy
+
(1
+
u
2 x
)u
yy
=0
对最高阶导数来说是线性的，但它们的系数依赖于未知函数的非最高阶导数，这样的方程称 为是拟线性的，式（8.1.12）的特点是对最高阶导数也是非线性的，这样的方程称为完全非 线性方程，显而易见，完全非线性方程的非线性程度最高，半线性方程的非线性程度最低， 拟线性方程的非线性程度介于两者之间。
对于非线性偏微分方程，一般说来是无法求出解的表达式的，只能求其近似解。但对一 些很特殊的情形，通过适当的未知函数的变换将方程化成线性方程，或者经过适当的数学处 理化成可以求解的方程，下面举例说明。 例 1 在流体力学中有一个很中重要的方程叫比尔吉斯方程
数； P 是压强； CP 是定压比热； R 是气体系数；τ ij 是表示粘滞力的张量；δ ij 为克罗内克
记号，即
δ ij
=
⎧1, ⎩⎨0
i= i≠
j j
当流体不可压缩时， ρ 是常数，若不计温度的变化，则式（8.1.7）化为不可压缩流体
的纳维—斯托克斯方程
∑i
∂ui ∂xi
= 0, dui dt
=
ux
1
+
u
2 x
+
u
2 y
vx
+
vy
1
+
u
2 x
+wenku.baidu.com
u
2 y
vy ]dxdy
=
0
假若 u 具有更好的光滑性，例如 u ∈ C 2 (Ω) ，则由格林公式可得
∫∫ ∫ − { ∂ [
ux
]+ ∂ [
uy
]}vdxdy +
v
∂u ds = 0
Ω ∂x
1+
u
2 x
+
u
2 y
∂y
1
+
u
2 x
+
u
2 y
∂Ω
1
+
在方程中，若未知函数在积分号下出下，则称这种方程为积分方程。一般的线性积分方程， 可写为
∫ h(x)g(x) − λ
b
K (x, y)g( y)dy =
f (x)
a
（8.3.1）
式中， h(x) 和 f (x) 是已知函数； g(x) 是未知函数； λ 是常数因子； K (x, y) 被称为积分
方程的核，也是已知函数。在式（8.3.1）中，若 h(x) = 0 ，则有
) 内有解，简称解是
局部存在的。
例 4 考虑伯格斯方程 ut + uux = δuxx 式中， δ 是扩散系数
方程又可写成
∂u ∂t
=
∂ ∂x
(δu x
−
u2 2
)dt
由全微分方程存在的充要条件，有
dϕ
=
udx
+
(δu x
+
u2 2
)dt
显然ϕ x = u
（8.2.5）
ϕt
= δux
− u2 2
这样我们得到了
例 2 求解微分方程几何中的刘维尔方程
∂2u = eu ∂x∂y
（8.2.1）
这是一个半线性的二阶方程，若令 u1 是
∂ 2u1 = 0 ∂x∂y
（8.2.2）
的解，则再构造一个偏微分方程组
⎧ ∂u ⎪⎪ ∂x
=
∂u1 ∂x
−
βe 1 2
(u
+u1
)
⎪⎨ ∂u ⎪⎩ ∂y
=
−
∂u1 ∂y
−
2 β
e1 2
（8.1.7）
∑ ∑ d
dt
(C pT
+
u2 2
)
=
1 ρ
j
∂ (λ ∂T + ∂x j ∂x j
i
uiτ ij
)
+
1 ρ
∂P ∂t
（能量方程）
式中
∑ d = ∂ +
dt ∂t
i
ui
∂ ∂xi
,P
=
RρT
∑ τ ij
= η( ∂ui ∂x j
+ ∂u j ∂xi
−
2 3
δ
ij
l
∂ul ) ∂xl
式中， ρ 是流体密度； u = (u1, u2 , u3 ) 是流速； T 是温度；η,ξ 是粘性系数； λ 是传热系
=
⎢ 2In⎢
⎢ ⎢⎣
−
β 2
∫
exp
exp[( f f (x)dx
(x) − g( y)) / 2]
+
1 β
∫
exp(−g( y))dy
+
1 β
⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
与线性方程相比，非线性方程还有一个特点，即它的解即使存在，也不一定对所有的时间
t ≥ 0 都存在，而只是在某个有限时间内存在，见下例
例 3 考虑瑞卡提方程的初值问题
ϕt
+
1 2
ϕ
2 x
= δϕ xx
（8.2.6）
这样求解伯格斯方程的问题就转化为求解式（8.2.6）的问题，我们能求解线性扩散方程
vt = δvxx
（8.2.7）
所以我们考虑式 （8.2.6）与式（8.2.7）之间的关系，令
v = g(ϕ)
（8.2.8）
代入式（8.2.7）有
ϕt
−δ
g ′′(ϕ ) g ′(ϕ )
这是一个变分问题
(8.1.2)
如何求出变分问题式（8.1.2）的解？我们先来看看假若 u ∈ M ϕ 是式（8.1.2）的解，那
{ 么 u 必需满足什么样的条件。为此，我们定义 M 0 = v v ∈ c1 (Ω), v ∂Ω = 0}, 任取 v ∈ M 0 ，
对任意 ε ∈ (−∞,+∞),u + εv ∈ M ϕ , 记 j(ε ) = J (u + εv) 式中， J (u) 由式（8.1.1）确定，从 式（8.1.1）可知 j(ε ) 是定义在 R 上的一个可微函数，由于 u 是式（8.1.2）的解，所以对任
l
:
⎪ ⎨
y
=
y(s)
⎪⎩u = ϕ(s)
(0 ≤ s ≤ s0 )
这里ϕ(0) = ϕ(s0 )
所谓极小曲面问题就是在区域 Ω = Ω + ∂Ω 上定义一张曲面 S ，要求 （1） S 以 l 为周界
（2）在所有的 S 中，求表面积最小的曲面 S *
假设空间曲面的方程为
v = v(x, y)
则由微积分的理论可知，这个曲面的表面积为
∫b
K (x, y)g( y)dy = f (x)
a
（8.3.2）
称之为第一类弗雷得霍姆方程；若 h(x) = 1，则有
∫ g(x) − λ
b
K (x, y)g( y)dy =
f (x)
a
（8.3.3）
称之为第二类的弗雷得霍姆方程。有时候，对于 y > x 时， K (x, y) = 0 。在这种情况下，