欧拉路径(欧拉回路)算法
欧拉路径——精选推荐
欧拉路径貌似很多博客都喜欢⽤⼀笔画来引⼊欧拉路径，但像您这样的强者时⽆需那些繁琐的东西，我们直接进⼊正题。
定义：图中经过所有边恰好⼀次的路径叫做欧拉路径。
如果起点和终点⼀样，那它就是欧拉回路。
判定：判定当前图中是否存在欧拉路径其实⽐寻找更⿇烦显然，欧拉回路也是欧拉路径，但为了⽅便区分，下⽂判定中的欧拉路径特指起点和终点不同。
判定⽅法：⾸先，当且仅当这张图将有向边视为⽆向边时联通。
1. 有向图欧拉路径：图中恰好存在⼀个点（起点）出度⽐⼊度多1，恰好⼀个点（终点）⼊度⽐出度多1，剩下所有点⼊度等于出度。
2. 有向图欧拉回路：图中所有点⼊度等于出度（任⼀点都可以做起点和终点）。
3. ⽆向图欧拉路径：图中恰好有两个点的度数为奇数（起点和终点），其他所有点的度数为偶数。
4. ⽆向图欧拉回路：图中所有点的度数都为偶数（任⼀点都可以做起点和终点）。
寻找：算法⼀：Fluery 算法。
时间复杂度O(m2)，不常⽤。
算法⼆：Hierholzer 算法。
时间复杂度O(m)，常⽤。
只写 Hierholzer 算法，做法⾮常简单。
1. 从起点开始dfs，标记选了的边不能重复选，这⾥⽤类似Dinic的当前弧优化。
2. 当前点不存在出边时回退，并将当前点⼊栈P。
3. 当dfs结束时倒序输出栈P中的节点即可。
算法导论上似乎有该算法证明。
例题：题⽬保证联通，所以直接判断⼊度和出度即可。
要求字典序最⼩，那么每次都要选能到达的最⼩的点。
可以将边离线下来按v从⼤到⼩排序，然后依次插⼊到链式前向星⾥，这样可以保证每次选到的都是最⼩的。
当前弧优化不加复杂度就假了。
code:#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define int long long#define in read()inline int read(){int p=0,f=1;char c=getchar();while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9'){p=p*10+c-'0';c=getchar();}return p*f;}const int N=1e5+5;const int M=2e5+5;int n,m;struct edge{int v,nxt;}e[M];inline void insert(int u,int v){e[++en].v=v;e[en].nxt=head[u];head[u]=en;}struct QWQ{int u,v;}E[M];inline bool cmp(QWQ a,QWQ b){return a.v>b.v;}int p[M],pn;void dfs(int u){for(int i=head[u];i;i=head[u]){int v=e[i].v;head[u]=e[i].nxt;dfs(v);}p[++pn]=u;}int flagin,flagout,flag;int ind[N],outd[N];int S=1;signed main(){n=in,m=in;for(int i=1;i<=m;i++)E[i].u=in,E[i].v=in,outd[E[i].u]++,ind[E[i].v]++;sort(E+1,E+1+m,cmp);for(int i=1;i<=m;i++)insert(E[i].u,E[i].v);for(int i=1;i<=n;i++){if(ind[i]!=outd[i])flag++;if(ind[i]==outd[i]+1)flagout++;if(ind[i]+1==outd[i])flagin++,S=i;}if(flag==0||(flag==2&&flagout==1&&flagin==1)){dfs(S);for(int i=pn;i>=1;i--)cout<<p[i]<<' ';}else cout<<"No";return 0;}练习：将每个字母视为点，单词视为边，就和上⾯差不多了，注意欧拉路径的起始点。
欧拉通路概念
欧拉通路概念欧拉通路是指一条路径，它恰好经过图中每个顶点一次，但不一定经过每条边。
欧拉通路是图论中的一个重要概念，它的研究对于解决一些实际问题具有重要的意义。
欧拉通路的定义欧拉通路是指一条路径，它恰好经过图中每个顶点一次，但不一定经过每条边。
如果一条欧拉通路恰好经过每条边一次，那么这条欧拉通路就是欧拉回路。
欧拉通路的性质欧拉通路有以下性质：1. 如果一个图有欧拉回路，那么这个图是一个连通图。
2. 如果一个图有欧拉通路，那么这个图的所有顶点的度数都是偶数。
3. 如果一个图的所有顶点的度数都是偶数，那么这个图一定有欧拉回路。
4. 如果一个图只有两个顶点的度数是奇数，那么这个图一定有欧拉通路，这个欧拉通路的起点和终点分别是这两个度数为奇数的顶点。
欧拉通路的应用欧拉通路在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在电路设计中，欧拉通路可以用来检测电路中是否存在短路或开路。
在交通规划中，欧拉通路可以用来规划最优的路径。
在生物学中，欧拉通路可以用来研究蛋白质的折叠问题。
欧拉通路的求解欧拉通路的求解可以使用Fleury算法或Hierholzer算法。
Fleury算法是一种贪心算法，它从一个任意的顶点开始，每次选择一个未被访问的边，如果这条边不是桥，那么就可以通过这条边到达一个新的顶点。
如果这条边是桥，那么就必须选择这条边，因为这是唯一的一条可以到达新顶点的边。
Hierholzer算法是一种递归算法，它从一个任意的顶点开始，每次选择一个未被访问的边，然后递归地求解子图的欧拉通路，最后将所有的欧拉通路合并起来。
总结欧拉通路是图论中的一个重要概念，它的研究对于解决一些实际问题具有重要的意义。
欧拉通路有着许多重要的性质，可以用来检测电路中是否存在短路或开路，规划最优的路径，研究蛋白质的折叠问题等。
欧拉通路的求解可以使用Fleury算法或Hierholzer算法。
欧拉回路的算法演示
欧拉图中欧拉回路的算法，演示，及分析
设G为欧拉图，一般来说G中存在若干条欧拉回路，下面介绍两种求欧拉回路的算法。
1．Fleury算法，能不走桥就不走桥：
（1）任取v0∈V(G)，令P0=v0.
（2）设Pi=v0e1v1e2…e i v i已经行遍，按下面方法来从E(G)-{e1,e2,…,e i}中选取e i+1：
（a）e i+1与v i相关联；
（b）除非无别的边可供行遍，否则e i+1不应该为G i=G-{e1,e2,…,e i}中的桥。
（3）当（2）不能再进行时，算法停止。
可以证明，当算法停止时所得简单回路P m=v0e1v1e2…e m v m(v m=v0)为G中一条欧拉回路。
例15.2 图15.4(1)是给定的欧拉图G。
某人用Fleury算法求G中的欧拉回路时，走了简单回路v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2之后(观看他的错误走法)，无法行遍了，试分析在哪步他犯了错误?
