三角函数与解三角形专题复习
高考数学三角函数与解三角形解答题专题
高考数学三角函数与解三角形解答题专题一、归类解析题型一：三角函数的图象和性质【解题指导】 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体，结合y ＝sin t 的图象求解．【例】设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g )6( 的值．【变式训练】 已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋532(其中x ∈R )，求： (1)函数f (x )的最小正周期；(2)函数f (x )的单调区间；(3)函数f (x )图象的对称轴和对称中心． 题型二：解三角形【解题指导】 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍．【例】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求角A 和边长c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．【变式训练】在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a . (1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．题型三：三角函数和解三角形的综合应用【解题指导】 三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响．【例】如图，某机械厂欲从AB ＝2米，AD ＝2 2 米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF 加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E ，F 分别在边BC ，AD 上，且EB ＝EF ，AF <BE .设∠BEF ＝θ，四边形ABEF 的面积为f (θ)(单位：平方米)．(1)求f (θ)关于θ的函数关系式，求出定义域；(2)当BE ，AF 的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF 的面积最小，并求出最小值．【变式训练】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin B －b cos C ＝c cos B .(1)判断△ABC 的形状；(2)若f (x )＝12cos 2x －23cos x ＋12，求f (A )的取值范围． 二、专题突破训练1．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<>>2,0,0πϕωA 的部分图象如图． (1)求函数f (x )的解析式．(2)求函数f (x )在区间]125,0[π上的最值，并求出相应的x 值．2．设函数f (x )＝2tan x 4·cos 2x 4－2cos 2)124(π+x ＋1. (1)求f (x )的定义域及最小正周期．(2)求f (x )在[－π，0]上的最值．3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫ ⎝⎛<>>2,0,0πϕωA 的图象过点P )012(，π，图象上与P 点最近的一个最高点坐标为)63(，π. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若f (x )<3，求x 的取值范围．4．已知点P (3，1)，Q (cos x ，sin x )，O 为坐标原点，函数f (x )＝OP →·QP →.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若A 为△ABC 的内角，f (A )＝4，BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．5.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝17，AD ＝1292，求△ABC 的面积．6．已知函数f (x )＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋t (ω>0)，若f (x )的图象上相邻两条对称轴的距离为π4，图象过点(0,0)． (1)求f (x )的表达式和f (x )的单调增区间；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若函数F (x )＝g (x )＋k 在区间]2,0[ 上有且只有一个零点，求实数k 的取值范围．。
《三角函数与解三角形》专题训练
一、单选题1.在△ABC中，B=π4，sin A=，AC=4，则BC=（）.A．5B．6C．7D．82.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1+2cos C)=2sin A⋅cos C+cos A sin C，则下列等式成立的是（）.A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A3.如果把锐三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为（）.A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.由增加的长度决定4.在ΔABC中，a2+b2+c2=23ab sin C，则ΔABC 的形状是（）.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形5.泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为30°，则“泉标”的高度为（）.A.50mB.100mC.120mD.150m6.在ΔABC中，“z=12x-y”是“ΔABC为钝角三角形”的（）.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知锐角A是ΔABC的一个内角，a,b,c是三角形中各角的对应边，若sin2A-cos2A=12，则下列各式正确的是（）.A.b+c=2aB.b+c<2aC.b+c≤2aD.b+c≥2a8.1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）.后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题.我们把地球表面抽象为平面α，悬杆抽象为线段AB（或直线l上两点A，B），则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面α，直线l有两点A，B位于平面α的同侧，求平面上一点C，使得∠ACB最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A，B两点的坐标分别为()0,a，()0,b()0<b<a.设点C的坐标为()c,0，当∠ACB最大时，c=（）.图1图2A.2abB.abC.2abD.ab二、多选题9.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）.A.b=10，A=45°，C=70°B.b=45，c=48，B=60°C.a=14，b=16，A=45°D.a=7，b=5，A=80°10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（）.A.a2=b2+c2-2bc cos AB.a sin B=b sin AC.a=b cos C+c cos BD.a cos B+b cos A=sin C11.下列命题中，正确的是（）.A.在△ABC中，若A>B，则sin A>sin BB.在锐角△ABC中，不等式sin A>sin B恒成立C.在△ABC中，若a cos A=b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形D.在△ABC中，若B=60°，b2=ac，则△ABC必是等边三角形12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，59b，c，若1tan A，1tan B，1tan C依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（）.A.a，b，c依次成等差数列B.a，b，c依次成等差数列C.a2，b2，c2依次成等差数列D.a3，b3，c3依次成等差数列三、填空题13.如图3，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值.图314.在ΔABC中，若C=π4，且1sin2A=1+tan A tan B，则BCAC的值为______.15．如图4，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m.图416.已知ΔABC满足A=π3，( AB+ AC)∙ BC=0，点M在ΔABC外，且|MB|=2|MC|=2，则MA的取值范围是________．四、解答题17.已知在ΔABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c且满足b=a cos C+c sin A．（1）求A的大小；（2）若cos B=25,BC=5, BD=17 BA，求CD的长．18.在①cos A=35，cos C=，②c sin C=sin A+b sin B，B=60°，③c=2，cos A=18三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，______，求△ABC的面积S.19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b sin A=a cosæèöøB-π6.（1）求角B的大小；（2）若a=2，c=3，求cos()A-B的值.20.在ΔABC中，若||||||AC→=23，且 AB∙cos C+ BC∙cos A= AC∙sin B.（1）求角B的大小；（2）求ΔABC的面积S.21.在ΔABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且满足2a-b c=cos B cos C．（1）求角C的大小；（2）设函数f(x)=2sin x cos x cos C+2sin2x sin C求函数f(x)在区间[0,π2]上的值域.22.如图5，A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.（1）证明：tan A2=1-cos Asin A;（2）若A+C=180∘,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan A2+tan B2+tan C2+tan D2的值.A B图560参考答案与解析一、单选题1-8AACDA DCD 二、多选题9.BC ；10.ABC ；11.ABD ；12.ABD.三、填空题13.；14.；15.1006;16.[1,3]．四、解答题17.【解析】（1）在三角形ABC 中，由正弦定理得sin B =sin A cos C +sin C sin A ，因为sin B =sin []π-()A +C =sin ()A +C ，所以sin ()A +C =sin A cos C +sin C sin A ，即sin A cos C +sin C cos A =sin A cos C +sin C sin A ，整理得sin C cos A =sin C sin A ，由sin C ≠0，可得cos A =sinA ，所以A =π4.（2）在三角形ABC 中，sin B =1-cos 2B =45，（3）由AC sin B=BCsin A 可得AC 45=，解得AC =42，又因为cos C =-cos(A +B)=-cos A cos B +sin A sin B =，所以AB 2=AC 2+BC 2-2AC ∙BC ∙=32+25-2×42×5×=49，所以AB =7，由BD =17BA 可得BD =1，于是CD 2=BD 2+BC 2-2BD ∙cos B=1+25-2×1×520，所以CD =25.18.【解析】若选①.∵cos A =35，cos C，∴sin A=45，sin C，∴sin B =sin A +C =sin A cos C +cos A sin C ，=4535×，由正弦定理得b =a sinB sin A=3×2545=，∴S =12ab sin C =12×3×=9940.若选②.∵c sin C =sin A +b sin B ，∴由正弦定理得c 2=a +b 2.∵a =3，∴b 2=c 2-3.又∵B =60∘，∴b 2=c 2+9-2×3×c ×12=c 2-3，∴c =4，∴S =12ac sin B =33.若选③.∵c =2，cos A =18，由余弦定理得18=b 2+22-322b ×2，即b 2-b 2-5=0，解得b =52或b =-2（舍去）.∴sin A =1-cos 2A =，∴△ABC 的面积S =12bc sin A =12×52×2×=.19.【解析】（1）因为b sin A =a cos æèöøB -π6，根据正弦定理a sin A =bsin B，得sin B sin A =sin A cos æèöøB -π6，因为A ∈()0,π，所以sin A >0，所以sin B =cos æèöøB -π6，即sin B =cos B cosπ6+sin B sin π6，整理得sin B =3cos B ，所以tan B =3，又B ∈()0,π，故B =π3.（2）在△ABC 中，a =2，c =3，B =π3，61由余弦定理得b2=a2+c2-2ac∙cos B，得b2=22+32-2×3×2×cosπ3，故b=7.由正弦定理asin A=b sin B得2sin A=sinπ3，解得sin A=.因为a<b，故A<B，A∈æèöø0,π3，所以cos A=1-sin2A=.所以()A-B B×cosπ3sinπ3.20.【解析】（1）由题意可知：在ΔABC中，|| AC=23，AB∙cos C+BC∙cos A=AC∙sin B，因为AC=AB+BC，所以AB∙cos C+BC∙cos A=( AB+ BC)∙sin B，即(cos C-sin B)AB+(cos A-sin B)BC=0 ，而向量AB，BC是两个不共线向量，所以{cos C=sin B，cos A=sin B，所以cos C=cos A，因为A,C∈(0,π)，所以A=C，在等腰ΔABC中，A+B+C=π，所以2A+B=π，A=π2-B2；所以cos A=cos(π2-B2)=sin B2=sin B，所以sinB2=2sin B2cos B2，所以cos B2=12，结合0<B2<π2可得B2=π3，B=2π3.（2）由（1）知A=C=π6，由正弦定理得：|| ACsin2π3=|| BCsinπ6，所以|| BC=2，SΔABC=12|| AC| BC sinπ6=12×23×2×12=3.21.【解析】（1）在ΔABC中，∵2a-b c=cos B cos C，∴(2a-b)cos C=c cos B，∴2sin A cos C=sin B cos C+cos B sin C，∴2sin A cos C=sin(B+C)=sin A．∵∠A是ΔABC的内角，∴sin A≠0，∴2cos C=1，∴∠C=π3．(2)由（1）可知∠C=π3，∴f(x)=12sin2x-2sin2x)=12sin2x2x=sin(2x-π3)．22.【解析】（1）tan A2=sin A2cos A2=2sin2A22sin A2cos A2=1-cos Asin A.（2）由A+C=180°，得C=180°-A,D=180°-B.由（1），有tanA2+tan B2+tan C2+tan D2=1-cos Asin A+1-cos Bsin B+1-cos(180°-A)sin(180°-A)+1-cos(180°-B)sin(180°-B)=2sin A+2sin B连接BD，在ΔABD中，有BD2=AB2+AD2-2AB∙AD cos A，在ΔBCD中，有BD2=BC2+CD2-2BC∙CD cos C，所以AB2+AD2-2AB∙AD cos A=BC2+CD2+2BC∙CD cos A，则cos A=AB2+AD2-BC2-CD22(AB∙AD+BC∙CD)=62+52-32-422(6×5+3×4)=37，于是sin A=1-cos2A=连接AC，同理可得cos B=AB2+BC2-AD2-CD22(AB∙BC+AD∙CD)=62+32-52-422(6×3+5×4)=119，于是sin B=1-cos2B==所以tanA2+tan B2+tan C2+tan D2=2sin A+2sin B=14210+2×19210=.62。
三角函数与解三角形题型归纳及习题含详解
题型 53 终边相同的角的集合的表示与区别 思路提示
（1） 终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方 法解决.
（2） 注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也 可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标
4. 熟练运用同角三角函数函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值
和简单恒等式的证明.
命题趋势探究
1.一般以选择题或填空题的形式进行考查.
2.角的概念考查多结合函数的基础知识.
3.利用同角三角函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值是重要考点. 知识点精讲 一、基本概念
正角---逆时针旋转而成的角； （1）任意角 负角---顺时针旋转而成的角；
二、任意角的三角函数 1.定义 已 知 角 终 边 上 的 任 一 点 P(x, y) （ 非 原 点 O ）， 则 P 到 原 点 O 的 距 离
r OP x2 y2 0 . sin y , cos x , tan y .
r
r
x
此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对 y ，邻 x ，斜 r ， 如图 4-2 所示.
的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变.
注：弧度或 rad 可省略 （5）两制互化：一周角= 3600 2 r 2 （弧度），即 1800 .
r
1（弧度）
180
0
57.30
57018
故在进行两制互化时，只需记忆 1800 ，10 两个换算单位即可：如： 180
5 5 1800 1500 ； 360 36 .
