线性代数同济大学第五章自测练习题解

V)
4. 若1, 2,, k 线性无关且都是 A的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后 仍为 A的特征向量. ( × )
5．已知 A为n阶矩阵， x为n维列向量，如果 A不对称，则xT Ax不是二次型. ( × )
4 2 5 四. 求矩阵 A 6 4 9 的特征值与特征向量.
5 3 7
4 2 5 4 2 1
解： A E 6 4 9 6 4 1 (1 )2
5
3 7 5
3 1
1
1时
特征向量P1
1 ，
0时
特征向量P2
1 2
3 2
T 1
1
五. 若矩阵 A满足 A2 3A 2E O，证明 A的特征值只能是1或2.
2 0 0
1 0 0
六. 证明 A 0 0 1与B 0 1 0相似.
0 1 0
1 答：a 2，正交变换矩阵P 0
0
0
0
1ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
2
2
1 1
2
2
0 6 2
提示： A与B的特征值都为 1，2，1
七. 设 A x 1 y与对角阵相似，求 x和 y 应满足的条件. （答： x y ）
1 0 0
八. 已知 A为实对称可逆矩阵，证明二次型 f (x1,x2,,xn) xT Ax与
二次型g(x1,x2,,xn) xT A1x 具有相同的规范型. 提示：即要证明 A与A1是合同关系即可！
(C) 2 个； (D) 4 个.
3. 设 是矩阵 A对应于其特征值 的特征向量，则矩阵 P1AP对应于 的特征向量为
( A ).
(A)P1 ；
(B)P ；
(C)PT ； (D) .
4. 若 A为n阶实对称矩阵，且二次型 f (x1,x2,,xn) xT Ax正定，则下列结论不正确的是 ( D ).
A AT, AA1 E AT A1 E AT A1A A
九．求 A 1nn 的特征值与特征向量.
（参见第三节的教案思考题： A的特征值: n， 0）
十．已知a 0，且二次型 f (x1,x2,x3) 2x1 2 3x2 2 3x3 2 2ax2x3通过正
交变换化成标准形 f y1 2 2y2 2 5y3 2 ，求参数a及所用的正交变 换矩阵.
(A) A的特征值全为正；(B) A的一切顺序主子式全为正；
(C) A的主对角线上的元素全为正； (D)对一切n维列向量x，xT Ax全为正. 5. 设 A,B为n阶矩阵，那么( B ).
(A) 若 A,B合同，则 A,B相似；(B) 若 A,B相似，则 A,B等价；
(C) 若 A,B等价，则 A,B合同；(D) 若 A,B相似，则 A,B合同.
第五章 自测练习题解
一．单项选择题
1. 若n阶非奇异矩阵 A的各行元素之和均为常数a，则矩阵( A122)1有一特征值为( C
).
(A) 2a2 ；
(B)2a2 ；
(C)2a2； (D)2a2 .
2. 若 为四阶矩阵 A的特征多项式的三重根，则 A对应于 的特征向量最多有( A )
个线性无关.
(A) 3 个； (B) 1 个；
二. 填空题
1. 若 A为正定矩阵，且 AT A E ，则 A 1
.
2. 已知 A 0 1
0 0
x -1 或-2
1 的伴随矩阵 A有一特征值为 2，则 x
1 0
0 1
三. 判断题（正确打 V，错误打×） 1．若 Annxn1 2xn1，则2是 Ann的一个特征值. ( × ) 2．实对称矩阵 A的非零特征值的个数等于它的秩. ( V ) 3．二次型 f (x1,x2,,xn) xT Ax在正交变换x Py下一定化为标准形.(