解此人行遍v8时犯了能不走桥就不走桥的错误，因而他没行遍出欧拉回路。
当他走到v8时，G-{e2,e3,e14,e10,e1,e8}为图15.4(2)所示。
此时e9为该图中的桥，而e7,e11均不是桥，他不应该走e9，而应该走e7或e11，他没有走，所以犯了错误。
注意，此人在行遍中，在v3遇到过桥e3，v1处遇到过桥e8，但当时除桥外他无别的边可走，所以当时均走了桥，这是不会犯错误的。
弗罗莱(Fleury)算法求欧拉Euler通路回路
{ int a[200],x,i,k=0; LinkQueue Q; InitQueue(Q); EnQueue(Q,0); for(i=0;i<v;i++) a[i]=0; a[0]=1; while(!QueueEmpty(Q)) { DeQueue(Q,x); for(i=0;i<v;i++) if(G[x][i]>0) if(a[i]!=1) { a[i]=1; EnQueue(Q,i); }//if }//while for(i=0;i<v;i++) if(a[i]==0) { k=1; break; } if(k==1) return 0;
欧拉图和哈密尔顿图
走过所有的点，并且最后还能回到起点的回 路
哈密尔顿图
定义：通过图G的每个结点一次且仅一次的环称为哈密尔顿环。具 有哈密尔顿环的图称为哈密尔顿图。通过图G的每个结点一次且仅 一次的开路称为哈密尔顿路。具有哈密尔顿路的图称为半哈密尔 顿图。
f：说法语、日语和俄语；
g：说法语和德语.
c f
g
解 设7个人为7个结点, 将两个懂同一语言的人之间连一条边
(即他们能直接交谈), 这样就得到一个简单图G, 问题就转化为
G是否连通. 如图所示, 因为G的任意两个结点是连通的, 所以
G是连通图. 因此, 上述7个人中任意两个人能交谈.
解二
c
英
意
e
a
例
半哈密尔顿图
哈密尔顿图 哈密尔顿图
N
周游世界的游戏——的解
哈密顿图
哈密顿图
无哈密顿 通路
哈密顿图
存在哈密 顿通路
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图;
实例
已知有关人员a, b, c, d, e, f, g 的有关信息
a：说英语；
b：说英语或西班牙语；
c；说英语，意大利语和俄语；
a：说英语； b：说英语或西班牙语；
英
德
c；说英语，意大利 语和俄语；
b
g
d：说日语和西班牙语 e：说德语和意大利语； f：说法语、日语和俄语； g：说法语和德语.
西
d
日
法
f
如果题目改为：试问这7个人应如何安排座位, 才能使每个人都能与
他身边的人交谈？
解：用结点表示人，用边表示连接的两个人能说讲一种语言，够造
欧拉回路构造算法
欧拉回路构造算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：欧拉回路是图论中的一个重要概念，在一幅图中指的是一条包含图中每一条边且经过每一条边仅一次的闭合路径。
欧拉回路构造算法是指寻找一条欧拉回路的方法，即将给定的图转化为满足欧拉回路性质的路径。
欧拉回路构造算法有多种，其中最为经典和常用的算法是Fleury 算法和Hierholzer算法。
Fleury算法是一种基于贪心思想的算法，其基本思路是每次选择一条不是桥的边，通过DFS搜索来构造欧拉回路。
具体步骤如下：1. 从图中任选一个顶点作为起点。
2. 找到可以走的一条不是桥的边，并走向该边所连接的顶点。
3. 如果该边是割边，则在走完该边后，必须选择一条不是割边的边继续前进。
4. 重复步骤2和步骤3，直到不能走为止。
Fleury算法的时间复杂度为O(E^2)，其中E为图中的边数。
Hierholzer算法是另一种求解欧拉回路的经典算法，其基本思想是通过遍历所有的边来构造欧拉回路。
具体步骤如下：1. 从图中任意一个顶点开始，选择一条边进行遍历。
2. 如果走到某个节点时无法继续行走，则回退到之前分叉点重新选择一条边继续遍历。
3. 直到遍历完所有的边，形成一个闭合回路即为欧拉回路。
欧拉回路构造算法的应用十分广泛，例如在网络设计、图像处理、数据压缩等领域都有着重要的作用。
通过欧拉回路构造算法，我们可以快速有效地找到一条经过所有边的闭合路径，从而解决一系列实际问题。
欧拉回路构造算法是解决图论中欧拉回路问题的重要工具。
不同的算法适用于不同的情况，可以根据具体问题的要求选择合适的算法。
通过学习和了解欧拉回路构造算法，我们可以更好地运用图论知识解决实际问题，提高问题解决的效率和准确性。
希望本文对读者有所帮助，欢迎大家进一步深入学习和探讨。
第二篇示例：欧拉回路构造算法是图论中一种重要的算法，用于寻找图中存在的欧拉回路。
欧拉回路是指一条包含所有边且不重复经过任何边的闭合路径。
在很多实际应用中，欧拉回路是一个非常有用的概念，比如在电子电路的布线设计、网络路由、以及城市旅行等领域都有很多应用。
欧拉图（离散数学）
欧拉图（离散数学）
定义
欧拉回路：通过图中每条边⼀次且仅⼀次，并且过每⼀顶点的回路。
欧拉图：具有欧拉回路的图。
欧拉通路：通过图中每条边⼀次且仅⼀次，并且过每⼀顶点的通路。
半欧拉图：具有欧拉通路⽽⽆欧拉回路的图。
连通：图中从⼀个顶点到达另⼀顶点，若存在⾄少⼀条路径，则称这两个顶点是连通着的。
连通图：⽆向图中，如果任意两个顶点之间都能够连通，则称此⽆向图为连通图。
判断
⽆向图 G 有欧拉通路：图连通，G 中奇度顶点的数⽬为2（分别为欧拉通路的两个端点）。
⽆向图 G 是欧拉回路：图连通，G 中每个顶点都是偶度顶点。
有向图 G 有欧拉通路：图连通，G 中除两个顶点外（起点与终点），其余顶点的⼊度都等于出度。
其中起点的⼊度⽐出度⼩1，终点的⼊度⽐出度⼤1。
有向图 G 有欧拉回路：图连通，G 中所有顶点的⼊度等于出度。
hierholzer算法算法原理
1. Hierholzer算法的基本概念Hierholzer算法是一种用来寻找欧拉回路的经典算法。
它的基本原理是通过遍历图中的所有边，找到一条路径，使得每个节点都被经过且每条边都被遍历到。
欧拉回路是一种经过图中每条边一次且回到起点的路径，这种路径的存在性以及如何找到它一直是图论中的一个经典问题。
2. 经典图的定义在讲解Hierholzer算法的原理之前，我们需要先了解一些经典图的定义。
