微分方程PPT(罗兆富等编)第九章 非线性偏微分方程的Adomian分解法
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1 2 1 2 1 4 (4) A4 u4 F (u0 ) (u3u1 u2 ) F (u0 ) u1 u2 F (u0 ) u1 F (u0 ) 2! 2! 4!
1 2 2u4u0 2(u3u1 u2 )u0 . 2!
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例2. 计算F(u)=ux3的Adomian多项式.
3 解: A0 F (u0 x ) u0 x 2 A1 u1x F (u0 x ) 3u1x u0 x
1 2 2 2 A2 u2 x F (u0 x ) u1x F (u0 x ) 3u2 x u0 3 u x 1x u0 x 2! 1 3 A3 u3 x F (u0 x ) u2 xu1x F (u0 x ) u1x F (u0 x ) 3! 3u3u0 x 6u2 x u1x u0 x u13x
F (u) An
n 0
(9.1.02)
其中每一个An称为Adomian多项式, 由下式确定
n 1 dn i An F ( ui ) , ( n 0,1, 2,3, ) n n! d i 0 0
(9.1.03)
其中ui来自于(9.1.01).
1 x 1 x
(9.2.04)
Adomian分解法指出, 通项un的递推公式是
1 u L 0 0 x g, 1 1 1 u L L u L R ( u ) L A 1 1 1 1 n 1 , n 1. n n 1 n 1 x u 0 x Lx y g Lx Lyxu L Ru L x x F (u )
x y
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(9.2.04)
(9.2.01)
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1 1 u L g L L u L R u L A n 0 y n x n x n n 0 n 0 n 0 n 0
A4 u4 F (u0 ) (u3u1
1 2 1 1 u2 ) F (u0 ) u12u2 F (u0 ) u14 F (4) (u0 ) 2! 2! 4! 1 2 1 2 1 4 u4 cos u0 (u3u1 u2 )sin u0 u1 u2 cos u0 u1 sin u0 . 2! 2! 4!
3
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一般表达式(9.1.03)可简化如下:
A0 F (u0 ) A1 u1 F (u0 )
A2 u2 F (u0 )
1 2 u1 F (u0 ) 2! 1 3 u1 F (u0 ) 3!
A3 u3 F (u0 ) u2u1 F (u0 )
u (0, y ), L , x x 2 u (0, y ) xu x (0, y ), Lx 2 , x 0 3 1 2 u (0, y ) xu (0, y ) x u (0, y ), Lx 3 , x xx 2! x 4 1 1 2 3 u (0, y ) xu (0, y ) x u (0, y ) x u (0, y ), L . x xx xxx x 4 x L u L u2! Ru F (u3! )g
1 2 1 2 1 4 (4) A4 u4 F (u0 ) (u3u1 u2 ) F (u0 ) u1 u2 F (u0 ) u1 F (u0 ) 2! 2! 4! 1 2 1 2 1 4 u4 cosh u0 (u3u1 u2 )sinh u0 u1 u2 cosh u0 u1 sinh u0 2! 2! 4!
n 1 dn i An F ( u ) , ( n 0,1, 2,3, ) i n n! d i 0 0
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(9.1.04) (9.1.03)
4
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例1. 计算F(u)=u2的Adomian多项式. 解:
2 A0 F (u0 ) u0
由例1, G(u)=u2 的
1 2
A0 u0u0 x
A1 u1xu0 u1u0 x
A2 u2 xu0 u2u0 x u1u1x A3 u3xu0 u3u0 x u2 xu1 u2u1x
1 2 A4 u4 xu0 u4u0 x u3 xu1u0 u3u1xu0 u3u1u0 x u2u2 xu0 u2 u0 x 2! 7 ■
第九章 非线性偏微分方程 的 Adomian分解法
第一节 非线性项的Adomian多项式分解
第二节 用Adomian分解法解非线性偏微分方程 第三节 数学物理中的几个著名偏微分方程
第四节 非线性常微分方程的Adomian分解法
1
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第一节 非线性项的Adomian多项式分解
A4 u4 F (u0 ) (u3u1
1 2 1 2 1 4 (4) u2 ) F (u0 ) u1 u2 F (u0 ) u1 F (u0 ) 2! 2! 4!
.............................................................
1 2 1 2 1 4 (4) A4 u4 x F (u0 x ) (u3 xu1x u2 x ) F (u0 x ) u1xu2 x F (u0 x ) u1x F (u0 x ) 2! 2! 4!
1 2 3u u 6(u3 xu1x u2 x )u0 x 3u12x u2 x . 2!
