第4章 轴对称问题和空间问题有限元法
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三维问题有限元分析(包括轴对称问题)
平衡方程
建立每个有限元的平衡方程，通过求解这些方程来得到近似解。
离散化
将连续的问题离散化，将整个求解域划分为有限个小的子域（称为有限元），每个子域上定义节点。
有限元方法的基本原理
解方程
通过求解整体矩阵的方程，得到各个节点的值，从整体矩阵，用于表示整个求解域上的问题。
详细描述
三维弹性力学问题的有限元分析
总结词
详细描述了三维热传导问题有限元分析的基本原理、方法和应用。
详细描述
三维热传导问题是有限元分析的另一个重要领域，主要研究热量在物体中的传递和分布。通过将连续的物体离散化为有限个小的单元，可以建立单元之间的热量传递关系，从而得到整个物体的温度分布。这种方法广泛应用于工程领域，如传热学、热能工程等。
边界条件处理
轴对称问题的有限元方法
轴对称问题有限元分析的实现流程
建立系统方程
根据有限元近似解法，将微分方程转化为离散化的系统方程。
划分网格
根据问题的几何形状和特点，将求解区域划分为一系列离散的网格单元。
建立数学模型
根据实际问题，建立相应的数学模型，包括物理方程、边界条件和初始条件。
求解系统方程
采用适当的数值方法（如直接法、迭代法等），求解离散化的系统方程，得到每个离散单元上的近似解。
轴对称问题具有旋转对称性，即其解在绕对称轴旋转时保持不变。
轴对称问题的定义和特性
特性
定义
将连续的物理问题离散化为有限个离散的单元，每个单元具有特定的形状和大小。
离散化
在每个离散单元上，使用近似函数来逼近真实解。常用的近似函数包括多项式、样条函数等。
近似解法
对于轴对称问题，边界条件通常与对称轴相关。需要对边界条件进行特殊处理，以确保离散化后的系统方程满足原始问题的约束。
建立每个有限元的平衡方程，通过求解这些方程来得到近似解。
离散化
将连续的问题离散化，将整个求解域划分为有限个小的子域（称为有限元），每个子域上定义节点。
有限元方法的基本原理
解方程
通过求解整体矩阵的方程，得到各个节点的值，从整体矩阵，用于表示整个求解域上的问题。
详细描述
三维弹性力学问题的有限元分析
总结词
详细描述了三维热传导问题有限元分析的基本原理、方法和应用。
详细描述
三维热传导问题是有限元分析的另一个重要领域，主要研究热量在物体中的传递和分布。通过将连续的物体离散化为有限个小的单元，可以建立单元之间的热量传递关系，从而得到整个物体的温度分布。这种方法广泛应用于工程领域，如传热学、热能工程等。
边界条件处理
轴对称问题的有限元方法
轴对称问题有限元分析的实现流程
建立系统方程
根据有限元近似解法，将微分方程转化为离散化的系统方程。
划分网格
根据问题的几何形状和特点，将求解区域划分为一系列离散的网格单元。
建立数学模型
根据实际问题，建立相应的数学模型，包括物理方程、边界条件和初始条件。
求解系统方程
采用适当的数值方法（如直接法、迭代法等），求解离散化的系统方程，得到每个离散单元上的近似解。
轴对称问题具有旋转对称性，即其解在绕对称轴旋转时保持不变。
轴对称问题的定义和特性
特性
定义
将连续的物理问题离散化为有限个离散的单元，每个单元具有特定的形状和大小。
离散化
在每个离散单元上，使用近似函数来逼近真实解。常用的近似函数包括多项式、样条函数等。
近似解法
对于轴对称问题，边界条件通常与对称轴相关。需要对边界条件进行特殊处理，以确保离散化后的系统方程满足原始问题的约束。
第4章 空间问题有限元分析-轴对称
Re N T f p
FL e 2 r0 N T 62 f p 21
圆环 2 r0 Ni f pr Ni f pz N j f pr
N j f pz
Nm f pr
T
Nm f pz
r0 -- 集中力作用点的径向坐标。
2019/10/18
第4章 空间问题有限元分析 空间轴对称问题
曹国华
2019/10/18
空间有限元分析-轴对称
1
主要内容
§ 4.1位移模式 § 4.2几何方程 § 4.3单元刚度 § 4.4等效载荷
2019/10/18
空间有限元分析-轴对称
3
1、研究对象
当弹性体的几何形状，约束情况，以及所受的外力都 轴对称于某一轴，则这种弹性体的应力分析问题称为轴对 称应力分析问题，在工程中如 活塞，压力容器等 。
空间有限元分析-轴对称
12
几何方程与物理方程
PA线应变
0，（略去高阶小量）.
