量子力学初步作业(含标准答案)

量子力学初步1. 设描述微观粒子运动的波函数为(),r t ψv，则ψψ*表示______________________________________；(),r t ψv须满足的条件是_______________________________；其归一化条件是_______________________________.2. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将_______________________________. (填入：增大D 2倍、增大2D 倍、增大D 倍或不变)3. 粒子在一维无限深方势阱中运动（势阱宽度为a ），其波函数为()()30xx x a aπψ=<<粒子出现的概率最大的各个位置是x = ____________________.4. 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a =0.1 nm (1 nm = 10-9 m)，电子束垂直射在单缝面上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量y p ∆= _________N·s.(普朗克常量h =6.63×10-34 J·s)5. 波长λ= 5000 Å的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量λ∆= 10-3 Å，则利用不确定关系式x p x h ∆∆≥可得光子的x 坐标的不确定量至少为_________.6. 粒子做一维运动，其波函数为()00x Axe x x x λψ-≥=≤式中λ>0，粒子出现的概率最大的位置为x = _____________.7. 量子力学中的隧道效应是指______________________________________ 这种效应是微观粒子_______________的表现.8. 一维无限深方势阱中，已知势阱宽度为a ，应用测不准关系估计势阱中质量为m 的粒子的零点能量为____________.9. 按照普朗克能量子假说，频率为ν的谐振子的能量只能为_________；而从量子力学得出，谐振子的能量只能为___________.10. 频率为ν的一维线性谐振子的量子力学解，其能量由下式给出：______________________，其中最低的量子态能量为__________，称为“零点能”.11. 根据量子力学，粒子能透入势能大于其总能量的势垒，当势垒加宽时，贯穿系数__________；当势垒变高时，贯穿系数________. (填入：变大、变小或不变)12. 写出以下算符表达式：ˆx p=__________；ˆH =__________；ˆyL =__________. 13. ˆx与ˆx p 的对易关系[]ˆˆ,x x p 等于__________. 14. 试求出一维无限深方势阱中粒子运动的波函数()()sin1,2,3,n n xx A n aπψ==L的归一化形式. 式中a 为势阱宽度.15. 利用不确定关系式x x p h ∆∆≥，估算在直径为d = 10-14 m 的核内的质子最小动能的数量级.（质子的质量m =1.67×10-27 kg ， 普朗克常量h =6.63×10-34 J·s ） 16. 已知粒子处于宽度为a 的一维无限深方势阱中运动的波函数为(),1,2,3,n n xx n aπψ==L试计算n =1时，在x 1=a /4 → x 2=3a /4 区间找到粒子的概率.17. 一维无限深方势阱中的粒子，其波函数在边界处为零，这种定态物质波相当于两段固定的弦中的驻波，因而势阱的宽度a 必须等于德布罗意波半波长的整数倍。

试利用这一条件求出能量量子化公式2228n h E n ma= 18. 一弹簧振子，振子质量m = 10-3 kg ，弹簧的劲度系数k m =10 N·m -1. 设它作简谐振动的能量等于kT （k 为玻尔兹曼常量），T =300 K. 试按量子力学结果计算此振子的量子数n ，并说明在此情况下振子的能量实际上可以看作是连续变化的. （k =1.38×10-23 J·K -1，h =6.63×10-34 J·s ）19. 一粒子被限制在相距为l 的两个不可穿透的壁之间，如图所示. 描写粒子状态的波函数为()cx l x ψ=-，其中c 为待定常量. 求在0～13l 区间发现该粒子的概率.20. 威尔逊云室是一个充满过饱和蒸汽的容器。

射入的高速电子使气体分子或原子电离成离子。

以离子为中心过饱和蒸汽凝结成小液滴，在强光照射下，可看到一条白亮的带状痕迹，即粒子的轨迹。

径迹的线度是10-4 cm ，云室中的电子动能等于108 eV 。

讨论威尔逊云室中的电子是否可以看成经典粒子? 21. 粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为()()()()2,00,0,n n n x x x a a a x x x a πψψ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭=<> 试计算动量和动能的平均值.22. 谐振子的归一化的波函数为()02311()()()32x u x u x cu x ψ=++。

其中，()n u x 是归一化的谐振子的定态波函数。

求：c 和能量的可能取值，以及平均能量E 。

23. 氢原子的直径约10-10 m ，求原子中电子速度的不确定量。

按照经典力学，认为电子围绕原子核做圆周运动，它的速度是多少？结果说明什么问题？答案1. 粒子在t 时刻在(x , y , z )处出现的概率密度 单值、有限、连续2d d d 1x y z ψ=⎰⎰⎰2. 不变3. a /6, a /2, 5a /64. 1.06×10-24 (或6.63×10-24或0.53×10-24或3.32×10-24) 参考解：根据y y p ∆∆≥h （或y y p h ∆∆≥或12y y p ∆∆≥h 或12y y p h ∆∆≥），可得以上答案 5. 250 cm 6.1λ 7. 微观粒子能量E 小于势垒U 0时，粒子有一定的几率贯穿势垒的现象波动性8. 222ma h9. nh ν （n =1, 2, L ）12n h ν⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （n =0, 1, 2, L ）10. 12n E n h ν⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （n =0, 1, 2, L ）12h ν 11. 变小 变小12. i x ∂-∂h ，222U m -∇+h ，i z x xz ∂∂⎛⎫-- ⎪∂∂⎝⎭h 13. i h14. 解：所谓归一化就是让找到粒子的概率在可能找到的所有区域内进行积分，并使之等于100%，即()()d 1x x x ψψ∞*-∞=⎰这里，我们的问题是要22sin d 1an x x aπA =⎰ 即 21/()/12aA n n a a ππ⎡⎤⨯=⎣⎦ 所以A =于是，得到归一化的波函数()()1,2,3,n n x x n aπψ==L15. 解：由不确定关系x x p h ∆∆≥ 得 //x p h x h d ∆≥∆=x p ∆最小值为/h d 时，x p 的最小值（数量级）也为/h d ，应用动能与动量的经典关系2/(2)K E p m =即 22212min /(2)/(2) 1.310J E p m h md -===⨯ 16. 解：找到粒子的概率为()()3/43/4211/4/42d sin d a a a a x x x x x a aπψψ*=⎰⎰=111(1)0.81822πππ+=+= 17. 解：据已知条件 /2a n λ= ① 又据德布罗意公式 /h m λυ= 得 /m h υλ= ②无限深势阱中粒子的能量为 212E m υ= 即m υ== ③ 由②、③式解得 222/mE h λ=以①代入得 22224n h mE n a =所以 2228n h E n ma =18.解：按量子力学中的线性谐振子能级公式可得12n h kT ν⎛⎫+= ⎪⎝⎭1111~3.921022kT n h ν=-=-≈⨯ 相邻能级间隔 321.05510J h ν-=⨯ 此能量间隔与振子能量kT 比较，11113.9210h kT n ν≈=⨯ 实在太小了，因此振子的能量可以看作是连续改变的 19. 解：由波函数的性质得2d 1lx ψ=⎰即 2220(-)d 1lc x l x x =⎰由此解得25230/,c l c l ==设在0～13l 区间内发现该粒子的概率为P ，则/3/3222517d 30[(-)/]d 81l l P x x l x l x ψ===⎰⎰ 20. 解：410cm x -∆≈，810eV k E =电子的平均动量为:231.810kg m/s p -=≈⨯⋅ 2810kg m/s 2P p x-∆=≈⋅<<∆h可见，在威尔逊云室中，电子坐标和动量的取值基本上可以认为是确定的，可以使用轨道的概念. 21.解：动量算符为ˆx pi x∂=-∂h 故，动量的平均值为()()()()**n n n n ˆd d x x p x p x x x i x x x ψψψψ∂⎛⎫==- ⎪∂⎝⎭⎰⎰h02sin sin d an x n x i x a a x a ππ∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎰h02sin cos d 0an n x n x i x a a a a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰h动能算符为2222ˆˆ22x p T m m x∂==-∂h 故，()()()()22222**nn n n 22ˆd d 22n T x T x x x x x m x ma πψψψψ⎛⎫∂==-= ⎪∂⎝⎭⎰⎰h h 22.解：由归一化条件得：21c ++=解得：c =根据谐振子波函数的表达式，可知能量E 的可能值为：E 0、E 2、E 3因为： 12n E n h ν⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以： 012E h ν= ；252E h ν= ；372E h ν=则：1572222E h h h hv ννν⋅+⋅+⋅== 23. 解：由不确定关系2/η≥∆∆=∆∆x v m x p 估计，有m /s 106.010101.921005.126103134⨯=⨯⨯⨯⨯=∆=∆---x m v η 按经典力学计算，由222re k r v m =得，m/s102.2105.0101.9)106.1(1096103121992⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---mr ke v可见，速度与其不确定度同数量级。

可见，对原子内的电子，谈论其速度没有意义，描述其运动必须抛弃轨道概念，代之以电子云图象。