哥尼斯堡七桥问题讲解
哥尼斯堡七桥问题与一笔画课件
在18世纪，人们开始对图论进行 研究，探索图的结构和性质，其 中哥尼斯堡七桥问题成为了图论 研究的重要问题之一。
哥尼斯堡七桥问题的起源
哥尼斯堡七桥问题起源于18世纪初，当时有一位名叫欧拉的 人，他是一位数学家和工程师，对图论进行了深入研究。
欧拉在研究哥尼斯堡的桥梁和河流时，提出了一个问题：是 否存在一条路径，能够遍历哥尼斯堡的所有桥梁，每座桥只 过一次？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题对一笔画问题的影响
哥尼斯堡七桥问题的解决推动了数学领域的发展，它证明了不存在一条遍历七座 桥的路径，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
这个问题的解决对于一笔画问题的研究具有重要意义，它揭示了一笔画问题的复 杂性和多样性，也促使数学家们深入研究一笔画问题的性质和规律。
一笔画问题在哥尼斯堡七桥问题中的应用
哥尼斯堡七桥问题是一笔画问题的经典案例，它探讨的是从哥尼斯堡的一个地方开 始，能否遍历城市的七座桥，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
一笔画问题则是一个更广泛的几何问题，研究的是在一个连通图上，是否存在一条 路径能够遍历所有的边，每条边只过一次。
哥尼斯堡七桥问题实际上是几何图形的一笔画问题，它为后续一笔画问题的研究提 供了基础。
哥尼斯堡七桥问题的历史意义
哥尼斯堡七桥问题的解决标志着图论 的诞生，成为图论发展史上的一个里 程碑。
该问题的解决为后续的图论研究提供 了基础和指导，推动了数学和图论的 发展。
02 一笔画问题概述
一笔画问题的定义
一笔画问题，也称为欧拉路径问题，是图论中的一个经典 问题。它主要探讨的是在一个给定的图形中，是否存在一 条路径，使得这条路径能够遍历图形的每一条边且只遍历 一次。
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世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题
世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)，那里的普莱格尔河上有七座桥。
将河中的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。
这就是哥尼斯堡七桥问题，一个著名的图论问题。
1727年在欧拉20岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡（原列宁格勒）的科学院做研究。
他的德国朋友告诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。
欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。
他把这个难题化成了这样的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七桥问题”就等价于下图中所画图形的一笔画问题了，这个图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。
经过研究，欧拉发现了一笔画的规律。
他认为，能一笔画的图形必须是连通图。
连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的图就是连通图。
但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。
那么什么叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。
如下图中的①、④为奇点，②、③为偶点。
1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
例如下图都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤→⑦→②→④→⑥→⑦→①2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
例如下图的线路是：①→②→③→①→④3．其他情况的图都不能一笔画出。
格尼斯堡七桥问题解法
格尼斯堡七桥问题解法一、问题背景格尼斯堡七桥问题，是欧拉在1735年提出的一个著名的数学难题。
