《2.12导数的应用(Ⅰ)》 学案

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四、例题精析 【例题 1】 3x 【题干】已知函数 f(x)＝ a －2x2＋ln x，其中 a 为常数． (1)若 a＝1，求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求 a 的取值范围．
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【解析】(1)若 a＝1 时，f(x)＝3x－2x2＋ln x， 定义域为(0，＋∞)， －4x2＋3x＋1 －4x＋1x－1 1 f′(x)＝x－4x＋3＝ ＝ (x>0)． x x 当 f′(x)>0，x∈(0,1)时，函数 f(x)＝3x－2x2＋ln x 单调递增． 当 f′(x)<0，x∈(1，＋∞)时，函数 f(x)＝3x－2x2＋ln x 单调递减． 故函数 f(x)的单调递增区间为(0,1)， 单调递减区间为(1，＋∞)． 3 1 (2)f′(x)＝a－4x＋x， 3 1 3 1 若函数 f(x)在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，f′(x)＝a－4x＋x ≥0 或 f′(x)＝a－4x＋x≤0， 3 1 3 1 即a－4x＋x ≥0 或a－4x＋x≤0 在[1,2]上恒成立． 3 1 3 1 即a≥4x－x 或a≤4x－x. 1 令 h(x)＝4x－x ，因为函数 h(x)在[1,2]上单调递增，
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8．设 x＝1 与 x＝2 是函数 f(x)＝alnx＋bx2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数 a 和 b 的值； (2)试判断 x＝1，x＝2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
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课程小结 1.f′(x)>0 与 f(x)为增函数的关系：f′(x)>0 能推出 f(x)为增函数，但反之不一定．如函数 f(x)＝x3 在(－∞，＋∞)上单调 递增，但 f′(x)≥0，所以 f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充分 不必要条件． 2．可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是极值点，即 f′(x0)＝0 是可导函数 f(x)在 x＝x0 处取 得极值的必要不充分条件．例如函数 y＝x3 在 x＝0 处有 y′|x＝0＝0，但 x＝0 不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是 函数的极值点． 3．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情 况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．
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2．(2012· 陕西高考)设函数 f(x)＝xex，则( A．x＝1 为 f(x)的极大值点 B．x＝1 为 f(x)的极小值点 C．x＝－1 为 f(x)的极大值点 D．x＝－1 为 f(x)的极小值点
)
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3．(2013· 咸宁模拟)已知函数 y＝x3－3x＋c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则 c＝( A．－2 或 2 C．－1 或 1 B．－9 或 3 D．－3 或 1
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二、复习预习 1. 2. 3. 4. 函数的单调性及其判断方法 导数的概念及其几何意义 导数公式及运算法则 曲线的切线方程与导数的关系
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三、知识讲解 考点 1 函数的单调性与导数
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考点 2
函数的极值与导数
(1)函数的极小值： 若函数 y＝f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，且 f′(a)＝0，而且在点 x＝a 附近 的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0，则 a 点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值． (2)函数的极大值： 若函数 y＝f(x)在点 x＝b 处的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，且 f′(b)＝0，而且在点 x＝b 附近 的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，则 b 点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．
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1－a 1 ①若 2a ≥1，即 0<a≤3时，g(x)在[0,1]上单调递增，g(x)在 x＝0 处取得最小值 g(0)＝1＋a，在 x＝1 处取得最大值 g(1)＝(1－a)e.
1 a 1－a 1－a 1 1－a ＝2ae 2 a ，在 x＝0 或 x＝1 处取得最小值，而 g(0) ②若 2a <1，即3<a<1 时，g(x)在 x＝ 2a 处取得最大值 g 2a
导数的应用（Ⅰ）
适用学科 适用区域 数学 新课标 1、函数的单调性与导数 知 识 点 2、函数的极值与导数 3、函数的最大（小）值与函数 1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数 一般不超过三次)． 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数 一般不超过三次). 利用导数研究函数的单调性、极值、最值 导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用 适用年级 课时时长（分钟） 高三 60
2 2 所以函数 f(x)的单调递增区间是－∞， k和(－1，＋∞)，单调递减区间是k，－1.
