8.2.1代入消元法解二元一次方程组

∴原方程组的解是
x 3 y 0
1
1
2、若方程5x 2m+n + 4y 3m-2n = 9是关于x、y的 二元一次方程，求m 、n 的值. 3 解： 由条件可得： m 7 2m + n = 1 ①
3m – 2n = 1 ② 由①，得 n = 1 –2m ③ 把③代入②，得 3m – 2（1 – 2m）= 1 3m – 2 + 4m = 1 7m = 3
y 14
巩固与提高：
1、用代入消元法解下列方程组
y-2x=0
2x-y=-5 ⑵ 4x+3y=65 3x-9=2y ⑷ 4x+2y=12
⑴
x+y=12
⑶
x 3 y 1 2 3
5x-2y=-1
y-2x=0
⑴ x+y=12
①
②
解：由①，得 y=2x
把③代入②，得 解得 x=4 把x=4代入③，得
① ②
4 x 5 y 460 2 x 3 y 240
①
②
由②， 得 2x=240-3y
③
把③代入①，得 2(240-3y)+5y=460 480-6y+5y=460 -y=-20 y=20. 把y=20代入③，得 2x+3×20=240 x=90.
解：设1号电池每节重x克，5号电池每节重y克. 根据题意可列方程组：
4 x 5 y 460 2 x 3 y 240
x 9 0 y 20
① ②
答：1号电池每节重90克，5号电池每节重20克.
解二元一次方程组的基本思想 ——“消元”。 代入消元法的一般步骤 (1)变形：将其中一个方程的某个未知数用含有另一 个未知数的代数式表示（即y=ax+b或x=my+n） (2)代入：将变形后的方程代入另一个方程中，消去 一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程. (3)求解：解一元一次方程，得一个未知数的值. (4)回代：将求得的未知数的值代入到变形后的方程 中求出另一个未知数的值. x a (5)写解：用 的形式写出方程组的解. y b
例2 用代入法解方程组 解： 由② ，得
2x+3y=16
3x – y=13 ③
①
②
y=3x – 13
把③代入① ，得 2x+3(3x – 13)=16 2x+9x –39 =16
11x=55
把x=5代入③ ，得 ∴原方程组的解是 y=2 x=5 y=2 x=5
例3 根据市场调查，某种消毒液的大 瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的 销售数量（按瓶计算）的比为: 5 .某厂 2 每天生产这种消毒液 22.5吨，这些消毒液应 该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
3x y 12 例4 二元一次方程组 的解中 4 x ay 12
y与x互为相反数，求a的值. x 6 3x y 12 解:由题意得 ， y 6 x y 0
x 6 把 代入4x+ay=12， y 6
得 a=2.
作业: 1、必做题:课本习题8.2 第2题 2、选做题:
2 x 3 y 5 二元一次方程组 的解 kx (k 1) y k 2
x和y相等,则k = .
y=50000
答：这些消毒液应该分装ห้องสมุดไป่ตู้0000大瓶和50000小瓶.
5x 2 y 100 5x 250y 22500000 ②
整体代入法 解：把①代入②， 得 100×2y+250y=22500000 解得 y=50000 把y=50000代入① ，得 x=20000
①
x 20000 y 50000
x=13 – 4y
③
把③代入① ，得 2（13 – 4y）+ 3y=16 26 –8y +3y =16 13-4y+4y=13 把y=2代入① 或②可以吗？ – 5y= – 10 0y=0 y=2 把求出的解 把y=2代入③ ，得 x=5
x 5 ∴原方程组的解是 y 2
代入原方程 组，可以知 道你解得对 不对。
y4 x 2 3 5 2 x 7 y 9 0
①
把③、④代入②，得2（3k+2）-7（5k-4）=90 解得 k=-2 6k+4-35k+28=90 6k-35k=90-4-28 把k=-2代入③、④，得 X=-4，y=-14 -29k=58 x 4 K=-2 ∴原方程组的解是
y4 ① x 2 例5 用代入法解方程组 3 5 2 x 7 y 90 ②
解：由①，得 5(x-2)=3(y+4) 5x-10=3y+12
5x-3y=22
22 3 y x 5
③
例5 用代入法解方程组 解:令
x2 y4 3 5
② = k，则x=3k+2，③y=5k-4，④
把③、④代入②，得5（2k-3）-2（3k-1）=-1
解得 k=3 把k=3代入③、④，得 X=3，y=8
∴原方程组的解是
x 3 y 8
(4)
3x-9=2y 4x+2y=12
① ②
解：把①代入② ，得 4x+(3x-9)=12
4x+3x-9=12 解得 x=3 把x=3代入① ，得 y=0
得 b=-1. 16b+3(5-3b)=8 把b=-1代入③ ，得 16b+15-9b=8 a=2. 7b=-7 ∴a=2，b=-1. b=-1
解:根据题意可列方程组
4a 3b 5 4b 3a 2
① ②
由①+② ，得 7a+7b=7 , a+b=1 . b=1 -a . ③ 把③代入② ，得 4b+ 3(1-b)=2. 4b+3-3b=2. 得 b=-1. 把b=-1代入③ ，得 a=2. ∴a=2，b=-1.