PB线应变
εφ
PB PB PB
(u
φ
uφ φ
d φ)
u
ρdφ
1 uφ ; ρ φ
PA转角
α
DA
uφ ρ
d
ρ
uφ
,
PA d ρ ρ
2019/10/18
空间有限元分析-轴对称
空间有限元分析-轴对称
28
等效载荷
r Niri N j rj Nmrm
2、体积力移置
FFGee 2 [N] f rdrdz
若体积力为重，则单位体积 的力为
f
＝－0
有限元ppt课件
15
里兹法:
选择一个定义于整个求解域 并满足边界条件的试探函数
将试探函数代入泛函表 达式,建立线性方程
求解方程 计算系数
16
设有边值问题
d2 y dx2
y
1
0
(1-8)
y(0) 0, y(1) 0
通过数学推导，求得其泛函为
I y(x) 1(1 y2 1 y2 y)dx
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
边值问题的求解
泛函极值的求解
泛函:给定满足一定条件的函数集合A:{y(x)},和实数 集合R。设y(x)是A中的函数,V是R中的变量,若A和V 之间存在一个对应关系,就是A中的每个函数y(x),R 中都有唯一的V值与之对应,则称V是函数y(x)的泛函,
记为V=V(y(x))。
A称为泛函的定义域,可变函数y(x)称为自变函数,依赖 自变函数而变的量V,称为自变函数的泛函。
U T dV V
单位体积内的虚应变能为
U T
U
U
o
43
2.虚位移原理 虚位移原理又称虚功原理,是最基本的能量原理.
虚位移原理:如果在虚位移发生之前弹性体是平衡的, 那么在虚位移发生时,外力在虚位移上所做的功就等 于弹性体的虚应变能,即
里兹法:
选择一个定义于整个求解域 并满足边界条件的试探函数
将试探函数代入泛函表 达式,建立线性方程
求解方程 计算系数
16
设有边值问题
d2 y dx2
y
1
0
(1-8)
y(0) 0, y(1) 0
通过数学推导，求得其泛函为
I y(x) 1(1 y2 1 y2 y)dx
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
边值问题的求解
泛函极值的求解
泛函:给定满足一定条件的函数集合A:{y(x)},和实数 集合R。设y(x)是A中的函数,V是R中的变量,若A和V 之间存在一个对应关系,就是A中的每个函数y(x),R 中都有唯一的V值与之对应,则称V是函数y(x)的泛函,
记为V=V(y(x))。
A称为泛函的定义域,可变函数y(x)称为自变函数,依赖 自变函数而变的量V,称为自变函数的泛函。
U T dV V
单位体积内的虚应变能为
U T
U
U
o
43
2.虚位移原理 虚位移原理又称虚功原理,是最基本的能量原理.