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当 k<－2 时， f(x)，f′(x)随 x 的变化情况如下： x f′(x) f ( x) (－∞，－1) ＋ －1 0 极大值 2 －1，k － 2 k 0 极小值 2 k，＋∞ ＋
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【解析】(1)f(x)的定义域为 R. f′(x)＝－ke
－kx
1 2 x ＋x－k ＋e－kx(2x＋1)
＝e－kx[－kx2＋(2－k)x＋2]， 即 f′(x)＝－e－kx(kx－2)(x＋1)(k<0)． 2 令 f′(x)＝0，解得 x＝－1 或 x＝k . 当 k＝－2 时，f′(x)＝2e2x(x＋1)2≥0， 故 f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)． 当－2<k<0 时， f(x)，f′(x)随 x 的变化情况如下： x f′(x) f ( x) 2 －∞，k ＋ 2 k 0 极大值 2 k，－1 － －1 0 极小值 (－1，＋∞) ＋
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【例题 3】 【题干】已知函数 f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex 在[0,1]上单调递减且满足 f(0)＝1，f(1)＝0. (1)求 a 的取值范围； (2)设 g(x)＝f(x)－f′(x)，求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．
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【解析】(1)由 f(0)＝1，f(1)＝0 得 c＝1，a＋b＝－1， 则 f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex， f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex. 依题意须对于任意 x∈(0,1)，有 f′(x)<0. 当 a>0 时， 因为二次函数 y＝ax2＋(a－1)x－a 的图象开口向上， 而 f′(0)＝－a<0， 所以须 f′(1)＝(a－1)e<0， 即 0<a<1； 当 a＝1 时，对任意 x∈(0,1)有 f′(x)＝(x2－1)ex<0，f(x)符合条件； 当 a＝0 时，对于任意 x∈(0,1)，f′(x)＝－xex<0，f(x)符合条件； 当 a<0 时，因 f′(0)＝－a>0，f(x)不符合条件． 故 a 的取值范围为 0≤a≤1. (2)因 g(x)＝(－2ax＋1＋a)ex，所以 g′(x)＝(－2ax＋1－a)ex. (ⅰ)当 a＝0 时，g′(x)＝ex>0，g(x)在 x＝0 处取得最小值 g(0)＝1，在 x＝1 处取得最大值 g(1)＝e. (ⅱ)当 a＝1 时，对于任意 x∈(0,1) 有 g′(x)＝－2xex<0，g(x)在 x＝0 处取得最大值 g(0)＝2，在 x＝1 处取得最小值 g(1)＝0. 1－a (ⅲ)当 0<a<1 时，由 g′(x)＝0 得 x＝ 2a >0.
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考点 4 函数的极值和函数的最值的联系和区别 极值是局部概念，指某一点附近函数值的比较，因此，函数在极大(小)值，可以比极小(大)值小(大)；最值是整体概 念，最大、最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较．因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最 大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值， 极小值就是最小值．
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考点 3
函数的最值与导数
(1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件： 一般地，如果在区间[a，b]上，函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为 ①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
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ek 当 k<－2 时，f(x)的极大值为 f(－1)＝－ k . 1 1 因为 ek<e－2,0<－k <2， ek 1 所以－ k <2e－2. 1 因为2e－2<3e－2， 所以 f(x)的极大值不可能等于 3e－2. 综上所述，当 k＝－1 时，f(x)的极大值等于 3e－2.
学习目标
学习重点 学习难点
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学习过程 一、课堂导入 我们前面学习过某点处的导数反映出函数在某点处附近的变化情况,我们今天研究的问题是如何用导数来研究函数 的单调性.要研究这个问题,要先明确以下内容: (1)函数的单调性与函数的导数有什么关系?为什么? (2)如何根据函数的导数来判断函数的单调性?
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【拔高】 7．已知函数 f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－2. (1)求函数 f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值； (2)若函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的图象恰有一个公共点，求实数 a 的值； (3)若函数 y＝f(x)＋g(x)有两个不同的极值点 x1，x2(x1<x2)，且 x2－x1>ln 2，求实数 a 的取值范围．