该问题描述为：有一座连通的城市，其中包含七座桥，如何从任意一个地方出发，经过每座桥恰好一次，最终回到原地。
二、传统解法1.暴力搜索最简单直观的方法是暴力搜索。
遍历所有可能情况，判断是否符合条件。
但是由于状态空间巨大（7个节点有51840种排列方式），这种方法不可行。
2.欧拉回路算法欧拉回路算法是解决格尼斯堡七桥问题最常用的方法之一。
它基于欧拉定理：如果一个图中所有顶点度数均为偶数，则该图存在欧拉回路。
通过构建图模型，并计算每个节点的度数，可以判断是否存在欧拉回路。
如果存在，则可以通过遍历欧拉回路来解决问题。
但是，在实际应用中，并不是所有图都存在欧拉回路。
因此，这种方法并不能完全解决格尼斯堡七桥问题。
三、新解法1.图论与拓扑学结合将图论和拓扑学结合使用，可以更好地解决格尼斯堡七桥问题。
首先，将城市中的桥和岛屿抽象成节点，将桥连接岛屿的关系抽象成边。
然后，通过计算每个节点的度数，可以判断是否存在欧拉通路。
如果存在欧拉通路，则可以通过遍历欧拉通路来解决问题。
但是，在实际应用中，并不是所有图都存在欧拉通路。
因此，这种方法并不能完全解决格尼斯堡七桥问题。
2.基于网络流的解法基于网络流的解法是一种更高效、更准确的方法。
它基于最大流最小割定理：如果一个网络中所有源点到汇点的路径都满流，则该网络存在一组最大流，并且这组最大流等于所有源点到汇点路径上边权之和。
通过构建网络模型，并计算每个节点之间的容量和费用，可以求出从任意一个节点出发经过每座桥恰好一次回到原地所需的最小费用和路径。
具体步骤如下：（1）将城市中的桥和岛屿抽象成节点，将桥连接岛屿的关系抽象成边。
（2）对于每个节点i，设其入度为diin，出度为diout，则其容量为min(diin,diout)。
容量表示从该节点出发经过该边的最大流量。
（3）对于每条边(i,j)，其费用为1。
哥尼斯堡七桥问题与图论
1736年29《哥尼斯堡的七座桥》的论文，创了数学的一个新的分支—一、哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡在俄罗斯境内，现称为加里宁格勒.生和培养过许多伟大人物.格尔河，横贯城中，如图1所示.流，一条称为新河，一条主流，的商业中心.区、北区、东区和南区.桥，两支流上.这一别致的桥群，图1早在18世纪，散步中走过每座桥，发点？”走遍这七座桥共有A77=7!=验，谈何容易.那么在这5040而形成了著名的图2欧拉请他帮助解决这个他似乎看到其中.经过一年的研究，29岁的并于1736年向彼得堡科哥尼斯堡的七座桥》的论文.C（岛区）、A（南区）；七座桥看成这四个点、6、7七个数字表示，如图3所示.“一笔画”问题：否能一笔不.布勒格尔河模型蔡思明58遍历的路径称作欧拉路径（一个环或者一条链），如果路径闭合（一个圈），则称为欧拉回路.图论中的欧拉定理（一笔画定理）要分有向图（边有特定方向的图）与无向图（边没有特定方向的图）两种情况进行讨论.1.无向图的情况定理：连通无向图G有欧拉路径的充要条件为：G中奇度顶点（即与其相连的边数目为奇数的顶点）有0个或者2个.证明：必要性.如果图能够被一笔画成，那么对每个顶点，考虑路径中“进入”它的边数与“离开”它的边数（注意前提是无向图，所以我们不能称其为“入边”和“出边”）.很显然这两个值要么相同（说明该顶点度数为偶），要么相差1（说明该顶点度数为奇）.也就是说，如果欧拉路径不是回路，奇度顶点就有2个，即路径的起点和终点；如果是欧拉回路，起点与终点重合，则不存在奇度顶点.必要性得证.证明：充分性.如果图中没有奇度顶点，那么在G中随机取一个顶点v0出发，尝试构造一条回路c0.如果c0就是原路，则结束；如果不是，那么由于图是连通的，c0和图的剩余部分必然存在某公共顶点v1，从v2出发重复尝试构造回路，最终可将整张图分割为多个回路.由于两条相连的回路可以视为一条回路，所以该图必存在欧拉回路.如果图中有2个奇度顶点u和v，那么若是加一条边将u和v连接起来的话，就得到一个没有奇度顶点的连通图，由上文可知该图必存在欧拉回路，去掉这条新加的边，就是一条以u和v为起终点的欧拉路径.充分性得证.可知，哥尼斯堡七桥问题中的图有4个奇度顶点（1个度数为5，3个度数为3），所以不存在欧拉路径.2.有向图的情况定理：底图连通的有向图G有欧拉路径的充要条件为：G的所有顶点入度和出度都相等；或者只有两个顶点的入度和出度不相等，且其中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的入度与出度之差为1.显然，可以通过与无向图情况相似的思路来证明，过程略.当时的数学界起初并未对欧拉解决七桥问题的意义有足够的认识，甚至有些人仅仅当其为一个数学游戏.图论这一数学分支诞生后并未得到很好的发展，直到200年后的1936年，匈牙利数学家科尼希出版了《有限图与无限图理论》，此为图论的第一部专著，其总结了进200年来有关图论的成果，这是图论发展的第一座里程碑.此后，图论进入发展与突破的阶段，又经过了半个多世纪的发展，现已成为数学科学的一个独立的重要分支.图论原是组合数学中的一个重要课题.我们用点表示事物，用连接点的边表示事物间的联系，便可得到图论中的图.图论为研究任何一类离散事物的关系结构提供了一种框架.图论中的理论已应用于经济学、心理学、社会学、遗传学、运筹学、逻辑学、语言学计算机科学等诸多领域.由于现代科学尤其是大型计算机的迅猛发展，使得图论大有用武之地，无论是数学、物理、化学、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、经济乃至社会科学的众多问题，都可以运用图论方法予以解决.当然，图论也是计算机科学的基础学科之一.值得一提的是，欧拉对七桥问题的研究，后演变成多面体理论，得到了著名的欧拉公式V+F=E+2，欧拉公式是拓扑学的第一个定理.哥尼斯堡的七座桥如今只剩下三座，一条新的跨河大桥已经建成，它完全跨过河心岛——内福夫岛，导游们仍向游客讲述哥尼斯堡桥的故事，有的导游甚至仍称“七桥问题”没有被解决，留给游客以遐想.虽然七座哥尼斯堡桥成了历史，但是“七桥问题”留下的“遗产”不像这些桥那样容易破坏，欧拉卓越的解答方式被永载史册.60。
哥尼斯堡七桥问题[欧拉图]
![哥尼斯堡七桥问题[欧拉图]](https://img.taocdn.com/s3/m/bc5c022cbdd126fff705cc1755270722192e59b0.png)
哥尼斯堡七桥问题[欧拉图]⼀、历史背景1736年，年仅29岁的数学家欧拉来到普鲁⼠的古城哥尼斯堡（哲学家康德的故乡，今俄罗斯加⾥宁格勒）。
普瑞格尔河正好从市中⼼流过，河中⼼有两座⼩岛，岛和两岸之间建筑有七座古桥。
欧拉发现当地居民有⼀项消遣活动，就是试图每座桥恰好⾛过⼀遍并回到原出发点，但从来没⼈成功过。
欧拉证明了这种⾛法是不可能的。
现在看来，欧拉的证明过程⾮常简单，但他对七桥问题的抽象和论证思想，开创了⼀个新的学科：图论(Graph)。
如今，⽆论是数学、物理、化学、天⽂、地理、⽣物等基础科学，还是信息、交通、经济乃⾄社会科学的众多问题，都可以应⽤图论⽅法予以解决。
图论还是计算机科学的数据结构和算法中最重要的框架（没有之⼀）。
⾸先能想到的证明⽅法是把⾛七座桥的⾛法都列出来，⼀个⼀个的试验，但七座桥的所有⾛法共⽤7\！=5040种，逐⼀试验将是很⼤的⼯作量。
欧拉作为数学家，当然没那样想。
欧拉把两座岛和河两岸抽象成顶点，每⼀座桥抽象成连接顶点的⼀条边，那么哥尼斯堡的七座桥就抽象成下⾯的图：Processing math: 100%假设每座桥都恰好⾛过⼀次，那么对于A、B、C、D四个顶点中的每⼀个顶点，需要从某条边进⼊，同时从另⼀条边离开。
进⼊和离开顶点的次数是相同的，即每个顶点有多少条进⼊的边，就有多少条出去的边，也就是说，每个顶点相连的边是成对出现的，即每个顶点的相连边的数量必须是偶数。
⽽上图中A、C、D四个顶点的相连边都是3，顶点B的相连边为5，都为奇数。
因此，这个图⽆法从⼀个顶点出发，遍历每条边各⼀次。
欧拉的证明与其说是数学证明，还不如看作是⼀个逻辑证明。
⼀个曾难住那么多⼈的问题，竟然是这样⼀个简单的出⼈意料的推理，还开创了⼀个新的学科。
欧拉⾮常巧妙的把⼀个实际问题抽象成⼀个合适的数学模型，这种研究⽅法就是我们应该掌握的数学模型⽅法。
这并不需要运⽤多么深奥的理论，但能想到这⼀点，却是解决问题的关键。
哥尼斯堡7桥问题
３
４
１
５ ２４ ６
４ ７ ５
４
６
７
２
２
命题：“任何一笔画问题，要么没有奇点，要么有两 个
奇点；”（奇点—通过点的曲线为奇数条； 偶点—通过点的曲线为偶数条；）
重要意义：拓扑学和现代图论的发端
陆 地
３
１
３
４
１
岛 ２ ５
陆 地
３
１
４ ３
４
１
２ ４ ５
７
６ ７ 半岛２
２
６
第二步简化：
①岛、半岛、陆地可以简化为４个点；７座桥可以简化为７条线；
②这样就可以抽象为数学问题：点与线的连接问题； ③“哥尼斯堡７桥问题”—“一笔画问题”；
答案：不可能（１７３５年结论，１７３６年发表论文）
３
１
３
１
１
２
３
哥尼斯堡７桥问题
• 时间：１８世纪 • 地点：东普鲁士的哥尼斯堡地区，有一条布勒哥尔河， 新河与旧河汇合而成。河上有７条大桥，中心有一个克 奈劳福岛，有一个哥尼斯堡大学；
陆 地 问题：学生提出走过这７座 桥，能否不重复，又不 漏 掉？即哥尼斯堡７桥问题.