虚位移原理:如果在虚位移发生之前弹性体是平衡的, 那么在虚位移发生时,外力在虚位移上所做的功就等 于弹性体的虚应变能,即
轴对称问题的有限元分析
第1节基本知识本节的有限元对象为轴对称问题，目的是学习将3D问题转化为2D问题分析的轴对称方法，涉及如何选取轴对称单元、建模规律、载荷的施加方法和后处理技术。
一、轴对称问题的定义轴对称问题是指受力体的几何形状、约束状态，以及其它外在因素都对称于某一根轴（过该轴的任一平面都是对称面）。
轴对称受力体的所有应力、应变和位移均对称于这根轴。
二、用ANSYS解决2D轴对称问题的规定用ANSYS解决2D轴对称问题时，轴对称模型必须在总体坐标系XOY平面的第一象限中创建，并且Y轴为轴旋转的对称轴。
求解时，施加自由约束、压力载荷、温度载荷和Y方向的加速度可以像其它非轴对称模型一样进行施加，但集中载荷有特殊的含义，它表示的是力或力矩在360°范围内的合力，即输入的是整个圆周上的总的载荷大小。
同理，在求解完毕后进行后处理时，轴对称模型输出的反作用力结果也是整个圆周上的合力输出，即力和力矩按总载荷大小输出。
在ANSYS中，X方向是径向，Z方向是环向，受力体承载后的环向位移为零，环向应力和应变不为零。
常用的2D轴对称单元类型和用途见表11-1。
表11-1 2D轴对称常用结构单元列表的高阶单的高阶单在利用ANSYS进行有限元分析时，将这些单元定义为新的单元后，设置单元配置项KEYOPT（3）为Axisymmetric(Shell51和Shell61单元本身就是轴对称单元，不用设置该项)，单元将被指定按轴对称模型进行计算。
后处理时，可观察径向和环向应力，它对应的是SX与SZ应力分量，并且在直角坐标系下观察即可。
可以通过轴对称扩展设置将截面结果扩展成任意扇型区域大小的模型，以便更加真实地观察总体模型的各项结果。
轴对称问题有限元分析实例 2D节2第p=1000 N/mF2y611xO61211-1 圆柱筒壳示意图图——圆柱筒的静力分析一、案例1问题，直0.1 m1000 N/m的压力作用，其厚度为如图11-1所示，圆柱筒材质为A3钢，受，并且圆柱筒壳的下部轴线方向固定，其它方向自由，试计算其变形、mm，高度为16 径12径向应力和轴向应力。
空间轴对称问题
与平面轴对称类似，空间轴对称图形也具有镜 像对称的性质。
空间轴对称在三维几何、建筑设计、工程学等 领域中具有重要的应用。
03 空间轴对称问题的分类
点对称问题
定义
点对称是指一个图形关于某一点 对称，即对于图形上的任意一点，
都存在一个关于该点对称的点在 图形上。
性质
点对称图形的任意两点关于对称中 心对称，且对称中心到两点的距离 相等。
• 推动相关领域的进步：空间轴对称问题在物理、化学、工程等领域也有广泛的 应用。对其进行研究不仅有助于解决这些领域中的实际问题，还能推动相关领 域的进步和发展。例如，在物理学中，空间对称性对于理解基本粒子和相互作 用具有重要意义；在化学中，分子的空间对称性与其物理和化学性质密切相关 ；在工程领域，利用空间对称性可以优化结构设计和提高工程效率。
• 揭示自然现象的内在规律：许多自然现象都表现出一定的空间对称性。对这些 现象进行研究有助于揭示其内在规律，并加深我们对自然界的认识和理解。例 如，在晶体学中，晶体的结构往往具有高度的空间对称性，这种对称性不仅决 定了晶体的物理和化学性质，还反映了晶体形成过程中的内在规律。
THANKS FOR WATCHING
未来研究方向探讨
深入研究复杂图形的空间对称性
目前对于简单图形的空间对称性已有较深入的研究，但对于复杂图形（如分形、不规则图 形等）的空间对称性仍需进一步探讨。
拓展空间轴对称问题的应用领域
除了在数学领域的研究外，空间轴对称问题在物理、化学、工程等领域也有广泛的应用前 景。未来可以进一步拓展其应用领域，并探索其在解决实际问题中的潜力。
感谢您的观看
坐标法
01
02
03
建立坐标系
根据题目条件，选择合适 的点作为坐标原点，建立 空间直角坐标系。
空间轴对称在三维几何、建筑设计、工程学等 领域中具有重要的应用。
03 空间轴对称问题的分类
点对称问题
定义
点对称是指一个图形关于某一点 对称，即对于图形上的任意一点，
都存在一个关于该点对称的点在 图形上。
性质
点对称图形的任意两点关于对称中 心对称，且对称中心到两点的距离 相等。
• 推动相关领域的进步：空间轴对称问题在物理、化学、工程等领域也有广泛的 应用。对其进行研究不仅有助于解决这些领域中的实际问题，还能推动相关领 域的进步和发展。例如，在物理学中，空间对称性对于理解基本粒子和相互作 用具有重要意义；在化学中，分子的空间对称性与其物理和化学性质密切相关 ；在工程领域，利用空间对称性可以优化结构设计和提高工程效率。