解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶. ① 5 x 2 y 由题意得 ② 500 x 250 y 22500000
由①，得
5 y x 2
③
5 500 x 250 x 22500000 2
把③代入②，得 解得 x=20000 把x=20000代入③，得
x 20000 y 50000
5x-2y=-1
x 3 y 1 2 3
① ②
解：由①，得 3(x+3)=2(y+1) 3x+9=2y+2 3x+7=2y ③ 把③代入② ，得 5x-(3x+7)=-1 x=3 把x=3代入③ ，得 y=8 x 3 ∴原方程组的解是 y 8
x 3 y 1 解:令 = k，则x=2k-3，③y=3k-1，④ 2 3
③
x+2x=12 y=8
x 4 ∴原方程组的解是 y 8
2x-y=-5
⑵
①
4x+3y=65 ②
③
解：由①，得 y = 2x + 5
把③代入②，得 4 x+3(2x + 5 )=65 解得 x=5 把x=5代入③，得 y=15
x 5 ∴原方程组的解是 y 15
（3）
2x+22-X=40
把X=18代入③，得 ∴原方程组的解是
得 X=18 y=4
x 18 y 4
答:该队胜18场，负4场.
二元一次方程组中有两个未知数，如果消 去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为 我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出 一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将 未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫 做消元思想.
比较一下上面 的方程组与方 程有什么关系？
y 由①我们可以得到： 22 x
再将②中的y换为 22 x 就得到了③
③是一元一次方程，相信大家都会解.那么根据上 面的提示，你会解这个方程组吗？
X+y=22 2x+y=40
① ② ③
解:由①，得 y=22-x
把③代入②，得
2x+(22-x)=40
3 把m 代入③，得 7
3 1 m的值为 ，n的值为 7 7
3 n 1 2 7 1 n 7
3、今有鸡兔同笼,上有三十五头, 下有九十四足,问鸡兔各几何. 解：设鸡有x只，兔有y只. x＋y＝35 2x＋4y＝94
x＋y＝35 2x＋4y＝94
① ②
由① ，得 x=35-y. ③ 把③代入② ，得 2(35-y)+4y=94.
归 纳：
上面的解法，是由二元一次方程组 中一个方程，将一个未知数用含另一 个未知数的式子表示出来，再代入另 一个方程，实现消元，进而求得这个 二元一次方程组的解，这种方法叫代 入消元法，简称代入法.
例1 用代入法解方程组
由② ，得 解：
2x+3y=16 ① x+4y=13 ②
把③代入 ②可以吗？ 试试看
y=ax+b或x=my+n
1、用含x的代数式表示y： x + y = 22 y = 22-x 2、用含y的代数式表示x： 2x - 7y = 8 2x = 8+7y
8 7y x 2
篮球联赛中每场比赛都要分出胜负，每队胜 一场得2分，负一场得1分.如果某队为了争取较 好名次，想在全部22场比赛中得40分，那么这个 队胜、负场数应分别是多少? 解：设胜x场，负y场. x y 22 ① 2 x y 40 ② 解：设胜x场. 2 x (22 x) 40 ③
5．为了保护环境，某校环保小组成 员收集废电池，第一天收集1号电池4节， 5号电池5节，总重量为460克；第二天收 集1号电池2节，5号电池3节，总重量为 240克.试问1号电池和5号电池每节分别 重多少克？
解：设1号电池每节重x克，5号电池每节重y克. 根据题意可列方程组：
4 x 5 y 460 2 x 3 y 240
ax by 5 4.已知 的解 bx ay 2
x 4 是 ，求a，b的值. y 3
解:根据题意可列方程组
4a 3b 5 4b 3a 2
① ② .③
5 3b 由① ，得 a 4
5 3b 把③代入② ，得 4b+ 3 =2. 4
人教版数学七年级下册
8.2.1代入消元法解二元一次方程组
本节学习目标 ：
1、会用代入法解二元一次方程组.
2、初步体会解二元一次方程组的基本思想—— “消元”.
3、通过对方程中未知数特点的观察和分析，明 确解二元一次方程组的主要思路是“消元”， 从而促成未知向已知的转化，培养观察能力和 体会化归的思想.
消y
500 x 250
5 x 22500000 2
5 用 2 x代替y，
消去未知数y
解二元一次方程组的基本思想 ——“消元”。 代入消元法的一般步骤 (1)变形：将其中一个方程的某个未知数用含有另一 个未知数的代数式表示（即y=ax+b或x=my+n） (2)代入：将变形后的方程代入另一个方程中，消去 一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程. (3)求解：解一元一次方程，得一个未知数的值. (4)回代：将求得的未知数的值代入到变形后的方程 中求出另一个未知数的值. x a (5)写解：用 的形式写出方程组的解. y b
再议代入消元法
5 x 2 y 500x 250y 22500000
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
二 元 一 次 方 程 组
代入 500x 250y 22500000
5x 2 y
变形
5 y x 2
y=50000
x=20000
解得x 一元一次方程
70-2y+4y=94 2y=24 y=12
把y=12代入③ ，得 x=23.
x 23 y 12
3、今有鸡兔同笼,上有三十五头, 下有九十四足,问鸡兔各几何. 解：设鸡有x只，兔有y只. x＋y＝35 2x＋4y＝94
x 23 y 12
答：鸡有23只，兔有12只.