二重积分主要知识点

n
D
f
x,
f x, yd lim
0
D
y
叫做被积函数,
i 1
f
f i ,i
x, yd
i
叫做被积表达式,
d叫做面积元素, x与 y 叫做积分变量，
n
D
叫做积分区域， f i ,i 叫i 做积分和。 i 1
6
关于二重积分定义的说明
(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.
(2)当在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在， 即二重积分必存在.
1
1
注：画二重积分为累次积分时，也可以先关于
r积分，后关于θ积分！
26
求“曲顶柱体”体积的演示(1)
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法，如下动画演示．
27
求“曲顶柱体”体积的演示(2)
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法，如下动画演示．
28
求“曲顶柱体”体积的演示(3)
D
D1
D2
D3
13
例题与讲解
例：改变积分
1
dx
1x f ( x, y)dy 的次序
00
解： 积分区域如图
y 1 x
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
00
14
例题与讲解
例：改变积分
1
dx
2 xx2 f ( x, y)dy
2
dx
2 x
f ( x, y)dy
0
0
1
0
的次序
8
X-型积分区域上计算二重积分
将二重积分的值看作以D为底,以z=f(x,y)为曲
面的“曲顶柱体”体积。
应用计算“平行截
z
z f (x, y)
面面积为已知的立
体求体积”的方法, y 垂直x轴作平行截面。
A( x)
A(x)
2 (x)
y 2(x)
f (x, y)dy
1 ( x)
b
D f (x, y)dxdy a A(x)dx
(3)在直角坐标系中,若用平行于坐标轴的直线网划
分,则 f x, yd f x, ydxdy; 面积元素d dxdy
D
D
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
当被积函数小于零时,二重积分是柱体体积的负值． 一般，D上的二重积分等于部分区域上的柱体体积 的代数和。
二重积分仅与积分区域D、被积函数f(x,y)有关
24
例题与讲解
例：计算 ex2 y2dxdy 其中D 是由中心在原点,
D
半径为a的圆周所围成的闭区域。
解：由于积分区域为圆域，被积函数是 f(x2+y2) 形式，故采用极坐标计算
在极坐标系下
D：0 r a，0 2.
ex2 y2dxdy
D
2
d
a e r2 rdr
0
0
(1 e a2 ).
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法，如下动画演示．
32
ax
bx
y 1(x)
得
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x ) f ( x, y)dy .
a
1( x)
D
9
化二重积分为累次积分
f (x, y)d
b
[
2 (x)
f (x, y)dy]dx
D
a 1 ( x)
b
dx
2 (x)
f (x, y)dy(称为累次积分)
a
1 ( x)
1：第一次关于y积分，y是积分变量，
y=x2和x=D y2围成的闭区域。
解：两曲线的交点
x y2
y
x
x2 y2
(0,0)
, (1,1),
( x2
y)dxdy
1
dx
0
x
x
2
(
x
2
y)dy
D
1
[
x
2
(
x x2 ) 1 ( x x4 )]dx 33 .
0
2
140
y x2
18
例题与讲解
例：求积分 x2e y2dxdy 其中D是以(0,0)、 D (1,1)、 (0,1)为顶点的三角形区域。
解： 积分区域如图
y2 x
y 2x x2
原式
1
2 y
dy
0
1
1 y2
f ( x, y)dx.
15
课堂练习
1：将二重积分 f (x, y)d 按两种种顺序化为累 D 次积分，积分区域D如下：
(1)D是由y2=8x与x2=y所围成的区域 (2) D是由y=x2与y =2- x2所围成的区域 2:交换下列积分的次序
25
例题与讲解
例: 计算 I ex2 y2 d 其中D (x, y)1 x2 y2 4 D
分析：由于积分区域为圆环，被积函数 是 f (x2+y2) 形式，故采用极坐标计算
解：I＝
er2 rdrd
2
dr
2 er2 rd
1
0
Ω
2 2 rer2 dr 2 er2 dr2 (e4 e)
d
b
dy f (x, y)dx
ca
c
a
D
12
其它类型的积分区域
X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
若区域如图，则必须分割.