• 揭示自然现象的内在规律：许多自然现象都表现出一定的空间对称性。对这些 现象进行研究有助于揭示其内在规律，并加深我们对自然界的认识和理解。例 如，在晶体学中，晶体的结构往往具有高度的空间对称性，这种对称性不仅决 定了晶体的物理和化学性质，还反映了晶体形成过程中的内在规律。
THANKS FOR WATCHING
未来研究方向探讨
深入研究复杂图形的空间对称性
目前对于简单图形的空间对称性已有较深入的研究，但对于复杂图形（如分形、不规则图 形等）的空间对称性仍需进一步探讨。
拓展空间轴对称问题的应用领域
除了在数学领域的研究外，空间轴对称问题在物理、化学、工程等领域也有广泛的应用前 景。未来可以进一步拓展其应用领域，并探索其在解决实际问题中的潜力。
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坐标法
01
02
03
建立坐标系
根据题目条件，选择合适 的点作为坐标原点，建立 空间直角坐标系。
空间与轴对称问题有限元分析课件
02
CATALOGUE
有限元分析基础
有限元分析的基本概念
有限元分析是一种数值分析方法，通过将复杂 的物理系统离散化为有限个简单元（或称为元 素）的组合，以求解复杂系统的物理行为。
它基于变分原理和加权余量法，通过数学模型 将实际工程问题转化为数学问题，从而得到近 似的数值解。
有限元分析广泛应用于工程领域，如结构分析 、流体动力学、电磁场等。
求解线性方程组
通过求解线性方程组得到每个节 点的位移和应力等物理量。
有限元分析的常用软件
ANSYS
功能强大的有限元分析软件，适用于各种工 程领域。
COMSOL Multiphysics
多物理场有限元分析软件，适用于模拟复杂 的多物理场耦合问题。
ABAQUS
专业的有限元分析软件，广泛应用于结构分 析、流体动力学等领域。
空间与轴对称问题有限元分析的优缺点
01
数值误差
有限元分析依赖于离散化的网格 ，存在数值误差，可能影响结果 的精度。
建模难度
02
03
计算资源需求
对于复杂问题的建模，需要较高 的专业知识和技巧，建模难度较 大。
对于大规模问题，有限元分析需 要大量的计算资源，如内存和计 算时间。
未来发展方向与挑战
优化算法
建筑领域
建筑设计中的对称和均衡问题需要考虑空间对称 性，以提高建筑的美观性和稳定性。
机械工程领域
机械零件的形状和结构需要考虑轴对称性，以确 保零件的稳定性和可靠性。
空间与轴对称问题的解析方法
解析法
通过数学公式和定理推导出问题的解 ，适用于简单的问题和特定条件下的 求解。
有限元法
将问题分解为有限个小的单元，通过 求解每个单元的近似解来逼近原问题 的解，适用于复杂的问题和不规则区 域的处理。
第四章轴对称问题
第四章 轴对称问题的有限单元法
主要内容： 4-1轴对称问题有限单元法 4-2空间问题常应变四面体单元
轴对称结构体可以看成由任意
一个纵向剖面绕着纵轴旋转一周而 形成。此旋转轴即为对称轴，纵向 剖面称为子午面，如图4-1表示一 圆柱体的子午面abcd被分割为若干 个三角形单元，再经过绕对称轴旋 转，圆柱体被离散成若干个三棱圆 环单元，各单元之间用圆环形的铰 链相连接。对于轴对称问题，采用 圆柱坐标较为方便。以弹性体的对 称轴为z轴，其约束及外载荷也都 对称于z轴，因此弹性体内各点的 各项应力分量、应变分量和位移分 量都与环向坐标θ无关，
zi , z j , zm, ri , rj , rm 及结点位移ui , uj , um, wi , w j , wm代入式（4-4）中,可以 解出六个待定系数 1, 2, 。,再6 将这些待定系数回代到式 （4-4）中，就可以得到由结点位移和形函数所表示的单元内任 一点的位移表达式
u Ni ui N j u j Nmum w Ni wi N j w j Nmwm
bi A1 fi
Si
2 A3 A
A1
bi
A1bi A2ci
fi fi
A1ci
ci
i, j, m
A1ci A2bi
返回
其中
u A1 1 u
，
1 2u
A2 21 u
，
1 uE A3 41 u1 2u
从（4-14）式可知，只有剪应力在单元中是常数，而其他 三个正应力在单元中都不是常数，与坐标r和z有关。同样 采用形心坐标和来代替，每个单元近似地被当作常应力单 元，所求得的应力是单元形心处的应力近似值。