图是一种由节点和边构成的数据结构，一般用G(V, E)来表示，其中V是节点的集合，E是边的集合。
当图中的每条边都不重复出现且每个节点之间都存在相互连接的边时，称这种图为欧拉图。
而欧拉回路则是在欧拉图的基础上，经过图中每条边一次且回到起点的路径。
3. Hierholzer算法的基本思路在讲解Hierholzer算法的具体原理之前，我们先来了解一下它的基本思路。
Hierholzer算法的基本思路是利用递归的方式来在欧拉图中寻找欧拉回路。
它的核心是通过拆边和回溯的方式，找到一条满足条件的路径，并将其合并成一条欧拉回路。
4. Hierholzer算法的具体步骤Hierholzer算法的具体步骤可以大致分为以下几个步骤：- 从图中任意选取一个节点作为起点，将其入栈。
- 对起点进行深度优先遍历，直到遇到没有未访问的边的节点，将节点加入到路径中。
- 如果当前节点的邻接节点还有未访问的边，则将当前节点入栈，并选择一个邻接节点作为下一个起点进行深度优先遍历。
- 如果当前节点的邻接节点都已经访问完，则将该节点加入到路径末尾，并将栈中的节点依次加入到路径中，直到找到一个出边没有访问的节点。
- 重复以上步骤直到所有的边都被经过。
5. Hierholzer算法的应用Hierholzer算法在实际生活中有很多应用，比如在网络路由系统中寻找最优路径、在交通规划中寻找最优车辆行驶路线等。
另外，在图论研究中，Hierholzer算法也被广泛应用于求解欧拉回路的问题，并且它的时间复杂度相对较低，适用于大规模的图。
欧拉回路
一、欧拉回路所谓欧拉回路与哥尼斯堡7桥问题相联系的．在哥尼斯堡7桥问题中，欧拉证明了不存在这样的回路，使它经过图中每条边且只经过一次又回到起始点．与此相反，设G （V ，E ）为一个图，若存在一条回路，使它经过图中每条边且只经过一次又回到起始点，就称这种回路为欧拉回路，并称图G 为欧拉图．在一个图中，连接一个节点的边数称为该节点的度数．对欧拉图，我们有下列结果： 定理1 对连通图G （V ，E ），下列条件是相互等价的： （1）G 是一个欧拉图；（2）G 的每一个节点的度数都是偶数；（3）G 的边集合E 可以分解为若干个回路的并．证明 ：()()12⇒ 已知G 为欧拉图，则必存在一个欧拉回路．回路中的节点都是偶度数．()()23⇒ 设G 中每一个节点的度数均为偶数．若能找到一个回路C 1使G=C 1，则结论成立．否则，令G 1=G\C 1，由C 1上每个节点的度数均为偶数，则G 1中的每个节点的度数亦均为偶数．于是在G 1必存在另一个回路C 2．令G 2=G 1\C 2，···．由于G 为有限图，上述过程经过有限步，最后必得一个回路C r 使 G r =G r-1\C r 上各节点的度数均为零，即C r =G r-1．这样就得到Ｇ的一个分解 G C C C r =⋅⋅⋅12 ．()()31⇒ 设G C C C r =⋅⋅⋅12 ，其中i C （I=1,2,…,r ）均为回路．由于G 为连通图，对任意回路i C ,必存在另一个回路j C 与之相连，即i C 与j C 存在共同的节点．现在我们从图G 的任意节点出发，沿着所在的回路走，每走到一个共同的节点处，就转向另一个回路，···，这样一直走下去就可走遍G 的每条边且只走过一次,最后回到原出发节点，即G 为一个欧拉图．利用定理1去判断一个连通图是否为欧拉图比较容易，但要找出欧拉回路，当连通图比较复杂时就不太容易了．下面介绍一种求欧拉回路的算法．二、弗罗莱算法算法步骤如下：（1）任取起始点v v R 00,;→（2）设路)},({,),,({),,({1211201rr i i r i i i v v e v v e v v e R -⋅⋅⋅=已选出，则从E\},,,{21r e e e ⋅⋅⋅中选出边1+r e ，使1+r e 与ri v 相连，除非没有其它选择，G e r r \{}+1仍应为连通的．（3）重复步骤（2），直至不能进行下去为止．定理2 连通的有向图存在欧拉回路的充分必要条件是对任意节点，进入该节点边数（进数）与离开该点的边数（出数）相等．三、中国邮递员问题一名邮递员带着要分发的邮件从邮局出发，经过要分发的每个街道，送完邮件后又返回邮局．如果他必须至少一次走过他管辖范围内的每一条街道，如何选择投递路线，使邮递员走尽可能少的路程．这个问题是由我国数学家管梅谷先生（山东师范大学数学系教授）在1962年首次提出的，因此在国际上称之为中国邮递员问题．用图论的述语，在一个连通的赋权图G （V ，E ）中，要寻找一条回路，使该回路包含G 中的每条边至少一次，且该回路的权数最小．也就是说要从包含G 的每条边的回路中找一条权数最小的回路．如果G 是欧拉图，则很容易由弗罗莱算法求出一个欧拉回路，但是若G 不是欧拉图，即存在奇度数的节点，则中国由递员问题的解决要困难得多．本节的主要目标是给出在有奇度数节点的连通图中寻找最小权数的回路的方法．首先注意到，若图G 有奇数度节点，则G 的奇数度节点必是偶数个．把奇数度节点分为若干对，每对节点之间在G 中有相应的最短路，将这些最短路画在一起构成一个附加的边子集E '．令G / =G+E /，即把附加边子集E / 叠加在原图G 上形成一个多重图G /，这时G /中连接两个节点之间的边不止一条．显然G /是一个欧拉图，因而可以求出G /的欧拉回路．该欧拉回路不仅通过原图G 中每条边，同时还通过E / 中的每条边，且均仅一次．邮递员问题的难点在于当G 的奇数度节点较多时，可能有很多种配对方法，应怎样选择配对，能使相应的附加边子集E / 的权数ω(E / )为最小？为此有下列定理．定理 3 设G （V ，E ）为一个连通的赋权图，则使附加边子集E / 的权数ω(E / )为最小的充分必要条件是G+E / 中任意边至多重复一次，且G+E / 中的任意回路中重复边的权数之和不大于该回路总权数的一半．证明： 必要性．用反证法．设存在一种奇节点集的配对，使其附加边子集E / 权数 ω(E / )为最小．若 G+E / 中有一条边重复n n ()≥2次，由于G+E /为欧拉图，所以删去相应的二次重复边后仍为欧拉图．这样，相应的附加边子集的权数将减小，这与 ω(E /)为最小的假设矛盾．这说明E /中的边均互不相同．其次，若G+E / 中存在一个回路，使它的重复边的权数之和大于该回路总权数的一半，则在E / 中删去这些重复边（注意：这些边均在E /中），而代之以该回路的其余部分的边再重复一次．