2020北京市新高考二轮专题复习(二)：三角函数与解三角形

2020新高考二轮专题复习(二)：三角函数与解三角形•应知已会——熟练 •会而不对——巩固 •对而不全——强化 •全而不优——指导三角函数二轮复习的目标和方向（1）注重任意角三角函数的定义，深化公式的理解记忆 （2）二倍角公式和两角和差公式是化简的核心工具 （3）三角函数的图象与性质是核心（4）解三角形问题要充分利用正、余弦定理以及两角和与差的三角公式 典型例题：一.三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换例 1.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=( )A ．45-B ．35-C ．35D ．45变式 1.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，则||(a b -= )A ．15B CD ．1变式 2.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --．(1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．例2.若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是( )（A ）πsin()2α+ （B ）πcos()2α+（C ）sin(π)α+ （D ）cos(π)α+变式1.若tan 0α>，则( )A. sin 20α>B. cos 0α>C. sin 0α>D. cos20α> 例3.已知α∈(0，)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=( )A ．B ．C ．D ．变式1．若 ，则( ) A ．B ．C ．1D ． 变式2．若，则tan2α=（ ）A ．−B ．C ．−D ． 变式3．已知，则（ ） A ．B ．C ．D ．变式4．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ） A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=变式5．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+= ． 变式6. 已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=_________ 二. 三角函数的图象与性质例 1.动点(),A x y 在圆422=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周,已知时间0t =时,点A 的坐标是)3,1(,则动点A 的纵坐标y 关于t （秒）的函数的解析式为 .例2.若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数，则a 的最大值是( )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π2π155353tan 4α=2cos 2sin 2αα+=642548251625sin cos 1sin cos 2αααα+=-34344343210cos 2sin ,=+∈αααR =α2tan 344343-34-变式 1. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．]45,21[B ．]43,21[C ．]21,0(D ．]2,0(变式2.函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）．A ．13(,)44k k ππ-+，k Z ∈ B ．13(2,2)44k k ππ-+，k Z ∈ C ．13(,)44k k -+，k Z ∈ D ．13(2,2)44k k -+，k Z ∈ 变式3.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈ 恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是_________________例3.函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为 ______ ． 变式1.若x ∈(0,)则2tanx+tan(-x)的最小值为 . 变式2.若，则函数的最大值为 .变式3. 函数xxy cos 3sin 1--=的值域___________.变式4.当时，函数的最小值为__________.例 4.函数图像可由函数图像至少向右平移____个单位长度得到．变式 1.函数cos(2)()yx ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平个单位后，与函数2π2π42x ππ<<3tan 2tan y x x =20π<<x x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=sin y x x =sin y x x =的图象重合，则ϕ=_________。

变式2.将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为（ ） A ．B ．C ．0D ． 例5. 在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④ D ．①③变式1.（1）函数()cos(3)6f x x π=+在[0，]π的零点个数为_________．（2）函数()2sin sin 2f x x x =-在[0，2]π的零点个数为________.变式2.设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论错误的是( )A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在(,)2ππ单调递减变式3.已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=( ) A ．π4 B ．π3 C ．π2 D ．3π4例6.已知函数2()cos sin f x x x =+，那么下列命题中假命题．．．是（ ） A.()f x 既不是奇函数也不是偶函数 B.()f x 在]0,[π-上恰有一个零点C.()f x 是周期函数D.()f x 在(,2π5π)6上是增函数变式 1.已知函数sin ()xf x x=（1）判断下列三个命题的真假： ①()f x 是偶函数;①()1f x < ;()sin 2y x ϕ=+x 8πϕ34π4π4π-①当32x π= 时，()f x 取得极小值. 其中真命题有 ;（写出所有真命题的序号）（2）满足()()666n n f f πππ<+的正整数n 的最小值为 . 变式2.设函数=sin （）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：③ 在（）有且仅有3个极大值点 ②在（）有且仅有2个极小值点 ③在（）单调递增 ④的取值范围是[)其中所有正确结论的编号是( ) A ． ①④ B ． ②③ C ． ①②③ D ． ①③④变式 3.设()f x =sin 2cos2a x b x +，其中,a b ∈R ，0ab ≠，若()()6f x f π≤对一切x ∈R 恒成立，则①11()012f π= ②7()10f π＜()5f π③()f x 既不是奇函数也不是偶函数 ④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦⑤存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图像不相交 以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号)．变式4.已知函数（ a 、b 为常数，，）在处取得最小值，则函数是（ ） ()f x 5x ωπ+ω()f x []0,2π()f x 0,2π()f x 0,2π()f x 0,10πω1229510，x b x a x f cos sin )(-=0≠a R x ∈4π=x )43(x f y -=πA ．偶函数且它的图象关于点对称B ．偶函数且它的图象关于点对称C ．奇函数且它的图象关于点对称D ．奇函数且它的图象关于点对称 例7.设常数a R ∈，函数2()sin 22cos f x a x x =+．(1)若()f x 为偶函数，求a 的值；(2)若()14f π=，求方程()1f x =-ππ-［，］上的解． 例8.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入如下表：(Ⅰ)请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式；(①)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 例9.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+ (,x R ∈0ω>,0)2πϕ<<的部分图像如图所示．（Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求函数的单调递增区间．)0,(π)0,23(π)0,23(π)0,(π()f x ()()()1212g x f x f x ππ=--+三、解三角形例1.设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若, 则△ABC的形状为( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定变式1.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是( ) A ． B ． C ．2A B = D ．2B A = 变式 2.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若120C ∠=o，c =，则( )A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定例2.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =( ) A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 变式1.已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，223cos cos 20A A +=，a =7，6c =，则b =( )A .10B .9C .8D .5变式 2.的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.变式3.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2AB AD AB ==，2BC BD =，则sin C 的值为( )cos cos sin b C c B a A +=a b c 2a b =2b a =ABC △,,A B C ,,a b c π6,2,3b ac B ===ABC △ABCD例3.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75o，30o，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于( )A．1)m B．1)m C．1)m D．1)m 变式1.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30o 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75o 的方向上，仰角为30o ，则此山的高度CD = m ．变式2.如图，A ，B是海面上位于东西方向相距(53+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B点相距C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？C例4.在ABC ∆中，π4B =，则sin sin A C ⋅的最大值是（ ） AB ）34CD变式1.在ABC ∆中，角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ，若sin a c A =，则a bc+的最大值为_________变式2.设，对于函数 ,下列结论正确的是（ ）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值变式 3. 已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .变式4. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是 ________ ．①若2ab c >；则3C π<②若2a b c +>；则3C π<③若333a b c +=；则2C π<④若()2a b c ab +<；则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<；则3C π>变式5.在ABC ∆ 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知cos (cos )cos 0C A A B +=.（1）求角B 的大小;（2）若1a c += ,求b 的取值范围例 5.(2019全国Ⅰ)的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设．（1）求A ；（2，求sin C ．0a >ABC △22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-2b c +=()sin (0)sin x af x x xπ+=<<变式1. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．变式2. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ；(2)若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC ∆的周长．变式3. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin 0A A +=，a =2b =．(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求ABD ∆的面积．sin sin 2A Ca b A +=变式4. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2B A C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ．。