３ 岛 ４ ７
１
３
１
２
陆 地
４
５
６
半岛２
欧拉的思路：①往返的问题—就是陆地与桥的连接问题；—简 化为数学问题； ②第一步简化，如图
哥尼斯堡七桥问题
现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。
拓扑学应用实例
前面所提的哥尼斯堡七桥问题、四色问题？ 左手套能否在空间掉转位置后变成右手套？ 一条车胎能否从里朝外的把他翻转过来？ 一只有把的茶杯与救生圈更相似，还是与花瓶更相
互相衔接的两两不同的一串“弧”称为“路”。路中弧的端 点称为路的“顶点”。如果起点与终点相同称为“闭路”。 如果闭路的顶点又不相同，称为“圈”。如下所示：
路
闭路
圈
网络与一笔画问题
于是我们可以给出一笔画的理论叙述。
“一笔画”问题相当于给定一个网络。问： “有没有可能把所有的弧排成一条路”。
如果一个网络的全部弧可以排成一条路，那 么我们称这个网络为一个一笔画。
纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后 把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。 这个纸圈应该怎样粘？ 如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一 个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求。 能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈？
莫比乌斯带的发现
对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科 学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，德国的数学 家莫比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验， 也毫无结果。
当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。这项有趣的消 遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只 能经过一次而多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相 当长的时间里，始终未能解决。
而利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的 走法一共有5040种，而这么多情况，要一一试验，这将会是 很大的工作量。
组合数学-七桥
组合数学
葛勇
哥尼斯堡七桥问题
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个 岛及岛与河起点。
哥尼斯堡七桥问题
• 欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的 方法。他将每一块陆地用一个点来代替，将每一 座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到 一个有四个“点”，七条“线”的“图”。问题 成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。 欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔 画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点 都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥 问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底 解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
第二章 第二节 哥尼斯堡七桥问题
第二节哥尼斯堡七桥问题教学目标1.了解哥尼斯堡七桥问题的由来2.理解欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的方法3.掌握一笔画问题的步骤教学重点掌握一笔画问题的技巧教学过程一、导入哥尼斯堡七桥问题的由来哥尼斯堡曾是东普鲁士的首府，现称加里宁格勒，在俄罗斯境内。
在第二次是世界大战时，的军警哲理入侵波兰。
后来，苏军也是从此地打进德国的。
所以哥尼斯堡是一座历史名城。
同时，在这里诞生和培养过许多伟大人物。
如著名唯心主义哲学家康德，终生没有离开此城。
在哥尼斯堡城中有一条布勒格尔河，横贯城中。
河有两条支流，一条称新河，一条叫旧河，在城中心汇合成一条主流，在合流的地方中间有一座河心岛，这是城中繁华的商业中心。
由于布勒格尔河的流过，使全城分成为四个地区：岛区、北区、东区和南区。
在布勒格尔河上，架了七座桥，其中五座将河岛与河岸连接起来，另有两座架在二支流上。
这一别致的桥群，吸引了众多的哥尼斯堡居民和游人来此河边散步或去岛上买东西。
早在18世纪，就有人提出这样的问题：“能否在一次散步中每座桥都走一次，而且只能走一次，最后又回到原来的出发点？”这个问题吸引了不少人去思考实验。