经过这种替代后所得到的边子集E //仍为附加子集，且ω(E //)<ω(E /)，又产生矛盾． 充分性．设有两个附加边子集E /和E //，均使G+E /和G+E //中每条边至多重复一次，且每个回路中的重复边的权数和不大该回路权数的一半，我们来证明ω(E /)=ω(E //)．首先注意到，由E /和E //不相同的部分组成的图（记为]\[//////）（E E EE G ）是由一个或若干个欧拉子图所组成的．这是因为E /＋E //中每个节点的度数均为偶数，而E /和E //的公共边数也是偶数，故]\[//////）（E E EE G 中每个节点的度数仍为偶数，所以它若为连通图时是一个欧拉图；若为非连通图时则由若干个欧拉子图组成．]\[//////）（E E EE G 的任何回路都由E /和E //中的边组成，而E /和E //在回路中的权数分别不大于该回路权数的一半，因而任何回路中属于E /中的权数之和与属于E //中的边数之和必定相等，所以ω(E /)=ω(E //)．它就是最优附加边子集的权数，即E /和E //均为使附加边子集的权数达到最小的最优附加边子集．由定理3可得一个寻找邮递员问题最优解的方法．现举例如下：例1 已知邮递员要投递的街道如图11-20所示，试求最优邮路．解 先找出奇节点：A 1，A 2，A 3，A 4，B 1，B 2，B 3，B 4．奇节点进行配对，不妨把A 1与B 1，A 2与B 2，A 3与B 3，A 4与B 4配对，求其最短路．显然它不是最优解．下面我们根据定理3来进行调解．第一次调整：删去多于一条的重复边，即A 3与B 3，A 4与B 4中的（A 4，B 3）．调整后，实际上成为A 1与B 1，A 2与B 2，A 3与A 4，B 3与B 4的配对，它们的最短路如图11-21所示． 第二次调整：发现在回路{A 1，A 2，B 2，A 4，B 3，B 4，B 1，A 1}中重复边的权数和为11，大于该回路权数20的一半．因而调整时，把该回路的重复边删去，代之以重复其余部分，得图11-22．可以看出，实际上是调整为A 1与A 2，B 1与B 4，A 3与A 4，B 2与B 3配对．第三次调整：在图11-22中发现回路{ A 3，A 4，B 2，A 3}中重复边的权数和为7，大于该回路权数10的一半，因而删去原重复边（A 3，V 2，A 4）和（A 4，B 2），而添加（B 2，A 3），得到图11-23．进行检查发现，既没有多于一条的重复边，也没有任何回路使其重复边的权数之和大于该回路的一半，因此图11-23就是最优的附加边子集E /，而G+E /为欧拉图，可由弗罗莱算法找出最优邮路．在现实生活中，很多问题都可以转化为中国邮递员问题，例如道路清扫时如何使开空车的总时间最少的问题等等．上面例1题所用的求最优邮路的方法叫“奇偶点图上作业法”．因为此方法要验证每个回路，很不方便，Edmods 和Johnson 在1973年提出一种比较有效的方法，有兴趣的读者可参考有关资料．习 题 11-31．证明，若图G 为欧拉图，则G 的边数不少于节点数．2．一名邮递员的投邮区，如下图11-24所示，每条边（街道）都有邮件需投递，各边旁所注的数字为该街道的长度，试求该邮区的最短投递路径及其长度． 3．求下列图11-25（a ）(b)所示的投邮区的最佳邮路及其长度．【算法】欧拉图，欧拉回路，Eular Circuit ，随机生成欧拉图，搜索欧拉回路背景：图论起源于18世纪，1736年瑞士数学家欧拉（Eular ）发表了图论的第一篇论文“哥尼斯堡七桥问题”。
欧拉螺旋 算法
欧拉螺旋算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：欧拉螺旋算法，又称为欧拉回路算法，是一种图论中用于寻找一个图中包含所有边并且每条边恰好访问一次的一条路径的算法。
这个算法由瑞士数学家欧拉在18世纪首先提出，被认为是图论领域的经典问题之一。
欧拉螺旋算法的应用范围非常广泛，包括网络路由、DNA测序、计算机网络、数据传输等领域。
欧拉螺旋算法的基本思想是从一个图中的某一个顶点出发，沿着边走到另一个未访问的顶点，直到无法再继续前进为止。
然后根据已经访问的路径，找到一个环路，将这个环路加入到已访问的路径中，直到所有的边都被访问过为止。
这个算法的核心是不停地寻找环路，将环路衔接到已有路径中，直到所有的边都被访问过。
欧拉螺旋算法的实现过程中，主要通过以下步骤来实现：1. 选择一个起始顶点作为当前顶点，并将其作为路径的第一个顶点。
2. 从当前顶点出发，选择一个未访问的相邻顶点作为下一个顶点，并将其加入路径中。
3. 如果当前顶点没有未访问的相邻顶点，则回退到上一个顶点，直到找到一个有未访问相邻顶点的顶点。
4. 如果回到起始顶点之前，所有的边都被访问过了，则算法结束；否则，从某一个已经访问的顶点开始查找环路，并将该环路衔接到已有路径中。
5. 重复以上步骤，直到所有的边都被访问过。
欧拉螺旋算法的时间复杂度为O(n+m)，其中n为顶点数，m为边数。
这个算法在实际应用中表现出较高的效率和稳定性，因此被广泛应用于各个领域。
在网络路由中，欧拉螺旋算法可以帮助路由器寻找一条包含所有节点的最短路径，以提高网络通信的效率和可靠性。
在DNA测序中，欧拉螺旋算法可以帮助科学家快速地确定DNA序列中的基因排列顺序，加快疾病的检测和治疗过程。
在计算机网络和数据传输中，欧拉螺旋算法可以帮助提高数据包的传输速度和准确性，保证数据的安全性和可靠性。
第二篇示例：欧拉螺旋算法是一种用于解决大规模图形问题的高效算法，它由瑞士数学家欧拉在18世纪发明。
这种算法可以用来寻找图形中的欧拉回路或者哈密顿回路，是图论中非常重要的算法之一。
欧拉定律和最小生成树
欧拉定律（Euler's Law）欧拉定律是由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）在18世纪中叶提出的一个重要定律。
它描述了在一个连通的平面图中，顶点的度数（即与该顶点相连的边的数量）的性质。
根据欧拉定律，一个连通的平面图中满足以下条件：若图中有一个或多个顶点的度数为奇数，则此图不是欧拉图（Eulerian graph）；若所有顶点的度数都为偶数，则此图是欧拉图。
对于一个连通平面图，它至少存在一条欧拉路径（Eulerian path），即从某个顶点开始，沿着边行走，可以遍历图中所有边且各边只经过一次。
