二重积分主要知识点
二重积分基础数学资料
用若干个小平 顶柱体体积之 和近似曲顶柱 体的体积，
曲顶柱体的体积
先分割曲顶柱体的底，
积分区域
积分和
被积函数
积分变量
被积表达式
面积元素
2、二重积分的概念
性质１
性质２
（——与定积分有类似的性质）
3、二重积分的性质
性质３
性质４
4、二重积分的几何意义
例 求
，其中区域
为由直线
所围区域。
答案：2
区域的特征，其次需要考虑被积函数
的特点，在积分区域中为二次积分即两个定积分来计算。
例 计算二重积分
其中
区域
一、在直角坐标系下计算
1、积分区域为矩形域
例 计算二重积分
其中
答案：
二重积分的计算 (D是矩形区域)
y
0
x
z
y
a
b
c
d
D
D是矩形区域 [a,b ; c,d]
输出：ans= 3
所围成的区域。
例
解：
X-型
例 计算二重积分
是由直线
所围成的
闭区域。
答案：
例 计算 其中D是由直线
解法1 把D看成X型域,则
y=1, x=2 及 y=x 所围区域.
解法2 把D看成Y型域，则
要将按X型域确定的积分限改为按Y型域确定积分限.为此，应根据定限的方法先将题中所给的积分限还原成平面区域D，然后再按Y型域重新确立积分限，得到二次积分.
第一节 二重积分的概念和性质
1、问题的提出 2、二重积分的概念 3、二重积分的性质 4、二重积分的几何意义
第七章 二重积分
柱体体积=底面积×
二重积分的定义求极限
二重积分的定义求极限摘要：1.二重积分的定义概述2.二重积分与定积分的关系3.二重积分的计算方法4.二重积分的应用5.求极限的方法正文：一、二重积分的定义概述二重积分是一种在空间中对二元函数进行积分的方法，它是对定积分的扩展。
二重积分的定义与定积分类似，都是求解某种特定形式的和的极限。
在二重积分中，我们需要对一个有界闭区域上的有界函数进行积分。
具体来说，设zf(x,y) 为有界闭区域() 上的有界函数，我们将区域() 任意划分成n 个子域(k)，其面积记作k(k1,2,3,,n)，然后在每一个子域上对函数zf(x,y) 进行积分，最后求得所有子域积分的和的极限。
二、二重积分与定积分的关系二重积分与定积分在形式上有所不同，但在本质上是类似的。
定积分是求解一个函数在某一区间上的累积和，而二重积分则是求解一个函数在某一区域内的累积和。
在求解二重积分时，我们需要将区域划分成更小的子域，并在每个子域上计算函数的积分。
这与定积分的计算方法是相似的，只是在二重积分中，我们需要对更多的子域进行积分。
三、二重积分的计算方法求解二重积分的方法可以分为以下几个步骤：1.确定被积函数zf(x,y) 以及积分区域();2.将积分区域() 任意划分成n 个子域(k)，其面积记作k(k1,2,3,,n);3.在每一个子域(k) 上对函数zf(x,y) 进行积分，得到子域(k) 上的积分值;4.求得所有子域(k) 上的积分值的和;5.求得和的极限，即为所求的二重积分值。
四、二重积分的应用二重积分在实际应用中具有广泛的应用价值，例如计算曲面的面积、平面薄片的重心等。
此外，平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的有向曲面上进行积分，称为曲面积分。
五、求极限的方法在求解二重积分时，我们需要求得所有子域(k) 上的积分值的和的极限。
为了求得这个极限，我们可以采用以下方法：1.采用分割法，将积分区域() 划分成越来越小的子域，然后在每个子域上计算函数的积分;2.采用近似法，将函数在某一子域上近似为一个简单的函数，如多项式函数，然后在该子域上计算近似函数的积分;3.采用求和法，将所有子域上的积分值相加，得到一个总和;4.采用取极限法，当子域划分得越来越小，或者近似函数越来越接近原函数时，求得总和的极限，即为所求的二重积分值。
高等数学-二重积分
高等数学-二重积分二重积分作为高等数学的一部分，是积分学的重要内容之一，也是微积分的一个重要分支。
它可以用来求解平面图形的面积、质心、转动惯量等问题，同时也是理解三重积分和曲线积分的基础。
一、二重积分的定义对于平面直角坐标系中一个有界区域D，若在D内存在一个连续函数f(x,y)，则在D 上的二重积分值记为：∬Df(x,y)dxdy其中，dxdy表示对于(x,y)在D上的每一个点，都有一个微小的面积dxdy。
通常情况下，积分区域D是一个闭合区域，即被有限多条曲线所包围的区域。
1、线性性若f(x,y)和g(x,y)在D上可积，则对于任意实数a和b，有：∬D[af(x,y)+bg(x,y)]dxdy=a∬Df(x,y)dxdy+b∬Dg(x,y)dxdy2、积分的可加性若D可表示成D1和D2的并集，且D1和D2没有交集，则有：4、积分与面积的关系对于常数函数f(x,y)=1，在D上的二重积分值就是D的面积S。
即有：∬D1dxdy=S1、利用基本公式对于二重积分中的f(x,y)，若其为一元函数，则参照一元函数积分的公式进行计算即可。
若其为二元函数，则按照二元函数积分的公式计算。
2、极坐标法当积分区域D具有极轴对称性或者其中的许多边界方程可以转化为极坐标方程时，可以使用极坐标公式来求解。
即有：∬Df(x,y)dxdy=∫θ1θ2dθ∫r1r2f(r,θ)rdr其中，r为极径，θ为极角。
3、换元法当积分区域D无法采用基本公式或者极坐标法求解时，可以采用换元法来简化计算。
具体而言，可以通过将坐标系进行转化，将D映射为一个较为简单的区域，从而进行二重积分的计算。
1、面积计算二重积分可以用来计算平面图形的面积。