在分割后的三个区域上分 别使用积分公式
D3 D1
D2
.
e
ln x
(1)1 dx0 f (x, y)dy
1
y
2
2 y
(2) dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
00
1
0
16
课堂练习答案
1: (1) f (x, y)d D
2
8x
4
y
dx
0
x2
f (x, y)dy
dy
0
1 y2 f (x, y)
8
(2)
f (x, y)d
域D任意分成n个小闭区域 1, 2,…,n ,其中i
表示第i个小区域的面积;在每个i上任取一点(i,i) ,
作乘积 n
f(i,i)i
(i=1,2,…,n),并作和
f i ,i i ;如果当各小闭区域的直径中的最大值
i1
趋于零时,这和的极限存在,则称此极限为函数在闭
区域上的二重积分， 记作 f x, yd
7
直角坐标下计算二重积分
应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积” 的方法，可以在直角坐标下计算二重积分。
X-型积分区域D： a x b,
y 2(x)
D
y 1( x)
1( x) y 2( x).
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
a
b
其中函数1( x) 、2( x) 在区间 [a,b]上连续.
ri ri i
1 2
(ri
)2
i
r
ri
i i i
D
i
o
d rdrd
A
r不能遗漏!
f (x, y)d f (r cos , r sin )rdrd.
D
20
极坐标下化二次积分(１)
若积分区域特征如下图
r 1()
,
D
r 2()
1( ) r 2( ).
o
f (r cos ,r sin )rdrd r 1()
极坐标下化二次积分(3)
若积分区域特征如下图
0 2, 0 r ( ).
r ( )
D
o
A
f (r cos ,r sin )rdrd
D
2 d ( ) f (r cos , r sin )rdr.
0
0
极坐标系下区域的面积 rdrd.
23
何时用极坐标计算
条件 : (1)当积分区域是圆或圆的一部分时或 (2)被积函数为 f (x2+y2)等形式
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx .
D
c
1( y)
11
矩形区域
D (x, y) | a x b, c y d
f (x, y)d
bd
[ f (x, y)dy]dx
b
dx
d
f (x, y)dy
ac
a
c
D
或
f (x, y)d
db
[ f (x, y)dx]dy
D
D
d
2( ) f (r cos ,r sin )rdr.
1 ( )
o
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r2()
A
21
极坐标下化二次积分(2)
若积分区域特征如下图
,
D
0 r ( ).
o
f (r cos ,r sin )rdrd
D
d
( ) f (r cos , r sin )rdr.
0
r ( ) A
22
二重积分
一、二重积分的概念 二、二重积分的计算
1
曲顶柱体
引例1：曲顶柱体的体积
柱体体积=底面积×高 特点：平顶.
z f (x, y) D
柱体体积=？ 特点：曲顶.
2
复习曲边梯形的面积计算
1：分割 2：近似计算 3：求和 4：求极限
3
“分割,求和,取极限”思想的应用
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法，如下动画演示．
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法，如下动画演示．
29
求“曲顶柱体”体积的演示(4)
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法，如下动画演示．
30
求“曲顶柱体”体积的演示(5)
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法，如下动画演示．
31
求“曲顶柱体”体积的演示(6)
1
dx
2x2
f (x, y)dy
1
x2
D
1
y
2
2 y
dy f (x, y)dx dy
f (x, y)dx
0
y
1
2 y
1
e
1
2x
2 : (1) dy f (x, y)dx (2) dx f (x, y)dy
0
ey
0
x
17
例题与讲解
例：求积分 ( x2 y)dxdy 其中D是由抛物线
x为常量, 积分结果是x的函数
2：第二次关于x积分，x是积分 变量，积分结果是常数
10
Y-型积分区域上计算二重积分
Y-型积分区域D：c y d , 1( y) x 2( y).
［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
c
D
x 2( y)
垂直y轴作平行截面
f ( x, y)d
解： e y2 dy无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2
y3 dy
e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
0
3
0
6
6e
19
利用极坐标计算二重积分
i
1 2 (ri
ri )2
i
1 2
ri
2
i
r ri ri
播放 4
求曲顶柱体体积的具体步骤
先分割曲顶柱体的底，z 并取典型小区域，
z f (x, y)
用若干个小平
顶柱体体积之
和近似表示曲
o
顶柱体的体积，x
D
n
i
曲顶柱体的体积 V
lim 0
i 1
f (i ,i ) i .
y
(i ,i )
5
二重积分的概念
定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数,将闭区