■
9
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例6. 计算F(u)=eu的Adomian多项式. 解:
A0 F (u0 ) eu0 A1 u1 F (u0 ) u1eu0
A2 u2 F (u0 )
1 2 1 2 u0 u1 F (u0 ) (u2 u1 )e 2! 2! 1 3 A3 u3 F (u0 ) u2u1 F (u0 ) u1 F (u0 ) 3! 1 3 u0 (u3 u2u1 u1 )e 3! 1 2 1 2 1 4 u0 (u4 u3u1 u2 u1 u2 u1 )e 2! 2! 4!
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1 2 1 2 1 4 (4) A4 u4 F (u0 ) (u3u1 u2 ) F (u0 ) u1 u2 F (u0 ) u1 F (u0 ) 2! 2! 4!
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第二节 用Adomian分解法解非线性偏微分方程
utt c 2uxx sin u 0, ut 6u 2ux uxxx 0
2
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中的项sinu, 6u2ux都是非线性项.
下面, 我们将犹如sinu, 6u2ux 这样的非线性项抽象地 记为F(u), Adomian分解法的处理办法是将F(u)线性化, 具体作法是将F(u)分裂成一个无穷级数
■
8
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例5. 计算F(u)=sinhu的Adomian多项式. 解:
A0 F (u0 ) sinh u0 A1 u1 F (u0 ) 2u1 cosh u0
A2 u2 F (u0 )
1 2 1 2 u1 F (u0 ) u2 cosh u0 u1 sinh u0 2! 2! 1 3 A3 u3 F (u0 ) u2u1 F (u0 ) u1 F (u0 ) 3! 1 3 u3 cosh u0 u2u1 sinh u0 u1 cosh u0 3!
2 4x 0x
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例3. 计算F(u)=uux的Adomian多项式.
解:
的Adomian多项式已求出, 只须对其乘以 再关于x求一 阶导数就得到F(u)=uux的Adomian多项式:
1 2 1 F (u) uux (u ) x G(u) x , 2 2
x y
13
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假设Lxu 满足上述两个条件, 则由(9.2.01), 得 (9.2.02) Lxu g Lyu Ru F (u) 我们将逆算子Lx1作用于(9.2.02)的两端并利用已给 初边值条件, 得到 1 1 1 1 (9.2.03) u 0 L g L L u L Ru L x x y x x F (u ) 其中
1 u0 0 L x g,
也就是
(9.2.05) (9.2.03)
1 1 1 u1 L L u L R ( u ) L x y 0 x 0 x A 0, F (u) An u u n 1 1 1 n 0 u2 L n 0x Ly u1 Lx R(u1 ) Lx A 1, 1 1 1 u3 L L u L R ( u ) L x y 2 x 2 x A2 ,
与线性偏微分方程的情形一样, 非线性偏微分方程的 Adomian分解法也是将方程中的未知函数u分裂成一个 无穷级数
u un
n 0
(9.1.01)
而得到其解, 其中级数的通项un由递推方式确定, 只是在 非线性项中用Adomian多项式的展开式代替即可. 具体而言之, 我们考虑算子形式的非线性微分方程
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例4. 计算F(u)=sinu的Adomian多项式. 解:
A0 F (u0 ) sin u0 A1 u1 F (u0 ) 2u1 cos u0
1 2 1 2 A2 u2 F (u0 ) u1 F (u0 ) u2 cos u0 u1 sin u0 2! 2! 1 3 A3 u3 F (u0 ) u2u1 F (u0 ) u1 F (u0 ) 3! 1 3 u3 cos u0 u2u1 sin u0 u1 cos u0 3!
A1 u1 F (u0 ) 2u1u0
1 2 A2 u2 F (u0 ) u1 F (u0 ) 2u2u0 u12 2! 1 3 A3 u3 F (u0 ) u2u1 F (u0 ) u1 F (u0 ) 3! 2u3u0 2u2 u1
Lxu Lyu Ru F (u) g
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(9.2.01)
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其中Lx是一个关于x的最高阶微分算子, Ly 是一个关于y 的最高阶微分算子,R是关于其它变量的线性偏微分算子, F(u)是非线性项, g是自由项 . 学者们已证明, 无论是从算子方程Lxu还是从Lyu开始 都可得到解 u un 并且这样得到的解都是等价的并且都 n 0 收敛于精确解. 然而, 在Lx 和Ly 选用哪一个来求解定解问题则依赖 于下列两个基点： (1)能使计算量达最小 ; 具体而言之 , 我们考虑算子形式的非线性微分方程 (2)具有使解级数具有加速收敛的附加条件 . (9.2.01) L u L u Ru F (u) g
在求解线性微分方程时, Adomian分解法将方程中的 未知函数u分裂成一个无穷级数
u( x, y) un ( x, y)
n 0
(9.1.01)
而得到其解, 其中级数的通项un(x, y)由递推方式确定.