事实上，要走遍这七座桥的所有走法共有7！=5040种，要想一一验过，谈何容易。
是否在这5040中走法中存在着一条走遍七座桥而又不重复的路线呢？谁也回答不了。
因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。
二、新授哥尼斯堡七桥问题的解决1735年，有几名大学生写信给当时正在俄国彼得堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解决。
欧拉并未轻视生活小题，他似乎看到其中隐藏着某种新的数学方法。
经过一年的研究，29岁的欧拉于1736年向彼得堡科学院递交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文，圆满地解决了这一问题，同时开创了数学的一个新分支——图论。
问题的抽象——数学化欧拉是如何将这生活的趣味问题转化为数学问题的呢？又是如何证明要想一次走过这七座桥是不可能的呢？欧拉的方法十分巧妙：他用点A、B、C、D表示哥尼斯堡城的四个地区B（岛区）、C（北区）、A（东区）、D（南区）；七座桥看成这四个点的连线，用f，d，a，c，b，e，g七个数字表示,如图3-1。
高中数学知识点精讲精析 哥尼斯堡七桥问题
2 哥尼斯堡七桥问题十八世纪东普鲁士哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河，它有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。
由于岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步。
渐渐地，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
图1这个问题看起来似乎很简单，然而许多人作过尝试始终没有能找到答案。
因此，一群大学生就写信给当时年仅20岁的大数学家欧拉。
欧拉从千百人次的失败，以深邃的洞察力猜想，也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥，并很快证明了这样的猜想是正确的。
欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。
图2 图3于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。
欧拉注意到，如果一个图能一笔画成，那么一定有一个起点开始画，也有一个终点。
图上其它的点是“过路点”——画的时候要经过它。
现在看“过路点”具有什么性质。
它应该是“有进有出”的点，有一条边进这点，那么就要有一条边出这点，不可能是有进无出，如果有进无出，它就是终点，也不可能有出无进，如果有出无进，它就是起点。
因此，在“过路点”进出的边总数应该是偶数，即“过路点”是偶点。
如果起点和终点是同一点，那么它也是属于“有进有出”的点，因此必须是偶点，这样图上全体点都是偶点。
如果起点和终点不是同一点，那么它们必须是奇点，因此这个图最多只能有二个奇点。
现在对照七桥问题的图，所有的顶点都是奇点，共有四个，所以这个图肯定不能一笔画成。
欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。
事实上，中国民间很早就流传着这种一笔画的游戏，从长期实践的经验，人们知道如果图的点全部是偶点，可以任意选择一个点做起点，一笔画成。
哥尼斯堡七桥问题的结论
哥尼斯堡七桥问题的结论哥尼斯堡七桥问题，这个名字听起来是不是有点像某个神秘的谜题，或者像是某种古老的传说？但其实它可是数学史上一个相当有趣，也不算特别复杂的问题。
让我们从头说起吧！话说在18世纪，哥尼斯堡（今天是俄罗斯的加尔东，那个地方在一条大河上有七座桥，大家都知道，桥嘛，就是用来跨河的嘛）。
可是问题来了，这七座桥摆得那么乱，怎么才能走过去，一桥不重复，甚至连一次都不漏掉？这可是个难题啊！走过去，过每座桥一次就得了，但不能走重复的，这不就像在玩某种跨河的游戏吗？这问题一度让很多聪明人都摸不着头脑。
特别是当时那位大数学家欧拉，他看到这个问题后，忍不住拿起了笔和纸，开始思考。
你想啊，欧拉这个人，脑袋瓜子灵光，简直能把天上的星星都给数清楚。
于是他就开始琢磨怎么才能解决这个问题。
他不拘一格，想得也很简单。
他说，这问题其实跟图有点像。
你知道，图嘛就是一堆点和连线，而那些桥啊，其实就能看作是图中的“边”，而那些岛屿什么的，就是“点”。
从这个角度来看，欧拉瞬间豁然开朗！他有一个聪明的想法——要走遍这些桥，得看看图里的点到底有多少条边。
说白了，就是要检查一下每个“岛”上面的桥数是奇数还是偶数。
你说欧拉这个人聪不聪明？他发现了一个至关重要的规律——如果一个图中有多个点的连接数是奇数，那么从一个点出发走完所有边的概率基本为零，也就是说，根本就不可能走完所有桥而不重复。
而哥尼斯堡的七座桥，连接数正好是奇数。
想啊，哥尼斯堡的岛屿就像是这些点，而每座桥就像是连接点的边。
想要从一个点出发，走遍所有的边，根本做不到，除非你能拥有神仙的运气。
这个结论真的是一语破天啊！欧拉说了：如果图中有超过两个点的连接数是奇数，那就绝对没有办法走遍所有的桥了！也就是，这个问题没有解。
哦，也有个例外，那就是图中最多只有两个点有奇数条边，或者每个点都只有偶数条边。
那样的话，也许就能有个完美的解法。
但是，哥尼斯堡的问题就是那么不凑巧，七桥问题就是一个典型的“不可能完成的任务”。
哥尼斯堡七桥问题与数学抽象
“抽象”是数学的武器，数学的优势 。
我们应该喜欢“抽象”，学会“抽 象”的手段。
为了让大家理解“抽象”的优势， 了解“抽象”的思想、原则、方法和作用
实践“抽象”的过程， 学会“抽象”的手段，喜欢“抽象”。
案例：“哥尼斯堡七桥问题”
一、哥尼斯堡七桥问题
C
A
B
显然要在奇结点间加重复边
如何使所加的边长度最少
归结为求奇结点间的最小
案例
一个邮递员投递信件的街道如图，图上的书 表示各段街道的千米数，他从邮局出发，走 遍各街道，最后回到邮局，走怎样的路线最 短？
3
12
4
21
哈密顿环球旅行问题: 十二面体的20个顶点代表世界上20个城市，
能否从某个城市出发在十二面体上依次经过每个 城市恰好一次最后回到出发点？
奇结点少一些好， 少到几个才能“一笔画”呢？
结论
一个点线图是“一笔画”的充分必要条件 它是连通的并且奇结点的个数为0或2。
——（一笔画原理）。 哥尼斯堡七桥问题:“不重复地走过七座桥 ”是不可能的。
欧拉在圣彼得堡科学院发表了有关的论 文，开创了“图论”的先河，也开创了“拓 扑学”的先河
中国邮递员问题
有人把拓扑学说成是“橡皮几何学”，因为橡皮膜 上的图形，随着橡皮膜的拉动，其长度、曲直、面 积等等都将发生变化。此时谈论“有多长”、“有 多大”之类的问题，是毫无意义的，人们感兴趣的 只是图形的位置关系。
不过，在橡皮几何里也有一些图形的性质保持不变 。例如：点变化后仍然是点，线变化后依旧是线， 相交的图形绝不因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交 。
数学方法（手段）—— 数学抽象
欧拉的第一步抽象
哥尼斯堡七桥问题答案
哥尼斯堡七桥问题答案问题简介哥尼斯堡七桥问题是数学史上的一个著名问题，它由瑞士数学家欧拉在18世纪提出。
问题描述如下：哥尼斯堡的一座岛屿被普雷格尔河和纳勒曼河所环绕，而岛上有七座桥连接了岛与河岸的各个区域。
欧拉的问题是能否找到一条路线，使得每座桥都只经过一次，且最终回到起点。
欧拉图的引入为了解决这一问题，欧拉引入了欧拉图的概念。
欧拉图是指一个图中存在一条路径，经过图中每条边一次且仅一次，且最终回到起点。
欧拉图的概念为解决哥尼斯堡七桥问题提供了思路。
哥尼斯堡七桥问题的解答欧拉图的性质在欧拉引入的欧拉图概念中，他提出了以下性质：1.如果一个图是欧拉图，那么它的度数为奇数的顶点个数一定是0个或2个。
2.如果一个图是欧拉图，那么它的每个顶点都是偶数度数。
欧拉图的性质为解决哥尼斯堡七桥问题提供了重要的线索。
哥尼斯堡七桥问题的解答根据欧拉图的性质，我们可以进行如下步骤来解决哥尼斯堡七桥问题：1.对于给定的一组桥和岛屿，首先统计每个岛屿的度数（与之相连的桥的数量）。
如果某个岛屿的度数为奇数，则将其记为M。
2.如果M为0，则存在一条路径，经过所有的桥且每座桥只经过一次，最终可以回到起点，问题得到解答。
3.如果M为2，则存在两条路径，经过所有的桥且每座桥只经过一次，最终可以从一条路径回到另一条路径，问题得到解答。
4.如果M大于2，则不存在满足条件的路径，问题无解。
示例以下是一个具体的示例来解答哥尼斯堡七桥问题：给定的桥和岛屿如下图所示：A---B---C/ \\ / \\ / \\D---E---F---G根据图中的连接关系，我们可以统计每个岛屿的度数： - A的度数为2 - B的度数为3 - C的度数为2 - D的度数为3 - E的度数为4 - F的度数为4 - G的度数为2从统计结果可知，B、D、E、F的度数为奇数，即M=4。
根据步骤3的解答方法，我们可以得出结论：不存在满足条件的路径，问题无解。
结论哥尼斯堡七桥问题既是数学史上的著名问题，也是欧拉图理论的起点之一。
哥尼斯堡七桥问题
一、哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。
城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
图1这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。
欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。
欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。
图2 图3于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。
欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。
图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。
欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子.二、四色猜想近代三大数学难题之一。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。
”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。
哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
简述欧拉的哥尼斯城堡七桥问题及其解答。
简述欧拉的哥尼斯城堡七桥问题及其解答。
（原创实用版）目录1.欧拉的哥尼斯城堡七桥问题2.欧拉的解答方法3.欧拉回路的概念及应用4.欧拉图的定义及性质5.结论正文欧拉的哥尼斯城堡七桥问题是指在 18 世纪的哥尼斯堡城（现属于俄罗斯加里宁格勒），有一条河流穿城而过，形成了两个岛屿。
城市中有七座桥，每个岛屿各有三座桥与其他岛屿相连。
问题在于，如何才能一次走遍所有桥，每座桥只走一次，并最终回到起点。
欧拉在研究这个问题时，提出了一种全新的思维方式。
他将问题抽象为一个图论问题，其中桥梁视为图的边，岛屿视为图的节点。
欧拉通过研究图的性质，发现了一个重要的结论：如果一个图是连通的，且所有顶点的度数都是偶数（除了可能有两个顶点的度数为奇数），那么这个图就可以有一条欧拉回路。
欧拉回路的概念在图论中具有重要意义。
欧拉回路是指在一个图中，通过每条边恰好一次且回到起点的一条回路。
欧拉回路的存在性与图的连通性、顶点的度数等性质密切相关。
根据欧拉的结论，我们可以判断哥尼斯堡城的七桥问题无解。
因为在这个图中，有一个顶点的度数为奇数（即终点），不满足欧拉回路的条件。
欧拉的解答为后来的图论研究奠定了基础，并启发了人们研究更多关于图论的问题。
欧拉图是另一种与欧拉回路相关的概念。
欧拉图是指一个无向图，其中每条边都连接着两个顶点的度数之和为偶数。
欧拉图具有一些有趣的性质，如所有顶点的度数都是偶数，图中不存在奇数长度的环等。
欧拉图的概念对图论的研究和发展起到了重要作用。
总之，欧拉的哥尼斯城堡七桥问题是图论领域的一个经典问题，欧拉通过抽象思维，将问题转化为图论问题，并由此发现了欧拉回路和欧拉图等重要概念。
简述欧拉的哥尼斯城堡七桥问题及其解答。
简述欧拉的哥尼斯城堡七桥问题及其解答。
欧拉的哥尼斯城堡七桥问题是数学史上具有重要意义的问题之一，它以其简单的描述和深刻的解决方法而闻名于世。
在这篇文章中，我将从探讨欧拉的哥尼斯城堡七桥问题的背景和含义开始，逐步深入讨论其解答过程和所带来的启示，从而帮助您更全面、深刻和灵活地理解这一经典问题。
1. 哥尼斯城堡七桥问题的背景和含义哥尼斯城堡七桥问题最早出现在康托尔夫的信末提及的题，它涉及到了一座连接着市区两岸的岛屿与河岸的七座桥，问题是：是否存在一条路径，可以恰好经过每座桥一次且只一次？这个问题看似简单，实质上却涉及了数学中的图论问题，是一道离散数学的经典问题。
通过解答这个问题，我们不仅能够深入理解图论的基本概念，还能够从中感受到数学家们的奇妙思维和深刻见解。
2. 哥尼斯城堡七桥问题的解答过程让我们来看看欧拉是如何解答这一问题的。
欧拉通过巧妙的建模与抽象，将问题转化为了图论中的一个基本问题——欧拉回路的存在性问题。
他发现，只有当每个顶点的度数都是偶数时，才可能存在欧拉回路。
而对于哥尼斯城堡的七座桥来说，其中有两座桥的度数是奇数，因此不可能存在符合要求的路径。
这一广义化的解答方法，为后来图论领域的发展奠定了基础，也引发了人们对数学方法和思维方式的深刻思考。
3. 哥尼斯城堡七桥问题的启示从欧拉的解答过程中，我们不仅能够感受到他对数学方法的精妙应用，还能从中领悟到解决问题的普适性原则。
欧拉的解决方法不依赖于特定的桥的数量和位置，而是基于对整个图结构的抽象分析，这种抽象的思维方式为解决其他复杂问题提供了有益的启示。
欧拉的解答方法还向我们展示了数学家们的严谨和求真精神，这种精神对于我们解决其他领域的问题同样具有深远的影响。
4. 个人观点和理解对于欧拉的哥尼斯城堡七桥问题，我深感敬佩。
欧拉通过对具体问题的抽象分析，不仅解决了问题本身，还奠定了图论领域的基础，为后人提供了解决其他复杂问题的方法和思路。
在我看来，欧拉的解答方法不仅展现了数学的美感，更启示我们在解决其他问题时应该注重抽象思维和普适性原则，追求真理的精神。
数学史上著名的哥尼斯堡七桥问题
数学史上著名的哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题是数学史上一道著名的问题，引起了许多数学家的关注和研究。
这个问题的发现者是瑞士数学家欧拉，他在1736年提出了这个问题并给出了解决方法，从而开创了图论的研究领域。
哥尼斯堡七桥问题的描述是：哥尼斯堡城市由一座岛屿和两岸的陆地组成，岛屿上有七座桥连接着不同的地方，问题是是否能够从一个地方出发，经过每座桥仅一次，返回出发地点。
这个问题看似简单，但却涉及到了许多复杂的数学概念和原理。
为了解决这个问题，欧拉引入了图论的概念。
他将岛屿、桥梁和地点抽象成为图的节点和边，通过分析节点和边的关系，他成功地解决了这个问题。
欧拉的解决方法是基于一个重要的原则：如果一个图中有多于两个奇数度的节点，那么无法找到一条路径经过每条边仅一次。
在哥尼斯堡的情况下，岛屿上的每个地点都是奇数度的，因此无法找到这样一条路径。
这一解决方法成为了图论的基础，也为后来的数学研究提供了重要的思路和方法。
哥尼斯堡七桥问题的解决不仅是一个具体问题的解决，更是对图论的奠基。
图论是一门研究图及其性质的学科，它广泛应用于计算机科学、网络科学、运筹学等领域。
图论的发展也推动了数学的发展，为许多实际问题的解决提供了重要的工具和方法。
除了在数学领域有重要的应用，哥尼斯堡七桥问题也在其他领域产生了广泛的影响。
例如，在城市规划中，人们借鉴了哥尼斯堡七桥问题的解决方法，避免了在设计桥梁和交通规划时出现无解的情况。
