一元二次方程的解法易错点剖析
一元二次方程易错点复习
忽视方程解的取舍的例题解析
总结词
一元二次方程的解可能不符合实际情况，需要进行取 舍，但在解题过程中，学生常常忽视这一步骤，导致 解的错误。
详细描述
一元二次方程的解可能不符合实际情况，例如，当题目 中的系数为负数时，解可能为负数或复数。在这种情况 下，需要根据实际情况对解进行取舍。但在实际解题过 程中，学生往往没有对解进行取舍，导致解的错误。例 如，对于方程x²+x-3=0，学生直接求解得到x=-3或x=1， 但实际上，由于系数为正数，解应该为正数或复数，因 此需要舍去x=-3这个解。
总结词
掌握一元二次方程的标准形式是解题的基础。
详细描述
一元二次方程的标准形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。理 解并掌握标准形式有助于将非标准形式的一元二次方程转化为标准形式，从而更容 易找到解。
判别式理解
总结词
理解判别式的意义和作用是解决一元 二次方程的关键。
忽视根的情况讨论
总结词
一元二次方程的解与判别式的取值密切相关，学生常。
详细描述
根据判别式的取值，一元二次方程的解可以分为三种情况：当Δ=0时，方程有两个相等 的实数根；当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根。因此，
在解一元二次方程时，需要对根的情况进行讨论，确保解的完整性。
一元二次方程易错点复习
目 录
• 概念理解 • 解题方法 • 易错点分析 • 易错题解析
01 概念理解
定义理解
总结词
理解一元二次方程的定义是关键。
详细描述
一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的方程。理解这个 定义有助于判断一个方程是否为一元二次方程，并有助于确定解法。
一元二次方程根的判别及根与系数的关系易错点剖析
根与系数关系的应用错例示例一元二次方程中根与系数的关系为：如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1 · x 2＝ca．此结论成立的条件是“原方程存在两个根x 1和x 2”.一、例1 判断正误：方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根之和为－ba．( )错解：对．正解：错误．因不知方程是否有根.二、例2 若方程x 2＋(m 2 - l)x ＋l ＋m ＝0的两根互为相反数，则m 的值 为( )(A)l 或一1； (B)l ； (C)－l ； (D)0. 错解：选A ．正解：选C ．因当m ＝l 时，原方程无实根.三、例3 下列方程中，两根之和为13的方程是( )(A)3x 2－x ＋2＝0； (B)3x 2＋x ＋2＝0； (C)x 2－13x ＋3＝0； (D)6x 2 -2x 一1＝0．错解：选A 或C ．正解：选D ．因方程A ，C 均无实根．四、例4 已知关于x 的方程x 2－(2m ＋1)x ＋ (m ＋l)2＝0的两个实数根的平方和为7，求m 的值．错解：设方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2m ＋l ，x 1·x 2＝(m ＋1)2．∵x 12＋x 22＝7，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝7，(2m ＋l) 2 －2(m ＋l)2＝7．即2m 2＝8，m ＝±2．正解：设方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2m ＋l ，x 1·x 2＝(m ＋1)2．∵x 12＋x 22＝7，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝7，(2m ＋l)，2 －2(m ＋l)2＝7．即2m 2＝8，m ＝±2．当m ＝2时，原方程b 2-4ac ＜0，∴m ＝－2．五、例5 已知方程x 2 ＋ 2(m -l)x ＋3m 2－11＝0，问m 为何实数时，方程有两个根x 1、x 2，且x 1x 2＋x 2x 1＝－1．错解：由根与系数的关系有x I ＋x 2＝－2(m －1) ，x 1·x 2＝3m 2－11，∵x 1x 2＋x 2x 1＝－1，∴x 12＋x 22x 1x 2＝－1，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝－1，∴[－2(m －1)]2－2(3m 2－11)3m 2－11＝－1，即 m 2－8m ＋15＝0，∴m 1＝3，m 2＝5．正解：由根与系数关系有x 1＋x 2＝－2(m －1) ，x 1·x 2＝3m 2－11，∵x 1x 2＋x 2x 1＝－1，∴x 12＋x 22x 1x 2＝－1，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝－1，∴[－2(m －1)]2－2(3m 2－11)3m 2－11＝－1，即 m 2－8m ＋15＝0，∴m 1＝3，m 2＝5．因m ＝3或5时，方程b 2-4ac ＜0，∴不存在m 使x 1x 2＋x 2x 1＝－1成立．六、忽视方程中的隐含条件例6 已知关于x 的方程(k －1)x 2＋3＝0有实数根，求k 的取值范围．错解： ∵方程有实数根，∴b 2－4ac ＝2－4(k －1)×3≥0，解得k ≤65． ∵k －1≠0，解得k ≠1．∴k 的取值范围是k ≤65且k ≠1．错解分析：一元二次方程的解题中考虑b 2－4ac ≥0及k －1≠0是必要的，但本题忽视了两点：一是方程可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程，题中未明确是一元二次方程，因此应有k －1＝0；二是忽视了隐含条件2k ≥0．七、不能正确使用根的判别式例7不解方程，判断方程根的情况：4x2－3x＋1＝2．错解：∵a＝4，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝(－3)2－4×4×1＝9－16＝－7＜0．∴原方程没有实数根．错解分析：使用根的判别式时，必须先将方程整理成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式．正解：整理，得4x2－3x－1＝0，∵a＝4，b＝－3，c＝－1，∴b2－4ac＝(－3)2－4×4×(－1)＝9＋16＝25＞0．∴原方程有两个不相等的实数根．一元二次方程错解示例一、例1a为何值时，方程a2x2＋(2a－1)x＋1＝0有两个实数根？错解：∵ 方程有两个实数根∴ △≥0，即(2a－1)2－4a2≥0，．解得a≤14错解分析：当a＝0时，原方程为一元一次方程－x＋1=0，它只有一个实数根，不合题意．且a≠0．正确的答案应为a≤14二、例2已知a、b满足a2－2a－1＝0，b2－2b－1＝0，则a b＝．b a错解：由题设可知a、b是方程x2－2x－1＝0的两根，∴a ＋b ＝2，ab ＝－1，∴a b b a +＝22a b ab +＝2()2a b ab ab +-＝421+-＝－6．错解分析：在a ≠b 时，a 、b 是方程x 2－2x －1＝0的两根；在a ＝b 时，ab b a+＝1+1＝2．故本题的正确答案应是－6或2．三、例3 已知α、β是方程x 2＋5x ＋3＝0的两个实数根，则的值为 ．错解：设A ＝，两边平方得A 2＝α2·βα＋2αβ＋β2·αβ＝4αβ，∴A ＝αβ＝3，∴所求式的值为错解分析：由题意可知．α＋β＝－5，αβ＝3，由此可知α＜0，β＜0，因此0．所以正确的结论应为－ 四、例4 已知关于x 的方程x 2－(2m －1)x ＋(m －3)2＝0的两个实数根的平方和为25，求m 的值．错解：设两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝2m －1，x 1x 2＝(m －3)2，∵x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2 x 1x 2＝(2m －1)2－2(m －3)2＝25，化简得m 2＋4m －21＝0，解得m 的值为3或－7．错解分析：当m ＝－7时，原方程为x 2＋15x ＋100＝0，此时，△＝152－400＜0，原方程无实数根，故m ＝－7应舍去，本题正确答案应为m ＝3．五、例5 已知x ＝－1是关于x k =的一个根，求以2k 和k ＋1为根的一元二次方程．错解：把x ＝－1=k ，解得k 1＝2，k 2＝－1．当k＝2时，2k＝4，k＋1＝3，以4、3为根的方程是y2－7y＋12＝0；当k＝－1时，2k＝－2，k＋1＝0，以－2、0为根的方程是y2＋2y＝0．错解分析：=k成立，显然k＝－1应舍去．故本题的答案只有一个，y2－7y＋12＝0．六、例6 x1、x2是关于x的方程x2－(2m－1)x＋(m2＋2m－4)＝0的两个实数根，求x12＋x22的最小值．错解：由已知得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2＋2m－4，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2 x1x2＝(2m－1)2－2(m2＋2m－4)＝2m2－8m＋9＝2(m－2)2＋1．∴当m＝2时，x12＋x22的最小值是1．错解分析：解法中忽略了“方程有实数根”这一条件．当m＝2时，原方程为x2－3x＋4＝0，方程没有实数根．正确的解法还必须求出m的取值范围．∵原方程有两个实数根，∴△＝(2m－1)2－4(m2＋2m－4)≥0，即－12m＋17≥0，∴m≤1712．∴当m=1712时，x12＋x22的最小值是12172．七、例7 已知x1、x2是方程2x2－2kx＋12k(k＋4)＝0的两个实数根，且满足等式 (x1－1)(x2－1)＝109100，求k的值．错解： (x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝14k(k＋4)－k＋1＝14k2＋1，由已知条件得14k2＋1＝109100，k2＝36100，k＝±35．错解分析：∵x1、x2是方程的两个实数根，∴△≥0．即4k2－4k(k＋4)≥0，化简得k≤0．故正确的答案应是k＝－3．5与根的判别式有关的常见错解示例一、忽略二次项系数不为零例1已知关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0有实数根，求m的取值范围．错解：∵ 方程有实数根，∴△＝(－4)2－4×m×4≥0，解得m≤1．错解分析：一元二次方程mx2－4x＋4＝0有实数根的条件是：（1）二次项系数m≠0；（2）△≥0．错解只考虑了（2），而忽视了（1），即忽视了二次项系数不为零这一条件．故正确结果是：m≤1且m≠0．值得说明的是，若题中没有条件“一元二次”四个字，则前面的解法是正确的．这是为什么？请大家思考.二、忽略根的判别式例2已知关于x的一元二次方程x2－2(m－2)x＋m2＝0．问是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56？若存在，求出m的值,若不存在，请说明理由．错解：设方程的两个实数根为x1,x2，则x1＋x2＝2(m－2)，x1x2＝m 2．∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4(m －2)2－2m 2＝2m 2－16m ＋16．