2014广西南宁三模数学(理)试题
2014年南宁三中外地优秀生入学测试(数学+物理合卷)
2014年南宁三中外地优秀生入学测试试题（数学+物理）（温馨提示：请将数学和物理选择题的答案涂在选择题答题卡上，其余部分在主观题答题卷上作答，在试卷上作答无效。
数学分值为150分，物理分值为100分，考试时间一共150分钟）一、物理选择题部分（每题只有一个选项正确，每题3分，共30分）1．冰壶运动员的鞋底一只是塑料的，另一只是橡胶的。
他滑行时，橡胶底的鞋比塑料底的鞋受到的摩擦力大。
如图他用b脚蹬冰面后，只用a脚向右滑行，可以确定的是（）A．滑行时冰对a鞋的摩擦力向右B．蹬冰时冰对b鞋的摩擦力向左C．a鞋底是橡胶会滑得更远D．a鞋底是塑料会滑更远2．2014年5月7日，南京某公司在探伤作业中意外丢失黄豆大小的放射源铱﹣192，三天后被追回，铱﹣192发出的物质能穿透三十多毫米厚的钢板，这一性质可用于金属内部探伤，结合图示可推知，铱﹣192发出的用于金属内部探伤最有可能的是（）A．可见光B．α射线C．β射线D．γ射线3．丽水市区推行公共自行车免费使用政策，不仅给市民的出行带来方便，而且低碳环保，下列有关自行车结构及使用的说法中正确的是（）A．增大座垫面积能减小对人的压强B．自行车转弯时受到平衡力的作用C．下坡时自行车速度越来越大是由于惯性越来越大D．把手的花纹是为了增大接触面积，从而增大摩擦力4．如图为静止在竖直墙面上的“爬墙遥控车”，质量为0.03千克，“腹部”有吸盘，当“爬墙遥控车”的真空泵将吸盘内的空气向外抽出时，遥控车能牢牢吸在竖直的墙面上而不会掉落，这是因为遥控车（）A．质量小，重力可以忽略不计B．受到墙面对它向上的摩擦力C．受到大气对它的压力D．受到空气对它的浮力5．如图所示，用甲、乙两种装置分别将重1N的物体匀速提升相同的高度，滑轮重0.2 N．不计摩擦和绳重，所用的拉力分别是F甲和F乙，机械效率分别是η甲和η乙，则( )A．F甲>F乙B．F甲=F乙.C．η甲>η乙D．η甲<η乙6．如图所示电路，电源电压恒为6伏，L1标有“6V 7.2W”，L2标有“6V 3.6W”，忽略温度对灯丝电阻的影响，下列说法正确的是（）A．仅闭合S1、S3，L1不亮，L2亮B．仅闭合S2、S3，电流表读数为0.6安C．仅闭合S1、S2，电路总电阻为15欧7．如图所示，在水平桌面上放有甲、乙、丙、丁四个底面积均为0.01m 2的薄壁空杯，其中甲图为柱形空杯，四个空杯子对桌面的压强均为100Pa ，当在其中一个空杯中装入0.9kg 的水后，水对杯底产生的压强为900Pa ；则这个杯子的形状可能是下图中的（g 取10N/kg ）( )8．如图所示，电源电压不变，R 1、R 2、R 3为定值电阻，开关S 1、S 2都闭合 时，电流表A 与电压表V 1、V 2均有示数，断开开关S 2，则（ ） A ．电流表A 示数变大，电压表V l 示数变大 B ．电流表A 示数变小，电压表V 2示数变小 C ．电压表V 1示数与电流表A 示数的比值变大 D ．电压表V 2示数与电流表A 示数的比值变大9．如图是伽利略1604年做斜面实验时的一页手稿照片，照片左上角的三列数据如表格。
南宁市三美学校2013-2014学年度上学期初三数学段考试卷(三加一理科教育扫描整理版)
六、 （本大题满分 10 分） 24、水果店到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来 少 2 元，发现原来买这种水果 80 千克的钱，现在可买 88 千克． （1）现在实际购进这种水果每千克多少元？ （2）水果店准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量 y（千克）与销售单价 x（元/ 千克）满足如图所示的一次函数关系． ①求 y 与 x 之间的函数关系式； ②请你帮水果店拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大 利润是多少？（利润=销售收入﹣进货金额）
10
）
B、0.194 10 ）
2 3
10
C、19.4 10
9
D、1.94 10
9
4、下列运算中，正确的是（ A、 3a a 3
B、 a a a
5
C、 ( 2a ) 6a
3
3
D、 ab a b
2
2
5、下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A、等边三角形 B、矩形 C、平行四边形 D、等腰梯形 6、一组数据 6、8、7、8、10、9 的中位数和众数分别是（ ） A、7 和 8 B、8 和 7 C、8 和 8 D、8 和 9 7、已知两圆半径分别是 3 和 4，圆心距是 5，则这两圆的位置关系是（ ） A、外切 B、内切 C、相交 D、内含 8、洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水）.在这三个 过程中,洗衣机内的水量 y （升）与浆洗一遍的时间 x （分）之间函数关系的图象大致为（ ） 9、.如图，在 4×4 的正方形网格中，若将△ABC 绕着点 A 逆时针旋转得到△AB′C′，则弧 BB 的长为（ A
南宁市2014年中考数学试卷(含答案)
2014年广西南宁市中考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，其中只有一是正确的．1．（3分）(2014年广西南宁）如果水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位下降3m时水位变化记作（）A．﹣3m B．3m C．6m D．﹣6m分析：首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答．解答：解：因为上升记为+，所以下降记为﹣，所以水位下降3m时水位变化记作﹣3m．故选：A．点评：考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．2．（3分）(2014年广西南宁）下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进而得出答案．解答：解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．点评：本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（3分）(2014年广西南宁）南宁东高铁火车站位于南宁青秀区凤岭北路，火车站总建筑面积约为267000平方米，其中数据267000用科学记数法表示为（）A．26.7×104B． 2.67×104 C．2.67×105D．0.267×106考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于267000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．解答：解：267 000=2.67×105．故选C．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．4．（3分）(2014年广西南宁）要使二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2考点：二次根式有意义的条件．分析：直接利用二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案．解答：解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x+2≥0，解得：x≥﹣2，则实数x的取值范围是：x≥﹣2．故选：D．点评：此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．5．（3分）(2014年广西南宁）下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．（x2）3=x6C．m6÷m2=m3D．6a﹣4a=2考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：运用同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，同底数幂的除法法则和合并同类项的方法计算．对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、a2•a3=a5≠a6错误，B、（x2）3=x6，正确，C、m6÷m2=m4≠m3，错误D、6a﹣4a=2a≠2，错误故选：B．点评：本题主要考查了同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，同底数幂的除法法则和合并同类项，是基础题，熟记各性质是解题的关键．6．（3分）(2014年广西南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm考点：垂径定理的应用；勾股定理．分析：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长．解答：解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，∵直径为200cm，AB=160cm，∴OA=OE=100cm，AM=80cm，∴OM===60cm，∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm．故选A．点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．（3分）(2014年广西南宁）数据1，2，3，0，5，3，5的中位数和众数分别是（）A．3和2 B．3和3 C．0和5 D．3和5考点：众数；中位数．分析：根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可得答案．解答：解：把所有数据从小到大排列：0，1，2，3，3，5，5，位置处于中间的是3，故中位数为3；出现次数最多的是3和5，故众数为3和5，故选：D．点评：此题主要考查了众数和中位数，关键是掌握两种数的概念．8．（3分）(2014年广西南宁）如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）A．正三角形B．正方形 C．正五边形D．正六边形考点：剪纸问题．专题：操作型．分析：先求出∠O=60°，再根据直角三角形两锐角互余沿折痕展开依次进行判断即可得解．解答：解：∵平角∠AOB三等分，∴∠O=60°，∵90°﹣60°=30°，∴剪出的直角三角形沿折痕展开一次得到底角是30°的等腰三角形，再沿另一折痕展开得到有一个角是30°的直角三角形，最后沿折痕AB展开得到等边三角形，即正三角形．故选A．点评：本题考查了剪纸问题，难点在于根据折痕逐层展开，动手操作会更简便．9．（3分）(2014年广西南宁）“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打6折，设购买种子数量为x千克，付款金额为y元，则y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．分析：根据玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上种子，超过2千克的部分的种子的价格打6折，可知2千克以下付款金额为y元随购买种子数量为x千克增大而增大，超过2千克的部分打6折，y仍随x的增大而增大，不过增加的慢了选择即可．解答：解：可知2千克以下付款金额为y元随购买种子数量为x千克增大而增大，超过2千克的部分打6折，y仍随x的增大而增大，不过增加的慢了，故选：B．点评：本题主要考查了函数的图象，关键是分析出分两段，每段y都随x的增大而增大，只不过快慢不同．10．（3分）(2014年广西南宁）如图，已知二次函数y=﹣x2+2x，当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．﹣1＜a≤1C．a ＞0 D．﹣1＜a＜2考点：二次函数与不等式（组）．分析：先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性列式即可．解答：解：二次函数y=﹣x2+2x的对称轴为直线x=1，∵﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，∴a≤1，∴﹣1＜a≤1．故选B．点评：本题考查了二次函数与不等式，求出对称轴解析式并准确识图是解题的关键．11．（3分）(2014年广西南宁）如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF：BC=1：2，连接DF，EC．若AB=5，AD=8，sinB=，则DF的长等于（）A．B．C．D．2考点：平行四边形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．分析：由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CFDE的对边平行且相等（DE=CF，且DE∥CF），即四边形CFDE是平行四边形．如图，过点C 作CH⊥AD于点H．利用平行四边形的性质、锐角三角函数定义和勾股定理求得CH=4，DH=1，则在直角△EHC 中利用勾股定理求得CE的长度，即DF的长度．解答：证明：如图，在▱ABCD中，∠B=∠D，AB=CD=5，AD∥BC，且AD=BC=8．∵E是AD的中点，∴DE=AD．又∵CF：BC=1：2，∴DE=CF，且DE∥CF，∴四边形CFDE是平行四边形．∴CE=DF．过点C作CH⊥AD于点H．又∵sinB=，∴sinD===，∴CH=4．在Rt△CDH中，由勾股定理得到：DH==3，则EH=4﹣3=1，∴在Rt△CEH中，由勾股定理得到：EC===，则DF=EC=．故选：C．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理和解直角三角形．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．12．（3分）(2014年广西南宁）已知点A在双曲线y=﹣上，点B在直线y=x﹣4上，且A，B两点关于y轴对称．设点A的坐标为（m，n），则+的值是（）A．﹣10 B．﹣8 C． 6 D．4考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：先根据A、B两点关于y轴对称用m、n表示出点B的坐标，再根据点A在双曲线y=﹣上，点B在直线y=x﹣4上得出mn与m+n的值，代入代数式进行计算即可．解答：解：∵点A的坐标为（m，n），A、B两点关于y 轴对称，∴B（﹣m，n），∵点A在双曲线y=﹣上，点B在直线y=x﹣4上，∴n=﹣，﹣m﹣4=n，即mn=﹣2，m+n=﹣4，∴原式===﹣10．故选A．点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）(2014年广西南宁）比较大小：﹣5＜3（填＞，＜或=）．考点：有理数大小比较．专题：计算题．分析：根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，可解答；解答：解：∵﹣5是负数，3是正数；∴﹣5＜3；故答案为＜．点评：本题考查了有理数大小的比较，牢记正数大于0，0大于负数，正数大于负数．14．（3分）(2014年广西南宁）如图，已知直线a∥b，∠1=120°，则∠2的度数是60°．考点：平行线的性质．分析：求出∠3的度数，根据平行线的性质得出∠2=∠3，代入求出即可．解答：解：∵∠1=120°，∴∠3=180°﹣120°=60°，∵a∥b，∴∠2=∠3=60°，故答案为：60．点评：本题考查了平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同位角相等．15．（3分）(2014年广西南宁）分解因式：2a2﹣6a= 2a（a﹣3）．考点：因式分解-提公因式法．分析：观察原式，找到公因式2a，提出即可得出答案．解答：解：2a2﹣6a=2a（a﹣3）．故答案为：2a（a﹣3）．点评：此题主要考查了因式分解的基本方法一﹣﹣﹣提公因式法．本题只要将原式的公因式2a提出即可．16．（3分）(2014年广西南宁）第45届世界体操锦标赛将于2014年10月3日至12日在南宁隆重举行，届时某校将从小记者团内负责体育赛事报道的3名同学（2男1女）中任选2名前往采访，那么选出的2名同学恰好是一男一女的概率是．考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：列表得出所有等可能的情况数，找出选出的2名同学恰好是一男一女的情况数，即可求出所求的概率．