此外，在计算机科学中，图论的应用也得到了广泛的关注，例如在网络路由、图像处理和社交网络分析等方面。
总的来说，哥尼斯堡七桥问题是一个具有重要历史意义的问题，在数学史和学科发展史上都占有重要的地位。
它的解决不仅推动了图论的发展，也为其他领域的问题解决提供了重要的思路和方法。
哥尼斯堡七桥问题的解决不仅是一项数学成就，更是对人类思维能力的一种挑战和突破。
通过对这个问题的研究，我们能够更好地理解数学的力量和应用，同时也能够培养我们的逻辑思维和问题解决能力。
哥尼斯堡七桥问题
七桥问题的起源
18世纪初，哥尼斯堡的居民开 始对城市中的七座桥梁产生了 浓厚的兴趣。
当时，人们开始思考是否能够 遍历这七座桥梁，每座桥只过 一次，最后回到起始点。
这个问题引起了广泛的关注和 讨论，成为了著名的哥尼斯堡 七桥问题。
02
问题描述
七座桥与哥尼斯堡城市的关系
哥尼斯堡是位于普鲁士王国的一个城市，拥有七座桥梁连接 城市的各个部分。这些桥梁是该城市的重要交通枢纽，也是 文化和历史遗产。
05
结论
哥尼斯堡七桥问题的历史地位和意义
1 2
开启图论研究先河
哥尼斯堡七桥问题被视为图论和欧拉路径研究的 起点，为后续图论学科的发展奠定了基础。
推动数学发展
该问题的解决推动了数学领域中拓扑学和几何学 的发展，对数学理论产生了深远的影响。
3
Hale Waihona Puke 激发探索精神哥尼斯堡七桥问题激发了人们对数学和图论的兴 趣，促使更多人投身于数学研究，推动数学科学 的进步。
物等，以推动数学和其他学科的共同发展。
THANKS
感谢观看
03
欧拉的研究
欧拉对七桥问题的初步探索
欧拉对七桥问题的初步探索始于对哥尼斯堡城市结构的观察。他注意到城市中的七座桥，并 思考是否可以从哥尼斯堡的一个地方开始，遍历所有的桥，每座桥只过一次，最后回到开始 的地方。
欧拉注意到，尽管哥尼斯堡的居民可能认为这是一个有趣的问题，但并没有实际的数学模型 或理论来支持或解决这个问题。
哥尼斯堡七桥问
• 引言 • 问题描述 • 欧拉的研究 • 七桥问题的扩展和影响 • 结论
01
引言
哥尼斯堡背景介绍
01
哥尼斯堡是普鲁士王国的城市， 位于普鲁士东部的奥得河畔，是 重要的交通枢纽和商业中心。
哥尼斯堡七桥问题
一、哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。
城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
图1这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。
欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。
欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。
图2 图3于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。
欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。
图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。
欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子.二、四色猜想近代三大数学难题之一。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。
”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。
哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
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欧拉
问题抽象
岸，岛 点
桥线
实际问题
一笔画问题
“一笔画”是一个 有趣的数学问题，那么 什么样的图形可以一笔 画成呢？有没有什么规 律可循呢？
问题内容
“一笔画”是指笔不离开纸，而且每条 线都只画一次不准重复而画成的图形。
有奇数条边相连的点叫奇点，如：
有偶数条边相连的点叫偶点，如： Nhomakorabea欧拉一笔画的三条结论
当一个图形只有偶点时可以一笔画； 当图形只有2个奇点的时候，也可以一笔画，但
是只能以这两个奇点作为起点和终点； 当图形的奇点数大于2个的时候就不能一笔画了。
读读欧拉，他是我们大家的老师。 ——拉普拉斯
1736年，著名数学家欧拉证明了这个问题的不可能性。
岸，岛 点
桥线
点号 A B C D
边数 3 5 3 3
哥尼斯堡七桥（一笔画）问题
7（2）班：张宸志
故事发生在18世纪的哥尼斯堡城，流经那里的一条 河中有两个小岛，还有七座桥把这两个小岛与河岸联 系起来。
那里风景优美，游人众多，在这美丽的地方， 人们议论着一个有趣的问题：一个游人怎样才能 不重复的一次性走完这七座桥呢？
1736年，29岁的著名数学 家欧拉向圣彼得堡科学院递交 了《哥尼斯堡的七座桥》的论 文，证明了这个问题的不可能 性。在解答问题的同时，开创 了数学的一个分支—图论和几 何拓扑，也由此展开了数学史 上的新历程。
奇点 奇点 奇点 奇点
所以，根据定理
三可知：此图形无法 一笔画。