若x 12＋x 22＝56，则有m 2－8m －20＝0． 解得m 1＝10,m 2＝－2．故符合题意的实数m 存在，它的值为10或－2．错解分析：当m ＝10时，原方程x 2－16x ＋100＝0，判别式△＝(－16)2－4×100＜0，故方程无实数根．因此，m ＝10应舍去．错误原因是忽视两根的判别式大于等于0这一条件．本题正确答案应为m ＝－2．三、忽略题设条件例3 当m 是什么整数时，关于x 的方程mx 2－4x ＋4＝0①与x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0②的解都是整数？错解：由已知，得12222=16-16m 0,=(-4m)-4(4m -4m-5)0,∆≥⎧⎨∆≥⎩解得－54≤m ≤1．因此，满足条件的整数m 为－1，0，1．错解分析： 当m ＝－1时，方程①的解不是整数；当m ＝0时，方程①不是一元二次方程，方程②的解不是整数；当m ＝1时，两个方程的解都为整数，方程①的解是x 1＝x 2＝2，方程②的解是x 1＝－1，x 2＝5．显然，m ＝－1与m ＝0不合题意，应舍去．忽视了m 的取值应使所给两个方程的“解都是整数”这个重要的题设条件，正确答案为m ＝1．四、忽视隐含条件例4 已知关于x 的一元二次方程(1－2k )x 2－x －1＝0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．错解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴ △＝(－)2＋4(1－2k )＞0， 解得k ＜2．∵ 1－2k ≠0，即k ≠12，∴ k 的取值范围是k ＜2且k ≠12．错解分析：这里忽视了一次项系数－须有意义，即k ＋1≥0这个隐含条件．正解：由题设可得2(4(12)0,10,120.⎧∆=-+->⎪+≥⎨⎪-≠⎩k k k 解得－1≤k ＜2且k ≠12．因此，k 的取值范围是－1≤k ＜2且k ≠12．五、忽略“方程有实根”的含义，导致字母系数取值范围缩小例5.已知关于x 的方程22(1)10kx k x k -++-=，当k 为何值时，方程有实数根？ 错解：因为方程有实数根，所以Δ≥0，即[]22(1)4(1)0k k k -+--≥，解得k ≥－31.又因为0k ≠， 所以k ≥－31且0k ≠.错解分析：“方程有实根”在此题中应理解为：方程有一个实数根或有二个实数根，故此题应分一元一次方程与一元二次方程两种情况讨论:（1）当k ＝0时，原方程为一元一次方程-2x=1，其实根为x=12-，故k 可取0.（2）当k≠0时，原方程为一元二次方程，须满足Δ≥0，即k ≥－31且0k ≠，1. 综合（1）（2）知：k≥－3。
一元二次方程中的常见错误
一元二次方程中的常见错误一、定义理解错误例题：错误分析：一元二次方程的定义中，“最高次数是二次”这个条件中实际包含了二次项系数不等于0，如果二次项系数为0，那么二次项也将不存在，也就不会有“最高次数是二次”，所以，我们在解答中务必要注意，二次项系数不为0这个隐含条件。
此题的解答中，当k=2时，二次项系数k-2=0,所以k=2应舍去。
故k=-2.二、应用直接开平方法时的错误例题：若(a+b-2)²=25，求a²+b²的值.错误分析：我们知道，a²、b²都是非负数，而两个非负数的和仍然是非负数，所以a²+b²=-3是错误的。
三、应用配方法中的错误例题：用配方法解方程：2x²-8x-10=0.错误分析：配方法的关键是“当二次项系数是1时，将方程两边同时加上一次项系数的一半的平方”，此题二次项系数不为1，要先化为1.四、应用公式法中的错误例题：用公式法解方程：3x²-7x=2.错误分析：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般形式，以便确定a、b、c。
此题还未化为一般形式，就确定a、b、c的值。
所以导致错误。
五、应用等式性质时的错误例题：解方程：5(2x-1)²=x(2x-1).错误分析：此题是应用等式的性质来解方程。
但忽略了等式性质中的条件，等式的两边同时除以同一个“不为0的数”，等式不变。
所以，此题如果应用等式的性质来解，应分两种情况：(1)若2x-1=0,则得x=1/2,(2)若2x-1≠0，两边除以2x-1得，5(2x-1)=x,解得x=5/9.这样才不会漏解。
六、应用“根与系数的关系”时的错误已知x1,x2是关于x的一元二次方程x²+(2k+1)x+k²+1=0的两个不同的实数根，且x1+x2=-x1x2.求k值.错误分析：此题当k=0时，△＜0，而△＜0时方程不会有两个根。
初学一元二次方程易犯错误论文
初学一元二次方程易犯的错误一元二次方程是初中数学的重点内容之一，又是每年中考出题的热点和重点。
为此，就初学一元二次方程易错之处剖析如下：一、易犯概念上的错误：1、判断方程是否为一元二次方程时，易忽略二次系数a≠0的条件：例①：当m为何值时，方程（m-1）+4mx-1=0是关于x的一元二次方程？错解：要使方程是关于x的一元二次方程，则x的最高次幂是2，即有m2+1=2，解得m=±1。
因此，当m=±1时，原方程是关于x的一元二次方程。
错解剖析：此解法考虑不全面，没有考虑二次项系数m－1≠0这个隐含条件。
事实上，当m=1时，原方程为一元一次方程，而非一元二次方程。
正解：要使方程是关于x的一元二次方程，则x的最高次幂是2，且二次项系数不为0，即m2+1=2且m－1≠0，解得m=－1，因此，当m=－1时，原方程是关于x的一元二次方程。
点评：二次系数a≠0是一元二次方程一般式中的一个重要组成部份，因为方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时，才是一元二次方程。
在确定一元二次方程各项系数时，易忘将程化为一般形式或漏写“－”：例②：试确定一元二次方程6x2=5x+2各项的系数。
错解1：二次系数为6，一次项系为5，常数项为2。
错解2：二次系数为6，一次项系为5，常数项为－2。
错解剖析：错解1没有将方程化成一般形式；错解2虽然将将方程化成一般形式，但在确定一次项系时忽略了x前面的“－”，这两个错误都是同学们初一元二次方程易犯的错误，希加以重视，杜绝类似错误。
正解：二次系数为6，一次项系为－5，常数项为－2。
判断方程是否为一元二次方程时，须注意一元二次方程的一般形式，否则易错判：例③：试判断下列方程是否为一元二次方程：a：x2+x=9；b：x2y+ x2+7y-3x=x2y+7y-6错解：a方程是二次方程，b方程不是二次方程。
解剖析：㈠从形式上看，一元二次方程先是整式方程，即组成方程中的各个代数式都为整式。
一元二次方程的解法易错点剖析
一元二次方程易错题剖析一、在确定一元二次方程时，容易忽视二次项系数a ≠0题目1 关于x 的方程0)1(1222＝＋＋－－－k x x k k k 是一元二次方程，求k 的值． 错解：∵2122＝－－k k 即0322＝－－k k ∴1k ＝3，2k ＝－1.错因：方程02＝＋＋c bx ax （a ≠0）为一元二次方程，这里强调a ≠0.当2k ＝ －1时，使2k －1＝0，原方程是一元一次方程. 正解：22k 2k 12,k 10,⎧⎪⎨≠⎪⎩－－＝－ ∴k ＝3. 二、在使用一元二次方程根的判别式时，容易忽视二次项系数a ≠0题目2 关于x 的一元二次方程02332)1(2＝－＋＋＋m mx x m 有实根，求m 的取值范围. 错解：∵方程有实根，∴∆≥0， 即)23)(1(4)32(2－＋－m m m ≥0， ∴84＋－m ≥0，∴m ≤2.错因：因为题中说明是一元二次方程，则还应满足m ＋1≠0，即m ≠－1。
正解：24(m 1)(3m 2)0,m 10,⎧≥⎪⎨≠⎪⎩－＋－＋ ∴m ≤2，且m ≠－1.三、忽视根的判别式和二次项的系数a 应满足的条件题目3 已知关于x 的方程02＝－－n mx x 的两根之积比两根之和的2倍小21，并且两根的平方和为22，求m ，n 的值.错解：设两根分别为1x ，2x ，则1x ＋2x ＝m ，21x x ＝－n .由题意，得1212221212(x x )x x ,2x x 22,⎧⎪⎨⎪⎩＋－＝＋＝即212m n ,2m 2n 22,⎧⎪⎨⎪⎩＋＝＋＝ 解得11m 7,27n ,2⎧⎪⎨⎪⎩＝＝－ 或 22m 3,13n .2⎧⎪⎨⎪⎩＝－＝ 错因：因为方程有两根，说明根的判断式∆≥0，即n m 42＋≥0，但m ＝7和n ＝－227不满足，应舍去.又这里二次项系数a ＝1是已知的，解题时可不考虑。
正解：当m ＝7，n ＝－227时，227472⨯∆－＝＜0，不合题意，舍去； 当m ＝－3，n ＝213时，2134)3(2⨯∆＋－＝>0，∴m ＝－3，n ＝213.四、忽视两未知数的值中有一个是增根的情况 题目4 a 为何值时，方程)1(411＋＋＝＋＋＋x x a x x x x x 只有一个实数根. 错解：原方程化为0)1(222＝－＋－a x x .此方程有两个相等的实数根时，分式方程只有一个实根， ∴0)1(24)2(2＝－－－＝a ⨯∆， ∴21＝a .错因：当方程0)1(222＝－＋－a x x 的两实根中有一个是原方程的增根，另一根是原方程的根时，命题也成立. 正解：把x ＝0代入0)1(222＝－＋－a x x ，得a ＝l ； 把x ＝－1代入0)1(222＝－＋－a x x ，得a ＝5.∴当1a ＝21，2a ＝1，3a ＝5时，原分式方程只有一个实数根.五、讨论不定次数的方程的解时，只考虑是二次方程时的情况，忽视是一次方程时的情况.题目5 已知关于x 的方程02)1(2＝＋＋－k kx x k 有实根，求k 的取值范围. 错解：当2k 10(2k)4k(k 1)0≠⎧⎨≥⎩－，－－，即22k 14k 4k 4k 0≠⎧⎨≥⎩，－＋时，方程有实根，∴k ≥0且k ≠1时，方程有实根.错因：只考虑了方程是一元二次方程时方程有根的情况.本题并没有说明方程有“二次”和“两根”的条件，允许它是一次方程. 正解：当k －1＝O ，即k ＝1时，方程化为012＝＋x ，∴1x 2＝-.∴当k ≥0时，方程有实根. 六、不理解一元二次方程的定义 题目6 方程(m －1)xm 2＋1＋2mx －3＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.错解：由题意可得m 2＋1＝2，∴m ＝±1．错因：一元二次方程满足的条件是：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程．方程经整理可转化为一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．本题在解题过程中忽略了一元二次方程系数不为零的条件．正解： 由题意可得，m 2＋1＝2，且m －1≠0，∴m ＝±1且m ≠1，∴m 的值是－1． 七、二次三项式的配方与一元二次方程的配方的知识混淆 题目7 用配方法求2x 2－12x ＋14的最小值． 错解： 2x 2－12x ＋14＝x 2－6x ＋9－2＝(x －3)2－2．∴当x＝3时，原多项式的最小值是－2．错因：一元二次方程配方时，二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数，而二次三项式的配方不能除以二次项系数，而应提取二次项系数．要注意等式与代数式变形的区别．正解： 2x2－12x＋14＝2(x2－6x＋7)＝2(x2－6x＋9－2)＝2(x－3)2－4．