对于平面图形D，可设其边界方程为：g1(x)=a, g2(x)=b, h1(y)=c, h2(y)=d则D的面积可以表示为：S=∬Ddxdy=∫a^b∫c^d1dydx2、质心计算x0=∬Dxdxdy/M, y0=∬Dy dxdy/M其中，M为D的面积，x0和y0分别称为D的一阶矩。
二重积分知识点
二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。
二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。
本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。
二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。
若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。
2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。
三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。
4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。
高等数学(下册) 二重积分要点总结
2
V f ( x, y )dxdy ；
S xy
求平面薄片质量:在薄片区域上对薄片密度进行积分。 求薄片质心：
x
x 乘以密度的积分 y 乘以密度的积分 ;y 对密度的积分 对密度的积分
求薄片转动惯量：
I x y 2 乘以密度在薄片上积分 I y x 2 乘以密度在薄片上积分
比较：求质量对密度积分；求质心密度乘 x 积分（除质量） ，惯量密度乘 x 2 积分。
f ( 标系 系左右边型：
f ( x, y)dxdy
D
x b
x a
dx
y 2 ( x ) y1 ( x )
f ( x, y )dy
典型题：
极坐标系里 里外边型：
f ( x, y) dx dy
D
d
2 ( ) 1 ( )
区域 D 关于 X 轴对称 被积函数关于 Y 变量是 奇函数
f ( x, y)dxdy
D
0
f ( x , y ) f ( x, y )
四、计算二重积分步骤： 画出积分区域（注意必要时划分区域） 根据区域形式和被积函数形式选择合适的区 域描述 确定累次积分并计算（注意：充分利用区域对称性，函数奇偶性） 五、二重积分的类型题目： 交换积分顺序； 直角坐标和极坐标下积分的互相表示； 重积分的具体计算； 求曲面围成的曲顶柱形的体积：曲顶 z f ( x, y ) ，几何体在 xy 平面投影 S xy ，体积
二重积 积分要点 点总结
1、二重积 积分：二重积 积分性质就 就是一般积分 分性质，6 个性质，重 个 重点前三个 。 2、二重积 积分计算：必 必须掌握，必须算准 区域形式及 及描述 直角坐标系 系上下边型 计算公式
双重定积分知识点总结
双重定积分知识点总结一、双重定积分的定义1. 二元函数在平面直角坐标系中，如果一个函数f(x,y)同时以x，y为自变量，在实数域上取实数值，则称之为二元函数。
2. 阶段性函数如果函数f(x,y)在平面上有定义，且对每一个y确定，f(x,y)作为x的函数是在一定区间上有定义的，则称函数f(x,y)为阶段性函数。
3. 双重积分的概念设在闭平面区域R上有定义非负的阶段性函数f(x,y)，则在这个区域上的积分：∬R f(x,y) dxdy称为f(x,y)在R上的双重定积分。
4. 双重积分的几何意义双重积分的几何意义是在平面区域R上，用阶段性函数f(x,y)所确定的柱面的体积。
二、双重积分的性质1. 线性性质设在区域R上有定义非负的阶段性函数f(x,y)和g(x,y)，以及实数a和b，则有∬R (af(x,y) + bg(x,y)) dxdy = a∬R f(x,y) dxdy + b∬R g(x,y) dxdy2. 区域分解原理设区域R可以划分成若干个分别不相交的闭区域R1，R2，…，Rn，则有∬R f(x,y) dxdy = ∬R1 f(x,y) dxdy + ∬R2 f(x,y) dxdy + … + ∬Rn f(x,y) dxdy3. 积分的可加性设f(x,y)是R上的阶段性函数，则在R上的二重积分可以分解成两个积分的和：∬R f(x,y) dxdy = ∫[a, b] ( ∫[c, d] f(x,y) dy ) dx4. 积分区域的变化如果将区域R沿着y轴平行地平移h个单位长度，得到的新区域记作R'，则有∬R f(x,y) dxdy = ∬R' f(x,y-h) dxdy5. 积分次序的可交换性如果区域R可以表示成闭区间[a, b]和[c, d]的直积区间，则有∬R f(x,y) dxdy = ∫[a, b] ( ∫[c, d] f(x,y) dy ) dx = ∫[c, d] ( ∫[a, b] f(x,y) dx ) dy6. 积分的估值设在区域R上有非负的阶段性函数0 ≤ f(x,y) ≤ M，则有M|A(R)| ≥ ∬R f(x,y) dxdy ≥ m|A(R)|其中，M为f(x,y)在区域R上的最大值，m为f(x,y)在区域R上的最小值，A(R)为平面区域R的面积。
二重积分变换次序
二重积分变换次序摘要：一、二重积分基本概念1.二重积分的定义2.二重积分的性质二、二重积分变换次序1.坐标变换对二重积分的影响2.常用的二重积分变换次序2.1 先积xy，再积yx2.2 先积y，再积x2.3 先积x，再积y三、二重积分变换次序的应用1.实际问题中的例子2.变换次序对结果的影响正文：一、二重积分基本概念二重积分是数学中一种重要的积分形式，它是对二维函数进行积分的一种方法。