（欧拉路径可以从任意顶点出发）对于一个连通平面图，要满足存在欧拉回路（Eulerian circuit），即从某个顶点出发，可以遍历图中所有边且各边只经过一次，并最终回到出发顶点。
最小生成树（Minimum Spanning Tree）最小生成树是在一个无向连通图中，选择连通所有顶点的一棵树，并使得树的所有边权重之和最小的一种树结构。
最小生成树问题通常用于求解网络、运输和通信等领域中的优化问题。
常用的算法包括Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法（Prim's Algorithm）: 从一个起始顶点开始，每次选择与已选顶点集合最近的一个顶点，并将其加入集合，直到所有顶点被加入。
Kruskal算法（Kruskal's Algorithm）: 将边按照权重从小到大排序，逐个加入到生成树中，只要边加入不构成闭合回路即可。
最小生成树的应用广泛，比如在通信网络中优化传输成本、在城市规划中优化建设成本等。
它可以帮助我们找到满足条件的连通子图，在保证最小总成本的前提下建立起高效的连接关系。
3.仇荣琦《欧拉回路性质与应用探究》
欧拉回路性质与应用探究湖南师大附中 仇荣琦【摘要】欧拉回路，又称“一笔画”，是图论中可行遍性问题的一种。
本文首先介绍了欧拉回路的相关理论知识，以及求欧拉回路的算法。
然后通过几个实例，介绍了与欧拉回路相关的几类典型问题。
最后对欧拉回路的模型进行了总结，指出其特点和具备的优势。
【关键词】欧拉回路 欧拉路径【正文】一 引言欧拉回路问题是图论中最古老的问题之一。
它诞生于十八世纪的欧洲古城哥尼斯堡。
普瑞格尔河流经这座城市，人们在两岸以及河中间的两个小岛之间建了七座桥（如图1）。
市民们喜欢在这里散步，于是产生了这样一个问题：是否可以找到一种方案，使得人们从自己家里出发，不重复地走遍每一座桥，然后回到家中？这个问题如果用数学语言来描述，就是在图2中找出一条回路，使得它不重复地经过每一条边。
这便是著名的“哥尼斯堡七桥问题”。
无数热衷于此的人试图解决这个问题，但均以失败告终。
问题传到了欧拉（Leonhard图2图1Euler, 1707-1783）那里，立即引起了这位大数学家的重视。
经过悉心研究，欧拉终于在1736年发表了论文《哥尼斯堡的七座桥》，不但成功地证明了“七桥问题”无解，而且找到了对于一般图是否存在这类回路的充要条件。
后人为了纪念欧拉这位伟大的数学家，便将这类回路称为欧拉回路。
欧拉回路问题在信息学竞赛中有着广泛的应用，近年来在各类比赛中出现了许多与之相关的试题。
本文将介绍欧拉回路的相关理论知识，并通过几道例题分析欧拉回路的实际应用。
二 相关知识首先介绍相关概念和定理。
设),(E V G =是一个图。
欧拉回路 图G 中经过每条边一次并且仅一次的回路称作欧拉回路。
欧拉路径 图G 中经过每条边一次并且仅一次的路径称作欧拉路径。
欧拉图 存在欧拉回路的图称为欧拉图。
半欧拉图 存在欧拉路径但不存在欧拉回路的图称为半欧拉图。
在以下讨论中，假设图G 不存在孤立点1；否则，先将所有孤立点从图中删除。
显然，这样做并不会影响图G 中欧拉回路的存在性。
弗罗莱(Fleury)算法求欧拉Euler通路回路
弗罗莱（Fleury）算法,求欧拉（Euler）通路/回路算法及分析2009-09-20 17:11:54 阅读807 评论0字号：大中小1、基本概念：（1）定义欧拉通路(欧拉迹)—通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的通路。
欧拉回路(欧拉闭迹)—通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的回路。
欧拉图—存在欧拉回路的图。
欧拉图就是从一顶出发每条边恰通过一次又能回到出发顶点的那种图，即不重复的行遍所有的边再回到出发点。
通路和回路－称v i e1e2…e n v j为一条从v i到v j且长度为n的通路，其中长度是指通路中边的条数．称起点和终点相同的通路为一条回路。
简单图－不含平行边和自回路的图。
混合图－既有有向边，也有无向边的图平凡图－仅有一个结点的图完全图－有n个结点的且每对结点都有边相连的无向简单图，称为无向完全图；有n个结点的且每对结点之间都有两条方向相反的边相连的有向简单图为有向完全图。
（2）欧拉图的特征：无向图a）G有欧拉通路的充分必要条件为：G连通，G中只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。
b）G有欧拉回路(G为欧拉图)：G连通，G中均为偶度顶点。
有向图a）D有欧拉通路：D连通，除两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度，这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的入度比出度小1。
b）D有欧拉回路(D为欧拉图)：D连通，D中所有顶点的入度等于出度。
一个有向图是欧拉图，当且仅当该图所有顶点度数都是0。
2、弗罗莱（Fleury）算法思想－解决欧拉回路Fleury算法：任取v0∈V(G)，令P0=v0；设Pi=v0e1v1e2…ei vi已经行遍，按下面方法从中选取ei+1：（a）ei+1与vi相关联；（b）除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应该为Gi=G-{e1,e2,…, ei}中的桥（所谓桥是一条删除后使连通图不再连通的边）；（c）当（b）不能再进行时，算法停止。
欧拉路径和欧拉回路
欧拉路径和欧拉回路概念欧拉路径：图&G&中的⼀条路径若包括每个边恰好⼀次，则其为欧拉路径欧拉回路：⼀条回路如果是欧拉路径，那么其为欧拉回路存在条件⽆论⽆向图还是有向图，⾸要条件为所有边都是连通的⽆向图1. 存在欧拉路径的充要条件：度数为奇数的点只能有0或2个2. 存在欧拉回路的充要条件：度数为奇数的点只能有0个有向图1. 存在欧拉路径的充要条件：所有点出度=⼊度；或除两点外其余所有点出度=⼊度，余下两点⼀个出度-⼊度=1(地点)，另⼀个⼊度-出度=1(终点)2. 存在欧拉回路的充要条件：所有点出度=⼊度注：欧拉回路为欧拉路径的⼀种特例，因此如果说存在欧拉路径是包含存在欧拉回路这种情况的算法流程1. 建图并统计点的度数(有向图分⼊度和出度)2. 根据度数进⾏初步的有解性判定如何理解"初步"：所有点的度数均满⾜要求不等价于所有边均连通。