∴当x＝3时，原多项式的最小值是-4.八、解方程中错误使用等式的性质题目8解方程x2＝6x．错解：x2＝6x，解这个方程，得x＝6．错因：本题想利用等式的性质进行求解，但方程两边不能同除以值为零的代数式．正解：x2＝6x，x2－6x＝0，x(x－6)＝0，∴x1＝0，x2＝6．九、题目9关于x的方程2x－4－x＋k＝1，有一个增根为4，求k的值．1.对增根概念理解不准确错解1：把x＝4代入原方程，得2×4－4－4＋k＝1，解得k＝－3.错因：本解法错误在于对增根概念理解不准确，既然是增根，代到原方程中去，等式不应该成立．实际上解法中把4当作原方程的根，而没有当作增根来处理．2.忽略题中的隐含条件错解2：将原方程化为整式方程，得 4(x＋k)＝(x－5－k)2． (*)把x＝4代入整式方程(*)，得4(4＋k)＝(4－5－k)2．解之，得k1＝－3，k2＝5．答：k的值为－3或5．错因：本解法已经考虑到增根的定义．增根是在将无理方程化为整式方程时产生的，所以题目中的增根x＝4肯定是在解整式方程(*)时产生的．将x＝4代入整式方程(*)，等式应该成立．求出k1＝－3，k2＝5，但本解法忽略了对k值的验证．将无理方程化为整式方程时，可能产生增根，也可能不产生增根，因此还必须将求得的k值和x＝4代到原无理方程中去验证．正解：（1）将k1＝－3，x＝4代入原无理方程，左边＝2×4－4 －4－3＝1，右边＝1．左边＝右边．∴当k＝－3时，x＝4是适合原方程的根(不是增根)．（2）将k2＝5，x＝4代入原无理方程，左边＝－1，右边＝1，左边≠右边．∴当k＝5时，x＝4是原方程的增根．综上所述，原方程有一个增根为4时， k的值为5．十、忽略前提，乱套公式题目10 解方程：2x+3x=4.错解：因为△=23-4×1×4=-7＜0，所以方程无解.错因：用公式法解一元二次方程，必须先把方程化为一般形式a2x+b x+c=0(a ≠0).如果同学们没有理解这一点，胡乱地套用公式，解方程时就会造成错误. 正解：方程可化为2x+3x-4=0.△=23-4×1×（-4）=25＞0.x=253±-.即1x=1, 2x=-4.十一、误用性质，导致丢根题目11方程（x-5）(x-6)= x-5的解是（）A.x=5B.x=5或x=6C.x=7D.x=5或x=7错解：选C.将方程的两边同时除以x-5得x-6=1,解得x=7.错因：在解一元二次方程时，不能在方程的两边同时除以含有未知数的代数式，否则就会产生漏根的现象，导致解题出错.正解：选D.移项得（x-5）(x-6)-( x-5)=0，因式分解得（x-5）(x-7)=0,解得x=5，2x=7.1十二、考虑不周，顾此失彼题目12 若关于x的一元二次方程(m+1)2x- x+2m-m-2=0的常数项为0，则m 的值为（）A.m=-1B.m=2C.m=-1或m=2D.m=1或m=-2错解：据题意可得2m-m-2=0，解得m=-1,2m=2，所以选C.1错因：错解中根据题中条件构造关于m的方程2m-m-2=0，以达到求m的值的目的，这样思考并没有错，错就错在忽略了一元二次方程的一般形式a2x+b x+c=0中必须有a≠0这一条件.正解：据题意可得2m-m-2=0，解得m=-1,2m=2.又因为m+1≠0,故m≠-1，所以1m=2，故选B.十三、一知半解，配方不当题目13 解方程：2x-6x-6=0.错解：移项，得2x-6x=6，故（x-3）2=0解得x=2x=3.1错因：运用配方法解一元二次方程时，同学们最容易犯的错误是方程等号一边加上了一次项系数一半的平方，而另一边却忘了加或者加错.所以用配方法解一元二次方程时，要正确理解配方法的实质及解题的步骤，避免配方不当产生错误.正解：移项，得2x -6x =6, 所以2x -6x +9=6+9, 即2)3(-x =15,解得1x =3+15,2x =3-15. 十四、概念不清，导致错误题目14 下列方程中，一元二次方程为 .2(1)43=x x ； 22(2)(2)310-+-=x x ； 21(3)4033+-=x x ；2(4)0=x ； 2=； 2(6)6(5)6+=x x x .错解：多找了(2)或(6)或少找了(3)或(4)错因：多找了(2)或(6)是因为没将方程整理，少找(3)是将它看作是分式方程，少找了(4)是因为方程没有一次项，常数项过于简单．判断一方程是否为一元二次方程，首先看它是否为整式方程，若是整式方程，再进行整理，整理之后再看它是否符合定义的另两个特点. 正解：是方程(1),(3),(4)十五、忽略二次项系数a≠0导致字母系数取值范围扩大题目15.如果关于x 的一元二次方程22(2)340--+-=m x x m 有一个解是0，求m 的值．错解：将x ＝0代入方程中，得22(2)03040m m -⋅-⨯+-=，24m =，2m =±.错因：由一元二次方程的定义知20m -≠，而上述解题过程恰恰忽略了这一点，正解：将0x =代入方程中，得22(2)03040,-⋅-⨯+-=m m 24,2m m ==±.又因为20m -≠，所以2m =-.十六、忽略一元二次方程的“元”和“次”都是对合并同类项之后而言的，导致错解题目16．关于x 的方程2232mx x x mx -=-+是一元二次方程的条件是什么？ 错解：由一元二次方程的定义知0m ≠.错因：一元二次方程的“元”和“次”都是对合并同类项之后而言的.而上述解题过程恰恰忽略了这一点，整理得2(1)(3)20m x m x ----=，∴10,1m m -≠≠．正解：关于x 的方程2232mx x x mx -=-+是一元二次方程的条件为1m ≠． 十七、忽略一元二次方程有实根条件Δ≥0导致错解题目17. 已知1x ,2x 是方程22(2)350x k x k k --+++=的两实根，求2212x x +的最大值. 错解：由根与系数的关系得122x x k +=-，21235x x k k =++，2221212122222()2(2)2(35)106(5)19,+=+-=--++=---=-++x x x x x x k k k k k k所以当5k =-时，2212x x +有最大值19.错因：当5k =-时，原方程变为27150x x ++=，此时Δ＜0，方程无实根. 错因是忽略了Δ≥0这一重要前提.正解：由于方程有两实根，故Δ≥0， 即[]22(2)4(35)0---++≥k k k , 解得－4≤k ≤－34.所以当4k =-时，2212x x +有最大值18. 十八、未挖掘题目中的隐含条件导致错解题目18.若2222(1)(3)5x y x y +++-=,则22x y +=_________.错解：222222222()2()80(4)(2)0+-+-=+-++=x y x y x y x y解得22x y +=4或22x y +=-2错因：忽视了22x y +的非负性，所以应舍去22x y +=-2. 正解：4题目19、已知方程2350ax x +-=有两个实数根，求ɑ 的取值范围． 错解：∵ 已知方程有两个实数根， ∴ △≥0， 即234(5)0,-⨯⨯-≥a ∴ a ≥－209. 所以ɑ的取值范围是大于或等于－209的实数． 错因：因已知方程有两个实数根，这个方程必须是一元二次方程，解答过程忽略了二次项系数ɑ不为0 的条件。
一元二次方程知识点和易错点总结
一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
考点二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a 也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a 。
第07讲 一元二次方程(易错点梳理+微练习)(解析版)
第07讲一元二次方程易错点梳理易错点梳理易错点01忽略一元二次方程中0 a 这一条件在解与一元二次方程定义有关的问题时，一定要注意一元二次方程的二次项系数不等于0这一条件。
易错点02利用因式分解法解一元二次方程时出错（1）对因式分解法的基本思想理解不清，没有将方程化为两个一次因式相乘的形式；（2）在利用因式分解法解一元二次方程时忽略另一边要化成0；（3）产生丢根的现象，主要是因为在解方程时，出现方程两边不属于同解变形，解题时要注意方程两边不能同时除以一个含有未知数的项。
易错点03利用公式法解方程时未将方程化为一般形式在运用公式法解方程时，一定要先将方程化为一般形式，从而正确的确定c b a ,,，然后再代入公式。
易错点04根的判别式运用错误运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确的确定c b a ,,。
易错点05列方程解应用题时找错等量关系列方程解应用题的关键是找对等量关系，根据等量关系列方程。
例题分析考向01一元二次方程的有关概念例题1：（2021·山东聊城·中考真题）关于x 的方程x 2＋4kx ＋2k 2＝4的一个解是﹣2，则k 值为（）A ．2或4B ．0或4C ．﹣2或0D ．﹣2或2【答案】B例题2：（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A ．x 2+2x ﹣3＝0B ．x 2+2x ﹣20＝0C ．x 2﹣2x ﹣20＝0D ．x 2﹣2x ﹣3＝0【答案】B【思路分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.【解析】解： 小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1，所以此时方程为：()()310,x x +-=即：2230,x x +-= 小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是5，﹣4，所以此时方程为：()()540,x x -+=即：2200,x x --=从而正确的方程是：22200,x x +-=故选：.B 【点拨】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.考向02一元二次方程的解法例题3：（2013·浙江丽水·中考真题）一元二次方程()2x 616+=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x 64+=，则另一个一元一次方程是（）A ．x 64-=-B ．x 64-=C ．x 64+=D ．x 64+=-【答案】D【解析】将()2x 616+=两边开平方，得x 64+=±，则则另一个一元一次方程是x 64+=-．故选D ．例题4：（2021·内蒙古赤峰·中考真题）一元二次方程2820x x --=，配方后可形为（）A ．()2418x -=B ．()2414x -=C ．()2864x -=D ．()241x -=【答案】A【思路分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可【解析】解：2820x x --=x 2-8x =2，【点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x +m ）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．考向03一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例题5：（2021·广西河池·中考真题）关于x 的一元二次方程220x mx m +--=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数由m 的值确定【答案】A【思路分析】先确定a 、b 、c 的值，计算24b ac -的值进行判断即可求解．