给定一个定义域为R的函数f(x, y)，我们可以通过分割坐标轴，将二重积分转化为两个一重积分进行求解。
二重积分的性质包括线性性质、保号性、可积性等。
这些性质为我们研究二重积分提供了理论依据。
二、二重积分变换次序在进行二重积分计算时，我们常常需要对被积函数进行坐标变换，以简化计算过程。
变换次序的不同，可能会导致最终的结果不同。
下面我们介绍几种常用的二重积分变换次序。
2.1 先积xy，再积yx这种变换次序适用于被积函数中xy的指数均为1的情况。
例如，对于函数f(x, y) = xy，我们先对x和y分别进行积分，再将两个积分结果相乘，即可得到最终结果。
2.2 先积y，再积x这种变换次序适用于被积函数中y的指数为1，x的指数大于1的情况。
例如，对于函数f(x, y) = xy，我们先对y进行积分，再对x进行积分，最后将两个积分结果相乘，即可得到最终结果。
2.3 先积x，再积y这种变换次序适用于被积函数中x的指数为1，y的指数大于1的情况。
例如，对于函数f(x, y) = yx，我们先对x进行积分，再对y进行积分，最后将两个积分结果相乘，即可得到最终结果。
三、二重积分变换次序的应用在实际问题中，二重积分的变换次序往往需要根据具体情况进行选择。
例如，在求解曲面的面积时，我们通常选择先积xy，再积yx的次序，因为这样可以简化计算过程。
另外，在某些情况下，变换次序的不同可能导致最终结果的不同。
考研二重积分笔记
⼆二重积分知识框架总结⼀一.概念与性质⼆二.计算题⼀一概念与性质1.⼆二重积分的定义（类⽐比定积分）!定义——和的极限"精确定义—（类⽐比定积分）2.⼆二重积分的⼏几何意义（类⽐比定积分）定积分（曲边梯形的⾯面积——带符号的⾯面积）⼆二重积分（曲顶柱体的体积——带符号的体积）宇哥说：就是⼤大⾯面包，⼩小薯条Note：1.其中d6总是⼤大于0这是定义规定的2.累次积分与⼆二重积分不不同!累次积分上下限⽆无所谓⼤大⼩小，⼆二重积分上限⼤大于下限"累次积分⽆无法换序，⼆二重积分可以换序3.⼆二重积分的存在性（定积分存在性的推⼴广）!f(x,y)在D上连续"f(x,y)在区域D上有界，且除了了有限个点，有限条光滑曲线外连续4.⼆二重积分的性质（6+1）（定积分性质的推⼴广）1.求区域⾯面积2.积分的线性性质3.积分区域的可加性4.积分的保号性5.积分的估值定理理6.积分的中值定理理7.可积函数闭有界（f(x,y)在有界闭区域D上可积，则其在D上有界）5.对称性!普通对称性（3种情况）"轮换对称性（实际上就是积分值⽤用什什么字⺟母，⽤用什什么符号⽆无关）要掌握轮换对称性的核⼼心（⽆无论x，y⽤用什什么字⺟母⽤用什什么符号来替代，只要积分区域D不不变，则⼆二重积分值就相等）⼆二.计算（注意：在计算前，看D对称性，看能否化简或轮换对称性）1.基础题!直⻆角坐标系分成X型（上下型）（先y后x），以及Y型（左右型）（先x后y）⼝口诀：后积先定限，线内画条线，先交写下限，后交写上限Note:在⼆二重积分⼀一定要注意下限⼩小于等于上限（定义规定的）"极坐标⼀一般使⽤用先r后0情况，如果换序则要注意使⽤用⼝口诀Note：什什么情况⼀一般优先考虑极坐标!被积函数为f(x2,y2),f(x/y),f(y/x)（⾸首要）"被积区域为圆，环，扇形（不不必要）但是不不要教条化3.技术题：!换序直➡直，极➡极Note：1.直⻆角坐标下换序，注意要把累次积分变成⼆二重积分（上限⼤大于等于下限）2.极坐标换序，要注意线内画条线（是圆弧线）"换系Note：1.主要是要画出D2.对于偏⼼心圆，要经过平移变换，再换成极坐标，但是要注意有四个圆出现不不⽤用使⽤用平移变换。
第一节 二重积分的概念与性质
(B) 4 cos x sin y d s
D1
(C) 2 cos x sin y d s
D1
(D) 0
解
如图所示由对称性,答案应该为Ｃ．
D3 D4
D2
D1
( x0 , y0 )是D的一个内点， Dr 是 例5 设f(x,y)在闭区域D上连续， 以 ( x0 , y0 ) 为中心，r为半径的闭圆盘，试求极限
f ( x, y)dxdy
D
其中dxdy叫做直角坐标系中的面
积元素． x
O
yi s i
y
xi
D
二重积分存在定理 当 f ( x， y )在闭区域 D上连续时， 积分和的极限一定存在， 也就是说函数f(x，y)在D 上的二重积分必定存在．
二重积分的几何意义： 如果 f ( x ， y ) 0 ，被积函数 f ( x ， y ) 可解释为曲顶柱体的在点
分别以这些小闭区域的边界 曲线为准线， 作母线平行于z 轴
的柱面，这些柱面把原来的曲顶 柱体分为n 个细曲顶柱体．
si
一． 二重积分的概念
1． 曲顶柱体的体积 在每个s i中任取一点(x i ，h i)， 以f (x i ，h i)为高，以s i为底作平顶 柱体，
f(x i ,h i)
si (x i ，h i)
f (xi ,hi )s i
i 1
n
．
如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时，这和的极限总 存在，则称此极限为函数f(x，y)在闭区域D 上的二重积分，记作
f ( x, y)ds ，
D
即
D
lim f (x i ,hi )s i f ( x, y)ds ， l 0 i 1
对二重积分的总结
对二重积分的总结1. 什么是二重积分？二重积分是微积分中的重要概念之一，用于计算平面上某个区域上的二元函数在该区域上的积分值。
在数学中，我们可以将二重积分看作是某个函数在二维平面上的累积效果。