连通性判定在此处⽆法解决，因此为初步的合法性判定⽆向图统计度数为奇数的点个数count欧拉回路：count == 0欧拉路径：count == 0 || count == 2有向图欧拉回路：有解仅需保证所有点⼊度==出度即可欧拉路径：设din[i]为i点的⼊度，dout[i]为i点的出度dout[i] - din[i] == 1的点数为startNum(满⾜起点特征)din[i] - dout[i] == 1的点数为endNum(满⾜终点特征)success表⽰是否有解⽅法1:for (int i = 1; i <= n; ++i) // 枚举所有点if (din[i] != dout[i]){if (dout[i] - din[i] == 1) ++ startNum;else if (din[i] - dout[i] == 1) ++endNum;else success = false;}有解的条件为success && (!startNum && !endNum || startNum == 1 && endNum == 1)⽐较容易理解的是success为false时⼀定是⽆解的不容易理解的是，success为true时不⼀定是有解的，因为最多只能有2个点的出度!=⼊度，⽽success为true并不能保证这⼀点⽅法2:设count为出度!=⼊度的点个数，flag为出度!=⼊度点的(出度-⼊度)的乘积(或者⼊度-出度的乘积)for (int i = 1; i <= n; ++i) // 枚举所有点if (din[i] != dout[i]){++count;flag *= dout[i] - din[i];}有解的条件为!count || (count == 2 && flag == -1)即出度!=⼊度的点数为0 或出度 != ⼊度的点数为2并且对应两个点，起点满⾜dout[i] - din[i] == 1, 终点满⾜dout[i] - din[i] == -1注：如果题⽬保证⾄少存在⼀组解，则此判定过程可以省略3. 选取起点⾸先需要明确两点1. 从欧拉回路上任意⼀点dfs均可搜索到其所在的欧拉回路2. 从欧拉路径上任意⼀点dfs未必可以搜索到其所有的欧拉路径，必须从满⾜⼀定性质的点出发才可原因很简单，对于⼀个环路来说，从任意⼀点开始都可以⼀笔画出整个环；对于⼀个路径，只有从起点开始才可以⼀笔画出整条路径欧拉回路：如果题⽬要求的为欧拉回路，在⽆向图中，满⾜所有点的度数为偶数，在有向图中，满⾜所有点的出度==⼊度，所有点都是等价的，因此dfs的起点只需定为⼀个⾮孤⽴点为何⼀定是⾮孤⽴点: 在此类题⽬中，⼀般不能保证点是连通的，因此是存在孤⽴点的，但是孤⽴点的存在对欧拉回路或路径的存在并不产⽣影响，但是如果从孤⽴点开始是找不到回路或路径的欧拉路径：如果题⽬要求的为欧拉路径，对于⽆向图，需要找到度数为奇数的点作为起点，对于有向图，需要找到dout[i] - din[i] == 1的点i 4.从起点开始dfs寻找欧拉回路或欧拉路径欧拉回路和欧拉路径问题的本质是边的问题，类⽐对点的dfs问题，我们同样需要对⾛过的边进⾏标记，防⽌重复void dfs(int u){for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]){if (st[i]) continue; // 对⾛过的边进⾏标记st[i] = true;dfs(e[i]);res[++cnt] = i;}}dfs部分难点-递归搜索和存储答案的顺序问题dfs(e[i]);res[++cnt] = i;在常规dfs中，搜索到某个点会⾸先把该点进⾏存储，然后再递归搜索，但是求解欧拉路径需要递归搜索完⼀个节点后再把到该节点的边进⾏存储为了说明这两种顺序产⽣的不同结果，以⼀组数据为例/*** ⽆向图* 5个点，6条边* 以下6⾏a b表⽰：a与b之间有⼀条边*/5 62 32 53 41 24 25 1对边进⾏存储，如果采取先存储再搜索的顺序，结果为4 2 6 1 3 5如果采取先搜索再存储的顺序，结果为6 2 5 3 1 4可以发现，第⼆种顺序得到的恰好是欧拉路径的倒序，结果只需要倒序输出即可dfs部分难点-优化问题最终的优化⽅案实际分为两个部分，为了更加透彻理解优化原理，逐层进⾏分析1. 原始思路void dfs(int u){for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]){if (st[i]) continue; // 对⾛过的边进⾏标记st[i] = true;// 如果为⽆向图，这⾥还需要对反向边进⾏标记dfs(e[i]);res[++cnt] = i;}}上述代码为⼀般思路，存在的问题为⾛过的边存在重复枚举。
欧拉路径(欧拉回路)算法
.欧拉路径（欧拉回路）相关定义：若图G中存在这样一条路径，使得它恰通过G中每条边一次,则称该路径为欧拉路径。
若该路径是一个圈，则称为欧拉回路。
具有欧拉回路的图称为欧拉图（简称E图）。
具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。
判断图是否为欧拉图：无向图为欧拉图，当且仅当为连通图且所有顶点的度为偶数。
无向图为半欧拉图，当且仅当为连通图且除了两个顶点的度为奇数之外，其它所有顶点的度为偶数。
有向图为欧拉图，当且仅当其基图（忽略有向图所有边的方向，得到的无向图称为该有向图的基图）连通，且所有顶点的入度等于出度。
有向图为半欧拉图，当且仅当其基图连通，且有且仅有一个顶点的入度比出度大1、有且仅有一个顶点的入度比出度小1，其它所有顶点的入度等于出度。
欧拉回路（路径）的算法：有向图：第一步，判断是否存在欧拉路径（欧拉回路），如果不存在，算法结束。
第二步，如果存在欧拉路径，从入度比出度小1的点开始BFS；如果存在欧拉回路，从任意一点开始。
第三步，设DFS到点u，遍历u的出边e(u,v)。
第四步，如果e未被标记，转到第五步，否则转到第三步。
第五步，标记e(u,v)，DFS点v。
第六步，边e(u,v)入栈。