【解析】解：由题意可知：a =1，b =m ，c =-m -2，∴()()2222=4=41248244b ac m m m m m ∆--⨯⨯--=++=++≥，∴方程有两个不相等实数根．故选A.【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．例题6：（2021·山东济宁·中考真题）已知m ，n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根，则代数式22m m n ++的值等于（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【答案】B 【思路分析】根据一元二次方程根的定义得到22021m m +=，则22=2021+m m n m n +++，再利用根与系数的关系得到1m n +=-，然后利用整体代入的方法计算．【解析】解：∵m 是一元二次方程220210x x +-=的实数根，∴220210m m +-=，∴22021m m +=，∴2222021m m n m m m n m n ++=+++=++，∵m 、n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根，故选：B ．【点拨】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=．也考查了一元二次方程的解．考向04列一元二次方程解应用题例题7：（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该商品每次降价的百分率；（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？【答案】（1）10%；（2）6件【思路分析】（1）根据某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同，可设每次降价的百分率为x ，从而可以列出方程60（1-x ）2=48.6，然后求解即可；（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围，再根据件数为整数，即可得到第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价．【解析】解：（1）设该商品每次降价的百分率为x ，60（1-x ）2=48.6，解得x 1=0.1，x 2=1.9（舍去），答：该商品每次降价的百分率是10%；（2）设第一次降价售出a 件，则第二次降价售出（20-a ）件，由题意可得，[60（1-10%）-40]a +（48.6-40）×（20-a ）≥200，解得a ≥5527，∵a 为整数，∴a 的最小值是6，答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．【点拨】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程和不等式，第一问是典型的的下降率问题，是中考常考题型．【答案】5【思路分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为x ，则最大数为+8x ，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可．【解析】解：设这个最小数为x ．根据题意，得()865x x +=．解得15=x ，213x =-（不符合题意，舍去）．答：这个最小数为5．【点拨】此题主要考察了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最小数的差值是解题的关键．微练习一、单选题1．（2021·福建·厦门一中三模）对于一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠，下列说法：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=()0a ≠必有两个不相等的实根；③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；④若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+．其中正确的有（）【分析】解：①若a +b +c =0，则x =1是方程ax 2+bx +c =0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ=b 2-4ac ≥0，故①正确；②方程ax 2+c =0有两个不相等的实根，∴Δ=0-4ac ＞0，∴-4ac ＞0则方程ax 2+bx +c =0的判别式Δ=b 2-4ac ＞0，∴方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c 是方程ax 2+bx +c =0的一个根，则ac 2+bc +c =0，∴c （ac +b +1）=0，若c =0，等式仍然成立，但ac +b +1=0不一定成立，故③不正确；④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根，则由求根公式可得：x 0，∴2ax 0+b ∴b 2-4ac =（2ax 0+b ）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：C．2．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x 的一元二次方程()22395m x m x x -+=+化为一般形式后不含一次项，则m 的值为（）A．0B．±3C．3D．－3【答案】D 【分析】解：∵()22395m x m x x -+=+，∴()()223950m x m x -+--=，由题意得：m －3≠0且m 2－9＝0，A．1B．2C．3D．4【答案】D 【分析】解方程2540x x -+=,分解因式，得()()140x x --=121,4x x ==将1x =代入24ax bx c ++=，得4a b c ++=．故选D.4．（2021·河南涧西·三模）定义()224a b a a b =+-+★，例如()2373372428=+⨯-+=★，若方程0x m =★的一个根是1-，则此方程的另一个根是（）A．2-B．3-C．4-D．5-【答案】C【分析】解：∵2(2)4x m x m x =+-+★∴2(2)4=0x m x +-+∵方程2(2)4=0x m x +-+的一个根是1-，设另一个根为t ，则有：14t -⨯=解得，4t =-，故选：C5．（2021·广东·惠州一中一模）若m ，n 为方程2310x x --=的两根，则m n +的值为（）A．1B．1-C．3-D．3【答案】D【分析】解：m ，n 为方程2310x x --=的两根，3m n ∴+=．故选D．6．（2021·广东·西南中学三模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．2x 2﹣4x +3＝0B．x 2+4x ﹣1＝0C．x 2﹣2x ＝0D．3x 2＝5x ﹣2【答案】A【分析】解：A 、Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣4＜0，则方程没有的实数根，所以A 选项符合题意；B 、Δ＝42﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，则方程两个不相等的实数根，所以B 选项不符合题意；C 、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C 选项不符合题意；D 、Δ＝（﹣5）2﹣4×3×2＝1＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D 选项不符合题意．故选：A．【答案】D【分析】解：由题意得，当抛物线与y 轴有1个交点，与x 轴只有1个交点时，则22424(2)0b ac a ∆=-=--=解得12a =-3a ∴=当图象过原点并和x 轴有2个交点时，则0=a −22a ∴=故选：D．8．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）直线y x a =+经过第一、三、四象限，则关于x 的方程220x x a ++=实数解的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．以上都有可能【答案】C【分析】解： 直线y x a =+经过第一、三、四象限，∴a ＜0，∴△2240a =->，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．9．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）受新冠影响，某股份有限公司在2020年3月份销售口罩的核心材料熔喷无纺布的收入为2.88万元，而在1月份的销售收入仅为2万元，那么该股份有限公司在2020年第一季度的销售收入月增长率为（）A．0.2%B．－2.2%C．20%D．220%【答案】C【分析】解：设第一季度的销售收入月增长率为x ，由题意得2（1+x ）2＝2.88，解得：x 1＝20%，x 2＝-2.2（不合实际舍去）．答：第一季度的销售收入月增长率为20%．故选C．A．2181x x ++=B．()2181x +=C．()21181x x +++=D．()()211181x x ++++=【答案】B 【分析】设每人每轮平均感染x 人，由题意得，x （x +1）+x +1=81，即()2181x +=．故答案为：()2181x +=．11．（2021·黑龙江佳木斯·三模）商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（）A．50元B．60元C．70元D．50元或70元【答案】A【分析】解：设售价定为x 元时，每天赚取利润8000元，由已知得：()()3050010408000x x 轾---=臌，整理得：212035000x x -+=，解得：150x =或270x =∵尽量减少库存，∴50x =，故选：A．12．（2021·河北桥东·二模）若x 比()1x -与()1x +的积小1，则关于x 的值，下列说法正确的是（）A．不存在这样x 的值B．有两个相等的x 的值C．有两个不相等的x 的值D．无法确定【答案】C【分析】解：由题意，得()()111x x x +--=，2即12x =，21x =-，故选C．二、填空题13．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）已知1x =是一元二次方程20x x c ++=的解，则c 的值是___________．【答案】-2【分析】解：把x =1代入方程x 2+x +c =0，可得1+1+c =0，解得c =-2．故答案是：-2．14．（2021·广东·江门市第二中学二模）设a 为一元二次方程22520210x x +-=的一个实数根，则26152a a ++=______．