解答：解：列表得：男男女男﹣﹣﹣（男，男）（女，男）男（男，男）﹣﹣﹣（女，男）女（男，女）（男，女）﹣﹣﹣所有等可能的情况有6种，其中选出的2名同学恰好是一男一女的情况有4种，则P==，故答案为：点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（3分）(2014年广西南宁）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东40°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于10海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=30°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD=30°=∠ACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解Rt△BCD，求出CD即可．解答：解：根据题意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，∴∠CAD=30°=∠ACB，∴AB=BC=20海里，在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=，∴sin60°=，∴CD=12×sin60°=20×=10海里，故答案为：10．点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．18．（3分）(2014年广西南宁）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为a．考点：切线的性质．分析：连接OE、OF，由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出⊙O的半径为0.5a，则BF=a﹣0.5a=0.5a，再由切割线定理可得BF2=BH•BG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE=OH，利用相似三角形的性质即可求出BH=BD，最终由CD=BC+BD，即可求出答案．解答：解：如图，连接OE、OF，由切线的性质可得OE=OF=⊙O的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90°∴OECF是正方形∵由△ABC的面积可知×AC×BC=×AC×OE+×BC×OF∴OE=OF=a=EC=CF，BF=BC﹣CF=0.5a，GH=2OE=a∵由切割线定理可得BF2=BH•BG∴a2=BH（BH+a）∴BH=a或BH=a（舍去）∵OE∥DB，OE=OH∴△OEH∽△BDH∴=∴BH=BD，CD=BC+BD=a+a=a．故答案为a点评：考查了切线的性质，本题需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形的性质及切线的性质即可解决问题．三、解答题：（本大题共2小题，每小题满分12分，共12分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．19．（6分）(2014年广西南宁）计算：（﹣1）2﹣4sin45°+|﹣3|+．考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．分析：本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=1﹣2+3+2=4．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．20．（6分）(2014年广西南宁）解方程：﹣=1．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x（x+2）﹣2=x2﹣4，去括号得：x2+2x﹣2=x2﹣4，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．四、解答题：（本大题共2小题，每小题满分16分，共16分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．21．（8分）(2014年广西南宁）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周小最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．考点：作图-旋转变换；轴对称-最短路线问题；作图-平移变换．专题：作图题．分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；（3）找出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x 轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P的位置，然后连接AP、BP并根据图象写出点P 的坐标即可．解答：解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示；（3）△PAB如图所示，P（2，0）．点评：本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．22．（8分）(2014年广西南宁）考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试．某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类．学校收集整理数据后，绘制了图1和图2两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：（1）这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生？（2）请补全条形统计图；（3）请计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数；（4）根据调查结果，估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．专题：图表型．分析：（1）利用A“流谈心”的人数除以所占的百分比计算即可得解；（2）用总人数乘以B“体育活动”所占的百分比计算求出体育活动的人数，然后补全统计图即可；（3）用360°乘以“享受美食”所占的百分比计算即可得解；（4）用总人数乘以“听音乐”所占的百分比计算即可得解．解答：解：（1）一共抽查的学生：8÷16%=50人；（2）参加“体育活动”的人数为：50×30%=15，补全统计图如图所示：（3）“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数为：360°×=72°；（4）该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数为：500×=120人．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．五、解答题：（本大题满分8分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．23．（8分）(2014年广西南宁）如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD 和CB交于点G．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）由平行线的性质可得：∠A=∠FCE，再根据对顶角相等以及全等三角形的判定方法即可证明：△ADE≌△CFE；（2）由AB∥FC，可证明△GBD∽△FCF，根据给出的已知数据可求出CF的长，即AD的长，进而可求出AB 的长．解答：（1）证明：∵AB∥FC，∴∠A=∠FCE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）；（2）解：∵AB∥FC，∴△GBD∽△FCF，∴GB：GC=BD：CF，∵GB=2，BC=4，BD=1，∴2：6=1：CF，∴CF=3，∵AD=CF，∴AB=AD+BD=4．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及平行线的性质，题目的设计很好，难度一般．六、解答题：（本大题满分10分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．24．（10分）(2014年广西南宁）“保护好环境，拒绝冒黑烟”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B 型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．分析：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，”列出不等式组探讨得出答案即可．解答：解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B 型公交车每辆需y万元，由题意得，解得答：设购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得，解得：6≤a≤8，所以a=6，7，8；则10﹣a=4，3，2；三种方案：①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4=1200万元；②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元；③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元；购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．点评：此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．七、解答题：（本大题满分10分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．25．（10分）(2014年广西南宁）如图1，四边形ABCD 是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上，∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．（1）试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；（2）求证：∠ACF=90°；（3）连接AF，过A、E、F三点作圆，如图2，若EC=4，∠CEF=15°，求的长．考点：圆的综合题．分析：（1）利用ABE≌△EHF求证BE=FH，（2）由BE=FH，AB=EH，推出CH=FH，得到∠HCF=45°，由四边形ABCD是正方形，所以∠ACB=45°，得出∠ACF=90°，（3）作CP⊥EF于P，利用相似三角形△CPE∽△FHE，求出EF，利用公式求出的长．解答：解：（1）BE=FH．证明：∵∠AEF=90°，∠ABC=90°，∴∠HEF+∠AEB=90°，∠BAE+∠AEB=90°，∴∠HEF=∠BAE，在△ABE和△EHF中，，∴△ABE≌△EHF（AAS）∴BE=FH．（2）由（1）得BE=FH，AB=EH，∵BC=AB，∴BE=CH，∴CH=FH，∴∠HCF=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，∴∠ACF=180°﹣∠HCF﹣∠ACB=90°．（3）由（2）知∠HCF=45°，∴CF=FH．∠CFE=∠HCF﹣∠CEF=45°﹣15°=30°．如图2，过点C作CP⊥EF于P，则CP=CF=FH．∵∠CEP=∠FEH，∠CPE=∠FHE=90°，∴△CPE∽△FHE．∴，即，∴EF=4．∵△AEF为等腰直角三角形，∴AF=8．取AF中点O，连接OE，则OE=OA=4，∠AOE=90°，∴的弧长为：=2π．点评：本题主要考查圆的综合题，解题的关键是直角三角形中三角函数的灵活运用．八、解答题：（本大题满分10分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．26．（10分）(2014年广西南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）当k=1时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点A、B的坐标；（2）如答图2，作辅助线，求出△ABP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标；（3）“存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°”的含义是，以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，由圆周角定理可知，此时∠OQC=90°且点Q为唯一．以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．解答：解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A（﹣1，0），B（2，3）．（2）设P（x，x2﹣1）．如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．∴PF=y F﹣y P=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣）2+当x=时，yP=x2﹣1=﹣．∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，﹣）．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，则E（﹣，0），F（0，1），OE=，OF=1．在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF==．令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．∴C（﹣k，0），OC=k．假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=．∴EN=OE﹣ON=﹣．∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN∽△EOF，∴，即：，解得：k=±，∵k＞0，∴k=．∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=．点评：本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数及一次函数的图象与性质、解方程、勾股定理、直线与圆的位置关系、相似等重要知识点，有一定的难度．第（2）问中，注意图形面积的计算方法；第（3）问中，解题关键是理解“存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°”的含义．。
2014年广西南宁市中考数学试卷(附答案与解析)