C. 0, ，是第一、二象限角
三角函数及解三角形知识点总结
1. 任意角的三角函数的定义： 设〉是任意一个角，p （x,y ）是〉的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x 2r 2.o ,位置无关。
2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）+L i+ ——L+ _ - + ------ ■——+ -■sin ： cos ： tan ：3. 同角三角函数的基本关系式:4.三角函数的诱导公式 k 二.一诱导公式（把角写成2…形式，利用口诀：奇变偶不变，符（2）商数关系：tan-E屮一、cos 。
（用于切化弦） （1）平方关系: 2 2 2sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1cos 2:※平方关系一般为隐含条件，直接运用。
注意“ 1”的代换si …y,cos 」那么r三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点5. 特殊角的三角函数值度 0s30cA45“A60“90 120cA135“150s 180c 270° 360弧31JIJI2n3兀 5兀 JI3兀 2兀度64323462si n 。
01 竝迈1旦1 01222222cosa亦11念力12_112 2222号看象限）sin （2k .亠 x ） = sin x cos （2k ■亠 x ） = cosx ［）tan （2k ，亠 x ）二 tanxsin （ -x ） - - sin x cos （-x ） =cosx H ）tan（-x ） - - tanxm ）|sin （，亠 x ） = -sin x cos （m ） = - cosx tan （二 x ） IV ） Sin （兀 _x ） =sin x cos （兀—x ） = —cosx tan （兀一sin （— -〉）= cos ..zsin （㊁：）=cos ：V ）-?） = sin :6. 三角函数的图像及性质7.函数厂Asi n( X J图象的画法：n 5m —兀-2兀①“五点法” __设X-x…•，令X = 0, 2,，2，求出相应的X 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
高三专题三角函数与解三角形总结归纳
三角函数一. 任意角的概念与弧度制 （一）角的概念的推广 1.角概念的推广：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角.按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角.习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边.射线旋转停止时对应的边叫角的终边. 2.特殊命名的角的定义：（1）正角，负角，零角 ：见上文.（2）象限角：角的终边落在象限内的角，根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角. （3）轴线角：角的终边落在坐标轴上的角.终边在x 轴上的角的集合： {}|180,k k Z ββ=⨯︒∈ 终边在y 轴上的角的集合： {}|18090,k k Z ββ=⨯︒+︒∈终边在坐标轴上的角的集合：{}|90,k k Z ββ=⨯︒∈ （4）终边相同的角：与α终边相同的角：2,x k k Z απ=+∈ （5）与α终边反向的角：()21,x k k Z απ=++∈终边在y x =轴上的角的集合：{}|18045,k k Z ββ=⨯︒+︒∈ 终边在y x =-轴上的角的集合：{}|18045,k k Z ββ=⨯︒-︒∈（6）若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：180,k k Z αβ=⨯︒+∈ （7）成特殊关系的两角若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：360,k k Z αβ=⨯︒-∈ 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：360180,k k Z αβ=⨯︒+︒-∈ 若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：36090,k k Z αβ=⨯︒+±︒∈注意： （1）角的集合表示形式不唯一； （2）终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.（二）弧度制1.弧度制的定义：lRα=2.角度与弧度的换算公式：180π︒= 3602π︒= 10.01745︒= 157.305718'=︒=︒注意： （1）正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；（2）一个式子中不能角度、弧度混用.二. 任意角三角函数 （一）三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义正弦r y =αsin ，余弦r x =αcos ，正切xy=αtan ，余切y x =αcot2.三角函数的定义域（二）单位圆与三角函数线 单位圆的三角函数线定义如图（1）PM 表示α角的正弦值，叫做正弦线；OM 表示α角的余弦值，叫做余弦线. 如图（2）AT 表示α角的正切值，叫做正切线.注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.（三）同角三角函数的基本关系式（1）sin csc 1,cos sec 1,tan cot 1αααααα⋅=⋅=⋅= （2）商数关系：ααααααcot sin cos ,tan cos sin == （3）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=（四）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）()()()()sin sin cos cos tan tan cot cot πααπααπααπαα+=-+=-+=+= ()()()()s i n 2s i n c o s 2c o s t a n 2t a n c o t 2c o t πααπααπααπαα-=--=-=--=-()()()()s i n s i n c o s c o s t a n t a n c o t c o tπααπααπααπαα-=-=--=--=-sin cos 2cos sin 2tan cot 2πααπααπαα⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ s i n c o s 2c o s s i n 2t a n c o t 2πααπααπαα⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭三. 三角函数的图象与性质（一）基本图象1.正弦函数2.余弦函数3.正切函数（二）函数图象的性质正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质四. 和角公式 两角和与差的公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsinsin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+()s i n s i n c o sc o s s i nαβαβαβ-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-五. 倍角公式和半角公式 （一）倍角与半角公式αααcos sin 22sin =2cos 12sin αα-±=ααααα2222sin211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 2cos 12cos αα+±= ααα2tan 1tan 22tan -=s i n 1c o s t a n 21c o s s i n αααααα-==+（二）万能公式2tan 12tan2sin 2ααα+= 2tan 12tan 1cos 22ααα+-= 2tan 12tan2tan 2ααα-=六. 三角函数的积化和差与和差化积公式()()1s i n c o s s i n s i n 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1c o ss i n s i n s i n 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦ ()()1c o s c o s c o s c o s 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1s i n s i n c o s c o s 2αβαβαβ=-+--⎡⎤⎣⎦ s i n s i n 2s i n c o s 22αβαβαβ+-+= 2c o s 2c o s 2c o s c o s βαβαβα-+=+s i n s i n 2c o s s i n 22αβαβαβ+--= co s c o s 2s i n s i n 22αβαβαβ+--=-sin15cos 754︒=︒=sin 75cos154︒=︒=tan15cot 752︒=︒=tan 75cot152︒=︒=+七. 辅助角公式（合一变形）()sin cos ,tan ,,22b a x b x x a ππϕϕϕ⎛⎫+=+=∈- ⎪⎝⎭一. 恒等变换 （一）基础题型1.（2015·福建）若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α=（ ） A.125B.125- C.512D.512-2.已知α是第二象限的角，()4tan 23πα+=-，则tan α=________3.=________4.已知0θπ<<，1tan 47πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+=________5.方程()233102x ax a a +++=>两根tan ,tan αβ，且,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=________6.已知()tan 4cos 2,22ππθπθθ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，则tan2θ=（ ）A.C.（二）诱导公式1.已知奇函数()f x 在[]1,0-上为单调减函数，若,αβ为锐角三角形内角，则（ ）A.()()cos cos f f αβ>B.()()sin sin f f αβ>C.()()sin cos f f αβ<D.()()sin cos f f αβ>2.已知,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且cos sin 0αβ+>，则下列各式中成立的是（ ）A.αβπ+<B.32παβ+>C.32παβ+=D.32παβ+<（三）互余互补sin cos 2πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ c o s s i n 2πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ sin()sin πθθ-= c o s ()c o sπθθ-=-1.已知4cos 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________；2cos 3πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭2.（2016·广州检测）已知1cos 123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A.13 B.3C.13-D.3-3.（2017·合肥模拟）已知1cos cos ,,63432ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求sin 2α的值； （2）求1tan tan αα-的值.（四）配凑角（已知条件会给θ范围）1.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2.设()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.138B.322C.1318D.13223.（2017·成都模拟）若()sin 2,sin 510αβα=-=且3,,,42ππαπβπ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则αβ+=（ ） A.74πB.94πC.54π或74πD.54π或94π4.若()111cos ,cos ,0,,,71422ππααβααβπ⎛⎫⎛⎫=+=-∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则β=（ ）A.3π- B.6πC.3πD.6π-5.若3335,,0,,cos ,sin 44445413πππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈∈-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()sin αβ+=________6.已知sin sin 3παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.45-B.35-C.45D.35（五）升角（一倍角、二倍角转换） 解题思路：2cos 212sin θθ=- 2c o s 22c o s 1θθ=-一） 升角+诱导公式1.（2016·宿州模拟）若1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.9B.9-C.79D.79-2.已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭=（ ）A.19-C. D.193.（2016·南昌三模）已知tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ）A.34B .35C.34-D.35-4.已知1sin 43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 42cos3sin x x x -=（ ）A.79B.79-C.9D.9-二）升角+互余、互补1.已知1sin 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin cos 233x x ππ⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________2.（2017·江西新余三校联考）已知7cos 238x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 3x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.14B.78C.14±D.78±三）升角+配凑1.已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A.19-B.9C.9-D.192.已知33cos ,4522πππαα⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭，则cos 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________3.已知cos 0,4102ππθθ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________ （六）平方一）sin cos c θθ+=解题思路：2(sin cos )1sin 2θθθ±=± 1.已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=________2.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin cos 222αα+=，则cos α=________3.已知1sin cos 3αα+=，则2sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.118B.1718C.89D.94.已知()1sin cos ,,05x x x π+=∈-.（1）求sin cos x x -的值；（2）求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．5.已知4sin cos 034πθθθ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-=________6.若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A.118B.118-C.1718D.1718-7.若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值为（ ）A.12-+B.12+ C.18.若,22sin sin =+βα则βαcos cos +的取值范围________二）sin cos a b c θθ+=1.已知2sin cos 2αα+=，则tan 2α=________2.（2016·厦门质检）若2sin 21cos2αα=-，则tan α=________3.（2016·开封模拟）已知12sin 5cos 13αα-=，则tan α=（ ）A.512- B.125-C.125±D.712±4.已知sin αα+=tan α=（ ）A.2C.2-D.（七）12tan tan sin 2θθθ+= （2016·青岛模拟）化简：211tan sin 22cos tan 2αααα⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭________（八）齐次式 1.若tan 2α=，则2sin 3cos 4sin 9cos αααα-=-________；224sin 3sin cos 5cos αααα--=________2.（2015·广东）已知tan 2α=.（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.3.（2016·天一大联考）已知函数()()log 24a f x x =-+（0a >且1a ≠），其图象过定点P ，角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P ，则sin 2cos sin cos αααα+=-________4．（广东省广州2017届高三下学期第一次模拟）已知tan 2θ=，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则co s 2θ=（ ） A.45B.35C.35-D.45-5.已知3tan 5α=-，则sin 2α=（ ）A.1517B.1517- C.817-D.8176.若sin 3sin 02παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A.35-B.35C.45-D.45二. 三角函数图象的变换 （一）图象平移和伸缩1.将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）A.12x π= B.6x π=C.3x π=D.12x π=-2.已知函数()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增3.将函数()()cos f x x x x R =∈的图象向左平移()0αα>个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则α的最小值为（ ）A.12πB.6πC.3πD.56π4.已知函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ=______5.（2014·辽宁卷）将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D.在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增6.（2017·渭南模拟）由()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x 的解析式为（ ）A.()32sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()2sin 66f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()32sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()2sin 63f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7.（2014·安徽）若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值为（ ） A.8πB.4πC.38πD.5π48.（2016·广东汕头模拟）将函数()sin 6y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12倍，再把图象上各点向左平移4π个单位长度，则所得的图象的解析式为（ ） A.5sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.1sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.15sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9.当4x π=时，函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数34y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是（ ） A.奇函数且图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.偶函数且图象关于点(),0π对称C.奇函数且图象关于直线2x π=对称D.偶函数且图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称10.（2016·长沙四校联考）将函数()()sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度得到sin y x =的图象，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A.52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B.52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C.5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D.5,,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦11.为了得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数sin 2y x =的图象（ ）A.向左平移56π个单位长度 B.向右平移56π个单位长度 C.向左平移512π个单位长度D.向右平移512π个单位长度12.（2013·新课标全国卷Ⅱ）函数()()cos 2y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ϕ=________二）图象求解析式1.若函数()f x 具有以下两个性质：①()f x 是偶函数；②对任意实数x ，都有44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()f x 的解析式可以是（ ） A.()cos f x x =B.()cos 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()sin 42f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()cos6f x x =2.已知()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<在同一周期内当12x =时取最大值，当12x =时取最小值，与y 轴的交点为(，则()f x =____________3.已知函数)0,()sin()(πϕϕ<<∈+=R x x x f ，若点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数26y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，则ϕ=_________4.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，对于任意x 都有66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________5.（2017·安徽江南十校联考）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，且对任意x R ∈，都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则()f x 图象的一个对称中心的坐标是（ ）A.2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2,03π⎛⎫⎪⎝⎭D.5,03π⎛⎫⎪⎝⎭6.已知函数()()3sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()3cos 2g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的取值范围________7.（2015·湖南）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的12,x x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（ ） A.512πB.3πC.4πD.6π8.（2016·安徽芜湖一模）函数()()sin ,0,2f x x x R ωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若122,,63x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ）A.2-B.12-C.12D.29.（2017·石家庄模拟）函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则1124f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.2- B.2-C.2-D.1-10.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A.6π- B .6πC.3π-D.3π11.已知函数()()sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则6y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭取得最小值时x 的集合为________12.已知函数()()cos f x A x ωϕ=+的图象如图所示，223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.23-B.12-C.23D.1213.（2016·泉州质检）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若tan 3α=，则8f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.35-B.45-C. D.三．特殊三角函数最值1.当06x π<≤时，函数()22cos cos sin sin xf x x x x=-的最小值为________2.求函数()2cos ,0,sin xy x xπ-=∈的最小值.3.（2016·全国Ⅱ）函数()cos 26cos 2f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A.4B.5C.6D.74.函数273sin 2cos ,,66y x x x ππ⎡⎤=--∈⎢⎥⎣⎦的值域为________5.求函数2sin 12sin 1x y x +=-的值域.6.求函数sin 2cos xy x=-的最小值.7.求函数2cos y x=+的值域.8.若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2214s in c o s αα+的最小值为________9.求函数()()1sin 3sin 2sin x x y x++=+的最值及对应的x 的集合.四．参数相关1.已知0ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则ω的取值范围________2.（2016·全国乙卷）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ）A.11B.9C.7D.53.已知函数()()2sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭在区间,126ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦则ϕ的取值范围（ ）A.0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.,04π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4.若函数()()s i n 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=________5.已知0ω>, ()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围（ ）A.15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10,2⎛⎫⎪⎝⎭D.(]0,26.若已知0ω>，函数()cos 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围________7.已知()()sin 0,363f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间错误！未找到引用源。
高考数学复习专题：三角函数、解三角形、向量 OK
高考专题：三角函数、解三角形及平面向量一、知识点1、三角函数的定义:设角α终边与单位圆相交于点),(y x P ，则____sin =α，_____cos =α，_____tan =α．2、特殊角的三角函数值3、三角函数在各象限的符号：αs i n αc o s αt a n4、同角三角函数的基本关系：(1) (2) 5、三角函数的诱导公式：（1）=+)2sin(παk ___________，=+)2cos(παk ___________，=+)2tan(παk ___________． （2）=-)sin(απ___________，=-)cos(απ___________，=-)tan(απ___________． （3）=+)sin(απ___________，=+)cos(απ___________，=+)tan(απ___________． （4）=-)sin(α___________，=-)cos(α___________，=-)tan(α___________．（5）=-)2sin(απ___________，=-)2cos(απ___________，=-)2tan(απ___________．（6）=-)2sin(απ_______，=-)2cos(απ_______．=+)2sin(απ_______，=+)2cos(απ_______．8、函数sin 0,0y x ωϕω=A +A >>：1）概念：①振幅：_______；②周期：________；③频率：________；④相位：________；⑤初相：________． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，最小值m in y =_________；最大值为max y =_________， 2）图像的平移伸缩 （1）先平移后伸缩sin sin ()sin (2)2sin (2)2sin (2)13333y x y x x x x ππππ=⇒=+⇒+⇒+⇒++（2）先伸缩后平移sin sin 2sin (2)2sin (2)2sin (2)1333y x y x x x x πππ=⇒=⇒+⇒+⇒++9、和角公式与差角公式sin()___________________A B += ___________________)sin(=-B A _________________)c o s (=+B A _________________)c o s (=-B A _________________)t a n (=+B A _________________)t a n (=-B A 倍角公式sin 2_______A =，cos 2_____________________A ===，____________2tan =A降幂公式：2sin α=______________．2cos α=______________． 10、归一公式： ；__________________cos sin =+A b A a 其中ab ＝ϕtan ，)2,2(ππϕ-∈如：（1）sin ___________x x += （2）sin ___________x x -= （3）sin ___________x x -+= （4）sin ___________x x --=11、解三角形（1）正弦定理：Aa sin =___________________________（R 为△ABC 外接圆半径）正弦定理的三种变形：①边化为角：_____________________________________②角化为边：_____________________________________ ③比例关系：_____________________________________（2）余弦定理： 2__________________a =⇔cos ____________________A =2__________________b =⇔cos ____________________B = 2__________________c =⇔cos ____________________C =（3）解三角形常用结论：1、三角形面积公式：______________________________ABC S ∆===2、在△ABC 中：︒=++180C B A ， 即C B A -︒=+180，则sin()__________A B +=；cos()__________A B +=；tan()__________A B +=12、平面向量(1)设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，则=AB __________________．. (2)向量运算公式定义运算：（1） =∙b a __________，],0[πθ∈；（2）⇔⊥b a __________，（3）⇔b a //__________坐标运算：),(11y x a =，),(22y x b =，则（1） =∙b a __________________ （2）⇔⊥b a ______________ （3）⇔b a //________________ （4）=||a ______________二、巩固练习1、)629tan(π-的值得为（ ）A 、33- B 、33 C 、3 D 、3-2、7sin6π的值等于（ ）A 、21 B 、23 C 、－21 D 、－233、53sin -=α，α是第二象限角，则=αtan ( )A 、34-B 、34 C 、43-D 、434、已知3sin()5πα+=-，且α是第二象限角，则)cos(απ-的值是( ) A 、54 B 、54-C 、53 D 、53-5、2sin x y =是（ ）A 、周期为π4的奇函数B 、周期为π2的奇函数C 、周期为π4的偶函数D 、周期为π2的偶函数6、函数2sin(2)6y x π=-的一条对称轴为（ ）A 、12x π=B 、6x π=C 、3x π=D 、2x π=7、在A B C ∆中，若向量2cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭ , n = cos ,2sin 22A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,且1m n ⋅=- ，则A =（ ）A 、6π B 、56π C 、3πD 、23π8、已知A B C ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若A =3π，a =3，b =1，则c =（ ）A 、1B 、2C 、3—1D 、39、已知tan 2,α=-且2παπ<<，则cos α=______________；10、已知312sin(),sin()5413παββ+=--=，3,(,),4παβπ∈则=+)4cos(πα______________；11、已知向量cos sin m x x = （，），],0[π∈x ，(1,n =，且||m n -=，则x =__________；12、将函数()sin 2f x x =的图像向左平移3π个单位，再将所得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标伸长为原来的2倍，那么最后所得图像的函数表达式为__________.13、已知向量)sin ,(cos αα=a, )sin ,(cos ββ=b , 552||=-b a .（1）求cos()αβ-的值； （2）若02πα<<, 02πβ-<<, 且5sin 13β=-, 求sin α．14、已知函数2()sin(2)sin(2)2sin 66f x x x x ππ=++-+，（1）若R x ∈，求)(x f 的单调递减区间；（2）若x ∈ [,]36ππ-，求函数)(x f 的值域。
专题07 解三角形与三角函数结合-备战2022年高考数学二轮复习之大题核心考点(原卷版)
第一篇 解三角形专题07 解三角形与三角函数结合常见考点考点一 结合三角函数典例1．已知函数2()cos 2332f x x x π⎛⎫=--+⎪⎝⎭（1）求函数f （x ）的单调性；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3a =c＝1，求△ABC 的面积.变式1-1．已知函数2()2sin cos 233f x x x x =+ （1）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，若锐角A 满足26A f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭3133sin sin B C +=bc 的值．变式1-2．已知函数()sin 2(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.（1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数f （x ）的值域；（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭且a ＝4，b +c ＝5，求△ABC 的面积.变式1-3．已知向量()sin ,1m x =-，向量13cos ,2n x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()()f x m n m =+⋅.（1）求()f x 单调递减区间；（2）已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，A 为锐角，3,4a c ==，且()f A 恰是()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值，求,A b 和ABC 的面积S .例2．已知函数()3cos 3f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 在[]0,π上的最小值；（2）已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，53b =3cos 5A =，且()1fB =，求边a 的长.变式2-1．已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =+-，()0,πx ∈，ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 223. （1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）若()1f C =，求bc 的值.变式2-2．已知向量3sin ,,(cos ,1)4a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，设函数()2()f x a b b =+⋅.（1）当//a b 时，求2cos sin 2x x -的值；（2）已知在ABC 中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若3,2a b ==，6sin B =求当04x π≤≤时()()4cos 26g x f x A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的取值范围.变式2-3．已知向量23,22x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2cos ,cos 22x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数()f x m n =⋅.（1）求方程()0f x =在区间[]2,2ππ-的解集；（2）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围.巩固练习练习一 结合三角函数1．已知()2223sin cos sin cos f x x x x x =+- （1）求函数()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）设锐角．．ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()1f C =，3c =求ABC 的面积S 的最大值.2．设函数21()cos 3cos 2f x x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3()2f B C +=，3a =3b c +=，求ABC 的面积.3．已知函数()2123sin cos 2cos f x x x x m =--+在R 上的最大值为3. （1）求m 的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）若锐角ABC 中角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且()0f A =，求sin sin BC的取值范围.4．已知函数21()cos 3)cos()2f x x x x ππ=-+-，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()1,3f A a =-=， sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.5．设函数()22sin 2sin cos 6f x x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若角A 满足()1f A =，3a =ABC 3b c +的值.6．已知函数22()sin 3cos 2cos f x x x x x =-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2c =，()1f C =且2C π≠，求ABC 周长的范围.7．函数()sin 16f x m x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（0m >，0>ω）的最大值为3，其图像相邻两个对称中心之间的距离为2π.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且22B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23b =ABC 的面积为23a c +的值.8．已知向量(sin ,cos ),(3cos ,cos )a x x b x x ==. （1）求函数()f x a b =⋅的最小正周期；（2）在ABC ∆中，7,sin 3sin BC B C =，若()1f A =，求ABC ∆的周长.。
高中三角函数及解三角形知识点总结(高考复习)
= 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α .