【答案】6065【分析】解：∵a 为一元二次方程22520210x x +-=的一个实数根，∴22520210a a +-=，∴2252021a a +=，∴26152a a ++()23252a a =++320212=⨯+6065=故答案为：6065．15．（2021·内蒙古包头·三模）已知a 是方程260x x +-=的解，求22341121a a a a a -⎛⎫-+÷= ⎪+++⎝⎭_____________．【答案】2【分析】解：22341121a a a a a -⎛⎫-+÷ ⎪+++⎝⎭=()()()222231111a a a a a a +-⎛⎫--÷ ⎪+++⎝⎭=()()()2214122a a a a a +-⨯++-∵a 是方程260x x +-=的解，∴260+-=a a ，∴()()230a a -+=，解得：a =2或a =-3，∵a ≠2，∴当a =-3时，原式=-（-3）-1=2，故答案为：2．16．（2021·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室二模）方程x 2＝x 的解为___．【答案】0x =或【分析】2x x =，20x x -=，()10x x -=，0x =或1x =；故答案是：0x =或1x =．17．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）小丽在解一个三次方程x 3－2x ＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．【答案】12-或1【分析】解：∵(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0，∴()()321=0x b x c b x c +-+--，又由题意得：()()33221=1x x x b x c b x c -++-+--，∴1021b c b c -=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩解得：11b c =⎧⎨=-⎩∴由求根公式得：x =则原方程所有的解为：1，故答案为：12-或1．18．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）若关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x +++=的根都是整数，则整数m 的最大值是________．【答案】2【分析】把原方程利用因式分解法分解因式可得：(2)(1)0mx x ++=，∴20mx +=或10x +=，解得：2x m=-或1x =-，∵方程两个实数根都是整数且整数0m ≠，∴m 为1,2±±．∴最大值为2.故答案为：2．三、解答题19．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）解下列方程．（1）()2233x x -=-．（2）22530x x -+=．【答案】（1）x 1=3，x 2=72（2）x 1=32，x 2=1．【分析】（1）()2233x x -=-．()()22330x x ---=()()32310x x ---=⎡⎤⎣⎦()()3270x x --=∴x -3=0或2x -7=0解得x 1=3，x 2=7∴2x -3=0或x -1=0解得x 1=32，x 2=1．20．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）解方程：2x (x ﹣3)+x =3【答案】x 1=3，x 2=﹣12【分析】解：移项，得2x （x -3）+（x -3）=0，提公因式，得（x -3）（2x +1）=0，解得x 1=3，x 2=-12．21．（2021·广东·铁一中学二模）解方程：()2131x x -=+【答案】1x =-或4x =【分析】∵()2131x x -=+∴2340x x --=∴()()140x x +-=∴1x =-或4x =．22．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）已知代数式5x 2﹣2x ，请按照下列要求分别求值：（1）当x ＝1时，代数式的值．（2）当5x 2﹣2x ＝0时，求x 的值．【答案】（1）3；（2）0或25．【分析】解：（1）当x ＝1时，5x 2﹣2x ＝5﹣2＝3；（2）5x 2﹣2x ＝0，分解因式得：x （5x ﹣2）＝0，可得x ＝0或5x ﹣2＝0，解得：x ＝0或x ＝25．23．（2021·广东·珠海市文园中学三模）已知关于x 的一元二次方程2(21)210k x x -++=有实数根．（1）求k 的取值范围；【分析】解：（1）∵2(21)210k x x -++=有实数根，∴240b ac ∆=-≥；∴()44210k --≥，解得：1k ≤，∵210k -≠，∴12k ≠，∴k 的取值范围为1k ≤且12k ≠；（2）把12k =-代入2(21)210k x x -++=，得22210x x -++=，移项得：2221x x -+=-，系数化为1得：212x x -=，配方得：21324x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得：122x -=±，∴1x =2x =．24．（2021·重庆实验外国语学校三模）永川黄瓜山，林场万亩、环境优美，山势雄伟、地貌奇特，现已成为全国面积最大的南方早熟梨基地，品种以黄花梨为主，还有黄冠、圆黄、红梨、鄂梨2号等．永川梨香甜，脆嫩，皮薄，多汁．2020年，永川梨入选第一批全国名特优新农产品名录．（1）某水果经销商第一批购进黄花梨5000千克，黄冠梨2000千克，黄冠梨每千克的进价比黄花梨的进价每千克多2元，经销商所花费的费用不超过60000元，求黄花梨每千克进价最多为多少元？（2）在第（1）问最高进价的基础上，随着梨大量成熟，该水果经销商第二批购进的黄花梨的数量比第一批的数量增加了2a %，第二批购进的黄冠梨的数量不变，黄花梨的进价减少了12a %，黄冠梨的进价减少了2a %，第二批购进梨的总成本与第一批购进梨的总成本相同，求a 的值．【答案】（1）8元；(2)50【分析】解：（1）设黄花梨的进价每千克x 元，黄冠梨每千克的进价为（x +2）元，所以5000x+2000（x +2）≤60000，（2）由（1）得：15000(12%)8(1%)200010(12%)600002a a a +⨯-+⨯-=，解得：a =50，（0a =舍去）答：a 得值为50.25．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为60元，现以每个100元销售，每天可售出20个，为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价1元，则每天多售出2个．设该玩具的销售单价为x （元），日销售量为y （个）．（1）求y 与x 之间的函数关系式．（2）为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到1200元，销售单价应定为多少元？（3）若销售单价不低于成本价，每个获利不高于成本价的30%，将该玩具的销售单价定为多少元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）2220y x =-+；（2）销售单价应定为80元；（3）销售单价定为78元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大，最大利润是1152元【分析】解：（1）根据题意，得：202(100)y x =+-，即2220y x =-+，∴y 与x 之间的函数关系式为2220y x =-+；（2）(60)(2220)1200x x --+=，217072000x x -+=，解，得180x =，290x =（不合题意，舍去），答：销售单价应定为80元；（3）设日销售利润为w 元，根据题意，得(60)(2220)w x x =--+2234013200x x =-+-22(85)1250x =--+，∵2a =-＜0，∴抛物线开口向下，w 有最大值，由已知606030%78+⨯=，∴60≤x ≤78，答：销售单价定为78元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大，最大利润是1152元．。
初中数学专题复习解一元二次方程时一些常见的失误分析(含解答)
解一元二次方程时一些常见的失误分析摘要:一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中代数中占重要地位，因此,让学生正确掌握一元二次方程的有关知识是非常必要的。
本文通过我在多年数学教学过程中对学生的作业、观察、分析，发现了解一元二次方程时学生易出现失误的九个方面问题，分别举例分析说明，以便教学时提示学生正确解题。
关键词：方程失误分析一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中代数中占有重要的地位，一元二次方程是中考的必考内容，是重点问题，是历年来全国各地中考的热点，也是今后学习各类方程以及不等式、函数等知识的基础。
下面我对一元二次方程经常在作业或考试中常被忽视的问题作一些分析。
一、忽视方程是一元二次方程而造成失误例1、解方程：5x2=4x4误解：方程两边同时除以x，得x＝5分析：误解的根本原因是，忽视了方程同解原理2的条件，方程两边同除以的x也可能为零，因而导致失误。
或者说这是一个一元二次方程它有两个根，正确的解法是：5x24－4x=0 x(5x－4)=0 x1=0 x2=5例2、关于x的方程（m－1）x2－2（m－3）x＋m＋2＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。
误解：∵原方程有两个不相等的实数根∴Δ＞0即Δ＝［－2（m－3）］2－4（m－1）（m＋2）＝－28m＋4411－28m＋44＞0m＜7∴ m ＜711时，原方程有两个实数根 分析：本题忽视二次项系数不能为零 m －1≠0 m ≠1 正确的是：∴当m ＜711且m ≠1时，原方程有两个不相等的实数根 说明：在解一元二次方程时，若方程是一元二次方程，那么它有两个实数根，并且二次项系数不能为零。
二、误以为方程是一元二次方程而造成失误例3、m 为何值时，关于x 的方程（m －4）x 2－（2m －1）x ＋m=0有实数根。
误解：∵方程有实数根 ∴Δ≥0且m ≠4Δ＝[－（2m －1）]2－4（m －4）m ＝4m 2－4m ＋1－4m 2＋16m ＝12m ＋1 12m ＋1≥0且m ≠4，m ≥－121且m －4≠0 正确的解法是：Δ≥0 即：m ≥－121 分析：造成错误的原因是把方程误以为一元二次方程。
初中数学一元二次方程知识点总结（含方法技巧归纳，易错辨析）
初中数学⼀元⼆次⽅程知识点总结（含⽅法技巧归纳，易错辨析）
考情分析⾼频考点考查频率所占分值
1.元⼆次⽅程的概念★7～12分
2.⼀元⼆次⽅程的解法★★★
3.⼀元⼆次⽅程根的判别式★★
4.⼀元⼆次⽅程根与系数的关系★
5.利⽤⼀元⼆次⽅程解决实际问题★★★
1⼀元⼆次⽅程的定义及⼀般形式
定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数(⼀元)，并且未知数的最⾼次数是2(⼆次)的⽅程，
叫作⼀元⼆次⽅程.
点拨
对定义的理解抓住三个条件：“⼀元”“⼆次”“整式⽅程”,缺⼀不可，同时强调⼆次项的系数不为0.
⽤公式法解⼀元⼆次⽅程的记忆⼝诀
要⽤公式解⽅程，⾸先化成⼀般式.
调整系数随其后，使其成为最简⽐.
确定参数
，计算⽅程判别式.
判别式值与零⽐，有⽆实根便得知.
若有实根套公式，若⽆实根要告之.
3因式分解法
通过因式分解，使⼀元⼆次⽅程化为两个⼀次式的乘积等于0的形式，再使这两个⼀次式分别等
于0,从⽽实现降次，这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫作因式分懈法.
因式分解法体现了将⼀元⼆次⽅程“降次”转化为⼀元⼀次⽅程来解的思想，运⽤这种⽅法的步
骤：
（1）将所有项移到⽅程的左边，将⽅程的右边化为0；
（2）将⽅程左边分解为两个⼀次因式的乘积；
（3）令每个因式分别等于零，得到两个⼀元⼀次⽅程；
（4）解这两个⼀元⼀次⽅程，他们的解就是原⽅程的解.。
一元二次方程知识点总结与易错题及答案
一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次 多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
考点二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。
4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-a b ，二根之积等于a c ，也可以表示为x 1+x 2=-a b ，x 1 x 2=ac 。
一元二次方程有关问题常见错例剖析
一元二次方程有关问题常见错例剖析摘要:本文通过举例列举了一元二次方程有关问题常见错例及原因剖析.关键词: 忽视"0"≠a ,忽视"0"≥∆,忽视"0"≥∆与"0"≠a .一元二次方程是初中代数的一个极为重要的内容.笔者通过十多年的教学发现，同学们在解有关一元二次方程的问题时，常常容易忽视方程)0(02≠=++a c bx ax 的“a ”与“∆”.错误有以下几种情况：一、已知方程有两个实数根，解题时忽视"0"≠a . 例1 关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.错解 根据题意，得04)12(22>--=∆k k解得41<k 41<∴k 当时，方程有两个不相等的实数根.剖析 此解法的错误比较典型，错误的原因在于对一元二次方程的概念理解不透，忽视了运用根的判别式时方程必须是一元二次方程，即必有二次项系数02≠k .因此，正确的答案是41<k 且0≠k .二、利用根与系数的关系解题时，忽视"0"≥∆例2 已知方程设关于x 的方程02)12(22=-+++k k x 的两个实数根的平方和为11，求k 的值.错解 设所给方程的根为1x 、2x ，则2),12(22121-=+-=+k x x k x x1542)2(2)]12([2)(222212212221++=--+-=-+=+k k k k x x x x x x ∴1115422=++k k3,121-==∴k k .剖析：关于x 的二次方程的两个实根的平方和为11，首先要保证它有实根为前提，所以，此解忽视了判别式Δ≥0这一隐含条件.本题中，当1=k 时，0>∆；而当3-=k 时，0<∆原方程无实数根.故取1=k .三、利用根与系数的关系解题时，忽视"0"≥∆与"0"≠a . 例3 关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 的两实数根互为倒数,求k 的值.错解 1x 与2x 互为倒数,∴121=x x .即112=k∴ 1±=k所以所求的k 的值为: 1±=k剖析 方程有两实数根,就说明了这个方程是一元二次方程即二次项系数02≠k ,且它的判别式0≥∆.正确的解法为：解 根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≥--=∆≠1104)12(0221222k x x k k k解得 1-=k以上数例告诉我们：凡是遇到一元二次方程的实数根有关的问题时，都应考虑一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的二次项系数"0"≠a 及方程有实数根的条件0≥∆.。
一元二次方程的解法易错点剖析
一元二次方程
1 关于x 的方程0)1(1222
＝＋＋－－－k x x k k k 是一元二次方程，求k 的值．
2 关于x 的一元二次方程02332)1(2＝－＋＋＋m mx x m 有实根，求m 的取值范围.
3 a 为何值时，方程
)
1(411＋＋＝＋＋＋x x a x x x x x 只有一个实数根.
4 已知关于x 的方程02)1(2＝＋＋－
k kx x k 有实根，求k 的取值范围.
5 方程(m －1)x
m 2＋1＋2mx －3＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.
6 如果关于x 的一元二次方程22(2)340--+-=m x x m 有一个解是0，求m 的值．
7 已知方程2350ax x +-=有两个实数根，求ɑ 的取值范围．
8选择适当的方法解下列方程
（1）210160x x -+=
（2）2(1)4a a +=
（3）()()2116m m ---= （4）22
(21)(3)n n -=-
9 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？。
九年级数学上册 21.1 一元二次方程易误易混辨析素材
学必求其心得，业必贵于专精
1 《一元二次方程》易误易混辨析
误区一：忽视一元二次方程的一般形式
【例1】写出方程21x x -=的二次项系数、一次项
系数和常数项.
解:将21x x -=化成 一般形式为2
10x x --=,所以二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，－1，－1。
跳出误区
本题易出现将常数项写成1的错误，原因是没将方程化为一元二次方程的一般形式，另外，不用忽视各项系数的符合。
误区二：在解答过程中忽略条件
【例2】当k
取何值时,2
1(1)20k k x x +-+-=是一元二次方程?