二重积分通常用来计算平面上的面积、质量分布以及物体的质心等。
2. 二重积分的表示方法二重积分的表示方法有两种常见形式：定积分形式和累次积分形式。
定积分形式定积分形式的二重积分表示为：$\\iint_R f(x, y) \\,dx \\,dy$其中R表示被积函数f(x,y)在平面上的积分区域。
累次积分形式累次积分形式的二重积分表示为：$\\int_a^b \\int_c^d f(x, y) \\,dy \\,dx$这种形式先对y进行积分，得到一个含有x的函数，再对x进行积分得到最终结果。
3. 二重积分的计算方法对于二重积分的计算，可以根据具体的情况选择不同的计算方法，主要有以下几种常见的方法：直接计算直接计算是最常见的计算二重积分的方法。
根据被积函数的具体形式和积分区域的特点，可以利用定积分的计算规则直接进行计算。
极坐标转换对于具有圆形对称结构或者与极轴或极角相关的被积函数，使用极坐标转换可以大大简化积分的计算过程。
变量代换是一种常见的数学方法，对于一些复杂的积分问题，可以通过选取适当的变量代换，将原积分问题转化为更简单的形式进行计算。
分割求和对于一些具有复杂形状的积分区域，可以通过将区域进行适当的分割，然后对每个小区域进行积分，再将结果进行求和，从而得到整个区域的积分值。
4. 二重积分的性质二重积分具有一些重要的性质，包括线性性、可加性和保号性等。
线性性二重积分具有线性性，即对于常数c和两个可积函数f(x,y)和g(x,y)，有：$\\iint_R (cf(x, y)+g(x, y)) \\,dx \\,dy = c\\iint_R f(x, y) \\,dx \\,dy + \\iint_Rg(x, y) \\,dx \\,dy$可加性若区域R可分为若干个互不相交的子区域 $R_1, R_2, \\ldots, R_n$，则有：$\\iint_R f(x, y) \\,dx \\,dy = \\iint_{R_1} f(x, y) \\,dx \\,dy + \\iint_{R_2} f(x, y) \\,dx \\,dy + \\ldots + \\iint_{R_n} f(x, y) \\,dx \\,dy$保号性如果f(x,y)在区域R上恒大于等于零，即 $f(x, y) \\geq 0$，则有：$\\iint_R f(x, y) \\,dx \\,dy \\geq 0$5. 二重积分的应用二重积分在实际问题中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：面积计算二重积分可以用于计算平面上区域的面积。
二重积分的概念和计算
二重积分的概念和计算
一、二重积分的概念
二重积分也叫做双重积分，是一类高等数学中的一种重要的概念，它
是指将函数关于两个变量进行积分运算，而且是先计算外层的积分，再计
算内层的积分，也可以称之为“先积分后积分”。
所以，二重积分是指把一个二元函数关于x先积分，再把f（x，y）
关于y积分的过程，最后能够得到B（x，y）函数，通常我们可以采用它
来对双变量函数进行积分运算。
二、二重积分的计算
1、在坐标系上绘制图像，判断积分的界限，即a和b的值，以及R
的值；
2、根据及题目要求，写出积分表达式；
3、根据外层和内层的分界，写出外层的积分表达式；
4、根据内层的分界，写出内层的积分表达式；
5、外层积分根据公式进行求解，把外层积分结果代入到内层积分中，计算内层积分的值；
6、把外层积分的值和内层积分的值相乘，得到最终的二重积分的结果。
此外，在积分运算中，我们还可以通过Green-Haddam公式来把二重
积分转化为一次积分，计算更加快捷方便。
Green-Haddam公式：∫ab∫f(x,y)dxdy=∫(R∫f(x,y)dxdy)dR
三、示例说明
下面通过举例来详细讲解一下二重积分的计算：求解：∫0,3∫0,2x2dy dx。
山东专升本高数《二重积分》超全知识点(二)2024
山东专升本高数《二重积分》超全知识
点（二）
引言概述：
本文旨在分享山东专升本高数《二重积分》的超全知识点。
二重积分是高等数学中重要的概念之一，掌握好相关知识点对于学习和理解高数知识具有重要意义。
本文将从五个大点出发，深入阐述二重积分的各个方面，帮助读者更好地理解和应用该知识。
1. 二重积分的定义和基本性质
- 二重积分的定义及其几何意义
- 二重积分的性质：线性性、积分区域可加性、积分次序可交换性等
- 二重积分的计算：换元法、分部积分法等基本计算方法
2. 二重积分的应用
- 平面区域的面积计算
- 平面曲线的弧长计算
- 质心和形心的计算
- 平面曲线的面积计算
- 二重积分在物理问题中的应用：质量、电荷、质心等
3. 二重积分的坐标变换
- 极坐标系下的二重积分
- 变量替换法与雅可比行列式
- 在极坐标下的面积计算及应用
4. 二重积分的应用之曲面体积
- 二重积分求解曲面体积的方法
- 旋转体的体积计算
- 平面区域所围成的曲面体积计算
- 利用二重积分计算空间区域的体积
5. 二重积分在概率统计中的应用
- 联合概率分布函数及其性质
- 边缘概率密度函数及相关计算
- 二维连续随机变量的期望与方差计算
- 多维连续随机变量的矩计算
总结：
通过本文的介绍，我们系统地学习了山东专升本高数《二重积分》的超全知识点。
这些知识点包括二重积分的定义和基本性质、应用、坐标变换、曲面体积计算以及在概率统计中的应用等。
希望读者通过学习和理解这些知识点，能够更好地应用于实际问题中，并在专升本考试中取得优异的成绩。
10.1 二重积分的概念与性质
图1 注：曲顶柱体是一个立体图形，因此图 1 中共有三条坐标轴，分别为 x 轴， y 轴，