变形如下：
1 + cos 2α = 2 cos 2 α 升幂公式： 2 1 − cos 2α = 2sin α cos 2 α = 1 (1 + cos 2α ) 2 降幂公式： sin 2 α = 1 (1 − cos 2α ) 2
y = sin x 在 x ∈ [0, 2π ] 上的五个关键点为：
π 3π （0， 0） （ ， ， 1 ） （ ， π， 0） （ ， ，） -1（ ， 2π ， 0） . 2 2
-1-
§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：
y
2、记住余切函数的图象：
y
y=tanx
y=cotx
y = A sin ω x
横坐标变为原来的 | 平 移
ϕ ω
2− 3
§ 3.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1 ω
|倍
个 单 位
1、 sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β 2、 sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
r = x2 + y 2 ） sin α = x y x y ， cos α = ， tan α = ， cot α = y r r x
π sin + α = cos α , 2 π cos + α = − sin α . 2
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：
ymax + ymin . 2
ymax − ymin ， 2
三角函数和解三角形知识点汇总
三角函数和解三角形知识点汇总知识点一三角函数（一）、角的概念的推广1．定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.2．分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角．按终边位置不同分为象限角和轴线角．3．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.（二）、弧度制的定义和公式1．定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．公式（三）、任意角的三角函数（四）、同角三角函数的基本关系 1．平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. 2．商数关系：sin αcos α＝tan α.（五）、三角函数的诱导公式知识点二 三角函数的图像与性质（一）、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图1．正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).2．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).（二）、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )知识点三函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像及应用（一）、“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：1．定点：如下表所示.2．作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象.3．扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象.（二）、函数y＝A sin(ωx＋φ)中各量的物理意义当函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞) 表示一个振动量时，几个相关的概念如下表：（三）、函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径知识点四 三角恒等变换（一）、两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.（二）、二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.（三）、有关公式的逆用、变形等 1．tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β). 2．cos 2α＝1＋cos 2α2， sin 2α＝1－cos 2α2. 3．1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.（四）、函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .知识点五 解三角形（一）、正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则（二）、S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.（三）、实际问题中的常用角1．仰角和俯角：在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2．方位角：从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角．如B点的方位角为α(如图2)．3．方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4．坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.。
高考数学专题复习-三角函数与解三角形
第1讲 三角函数的图象与性质高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象,涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题,主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等,主要以解答题的形式考查.真 题 感 悟1.(全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A (1,a ),B (2,b ),且cos 2α＝23,则|a －b |＝( ) A.15B.55C.255D.1解析 由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23,所以cos α＝306,sin α＝±66,得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2,所以|a －b |＝55. 答案 B2.(全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3,则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 A 项,因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0),所以f (x )的一个周期为－2π,A 项正确.B 项,因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z ),当k ＝3时,直线x ＝8π3是其对称轴,B 项正确.C 项,f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3,将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0,所以x ＝π6是f (x ＋π)的一个零点,C 项正确.D 项,因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z ),递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z ),所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间,⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间,D 项错误. 答案 D3.(全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2,则( ) A.f (x )的最小正周期为π,最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π,最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π,最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π,最大值为4解析 易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52,则f (x )的最小正周期为π,当2x ＝2k π,即x ＝k π(k ∈Z )时,f (x )取得最大值,最大值为4. 答案 B4.(全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ,a ]是减函数,则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4,且函数y ＝cos x 在区间[0,π]上单调递减,则由0≤x ＋π4≤π,得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ,a ]上是减函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4,所以0<a ≤π4,所以a 的最大值是π4. 答案 A考 点 整 合1.常用三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z )图象递增 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π,2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π,2k π＋π] 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心 (k π,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π2 x ＝k π 周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ),当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得.(2)y ＝A cos(ωx ＋φ),当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ),当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换热点一 三角函数的定义【例1】 (1)(北京卷)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝13,则cos(α－β)＝________.(2)如图,以Ox 为始边作角α(0<α<π),终边与单位圆相交于点P ,已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45,则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________.解析 (1)法一 由已知得β＝(2k ＋1)π－α(k ∈Z ). ∵sin α＝13,∴sin β＝sin[(2k ＋1)π－α]＝sin α＝13(k ∈Z ). 当cos α＝1－sin 2α＝223时,cos β＝－223,∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝223×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＋13×13＝－79. 当cos α＝－1－sin 2α＝－223时,cos β＝223,∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－79.综上可知,cos(α－β)＝－79.法二 由已知得β＝(2k ＋1)π－α(k ∈Z ),∴sin β＝sin[(2k ＋1)π－α]＝sinα, cos β＝cos[(2k ＋1)π－α]＝－cos α,k ∈Z .当sin α＝13时,cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝－(1－sin 2α)＋sin 2α＝2sin 2α－1＝2×19－1＝－79.(2)由三角函数定义,得cos α＝－35,sin α＝45,∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α（sin α＋cos α）sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825. 答案 (1)－79 (2)1825探究提高 1.当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决,机械地使用三角函数的定义就会出现错误.2.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关,而与角α终边上点P 的位置无关.若角α已经给出,则无论点P 选择在α终边上的什么位置,角α的三角函数值都是确定的.【训练1】 (1)(潍坊三模)在直角坐标系中,若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 23π，cos 23π,则sin(π－α)＝( ) A.12B.32C.－12D.－32(2)(北京卷)在平面直角坐标系中,AB ︵,CD ︵,EF ︵,GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图),点P 在其中一段上,角α以Ox 为始边,OP 为终边.若tan α<cos α<sin α,则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵解析 (1)∵角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 23π，cos 23π,且|OP |＝1.∴由三角函数定义,知sinα＝cos 2π3＝－12.因此sin(π－α)＝sin α＝－12.(2)设点P 的坐标为(x ,y ),由三角函数的定义得yx <x <y ,所以－1<x <0,0<y <1.所以P 所在的圆弧是EF ︵. 答案 (1)C (2)C 热点二 三角函数的图象 考法1 三角函数的图象变换【例2－1】 (1)要想得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象,只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )A.向左平移π4个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.向右平移π4个单位长度,再向上平移1个单位长度 C.向左平移π2个单位长度,再向下平移1个单位长度D.向右平移π2个单位长度,再向下平移1个单位长度(2)(湖南六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2,其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2,将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后,得到的图象关于y 轴对称,那么函数y ＝f (x )的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称C.关于直线x ＝π12对称D.关于直线x ＝－π12对称解析 (1)因为y ＝sin 2x ＋1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1,故只需将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度,再向上平移1个单位长度,即可得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象. (2)由题意,T ＝π,ω＝2.又y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋2π3的图象关于y 轴对称.∴φ＋2π3＝k π＋π2,k ∈Z . 由|φ|<π2,取φ＝－π6,因此f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6,代入检验f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0,A 正确.答案 (1)B (2)A探究提高 1.“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ,令z ＝0,π2,π,3π2,2π,求出x 的值与相应的y 的值,描点、连线可得.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x 而言的,如果x 的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.考法2 由函数的图象特征求解析式【例2－2】 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示,则函数f (x )的解析式为( )A.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6B.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12D.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(2)(济南调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示,若x 1,x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3,且f (x 1)＝f (x 2),则f (x 1＋x 2)＝( )A.1B.12C.22D.32解析 (1)由题意知A ＝2,T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π,ω＝2,因为当x ＝5π12时取得最大值2,所以2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ, 所以2×5π12＋φ＝2k π＋π2,k ∈Z ,解得φ＝2k π－π3,k ∈Z , 因为|φ|<π2,得φ＝－π3. 因此函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)观察图象可知,A ＝1,T ＝π,则ω＝2. 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是“五点法”中的始点,∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0,φ＝π3. 则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1,x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3,且f (x 1)＝f (x 2),所以x 1＋x 22＝π12,则x 1＋x 2＝π6,因此f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32. 答案 (1)B (2)D探究提高 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练2】 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0,ω＞0,|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的12倍,再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度,得到函数y ＝g (x )的图象,求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.解 (1)设函数f (x )的最小正周期为T ,由题图可知 A ＝1,T 2＝2π3－π6＝π2,即T ＝π,所以π＝2πω,解得ω＝2,所以f (x )＝sin(2x ＋φ),又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0,由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π,k ∈Z , 则φ＝2k π－π3,k ∈Z ,因为|φ|＜π2,所以φ＝－π3,故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)根据条件得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时,4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6,所以当x ＝π8时,g (x )取得最小值,且g (x )min ＝12. 热点三 三角函数的性质 考法1 三角函数性质【例3－1】 (合肥质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4,且T ＝π,∴ω＝2,于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z ),得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z ),得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2,所以令k ＝0,得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理,其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.探究提高 1.讨论三角函数的单调性,研究函数的周期性、奇偶性与对称性,都必须首先利用辅助角公式,将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,ω>0)的单调区间,是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间),求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间),但是当A ＞0,ω＜0时,需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ),则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间,减区间即为原函数的增区间. 考法2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间.(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位,再向上平移1个单位,得到函数y ＝g (x )的图象,若y ＝g (x )在[0,b ](b >0)上至少含有10个零点,求b 的最小值. 解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1) ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.由最小正周期为π,得ω＝1, 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2,k ∈Z ,整理得k π－π12≤x ≤kx ＋5π12,k ∈Z ,所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12,k ∈Z . (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位,再向上平移1个单位,得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0,得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z ),所以在[0,π]上恰好有两个零点,若y ＝g (x )在[0,b ]上有10个零点,则b 不小于第10个零点的横坐标即可.所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.探究提高 1.研究三角函数的图象与性质,关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式,利用正余弦函数与复合函数的性质求解. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|.【训练3】 (湖南师大附中质检)已知向量m ＝(2cos ωx ,－1),n ＝(sin ωx －cos ωx ,2)(ω>0),函数f (x )＝m·n ＋3,若函数f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2. (1)求函数f (x )的单调增区间；(2)若将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12倍,得到函数g (x )的图象,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时,求函数g (x )的值域.解 (1)f (x )＝m·n ＋3＝2cos ωx (sin ωx －cos ωx )－2＋3 ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4.依题意知,最小正周期T ＝π.∴ω＝1,因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π,k ∈Z ,求得f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π,k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位,得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象. 然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12倍,得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4的图象.故g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4,由π4≤x ≤π2,知5π4≤4x ＋π4≤9π4.∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤22.故函数g (x )的值域是[－2,1].1.已知函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B(A＞0,ω＞0)的图象求解析式(1)A＝y max－y min2,B＝y max＋y min2.(2)由函数的周期T求ω,ω＝2πT.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.2.运用整体换元法求解单调区间与对称性类比y＝sin x的性质,只需将y＝A sin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”,采用整体代入求解.(1)令ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z),可求得对称轴方程；(2)令ωx＋φ＝kπ(k∈Z),可求得对称中心的横坐标；(3)将ωx＋φ看作整体,可求得y＝A sin(ωx＋φ)的单调区间,注意ω的符号.3.函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝A sin(ωx ＋φ)＋B(一角一函数)的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体,借助复合函数性质求y＝A sin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.一、选择题1.(全国Ⅲ卷)函数f(x)＝tan x1＋tan2x的最小正周期为()A.π4 B.π2 C.π D.2π解析f(x)＝tan x1＋tan2x＝sin xcos x1＋sin2xcos2x＝sin x cos xcos2x＋sin2x＝sin x cos x＝12sin 2x,所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.答案 C2.(全国Ⅲ卷)函数f(x)＝15sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π3＋cos⎝⎛⎭⎪⎫x－π6的最大值为()A.65 B.1 C.35 D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3,则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3,函数的最大值为65. 答案 A3.(湖南六校联考)定义一种运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ,将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 2sin x 3 cos x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则φ的最小值是( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 f (x )＝2cos x －23sin x ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3,依题意g (x )＝f (x ＋φ)＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ是偶函数(其中φ>0).∴π3＋φ＝k π,k ∈Z ,则φmin ＝23π. 答案 C4.偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,其中△EFG 是斜边为4的等腰直角三角形(E ,F 是函数与x 轴的交点,点G 在图象上),则f (1)的值为( )A.22B.62C. 2D.2 2解析 依题设,T 2＝|EF |＝4,T ＝8,ω＝π4. ∵函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数,且0<φ<π. ∴φ＝π2,在等腰直角△EGF 中,易求A ＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝2cos π4x ,则f (1)＝ 2.答案 C5.(天津卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减解析 把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度得函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin 2x 的图象,由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z ),令k ＝1,得3π4≤x ≤5π4,即函数g (x )＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4.