e1
e1
这就是求解结点位移的方程组，写成标准形式
主要内容： 4-1轴对称问题有限单元法 4-2空间问题常应变四面体单元
轴对称结构体可以看成由任意
一个纵向剖面绕着纵轴旋转一周而 形成。此旋转轴即为对称轴，纵向 剖面称为子午面，如图4-1表示一 圆柱体的子午面abcd被分割为若干 个三角形单元，再经过绕对称轴旋 转，圆柱体被离散成若干个三棱圆 环单元，各单元之间用圆环形的铰 链相连接。对于轴对称问题，采用 圆柱坐标较为方便。以弹性体的对 称轴为z轴，其约束及外载荷也都 对称于z轴，因此弹性体内各点的 各项应力分量、应变分量和位移分 量都与环向坐标θ无关，
zi , z j , zm, ri , rj , rm 及结点位移ui , uj , um, wi , w j , wm代入式（4-4）中,可以 解出六个待定系数 1, 2, 。,再6 将这些待定系数回代到式 （4-4）中，就可以得到由结点位移和形函数所表示的单元内任 一点的位移表达式
u Ni ui N j u j Nmum w Ni wi N j w j Nmwm
bi A1 fi
Si
2 A3 A
A1
bi
A1bi A2ci
fi fi
A1ci
ci
i, j, m
A1ci A2bi
返回
其中
u A1 1 u
，
1 2u
A2 21 u
，
1 uE A3 41 u1 2u
从（4-14）式可知，只有剪应力在单元中是常数，而其他 三个正应力在单元中都不是常数，与坐标r和z有关。同样 采用形心坐标和来代替，每个单元近似地被当作常应力单 元，所求得的应力是单元形心处的应力近似值。
e1
e1
这就是求解结点位移的方程组，写成标准形式
轴对称问题
(i , j , m )
由上式可见，单元内应变 εr、εz、γrz都是常量，但φi, φj, φm与各单元中各点的位置(r, z)有关，环向应变εθ不是常量； 当结构包含对称轴(r = 0)在内时，φi , φj , φm是奇异的， 这将给数值计算带来困难。
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
- 16 -
z j
wj uj wi ui
单元结点力向量：
wm um
i m
{ f }e
⎧ fi ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨fj ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ f m ⎭ 6×1
r
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
- 11 -
4.2 三结点三角形轴对称单元
4.2.2 单元位移模式 由于有三个结点，在r方向和z方向上各有三个结点条件， 因此设它的单元位移模式为
u ( r , z ) = α1 + α 2 r + α 3 z ⎫ ⎬ w(r , z ) = α 4 + α 5 r + α 6 z ⎭
该位移模式与平面问题三结点三角形单元完全相同。同样， 将结点坐标和结点位移代入上式可得到单元内部位移
⎧ ui ⎫ ⎪w ⎪ ⎪ i⎪ 0 ⎤ ⎪uj ⎪ e ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ = [ N (r , z )]{δ } Nm ⎥ ⎪ wj ⎪ ⎦ ⎪ um ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ wm ⎪ ⎩ ⎭
-5-
4.1 基本概念
4.1.2 基本方程 ①平衡方程
∂σ r ∂τ zr σ r −σ θ + + + br = 0 ∂r ∂z r ∂σ z ∂τ rz τ rz + + + bz = 0 ∂z ∂r r ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
空间与轴对称问题有限元分析
划分网格
将连续的求解域离散化为有限个简单 元，形成网格。
建立刚度矩阵和载荷向量
根据每个简单元的特性，建立刚度矩 阵和载荷向量，以描述简单元之间的 力和力矩关系。
求解线性方程组
通过求解线性方程组，得到每个节点 的位移和应力分布。
有限元分析的优势与局限性
优势
有限元方法具有较高的灵活性和通用性，可以处理复杂的几何形状和边界条件， 适用于各种物理问题的求解。此外，有限元方法可以通过并行计算等技术提高 计算效率。
05
空间与轴对称问题有限元分析 的未来发展