解：由一元二次方程的定义，知212k +=，且10k -≠，解得1k =-。
故当1k =-时，2
1(1)20k k x x +-+-=是一元二次方程。
跳出误区
本题易出现答案为1k =±的错误，原因是忽略了二
次项系数不为0这一隐含条件。
因此，在解答一元二次方程中所含字母的值时,一定要保证二次项系数不为0，从而避免出错。
九年级数学上册23.2一元二次方程的解法易错题解析新版华东师大版
易错题解析好多同学在解决一元二次方程有关问题时，忽视隐含条件、思虑不周而以致各样各样的缺误，下边分类解析一下错解的原由，希望同学们引认为戒．一、忽视方程的同解性例１．解方程： ( x 1) 23( x 1)错解：由原方程得：x+1=3∴ x=2．解析：上边的解法错在方程的两边同除认为零的x+1，违反了方程的同解原理，造成失根．正确的解法为；( x 1) 23( x 1) 0 ，(x+1)(x－2)=0，∴ x11, x2 2 ．二、忽视方程的定义例１．已知一元二次方程kx22(2k 1)k 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是．错解：令△＝(2k 1)24k 2＞０，即－4k+1＞ 0，解得k1．∴当 k1时，原方程有44两个不等的实数根．解析：这里忽视了二次项系数k o 的隐含条件．故本题的正确答案为： k 1且 k o ．4三、忽视有根的前提条件例３．关于 x 方程x2( k2) x2k10 的两实数根为x1与 x2，若 x12x2211 ，务实数 k 的值．错解：由根与系数的关系得：x1x2k2, x1 x22k1．∵ x12x22( x1x2 ) 2－２ x1 x2＝１１，∴ (k2) 22(2k1)11 ，∴k290 ，解得： k 3 ．解析：关于 x 的二次方程的两实数根的平方和为１１，第一要保证它有实数根为前提．所以，此解忽视了鉴识式△≥０这一隐含条件．本题中，当k=3 时，原方程为x25x70 ，△ ＝－３＜０，故只取k=－ 3．四、忽视方程根多样性例４．已知实数a、b 满足条件2520,2520a b．，则aa b b b a错解：由已知条件可知，a 、b 为方程 x25x 2 0 的两根，∴ a+b=5， ab=2，abba(a b) 2 2ab52 22 21 ．ab22解析：本题就a 、b 的关系有两种情况：一是a 、b 为方程 x 25x 2 0 的两根，此时△ ＞０．可知 a ≠ b ．二是 a=b 相同能使已知两式同时成立．而上述解法只考虑了a ≠b 的情况，却忽视了第二种情况a=b ．当 a=b 时，ab ２．ba本题的正确解答为：当a ≠b 时，ab 21；当 a=b 时，ab ２．ba2ba五、忽视方程根的符号例 5．已知一元二次方程x25x 1 0 的两根为 x 1 , x 2 ，求 x 2x 1的值．x 1 x 2错解：由根与系数的关系， 得 x 1x 25 1 x 1x 2x 1 x 2 ＝, x 1 x 2，所以原式＝x 1x 233x 1 x 2x 1 x 2 5 3 ．x 1 x 23剖 析 ： ∵ x 1x 25, x 1x 2 1 ， ∴ x 1 0且x 20 ． ∴x 2 x 1 ≠33x 1x 2x 1 x 2x 1 x 2 ，所以，原式＝ x 1 x 2x 1 x 2 x 1x 2x 1x 25 3 ．x 1x 2x 1x 2＝－3x 1 x 2六、忽视条件的等价性例６．若一元二次方程x 26 x 5 m 0 的两实数根都大于２，求m 的取值范围．错解：设方程的两实数根为x 1 , x 2 ，则 x 1 x 26, x 1 x 2 5 m ，∵ x 1 2, x 22 ，所以364(5 m) 0x 1 x 24 ，即 64，解得－４≤ m ＜１．x 1 x 245m 4解析：由 x 1 2, x 2 2 ，可以推出 x 1 x 2 4, x 1 x 2 4 ，但反过来，由 x 1 x 2 4, x 1 x 2 4却推不出 x 12, x 22 ，即它们之间不等价．两实数根都大于２的充要条件是△≥０且( x 1 2) (x 2 2) 0 且 ( x 1 2)( x 22) 0 ，解得－４≤ m ＜－３．七、忽视隐含条件例７． 已知关于 x 的方程(12) 2 21 1 ０有两个不等的实根，求 m的m xm x取值范围．错解：∵方程有两个不等的实根，∴△＝( 21) 2 4(1 2 ) 0，得 m ＜ 2．mm又∵ 1－２ m ≠ 0，∴ m ≠ 1．2解析：本题求解时注意了 a 及△，但忽视了m 1 这一隐含条件下： m+1≥0．故正确的答案应是－ 1≤ m ＜ 2 且 m ≠ 1．2。
一元二次方程知识点和易错点总结
一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
考点二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a 也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a 。
一元二次不等式的解法易错点 2019高考绝密资料
一元二次不等式的解法易错点主标题：一元二次不等式的解法副标题：从考点分析一元二次不等式的解法在高考中的易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。
关键词：不等式，一元二次不等式的解法，易错点 难度：3 重要程度：5 内容：一、忽视二次项的符号导致错误 【例1】解不等式0322<++-x x .错解：令0322=++-x x ，解得1-=x 或3=x ，则0322<++-x x 的解集为()3,1-.剖析：当二次不等式的二次项系数为负值时，应先同乘1-，将二次项系数化为正值进行求解.正解：将0322<++-x x 化为0322>--x x 令0322=--x x ，解得1-=x 或3=x ，则0322<++-x x 的解集，即0322>--x x 的解集为()()+∞-∞-,31, .二、忽视分母的符号导致错误【例2】不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(][)+∞∞-,40,错解：选D 由224-≤-x x ，得4)2(2≥-x ，即22≥-x 或22-≤-x ，解得4≥x 或0≤x .剖析：不等式两边同乘2-x ，忘记讨论2-x 的符号导致错误。
正解一：选B ①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，所以x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，所以0≤x <2.，即20<≤x 或4≥x .正解二：选B 由224-≤-x x ，得024)2(2≥---x x ，即02)4(≥--x x x ，即⎩⎨⎧≠-≥--020)4)(2(x x x x ，解得20<≤x 或4≥x .三、忽视原式隐含的取值范围导致错误 【例3】解不等式7122->+x x错解：两边平方，得7122->+x x ，即0822<--x x ，解得2-<x 或4>x ，即7122->+x x 的解集为()()+∞-∞-,42, .剖析：本题忽视7122->+x x 中，07,0122≥-≥+x x 导致错误.正解：7122->+x x 等价于⎪⎩⎪⎨⎧->+≥-≥+7120701222x x x x ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<-≤≥-≥427721x x x x x 或或，解得4>x ，即7122->+x x 的解集为()+∞,4.导数在研究函数中的应用主标题：导数在研究函数中的应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
剖析一元二次方程中的常见错解
剖析一元二次方程中的常见错解作者：何加宽来源：《初中生世界·九年级》2020年第09期一元二次方程是初中数学的重要学习内容，是中考中的“常客”。
有些同学由于概念不清、方法不明等原因，经常在解决一元二次方程相关问题时出错。
现对一元二次方程的典型易错题进行举例剖析，以供同学们学习时参考。
一、忽视二次项系数不为0例1 若关于x的方程（m+1）x m2-1-2x+1=0是一元二次方程，则m的值为____。
【错解】因为这是一元二次方程，所以含有未知数x的项的最高次数是2，即m2+1=2，解得m=±1。
【剖析】本题考查一元二次方程的概念。
错因是对概念理解不透彻，忽视二次项系数a≠0。
当m=-1时，此方程变成一元一次方程，显然不符合题意，所以m=-1应舍去。
【正解】由m2+1=2，得m=±1。
又因为m+1≠0，即m≠-1，所以m的值为1。
【点评】ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）是一元二次方程的一般形式。
同学们在解题时，不能看到“二次”就只顾“次数”，还需注意a≠0的条件限制。
同学们平时对一元二次方程等概念的学习，不仅要看“样子”，还要关注“条件”。
二、解方程步骤不清、忽视条件漏根例2 解方程：（1）（x-1）2=4;（2）3x（x-3）=2（x-3）。
【错解】（1）x-1=2，x=3;（2）方程两边同除以x-3，得3x=2，x=2/3。
【点评】根据平方根定义，解方程时要明晰定义和性质，理清解方程的步骤，预防丢根;在应用等式的性质解方程时，切不可在方程两边同除以含未知数的代数式，否则将失根。
增根好剔除，失根难寻找哦。
三、忽视分类讨论例3 已知关于x的方程（m-2）x2-2（m-1）x+m+1=0有实数根，求m的取值范围。
【错解】因为关于x的方程（m-2）x2-2（m-1）x+m+1=0有实数根，所以m-2≠0，[-2（m-1）]2-4（m-2）（m+1）≥0，解得m<3且m≠2。
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一元二次方程易错题剖析一、 在确定一元二次方程时，容易忽视二次项系数a0 题目1关于X 的方程(k 2-1)x 「心+ x + k =0是一元二次方程，求 错解：T k 2-2k -1=2即 k 2- 2k -3=0k i = 3, k 2 = — 1.错因：方程ax 2+ bx + c =0 ( a 0)为一元二次方程，这里强调 —1时，使k 2 - 1 = 0,原方程是一元一次方程. 正解：2k -2k —仁 2, 2…k = 3.k 2-1 0,二、 在使用一元二次方程根的判别式时，容易忽视二次项系数题目2关于X 的一元二次方程(m + 1)x 2+ 2、、3mx + 3m -2=0有实根, 错解：T 方程有实根，二 > 0, 即(2.3m)2-4(m + 1)(3m -2) >0,• • —4m+8》0,. • m W 2.错因：因为题中说明是一元二次方程，则还应满足 m + 1 0,正解：• m W 2,且 m — 1.三、 忽视根的判别式和二次项的系数 a应满足的条件题目3已知关于X 的方程x 2- mx - n = 0的两根之积比两根之和的 根的平方和为22,求m , n 的值.k 的值.a 0.当 k 2 =a求m 的取值范围.2倍小f ，并且两错解：设两根分别为X1 , X2，则x1+ x2= m , x1x2= - n .1由题意，得2(X1+X 2)—X1X尸2, X 2+X；=22. m != 7,解得 27 或 ni = —亍错因：因为方程有两根，说明根的判断式> 0,即m 2+ 4n >0,但m = 7和n =—27不满足，应舍去•又这里二次项系数a = 1是已知的，解题时可不考虑。