答案 A 二、填空题6.(江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称,则φ的值是________.解析 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称,得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.因为－π2<φ<π2,所以π6<2π3＋φ<7π6,则2π3＋φ＝π2,φ＝－π6.答案 －π67.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示,其中|PQ |＝2 5.则f (x )的解析式为________.解析 由题图可知A ＝2,P (x 1,－2),Q (x 2,2),所以|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（－2－2）2＝（x 1－x 2）2＋42＝2 5.整理得|x 1－x 2|＝2,所以函数f (x )的最小正周期T ＝2|x 1－x 2|＝4,即2πω＝4,解得ω＝π2.又函数图象过点(0,－3),所以2sin φ＝－3,即sin φ＝－32.又|φ|<π2,所以φ＝－π3,所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π3.答案 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π38.(北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立,则ω的最小值为________.解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立,故当x ＝π4时,函数f (x )有最大值,故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1,πω4－π6＝2k π(k ∈Z ),∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0,∴ωmin ＝23.答案 23 三、解答题9.已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性.解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π,k ∈Z },f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π,k ∈Z , 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π,k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4,B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ,易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时,f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.10.(西安模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0,π)上的解为x 1,x 2,求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z ),即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时,函数f (x )取最大值,且最大值为1.(2)由(1)知,函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π,k ∈Z ,∴当x ∈(0,π)时,对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0,π)上的解为x 1,x 2.∴x 1＋x 2＝56π,则x 1＝56π－x 2,∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3, 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23,故cos(x 1－x 2)＝23.11.设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2,其中0＜ω＜3,已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位,得到函数y ＝g (x )的图象,求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值.解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2,所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0,所以ωπ6－π3＝k π,k ∈Z ,故ω＝6k ＋2,k ∈Z . 又0＜ω＜3,所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4,所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3,当x －π12＝－π3,即x ＝－π4时,g (x )取得最小值－32.。
专题4三角函数与解三角形四大考点与真题训练 -2022年高考数学考前30天提分方案(原卷版)
2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（新高考地区专用）专题1.4三角函数与解三角形四大考点与真题训练考点一：三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式一、单选题1．（2022·贵州·模拟预测（文））已知tan 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin cos cos 3sin αααα+=-（ ） A ．3-B ．35C ．17-D ．152．（2022·陕西榆林·三模（理））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 315，1b c -=，1cos 4A =，则=a （ ）A ．10B ．3C 10D 33．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））若tan 2tan 44x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2x =（ ） A ．35B ．35C ．13-D ．134．（2022·贵州·模拟预测（理））已知tan()34πα+=-，则cos2=α（ ） A ．35B ．35C ．34-D ．34二、多选题5．（2022·河北·模拟预测）已知tan 2θ=，则下列结论正确的是（ ） A ．tan()2πθ-=-B ．tan()2πθ+=-C ．sin 3cos 12sin 3cos 7θθθθ-=-+D ．4sin 25θ=6．（2022·福建·模拟预测）已知函数()sin 4cos 436f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）的最大值为2B ．f （x ）在,812ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．f （x ）在[0,]π上有4个零点D ．把f （x ）的图象向右平移12π个单位长度，得到的图象关于直线8x π=-对称 三、填空题7．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知2,0πα⎛∈⎫⎪⎝⎭，且1sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos α=__________，tan α=__________．8．（2022·安徽蚌埠·三模（文））已知角θ的终边过点()4,A a ，且3sin(π)5θ-=，则tan θ=___________.9．（2022·全国·模拟预测）定义运算：12142334a a a a a a a a =-.若22cos 21sin 5αα-=，()0,απ∈，则tan α=___________.10．（2022·陕西·西安中学模拟预测（理））已知1(0,),sin()cos(2)4θππθπθ∈-+-=，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______． 11．（2022·陕西·二模（理））角α顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线20x y +=上，则sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________.12．（2022·陕西榆林·三模（理））已知2sin 5cos αα=，则2sin 2cos αα+=________.四、解答题13．（2022·福建龙岩·一模）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 是三个连续的正整数，且a b c <<，2C A =．(1)求a ；(2)将线段AB 绕点A 顺时针旋转3π到AD ，求ACD △的面积．考点二：三角函数的性质与应用一、单选题1．（2022·天津河北·一模）将函数()sin 23f x x x =的图象向右平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间为（ ）A ．ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．（2022·广东梅州·二模）已知函数()1cos (0)f x x ωω=+>的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向左平移(0)m m >个单位长度，所得图象关于直线π3x =对称，则实数m 的最小值为（ ） A ．6πB ．π4C ．π3D ．2π33．（2022·陕西榆林·三模（理））已知0>ω，函数()sin 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且对任意,84x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()0f x ≥，则ω的取值范围为（ ）A ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1,3]D ．(1,3)4．（2022·广东佛山·二模）已知函数()sin (0)f x x ωω=>图象上相邻两条对称轴之间的距离为32π，则ω=（ ）A ．32B ．43C ．23D ．13二、多选题5．（2022·天津五十七中模拟预测）已知函数()3cos 2f x x =的图象向左平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，关于函数()g x ，下列选项不正确的是（ ）． A ．最小正周期为π B ．2()3cos 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()g x 是偶函数D ．当()12x k k ππ=-∈Z 时()g x 取得最大值6．（2022·湖南师大附中一模）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0>ω，0A >），若3x π=为()f x 的一个极值点，且()f x 的最小正周期为π，则（ ）A ．3A f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．6k ϕπ=π-（k ∈Z ） C ．()f x 的图象关于点（712π，0）对称 D ．3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数7．（2022·江苏连云港·二模）已知函数()23sin cos 222x x xf x =-，则（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为4πB ．点2π33⎛- ⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．将函数()f x 图象向左平移5π6个单位长度，所得到的函数图象关于y 轴对称 D ．函数()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减8．（2022·海南·模拟预测）已知函数()cos 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，先将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象上所有的点向右平移4π个单位长度，得到函数()y g x =的图象.则（ ） A ．()5cos 612g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()g x 的图象关于58x π=对称 C ．()g x 的最小正周期为3π D ．()g x 在（58π，178π）上单调递减9．（2022·辽宁·模拟预测）已知函数()()sin 2f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度得到()g x 的图象，()g x 的图象关于y 轴对称，若()f x 的相邻两条对称轴的距离是2π，则下列说法正确的是（ ）A ．()cos2g x x =B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()f x 在[]0,π上的单调增区间是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[2π3,π]D ．()f x 的图象关于点17,012π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称 三、填空题10．（2022·陕西榆林·三模（文））已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象经过点(01)A -,，且()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大整数值为________.11．（2022·山东·昌乐二中模拟预测）若()cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上单调递增，则实数a 的最大值为__________.12．（2022·河南郑州·二模（文））已知函数()2cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则3g π⎛⎫= ⎪⎝⎭___________.13．（2022·辽宁抚顺·一模）已知函数()f x ，①函数()f x 的图象关于直线6x π=-对称，②当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的取值范围是[2,1]-，则同时满足条件①②的函数()f x 的一个解析式为________.14．（2022·北京朝阳·一模）已知直线3x π=和56x π=是曲线()()sin 0y x ωϕω=+>的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个ϕ的值是___________.15．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））已知函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将得到的图象关于x 轴翻折，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在[0,2]π上的单调递增区间为________；16．（2022·山西太原·一模（理））设函数()3sin cos f x x x -，给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期为π； ②()f x 的值域为3⎡-⎣；③()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增； ④()f x 在[],ππ-上有4个零点.其中所有正确结论的序号是__________.四、解答题17．（2021·四川省泸县第二中学一模（理））设()()23sin sin cos 12f x x x x x π⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的最小正周期及()y f x =图象的对称轴方程；(2)求()f x 在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．考点三：三角恒等变换一、单选题1．（2022·重庆·二模）已知(),0,παβ∈，()5sin 6αβ-=，tan 1tan 4αβ=-，则αβ+=（ ） A ．5π6B ．πC ．7π6D ．11π62．（2022·河南焦作·二模（文））已知cos 2323x x =x 的值可以是（ ）A ．0B ．6πC ．4π D ．3π 3．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））已知π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，10cos θ=，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2B ．12C ．12-D ．2-4．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（理））已知()2sin cos 3παα++=，则sin2α= （ ） A ．79B ．59C ．49D ．295．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））已知4sin 5α，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．247B ．247-C ．3117D ．3117-二、多选题6．（2022·广东江门·模拟预测）在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点(,)P x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值r x、r y、xy 分别叫做角α的正割、余割、余切，分别记作sec α、csc α、cot α，把sec y x =、csc y x =、cot y x =分别叫做正割函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的是( ) A ．cos sec 2αα+≥B ．sec y x =的定义域为{},x x k k Z π≠∈C ．2cot 1cot 22cot ααα-=D ．22(sec cos )(csc sin )9αααα+++≥7．（2022·福建莆田·模拟预测）已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=>，其图象相邻的两条对称轴之间的距离是2π，则（ ） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在π7π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 的图象关于点()π,0对称D ．()f x 的图象关于直线5π3x =-对称 8．（2022·山东临沂·一模）已知函数()()3sin 2cos20f x x x ωωω+>的零点构成一个公差为2π的等差数列，把()f x 的图象沿x 轴向右平移3π个单位得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 的一个对称中心C ．()g x 是奇函数D ．()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,2三、填空题9．（2022·广东佛山·二模）已知sin π2α4⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin2α=___________.10．（2022·山东青岛·一模）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=______．11．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知函数()sin cos f x x x ωω=+（0>ω）在ππ,48⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的一个取值为________．12．（2022·陕西陕西·二模（理））已知ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且()226c a b =-+，若ABC 33sin sin A B ⋅的取值范围为______. 13．（2020·四川·模拟预测（理））已知cos()2cos 2παα+=，则tan2α=________．四、解答题14．（2022·广东梅州·二模）在ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠，已知2DB =，3DC =，60BDC ∠=︒(1)求BC 的长； (2)求sin A 的值.15．（2022·重庆·二模）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别,,a b c ，ππ1cos sin sin sin 632C A C A ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求B ；(2)若△ABC 的周长为43b .16．（2022·江西宜春·模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22,2,sin b c A a c ===>． (1)求a 的值；(2)求cos()cos A B C -+的值．考点四：解三角形一、单选题1．（2021·四川省泸县第二中学模拟预测（文））命题:p 不等式()lg 110x x ⎡⎤⎣-⎦+>的解集为{}1|0x x <<，命题:q 在ABC 中，A B >是22cos cos 2424A Bππ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立的必要不充分条件，则下列命题中为真命题的是( ) A ．()p q ∧⌝B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝2．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知222,cos cos 2b c a bc b C c B +-=+=，则△ABC 的面积的最大值（ ） A ．1B 3C ．2D ．23二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a =，()()cos 2cos cos a C B A ab c -=-，则以下四个命题中正确的是（ ）A ．2b c =B ．△ABC 面积的取值范围为40,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．已知M 是边BC 的中点，则MA MB ⋅的取值范围为1,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．当2A C =时，ABC 的周长为23+三、填空题4．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2A Ca b c=-，则A =___________. 5．（2022·河南焦作·二模（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2sin sin 12cos cos A C A C =+，3sin a c B +=，则b 的最小值为_______.6．（2022·安徽宣城·二模（文））已知锐角ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC 的面积是__________． 7．（2022·山东潍坊·模拟预测）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC ，BD 为圆的内接四边形ABCD 的两条对角线，sin∠CBD ：sin∠BDC ：sin∠BAD =1：1：3AC =4，则△ABD 面积的最大值为________．四、解答题8．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2cos a b BC-=，且2c =． (1)求角C ；(2)若D 为AB 中点，求CD 的最大值．9．（2022·广东佛山·二模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，23B π=，且()sin sin sin cos21A B C C ++=(1)求证53a c =；(2)若ABC 的面积为153c .10．（2022·山西临汾·二模（文））ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4cos 5C =，sin sin 2sin A C B +=. (1)求b a； (2)求cos B 的值.11．（2022·宁夏石嘴山·一模（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 为AC 的中点，若2cos 2b C a c =+． (1)求B ；(2)若6a c +=，求BD 的最小值．【真题训练】一、单选题1．（2021·浙江·高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．（2021·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45ACB ∠'''=︒，60A BC ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-约为3 1.732≈）（ ）A ．346B ．373C ．446D ．473 3．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．（2021·全国·高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．655．（2020·山东·高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C 2sin cos 2c B A =，则tan A 等于（ ） A ．3B ．13-C ．3或13-D ．-3或136．（2020·山东·高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7．（2021·湖南·高考真题）为了得到函数sin()4y x π=+的图象，只需要sin y x =将的图象（ ） A ．向上平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向下平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位 8．（2021·江苏·高考真题）若函数()()4sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则它的一条对称轴是（ ） A ．12x π=- B ．0x = C ．6x π=D ．23x π=9．（2021·北京·高考真题）函数()cos cos2f x x x =-是 A ．奇函数，且最大值为2 B ．偶函数，且最大值为2 C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为98二、多选题10．（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅11．（2020·海南·高考真题）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x - 三、填空题12．（2021·北京·高考真题）若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___．13．（2020·山东·高考真题）已知ππ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若sin 0.8α=，则α=______rad .14．（2021·湖南·高考真题）已知tan 3α=-α为第四象限角，则cos α=____________15．（2021·江苏·高考真题）已知5cos 213πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()tan 9θπ-的值是_________.四、解答题16．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=． （1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长． 条件①：2c b =；条件②：ABC 的周长为423+； 条件③：ABC 3317．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．18．（2021·全国·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.19．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象时，列表如下：x6π-12π3π712π56πx ωϕ+0 2π π32π2πsin()A x ωϕ+30 -3 0根据表中数据，求： （1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.。
全国高中数学联赛三角函数与解三角形专题复习(附带解析)
三角函数与解三角形真题汇编与预赛典型例题1．【2019年全国联赛】对任意闭区间I，用表示函数y=sinx在I上的最大值.若正数a满足，则a的值为.【答案】或【解析】由图像分析得或.2．【2017年全国联赛】已知x、y满足.则的取值范围是___________。
【答案】【解析】由于.由,知因此,当时, 有最小值-1,此吋,y可以取;当时, 有最大值此时，y可以取由的值域为,知的取值范围是。
故答案为：3．【2016年全国联赛】设函数.若对任意实数a，均有，则k的最小值为________.【答案】16【解析】由条件知，当且仅当时，取到最大值.根据条件，知任意一个长为1的开区间至少包含一个最大值点.从而，.反之，当时，任意一个开区间均包含的一个完整周期，此时，.综上，k 的最小值为，其中，表示不超过实数x 的最大整数.4．【2015年全国联赛】若tan cos αα=，则41cos sin αα+=__________． 【答案】2【解析】由tan cos αα=有2sin cos ,sin cos cos ααααα==，而22sin cos 1αα+=，求出15cos 2α-+=（负值舍去），所以24421115cos cos 2sin cos 15αααα⎛⎫-++=+=+= ⎪ ⎪-+⎝⎭。