数学试卷 第1页（共28页） 数学试卷 第2页（共28页）绝密★启用前广西南宁市2014年初中毕业升学考试数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如果水位升高3m 时水位变化记作3m +,那么水位下降3m 时水位变化记作 ( ) A .3m -B .3mC .6mD .6m - 2.下列图形中,是轴对称图形的是( )ABCD3.南宁东高铁火车站位于南宁市青秀区凤岭北路,火车站总建筑面积约为267 000平方米,其中数据267 000用科学记数法表示为( )A .426.710⨯ B .42.6710⨯ C .52.6710⨯D .60.26710⨯4.要使二次根式2x +在实数范围内有意义,则实数x 的取值范围是( )A .2x ＞B .2x ≥C .2x -＞D .2x ≥- 5.下列运算正确的是( )A .236aa a =B .236()x x =C .623m m m ÷=D .642a a -=6.在直径为200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图所示,若油面的宽160cm AB =,则油的最大深度为( )A .40cmB .60cmC .80cmD .100cm7.数据1,2,4,0,5,3,5的中位数和众数分别是( )A .3和2B .3和3C .0和5D .3和58.如图所示,把一张长方形纸片对折,折痕为AB ,再以AB 的中点O 为顶点,把平角AOB ∠三等分,沿平角的三等分线折叠,将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的直角三角形,那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是( )A .正三角形B .正方形C .正五边形D .正六边形9.“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克,如果一次购买2千克以上的种子,超过2千克部分的种子的价格打6折,设购买种子数量为x 千克,付款金额y 元,则y 与x 的函数关系的图象大致是( )ABCD10.如图,已知二次函数22y x x =-+,当1x a -＜＜时,y 随x 的增大而增大,则实数a 的取值范围是( )A .1a ＞B .11a -＜≤ C .0a ＞ D .12a -＜＜11.如图,在□ABCD 中,点E 是AD 的中点,延长BC 到点F ,使:1:2CF BC =,连接DF ,EC .若5AB =,8AD =,4sin 5B =,则DF 的长等于( )A .10B .15C .17D .2512.已知点A 在双曲线2y x=-上,点B 在直线4y x =-上,且A ,B 两点关于y 轴对称,设点A 的坐标为(,)m n ,则m nn m+的值是 ( )A .10-B .8-C .6D .4毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共28页） 数学试卷 第4页（共28页）第Ⅱ卷(非选择题 共84分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.请把答案填在题中的横线上) 13.比较大小：5- 3(填“＞”“＜”或“=”). 14.如图,已知直线a b ∥,1120∠=,则2∠的度数是︒.15.因式分解：226a a -= .16.第45届世界体操锦标赛将于2014年10月3日至12日在南宁市隆重举行,届时某校将从小记者团内负责体育赛事报道的3名同学(2男1女)中任选2名前往采访,那么选出的2名同学恰好是一男一女的概率是 .17.如图,一渔船由西往东航行,在A 点测得海岛C 位于北偏东60的方向,前进20海里到达B 点,此时,测得海岛C 位于北偏东30的方向,则海岛C 到航线AB 的距离CD 等于 海里.18.如图,ABC △是等腰直角三角形,AC BC a ==,以斜边AB 上的点O 为圆心的圆分别与AC ,BC 相切于点E ,F ,与AB 分别交于点G ,H ,且EH 的延长线和CB 的延长线交于点D ,则CD 的长为 .三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分6分)计算：2(1)4sin 45|3|--+-20.(本小题满分6分) 解方程：22124x x x -=--.21.(本小题满分8分)如图,ABC △三个顶点的坐标分别为(1,1)A ,(4,2)B ,(3,4)C . (1)请画出ABC △向左平移5个单位长度后得到111A B C △；(2)请画出ABC △关于原点对称的222A B C △；(3)在x 轴上求作一点P ,使PAB △的周长最小,请画出PAB △,并直接写出点P 的坐标.22.(本小题满分8分)考试前,同学们总会采用各种方式缓解考试压力,以最佳状态迎接考试.某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动,学校将减压方式分为五类,同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类.学校收集整理数据后,绘制了图1和图2两幅不完整的统计图,请根据统计图中的信息解答下列问题：图1图2(1)这次抽样调查中,一共抽查了多少名学生？ (2)请补全条形统计图；(3)请计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数；(4)根据调查结果,估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”的减压方式的人数.数学试卷 第5页（共28页） 数学试卷 第6页（共28页）23.(本小题满分8分)如图,AB FC ∥,D 是AB 上一点,DF 交AC 于点E ,DE FE =,分别延长FD 和CB 交于点G .(1)求证：ADE CFE △≌△； (2)若2GB =,4BC =,求AB 的长.24.(本小题满分10分)“保护好环境,拒绝冒黑烟”.某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车,计划购买A 型和B 型两种环保节能公交车共10辆.若购买A 型公交车1辆,B 型公交车2辆,共需400万元；若购买A 型公交车2辆,B 型公交车1辆,共需350万元.(1)求购买A 型和B 型公交车每辆各需多少万元？(2)预计在该线路上A 型和B 型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次.若该公司购买A 型和B 型公交车的总费用不超过1 200万元,且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于680万人次,则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案的总费用最少？最少总费用是多少？25.(本小题满分10分)如图1,四边形ABCD 是正方形,点E 是边BC 上一点,点F 在射线CM 上,90AEF ∠=,AE EF =,过点F 作射线BC 的垂线,垂足为H ,连接AC .图1图2(1)试判断BE 与FH 的数量关系,并说明理由； (2)求证：90ACF ∠=；(3)连接AF ,过A ,E ,F 三点作圆,如图2.若4EC =,15CEF ∠=,求AE 的长.26.(本小题满分10分)在平面直角坐标系中,抛物线2(1)y x k x k =+--与直线1y kx =+交于A ,B 两点,点A 在点B 的左侧.图1图2(1)如图1,当1k =时,直接写出A ,B 两点的坐标；(2)在(1)的条件下,点P 为抛物线上的一个动点,且在直线AB 下方,试求出ABP △面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2,抛物线()21(0)y x k x k k =+--＞与x 轴交于C ,D 两点(点C 在点D 的左侧).在直线1y kx =+上是否存在唯一一点Q ,使得90OQC ∠=？若存在,请求出此时k 的值；若不存在,请说明理由.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共28页）数学试卷 第8页（共28页）广西南宁市2014年初中毕业升学考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】水位下降3m 记作3m -，故选A. 【考点】用相反数表示相反意义的量. 2.【答案】D【解析】图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合的图形为轴对称图形，只有D 选项中的图案存在这样的直线，故选D. 【考点】对称轴图形的概念. 3.【答案】C【解析】科学记数法是将一个数写成10n a ⨯的形式，其中110a ≤＜，n 为整数．其中a 是只有一位整数的数；当原数的绝对值10≥时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值1<时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数位上的零）．此题5267000 2.6710=⨯，故选C.【考点】科学记数法表示较大的数. 4.【答案】D【解析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，所以20x +≥，解得2x -≥，故选D. 【考点】二次根式的意义.【提醒】本题易犯的错误是认为被开方数大于0，而丢掉等号. 5.【答案】B【解析】A 为同底数幂相乘，指数应当相加，故错误；B 为幂的乘方，指数相乘，故正确；C 为同底数幂相除，底数不变指数相减，故错误；D 为合并同类项，字母及其指数不变，系数相加减，故错误，故选B. 【考点】整式的计算. 6.【答案】A【解析】作OC AB ⊥于C ，则80CB =，100OB =，由勾股定理得60OC =，所以油的最大深度为1006040cm -=，故选A.5 / 14【考点】圆的相关计算. 7.【答案】D【解析】将数据从小到大排列为0，1，2，3，4，5，5共7个数，位于最中间的一个数是3，所以中位数为3；数据5出现了两次，出现的次数最多，为众数，故选D. 【考点】中位数与众数的概念. 8.【答案】A【解析】方法一：对一般同学来说既快又准确的方法，是按照题目所规定的操作方法对矩形纸片进行折叠，剪切，展开后观察图形的形状与所给的选项进行对照，确定正确选项为A ； 方法二：空间想象能力好的同学可以通过空间想象得到选项A ，故选A. 【考点】动手操作能力，空间想象能力. 9.【答案】B【解析】一次购买2千克以内，5元/千克，表现在图象上为从原点出发的一条线段；超过2千克的种子价格打6折，为3元/千克，表现在图象上为此前二段图象的斜率减小，符合条件的图象为B ，故选B. 【考点】实际问题中的函数图象. 10.【答案】B【解析】此二次函数的开口向下，在对称轴左侧y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧y 随x 的增大而减小.由图象及自变量取值范围判断a 的范围应在1-和1之间，故选B. 【考点】二次函数的增减性. 11.【答案】C【解析】由于四边形ABCD 为平行四边形，所以AD BC ∥，AD BC =，因为:1:2CF BC =，E 为AD 中点，所以ECFD 为平行四边形，所以4CF ED ==.作AH BC ⊥于点H ，做DM BC ⊥于点M ，由5AB =，4sin 5B =，知4AH =，3BH =，所以4DM =.由ABH DCM △≌△知3CM BH ==，所以1M F =，根据勾股定理得DF = C.【考点】平行四边形的性质，三角函数. 12.【答案】A数学试卷 第11页（共28页）数学试卷 第12页（共28页）【解析】因为点(,)A m n 在双曲线2y x=-上，所以2mn =-；由于A ，B 关于y 轴对称，所以点B 坐标为(,)m n -，因为点B 在直线4y x =-上，所以44m m n --=+=-. 22()2(4)2(2)102m n m n mn m m mn +---⨯-+===--，故选A. 【考点】函数的意义，关于y 轴对称的点的坐标特征.第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】＜【解析】有理数比较大小的方法：（1）根据正负性进行比较，正数0＞＞负数；（2）根据在数轴上的位置比较大小，在数轴上，左边的数一定小于右边的数；（3）根据绝对值的大小判断．此题53-＜，故填＜. 【考点】有理数大小的比较. 14.【答案】60【解析】由题意及图形知1∠的同位角与2∠互补，所以2=180120=60∠︒-︒︒ 【考点】平行线的性质. 15.【答案】2(3)a a -【解析】因式分解问题应首先考虑是否能提公因式，找公因式应从系数、字母和字母的指数三个方面考虑没有公因式或提公因式后，再根据项数考虑公式法，两项则判断是否可用平方差公式，三项则判断是否可用完全平方公式，三项以上则应考虑使用分组分解法.此题2262(3)a a a a -=-.【考点】因式分解. 16.【答案】23【解析】从3名同学（2男1女）中任选2名前往，列树形图如图，通过树形图可得选择两人共有6种可能情况，其中一男一女的情况有4种，所以选出的2名同学恰好是一男一女的概率是4263=.【考点】概率的计算. 17.【答案】7 / 14【解析】设CD 的长为x 海里，由题意知60CBD ∠=︒，30CAB ∠=︒，根据三角函数得AD =，BD =，20+=，解得x = 【考点】解直角三角形. 18.【解析】易得O 为AB 的中点，由圆周角及圆心角关系知1222.5∠=∠=︒，所以22.5DHB ∠=︒，又因为45ABC ∠=︒，22.5D DHB ∠=∠=︒，所以DB BH =（也可由OE BD ∥，OH OE =证得），根据圆及等腰直角三角形对称性知BH AG =，12OE OG a ==，由勾股定理知AB ，12AG DB a ===-，如图，所以1)2CD BC BD a a =+=+-.【考点】等腰直角三角形，圆中的相关角进行计算. 三、解答题19.【答案】解：1432134=-⨯++=++=原式【考点】实数的相关计算. 20.【答案】1x =- 【解析】解：数学试卷 第15页（共28页）数学试卷 第16页（共28页）2221,2(2)(2)(2)2(2)(2),224,22,1.x x x x x x x x x x x x x -=-+-+-=+-+-=-=-=-检验：1x =-时(2)(2)0x x +-≠，故1x =-是原分式方程的解. 【考点】分式方程的解法.21.【答案】（1）平移后的图形如图所示： （每画对一个点给1分）（2）关于原点对称的图形如图所示： （每画对一个点给1分） （3）如图，点(2,0)P 为所求.【考点】平移，中心对称，轴对称的作图.22.【答案】解：（1）抽查的学生人数为510%50÷=（人）. （2）“体育活动”的人数为5030%15⨯=（人）. 补全条形统计图如图所示：9 / 14（3）“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数为103607250︒⨯=︒. （4）全校九年级采用“听音乐”的减压方式的人数约为1250012050⨯=（人）. 【考点】扇形统计图，条形统计图的意义与应用，用样本估计总体的思想方法. 23.【答案】（1）证明：,.AB FC A ECF ∴∠=∠∥又,AED CEF ∠=∠且,.DE FE ADE CFE △≌△=∴ （2）解法一：,AB FC GBD GCF ∥△∽△,∴,GB BDGC CF ∴= 21=3.24CF CF∴=∴+, 由（1）得.ADE CFE △≌△3,AD CF ∴==31 4.AB AD DB ∴=+=+=解法二：取BC 的中点H ，连接，,ADE CFE AE CE △≌△，∴=∴EH 是ABC △的中位线， ∴EH AB ∥,且12EH AB =，.GBD GCF △∽△∴ .DB GB EH GH ∴= 12, 2.22EH EH ∴=∴=+ 2 4.AB EH ∴==【考点】三角形全等的证明，相似三角形的判定及性质.24.【答案】（1）设A 型公交车每辆x 万元，B 型公交车每辆y 万元，则2400,2350,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得100,150.x y =⎧⎨=⎩ ∴A 型公交车每辆100万元，B 型公交车每辆150万元.（2）设购买A 型公交车a 辆，则B 型公交车(10)a -辆，依题意得数学试卷 第19页（共28页）数学试卷 第20页（共28页）100150(10)1200,60100(10)680,a a a a +-⎧⎨+-⎩≤≥ 解得68a ≤≤.a 为整数， a ∴=6，7，8.∴该公司有三种购车方案.方案一：购买A 型公交车6辆，B 型公交车4辆； 方案二：购买A 型公交车7辆，B 型公交车3辆； 方案三：购买A 型公交车8辆，B 型公交车2辆.解法一：设购车总费用为W 万元，则100150(10)W a a =+-，即501500(68W a a =-+≤≤，且a 是整数). 此时W 随着a 的增大而减小.∴当8a =时，方案三的购车总费用最少，即5081500=1100W =-⨯+最小（万元）.解法二：方案一的总费用为61004150=1200⨯+⨯（万元）； 方案二的总费用为71003150=1150⨯+⨯（万元）； 方案三的总费用为81002150=1100⨯+⨯（万元）.因为110011501200,＜＜ 所以，方案三的购车总费用最少. 购车最少总费用是1100万元.【考点】二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数性质的应用. 25.【答案】（1）BE FH =理由是：在正方形ABCD 中，90B ∠=︒，90BAE AEB ∴∠+∠=︒90,90,AEF FEC AEB ∠=︒∴∠+∠=︒BAE FEC ∴∠+∠,90.FH BC B FHE ⊥∴∠=∠=︒又AE EF =,,ABE EHF △≌△∴BE FH ∴=（2）证明：四边形ABCD 是正方形，45,.ACB AB BC ∠=︒=,,ABE EHF AB EH BC △≌△∴==,.BC EC EH EC BE CH ∴-=-∴=,.BE FH FH CH =∴=90,45.FHB FCH ∠=︒∴∠=︒180ACF ACB FCH ∴∠=︒-∠-∠180454590=︒-︒-︒=︒.（3）解法一：90,AEF AF ∠=︒∴是O 的直径，∴AF 的中点即为圆心O .连接OE ,则OE AF ⊥,OE 平分AEF ∠,90,45,AOE OEF ∴∠=︒∠=︒=4515=60.OEC OEF FEH ∴∠=∠+∠︒+︒︒连接OC ,由（2）知，90,ACF ∴∠=︒1,2OC AF OF OE OEC ∴===∴△是等边三角形. 4OE EC ∴==,即O 的半径为4.AE ∴长9042π.180π==解法二：90,AEF AF ∠=︒∴是O 的直径，∴AF 的中点即为圆心O .连接OE ,90.AOE FOE ∴∠=∠=︒190,,2ACF OC AF OF OE ∠=︒∴=== ∴点C 在O 上. 15,30.FEC COF ∠=︒∴∠=︒180180903060,EOC AOE COF ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒OEC ∴△是等边三角形.4OE EC ∴==,即O 的半径为4.