第七步，完成DFS后，从栈顶顺序输出边构成一个欧拉路径（欧拉回路）。
无向图：第一步，判断是否存在欧拉路径（欧拉回路），如果不存在，算法结束。
第二步，如果存在欧拉路径，从度为奇数的点开始BFS；如果存在欧拉回路，从任意一点开始。
第三步，设DFS到点u，遍历u的出边e(u,v)。
第四步，如果e未被标记，转到第五步，否则转到第三步。
第五步，标记e(u,v)及它的反向边，DFS点v。
第六步，边e(u,v)入栈。
第七步，完成DFS后，从栈顶顺序输出边构成一个欧拉路径（欧拉回路）。
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利用离散数学中欧拉回路问题寻找一笔画规则的规律
利用离散数学中欧拉回路问题寻找一笔画规则的规律离散数学中的欧拉回路问题是一个经典的图论问题，它涉及到在给定的图中，是否存在一条路径能够穿过每条边恰好一次，而且最终回到起点。
首先，我们需要了解一些基本概念。
图是由结点和边组成的集合，结点表示实体，边表示实体间的连接关系。
欧拉回路问题通常是在无向图中进行讨论，因为对于有向图，我们可以将其视为无向图进行讨论。
无向图中，边是没有方向的连接关系。
形式化地说，一个无向图可以表示为一个二元组G=(V, E)，其中V表示结点的集合，E表示边的集合。
欧拉回路问题的解决办法是基于以下两个定理：1.如果一个无向图G是连通的且每个结点的度数（即与之相连的边数）都是偶数，那么G一定有欧拉回路。
2.如果一个无向图G是连通的，且除了两个结点之外，其余结点的度数都是偶数，那么G一定有欧拉路径。
根据以上两个定理，可以得到欧拉回路问题的一笔画规则：1.对于连通的无向图，检查每个结点的度数。
如果所有结点的度数都是偶数，那么从任意一个结点出发，可以找到一条路径穿过每条边恰好一次，最终回到起点。
2.如果只有两个结点的度数不是偶数，找到这两个结点之间的一条路径，作为起始路径。
然后，在这条路径上任意选择一个结点作为起点，从该结点开始进行深度优先搜索，直到无法再继续搜索为止。
最终将得到一条路径，该路径穿过每条边恰好一次，但不回到起点。
这个规则可以通过以下步骤进行实现：1.首先，构建无向图的邻接矩阵或邻接表，用来表示结点之间的连接关系。
2.然后，对每个结点计算其度数，并检查是否有结点的度数不是偶数。
3.如果没有结点的度数不是偶数，随机选择一个结点作为起点，从该结点开始进行深度优先搜索，直到无法再继续搜索为止。
这个过程中，需要标记已经走过的边，以避免重复穿过边。
4.如果有两个结点的度数不是偶数，找到它们之间的一条路径，并将其设为起始路径。
然后，从起始路径上任意一个结点开始，进行深度优先搜索，直到无法再继续搜索为止。
6.4.4用dfs求欧拉回路（UVa10129）
6.4.4⽤dfs求欧拉回路（UVa10129）欧拉回路：该回路遍历了⼀个图中所有的边，并且每条边只遍历⼀次。
（⼀笔画）欧拉路径：从起点开始到终点，遍历了图中所有的边，并且每条边只遍历⼀次。
度数：⼀个点连接了⼏条边。
⼊度和出度分别指：进⼊该点的边的数量，⾛出该点的边的数量。
连通⽆向图存在欧拉回路的充要条件：所有点的度数都为偶数。
连通⽆向图存在欧拉路径的充要条件：仅存在两个度数为奇数的点，其他点的度数都为偶数。
（这两个度数为奇数的点，⼀个为奇数，⼀个为偶数）连通有向图存在欧拉回路的充要条件：对于所有的点，⼊度等于出度。
连通有向图存在欧拉路径的充要条件：仅存在两个点，其中⼀个点的⼊度⽐出度⼤⼀，另⼀个店的出度⽐⼊度⼤⼀。
（出度⼤的为起点，⼊度⼤的为终点）根据连通性和度数可判断出⽆向图和有向图是否存在欧拉回路和欧拉路径，可⽤ dfs 构造欧拉回路和欧拉路径。
基本思路：使⽤ dfs 的⽅式，遍历图中所有的点。
dfs ⼀个环，然后在回溯的过程中，可能会遇到⼀个公共点连接着另⼀个环，此时再对这个公共点进⾏ dfs 遍历另⼀个环…… 如此递归。
在 dfs 完与 u 结点相连的 v 结点后，再将 u，v 这条边压⼊输出栈（采⽤逆序的顺序输出结果，因为 dfs 栈帧⼊栈的顺序与出栈的顺序相反，起始点最后才出栈）。
例如：⽤ dfs 求该图的欧拉路径dfs 遍历该图的顺序为： (1, 2) (2, 3) (3, 4) (4, 5) (此时 dfs(5) 出栈，dfs(6) ⼊栈) (4, 6) (6, 7) (7, 2) (2, 8) (8, 4) (此时 dfs(4) 出栈，开始回溯) dfs 栈帧出栈后，边压⼊输出栈的顺序为： (4, 5) (8, 4) (2, 8) (7, 2) (6, 7) (4, 6) (3, 4) (2, 3) (1, 2)从输出栈的栈顶开始输出，输出结果为: (1, 2) (2, 3) (3, 4) (4, 6) (6, 7) (7, 2) (2, 8) (8, 4) (4, 5)核⼼代码：void dfs(int u){for(int v=0; v<n; v++){if(node[u][v] && !vis[u][v]){ //若存在u，v边，并且没有访问过vis[u][v] = vis[u][v] = 1; //表⽰已经访问过dfs(v); //dfs v 结点，继续寻找回路。
欧拉路径的判断与查找
欧拉路径的判断与查找定义:⼀条能够不重不漏地经过图上的每⼀条边的路径称为欧拉路径判定⾸先图必须是联通的，⽤并查集判即可⽆向图欧拉回路：所有点度数都为偶数⽆向图欧拉路径：两个点(或0个点)度数为奇数，其余点(或所有点)度数为偶数有向图欧拉回路：所有点⼊度=出度有向图欧拉路径：⼀个点⼊度=出度+1，⼀个点出度=⼊度+1，其余点(或所有点)⼊度=出度查找-Hierholzer算法//已知存在欧拉路径，找该路径void dfs(int u){//s1~sn中存储的是欧拉路径上的点序列for(int v=1;v<=n;v++){if(mp[u][v]>0){mp[u][v]--;mp[v][u]--;dfs(v);}}s[temp--]=u;}为什么是对的？因为找欧拉路径可以通过在图上的两个奇数点之间加⼀条边转化为求欧拉回路的问题。