5．【2015年全国联赛】设为正实数.若存在，使得，则的取值范围是______. 【答案】【解析】 由.而，故已知条件等价于：存在整数，使得. ①当时，区间的长度不小于，故必存在满足式①.当时，注意到，.故只要考虑如下几种情形：（1），此时，，且，无解；（2），此时，；（3），此时，.综上，并注意到也满足条件，知.故答案为：6．【2013年全国联赛】在中，已知，则______. 【答案】11【解析】由.7．【2012年全国联赛】设的内角的对边分别为，且满足.则______.【答案】4【解析】解法1 有题设及余弦定理得.故.解法2 如图4，过点，垂足为.则.由题设得.又，联立解得.故.解法3 由射影定理得.又，与上式联立解得.故.8．【2012年全国联赛】满足的所有正整数的和是______.【答案】33.【解析】由正弦函数的凸性，知当时，.故，.因此，满足的正整数的所有值分别为10、11、12，其和为33.9．【2011年全国联赛】若，则的取值范围为______. 【答案】【解析】题设不等式等价于.设，所以，所以上的增函数，所以，.故.由，知的取值范围是.故答案为：10．【2010年全国联赛】已知函数的最小值为.则实数的取值范围是________.【答案】【解析】令.于是，原函数化为.由内的最小值为，即.故. ①当，时，式①总成立；当时，；当时，.从而，.11．【2019年全国联赛】在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c.若b是a与c的等比中项，且sinA是sin（B-A）与sinC的等差中项，求cosB的值.【答案】【解析】由题意ac=b2，，整理即sin B=tan A.对ac=b2利用正弦定理并结合三项的等差数列得.即.于是.即..令，则，解得.12．【2012年全国联赛】已知函数，其中，，且.(1)若对任意，都有，求的取值范围.(2)若，且存在，使，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）.令.则.由题设知解得的取值范围为.（2）因为，所以，.故.从而，.由题设知.解得.故的取值范围是.1．【2018年浙江预赛】已知，得，所以_____【答案】【解析】.2．【2018年浙江预赛】在△ABC中，AB+AC=7,且三角形的面积为4,则sin∠A的最小值为________.【答案】【解析】由,又时取等号.3．【2018年浙江预赛】设满足，则x的取值范围为________.【答案】【解析】由.令，，所以.4．【2018年山西预赛】计算的值为________.【答案】【解析】记，则，所以，. 5．【2018年江苏预赛】函数的值域是________.【答案】【解析】，因为，所以. 故答案为：6．【2018年贵州预赛】如图，在△ABD中，点C在AD上，，AB=CD=1．则AC=____．【答案】【解析】在△ABD中，（其中AD=x）①在△BCD中，②由①②得，因为x+2>0，∴x3=2．即．故答案为：7．【2018年贵州预赛】若边长为6的正△ABC的三个顶点到平面α的距离分别为1，2，3，则△ABC的重心G到平面α的距离为_______．【答案】【解析】（1）当△ABC的三个顶点在平面α的同侧时，由公式求得重心G到平面α的距离为2．（2）当△ABC的三个顶点中，其中一点与另两点分别在平面α的异侧时，求得重心G到平面α的距离分别为0，．故答案为：8．【2018年贵州预赛】函数的所有零点之和等于________．【答案】60【解析】函数的零点即为方程2(5－x)sinπx在区间[0，10]上的解函数y=2sinπx 的图像与函数的图像在区间[0，10]上的交点的横坐标．因为函数y=2sinπx的图像与函数的图像均关于点(5，0)对称，且在区间[0，10]上共有12个交点（6组对称点)．每组对称点的横坐标之和为10，即这12个点横坐标之和为60．所以函数y=2(5－x)sinπ－1(0≤x≤10)的所有零点之和等于60．故答案为：609．【2018年重庆预赛】在△ABC中，，则________．【答案】【解析】因为所以注意到：故．故答案为：10．【2018年陕西预赛】设的内角所对的边分别为，且成等差数列，则【答案】【解析】分析：根据三角形内角和定理及其关系，用∠C表示∠A与∠B；根据成等差，得到，利用正弦定理实现边角转化。
三角函数和解三角形知识点汇总
三角函数和解三角形知识点汇总三角函数和解三角形是高中数学中的重要内容，这两个知识点在解决几何问题和求解三角方程等方面具有广泛的应用。
本文将对三角函数和解三角形的相关概念和性质进行汇总和总结。
一、三角函数的基本概念和性质1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边之比。
在单位圆中，正弦函数定义为点在单位圆上的纵坐标。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边之比。
在单位圆中，余弦函数定义为点在单位圆上的横坐标。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边之比。
在单位圆中，正切函数定义为点在单位圆上的纵坐标与横坐标之比。
4. 三角函数的周期性：正弦函数、余弦函数和正切函数都具有周期性，周期为360度或2π弧度。
5. 三角函数的基本关系：正弦函数、余弦函数和正切函数之间存在一定的关系，如正弦函数与余弦函数的平方和等于1，正切函数与正弦函数的比值等于余弦函数。
二、解三角形的基本方法1. 解直角三角形：直角三角形是最简单的三角形，可以通过已知两个角或两个边长度，求解出三个角和三个边的长度。
解直角三角形常用的方法包括正弦定理、余弦定理和勾股定理。
2. 解一般三角形：一般三角形包括三个不等边和三个不等角。
解一般三角形的关键是要找到足够的已知条件，一般包括已知两个角和一个边的长度，或已知两个边和一个角的大小。
解一般三角形常用的方法有正弦定理和余弦定理。
三、三角函数和解三角形的应用1. 几何问题的求解：三角函数和解三角形广泛应用于几何问题的求解，如求解三角形的面积、角度、边长等。
2. 物理问题的求解：三角函数和解三角形也在物理问题的求解中发挥着重要作用，如求解力的合成与分解、两个物体之间的角度等。
3. 工程问题的求解：在工程问题中，三角函数和解三角形用于求解斜面的倾斜角度、测量高楼大厦的高度等。
四、总结本文对三角函数和解三角形的相关知识进行了汇总和总结。
高三数学总复习——第三章三角函数、解三角形
第三章 三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数[知识能否忆起]1．任意角 (1)角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标比值为函数值的函数．(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.[小题能否全取]1．－870°的终边在第几象限( ) A ．一 B ．二 C ．三D ．四解析：选C 因－870°＝－2×360°－150°.－150°是第三象限角． 2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( ) A.2π3 B.11π6 C.5π6D.3π4解析：选B ∵sin α＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，∴α＝116π.3．(教材习题改编)若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选C 由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y 轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．4．若点P 在2π3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于________．解析：因tan 2π3＝－3＝－y ，∴y ＝ 3.答案： 35．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________． 解析：弧长l ＝3π，圆心角α＝34π，由弧长公式l ＝α·r 得r ＝l α＝3π34π＝4，面积S ＝12lr ＝6π.答案：4 6π1.对任意角的理解(1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°～90°的 角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0° <α<90°}，第一象限角的集合为{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°， k ∈Z }．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同， 终边相同的角的同一三角函数值相等．2．三角函数定义的理解三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx .典题导入[例1] 已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；(2)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4×180°＋45°，k ∈Z ，判断两集合的关系． [自主解答] (1)所有与角α有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)×45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)×45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M N .由题悟法1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置．以题试法1．(1)给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四角限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)如果角α是第二象限角，则π－α角的终边在第________象限． 解析：(1)－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．(2)由已知π2＋2k π<α<π＋2k π(k ∈Z )，则－π－2k π<－α<－π2－2k π(k ∈Z )，即－π＋2k π<－α<－π2＋2k π(k ∈Z )，故2k π<π－α<π2＋2k π(k ∈Z )，所以π－α是第一象限角． 答案：(1)C (2)一典题导入[例2] (1)已知角α的终边上有一点P (t ，t 2＋1)(t >0)，则tan α的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.12D. 2(2)(2012·大庆模拟)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.2π3 C.5π3D.11π6[自主解答] (1)根据已知条件得tan α＝t 2＋1t ＝t ＋1t ≥2，当且仅当t ＝1时，tan α取得最小值2.(2)由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6.[答案] (1)B (2)D由题悟法定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．以题试法2．(1)(2012·东莞调研)已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3 B ．±3 C.33D ．±33(2)(2012·潍坊质检)已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114B.114 C ．－4D ．4解析：(1)选B 由|OP |2＝x 2＋34＝1，得x ＝±12，tan α＝±3.(2)选C 由题意可知，cos α＝m m 2＋9＝－45，又m <0，解得m ＝－4.典题导入[例3] (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ [自主解答] (1)设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝1012θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)，⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，故扇形圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r ， 则2r ＋rθ＝40.S ＝12θ·r 2＝12r (40－2r )＝r (20－r ) ＝－(r －10)2＋100 ≤100，当且仅当r ＝10时，S max ＝100.所以当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大．若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．解析：设圆半径为R ，则圆内接正方形的对角线长为2R ， ∴正方形边长为2R ，∴圆心角的弧度数是2RR＝ 2. 答案： 2由题悟法1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．2．记住下列公式：①l ＝αR ；②S ＝12lR ；③S ＝12αR 2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．以题试法3．若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？ 解：设扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l ，根据已知条件12lR ＝S 扇，则扇形的周长为：l ＋2R ＝2S 扇R ＋2R ≥4S 扇，当且仅当2S 扇R ＝2R ，即R ＝S 扇时等号成立，此时l ＝2S 扇，α＝lR＝2， 因此当扇形的圆心角为2弧度时，扇形的周长取到最小值．[典例] (2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐 标原点，始边为x 轴的正半轴.若P (4，y )是角θ终 边上一点，且sin θ＝25-y ＝ .[尝试解题] r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝y 16＋y 2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.[答案] －8——————[易错提醒]——————————————————————————— 1.误认为点P 在单位圆上，而直接利用三角函数定义，从而得出错误结果.2.利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x ，y ，r 的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论.—————————————————————————————————————— 针对训练已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．－32C.12D.32解析：选C 由点P (－8m ，－6sin 30°)在角α的终边上且cos α＝－45，知角α的终边在第三象限，则m >0 ，又cos α＝－8m(－8m )2＋9＝－45，所以m ＝12.1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6 C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角． 故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1或4 B ．1 C ．4D ．8解析：选A 设扇形的半径和弧长分别为r ，l ，则易得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝4r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝2.故扇形的圆心角的弧度数是4或1. 3．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32B.32C ．－12D.12解析：选D 因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.4．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B ∵θ是第三象限角，∴θ2为第二或第四象限角．又∵⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2＜0，知θ2为第二象限角．5．(2012·宜春模拟)给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan17π9，其中符号为负的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选C sin(－1 000°)＝sin 80°>0；cos(－2 200°) ＝cos(－40°)＝cos 40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0； sin7π10cos πtan 17π9＝－sin 7π10tan17π9，sin 7π10>0，tan 17π9<0，∴原式>0. 6．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由已知得(sin θ－cos θ)2>1,1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ<0，且sin θ>cos θ，因此sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．7．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)8．若β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________，tan β＝________. 解析：因为β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎫cos 3π4，sin 3π4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限．所以sin β＝22或－22，tan β＝－1. 答案：22或－22－19.如图，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)交于第二象限的点A ⎝⎛⎭⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________. 解析：由题图知sin α＝35，又点A 在第二象限，故cos α＝－45.∴cos α－sin α＝－75.答案：－7510．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解：设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H .则∠AOH ＝1弧度． ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)．11.如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45，△AOB 为正三角形．(1)求sin ∠COA ； (2)求cos ∠COB .解：(1)根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45.(2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°， 又sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35，∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°) ＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60° ＝35·12－45·32＝3－4310. 12．(1)设90°<α<180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求sin α与tan α的值；(2)已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.解：(1)∵r ＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5， 从而24x ＝x x 2＋5， 解得x ＝0或x ＝±3. ∵90°<α<180°， ∴x <0，因此x ＝－ 3.故r ＝22，sin α＝522＝104，tan α＝5－3＝－153.(2)∵θ的终边过点(x ，－1)， ∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22.1．(2012·聊城模拟)三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．4解析：选B 因为三角形ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin (90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1.2．(2012·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP ―→的坐标为________．解析：设A (2,0)，B (2,1)，由题意知劣弧 PA 长为2，∠ABP ＝21＝2.设P (x ，y )，则x ＝2－1×cos ⎝⎛⎭⎫2－π2＝2－sin 2，y ＝1＋1×sin ⎝⎛⎭⎫2－π2＝1－cos 2，∴OP的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)．答案：(2－sin 2,1－cos 2) 3．(1)确定tan (－3)cos 8·tan 5的符号；(2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号． 解：(1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角， ∴tan(－3)>0，tan 5<0，cos 8<0，∴原式大于0.(2)若0<α<π2，则如图所示，在单位圆中，OM ＝cos α，MP ＝sin α，∴sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1. 若α＝π2，则sin α＋cos α＝1.由已知0<m <1，故α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 于是有sin α－cos α>0.1．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内，α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 由已知sin α－cos α>0，tan α>0故⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4. 2．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |， 当t >0时，r ＝5t ， sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，t ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.3．已知0<α<π2，求证：(1)sin α＋cos α>1； (2)sin α<α<tan α.证明：如图，设α的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过点A (1,0)作AT ⊥x 轴，交α的终边于T ，则sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT .(1)在△OMP 中，∵OM ＋MP >OP ， ∴cos α＋sin α>1.(2)连接P A ，则S △OP A <S 扇形OP A <S △OTA ， 即12OA ·MP <12OA ·α<12OA ·AT ， 即sin α<α<tan α.第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式[知识能否忆起]1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．六组诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．[小题能否全取]1．sin 585°的值为( ) A ．－22 B.22 C ．－32D.32解析：选A sin 585°＝sin(360°＋225°) ＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45° ＝－22. 2．(教材习题改编)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3. ∵|θ|<π2，∴θ＝π3.3．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D.23解析：选B 原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.4．(教材习题改编)如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A 的值是________． 解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫32π－A ＝－sin A ＝12. 答案：125．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.解析：由题意知cos α<0，又sin 2α＋cos 2α＝1， tan α＝sin αcos α＝－12.∴cos α＝－255.答案：－255应用诱导公式时应注意的问题(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意 角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期 —化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特 别注意判断符号．(3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．典题导入[例1] (1)(2012·江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13D.12(2)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，则sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝________.[自主解答] (1)∵tan θ＋1tan θ＝4，∴sin θcos θ＋cos θsin θ＝4， ∴sin 2θ＋cos 2θcos θsin θ＝4，即2sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝12.(2)法一：由sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α得tan α＝2. 原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45×2＋2＝－16.法二：由已知得sin α＝2cos α. 原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.[答案] (1)D (2)－16在(2)的条件下，sin 2α＋sin 2α＝________.解析：原式＝sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85.答案：85由题悟法1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二(参阅本节题型技法点拨)．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.以题试法1．(1)(2012·长沙模拟)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________. 解析：(1)由角α的终边落在第三象限得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β， ① tan 2α＝9tan 2β，② 由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4， ∵cos 2α＋sin 2α＝1， ∴cos 2α＝38，即cos α＝±64.答案：(1)B (2)±64典题导入[例2] (1)tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)＝________.(2)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}[自主解答] (1)原式＝tan αcos αsin ⎣⎡⎦⎤－2π＋⎝⎛⎭⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(2)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.[答案] (1)－1 (2)C由题悟法利用诱导公式化简求值时的原则(1)“负化正”，运用－α的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．(2)“大化小”，利用k ·360°＋α(k ∈Z )的诱导公式将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数．(3)“小化锐”，将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．(4)“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．以题试法2．(1)(2012·滨州模拟)sin 600°＋tan 240°的值等于( ) A ．－32B.2C.3－12D.3＋12(2)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α，β，a ，b 均为非零实数，若f (2 012)＝－1，则f (2 013)等于________．解析：(1)sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－32＋3＝32. (2)由诱导公式知f (2 012)＝a sin α＋b cos β＝－1，∴f (2 013)＝a sin(π＋α)＋b cos(π－β)＝－(a sin α＋b cos β)＝1. 答案：(1)B (2)1典题导入[例3] 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos (π－B )，求△ABC 的三个内角．[自主解答] 由已知得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B 两式平方相加得2cos 2A ＝1， 即cos A ＝22或cos A ＝－22. (1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又角A 、B 是三角形的内角， ∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝7π12.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32， 又角A 、B 是三角形的内角，∴A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.由题悟法1．诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A ＋B ＝π－C,2A ＋2B ＝2π－2C ，A 2＋B 2＋C 2＝π2等，于是可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos A ＋B 2＝sin C2等； 2．求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小．以题试法3．在三角形ABC 中， (1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A sin ⎝⎛⎭⎫32π＋B tan (C －π)<0，求证：三角形ABC 为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，则A ＋B 2＝π2－C2，所以cos A ＋B 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝sin C2， 故cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1.(2)若cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A sin ⎝⎛⎭⎫32π＋B tan (C －π)<0， 则(－sin A )(－cos B )tan C <0， 即sin A cos B tan C <0，∵在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，0<C <π，∴sin A >0，⎩⎪⎨⎪⎧ cos B <0，tan C >0或⎩⎪⎨⎪⎧tan C <0，cos B >0，∴B 为钝角或C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．[典例] 已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15则sin x －cos x ＝ .[常规解法] 由sin x ＋cos x ＝15，与sin 2x ＋cos 2x ＝1联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin 2x ＋cos 2x ＝1，解得⎩⎨⎧sin x ＝45，cos x ＝－35或⎩⎨⎧ sin x ＝－35，cos x ＝45，∵－π2<x <0，∴⎩⎨⎧sin x ＝－35，cos x ＝45，∴sin x －cos x ＝－75.[答案] －75——————[高手支招]—————————————————————————— 1．上述解法易理解掌握，但计算量较大，很容易出错．若利用sin α＋cos α，sin α·cos α，sin α－cos α三者之间的关系，即(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，问题迎刃而解．2．对所求式子进行恒等变形时，注意式子正、负号的讨论与确定．—————————————————————————————————————— [巧思妙解] sin x ＋cos x ＝15，两边平方得，1＋sin 2x ＝125，∴sin 2x ＝－2425.∴(sin x －cos x )2＝1－sin 2x ＝4925，又∵－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0，∴sin x －cos x ＝－75.针对训练已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两根，则a ＝________. 解析：由题意知，原方程判别式Δ≥0， 即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.∵⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴a 2－2a －1＝0，∴a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)． 答案：1－ 21．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0解析：选B sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0.∴cos θ<0.2．(2012·安徽名校模拟)已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1＝( ) A ．0 B.95 C.43D.53解析：选B sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.3．(2012·江西高考)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34B.34 C ．－43D.43解析：选B ∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝12，∴tan α＝－3.∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 4．(2012·淄博模拟)已知sin 2α＝－2425，α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，则sin α＋cos α＝( ) A ．－15B.15 C ．－75D.75解析：选B (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝125，又α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，sin α＋cos α>0，所以sin α＋cos α＝15.5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( ) A ．－33B.33C ．－ 3D. 3解析：选D cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝sin φ＝32， 又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.6．已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12D ．－12解析：选B 由2tan α·sin α＝3得，2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，又－π2＜α＜0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－32. 7．cos ⎝⎛⎭⎫－17π4－sin ⎝⎛⎭⎫－17π4的值是________． 解析：原式＝cos 17π4＋sin 17π4＝cos π4＋sin π4＝ 2.答案： 28．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝________. 解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)，故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310. 答案：3109．(2012·中山模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 解析：sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. 答案：－2310．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°. 解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 11．已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin [α＋(2n ＋1)π]＋sin [α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)cos (α－2n π)(n ∈Z )．解：∵cos(π＋α)＝－12，∴－cos α＝－12，cos α＝12.又∵α是第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin [2π＋(－α)]＝sin(－α) ＝－sin α＝32； (2)sin [α＋(2n ＋1)π]＋sin [α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)·cos (α－2n π)＝sin (2n π＋π＋α)＋sin (－2n π－π＋α)sin (2n π＋α)·cos (－2n π＋α)＝sin (π＋α)＋sin (－π＋α)sin α·cos α＝－sin α－sin (π－α)sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.12．(2012·信阳模拟)已知角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫45，－35. (1)求sin α的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值．解：(1)∵|OP |＝1， ∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54.1．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12B ．－12C ．2D ．－2解析：选A 由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，故cos x sin x －1＝12. 2．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433D. 3解析：选C 依题意可知角α的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－433. 3．已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根． (1)求角A ； (2)若1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B＝－3，求tan B .解：(1)由已知可得，3sin A －cos A ＝1.① 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin 2A ＋(3sin A －1)2＝1，即4sin 2A －23sin A ＝0， 得sin A ＝0(舍去)或sin A ＝32， 则A ＝π3或2π3，将A ＝π3或2π3代入①知A ＝2π3时不成立，故A ＝π3.(2)由1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B＝－3，得sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0， ∵cos B ≠0，∴tan 2B －tan B －2＝0， ∴tan B ＝2或tan B ＝－1.∵tan B ＝－1使cos 2B －sin 2B ＝0，舍去， 故tan B ＝2.1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m ，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α等于( ) A ．mB ．－m C.1－m 2D ．－1－m 2解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m . 2．求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan θ＝1sin θ＋1cos θ. 证明：左边＝sin θ⎝⎛⎭⎫1＋sin θcos θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫1＋cos θsin θ ＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ＝⎝⎛⎭⎫sin θ＋cos 2θsin θ＋⎝⎛⎭⎫cos θ＋sin 2θcos θ ＝sin 2θ＋cos 2θsin θ＋cos 2θ＋sin 2θcos θ＝1sin θ＋1cos θ＝右边． 3．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2<α<π.求下列各式的值：(1)sin α－cos α；(2)sin 3⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos 3⎝⎛⎭⎫π2＋α. 解：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23，① 将①两边平方，得1＋2sin α·cos α＝29，故2sin α·cos α＝－79.又π2<α<π，∴sin α>0，cos α<0. (1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169，∴sin α－cos α＝43. (2)sin 3⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos 3⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos 3α－sin 3α＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α)＝－43×⎝⎛⎭⎫1－718＝－2227. 第三节三角函数图象与性质[知识能否忆起]1．周期函数 (1)周期函数的定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质[小题能否全取]1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4，x ∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π4，x ∈R C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π－3π4，k ∈Z ，x ∈R D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R 解析：选D ∵x －π4≠k π＋π2，∴x ≠k π＋3π4，k ∈Z .2．(教材习题改编)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝cos 2xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2 解析：选B 选项A 、D 中的函数均为偶函数，C 中函数的最小正周期为π2，故选B.3．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π解析：选C 作出函数y ＝|sin x |的图象观察可知，函数y ＝|sin x |在⎝⎛⎭⎫π，3π2上递增． 4．比较大小，sin ⎝⎛⎭⎫－π18________sin ⎝⎛⎭⎫－π10. 解析：因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，0上为增函数且－π18>－π10，故sin ⎝⎛⎭⎫－π18>sin ⎝⎛⎭⎫－π10. 答案：>5．(教材习题改编)y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________．此时x ＝________. 解析：当cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－1时，函数y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4取得最大值5，此时x ＋π4＝π＋2k π，从而x ＝34π＋2k π，k ∈Z .答案：5 34π＋2k π，k ∈Z1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出 x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内． 注意区分下列两种形式的函数单调性的不同：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－ωx . 2．周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义 域内的每一个x 值都满足f (x ＋T )＝f (x )，其中T 是不为零的 常数．如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，或找到哪怕 只有一个x 值不满足f (x ＋T )＝f (x )，都不能说T 是函数f (x ) 的周期．典题导入[例1] (1)(2012·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．(2)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1D.⎣⎡⎦⎤－1，54 [自主解答] (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. [答案] (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z (2)C若本例(2)中x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，试求其值域． 解：令t ＝sin x ，则t ∈[0,1]． ∴y ＝t 2＋t －1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－54. ∴y ∈[－1,1]．∴函数的值域为[－1,1]．由题悟法1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x 、cos x 的值域；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))．以题试法1．(1)函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域为________．(2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332D.⎣⎡⎦⎤－332，3 解析：(1)要使函数有意义则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z ). 利用数轴可得函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <π2，或π≤x ≤4.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. 答案：(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <π2，或π≤x ≤4 (2)B典题导入[例2] (2012·华南师大附中模拟)已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，求： (1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．[自主解答] 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (1)周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 从而x ∈[－π，0]时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的减区间为⎣⎡⎦⎤－π，－7π12，⎣⎡⎦⎤－π12，0.由题悟法求三角函数的单调区间时应注意以下几点：(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx ＋φ看作是一个整体，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k∈Z )求得函数的减区间．(2)形如y ＝A sin(－ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数，可先利用诱导公式把x 的系数变为正数，得到y ＝－A sin(ωx －φ)，由－π2＋2k π≤ωx －φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的减区间，由π2＋2k π≤ωx －φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的增区间．(3)对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等，函数的单调区间求法与y ＝A sin(ωx ＋φ)类似．以题试法2．(1)函数y ＝|tan x |的增区间为________．(2)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：(1)作出y ＝|tan x |的图象，观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z .(2)f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因为函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫π7<f ⎝⎛⎭⎫π6，而c ＝f ⎝⎛⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f (0)<f ⎝⎛⎭⎫π7， 所以c <a <b .答案：(1)⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z (2)B典题导入[例3] (2012·广州调研)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2(x ∈R )，给出下面四个命题： ①函数f (x )的最小正周期为π；②函数f (x )是偶函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称；④函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[自主解答] 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f (x )是偶函数，②正确；由f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，③错误；由f (x )的图象易知函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，故④正确．综上可知，选C. [答案] C由题悟法1．三角函数的奇偶性的判断技巧首先要对函数的解析式进行恒等变换，再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．2．求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义．(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(3)利用图象． 3．三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．以题试法3．(1)(2012·青岛模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 (2)(2012·遵义模拟)若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫－π8，0 B ．(0,0) C.⎝⎛⎭⎫－18，0D.⎝⎛⎭⎫18，0解析：(1)选A 对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减函数．(2)选C 由条件得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa ＝1，∴a ＝2π，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π4.将x ＝－18代入得函数值为0.含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思 维问题，难度相对较大一些.正确利用三角函数的 性质求解此类问题，是以熟练掌握三角函数的各 条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合.下面就利用三角函数性质求解参 数问题进行策略性的分类解析. 1．根据三角函数的单调性求解参数[典例1] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )，则ω的值为________． [解析] 由题意，得⎝⎛⎭⎫k π＋7π12－⎝⎛⎭⎫k π－5π12＝π，即函数f (x )的周期为π，则ω＝2. [答案] 2[题后悟道] 解答此类问题时要注意单调区间的给出方式，如“函数f (x )在⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )上单调递增”与“函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )”，二者是不相同的．针对训练1．(2012·荆州模拟)若函数y ＝2cos ωx 在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )A ．2 B.12 C ．3D.13解析：选B 由y ＝2cos ωx 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有f ⎝⎛⎭⎫2π3＝1，即2×cos ⎝⎛⎫ω×2π3＝1， 即cos ⎝⎛⎭⎫2π3ω＝12，检验各选项，得出B 项符合． 2．根据三角函数的奇偶性求解参数[典例2] 已知f (x )＝cos ()3x ＋φ－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )A.π6B.π3 C ．－π6D ．－π3[解析]f (x )＝2⎣⎡⎦⎤12cos (3x ＋φ)－32sin (3x ＋φ)＝2cos ⎣⎡⎦⎤(3x ＋φ)＋π3＝2cos ⎣⎡⎦⎤3x ＋⎝⎛⎭⎫φ＋π3，由f (x )为偶函数，知φ＋π3＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π3(k ∈Z )，由所给选项。
三角函数及解三角形知识点
三角函数知识点正角 : 按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角2、角的极点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的会集为k 360k 36090 , k第二象限角的会集为k 36090k 360180 , k第三象限角的会集为k 360180k 360270 , k第四象限角的会集为k 360270k 360360 , k终边在 x 轴上的角的会集为k180 ,k终边在 y 轴上的角的会集为k 180 90 ,k终边在坐标轴上的角的会集为k 90 ,k3、与角终边相同的角的会集为k 360, k4、已知是第几象限角，确定n* 所在象限的方法：先把各象限均分n 等n份，再从 x 轴的正半轴的上方起，依次将各地域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的地域．n5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是l ．r7、弧度制与角度制的换算公式：2360 ，1， 1180．1808、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为l，周长为C，面积为S，则 l r ， C 2r l ，S 1lr1r 2．229、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是x, y ，它与原点的距离是 r r x2y 20 ，则sin y， cosx， tan y x 0 ．r r x10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线： sin， cos， tan．12、同角三角函数的基本关系： 1 sin 2cos21sin 21cos2,cos2 1 sin2； 2sin tancossin tan cos,cos sin．tan yP T O M A x13、三角函数的引诱公式：1 sin 2k sin，cos 2k cos，tan 2k tan k．2 sin sin，cos cos，tan tan．3 sin sin，cos cos，tan tan．4 sin sin，cos cos，tan tan．口诀：函数名称不变，符号看象限．5 sin cos，cos sin．226 sin cos，cos sin．22口诀：奇变偶不变，符号看象限．14、函数y sin x 的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，获取函数y sin x的图象；再将函数y sin x的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），获取函数y sin x的图象；再将函数y sin x的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），获取函数 y sin x的图象．函数 y sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），获取函数y sin x 的图象；再将函数y sin x 的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，获取函数y sin x的图象；再将函数y sin x的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），获取函数y sin x的图象．函数 y sin x0,0 的性质：① 振幅：；②周期：2；③频率： f1；④相位：x；⑤初相：2．函数 y sin x，当 x x1时，获取最小值为 y min；当 x x2时，获取最大值为 y max，则1ymaxymin，1ymaxymin，x2x1x1 x2．222 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函性数y sin x y cos x y tan x质图象定义R R x x k, k2域值1,11,1R域最当 x 2k k当 x 2k k时，值2既无最大值也无最小值时，y max1；当x2k2k时， y min1．周2期性奇奇函数偶性在2k, 2k22单k上是增函数；在调性2k, 2k322k上是减函数．对对称中心 k,0k称对称轴性x k k2半角公式y max1；当x2kk时， y min1．2偶函数奇函数在 2k,2 k k上是增函数；在在 k2, k22k,2 kk上是增函数．k上是减函数．对称中心对称中心k,0kkk,022对称轴 x k k无对称轴sin(A/2)=√((1 -cosA)/2)sin(A/2)=-√((1 -cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1 -cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1 -cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1 -cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB辅助角公式sin cos2 2 sin，其中tan．降幂公式（sin^2 ） x=1-cos2x/2（cos^2）x=i=cos2x/2全能公式令 tan(a/2)=tsina=2t/(1+t^2)cosa=(1-t^2)/(1+t^2)tana=2t/(1-t^2)公式一：设α 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin tan （2kπ＋α）＝（2kπ＋α）＝sin αtan αcoscot（2kπ＋α）＝（2kπ＋α）＝cosαcot α公式二：设α为任意角，π +α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin tan （π＋α）＝－ sin αcos（π＋α）＝－cosα（π＋α）＝ tan αcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 - α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sin αcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tan αcot（－α）＝－cot α公式四：利用公式二和公式三可以获取π - α与α的三角函数值之间的关系：sin tan （π－α）＝ sin α（π－α）＝－ tan αcoscot（π－α）＝－（π－α）＝－cosαcot α公式五：利用公式一和公式三可以获取2π - α与α的三角函数值之间的关系：sin tan （2π－α）＝－（2π－α）＝－sin αtan αcoscot（2π－α）＝ cosα（2π－α）＝－ cot α公式六：π/2 ±α及 3π/2 ±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π /2＋α）＝ cosαcos（π /2 ＋α）＝－ sin αtan （π /2＋α）＝－ cot αcot（π /2 ＋α）＝－ tan αsin（π /2－α）＝ cosαcos（π /2 －α）＝ sin αtan （π /2－α）＝ cot αcot（π /2 －α）＝ tan α( 以上 k∈Z)注意：在做题时，将 a 看作锐角来做会比较好做。