数学试卷 第23页（共28页）AE ∴长9042.180ππ== 【解析】正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，圆的相关性质，弧长的计算.26.【答案】（1）(1,0),2,3.A B-（） （2）过点P 作PE x ⊥轴，交直线AB 于点E ，交x 轴于点F .过点B 作BG PE ⊥于点G .由（1）可知，当1k =时，抛物线的解析式为21,y x =-直线的解析式为 1.y x =+设点2(,1),P x x -则(,1),E x x +2211 2.PE x x x x =+-+=-++由（1）可知3,AF BG +=PAB PAE PBE S S S =+△△△1122AF PE BG PE =+ 1()2AF BG PE =+ 213(2)2x x =⨯⨯-++ 23=(2)2x x --++ 23127=()(12),228x x --+-＜＜ ∴当12x =时，ABP △面积取得最大值为278. 此时，点P 坐标是13(,)24-. （3）解法一：假设在直线1y kx =+上存在唯一一点Q ,能得90.OQC ∠=︒过点Q 作QH x ⊥轴于点H ，设(,0),H x由已知点Q 为直线AB 上一动点，则(,1),Q x kx +令2(1)0,x k x k +--=可得121,,x x k ==-0,(,0),k C k ∴-＞222222(1)()QC HC QH x kx k ∴=+=++=-.化简得22(1)310.k x kx +++=存在唯一一点Q ，∴该方程有唯一解，即22(3)4(1)10k k ∆=-+⨯=解得k =.0,5k k ∴=＞ 解法二：假设在直线1y x =+上存在唯一一点Q ，使得90.OQC ∠=︒过点Q 作QH x ⊥轴于点H ，设(,0),H x 由已知点Q 为直线AB 上一动点，则(,1),Q x kx +令2(1)0,x k x k +--=可得121,,x x k ==-0,(,0),k C k ∴-＞, 1.CH x k QH kx ∴=+=+90,OQC ∠=︒90.CQH HQO ∴∠+∠=︒又90CQH HQO ∠+∠=︒,.CQH QOH ∴∠=∠90CH QHO ∠∠=︒Ｑ＝，.QHC OHQ ∴~△△2,.CH QH QH CH HO QH HO∴=∴= 2(1)(),kx x k x ∴+=+化简得22(1)310.k x kx +++=解法三：假设在直线1y x =+上存在唯一一点Q ，使得90.OQC ∠=︒过点Q 作QH x ⊥轴于点H ，设(,0),H x 由已知点Q 为直线AB 上一动点，则(,1),Q x kx +令2(1)0,x k x k +--=可得121,,x x k ==-数学试卷 第27页（共28页）0,(,0),k C k >∴-设OC 的中点为M ,则M (,0)2k-, 190,.2OQC QM OC ∠=︒∴= 又(,QM OC k ==- 2221()(1)(),24k x kx k ∴+++=- 化简得22(1)310.k x kx +++=【考点】待定系数法求函数解析式，一次函数、二次函数的性质，勾股定理，一元二次方程，相似三角形的判定及性质等.。
2014年广西南宁市中考数学试卷-答案
广西南宁市2014年初中毕业升学考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】A【解析】水位下降3m 记作3m -，故选A.【考点】用相反数表示相反意义的量.2.【答案】D【解析】图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合的图形为轴对称图形，只有D 选项中的图案存在这样的直线，故选D.【考点】对称轴图形的概念.3.【答案】C【解析】科学记数法是将一个数写成10n a ⨯的形式，其中110a ≤＜，n 为整数．其中a 是只有一位整数的数；当原数的绝对值10≥时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值1<时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数位上的零）．此题5267000 2.6710=⨯，故选C.【考点】科学记数法表示较大的数.4.【答案】D【解析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，所以20x +≥，解得2x -≥，故选D.【考点】二次根式的意义.【提醒】本题易犯的错误是认为被开方数大于0，而丢掉等号.5.【答案】B【解析】A 为同底数幂相乘，指数应当相加，故错误；B 为幂的乘方，指数相乘，故正确；C 为同底数幂相除，底数不变指数相减，故错误；D 为合并同类项，字母及其指数不变，系数相加减，故错误，故选B.【考点】整式的计算.6.【答案】A【解析】作OC AB ⊥于C ，则80CB =，100OB =，由勾股定理得60OC =，所以油的最大深度为1006040cm -=，故选A.【考点】圆的相关计算.7.【答案】D【解析】将数据从小到大排列为0，1，2，3，4，5，5共7个数，位于最中间的一个数是3，所以中位数为3；数据5出现了两次，出现的次数最多，为众数，故选D.【考点】中位数与众数的概念.8.【答案】A【解析】方法一：对一般同学来说既快又准确的方法，是按照题目所规定的操作方法对矩形纸片进行折叠，剪切，展开后观察图形的形状与所给的选项进行对照，确定正确选项为A ；方法二：空间想象能力好的同学可以通过空间想象得到选项A ，故选A.【考点】动手操作能力，空间想象能力.9.【答案】B【解析】一次购买2千克以内，5元/千克，表现在图象上为从原点出发的一条线段；超过2千克的种子价格打6折，为3元/千克，表现在图象上为此前二段图象的斜率减小，符合条件的图象为B ，故选B.【考点】实际问题中的函数图象.10.【答案】B【解析】此二次函数的开口向下，在对称轴左侧y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧y 随x 的增大而减小.由图象及自变量取值范围判断a 的范围应在1-和1之间，故选B.【考点】二次函数的增减性.11.【答案】C【解析】由于四边形ABCD 为平行四边形，所以AD BC ∥，AD BC =，因为:1:2CF BC =，E 为AD 中点，所以ECFD 为平行四边形，所以4CF ED ==.作AH BC ⊥于点H ，做DM BC ⊥于点M ，由5AB =，4sin 5B =，知4AH =，3BH =，所以4DM =.由ABH DCM △≌△知3CM BH ==，所以1MF =，根据勾股定理得DF C.【考点】平行四边形的性质，三角函数.12.【答案】A【解析】因为点(,)A m n 在双曲线2y x=-上，所以2mn =-；由于A ，B 关于y 轴对称，所以点B 坐标为(,)m n -，因为点B 在直线4y x =-上，所以44m m n --=+=-.22()2(4)2(2)102m n m n mn m m mn +---⨯-+===--，故选A. 【考点】函数的意义，关于y 轴对称的点的坐标特征.第Ⅱ卷二、填空题13.【答案】＜【解析】有理数比较大小的方法：（1）根据正负性进行比较，正数0＞＞负数；（2）根据在数轴上的位置比较大小，在数轴上，左边的数一定小于右边的数；（3）根据绝对值的大小判断．此题53-＜，故填＜.【考点】有理数大小的比较.14.【答案】60【解析】由题意及图形知1∠的同位角与2∠互补，所以2=180120=60∠︒-︒︒【考点】平行线的性质.15.【答案】2(3)a a -【解析】因式分解问题应首先考虑是否能提公因式，找公因式应从系数、字母和字母的指数三个方面考虑没有公因式或提公因式后，再根据项数考虑公式法，两项则判断是否可用平方差公式，三项则判断是否可用完全平方公式，三项以上则应考虑使用分组分解法.此题2262(3)a a a a -=-.【考点】因式分解.16.【答案】23【解析】从3名同学（2男1女）中任选2名前往，列树形图如图，通过树形图可得选择两人共有6种可能情况，其中一男一女的情况有4种，所以选出的2名同学恰好是一男一女的概率是4263=.【考点】概率的计算.17.【答案】【解析】设CD 的长为x 海里，由题意知60CBD ∠=︒，30CAB ∠=︒，根据三角函数得AD =，BD =，20x +，解得x =【考点】解直角三角形.18.【解析】易得O 为AB 的中点，由圆周角及圆心角关系知1222.5∠=∠=︒，所以22.5DHB ∠=︒，又因为45ABC ∠=︒，22.5D DHB ∠=∠=︒，所以DB BH =（也可由OE BD ∥，OH OE =证得），根据圆及等腰直角三角形对称性知BH AG =，12OE OG a ==，由勾股定理知AB =，12AG DB a ===-，如图，所以1)2CD BC BD a a =+=+-=.【考点】等腰直角三角形，圆中的相关角进行计算.三、解答题19.【答案】解：14321324=-⨯++=-++=原式 【考点】实数的相关计算.20.【答案】1x =-【解析】解：2221,2(2)(2)(2)2(2)(2),224,22,1.x x x x x x x x x x x x x -=-+-+-=+-+-=-=-=-检验：1x =-时(2)(2)0x x +-≠，故1x =-是原分式方程的解.【考点】分式方程的解法.21.【答案】（1）平移后的图形如图所示：（每画对一个点给1分）（2）关于原点对称的图形如图所示：（每画对一个点给1分）（3）如图，点(2,0)P 为所求.【考点】平移，中心对称，轴对称的作图.22.【答案】解：（1）抽查的学生人数为510%50÷=（人）.（2）“体育活动”的人数为5030%15⨯=（人）.补全条形统计图如图所示：（3）“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数为103607250︒⨯=︒.（4）全校九年级采用“听音乐”的减压方式的人数约为1250012050⨯=（人）. 【考点】扇形统计图，条形统计图的意义与应用，用样本估计总体的思想方法.23.【答案】（1）证明：,.AB FC A ECF ∴∠=∠∥ 又,AED CEF ∠=∠且,.DE FE ADE CFE △≌△=∴（2）解法一：,AB FC GBD GCF ∥△∽△,∴,GB BD GC CF∴= 21=3.24CF CF∴=∴+, 由（1）得.ADE CFE △≌△3,AD CF ∴==31 4.AB AD DB ∴=+=+=解法二：取BC 的中点H ，连接，,ADE CFE AE CE △≌△，∴=∴EH 是ABC △的中位线，∴EH AB ∥,且12EH AB =， .GBD GCF △∽△∴.DB GB EH GH∴= 12, 2.22EH EH ∴=∴=+ 2 4.AB EH ∴==【考点】三角形全等的证明，相似三角形的判定及性质.24.【答案】（1）设A 型公交车每辆x 万元，B 型公交车每辆y 万元，则2400,2350,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得100,150.x y =⎧⎨=⎩∴A 型公交车每辆100万元，B 型公交车每辆150万元.（2）设购买A 型公交车a 辆，则B 型公交车(10)a -辆，依题意得100150(10)1200,60100(10)680,a a a a +-⎧⎨+-⎩≤≥ 解得68a ≤≤. a 为整数，a ∴=6，7，8.∴该公司有三种购车方案.方案一：购买A 型公交车6辆，B 型公交车4辆；方案二：购买A 型公交车7辆，B 型公交车3辆；方案三：购买A 型公交车8辆，B 型公交车2辆.解法一：设购车总费用为W 万元，则100150(10)W a a =+-，即501500(68W a a =-+≤≤，且a 是整数). 此时W 随着a 的增大而减小.∴当8a =时，方案三的购车总费用最少，即5081500=1100W =-⨯+最小（万元）.解法二：方案一的总费用为61004150=1200⨯+⨯（万元）；方案二的总费用为71003150=1150⨯+⨯（万元）；方案三的总费用为81002150=1100⨯+⨯（万元）.因为110011501200,＜＜ 所以，方案三的购车总费用最少.购车最少总费用是1100万元.【考点】二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数性质的应用.25.【答案】（1）BE FH =理由是：在正方形ABCD 中，90B ∠=︒，90BAE AEB ∴∠+∠=︒90,90,AEF FEC AEB ∠=︒∴∠+∠=︒BAE FEC ∴∠+∠,90.FH BC B FHE ⊥∴∠=∠=︒又AE EF =,,ABE EHF △≌△∴BE FH ∴=（2）证明：四边形ABCD 是正方形，45,.ACB AB BC ∠=︒=,,ABE EHF AB EH BC △≌△∴==,.BC EC EH EC BE CH ∴-=-∴=,.BE FH FH CH =∴=90,45.FHB FCH ∠=︒∴∠=︒180ACF ACB FCH ∴∠=︒-∠-∠180454590=︒-︒-︒=︒.（3）解法一：90,AEF AF ∠=︒∴是O 的直径，∴AF 的中点即为圆心O .连接OE ,则OE AF ⊥,OE 平分AEF ∠,90,45,AOE OEF ∴∠=︒∠=︒=4515=60.OEC OEF FEH ∴∠=∠+∠︒+︒︒连接OC ,由（2）知，90,ACF ∴∠=︒1,2OC AF OF OE OEC ∴===∴△是等边三角形. 4OE EC ∴==,即O 的半径为4.AE ∴长9042π.180π==解法二：90,AEF AF ∠=︒∴是O 的直径，∴AF 的中点即为圆心O .连接OE ,90.AOE FOE ∴∠=∠=︒190,,2ACF OC AF OF OE ∠=︒∴=== ∴点C 在O 上.15,30.FEC COF ∠=︒∴∠=︒180180903060,EOC AOE COF ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒OEC ∴△是等边三角形.4OE EC ∴==,即O 的半径为4.AE ∴长9042.180ππ== 【解析】正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，圆的相关性质，弧长的计算.26.【答案】（1）(1,0),2,3.A B-（） （2）过点P 作PE x ⊥轴，交直线AB 于点E ，交x 轴于点F .过点B 作BG PE ⊥于点G .由（1）可知，当1k =时，抛物线的解析式为21,y x =-直线的解析式为 1.y x =+设点2(,1),P x x -则(,1),E x x +2211 2.PE x x x x =+-+=-++由（1）可知3,AF BG +=PAB PAE PBE S S S =+△△△1122AF PE BG PE =+ 1()2AF BG PE =+ 213(2)2x x =⨯⨯-++ 23=(2)2x x --++ 23127=()(12),228x x --+-＜＜ ∴当12x =时，ABP △面积取得最大值为278. 此时，点P 坐标是13(,)24-. （3）解法一：假设在直线1y kx =+上存在唯一一点Q ,能得90.OQC ∠=︒过点Q 作QH x ⊥轴于点H ，设(,0),H x由已知点Q 为直线AB 上一动点，则(,1),Q x kx +令2(1)0,x k x k +--=可得121,,x x k ==-0,(,0),k C k ∴-＞222222(1)()QC HC QH x kx k ∴=+=++=-.化简得22(1)310.k x kx +++=存在唯一一点Q ，∴该方程有唯一解，即22(3)4(1)10k k ∆=-+⨯=解得k =.0,5k k ∴=＞ 解法二：假设在直线1y x =+上存在唯一一点Q ，使得90.OQC ∠=︒ 过点Q 作QH x ⊥轴于点H ，设(,0),H x 由已知点Q 为直线AB 上一动点，则(,1),Q x kx +令2(1)0,x k x k +--=可得121,,x x k ==-0,(,0),k C k ∴-＞, 1.CH x k QH kx ∴=+=+90,OQC ∠=︒90.CQH HQO ∴∠+∠=︒又90CQH HQO ∠+∠=︒,.CQH QOH ∴∠=∠90CH QHO ∠∠=︒Ｑ＝，.QHC OHQ ∴~△△2,.CH QH QH CH HO QH HO∴=∴= 2(1)(),kx x k x ∴+=+化简得22(1)310.k x kx +++=解法三：假设在直线1y x =+上存在唯一一点Q ，使得90.OQC ∠=︒过点Q 作QH x ⊥轴于点H ，设(,0),H x 由已知点Q 为直线AB 上一动点，则(,1),Q x kx +令2(1)0,x k x k +--=可得121,,x x k ==-11 / 11 0,(,0),k C k >∴-设OC 的中点为M ,则M (,0)2k -, 190,.2OQC QM OC ∠=︒∴= 又(,QM OC k ==- 2221()(1)(),24k x kx k ∴+++=- 化简得22(1)310.k x kx +++=【考点】待定系数法求函数解析式，一次函数、二次函数的性质，勾股定理，一元二次方程，相似三角形的判定及性质等.。
广西三模数学试题及答案
广西三模数学试题及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，则f(-1)的值为：A. 6B. 4C. 0D. -2答案：A2. 已知数列{an}是等差数列，且a1 = 1，a4 = 7，则数列的公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A3. 若直线l的方程为x + 2y - 3 = 0，且直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，则|AB|的长度为：A. √5B. √13C. √17D. √21答案：B4. 已知三角形ABC的内角A、B、C满足A + B = 2C，且sinC =√3/2，则角C的大小为：A. π/3B. π/2C. 2π/3D. 5π/6答案：A5. 若复数z满足|z - 1| = |z + i|，则z对应的点在复平面上位于：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：D6. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，若f'(x) = 0的根为x1和x2，则x1 + x2的值为：A. 3B. 2C. 1D. 0答案：A7. 若双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，且离心率为√5，则双曲线的渐近线方程为：A. y = ±(1/2)xB. y = ±(1/√5)xC. y = ±(2/√5)xD. y = ±(√5/2)x答案：D8. 已知向量a = (1, 2)，b = (-1, 2)，若向量c = 3a + 2b，则向量c的模长为：A. √5B. √13C. √17D. √29答案：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像经过点(1, 2)和(2, 3)，则a + b + c的值为______。
2014年南宁市三模理科数学试题及参考答案
2014年南宁市高中毕业班第三次适应性测试数 学(理)试卷 答案2014.41． 【解析】B 2． 【解析】C 3． 【解析】C4． 【解析】B a PF 41=,a PF 22=,()()()2222244224b a c a a +==+,224a b =,2=ab双曲线C 的渐近线方程是02=±y x5． 【解析】Ｃ. 6． 【解析】B. 7． 【解析】A.8．【解析】C.方法1：42443234222421442)1()1()1()1(111x x C x x C x x C x x C x x -+-+-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+中，只有2个常数项1和)1(221334x x C C -方法2：要构成常数项，两种情况，一是4个括号中全取1，2 是4个括号中，1个取1，2个取x ，还有1个取21x -，即)1(221334xx C C -。
9． 【解析】A. 0)sin )(cos sin (cos )sin(-)cos(=+-=-+ββααβαβα10． 【解析】D. 21,P P 只能在对称轴π67=x 左右各3π处，所以a 为π65=x 所对应的函数值21-)365sin(=+=ππy ，11．【解析】C. 共有如图所示11个整点，三角形共有：148735311=--C C12．【解析】A.由题设知04,02≤->>ac b a b ，ab c 42≥令0>=-t a b ，则t a b +=所以31)32(4)3(44)(222=≤+=++++≤+++=++-=at at t a at at a t a a tct a a tc b a a b M 当且仅当ab c t a 4.,32==即a c b 4==时取等号.13．【解析】4 14．【解析】6. 15． 【解析】22.法1：作平面1AA BMC ⊥，221=⋅=BMC S AA V 法2：作ABC D A 面⊥1，求出21=D A ，22=V16．【解析】2.由12--=-=n n n n S S S n n a 知：2111=--n S n S n n（2≥n ）所以1)21(21-=n n n S 所以n n n S 2= 14321132122123222121221232221+=-=+-+⋅⋅⋅+++=+-+⋅⋅⋅+++=∑∑n n n n n n n nn n nn S n n S所以132122121212121+=-+⋅⋅⋅+++=∑n n n n n n S所以12()2lim n n SS S →∞++⋅⋅⋅+=17． 解： A 、B 、C 的大小成等差数列，∴060B =，………………………3分a c +=，∴sin sin A C B += ………………………5分∴2sin()sin 32C C π-+=，化简得sin()62C π+=，……………8分 A C >，∴03C π<<，∴662C πππ<+<，∴64C ππ+=，∴12C π=.………………………………………10分 18．解：(1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则F E D ,,分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5由对立事件的概率公式知P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：F DE ，F E D ，EF D ，DEF . ········2分 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (F DE )＋P (F E D ＋P (EF D )＋P (DEF )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.45.·······6分 (2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知F E D 、F E D 、F E D 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此P (ξ＝0)＝P ( F E D )＝0.6×0.5×0.5＝0.15， ·········7分P (ξ＝1)＝P (F E D )＋P (F E D )＋P (F E D )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.4. ·········8分P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.4×0.5×0.5＝0.1. ·········9分由对立事件的概率公式得P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.35. ··········10分所以ξ的分布列为：因此E (ξ)＝0×0.15＋1×0.4＋2×0.35＋3×0.1＝1.4. ·············12分19． 证明：（I ）由AE ⊥平面BCDE 得AE ⊥BD ，又90=∠=∠=∠CDA BCD ABC ,CD BC =，得四边形BCDE 为正方形，CE BD ⊥∴又E CE AE ACE CE ACE AE =⋂⊂⊂,平面，平面 故ACE BD 平面⊥，…………………………………………6分（II ）方法一:由（I ）的证明过程知OD ⊥平面AEC ，过O 作OF EG ⊥，垂足为F ，则易证得DF EG ⊥，故OFD ∠即为二面角C EG D --的平面角，…………………8分由已知可得6AE =，则2AE AG AC =⋅，故EG AC ⊥，则2CGOF ==，又OD =DF =……………………………………………………………… 10分故cos OFD ∠=，即二面角C EG D --的余弦值为．………………………12分方法二: 由（I ）的证明过程知BCDE 为正方形，如图建立坐 标系，则(0,0,0),(0,6,0),(0,0,6),(6,0,0),(6,6,0)E D A B C ， 可得(2,2,4)G ，…………………………………………8分 则)4,2,2(),0,6,0(==→→EG ED ，易知平面CEG的一个法向量为)0,6,6(-=→BD ，设平面DEG 的一个法向量为)1,,(y x n =→，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00EG n ED n 得)1,0,2(-=→n ，…………10分则510cos =⋅=〉⋅〈→→→→→→nBD n BD n BD ，即二面角C EG D --的余弦值为．……………12分20 ． 解：（1）令n=1,S 1=2a 1－3. ∴a 1 =3由 S n+1=2a n+1－3(n+1), S n =2a n －3n, 两式相减，得 a n+1 =2a n+1－2a n －3，则 a n+1 =2a n +3 ．………………………………4分)3(231+=++n n a a2331=+++n n a a所以{3+n a }为公比为2的等比数列……………6分 ⑵a n +3=（a 1+3）·2n －1=6·2n －1，∴ a n =6·2n －1－3 ………………………8分 .6326321)21(6--⋅=---=n n S n n n …………………10分)2(2+=n n b n ………………11分4625321112322+++=+-+-=n n n n n n T n …………………12分21． 解：（1）直线AB ：1x ya b+=，即0=-+ab ay bx ，∴2225c a b c ⎧==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =4，235a =（舍去），∴21b =，∴椭圆E ：2214x y +=；………………………………………6分 （2）当OP K 不存在时，显然直线PQ 是与问题（2）中的圆O 2245x y +=相切； 当OP K 存在时，设OP ：y kx =（k >0），代入椭圆方程22244x k y += ∴22414x k =+，取P x>0， 以1k -代k ，得Q x，∴OP =OQ == 因OQ OP ⊥，∴PQ ===设边PQ 上的高为h ，由面积法21122h =∴h =PQ 与圆O ：2245x y +=总相切， 同理，由对称性可知，当k <0时，及P x <0，结论也成立。
2014-2018南宁市数学考题(填空题)
2014-2018年南宁市数学考题（填空题）1．（2014•南宁）第45届世界体操锦标赛将于2014年10月3日至12日在南宁隆重举行，届时某校将从小记者团内负责体育赛事报道的3名同学（2男1女）中任选2名前往采访，那么选出的2名同学恰好是一男一女的概率是_________．2．（2014•南宁）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东40°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于_________海里．3．（2014•南宁）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为_________．4．（2015•南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．5．（2015•南宁）如图，点A在双曲线y=（x＞0）上，点B在双曲线y=（x＞0）上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k=．6．（2015•南宁）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A n，如果点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是．7．（2016•南宁）如图，在4×4正方形网格中，有3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（2016•南宁）如图所示，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为．8．（2016•南宁）观察下列等式：在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第层．9．（2017•南宁）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=2，BD=2，将菱形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为7 ．10．（2017•南宁）对于函数y=，当函数值y＜﹣1时，自变量x的取值范围是．11．（2017•南宁）如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为．12．（3.00分）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是m（结果保留根号）13．（2018•南宁）观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可得30+31+32+…+32018的结果的个位数字是．14．（2018•南宁）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点C，反比例函数y=（x＜0）的图象分别与AD，CD交于点E，F，若S△BEF=7，k1+3k2=0，则k1等于．2014-2018年南宁数学考题答案及解析1．（2014•南宁）第45届世界体操锦标赛将于2014年10月3日至12日在南宁隆重举行，届时某校将从小记者团内负责体育赛事报道的3名同学（2男1女）中任选2名前往采访，那么选出的2名同学恰好是一男一女的概率是．求出所求的概率．解答：解：列表得：男男女男﹣﹣﹣（男，男）（女，男）男（男，男）﹣﹣﹣（女，男）女（男，女）（男，女）﹣﹣﹣所有等可能的情况有6种，其中选出的2名同学恰好是一男一女的情况有4种，则P==，故答案为：点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2．（2014•南宁）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东40°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于10海里．CD即可．解答：解：根据题意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，∴∠CAD=30°=∠ACB，∴AB=BC=20海里，在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=，∴sin60°=，∴CD=12×sin60°=20×=10海里，故答案为：10．3．（3分）（2014•南宁）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O 为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为a．BH=BD，最终由CD=BC+BD，即可求出答案．解答：解：如图，连接OE、OF，由切线的性质可得OE=OF=⊙O的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90°∴OECF是正方形∵由△ABC的面积可知×AC×BC=×AC×OE+×BC×OF∴OE=OF=a=EC=CF，BF=BC﹣CF=0.5a，GH=2OE=a∵由切割线定理可得BF2=BH•BG∴a2=BH（BH+a）∴BH=a或BH=a（舍去）∵OE∥DB，OE=OH∴△OEH∽△BDH∴=∴BH=BD，CD=BC+BD=a+a=a．故答案为 a4．（2015•南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．5．（2015•南宁）如图，点A在双曲线y=（x＞0）上，点B在双曲线y=（x＞0）上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k=．菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．首先根据点A在双曲线y=（x＞0）上，设A点坐标为（a，），再利用含30°直角三角形的性质算出OA=2a，再利用菱形的性质进而得到B点坐标，即可求出k的值．解：因为点A在双曲线y=（x＞0）上，设A点坐标为（a，），因为四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a，可得B点坐标为（3a，），可得：k=，故答案为：此题主要考查了待定系数法求反比例函数，关键是根据菱形的性质求出B6．（2015•南宁）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A n，如果点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．是解决本题的关键．7．（2016•南宁）如图，在4×4正方形网格中，有3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（2016•南宁）如图所示，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为2．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】过D作DE⊥OA于E，设D（m，），于是得到OA=2m，OC=，根据矩形的面积列方程即可得到结论．【解答】解：过D作DE⊥OA于E，设D（m，），∴OE=m．DE=，∵点D是矩形OABC的对角线AC的中点，∴OA=2m，OC=，∵矩形OABC的面积为8，∴OA•OC=2m•=8，∴k=2，故答案为：2．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，根据矩形的面积列出方程是解题的关键．8．（2016•南宁）观察下列等式：在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第44层．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】先按图示规律计算出每一层的第一个数和最后一个数；发现第一个数分别是每一层层数的平方，那么只要知道2016介于哪两个数的平方即可，通过计算可知：442＜2016＜452，则2016在第44层．【解答】解：第一层：第一个数为12=1，最后一个数为22﹣1=3，第二层：第一个数为22=4，最后一个数为23﹣1=8，第三层：第一个数为32=9，最后一个数为24﹣1=15，∵442=1936，452=2025，又∵1936＜2016＜2025，∴在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第44层，故答案为：44【点评】本题考查了数学变化类的规律题，这类题的解题思路是：①从第一个数起，认真观察、仔细思考，能不能用平方或奇偶或加、减、乘、除等规律来表示；②利用方程来解决问题，先设一个未知数，找到符合条件的方程即可；本题以每一行的第一个数为突破口，找出其规律，得出结论．9．（2017•南宁）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=2，BD=2，将菱形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为7 ．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L8：菱形的性质．【分析】根据菱形的性质得到∠ABO=∠CBO，AC⊥BD，得到∠ABC=60°，由折叠的性质得到EF⊥BO，OE=BE，∠BEF=∠OEF，推出△BEF是等边三角形，得到∠BEF=60°，得到△AEO是等边三角形，推出EF是△ABC的中位线，求得EF=AC=1，AE=OE=1，同理CF=OF=1，于是得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，∴∠ABO=∠CBO，AC⊥BD，∵AO=1，BO=，∴tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，AB=2，∴∠ABC=60°，由折叠的性质得，EF⊥BO，OE=BE，∠BEF=∠OEF，∴BE=BF，EF∥AC，∴△BEF是等边三角形，∴∠BEF=60°，∴∠OEF=60°，∴∠AEO=60°，∴△AEO是等边三角形，∴AE=OE，∴BE=AE，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=AC=1，AE=OE=1，同理CF=OF=1，∴五边形AEFCD的周长为=1+1+1+2+2=7．故答案为：7．10．（2017•南宁）对于函数y=，当函数值y＜﹣1时，自变量x的取值范围是﹣2＜x＜0 ．【考点】G4：反比例函数的性质．【分析】先求出y=﹣1时x的值，再由反比例函数的性质即可得出结论．【解答】解：∵当y=﹣1时，x=﹣2，∴当函数值y＜﹣1时，﹣2＜x＜0．故答案为：﹣2＜x＜0．11．（2017•南宁）如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为．【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；D2：规律型：点的坐标．【分析】首先求出P1～P5的坐标，探究规律后，利用规律解决问题．【解答】解：第一次P1（5，2），第二次P2（5，1），第三次P3（7，1），第四次P4（10，2），第五次P5（14，2），…发现点P的位置4次一个循环，∵2017÷4=504余1，P2017的纵坐标与P1相同为1，横坐标为5+3×504=1517，∴P2017，故答案为．12．（2018•南宁）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是40m（结果保留根号）【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：由题意可得：∠BDA=45°，则AB=AD=120m，又∵∠CAD=30°，∴在Rt△ADC中，tan∠CDA=tan30°==，解得：CD=40（m），故答案为：40．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CDA=tan30°=是解题关键．13．（2018•南宁）观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可得30+31+32+…+32018的结果的个位数字是3．【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出30+31+32+…+32018的结果的个位数字．【解答】解：∵30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，∴个位数4个数一循环，∴（2018+1）÷4=504余3，∴1+3+9=13，∴30+31+32+…+32018的结果的个位数字是：3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．14．（2018•南宁））如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点C，反比例函数y=（x＜0）的图象分别与AD，CD交于点E，F，若S△BEF=7，k1+3k2=0，则k1等于9．【分析】设出点A坐标，根据函数关系式分别表示各点坐标，根据割补法表示△BEF的面积，构造方程．【解答】解：设点B的坐标为（a，0），则A点坐标为（﹣a，0）由图象可知，点C（a，），E（﹣a，﹣），D（﹣a，），F（﹣，）矩形ABCD面积为：2a•=2k1∴S△DEF=S△BCF=S△ABE=∵S△BEF=7∴2k1+﹣+k1=7 ①∵k1+3k2=0∴k2=﹣k1代入①式得解得k1=9故答案为：9【点评】本题是反比例函数综合题，解题关键是设出点坐标表示相关各点，应用面积法构造方程．。
2014年广西南宁市中考数学试卷及答案
数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页）绝密★启用前广西南宁市2014年初中毕业升学考试数学 .......................................................................... 1 广西南宁市2014年初中毕业升学考试数学答案解析 . (5)广西南宁市2014年初中毕业升学考试数学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如果水位升高3m 时水位变化记作3m +,那么水位下降3m 时水位变化记作( ) A .3m -B .3mC .6mD .6m - 2.下列图形中,是轴对称图形的是( )ABCD3.南宁东高铁火车站位于南宁市青秀区凤岭北路,火车站总建筑面积约为267 000平方米,其中数据267 000用科学记数法表示为( ) A .426.710⨯ B .42.6710⨯ C .52.6710⨯D .60.26710⨯4.在实数范围内有意义,则实数x 的取值范围是( ) A .2x ＞B .2x ≥C .2x -＞D .2x ≥- 5.下列运算正确的是( )A .236a a a =B .236()x x =C .623m m m ÷=D .642a a -=6.在直径为200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图所示,若油面的宽160cm AB =,则油的最大深度为( )A .40cmB .60cmC .80cmD .100cm7.数据1,2,4,0,5,3,5的中位数和众数分别是( ) A .3和2B .3和3C .0和5D .3和58.如图所示,把一张长方形纸片对折,折痕为AB ,再以AB 的中点O 为顶点,把平角AOB ∠三等分,沿平角的三等分线折叠,将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的直角三角形,那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是( )A .正三角形B .正方形C .正五边形D .正六边形9.“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克,如果一次购买2千克以上的种子,超过2千克部分的种子的价格打6折,设购买种子数量为x 千克,付款金额y 元,则y 与x 的函数关系的图象大致是( )ABCD10.如图,已知二次函数22y x x =-+,当1x a -＜＜时,y 随x 的增大而增大,则实数a 的取值范围是()毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共20页） 数学试卷 第4页（共20页）A .1a ＞B .11a -＜≤ C .0a ＞ D .12a -＜＜11.如图,在□ABCD 中,点E 是AD 的中点,延长BC 到点F ,使:1:2CF BC =,连接DF ,EC .若5AB =,8AD =,4sin 5B =,则DF 的长等于( )ABCD.12.已知点A 在双曲线2y x=-上,点B 在直线4y x =-上,且A ,B 两点关于y 轴对称,设点A 的坐标为(,)m n ,则m nn m+的值是 ( )A .10-B .8-C .6D .4第Ⅱ卷(非选择题 共84分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.请把答案填在题中的横线上)13.比较大小：5- 3(填“＞”“＜”或“=”). 14.如图,已知直线a b ∥,1120∠=,则2∠的度数是︒.15.因式分解：226a a -= .16.第45届世界体操锦标赛将于2014年10月3日至12日在南宁市隆重举行,届时某校将从小记者团内负责体育赛事报道的3名同学(2男1女)中任选2名前往采访,那么选出的2名同学恰好是一男一女的概率是 .17.如图,一渔船由西往东航行,在A 点测得海岛C 位于北偏东60的方向,前进20海里到达B 点,此时,测得海岛C 位于北偏东30的方向,则海岛C 到航线AB 的距离CD等于 海里.18.如图,ABC △是等腰直角三角形,AC BC a ==,以斜边AB 上的点O 为圆心的圆分别与AC ,BC 相切于点E ,F ,与AB 分别交于点G ,H ,且EH 的延长线和CB 的延长线交于点D ,则CD 的长为 .三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分6分)计算：2(1)4sin 45|3|--+-.20.(本小题满分6分) 解方程：22124x x x -=--.21.(本小题满分8分)如图,ABC △三个顶点的坐标分别为(1,1)A ,(4,2)B ,(3,4)C . (1)请画出ABC △向左平移5个单位长度后得到111A B C △； (2)请画出ABC △关于原点对称的222A B C △；(3)在x 轴上求作一点P ,使PAB △的周长最小,请画出PAB △,并直接写出点P 的坐标.数学试卷 第5页（共20页） 数学试卷 第6页（共20页）22.(本小题满分8分)考试前,同学们总会采用各种方式缓解考试压力,以最佳状态迎接考试.某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动,学校将减压方式分为五类,同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类.学校收集整理数据后,绘制了图1和图2两幅不完整的统计图,请根据统计图中的信息解答下列问题：图1图2(1)这次抽样调查中,一共抽查了多少名学生？ (2)请补全条形统计图；(3)请计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数；(4)根据调查结果,估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”的减压方式的人数. 23.(本小题满分8分)如图,AB FC ∥,D 是AB 上一点,DF 交AC 于点E ,DE FE =,分别延长FD 和CB 交于点G .(1)求证：ADE CFE △≌△； (2)若2GB =,4BC =,求AB 的长.24.(本小题满分10分)“保护好环境,拒绝冒黑烟”.某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车,计划购买A 型和B 型两种环保节能公交车共10辆.若购买A 型公交车1辆,B 型公交车2辆,共需400万元；若购买A 型公交车2辆,B 型公交车1辆,共需350万元.(1)求购买A 型和B 型公交车每辆各需多少万元？(2)预计在该线路上A 型和B 型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次.若该公司购买A 型和B 型公交车的总费用不超过1 200万元,且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于680万人次,则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案的总费用最少？最少总费用是多少？25.(本小题满分10分)如图1,四边形ABCD 是正方形,点E 是边BC 上一点,点F 在射线CM 上,90AEF ∠=,AE EF =,过点F 作射线BC 的垂线,垂足为H ,连接AC .图1图2(1)试判断BE 与FH 的数量关系,并说明理由； (2)求证：90ACF ∠=；(3)连接AF ,过A ,E ,F 三点作圆,如图2.若4EC =,15CEF ∠=,求AE 的长.26.(本小题满分10分)在平面直角坐标系中,抛物线2(1)y x k x k =+--与直线1y kx =+交于A ,B 两点,点A 在点B 的左侧.图1图2(1)如图1,当1k =时,直接写出A ,B 两点的坐标；-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________。
2014年广西南宁市高中毕业班第三次适应性测试数学(文)试卷