z 轴。闭区域 D 作为底，它是一个平面图形，位于 xOy 面上，在 z 轴上对应着坐
标 z 0 。顶 z f ( x, y ) 是空间上的曲面，在 x 轴， y 轴， z 轴上均对应有坐标。 4．二重积分的几何意义 下面根据函数 z f ( x, y ) 的正负情况分三种类型：
(1) 在闭区域 D 中 , 若被积函数 f ( x, y ) 0 ， 则 以 闭 区域 D 为 底 ， 以 曲面
z f ( x, y ) 为顶的曲顶柱体全部在 xOy 面的上方。从而有
f ( x, y) d 该曲顶柱体的体积
D
(2) 在闭区域 D 中 , 若被积函数 f ( x, y ) 0 ， 则 以 闭 区域 D 为 底 ， 以 曲面
f ( x, y) d xOy 面上方图形的体积 xOy 面下方图形的体积
D
注： 定积分的几何意义与二重积分的几何意义非常相似。 定积分的几何意义为曲 边梯形的面积，它对应着(二维)平面的面积；而二重积分的几何意义为曲顶柱体 的体积，它对应着(三维)立体的体积。 5. 二重 积分的可加性 ： 若闭区域 D 可 划分为两部分 ， 分别为 D1 与 D2 ， 即 D D1 D2 ，则
2．二重积分的定义：设 f ( x, y ) 是闭区域 D 上的一个有界函数，将闭区域 D 任意 划分为 n 个小闭区域 1 , 2 , , n ，并将其面积记为 1 , 2 , , n 。令 表示 这 n 个小闭区域的直径的最大值。在每个小区间 i 中任意取一个点 ( i ,i ) ，则有
(2) 在定积分中，积分变量只有一个，相应地有积分上限与积分下限，即存在积 分区间。在二重积分中，既然积分变量有两个，从而积分区域是一个二维(平面) 图形。
二重积分知识点
二重积分知识点一、基本概念二重积分是在平面上对一个有界区域内的函数进行积分，其本质是对该区域进行分割，然后对每个小部分进行近似求和，最后取极限得到积分值。
二重积分也可以看作是将一个曲面投影到平面上，并对其在平面上的投影面积进行积分。
二、计算方法1. 通过直角坐标系计算：将被积函数表示为x和y的函数，根据被积区域的形状选择合适的坐标系，然后按照一元函数求导法则进行计算即可。
2. 通过极坐标系计算：将被积函数表示为r和θ的函数，根据被积区域的形状选择合适的极坐标系，在极坐标系下进行计算即可。
三、应用领域1. 物理学：在物理学中，二重积分常用于求解质心、转动惯量等问题。
2. 经济学：在经济学中，二重积分可以用于估算市场需求曲线和供给曲线之间的交点。
3. 工程学：在工程学中，二重积分可以用于计算物体表面或体内某些特性（如温度、压力等）的平均值。
四、注意事项1. 被积函数必须在被积区域内连续，否则二重积分不存在。
2. 被积区域必须是有界的，否则二重积分不存在。
3. 选择合适的坐标系或极坐标系可以简化计算过程。
4. 在计算过程中要注意积分上下限和被积函数的表达式是否正确。
五、常见误区1. 计算二重积分时忘记乘以微元面积，导致结果错误。
2. 选择不合适的坐标系或极坐标系，导致计算过程复杂或无法进行。
3. 对于非简单闭合曲线围成的区域，需要将其拆分为多个简单闭合曲线围成的子区域进行计算。
4. 忘记对被积函数进行化简或变形，导致计算结果错误。
六、例题解析1. 求解二重积分∬Dxydxdy，其中D为由y=x^2和y=4-x^2所围成的区域。
解：首先画出该区域图形，并确定其在直角坐标系下的边界方程为y=x^2和y=4-x^2。
因此可以将被积区域拆分为两个子区域D1和D2，其中D1为x从-2到2，y从0到4-x^2，D2为x从-2到2，y 从x^2到4-x^2。
然后根据题目要求进行计算，得到二重积分的值为16/15。
2. 求解二重积分∬D(x^3+y^3)dxdy，其中D为由y=x和y=x^3所围成的区域。
专转本——二重积分 基本知识点总结
2 ( x0 )
A(x0 ) f (x0 , y)dy 1 ( x0 )
2 (x)
A(x) f (x, y)dy 1 ( x )
利用计算 平行截面面积为已知 的立体体积 的方法,该曲顶柱体的体积为
V
b
a
A( x )dx
b
a
2(x)
f(
1( x )
x,
y)dy dx
从而有
f
(x,
y)d
（3）当 （各小闭区域直径的最大值）趋近于零时，此和式的极限存在，则此极限为
函数在闭区域 D 上的二重积分；
n
（4）记作
D
f (x, y)d ，即
D
f (x, y)d
lim 0 i1
f (i,i ) i
注意几个关键字符： f (x, y) D n i i
D
D
性质： 1.常数
2.和差（D 相同，函数不同 f (x, y) 的情况）
3.对积分区域内有可加性，（D 区域被分为几个有限个区域，函数 f (x, y) 相同的情况）
4.比较性
特殊地有：由于 f (x, y) f (x, y) f (x, y) ，又有 f (x, y)d f (x, y) d
集. 2、积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法
-- 几何法.画出积分区域 D 的图形(假设的图形如下 )
在[a, b] 上任取一点 x ,过 x 作平行于 y 轴的直线,该直线穿过区域 D ,与区域 D 的 边界有两个交点 (x, 1(x)) 与 (x, 2 (x)) ,这里的1(x) 、2 (x) 就是将 x ,看作常数而 对 y 积分时的下限和上限；又因 x 是在区间[ a , b ]上任意取的,所以再将 x 看作变量而 对 x 积分时,积分的下限为 a 、上限为 b .