第三章 三角函数、解三角形 复习讲义
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数◆考纲·了然于胸◆ 1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．[要点梳理]1．角的概念(1)角的分类(按旋转的方向)：角⎩⎪⎨⎪⎧正角：按照逆时针方向旋转而成的角。
负角：按照顺时针方向旋转而成的角。
零角：射线没有旋转.(2)象限角与轴线角：(3)终边相同的角所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S ＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z }． 质疑探究1：(1)第二象限角一定是钝角吗？(2)终边相同的角一定相等吗？提示：(1)钝角是第二象限角，但第二象限角不一定是钝角；(2)终边相同的角不一定相等． 2．弧度制(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式(3)规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．三个三角函数的初步性质如下表：如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .质疑探究[小题查验]1．－870°角的终边在第几象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四2．(2016·龙岩质检)已知α为第二象限角，sin α＝45，则tan α的值为( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－433．(2016·洛阳一模)已知△ABC 为锐角三角形，且A 为最小角，则点P (sin A －cos B,3cos A －1)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 5．给出下列命题：①三角形的内角必是第一、二象限角．②第一象限角必是锐角．③不相等的角终边一定不相同．④若β＝α＋k ·720°(k ∈Z )，则α和β终边相同．⑤点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第二象限． 其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)考点一 象限角及终边相同的角(基础型考点——自主练透)[方法链接]1．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角． 2．表示区间角的三个步骤：(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间． (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．3．已知角α终边所在的象限，求2α、α2、π－α等角的终边所在象限问题，可由条件先写出α的范围，解不等式得出角2α、α2、π－α等的范围，再根据范围确定象限．[题组集训]1．若角θ的终边与6π7角的终边相同，则在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角为________．2．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________． 3．已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界)，则角α的集合为______________________．4．如果α是第三象限的角，则角－α的终边所在位置是____________，角2α的终边所在位置是________，角α3终边所在的位置是________．考点二 三角函数的定义(深化型考点——引申发散)[一题多变]【例1】 设角α终边上一点P (－4a,3a )(a ＜0)，求sin α的值． [发散1] 若本例中“a ＜0”，改为“a ≠0”，求sin α的值．[发散2] 若本例中条件变为：已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 活学活用 若本例中条件变为：已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0), 且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． [类题通法]用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．考点三 三角函数线、三角函数值的符号(重点型考点——师生共研) 【例2】 (1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 (2)已知cos α≤－12，则角α的集合为________．【名师说“法”】(1)熟练掌握三角函数在各象限的符号．(2)利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤：①用边界值定出角的终边位置；②根据不等式(组)定出角的范围；③求交集，找单位圆中公共的部分；④写出角的表达式．跟踪训练(1)y＝sin x－32的定义域为____________．(2)已知sin 2θ<0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P(tan θ，cos θ)在第________象限．考点四扇形的弧长、面积公式的应用(深化型考点——引申发散)【例3】已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．[发散1]去掉本例条件“面积是4”，问当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？[发散2]若本例中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．[发散3]若本例条件变为：扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，求弧长l.[类题通法]应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．易错警示3错用三角函数的定义(2016·天津模拟)已知角θ的终边上一点P(3a,4a)(a≠0)，则sin θ＝________.成功破障已知角α的终边经过点P(－3，m)，且sin α＝34m(m≠0)，则tan α的值为________．[课堂小结]【方法与技巧】1．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．【失误与防范】1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．课时活页作业(十七)[基础训练组]1．(2016·南平质检)喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是() A．30°B．－30°C．60°D－60°2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin 2α>0D ．cos 2α>03．(2016·乌鲁木齐模拟)设函数f (x )满足f (sin α＋cos α)＝sin α cos α，则f (0)＝( )A ．－12B ．0 C.12 D ．14．(2016·潍坊模拟)如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( ) A ．(cos θ，sin θ) B ．(－cos θ，sin θ) C ．(sin θ，cos θ) D ．(－sin θ，cos θ) 5．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，126．在与2010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 7．已知角β的终边在直线y ＝3x 上，则sin β＝________.8．(2016·玉溪模拟)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________.9．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值． 10．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .[能力提升组]11．(2016·海淀模拟)若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z )，则角α与β的终边的位置关系是( )A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称12．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－313．(2016·太原模拟)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 14．(2016·合肥调研)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． 15．已知sin α＜0，tan α＞0.(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2 sin α2 cos α2的符号．第2节 同角三角函数基本关系及诱导公式◆考纲·了然于胸◆1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．[要点梳理]1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．下列各角的终边与角α的终边的关系31．给出下列命题：①sin 2θ＋cos 2φ＝1.②同角三角函数的基本关系式中角α可以是任意角．③六组诱导公式中的角α可以是任意角． ④诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关． ⑤若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.其中正确的是( )A ．①③B ．④C ．②⑤D ．④⑤2．(2015·高考福建卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512 3．sin 585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.324．若cos α＝－35，且α∈(π，3π2)，则tan α＝________.5．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2 α的值是________．考点一 同角三角函数关系式的应用(深化型考点——引申发散)[一题多变]【例1】 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．[发散1] 若本例中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，求sin α＋cos α的值．[发散2] 保持本例条件不变，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋2sin αcos α的值．[发散3] 若本例条件变为：sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，求tan α的值．[类题通法]1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 考点二 三角函数的诱导公式的应用(基础型考点——自主练透)[方法链接](1)给角求值的原则和步骤①原则：负化正、大化小、化到锐角为终了．②步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0～π4之间角的三角函数，然后求值，其步骤为：(2)给值求值的原则：寻求所求角与已知角之间的联系，通过相加或相减建立联系，若出现π2的倍数，则通过诱导公式建立两者之间的联系，然后求解．常见的互余与互补关系①常见的互余关系有：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补关系有：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题．[题组集训]1．sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos (－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________. 2．已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________.3．设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos (3π2＋α)－sin 2(π2＋α)(1＋2sin α≠0)，则f (－23π6)＝________.4．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________.考点三 同角关系式、诱导公式在三角形中的应用(重点型考点——师生共研)【例2】 在△ABC 中，若sin(3π－A )＝2sin(π－B )，cos(3π2－A )＝2cos(π－B )．试判断三角形的形状．【名师说“法”】(1)在△ABC 中常用到以下结论：sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ， sin(A 2＋B 2)＝sin(π2－C 2)＝cos C 2，cos(A 2＋B 2)＝cos(π2－C 2)＝sin C 2.(2)求角时，一般先求出该角的某一个三角函数值，如正弦值，余弦值或正切值，再确定该角的范围，最后求角． 跟踪训练在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos (π－B )，求△ABC 的三个内角．思想方法11 分类讨论思想在三角函数化简中的应用 典例 化简：sin(4n －14π－α)＋cos(4n ＋14π－α)(n ∈Z )．即时突破 已知A ＝sin (kπ＋α)sin α＋cos (kπ＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}[课堂小结]【方法与技巧】同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ(1＋1tan 2θ)＝tan π4＝….【失误与防范】利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．课时活页作业(十八)[基础训练组]1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.122．(2016·济南质检)α∈(－π2，π2)，sin α＝－35，则cos(－α)的值为( )A ．－45 B.45 C.35 D ．－353．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f (－25π3)的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－324．(2016·皖北模拟)若sin(π6＋α)＝35，则cos(π3－α)＝( )A ．－35 B.35 C.45 D ．－455．(2016·石家庄模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )A.355 B.377 C.31010 D.136．(2016·成都一模)已知sin(π－α)＝log 814 ，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为________．7．(2015·辽宁五校第二次联考)已知sin x ＝m －3m ＋5，cos x ＝4－2m m ＋5，且x ∈(3π2，2π)，则tan x ＝________.8．已知cos(π6－θ)＝a (|a |≤1)，则cos(5π6＋θ)＋sin(2π3－θ)的值是________．9．已知sin(3π＋α)＝2sin(3π2＋α)，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.10．设0≤θ≤π，P ＝sin 2θ＋sin θ－cos θ.(1)若t ＝sin θ－cos θ，用含t 的式子表示P ； (2)确定t 的取值范围，并求出P 的最大值和最小值．[能力提升组]11．(2016·厦门模拟)已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值是( )A.1－a 2aB.1－a 2C.a 2－1aD ．－1－a 212．(2016·太原二模)已知sin α＋cos α＝2，α∈(－π2，π2)，则tan α＝( )A ．－1B ．－22 C.22D ．1 13．(2016·海淀模拟)已知sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，那么(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为( )A ．6B ．4C ．2D ．014．(2016·新疆阿勒泰二模)已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 15．已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根．(1)求角A ；(2)若1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B＝－3，求tanB.第3节 三角函数的图象与性质◆考纲·了然于胸◆1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间(－π2，π2)内的单调性．[要点梳理]1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图：正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质1．下列说法正确的是( )A ．函数y ＝cos x 在第一象限内是减函数B ．函数y ＝tan x 在定义域内是增函数C ．函数y ＝sin x cos x 是R 上的奇函数D ．所有周期函数都有最小正周期2．(2015·新课标卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A ．(k π－14，k π＋34)，k ∈ZB ．(k －14，k ＋34)，k ∈ZC ．(2k π－14，2k π＋34)，k ∈ZD ．(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z3．(2016·三明模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f (π6＋x )＝f (π6－x )，则f (π6)等于( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0 4．函数y ＝tan (2x ＋π4)的图象与x 轴交点的坐标是________．5．(2015·江苏高考)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是__．考点一 三角函数的定义域、值域问题(基础型考点——自主练透)[方法链接](1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； ②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[题组集训]1．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．2．函数f (x )＝3sin(2x －π6)在区间[0，π2]上的值域为________．3．当x ∈[π6，7π6]时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．考点二 三角函数的单调性(重点型考点——师生共研) 【例】 (1) y ＝sin(π3－2x )的单调递减区间为________．(2)(2016·洛阳模拟)若f (x )＝2sin ωx ＋1(ω>0)在区间[－π2，2π3] 上是增函数，则ω的取值范围是________．互动探究 在本例(1)中函数不变，求函数在[－π，0]上的单调递减区间． 【名师说“法”】求三角函数单调区间的两种方法](1)代换法：就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间．(2)图象法：函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间．提醒：]求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域． 跟踪训练(1)y ＝tan(2x －π3)的单调递增区间为________．(2)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f (π7)，b ＝f (π6)，c ＝f (π3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a 考点三 三角函数的奇偶性、周期性和对称性(高频型考点——全面发掘)[考情聚焦]正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．归纳起来常见的命题角度有：(1)三角函数的周期；(2)求三角函数的对称轴或对称中心；(3)三角函数对称性的应用． 角度一 三角函数的周期1．函数y ＝－2cos 2(π4＋x )＋1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的非奇非偶函数2．(2016·长沙一模)若函数f (x )＝2tan(kx ＋π3)的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．角度二 求三角函数的对称轴或对称中心3．(2016·揭阳一模)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f (3π4－x )( )A ．是奇函数且图象关于点(π2，0)对称 B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称角度三 三角函数对称性的应用 4．(2016·辽宁五校联考)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为( )A ．－34 B ．－14 C ．－12 D.345．函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________.[通关锦囊](1)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义；②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|；③利用图象：对含绝对值的三角函数的周期问题，通常要画出图象，结合图象进行判断． (2)三角函数的对称性、奇偶性①正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心．②若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )．③若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可．[题组集训]1．(2016·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )A.π6B.π3 C ．－π6 D ．－π32．(2016·湖南六校联考)若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0＜ω＜5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是(π8，0)，则f (x )的最小正周期是________．易错警示4 三角函数单调性忽视x 的系数致错 典例 求函数y ＝12sin(π4－2x3)的单调区间为________．提醒：](1)对于其它形式的三角函数，首先要变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)才可．(2)求单调区间要注意定义域．即时突破 函数y ＝cos(2x ＋π6)的单调递增区间为________．[课堂小结]【方法与技巧】1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质． 【失误与防范】1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响． 2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时情况．课时活页作业(十九)[基础训练组]1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A ．[－π6，π6] B ．[k π－π6，k π＋π6]，k ∈Z C ．[2k π－π6，2k π＋π6]，k ∈Z D ．R2．(2016·南昌联考)已知函数f (x )＝sin (ωx ＋π6)－1(ω＞0)的最小正周期为2π3，则f (x )的图象的一条对称轴方程( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π23．(2016·广州测试)若函数y ＝cos(ωx ＋π6)(ω∈N *)的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 4．(2016·九江模拟)下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11° 5．将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移|m |个单位，若所得的图象关于直线x ＝π6对称，则|m |的最小值为( )A.π3 B.π6 C ．0 D.π126．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的________条件．7．(2016·大庆模拟)若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间[0，π3]上的最大值是2，则ω＝________.8．(2016·荆州质检)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为π，且函数图象关于点(－3π8，0)对称，则函数的解析式为________．9．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π2.(1)求f (x )的最小正周期和对称轴方程；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4时，求f (x )的值域． 10．设函数f (x )＝sin(πx 3－π6)－2cos 2πx6.(1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最大值．[能力提升组]11．(2014·课标全国Ⅰ)在函数①y ＝cos |2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos(2x ＋π6)，④y ＝tan(2x －π4)中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④ B ．①③④ C ．①②③ D ．①③12．(2016·济南调研)已知f (x )＝sin 2 x ＋sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调增区间分别为( )A ．π，[0，π]B ．2π，[π4，3π4]C ．π，[－π8，3π8]D ．2π，[－π4，π4]13．(2016·豫北六校联考)若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)成中心对称，且－π2＜φ＜π2，则函数y ＝f (x ＋π3)为( )A ．奇函数且在(0，π4)上单调递增B ．偶函数且在(0，π2)上单调递增C ．偶函数且在(0，π2)上单调递减D ．奇函数且在(0，π4)上单调递减14．(2015·安阳模拟)已知函数y ＝A cos(π2x ＋φ)(A >0)在一个周期内的图象如图所示，其中P ，Q 分别是这段图象的最高点和最低点，M ，N 是图象与x 轴的交点，且∠PMQ ＝90°，则A 的值为________． 15．(2016·荆门调研)已知函数f (x )＝a (2cos 2x 2＋sin x )＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．第4节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用◆考纲·了然于胸◆1．