然而, 将(9.1.01)代入非线性微分方程时, 由于非线性 项的存在, 我们得不到un递推公式. 例如方程
1 2 2u4u0 2(u3u1 u2 )u0 . 2!
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例2. 计算F(u)=ux3的Adomian多项式.
3 解: A0 F (u0 x ) u0 x 2 A1 u1x F (u0 x ) 3u1x u0 x
1 2 2 2 A2 u2 x F (u0 x ) u1x F (u0 x ) 3u2 x u0 3 u x 1x u0 x 2! 1 3 A3 u3 x F (u0 x ) u2 xu1x F (u0 x ) u1x F (u0 x ) 3! 3u3u0 x 6u2 x u1x u0 x u13x
F (u) An
n 0
(9.1.02)
其中每一个An称为Adomian多项式, 由下式确定
n 1 dn i An F ( ui ) , ( n 0,1, 2,3, ) n n! d i 0 0
(9.1.03)
其中ui来自于(9.1.01).
1 x 1 x
(9.2.04)
Adomian分解法指出, 通项un的递推公式是
1 u L 0 0 x g, 1 1 1 u L L u L R ( u ) L A 1 1 1 1 n 1 , n 1. n n 1 n 1 x u 0 x Lx y g Lx Lyxu L Ru L x x F (u )
x y
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1 1 u L g L L u L R u L A n 0 y n x n x n n 0 n 0 n 0 n 0
A4 u4 F (u0 ) (u3u1
1 2 1 1 u2 ) F (u0 ) u12u2 F (u0 ) u14 F (4) (u0 ) 2! 2! 4! 1 2 1 2 1 4 u4 cos u0 (u3u1 u2 )sin u0 u1 u2 cos u0 u1 sin u0 . 2! 2! 4!
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一般表达式(9.1.03)可简化如下:
A0 F (u0 ) A1 u1 F (u0 )
A2 u2 F (u0 )
1 2 u1 F (u0 ) 2! 1 3 u1 F (u0 ) 3!
A3 u3 F (u0 ) u2u1 F (u0 )
u (0, y ), L , x x 2 u (0, y ) xu x (0, y ), Lx 2 , x 0 3 1 2 u (0, y ) xu (0, y ) x u (0, y ), Lx 3 , x xx 2! x 4 1 1 2 3 u (0, y ) xu (0, y ) x u (0, y ) x u (0, y ), L . x xx xxx x 4 x L u L u2! Ru F (u3! )g
1 2 1 2 1 4 (4) A4 u4 F (u0 ) (u3u1 u2 ) F (u0 ) u1 u2 F (u0 ) u1 F (u0 ) 2! 2! 4! 1 2 1 2 1 4 u4 cosh u0 (u3u1 u2 )sinh u0 u1 u2 cosh u0 u1 sinh u0 2! 2! 4!
n 1 dn i An F ( u ) , ( n 0,1, 2,3, ) i n n! d i 0 0
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(9.1.04) (9.1.03)
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例1. 计算F(u)=u2的Adomian多项式. 解:
2 A0 F (u0 ) u0
由例1, G(u)=u2 的
1 2
A0 u0u0 x
A1 u1xu0 u1u0 x
A2 u2 xu0 u2u0 x u1u1x A3 u3xu0 u3u0 x u2 xu1 u2u1x
1 2 A4 u4 xu0 u4u0 x u3 xu1u0 u3u1xu0 u3u1u0 x u2u2 xu0 u2 u0 x 2! 7 ■
第九章 非线性偏微分方程 的 Adomian分解法
第一节 非线性项的Adomian多项式分解
第二节 用Adomian分解法解非线性偏微分方程 第三节 数学物理中的几个著名偏微分方程
第四节 非线性常微分方程的Adomian分解法
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第一节 非线性项的Adomian多项式分解
A4 u4 F (u0 ) (u3u1
1 2 1 2 1 4 (4) u2 ) F (u0 ) u1 u2 F (u0 ) u1 F (u0 ) 2! 2! 4!
.............................................................
1 2 1 2 1 4 (4) A4 u4 x F (u0 x ) (u3 xu1x u2 x ) F (u0 x ) u1xu2 x F (u0 x ) u1x F (u0 x ) 2! 2! 4!
1 2 3u u 6(u3 xu1x u2 x )u0 x 3u12x u2 x . 2!