第九讲 二重积分
第九讲 二重积分Ⅰ.考试要求1．了解二重积分的概念与基本性质．2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）． 注：(1) 数一要求：了解三重积分的概念与基本性质，了解二重积分的中值定理；会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、质量、质心、形心、转动惯量、引力等）．(2) 数三要求：了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．Ⅱ.考试内容一、二重积分的概念与性质1. 二重积分的定义(,)f x y 在有界闭区域D 上有界1lim (,)ni i i i f λξησ→=∆=∑⎰⎰Dd y x f σ),(注：(1)若(,)f x y 在闭区域D 上连续，或在D 上有界且只在有限条曲线上不连续，则函数可积.(2)若⎰⎰D d y x f σ),(存在,则对D :01x ≤≤,01y ≤≤取特殊的分割方式可得2111lim (,)nnn j i i j f n n n →∞===∑∑⎰⎰Dd y x f σ),(（3）曲顶柱体的体积2．二重积分的性质(1) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±DDDd y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα),(),()],(),([；(2)⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),(),(),(D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ，其中21D D D +=，12D Dφ⋂=；注：1122(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d σσσ+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)A d D=⋅⎰⎰σ1，其中A 为D 的面积；(4) 若在D 上),(),(y x g y x f ≤，则⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f σσ),(),(；注： ①逆命题不成立.②在D 上(,),(,)f x y g x y 连续，),(),(y x g y x f ≤(,)(,f x y g x y ≠，则(,)(,)DDf x y dg x y dσσ<⎰⎰⎰⎰. ③在D 上(,)f x y 连续，(,)0f x y ≥(,)0f x y ≠，则(,)0Df x y d σ>⎰⎰.(5) 设m M ,分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值与最小值，σ为D 的面积，则(,)Dm f x y d M σσσ≤≤⎰⎰；(6)（二重积分的中值定理）设),(y x f 在闭区域D 上连续，σ为D 的面积，则 在D 上至少存在一点),(ηξ，使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⋅⎰⎰．二、二重积分的计算1.直角坐标系下（1）-X 型区域先对y 积分如果区域D 形如12()()x y x ϕϕ≤≤, b x a ≤≤, 则 区域特征： 平行于y 轴的直线与区域交于一个线段.2211()()()()(,)(,)(,)x x bb D a x a x f x y dxdy f x y dy dx dx f x y dy ϕϕϕϕ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(2)-Y 型区域先对x 积分如果区域D 形如12()()y x y φφ≤≤, d y c ≤≤. 特征: 与x 轴平行的直线与区域交于一个线段.2211()()()()(,)(,)(,)y y dd D c y c y f x y dxdy f x y dx dy dy f x y dx φφφφ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰一般区域分成若干-X 型区域和-Y 型区域.注：后积先定限，限内划条线，先交是下限，后交是上线2. 极坐标系下用极坐标系, 一般先r 后θ.区域特征: 从极点出发的射线与区域交于一个线段.⎰⎰Drdrd r r f θθθ)sin ,cos (21()()(cos ,sin )r r d f r r rdr θβαθθθθ=⎰⎰利用极坐标计算：⎪⎩⎪⎨⎧+)(,)(,)(22x y f y x f y x f f D ：：圆域或其一部分． *积分区域D 是r -型区域: 12()()r r θθθ≤≤12r r r ≤≤.注: (1) 极点在边界上时, 内层积分下限不一定为0（两种情况）; (2) 极点在区域内部时, 外层积分从0到π2，内层积分下限为0.（3）极点在区域外部.(4)掌握常见的极坐标方程: 222x y R r R +=⇔=,222()2cos x R y R r R θ±+=⇔=m ,222()2sin x y R R r R θ+±=⇔=m .3．二重积分的对称性(1) 如果积分区域D 关于x 轴对称，1D 为D 在x 轴上方的部分,则⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰),(),(,2),(),(,0),(1y x f y x f d f y x f y x f d y x f D Dσσ，其中⎩⎨⎧≤≥=001y y D D 或； (2) 如果积分区域D 关于y 轴对称，1D 为D 在y 轴右侧的部分,则⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰),(),(,2),(),(,0),(1y x f y x f d f y x f y x f d y x f D Dσσ，其中⎩⎨⎧≤≥=001x x D D 或；(3) 如果积分区域D 关于变量y x ,具有轮换对称性，即D 关于直线x y =对称，则⎰⎰⎰⎰=DDd x y f d y x f σσ),(),(=⎰⎰+Dd x y f y x f σ)],(),([21．三、计算二重积分步骤1．画出积分区域，考察能否利用对称性质简化积分．2．选择坐标系：根据积分区域（边界曲线方程）与被积函数的特点来选择坐标系． 3．确定积分次序：在直角坐标系下，根据被积函数的特征与积分区域的类型确定 积分次序．注意被积函数为以下特殊函数的情形：xe e e x xyx ,,2；x x x y x sin ,sin ,sin 2；x x x y x cos ,cos ,cos 2； y e e ey yx y,,2；yy y x y sin ,sin ,sin 2；y y y x y cos ,cos ,cos 2．4．确定积分的上、下限． 5．计算二次积分．四、分区域函数的二重积分若⎩⎨⎧∈∈=2211),(,),(),(,),(),(D y x y x f D y x y x f y x f ，则1212(,)(,)(,)DD D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰I I ．Ⅲ. 题型与例题一．概念与性质方法：1. 性质（*不等式，化为一元函数讨论） 2. 重积分是与积分变量无关的常数 【例1】设σd y x I D ⎰⎰+=221cos ，σd y x I D⎰⎰+=)cos(222， σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(，其中}1|),{(22≤+=y x y x D ，则 [ ]．(A) 123I I I >>． (B) 321I I I >>． (C) 312I I I >>． (D) 213I I I >>．分析：用重积分的不等式性质比较二重积分大小，关键在于比较22y x +、22yx +与222)(y x +在区域}1),{(22≤+=y x y x D 上的大小.【解】 在区域}1),{(22≤+=y x y x D 上，令r =有40r ≤≤2r 12r π≤≤<，由于x cos 在)2,0(π上为单调减函数，于是0cos r ≤2cos r ≤≤4cos r ，即 0≤)cos(22y x +≤≤222)cos(y x +，因此<+⎰⎰σd y x D22cos <+⎰⎰σd y xD)cos(22σd y xD⎰⎰+222)cos(，故应选)(A .注：(,)f x y 不变，D 变化，比较积分大小.【例2】设),(y x f 连续，且⎰⎰+=Ddxdy y x f xy y x f ),(),(，其中D 是由1,,02===x x y y 所围区域，则),(y x f 等于 [ ]．(A)xy ．(B)xy 2．(C)81+xy ．(D)1+xy ．【解】设(,)f x y xy C =+, 代入方程,得⎰⎰⎰⎰++=++=++=+2131121)()(x DC xy dy C xy dx xy dxdy C xy xy C xy 解得81=C ，所以，81),(+=xy y x f .故应选)(C .二. 二重积分的计算方法：1. 