通过枚举可以发现，存在欧拉回路的图⼀定是由⼀些环嵌套⽽成(可以通过把⼀些点⼀分为⼆近似地看成仙⼈掌图)将⼀个环看成主环，要⼀笔画⾛完主环，只要在遇到有副环的点u先沿着副环⾛⼀圈，再接着沿着主环⾛就好了Hierholzer算法就是我们上述思路的⼀种简单的实现⽅法：我们将开始dfs的点属于的环视为主环(其实可以有很多种不同的可能性，不⼀定就是最显然的那个环)，在第⼀次dfs到⽆法递归下去时，所有被遍历到的点都在主环上，显然应该将最后遍历到的点放在答案数组的最后，然后⼀边回溯，如果还是⽆法递归，那接着从后往前存⼊答案数组，如果可以递归说明这个点上有⼀个副环，沿着副环递归下去，也是同样的最后遍历到的点放在后⾯，这样⼦就倒着模拟了我们之前的算法。
例题：The Necklace项链的每颗珠⼦有两⾯，每⾯有⼀种颜⾊，项链上相邻两颗珠⼦的相邻⾯必须是相同的颜⾊(项链是⼀个环)，给定⼀些珠⼦和它们的颜⾊，问能否⽤尽所有的珠⼦来组合成⼀个项链？颜⾊种类=50将出现的⼀种颜⾊视为图上的点，⼀颗珠⼦的两个颜⾊之间有⼀条边，显然在这样的图上如果存在⼀条欧拉回路，那么可以组成项链(跑遍所有的边=⽤尽所有珠⼦)。
欧拉回路
三、欧拉回路1、欧拉路：在无孤立顶点的图中，若存在一条路，经过图中每条边一次且仅一次，则称此路为欧拉路。
如下图1（左）中存在一条从顶点1到顶点6的欧拉路。
后面的例题（一笔画问题）本质上就是判断一个图是否存在欧拉路。
2、欧拉回路：在无孤立顶点的图中，若存在一条路，经过图中每条边一次且仅一次，且回到原来位置，则称此路为欧拉回路。
如下图1（右）中任意两个顶点之间都存在欧拉回路。
著名的柯尼斯堡七桥问题（图论起源）本质上就是讨论一个图的欧拉回路问题。
图13、欧拉图：存在欧拉回路的图，称为欧拉图，上图1（右）所示的图就是一个欧拉图。
4、定理1：存在欧拉路的条件：图是连通的，且存在0个或2个奇点。
如果存在2个奇点，则欧拉路一定是从一个奇点出发，以另一个奇点结束。
5、定理2：存在欧拉回路的条件：图是连通的，且不存在奇点。
6、哈密尔顿图：在无孤立顶点的连通图中，若存在一条路，经过图中每个顶点一次且仅一次，则称此图为哈密尔顿图。
7、哈密尔顿环：是一条沿着图的n条边环行的路径，它访问每一个顶点一次且仅一次，并且返回到它的开始位置。
图38、寻找欧拉回路的算法寻找欧拉回路的算法有多种，但有些算法不能很好地解决如上图3的情形，下面介绍一种基于递归的经典算法框架：find_circuit(结点i)；当结点i有邻居时{ 选择任意一个邻居j；删除边(i,j)；find_circuit（结点j）；}circuit[circuitpos]=结点i；circuitpos:=circuitpos+1；如果寻找欧拉回路，对任意一个点执行find_circuit。
如果是寻找欧拉路径，对一个奇点执行find_circuit。
算法的时间复杂度为O(m+n)。
例5、寻找一个图的欧拉回路的算法实现[参考程序]program ex5;const maxn=100;varg:array[1..maxn,1..maxn] of longint;du:array[1..maxn] of longint;circuit:array[1..maxn] of longint;n,e,circuitpos,i,j,x,y,start:longint;procedure find_circuit(i:longint);var j:longint;beginfor j:=1 to n doif g[i,j]=1 thenbeging[i,j]:=0;g[j,i]:=0;find_circuit(j);end;circuitpos:=circuitpos+1;circuit[circuitpos]:=i;end;beginfillchar(g,sizeof(g),0);read(n,e);for i:=1 to e dobeginread(x,y);g[x,y]:=1;g[y,x]:=1;du[x]:=du[x]+1;du[y]:=du[y]+1;end;start:=1;for i:=1 to n doif du[i] mod 2 =1 thenstart:=i;circuitpos:=0;find_circuit(start);for i:=1 to circuitpos do write(circuit[i],' ');writeln;end.9、寻找哈密尔顿环的算法到现在为止寻找哈密尔顿环并没有一种有效的算法，一般只能用搜索解决。
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欧拉路径（欧拉回路）相关定义：
若图G中存在这样一条路径，使得它恰通过G中每条边一次,则称该路径为欧拉路径。
若该路径是一个圈，则称为欧拉回路。
具有欧拉回路的图称为欧拉图（简称E图）。
具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。
判断图是否为欧拉图：
无向图为欧拉图，当且仅当为连通图且所有顶点的度为偶数。
无向图为半欧拉图，当且仅当为连通图且除了两个顶点的度为奇数之外，其它所有顶点的度为偶数。
有向图为欧拉图，当且仅当其基图（忽略有向图所有边的方向，得到的无向图称为该有向图的基图）连通，且所有顶点的入度等于出度。
有向图为半欧拉图，当且仅当其基图连通，且有且仅有一个顶点的入度比出度大1、有且仅有一个顶点的入度比出度小1，其它所有顶点的入度等于出度。
欧拉回路（路径）的算法：
有向图：
第一步，判断是否存在欧拉路径（欧拉回路），如果不存在，算法结束。
第二步，如果存在欧拉路径，从入度比出度小1的点开始BFS；如果存在欧拉回路，从任意一点开始。
第三步，设DFS到点u，遍历u的出边e(u,v)。
第四步，如果e未被标记，转到第五步，否则转到第三步。
第五步，标记e(u,v)，DFS点v。
第六步，边e(u,v)入栈。
第七步，完成DFS后，从栈顶顺序输出边构成一个欧拉路径（欧拉回路）。
无向图：
第一步，判断是否存在欧拉路径（欧拉回路），如果不存在，算法结束。
第二步，如果存在欧拉路径，从度为奇数的点开始BFS；如果存在欧拉回路，从任意一点开始。
第三步，设DFS到点u，遍历u的出边e(u,v)。
第四步，如果e未被标记，转到第五步，否则转到第三步。
第五步，标记e(u,v)及它的反向边，DFS点v。
第六步，边e(u,v)入栈。
第七步，完成DFS后，从栈顶顺序输出边构成一个欧拉路径（欧拉回路）。
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