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例6. 计算F(u)=eu的Adomian多项式. 解:
A0 F (u0 ) eu0 A1 u1 F (u0 ) u1eu0
A2 u2 F (u0 )
1 2 1 2 u0 u1 F (u0 ) (u2 u1 )e 2! 2! 1 3 A3 u3 F (u0 ) u2u1 F (u0 ) u1 F (u0 ) 3! 1 3 u0 (u3 u2u1 u1 )e 3! 1 2 1 2 1 4 u0 (u4 u3u1 u2 u1 u2 u1 )e 2! 2! 4!
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1 2 1 2 1 4 (4) A4 u4 F (u0 ) (u3u1 u2 ) F (u0 ) u1 u2 F (u0 ) u1 F (u0 ) 2! 2! 4!
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第二节 用Adomian分解法解非线性偏微分方程
utt c 2uxx sin u 0, ut 6u 2ux uxxx 0
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中的项sinu, 6u2ux都是非线性项.
下面, 我们将犹如sinu, 6u2ux 这样的非线性项抽象地 记为F(u), Adomian分解法的处理办法是将F(u)线性化, 具体作法是将F(u)分裂成一个无穷级数
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例5. 计算F(u)=sinhu的Adomian多项式. 解:
A0 F (u0 ) sinh u0 A1 u1 F (u0 ) 2u1 cosh u0
A2 u2 F (u0 )
1 2 1 2 u1 F (u0 ) u2 cosh u0 u1 sinh u0 2! 2! 1 3 A3 u3 F (u0 ) u2u1 F (u0 ) u1 F (u0 ) 3! 1 3 u3 cosh u0 u2u1 sinh u0 u1 cosh u0 3!
2 4x 0x
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例3. 计算F(u)=uux的Adomian多项式.
解:
的Adomian多项式已求出, 只须对其乘以 再关于x求一 阶导数就得到F(u)=uux的Adomian多项式:
1 2 1 F (u) uux (u ) x G(u) x , 2 2
x y
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假设Lxu 满足上述两个条件, 则由(9.2.01), 得 (9.2.02) Lxu g Lyu Ru F (u) 我们将逆算子Lx1作用于(9.2.02)的两端并利用已给 初边值条件, 得到 1 1 1 1 (9.2.03) u 0 L g L L u L Ru L x x y x x F (u ) 其中
1 u0 0 L x g,
也就是
(9.2.05) (9.2.03)
1 1 1 u1 L L u L R ( u ) L x y 0 x 0 x A 0, F (u) An u u n 1 1 1 n 0 u2 L n 0x Ly u1 Lx R(u1 ) Lx A 1, 1 1 1 u3 L L u L R ( u ) L x y 2 x 2 x A2 ,
与线性偏微分方程的情形一样, 非线性偏微分方程的 Adomian分解法也是将方程中的未知函数u分裂成一个 无穷级数
u un
n 0
(9.1.01)
而得到其解, 其中级数的通项un由递推方式确定, 只是在 非线性项中用Adomian多项式的展开式代替即可. 具体而言之, 我们考虑算子形式的非线性微分方程
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例4. 计算F(u)=sinu的Adomian多项式. 解:
A0 F (u0 ) sin u0 A1 u1 F (u0 ) 2u1 cos u0
1 2 1 2 A2 u2 F (u0 ) u1 F (u0 ) u2 cos u0 u1 sin u0 2! 2! 1 3 A3 u3 F (u0 ) u2u1 F (u0 ) u1 F (u0 ) 3! 1 3 u3 cos u0 u2u1 sin u0 u1 cos u0 3!
A1 u1 F (u0 ) 2u1u0
1 2 A2 u2 F (u0 ) u1 F (u0 ) 2u2u0 u12 2! 1 3 A3 u3 F (u0 ) u2u1 F (u0 ) u1 F (u0 ) 3! 2u3u0 2u2 u1
Lxu Lyu Ru F (u) g
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其中Lx是一个关于x的最高阶微分算子, Ly 是一个关于y 的最高阶微分算子,R是关于其它变量的线性偏微分算子, F(u)是非线性项, g是自由项 . 学者们已证明, 无论是从算子方程Lxu还是从Lyu开始 都可得到解 u un 并且这样得到的解都是等价的并且都 n 0 收敛于精确解. 然而, 在Lx 和Ly 选用哪一个来求解定解问题则依赖 于下列两个基点： (1)能使计算量达最小 ; 具体而言之 , 我们考虑算子形式的非线性微分方程 (2)具有使解级数具有加速收敛的附加条件 . (9.2.01) L u L u Ru F (u) g
在求解线性微分方程时, Adomian分解法将方程中的 未知函数u分裂成一个无穷级数
u( x, y) un ( x, y)
n 0
(9.1.01)
而得到其解, 其中级数的通项un(x, y)由递推方式确定.
然而, 将(9.1.01)代入非线性微分方程时, 由于非线性 项的存在, 我们得不到un递推公式. 例如方程