了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义，能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题．[要点梳理]1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示.2.函数y3．图象的对称性:函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．[小题查验]1．函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π2，π]上的简图是( )2．(2015·高考山东卷)要得到函数y ＝sin(4x －π3)的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位3．函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如图所示，则(OB →－OA →)·OB →＝( )A ．－4B ．2C ．－2D ．44．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.5．把函数y ＝sin(5x －π2)的图象向右平移π4个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得的函数解析式为________．考点一 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式(基础型考点——自主练透)确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[题组集训]1．(2016·山西四校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则y ＝f (x ＋π6)取得最小值时x 的集合为( )A ．{x |x ＝k π－π6，k ∈Z }B ．{x |x ＝k π－π3，k ∈Z }C ．{x |x ＝2k π－π6，k ∈Z }D ．{x |x ＝2k π－π3，k ∈Z }2．(2016·东北三校联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( ) A ．y ＝4sin(4x ＋π6) B ．y ＝2sin(2x ＋π3)＋2 C ．y ＝2sin(4x ＋π3)＋2 D ．y ＝2sin(4x ＋π6)＋23．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．2＋3 B.3 C.33D ．2－ 3 考点二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(题点多变型考点——全面发掘)【例1】 (2014·重庆高考)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f (π6)＝________.[发散1] 将本例变为：由函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到y ＝2sin(2x －π3)的图象？[发散2] 将本例中函数f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为． [发散3] 将本例变为：若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω＞0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为________．[类题通法]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种作法(1)五点法：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．[提醒] ]平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 考点三 三角函数模型的应用(重点型考点——师生共研)【例2】 (2014·湖北高考)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cosπ12t －sin π12t ，t ∈[0,24)． (1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 【名师说“法”】本题属三角函数模型的应用，通常的解决方法：转化为y ＝sin x ，y ＝cos x 等函数解决图象、最值、单调性等问题，体现了化归的思想方法；用三角函数模型解决实际问题主要有两种：一种是用已知的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，充分体现了新课标中“数学建模”的本质． 跟踪训练如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，φ∈(0，π)．(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．规范答题3 三角函数图象与性质的综合问题典例 (本小题满分12分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos (x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期．(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．即时突破 (2016·湖北八校联考)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间[－π6，π4]上的值域．[课堂小结]【方法与技巧】1．五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化． 2．由图象确定函数解析式由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A 、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一个零点(－φω，0)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点． 3．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离) 【失误与防范】1．由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，则平移时要把x 前面的系数提出来． 2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化．课时活页作业(二十)[基础训练组]1．(2016·深圳二模)如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时，f (x )取得最大值，那么( )A ．T ＝2，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝πD ．T ＝1，θ＝π22．已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12] D ．(0,2]3．(2016·长沙一模)定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin2x cos 2x 1 3，则将f (x )的图象向右平移π3个单位所得曲线的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π6B ．x ＝π4C ．x ＝π2D ．x ＝π4．(2016·长春模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(|φ|＜π2)向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在[0，π2]上的最小值为( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32。
二轮专题复习(二)：三角函数与解三角形
二轮专题复习（二）：三角函数与解三角形•应知已会——熟练 •会而不对——巩固 •对而不全——强化 •全而不优——指导三角函数二轮复习的目标和方向（1）注重任意角三角函数的定义，深化公式的理解记忆 （2）二倍角公式和两角和差公式是化简的核心工具 （3）三角函数的图象与性质是核心（4）解三角形问题要充分利用正、余弦定理以及两角和与差的三角公式 典型例题：一.三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换例1.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=( )A ．45-B ．35-C ．35D ．45变式1.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，则||(a b -= )A ．15B CD ．1变式2.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --．(1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．例2.若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是( )（A ）πsin()2α+ （B ）πcos()2α+（C ）sin(π)α+ （D ）cos(π)α+变式1.若tan 0α>，则( )A. sin 20α>B. cos 0α>C. sin 0α>D. cos20α>例3.已知α∈(0，)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=( )A ． BCD变式1．若 ，则( ) A ．B ．C ．1D ． 变式2．若，则tan2α=（ ） A ．−B ．C ．−D ． 变式3．已知，则（ ） A ．B ．C ．D ．变式4．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ） A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=变式5．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+= ． 变式6. 已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=_________ 二. 三角函数的图象与性质例 1.动点(),A x y 在圆422=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周,已知时间0t =时,点A 的坐标是)3,1(,则动点A 的纵坐标y 关于t （秒）的函数的解析式为 .例2.若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数，则a 的最大值是( )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π变式1. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是（ ） 2π155353tan 4α=2cos 2sin 2αα+=642548251625sin cos 1sin cos 2αααα+=-34344343210cos 2sin ,=+∈αααR =α2tan 344343-34-A ．]45,21[B ．]43,21[C ．]21,0(D ．]2,0(变式2.函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）．A ．13(,)44k k ππ-+，k Z ∈ B ．13(2,2)44k k ππ-+，k Z ∈ C ．13(,)44k k -+，k Z ∈ D ．13(2,2)44k k -+，k Z ∈ 变式3.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈ 恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是_________________ 例3.函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为 ______ ． 变式1.若x ∈(0,)则2tanx+tan(-x)的最小值为 . 变式2.若，则函数的最大值为 .变式3. 函数xxy cos 3sin 1--=的值域___________.变式4.当时，函数的最小值为__________.例4.函数图像可由函数图像至少向右平移____个单位长度得到．变式1.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移则ϕ=_________。
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专题一 三角函数与解三角形一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1、弧度制的定义与公式：定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度记作rad. 公式角错误!未找到引用源。
的弧度数公式 r=α角度与弧度的换算错误!未找到引用源。
①rad 1801π=︒ ②错误!未找到引用源。
弧长公式扇形面积公式2 第一定义：设错误!未找到引用源。
是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则错误!未找到引用源。
第二定义：设错误!未找到引用源。
是任意角，它的终边上的任意一点P(x,y)，则错误!未找到引用源。
.考点1 三角函数定义的应用例1 .已知角α的终边在直线043=+y x 上，则=++αααtan 4cos 5sin 5 . 变式：（1）已知角α的终边过点)30sin 6,8(︒--m P ，且54cos -=α，则m 的值为 . （2）在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________． （3）4tan 3cos 2sin 的值（ ）A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在考点2 扇形弧长、面积公式的应用例2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为︒120，则扇形的弧长为 面积为 . 变式：已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，则弦AB 所对的圆心角α的大小为 ，α所在的扇形弧长 为 ，弧所在的弓形的面积S 为 .二、同角三角函数的基本关系及诱导公式1、1cos sin 22=+αα αααcos sin tan =例1.已知α是三角形的角，且.5cos sin =+αα (1)求αtan 的值； (2)把αα22sin cos 1+用αtan 表示出来，并求其值.变式：1、已知α是三角函数的角，且31tan -=α，求ααcos sin +的值.2、已知.34tan -=α（1）求ααααcos 2sin 5cos 4sin +-的值；（2）求αααcos sin 2sin 2+的值.3.若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.考点2 利用ααcos sin ±与ααcos sin 关系求值例2. 已知关于x 的方程0)13(22=++-m x x 的两根为ααcos sin 和，且()πα20，∈. (1)求 αααααtan 1cos cos sin sin 2-+-的值；(2)求m 的值；(3)求方程的两根及此时α的值.变式（1⎪⎭⎫⎝⎛∈40πθ，，则sin cos θθ-的值为 （ ）． A．3 B．3- C ．13 D ．13- （2）已知7(0,),sin cos 13απαα∈+=,则tan α= ．考点3 诱导公式的应用例3.（1）=--+-︒︒︒︒)1050sin()1020cos(1290cos )1200sin( .（2）设243943sin,cos(),c tan()51012a b πππ==-=-，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> （3）设)2(sin )23cos(sin 1)cos()cos()sin(2)(22απαπααπαπαπα+-++++--+=f （0sin 21≠+α），则=-)623(πf .例4.（1）已知α是第四象限角，且53)4sin(=+πα，则=-)4tan(πα .（2）已知33)6tan(=-απ，则=+)65tan(απ .三、三角函数的图像与性质函数 x y sin =x y cos = x y tan =图像定义域 值域 周期性 奇偶性 单调增区间 单调减区间 对称中心 对称轴考点1 三角函数的定义域、值域例1.（1）函数1sin 2-=x y 的定义域为（ ） A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ B)(652,62Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ C )(652,62Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++ππππ D )(65,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ （2）函数29)2lg(sin x x y -+=的定义域为 . （3）函数)62sin(3π-=x y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的值域为（ ）A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23 B⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,23 C⎥⎦⎤⎢⎣⎡-233,233 D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,233 变式：1.函数)36sin(2ππ-=x y (0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 32.已知函数f （x ）=2sin ωx （ω＞0）在区间上的最小值是﹣2，则ω的最小值等于（ ）A ．B ．C ．2D ．33.设函数)sin(215)(x x f π=，若存在)1,1(0-∈x 同时满足以下条件：①对任意的R ∈x ，都有)()(0x f x f ≤成立；②22200[()]x f x m +<，则m 的取值围是 ． 4.存在实数x ，使得关于x 的不等式2cos sin x a x <-成立，则a 的取值围为 ．考点2 三角函数的单调性例2.（1）已知函数)0(cos sin 3)(>+=ωωωx x x f ，)(x f y =的图象与直线2=y 的两个相邻交点的距离等于π，则)(x f 的单调递增区间是（ ）A. Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππB. Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,1211,125ππππC. Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,6,3ππππD. Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,32,6ππππ（2）函数)32sin(π+-=x y 的单调递减区间为 .（3）已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，则ω的取值围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]考点3 三角函数的奇偶性、周期性、对称性例3.（1）函数1)4(cos 22++-=πx y 是（ ）A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数 D .最小正周期为2π的偶函数（2）若函数)3tan(2π+=kx y 的最小正周期T 满足21<<T ，则自然数k 的值为 . 例4.已知函数)0(1)6sin(>-+=ωπωx y 的最小正周期为32π，则)(x f 的图象的一条对称轴方程为（ ）A 9π=xB 6π=xC 3π=xD 2π=x例5.设函数)2,0)(cos()sin(πϕωϕωϕω<>+++=x x y 的最小正周期为π，且)()(x f x f =-，则（ ）A.)(x f 在)2,0(π单调递减B.)(x f 在)34,4(ππ单调递减C.)(x f 在)2,0(π单调递增 D.)(x f 在)34,4(ππ单调递增例 6.已知()sin()(0)3f x x πωω=+>，()()63f f ππ=，且()f x 在区间(,)63ππ有最小ω= ．1、的概念x y sin =)0,0)(sin(>>+=A x A y 方法一：方法二：考点1 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象及变换例1.某同学用“五点法”画函数)2,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x A x f 在某一个周期的图象，列表)(x f (2)将)(x f y =图象上所有点向左平移)0(>θθ个单位长度，得到)(x f y =的图象，若)(x g y =图象的一个对称中心为)0,125(π, 求θ的最小值.考点2 求函数)sin(ϕω+=x A y 的解析式例2. 函数)sin(ϕω+=x A y 的部分图像如图所示，则（ ）A. )62sin(2π-=x yB. )32sin(2π-=x yC. )6sin(2π+=x yD. )3sin(2π+=x y例3. 已知函数)22,0)(sin(3πϕπωϕω<≤->+=x y 的图象关于直线3π=x ，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ϕω和的值； （2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求函数)(x f y =的最值.变式： 1.函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其 中A ，B 两点之间的距离为5，则f （x ）的递增区间是（ ）A ．[6k ﹣1，6k+2]（k ∈z ）B ．[6k ﹣4，6k ﹣1]（k ∈z ）C ．[3k ﹣1，3k+2]（k ∈z ）D ．[3k ﹣4，3k ﹣1]（k ∈z ）2.若三角函数f (x )的部分图象如图，则函数f (x )的解析式，以及S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)的值分别为( )A ．f (x )＝12sin πx 2＋1，S ＝2 012B ．f (x )＝12cos πx2＋1，S ＝2 012C ．f (x )＝12sin πx 2＋1，S ＝2 012.5D ．f (x )＝12cos πx2＋1，S ＝2 012.53.将函数()sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移4π个单位长度得到sin y x =的图象，则()6f π= ． 4.已知函数f （x ）=sin （2x+φ）（0＜φ＜π），若将函数y=f （x ）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则实数φ=（ ） A ．B ．C ．D ．5.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度6.设函数()sin(2)6f x x π=+，则下列结论正确的是（ ）A 、()f x 的图象关于直线x 3π=对称 B 、()f x 的图象关于点(,0)6π对称C 、()f x 的最小正周期为π，且在[0,]12π上为增函数D 、把()f x 的图象向右平移12π个单位，得到一个偶函数的图象五、 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式=+)sin(βα=-)sin(βα=+)cos(βα=-)cos(βα =+)tan(βα=-)tan(βα2、二倍角公式=α2sin=α2cos=α2tan考点1 三角函数公式的基本应用 例1．（1）=-++)3sin(sin )6sin(cos πααπαα（ ）A21B 21- C 23 D 23-（2）已知)6cos()6sin(πααπ+=-，则=αtan ( )A -1B 0C 21D 1变式：1、已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,53sin ，则)4sin(22cos παα+= .2、设⎪⎭⎫⎝⎛∈-=ππααα,2,sin 2sin ，则α2tan 的值是 . 考点2 三角函数公式的逆用及变用例2．（1）=--︒+--︒︒︒)110cos()65cos()20cos()65sin(x x x x .（2）已知31cos sin =+αα，则=-)4(sin 2απ.（3）在ABC ∆中，若1tan tan tan tan ++=B A B A ，则C cos 的值为 .考点3 三角函数公式运用中角的变化 例3．（1）若33)24cos(,31)4cos(,02,20=-=+<<-<<βπαπβππα， 则=+)2cos(βα .（2）已知32)2sin(,91)2cos(=--=-βαβα，且,20,2πβπαπ<<<< 则=+)cos(βα .变式：1、若31)75cos(=+︒α，则=-︒)230cos(α .2、设α为锐角，若54)6cos(=+πα，则=+)122sin(πα .六、 三角恒等变换1、公式的常见变形=-=+=-=+====-=+ααααααααβαβαsin 1sin 1cos 1cos 1cos sin cos sin tan tan tan tan 22 2、辅助角公式=+ααcos sin b a考点1 三角函数式的化简、求值例1．（1）已知=+-++<<θθθθθπθcos 22)2cos 2(sin cos sin 1,0）（则.（2）化简：=+-+-)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x ππ .(3)已知⎪⎭⎫⎝⎛∈+=20,cos 21sin πααα，且，则=-)4sin(2cos παα .考点2 三角函数式的求值例2.化简：=+︒︒)10tan 31(50sin .例3.已知=<<<=-=βπαββαα则且,20,1413)cos(,71cos .例4.已知函数).32cos(cos 2)(2π++=x x x f（1）若60,133)(παα<<+=f ，求α2sin 的值； （2）在锐角三角形ABC 中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，若ABC c A f ∆=-=,3,21)(的面积33=∆ABC S ，求a 的值.变式：1.计算：(tan10·sin40°=________. 2. 4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1 3.若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.4.已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.5.已知πsin()410A +=，ππ(,)42A ∈． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x =+的值域．考点3 三角变换在图象与性质中的应用 例1.已知函数.1)3sin(sin 4)(-+⋅=πx x x f(1)求)(x f 的最小正周期； (2)求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值.变式: 1.已知函数()2sin cos()42f x x x π=--．（1）求()f x 的最小正周期；（2）设(0)2πα∈，，且3()285f απ+=，求tan()4πα+2.已知函数f (x )＝sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭·sin 4x π⎛⎫-⎪⎝⎭x cos x (x ∈R)． (1)求f 6π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)在△ABC 中，若f 2A ⎛⎫⎪⎝⎭＝1，求sin B ＋sin C 的最大值．七、解三角形（1）在ABC ∆中，A+B+C=π；（2）在ABC ∆中，;sin sin B A b a B A >⇔>⇔>（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 3、ABC ∆的面积公式 （1） （2） （3）考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1.(2015,理13)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m .例2. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，已知,3,312cos =-=c A.sin 6sin C A =（1）求a 的值；（2）若教A 的锐角，求b 的值及ABC ∆的面积.例3. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边， 且.sin )2(sin )2(sin 2C b c B c b A a -+-= (1)求角A 的大小；(2)若,3sin sin =+C B 试判断ABC ∆的形状.例4 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且.sin cos cos cCb B a A =+ (1)证明：;sin sin sin C B A = (2)若bc a c b 56222=-+，求.tan B变式：1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.322.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．60°或120° D ．30°或150°3.在ABC ∆中，3,60BC A =∠=,则ABC ∆周长的最大值 .4.在ABC ∆中，O 是外接圆的圆心，若1,602OB OC A =-∠=，则ABC ∆周长的最大值 . 5.在ABC ∆中，若，则A 的取值围是（ ）A ．(0,]6πB ．[,)6ππ C ．(0,]3π D ．[,)3ππ6.在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别是c b a ,,，2222c b a =+，则角C 的取值围是（ ） A 、⎥⎦⎤⎝⎛30π， B 、⎪⎭⎫⎝⎛30π， C 、⎥⎦⎤ ⎝⎛60π， D 、⎪⎭⎫⎝⎛60π，7.在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别是a b c 、、，5cos23C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 .8.设ABC ∆的角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，且12cos =+bc C b a ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值围．9.在ABC ∆中，角,,A B C 对应的三边长分别为,,a b c ，且满足22(cos )2a cb A b a -=-. （1）求角B 的大小；（2）若BD 为AC 边上的中线，1cos ,72A BD ==，求ABC ∆的面积.。