直角坐标 2.极坐标 【例3】计算二重积分⎰⎰-Ddxdy xy y 2，其中D 是由直线0,1,===x y x y所围成的平面区域．分析: 选择积分次序，先考虑区域，再考虑函数 【解】 二重积分. 先对x 积分.⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=-=-=100221022)(1y yDxy y d xy y dy y dx xy y dy dxdy xy y I 9232)(110210022==---=⎰⎰⎰dy y xy y d xy y dy y y .【例4】计算二重积分⎰⎰Ddxdy y ，其中D 是由直线2,0,2==-=y y x 以及曲线22y y x --=所围成的平面区域．分析：1. 直角坐标系下的积分次序. 2.可加性【解1】 }20,22|),{(2≤≤--≤≤-=y y y x y x D⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=--==---222220222)1(14222dy y y dy y y y ydy ydx dy dxdy y y y D24cos )sin 1(4sin 122π-=+-=-⎰tdy t t y【解2】 }20,02|),{(21≤≤≤≤--=y x y y y x Ddxdy y dxdy y dxdy y D D D D⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=+11，42021==⎰⎰⎰⎰-+ydy dx dxdy y D D在极坐标下 }sin 20,2|),{(1θπθπθ≤≤≤≤=r r D ，则2sin 38sin 242sin 2021πθθθθππππθ===⎰⎰⎰⎰⎰d dr r d dxdy y D ， 所以24π-=⎰⎰dxdy y D．【例5】（12218） 计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中区域D 为曲线1cos (0)r θθπ=+≤≤与极轴围成.【解】1cos 20cos sin Dxyd d r rdr πθσθθθ+=⋅⎰⎰⎰⎰142401116cos (1cos )cos sin 2()415t d t t dt -==++=⎰⎰πθθθθθ.三．利用对称性求二重积分【例6】（12206）设区域D 由曲线s i ny x =，2x π=±，1y =围成，则5(1)Dx y dxdy -=⎰⎰( ) )(A π. )(B 2. )(C 2-. )(D π-. 【解】由对称性5(1)Dx y dxdy π-=-⎰⎰. 故选)(D .【例7】设区域}0,0,4|),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，)(x f 为D 上的正值连续 函数，b a ,为常数，则=++⎰⎰Dd y f x f y f b x f a σ)()()()([ ]．(A)πab ．(B)π2ab． (C)π)(b a +．(D)π2ba +． 【解】 由轮换对称性，有=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()(σd x f y f x f b y f a D⎰⎰++)()()()(=σd x f y f x f b y f a y f x f y f b x f a D⎰⎰+++++])()()()()()()()([21 =.2241222ππσb a b a d b a D +=⋅⋅+=+⎰⎰ 应选)(D .四．交换次序方法: 1.21()()(,)bx ax dx f x y dx ϕϕ=⎰⎰(,)d d Df x y x y =⎰⎰21()()(,)dy cy dy f x y dx φφ⎰⎰.2. 21()()(cos ,sin )r r I d f r r rdr βθαθθθθ=⎰⎰(,)d d Df x y x y =⎰⎰.【例8】计算121124y xdy e dx ⎰⎰dx e dy yy xy ⎰⎰+121分析: 此次序下无法计算. 二合一. 【解】121124yxdy e dx ⎰⎰dx e dy yy xy ⎰⎰+121dy e dx xx xy ⎰⎰=2121.2183e e -= 【例9】（12303）设函数()f t 连续，则二次积分2222cos ()d f r rdr πθθ=⎰⎰( ))(A 222()dx x y d y +⎰. )(B 2220()dx f x y d y +⎰.)(C 222()dy x y dx +⎰. )(D 22201()dy f x y dx +⎰.【解】 )(B .五.分片函数(隐含)的积分【例9】设}0,0,2|),{(22≥≥≤+=y x y x y x D , ]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数, 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy ]1[22.解题思路 去掉取整函数符号，将积分区域分片. 当被积函数为分片函数时应利用积分的可加性分区域积分.【解】 令 }0,0,10),{(221≥≥<+≤=y x y x y x D ，}0,0,21),{(222≥≥≤+≤=y x y x y x D .则⎰⎰++Ddxdy y xxy ]1[22=⎰⎰⎰⎰+122D D xydxdy xydxdy1332201sin cos 2sin cos d r dr d dr ππθθθθθθ=+⎰⎰⎰=113.848+=六.广义二重积分（数三）方法：1. D 无界 2. (,)f x y 无界【例10】设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其它,00,21,),(2xy x y x y x f ，求积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(，其中}2|),{(22x y x y x D ≥+=．【解】=⎰⎰dxdy y x f D),(2049)(212221222=-==⎰⎰⎰-dx x x x ydy x dx x x x . 【例10*】（12316）计算二重积分xDe xydxdy ⎰⎰,其中区域D是以曲线yy =及y 轴为边界的无界区域.【解】由y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得交点坐标(1,1)1xx De xydxdy dx xydy =⎰⎰⎰1201(1)2x x e dx =-=⎰.七.综合题【例11】（11119）(11221) 已知函数),(y x f 具有二阶连续偏导数,且0),1(=y f ,0)1,(=x f ,a y x f D=⎰⎰),(,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D ,计算二重积分dxdy y x f xy Dxy⎰⎰''),(.【解】 ),(),(110y x f xyd dx dxdy y x f xy x Dxy'=''⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰⎰'-'='-'=1010101010),()1,(]),(01),([y d y x f x dx dx x f x dx y d y x f x y x f xy x x x x ⎰⎰⎰-=1011),()1,(y x df x dy x xdf⎰⎰⎰---=10101]),(01),([)1,(01)1,(dy dx y x f dy y x xf dx x f x xfa dxdy y x f D==⎰⎰),(.。
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d
b
dy f (x, y)dx
ca
c
a
D
12
其它类型的积分区域
X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
若区域如图，则必须分割.
在分割后的三个区域上分 别使用积分公式
D3 D1
D2
.
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx .
D
c
1( y)
11
矩形区域
D (x, y) | a x b, c y d
f (x, y)d
bd
[ f (x, y)dy]dx
b
dx
d
f (x, y)dy
ac
a
c
D
或
f (x, y)d
db
[ f (x, y)dx]dy
D
D1
D2
D3
13
例题与讲解
例：改变积分
1
dx
1x f ( x, y)dy 的次序
00
解： 积分区域如图
y 1 x
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
00
14
例题与讲解
例：改变积分
1
dx
2 xx2 f ( x, y)dy
2
dx
2 x
f ( x, y)dy
0
0
1
0
的次序
二重积分
一、二重积分的概念 二、二重积分的计算
1
曲顶柱体
引例1：曲顶柱体的体积
柱体体积=底面积×高 特点：平顶.
z f (x, y) D
柱体体积=？ 特点：曲顶.