2正解：当m = 7, n = —27时，=72- 427V 0,不合题意，舍去；2 2 当 m = — 3, n =匹时， =(—3)2 + 4 逻>0,2 2 13 ..m = 一 3, n =.2四、忽视两未知数的值中有一个是增根的情况 题目4 a 为何值时，方程 亠+注=空也只有一个实数根.x +1X X(X + 1)错解：原方程化为2X 2— 2X + (1— a) = 0.此方程有两个相等的实数根时，分式方程只有一个实根， . =(—2)2— 4 2(1 — a)=0 ,. 1…a= —.2错因：当方程2X 2—2X +(1— a) = 0的两实根中有一个是原方程的增根，另一根是原 方程的根时，命题也成立. 正解：把 X = 0代入 2X 2—2X + (1— a)= 0，得 a = l ; 把 X = — 1 代入 2X 2— 2X + (1— a)=0，得 a = 5.二当a 1=寸,a 2 = 1, a 3 = 5时，原分式方程只有一个实数根.五、讨论不定次数的方程的解时，只考虑 是二次方程时的情况，忽视是一次方 程时的情况.2m + n =-,2m 2+2 n =22,m 2=—313题目5已知关于x的方程(k-1)x2+ 2kx+ k= 0有实根，求k的取值范围.0 k 1错解：当k 12U，即k J 2时，方程有实根，(2k)2-4k(k -1) 0, 4k2-4k2+4k 0••• k > 0且k 1时，方程有实根.错因：只考虑了方程是一元二次方程时方程有根的情况.本题并没有说明方程有“二次”和“两根”的条件，允许它是一次方程.正解：当k — 1 = Q即k = 1时，方程化为2x+1=0，二x =-丄.2•••当k >0时，方程有实根.六、不理解一元二次方程的定义题目6方程(m—1)x m+1+ 2m>—3= 0是关于x的一元二次方程，求m的值.错解：由题意可得m+ 1 = 2，二m=± 1.错因：一元二次方程满足的条件是：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程.方程经整理可转化为一般形式：ax2+ bx+ c= 0(a^ 0).本题在解题过程中忽略了一元二次方程系数不为零的条件.正解：由题意可得，m+ 1 = 2，且m—1工0，• m=± 1且1，• m的值是一1.七、二次三项式的配方与一元二次方程的配方的知识混淆题目7用配方法求2x2- 12x + 14的最小值.错解：2x2- 12x + 14 = x2- 6x + 9-2= (x —3)2-2.•••当x= 3时，原多项式的最小值是一2.错因：一元二次方程配方时，二次项系数化为1,方程两边同时除以二次项系数，而二次三项式的配方不能除以二次项系数，而应提取二次项系数.要注意等式与代数式变形的区别.正解：2x2—12x + 14 = 2( x2-6x + 7) = 2(x2—6x+ 9-2) = 2( x —3)2-4. •••当x= 3时，原多项式的最小值是-4.八、解方程中错误使用等式的性质题目8解方程x2= 6x.错解: x = 6x，解这个方程，得x= 6.错因：本题想利用等式的性质进行求解，但方程两边不能同除以值为零的代数式.正解：x2= 6x,x2—6x= 0, x(x —6) = 0,• X i= 0, X2 = 6.九、题目9关于x的方程「2x—4—x + k= 1,有一个增根为4,求k的值.1. 对增根概念理解不准确错解1:把x= 4代入原方程，得-2X 4—4—4+ k= 1,解得k= — 3. 错因：本解法错误在于对增根概念理解不准确，既然是增根，代到原方程中去，等式不应该成立.实际上解法中把4当作原方程的根，而没有当作增根来处理.2. 忽略题中的隐含条件错解2:将原方程化为整式方程，得4( x + k) = (x —5—k)2. (*) 把x= 4代入整式方程(*)，得4(4 + k) = (4 — 5 —k)2.解之，得k1= —3, k2= 5.答：k的值为一3或5.错因：本解法已经考虑到增根的定义.增根是在将无理方程化为整式方程时产生的，所以题目中的增根x = 4肯定是在解整式方程(*)时产生的.将x=4代入整式方程(*)，等式应该成立.求出k i=- 3, k2 = 5,但本解法忽略了对k值的验证. 将无理方程化为整式方程时，可能产生增根，也可能不产生增根，因此还必须将求得的k值和x= 4代到原无理方程中去验证.正解：(1)将k i = - 3, x=4代入原无理方程，左边=-'2X 4-4 - 4-3= 1,右边 =1 .左边=右边.•••当k=- 3时，x=4是适合原方程的根(不是增根).(2)将k2 = 5，x= 4代入原无理方程，左边=-1，右边=1,左边工右边.•••当k= 5时，x= 4是原方程的增根.综上所述，原方程有一个增根为4时，k的值为5.十、忽略前提，乱套公式题目10解方程：X2+3X=4.错解：因为△=32-4 X 1 x 4=-7 v 0,所以方程无解.错因：用公式法解一元二次方程，必须先把方程化为一般形式a x2+b x+c=0(a 工0).如果同学们没有理解这一点，胡乱地套用公式，解方程时就会造成错误.正解：方程可化为X2+3X-4=0.△=32-4 X 1 X(-4 ) =25 >0.x=42即X1 = 1, X2=-4.十一、误用性质，导致丢根题目11方程(X-5 ) ( X-6)= X-5的解是( )A. X=5B. X=5或X=6C. X=7D. X=5或X=7错解：选C.将方程的两边同时除以x-5得x-6=1,解得x =7.错因：在解一元二次方程时，不能在方程的两边同时除以含有未知数的代数式，否则就会产生漏根的现象，导致解题出错.正解：选D.移项得(x-5 ) (x-6)-( x-5)=0，因式分解得(x-5 ) (x-7)=0,解得x1=5，x2 =7.十二、考虑不周，顾此失彼题目12 若关于x 的一元二次方程(m+1) x2- x+m2-m-2=0 的常数项为0，则m 的值为( )A. m=-1B.m=2C.m=-1 或m=2D.m=1 或m=-2错解：据题意可得m2-m-2=0，解得m i=-1, m2 =2，所以选C.错因：错解中根据题中条件构造关于m的方程m2-m-2=0，以达到求m的值的目的，这样思考并没有错，错就错在忽略了一元二次方程的一般形式a x2+b x+c=0 中必须有a工0这一条件.正解：据题意可得m2-m-2=0,解得m1=-1, m2=2.又因为m+倍0,故m^-1 ,所以m=2故选B.十三、一知半解，配方不当题目13 解方程：x2-6 x-6=0.错解：移项，得x2-6 x =6，故(x-3 ) 2=0解得x1=x2 =3.错因：运用配方法解一元二次方程时，同学们最容易犯的错误是方程等号一边加上了一次项系数一半的平方，而另一边却忘了加或者加错. 所以用配方法解一元二次方程时，要正确理解配方法的实质及解题的步骤，避免配方不当产生错误.正解：移项，得X2-6X=6,所以X2-6X +9=6+9,即(X 3)2= 15,解得X<|=3+』15,X2 =3- .15.十四、概念不清，导致错误题目14下列方程中，一元二次方程为2 2 2 1 2 V3⑴4X 3X；⑵(X 2)3X 1 0；⑶ 3X 4X E 0；⑷ x20 ；(5) •、厂 2 ；(6)6X(X 5) 6X2 .错解：多找了⑵或(6)或少找了⑶或⑷错因：多找了(2)或(6)是因为没将方程整理，少找(3)是将它看作是分式方程，少找了(4)是因为方程没有一次项，常数项过于简单.判断一方程是否为一元二次方程，首先看它是否为整式方程，若是整式方程，再进行整理，整理之后再看它是否符合定义的另两个特点.正解：是方程(1),(3),(4)十五、忽略二次项系数a z0导致字母系数取值范围扩大题目15.如果关于X的一元二次方程(m 2)X23X m2 4 0有一个解是0,求0的勺值.错解：将X= 0代入方程中，得(m 2) 02 3 0 m2 4 0 ,m2 4 m 2> ・错因：由一元二次方程的定义知m 2 0，而上述解题过程恰恰忽略了这一点，正解：将X 0代入方程中，得2m 4,m 2又因为m 2 0，所以m 2.十六、忽略一元二次方程的“元”和“次”都是对合并同类项之后而言的，导致错解题目16.关于x的方程mx? 3x x mx 2 是- -元二次方程的条件是什么错解：由一元二次方程的定义知m 0.错因：一元二次方程的“元”和“次”都是对合并同类项之后而言的.而上述解题过程恰恰忽略了这一点，整理得(m 1)x2 (3 m)x 2 0 ,m 1 0, m 1正解：关于x的方程mx2 3x x2 mx 2是一兀二次方程的条件为m 1 .十七、忽略一元二次方程有实根条件0导致错解题目17.已知捲，X2是方程x2 (k 2)x k2 3k 5 0的两实根，求捲2 X22的最大值. 错解：由根与系数的关系得2x-i x2 k 2 x! x2 k 3k 5所以当k 5时，xj X22有最大值19.错因：当k 5时，原方程变为x2 7x 15 0，此时△< 0,方程无实根. 错因是忽略了0这一重要前提.正解：由于方程有两实根，故0,2即(k 2) 4(k23k 5) 0,解得—4W k<-电.3所以当k 4时，为2 X22有最大值18.十八、未挖掘题目中的隐含条件导致错解题目18.若(x2 y2 1)(x2 y2 3) 5,则x2 y2= ________________ .错解：(x2 y2)2 2(x2 y2) 8 0(x2 y2 4)(x2 y2 2) 0解得x2 y2=4或x2 y2=-2错因：忽视了x2 y2的非负性，所以应舍去X2 y2=-2.正解：4题目19、已知方程ax2 3x 5 0有两个实数根，求a的取值范围.错解：v已知方程有两个实数根，/. △> 0,即32 4 a ( 5) 0,a>——.20所以C的取值范围是大于或等于- 2的实数.20错因：因已知方程有两个实数根，这个方程必须是一元二次方程，解答过程忽略了二次项系数a不为0的条件。