2014年广西南宁市高中毕业班第三次适应性测试数学(文)试卷2014.4本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试卷上作答无效. 3．第Ⅰ卷共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题（本大题共12小题,毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填在答题卷的对应位置上.）1．直线03=-+y x 的倾斜角的大小是 A.4πB.π43C. D. 1- 【解析】B2．函数）（1)1ln(>-=x x y 的反函数是 A.)1(1>+=x e y x B.)1(110>+=x y x C. )(1R x e y x ∈+= D. )(110R x y x ∈+= 【解析】C3．已知集合{}0|2≥-=x x x A ，{}2|x x y y B -==，则=B AA.[]1,0B.(]1,∞-C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡41,0 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 【解析】C4．在621⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，常数项是A ．-30 B.30 C. -15 D.15【解析】D.5．若向量a ，b 满足1=a ，2=b ，()b a a -⊥，则向量a ，b的夹角大小为A.6π B.4π C. 3π D.2π 【解析】Ｃ. 6．若函数a x x x f +-=23)(在[]1,1-的最小值是1，则实数a 的值是A.1B.3C. 2731D.1- 【解析】B.7．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为72，1O 是11A C 和11B D 的交点，则异面直线C 1O 与B A 1所成角的余弦值是A.415 B.41C. 23D.22 【解析】A.8．设21,F F 是双曲线C ：12222=-by a x )0,0(>>b a 的左、右两个焦点，若双曲线C 上存在点P 满足1PF ∶2PF =2∶1且 9021=∠PF F ，则双曲线C 的渐近线方程是 A.02=±y x B.02=±y x C.045=±y x D. 054=±y x【解析】B a PF 41=,a PF 22=,()()()2222244224b a c a a +==+,224a b =,2=ab双曲线C 的渐近线方程是 02=±y x9．已知βα,是任意角，则“ααcos sin =”是“)sin()cos(βαβα-=+”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【解析】A. 0)sin )(cos sin (cos )sin(-)cos(=+-=-+ββααβαβα 10．直线a y =与曲线[))2,0)(3sin(ππ∈+=x x y 交于21,P P 两点，且π3221=P P ，则=a A.23 B. 23- C. 21 D. 21-【解析】D. 21,P P 只能在对称轴π67=x 左右各3π处，所以a 为π65=x 所对应的函数值21-)365sin(=+=ππy ， 11．在椭圆12622=+y x 的内部共有n 个整点（点的横坐标和纵坐标都是整数），以这些整点为顶点的三角形共有A. 150个B. 149个C. 148个D.147个 【解析】C.共有如图所示11个整点，三角形共有：148735311=--C C12．已知定义在R 上的函数)(x f y =满足下列三个条件：(1)对任意的R x ∈都有)()4(x f x f =+；(2)[]2,0∈x 时，)1lg()(+=x x f (3) )2(+=x f y 的图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是A.)7()5.6()5.4(f f f <<B. )5.6()7()5.4(f f f <<C. )5.6()5.4()7(f f f <<D. )5.4()5.6()7(f f f <<【解析】B.第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作．．．．．．答无效．．．. 3．第Ⅱ卷共10个小题，共90分.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填答题卷相应题中横线上.13．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x 则目标函数y x z -=2的最大值是 ▲ ．【解析】414．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长为c b a ,,，已知31sin =A ，2tan =B ，1=a，则=b ▲ ．【解析】6.15．若等比数列{}n a ，对一切自然数n 都有n n S a 3211-=+，其中n S 为该数列的前n 项和，则=n a ▲ ． 【解析】131-=n n a ）（. 由已知：n n S a 3211-=+，有1-321n n S a -=两式相减得：n n a a 311=+ 即31=q又当1=n 时有112321321a S a -=-=，而1231a a =，所以11=a ，所以131-=n n a ）（16．矩形ABCD 中，AB =6，BC =23，沿对角线BD 将三角形ABD 向上折起，使A 移至点P ，且P 在平面BCD 的射影O 在DC 上，则二面角P-BD-C 的平面角的余弦值是 ▲ ． 【解析】31. 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17． (本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a c +=，A C >且A 、B 、C 的大小成等差数列，求角C .解： A 、B 、C 的大小成等差数列，∴060B =，………………………3分a c +=， ∴sin sin A C B += ………………………5分∴2sin()sin 3C C π-+=，化简得sin()6C π+=8分 A C >，∴03C π<<，∴662C πππ<+<，∴64C ππ+=，∴12C π=.………………………………………10分18． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行篮球比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一场，已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.4,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立． (1)求红队恰有1名队员获胜的概率； (2) 求红队至少两名队员获胜的概率.解：(1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则F E D ,,分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件． 因为P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5由对立事件的概率公式知P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.红队恰有1名队员获胜的事件有：DEF ，DEF ，DEF . ········2分 由于以上三个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队恰有1人获胜的概率为P ＝P (DEF )＋P (DEF )＋P (DEF )＝0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.4.········6分 (2) 红队至少两人获胜的事件有：F DE ，F E D ，EF D ，DEF . ········8分 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (F DE )＋P (F E D ＋P (EF D )＋P (DEF )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.45.········12分 19．(本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，在四棱锥BCDEA -中，BCDEAE 平面⊥,90ABC BCD CDA ︒∠=∠=∠=，6AC BC CD ===.（Ⅰ）求证:ACE BD 平面⊥；（Ⅱ）设点G 在棱AC 上，且2CG GA =，试求三棱锥的体积GCD E -． 证明：（I ）由AE ⊥平面BCDE 得AE ⊥BD ，又 90=∠=∠=∠CDA BCD ABC ,CD BC =，得四边形BCDE 为正方形，CE BD ⊥∴ 又E CE AE ACE CE ACE AE =⋂⊂⊂,平面，平面故ACE BD 平面⊥，…………………………………6分 （Ⅱ）过,H EC AE GH G 于交∥作……………………7分GA CG 2=,AE GH 32=∴BCDE AE 平面⊥EC AE DEC GH ⊥⊥∴,平面……………………9分在直角三角形AEC 中，CE=26,AC=36,得AE=6AE GH 32=∴=4 三棱锥的体积GCD E -244662131=⨯⨯⨯⨯=-ECD G V ……………………12分 20． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设数列{n a }的前n 项和为n S ，且)(,32*N n n a S n n ∈-=.⑴证明数列{3+n a }为等比数列； ⑵求{n S }的前n 项和n T . 解：（1）令n=1,S 1=2a 1－3. ∴a 1 =3由 S n+1=2a n+1－3(n+1), S n =2a n －3n, 两式相减，得 a n+1 =2a n+1－2a n －3，则 a n+1 =2a n +3 ．………………………………4分)3(231+=++n n a a2331=+++n n a a所以{3+n a }为公比为2的等比数列……………6分 ⑵a n +3=（a 1+3）·2n －1=6·2n －1，∴ a n =6·2n －1－3 ………………………8分 .6326321)21(6--⋅=---=n n S n n n …………………11分n n T n n 21523)12(122---=…………………12分21 ．(本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知函数32211()(21)()32f x x a x a a x =-+++． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的值； （Ⅱ）若1a >-，求()f x 在区间[0,1]上的最大值．解：解：（Ⅰ）因为 22()(21)()f x x a x a a '=-+++ ………………2分()[(1)]x a x a =--+令()0f x '=，得1(1)x a =+，2x a =所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：………………4分 所以1a = ………………6分(II) 因为1,a >-所以10,a +> 当1a ≥时，()0f x '≥对[0,1]x ∈成立所以当1x =时，()f x 取得最大值21(1)6f a =-………………8分 当01a <<时， 在(0,)x a ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增在(,1)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减所以当x a =时，()f x 取得最大值3211()32f a a a =+ ………………9分当0a =时， 在(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减所以当0x =时，()f x 取得最大值(0)0f = ………………10分 当10a -<<时，在(0,1)x a ∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减 在(1,1)x a ∈+时，()0f x '>，()f x 单调递增又21(0)0,(1)6f f a ==-，当1a -<<时，()f x 在1x =取得最大值21(1)6f a =-当0a <时，()f x 在0x =取得最大值(0)0f =当a =时，()f x 在0x =，1x =处都取得最大值0. ………………11分 综上所述，当1a ≥或1a -<<时，()f x 取得最大值21(1)6f a =-当01a <<时，()f x 取得最大值3211()32f a a a =+当a =时，()f x 在0x =，1x =处都取得最大值0当0a ≤时，()f x 在0x =取得最大值(0)0f =.…………………………………12分22． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知椭圆E ：22221x y a b+=（a >b >0）的焦距为A 、B 两点分别是椭圆E 的右顶点、上顶点，且直线AB与圆O ：5422=+y x 相切（1）求椭圆E 的方程；（2）过原点O 任作两条相互垂直的射线交椭圆E 于P 、Q 两点，试判断直线PQ 是否总与圆O 相切，并说明理由.解：（1）直线AB ：1x ya b+=，即0=-+ab ay bx ，∴222c a b c ==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =4，235a =（舍去），∴21b =，∴椭圆E ：2214x y +=；………………………………………6分（2）当OP K 不存在时，显然直线PQ 是与问题（2）中的圆O 2245x y +=相切； 当OP K 存在时，设OP ：y kx =（k >0），代入椭圆方程22244x k y += ∴22414x k =+，取P x>0， 以1k -代k ，得Q x，= 因OQ OP ⊥，==设边PQ 上的高为h ，由面积法1122h =∴h =，故直线PQ 与圆O ：2245x y +=总相切，x<0，结论也成立。
2014年广西南宁市中考一模数学试卷(解析版)
2014年广西南宁市中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）﹣3的相反数是（）A．B．C．3D．﹣32．（3分）如图所示的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列计算中，正确的是（）A．B．C．D．4．（3分）钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为（）A．44×105B．0.44×105C．4.4×106D．4.4×105 5．（3分）如图，在数轴上表示到原点的距离为3个单位的点有（）A．D点B．A点C．A点和D点D．B点和C点6．（3分）不等式组的解集为（）A．﹣2≤x≤1B．﹣2＜x＜1C．x≥1D．x≥27．（3分）方程x2﹣5x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定8．（3分）某商场销售一款服装，每件标价150元，若以八折销售，仍可获利30元，则这款服装每件的进价为（）A．90元B．96元C．120元D．126元9．（3分）如图，C为线段BD上一点，BC＝3，CD＝2．△ABC、△ECD均为正三角形，AD交CE于F，则S△ACF ：S△DEF的值为（）A．4：3B．9：5C．9：4D．3：210．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝120°，若⊙O的半径OC 为2，则弦BC的长为（）A．1B．2C．D．11．（3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式A M ＝（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7＝（2，3），则A2013＝（）A．（45，77）B．（45，39）C．（32，46）D．（32，23）12．（3分）如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）要使在实数范围内有意义，x应满足的条件是．14．（3分）如图，直线MN∥NB，AC⊥MA，∠C＝30°，则∠1＝．15．（3分）2014年南宁世界体操锦标赛暨45届世界体操锦标赛将于2014年10月3日至12日在广西南宁隆重举行．比赛设置男子六个单项（自由体操、鞍马、吊环、跳马、双杠、单杠）、女子四个项目（跳马、高低杠、平衡木、自由体操）和男女团体赛、男女个人全能项目，小明特别想观看自由体操和平衡木的比赛，在不同时间段里有3场比赛，其中2场是自由体操，1场是平衡木，从中任意选看2场，则选看的2场恰好都是自由体操的概率是．16．（3分）如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为．17．（3分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB 绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝经过平移得到抛物线y ＝，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：+|﹣2|﹣4sin45°﹣．20．（6分）先化简：•﹣，再选取一个你喜欢的数代入求值．21．（8分）“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们的关注．我市某空气质量检测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）统计图共统计了天空气质量情况．（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形圆心角度数．（3）从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是多少？22．（8分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．（1）请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90度．