2
复习曲边梯形的面积计算
1：分割 2：近似计算 3：求和 4：求极限
3
“分割,求和,取极限”思想的应用
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法，如下动画演示．
n
D
f
x,
f x, yd lim
0
D
y
叫做被积函数,
i 1
f
f i ,i
x, yd
i
叫做被积表达式,
d叫做面积元素, x与 y 叫做积分变量，
n
D
叫做积分区域， f i ,i 叫i 做积分和。 i 1
6
关于二重积分定义的说明
(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.
(2)当在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在， 即二重积分必存在.
7
直角坐标下计算二重积分
应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积” 的方法，可以在直角坐标下计算二重积分。
X-型积分区域D： a x b,
y 2(x)
D
y 1( x)
1( x) y 2( x).
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
a
b
其中函数1( x) 、2( x) 在区间 [a,b]上连续.
x为常量, 积分结果是x的函数
2：第二次关于x积分，x是积分 变量，积分结果是常数
10
Y-型积分区域上计算二重积分
Y-型积分区域D：c y d , 1( y) x 2( y).
［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
c
D
x 2( y)
垂直y轴作平行截面
f ( x, y)d
播放 4
求曲顶柱体体积的具体步骤
先分割曲顶柱体的底，z 并取典型小区域，
z f (x, y)
用若干个小平
顶柱体体积之
和近似表示曲
o
顶柱体的体积，x
D
n
i
曲顶柱体的体积 V
lim 0
i 1
f (i ,i ) i .
y
(i ,i )
5
二重积分的概念
定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数,将闭区
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法，如下动画演示．
29
求“曲顶柱体”体积的演示(4)
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法，如下动画演示．
30
求“曲顶柱体”体积的演示(5)
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法，如下动画演示．
31
求“曲顶柱体”体积的演示(6)
域D任意分成n个小闭区域 1, 2,…,n ,其中i
表示第i个小区域的面积;在每个i上任取一点(i,i) ,
作乘积 n
f(i,i)i
(i=1,2,…,n),并作和
f i ,i i ;如果当各小闭区域的直径中的最大值
i1
趋于零时,这和的极限存在,则称此极限为函数在闭
区域上的二重积分， 记作 f x, yd
1
dx
2x2
f (x, y)dy
1
x2
D
1
y
2
2 y
dy f (x, y)dx dy
f (x, y)dx
0
y
1
2 y
1
e
1
2x
2 : (1) dy f (x, y)dx (2) dx f (x, y)dy
0
ey
0
x
17
例题与讲解
例：求积分 ( x2 y)dxdy 其中D是由抛物线
极坐标下化二次积分(3)
若积分区域特征如下图
0 2, 0 r ( ).
r ( )
D
o
A
f (r cos ,r sin )rdrd
D
2 d ( ) f (r cos , r sin )rdr.
0
0
极坐标系下区域的面积 rdrd.
23
何时用极坐标计算
条件 : (1)当积分区域是圆或圆的一部分时或 (2)被积函数为 f (x2+y2)等形式
24
例题与讲解
例：计算 ex2 y2dxdy 其中D 是由中心在原点,
D
半径为a的圆周所围成的闭区域。
解：由于积分区域为圆域，被积函数是 f(x2+y2) 形式，故采用极坐标计算
在极坐标系下
D：0 r a，0 2.
ex2 y2dxdy
D
2
d
a e r2 rdr
0
0
(1 e a2 ).
ri ri i
1 2
(ri
)2
i
r
ri
i i i
D
i
o
d rdrd
A
r不能遗漏!
f (x, y)d f (r cos , r sin )rdrd.
D
20
极坐标下化二次积分(１)
若积分区域特征如下图
r 1()
,
D
r 2()
1( ) r 2( ).
o
f (r cos ,r sin )rdrd r 1()
ax
bx
y 1(x)
得
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x ) f ( x, y)dy .
a
1( x)
D
9
化二重积分为累次积分
f (x, y)d
b
[
2 (x)
f (x, y)dy]dx
D
a 1 ( x)
b
dx
2 (x)
f (x, y)dy(称为累次积分)
a
1 ( x)
1：第一次关于y积分，y是积分变量，
8
X-型积分区域上计算二重积分
将二重积分的值看作以D为底,以z=f(x,y)为曲
面的“曲顶柱体”体积。
应用计算“平行截
z
z f (x, y)
面面积为已知的立
体求体积”的方法, y 垂直x轴作平行截面。
A( x)
A(x)
2 (x)
y 2(x)
f (x, y)dy
1 ( x)
b
D f (x, y)dxdy a A(x)dx
D
D
d
2( ) f (r cos ,r sin )rdr.
1 ( )
o
A
r2()
A
21
极坐标下化二次积分(2)
若积分区域特征如下图
,
D
0 r ( ).
o
f (r cos ,r sin )rdrd
D
d
( ) f (r cos , r sin )rdr.
0
r ( ) A
22
25
例题与讲解
例: 计算 I ex2 y2 d 其中D (x, y)1 x2 y2 4 D
分析：由于积分区域为圆环，被积函数 是 f (x2+y2) 形式，故采用极坐标计算
解：I＝
er2 rdrd
2
dr
2 er2 rd
1
0
Ω
2 2 rer2 dr 2 er2 dr2 (e4 e)
(3)在直角坐标系中,若用平行于坐标轴的直线网划
分,则 f x, yd f x, ydxdy; 面积元素d dxdy
D
D
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
当被积函数小于零时,二重积分是柱体体积的负值． 一般，D上的二重积分等于部分区域上的柱体体积 的代数和。
二重积分仅与积分区域D、被积函数f(x,y)有关
解： e y2 dy无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx