量子力学练习题

一. 填空题1．量子力学的最早创始人是 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设，解决了 的问题。

2．按照德布罗意公式 ，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。

3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E=kT 23（k 为玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。

4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能量E n = ，相应的波函数=)(x n ψ()a x ax n a n <<=0sin 2πψ和 。

5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E=eV eV 51.136.132-=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。

6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ϕ，当它们是玻色子时波函数为),(21q q s ψ= ；玻色体系为费米子时=),(21q q A ψ ；费米体系7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是E n =())+-'+'+∑≠0020m nn m mn mnnE EH H E ，)(x n ψ = ())() +-'+∑≠00020m m nnm mnn E EH ψψ，其中微扰矩阵元'mn H =()()⎰'τψψd H n m 00ˆ；而'nn H 表示的物理意义是 。

该方法的适用条件是本征值， 。

8．在S 2和S 2的共同表象中，泡利矩阵的表示式为=x σ ，=y σ ，=z σ 。

9．玻磁子M B 与电子质量μ、电荷e 、光速c 普朗克常数h 的联系是M B = ；数值为M B = 。

11．普朗克常数h 的数值为 单位是 。

12．德布罗意关系式为E= 和=p。

13．被V 伏电位差加速后，自由电子德布罗意波长的计算公式为=λ ，当V=150伏时=λ 。

14．薛定谔（Schrödinger ）方程为 ，定态薛定谔方程为 ，定态波函数为 。

15．几率流密度矢量=J，几率守恒定律的公式是 。

16．量子力学中表示力学量的算符是 ，它们的本征函数组成 。

17．若两个力学量A 、B 的对易关系式为[A 、B ]=k i，则测不准关系的严格表示为 。

18．波恩对波函数的统计解释（量子力学的基本原理之一）是： 。

19．波函数的标准条件是： 。

20．两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子能量相等，问要实现这个条件，光子的波长最大是 。

21、单粒子Schrodinger 方程是 。

22、量子力学中的波函数的正统诠释是 。

23、设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶子上。

若电子的动能完全转化为一个光子，加速电子所需的电势差的表达式为 这光子相应的光波波长为50000A 的可见光时，加速电势差V= 伏特。

25、量子力学中的本征值问题是 。

29、Planck 的量子假说揭示了微观粒子能量的特性，Einstein 的光量子假说揭示了光的 性，Bohr 的氢原子理论解决了经典电磁场理论和原子的 之间的矛盾，解决了 的起源问题。

30、力学量算符必须是 算符，以保证它的本征值为 。

对一个量子体系进行某一力学量的测量值肯定是该力学量的 当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的，除非体系处于该力学量的某一 。

测量结果的不确定性来源于 。

两个力学量同时具有确定值的条件是两个力学量算符。

32、在量子力学中，体系的量子态用Hilbert 空间中的 来描述，而力学量用 描述。

力学量算符必为 算符，以保证其 为实数。

当对体系进行某一力学量的测验时，测量结果一般来说是不确定的。

测量结果的不确定性来源于 。

33、在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于 的性质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的 对易，而与体系的 无关。

一个力学量是否具有确定值，只决定与体系的 ，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的 ，无论该力学量是否是守恒量。

35、定态波函数是 。

36、力学量的平均值公式是 ， ， 。

37、含时Schrodinger 方程； 。

单粒子定态Schrodinger 方程 。

38．对全同性原理回答下列问题。

① 全同性原理的表述是： 。

② 全同性原理对全同粒子体系波函数要求是： 。

③全同性原理与泡利原理的关系 。

39、计算粒子的德布罗意波的波长用公式()计算.能量为0.1电子伏，质量为1克的质子；德布罗意波的波长λ= 。

温度T=1K 时，具有动能32E KT =（k 为玻尔兹曼常数）的氦原子德布罗意波的波长 λ= 。

40、自由粒子平面波函数ψ(x)=ce ikx的动量不确定度Δp= ，坐标不确定度Δx = 。

41、波函数ψ(x)=coskx 是否自由粒子的能量本征态？答： 。

如果是，能量本征值是 。

该波函数是否动量本征态？答： ，因为 。

42、设⋂A ,⋂B 是两个互为不对易的厄米算符。

在下列算符 （1）⋂A ⋂B ; （2）⋂A ⋂B -⋂B ⋂A （3）⋂A2（4）⋂A ⋂B +⋂B ⋂A中，算符 和 的本征值必为实数。

44、设一个二能级体系的两个能量本征值分别为E 1 和E 2，相应的本征矢量为 ｜n 1 > 和 ｜n 12 > 。

则在能量表象中，体系Hamilton 量的矩阵表示是 ，体系的可能状态是 ，在各可能状态下，能量的可能测值是 ，相应的几率是 。

45、按照德布罗意公式 ；质量为21,μμ两粒子，若德布罗意波长同为λ，则它们的动量比p 1:p 2= ；能量比E 1：E 2= ；若粒子速度为V=0.9c,照相对论公式计算，其德布罗波长'λ= 。

46、阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大（缩小） 倍；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能量 nE = ；相应的波函数)(x n ψ= 。

47、两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ψ，当它们是玻色子时波函数为),(21q q s ψ= ，为费色子时),(21q q A ψ= 。

48、微观粒子的能量E 和动量P 与相联系的波的频率ν和波长λ的关系是 。

49、与自由粒子相联系的波是 ，并写出表达式ψ＝ 。

50、如果算符Fˆ表示力学量F ，那么当体系处于F ˆ的本征态时，力学量有 ，这个值就是Fˆ在本征态中的 。

答案1．量子力学的最早创始人是 普朗克 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 能量量子化 假设，解决了黑体辐射 的问题。

2．按照德布罗意公式λνεh p h ==,，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1 。

3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E=kT 23（k 为玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max =K h k 221031-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛λμ。

4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大（缩小） 缩小1倍；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能量E n =3,2,12/2222=n a n μπ，相应的波函数=)(x n ψ()a x ax n a n <<=0sin 2πψ和()a x x n≥≤=,00ψ。

5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E=eV eV 51.136.132-=；L= 2；L z = ，轨道磁矩M z =B M 。

6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ϕ，当它们是玻色子时波函数为),(21q q s ψ=()()()()[]玻色体系1221221121q q q q k k k k ϕϕϕϕ+；为费米子时),(21q q A ψ()()()()]费米体系12212211q q q q k k k k ϕϕϕϕ-7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是E n =())+-'+'+∑≠020m n nm mn mnnE EH H E ，)(x n ψ = ())() +-'+∑≠00020m m nnm mnn E EH ψψ，其中微扰矩阵元'mn H =()()⎰'τψψd H n m 00ˆ；而'm n H 表示的物理意义是 在未受微扰体系中，H '的平均值 。

该方法的适用条件是 定态、()0ˆH的本征值， ()0nE 非简并，H '很小。

8．在S 2和S 2的共同表象中，泡利矩阵的表示式为=x σ ，=y σ ，=z σ 。

⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001000110z y x ii σσσ9．玻磁子M B 与电子质量μ、电荷e 、光速c 普朗克常数h 的联系是M B = ；数值为M B = 。

1271027.9,2--⋅⨯==T J M ce M B B μ。

11. 6.6255（9）×10-34 焦耳.秒12. E=νωh = =pn h k λ=。

13. =λA v25.12 =λ 1A 14.ψψμψ),(22t r u t ih+∇-=∂∂ ，ψψψμE r u =+∇-)(22，Et ier t r-=)(),(ψψ。

15． =J ][2**ψψψψμ∇-∇ i ， 0=⋅∇+∂∂j tω。

16． 线性厄密算符 ， 完全系17．4)()(222k B A ≥∆⋅∆18． 波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例 。

19．有限性、连续性、单值性 。

20．0.024A 。

21、单粒子Schrodinger 方程()()()t r r V m t r t i ,2,22ψψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∇-=∂∂22、量子力学中的波函数的正统诠释是*ψψψ=2表示时刻t 在r处发现离子的概率密度。

23、设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶子上。

若电子的动能完全转化为一个光子，加速电子所需的电势差的表达式为V= hv che e λ=这光子相应的光波波长为50000A 的可见光时，加速电势差V=1027125310 6.610110510 1.6V --⨯⨯⨯=⨯⨯⨯10A 伏特 2.475=伏特 24、用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗波长，若电子的能量E=23kT(k 为玻尔兹曼常数)，要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度m ax T =210m k mk λ--２１Ｔ＝（）３25、量子力学中的本征值问题是(力学量用算符表示。