画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．23．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE＝DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．24．（10分）为了更好治理流溪河水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表：经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，且用60万元购进A 设备的数量与用50万元购进B型设备的数量相同（1）求a，b的值．（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案．（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．25．（10分）如图，P A为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC＝12，tan∠F＝，求cos∠ACB的值．26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝﹣2．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．①当t为秒时，△P AD的周长最小？当t为秒时，△P AD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△P AD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2014年广西南宁市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）﹣3的相反数是（）A．B．C．3D．﹣3【解答】解：∵互为相反数相加等于0，∴﹣3的相反数，3．故选：C．2．（3分）如图所示的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、只是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、即不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形也是中心对称，故本选项正确；故选：D．3．（3分）下列计算中，正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、二次根式的加法，实质上是合并同类二次根式，不是同类二次根式，不能合并，故A错误；B、二次根式相除，等于被开方数相除，故B正确；C、根号外的也要相乘，等于9，故C错误；D、根据＝|a|，等于3，故D错误．故选：B．4．（3分）钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为（）A．44×105B．0.44×105C．4.4×106D．4.4×105【解答】解：将4400000用科学记数法表示为：4.4×106．故选：C．5．（3分）如图，在数轴上表示到原点的距离为3个单位的点有（）A．D点B．A点C．A点和D点D．B点和C点【解答】解：由数轴与题意可得，在数轴上表示到原点的距离为3个单位的点有A点和D点．故选C．6．（3分）不等式组的解集为（）A．﹣2≤x≤1B．﹣2＜x＜1C．x≥1D．x≥2【解答】解：，由①得，x≥﹣2，由②得，x≥1，故不等式组的解集为：x≥1．故选：C．7．（3分）方程x2﹣5x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【解答】解：这里a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，∵△＝b2﹣4ac＝25+4＝29＞0，则方程有两个不相等的实数根．故选：A．8．（3分）某商场销售一款服装，每件标价150元，若以八折销售，仍可获利30元，则这款服装每件的进价为（）A．90元B．96元C．120元D．126元【解答】解：设这款服装的进价是x元，150×0.8﹣x＝30，x＝90，进价是90元．故选：A．9．（3分）如图，C为线段BD上一点，BC＝3，CD＝2．△ABC、△ECD均为正三角形，AD交CE于F，则S△ACF ：S△DEF的值为（）A．4：3B．9：5C．9：4D．3：2【解答】解：∵△ABC、△ECD均为正三角形，BC＝3，CD＝2，∴∠ACB＝∠EDC＝60°，AC＝BC＝3，DE＝CD＝2，∴AC∥ED，∴△ACF∽△DEF，∴S△ACF ：S△DEF＝（）2＝（）2＝．故选：C．10．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝120°，若⊙O的半径OC 为2，则弦BC的长为（）A．1B．2C．D．【解答】解：在⊙O上找一点E，连接BE，CE，OB，OC，过点O作OD⊥BC 于点D，∵四边形ABEC是圆内接四边形，∠BAC＝120°，∴∠E＝60°，∴∠BOC＝120°，又∵OD⊥BC，∴∠BOD＝60°，BC＝2BD，∴BD＝sin60°×OB＝×2＝，∴BC＝2BD＝2．故选：D．11．（3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式A M ＝（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7＝（2，3），则A2013＝（）A．（45，77）B．（45，39）C．（32，46）D．（32，23）【解答】解：2013是第＝1007个数，设2013在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1007，即≥1007，解得：n≥31.7，当n＝31时，1+3+5+7+…+61＝961；当n＝32时，1+3+5+7+…+63＝1024；故第1007个数在第32组，第1024个数为：2×1024﹣1＝2047，第32组的第一个数为：2×962﹣1＝1923，则2013是（+1）＝46个数．故A2013＝（32，46）．故选：C．12．（3分）如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为（）A．B．C．D．【解答】解：连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，如图，∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形，∴A1A4＝2a，∠A1A6A5＝120°，∴∠CA1A6＝30°，∴A6C＝a，A1C＝a，∴A1A5＝A1A3＝a，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，以a，a，2a，a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，∴顶点A1所经过的路径的长＝++++，＝πa．故选：A．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）要使在实数范围内有意义，x应满足的条件是x≥2．【解答】解：要使在实数范围内有意义，x应满足的条件x﹣2≥0，即x≥2．14．（3分）如图，直线MN∥NB，AC⊥MA，∠C＝30°，则∠1＝120°．【解答】解：∵AC⊥MA，∴∠A＝90°，∵MN∥NB，∴∠2＝∠A＝90°，∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣90°＝90°，由三角形的外角性质，∠1＝∠C+∠3＝30°+90°＝120°．故答案为：120°．15．（3分）2014年南宁世界体操锦标赛暨45届世界体操锦标赛将于2014年10月3日至12日在广西南宁隆重举行．比赛设置男子六个单项（自由体操、鞍马、吊环、跳马、双杠、单杠）、女子四个项目（跳马、高低杠、平衡木、自由体操）和男女团体赛、男女个人全能项目，小明特别想观看自由体操和平衡木的比赛，在不同时间段里有3场比赛，其中2场是自由体操，1场是平衡木，从中任意选看2场，则选看的2场恰好都是自由体操的概率是．【解答】解：一场可能有3种情况，另一场可能有2种情况，那么共有3×2＝6种可能，而有2种结果都是自由体操，所以都是自由体操赛的概率概率为，故答案为：．16．（3分）如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为2．【解答】解：扇形的弧长＝＝4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2．故答案为：2．17．（3分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB 绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（7，3）．【解答】解：直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A（3，0）、B（0，4）两点，由图易知点B′的纵坐标为O′A＝OA＝3，横坐标为OA+O′B′＝OA+OB ＝7．则点B′的坐标是（7，3）．故答案为：（7，3）．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝经过平移得到抛物线y ＝，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为4．【解答】解：如图，∵y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，∴平移后抛物线的顶点坐标为（2，﹣2），对称轴为直线x＝2，当x＝2时，y＝×22＝2，∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，×（2+2）×2＝4．故答案为：4．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：+|﹣2|﹣4sin45°﹣．【解答】解：原式＝2+2﹣4×﹣3＝﹣1．20．（6分）先化简：•﹣，再选取一个你喜欢的数代入求值．【解答】解：原式＝•﹣＝1﹣＝，当a＝0时，原式＝1．21．（8分）“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们的关注．我市某空气质量检测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）统计图共统计了100天空气质量情况．（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形圆心角度数．（3）从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是多少？【解答】解：（1）70÷70%＝100（天），故答案是：100；（2）空气质量为“优”所在扇形圆心角度数是：360°×20%＝72°；如图所示：（3）班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是．22．（8分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．（1）请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90度．画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【解答】解：（1）点A关于y轴对称的点的坐标是（2，3）；（2）图形如右，点B的对应点的坐标是（0，﹣6）；（3）以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（﹣7，3）或（﹣5，﹣3）或（3，3）．23．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE＝DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC∴∠AED＝∠CFD＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A＝∠C，∵在△AED和△CFD中∴△AED≌△CFD（AAS）；（2）∵△AED≌△CFD，∴AD＝CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形．24．（10分）为了更好治理流溪河水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表：经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，且用60万元购进A 设备的数量与用50万元购进B型设备的数量相同（1）求a，b的值．（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案．（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．【解答】解：（1）设一台A型设备的价格是a元，则一台B型设备的价格是（a ﹣2）万元，由题意得：＝，解得：a＝12，经检验a＝12时原分式方程的解，则b＝12﹣2＝10，故：a＝12，b＝10；（2）设购买A型设备x台，则购买B型设备（10﹣x）台，由题意得：12x+10（10﹣x）≤105，解得：x≤2.5，∵x为整数，∴x≥0，∴0≤x≤2.5，①购买A型设备0台，则购买B型设备10台；②购买A型设备1台，则购买B型设备9台；③购买A型设备2台，则购买B型设备8台；（3）由题意得：240x+200（10﹣x）≥2040，解得：x≥1，∵0≤x≤2.5，∴1≤x≤2.5，∵B型设备便宜，∴为了节约资金，尽可能多买B型，∴x＝1，答：购买A型设备1台，则购买B型设备9台．25．（10分）如图，P A为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC＝12，tan∠F＝，求cos∠ACB的值．【解答】（1）证明：连接OA，∵P A与圆O相切，∴P A⊥OA，即∠OAP＝90°，∵OP⊥AB，∴D为AB中点，即OP垂直平分AB，∴P A＝PB，∵在△OAP和△OBP中，，∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴BP⊥OB，则直线PB为圆O的切线；（2）答：EF2＝4DO•PO．证明：∵∠OAP＝∠ADO＝90°，∠AOD＝∠POA，∴△OAD∽△OP A，∴＝，即OA2＝OD•OP，∵EF为圆的直径，即EF＝2OA，∴EF2＝OD•OP，即EF2＝4OD•OP；（3）解：连接BE，则∠FBE＝90°．∵tan∠F＝，∴＝，∴可设BE＝x，BF＝2x，则由勾股定理，得EF＝＝x，∵BE•BF＝EF•BD，∴BD＝x．又∵AB⊥EF，∴AB＝2BD＝x，∴Rt△ABC中，BC＝x，AC2+AB2＝BC2，∴122+（x）2＝（x）2，解得：x＝4，∴BC＝4×＝20，∴cos∠ACB＝＝＝．26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝﹣2．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．①当t为2秒时，△P AD的周长最小？当t为4或4﹣或4+秒时，△P AD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△P AD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由抛物线的轴对称性及A（﹣1，0），可得B（﹣3，0）．（2）设抛物线的对称轴交CD于点M，交AB于点N，由题意可知AB∥CD，由抛物线的轴对称性可得CD＝2DM．∵MN∥y轴，AB∥CD，∴四边形ODMN是平行四边形∵∠DON＝90°∴平行四边形ODMN是矩形．∴DM＝ON＝2，∴CD＝2×2＝4．∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），∴AB＝2，∵梯形ABCD的面积＝（AB+CD）•OD＝9，∴OD＝3，即c＝3．∴把A（﹣1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3得，解得．∴y＝x2+4x+3．将y＝x2+4x+3化为顶点式为y＝（x+2）2﹣1，得E（﹣2，﹣1）．（3）①当t为2秒时，△P AD的周长最小；当t为4或4﹣或4+秒时，△P AD是以AD为腰的等腰三角形．故答案为：2；4或4﹣或4+．②存在．设CD交抛物线对称轴于M，AB交抛物线对称轴于N，∵∠APD＝90°，∠PMD＝∠PNA＝90°，∴∠DPM+∠APN＝90°，∠DPM+∠PDM＝90°，∴∠PDM＝∠APN，∵∠PMD＝∠ANP，∴△APN∽△PDM，∴＝，∴＝，∴PN2﹣3PN+2＝0，∴PN＝1或PN＝2．∴P（﹣2，1）或（﹣2，2）．。