新型有限元方法的研究与应用
混合有限元方法
结合不同类型有限元的优点，以更好地适应复 杂问题的需求。
自适应有限元方法
根据问题求解的实际情况，自动调整有限元的 尺寸和形状，以提高求解精度和效率。
非标准有限元方法
针对特定问题开发非标准的有限元，以获得更好的求解效果。
复杂空间与轴对称问题的挑战与解决方案
高维空间问题
01
随着问题维度的增加，有限元的构造和求解变得更加复杂，需
要发展更高效的算法和软件。
不规则区域问题
02
有限元的构造和处理在不规则区域上更具挑战性，需要研究新
的方法和技巧。
多物理场耦合问题
03
多物理场耦合的空间与轴对称问题需要发展能够同时处理多个
物理场的有限元方法。
误差估计
对称性有助于更准确地估计误差。
空间对称性问题的有限元模型建立
01
02
03
定义对称轴
明确对称轴的位置，以便 在建立模型时考虑对称性。
选取合适的有限元
根据对称性选择合适的有 限元类型，如四边形、六 面体等。
建立对称约束
5_轴对称问题有限元分析
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
13 /54
单元刚度矩阵
同平面问题一样， 同平面问题一样， 用虚位移原理推导单元刚度矩 在轴对称情况下，单元的虚 阵。在轴对称情况下，单元的 虚位移方程为
(u ) F = ∫∫∫ (ε ) σ rdrdθ dz
e* T e *
T
(5.17)
0 0 cm bm
( m = i, j , k )
(5.12)<<构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
8 /54
单元应变与应力
由此可见， 轴对称问题的几何方程式(5.11)， 由此可见， 轴对称问题的几何方程式 ， 在形式上 和平面问题是一样的， 和平面问题是一样的，但是轴对称问题中的 B 和 ε 并不完 全是常量元素， 的函数， 全是常量元素，其中各点的应变将随 r 、z 的函数，故 B 是 的函数。 r 、 z 的函数。 由于 B 是 r 、z 的函数， 的函数， 所以单元中各点的应变将随 r 、 而变化，即单元中各点的应变不同。为了简化计算， z 而变化，即单元中各点的应变不同。为了简化计算，通 常用单元形心坐标 ( z , r ) 近似代替 f i 中的 r 、 z 值，即用单 处的应变作为单元的平均应变， 元形心 ( z , r ) 处的应变作为单元的平均应变，变成常应变 单元， 单元，即
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang 9 /54
单元应变与应力
1 z ≈ z = ( zi + z j + zk ) 3 1 r ≈ r = ( ri + rj + rk ) 3 am cm z fm ≈ fm = + bm + r r
第四章 有限元法优秀课件
劳分析
2）热分析
热分析用于确定物体中 的温度分布。考虑的物理量 是：热量、热梯度、热通量。
有限元可模拟三种热传 递方式（热传导、热对流、 热辐射），可进行稳态分析 和瞬态分析，还可模拟相变 （蒸发与冷凝、熔化及凝固）
3）电磁分析
电磁分析用于计算电磁装置 中的磁场，考虑的物理量是：磁 通量密度、磁场密度、磁力和磁 力矩、阻抗、电感、涡流、能耗 及磁通量泄漏等。
单元形函数描述的是给定单元的一种假定的 特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度 直接影响求解精度。
响应值二次分布
.
.
二次曲线的线性近似 (不理想结果)
真实的二次曲线
.
.
1 节点
单元
2 节点
单元
线性近似(更理想的结果)
真实的二次曲线
.. . . .
二次近似 (接近于真实的二次近 似拟合) (最理想结果)
.
.
3 节点
单元
4 节点
单元
n如果单元形函数不能精确描述单元内部的响应， 就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据 是通过单元形函数推导出来的。 n当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择 并接受该种单元类型所假定的单元形函数。 n在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下， 必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确 描述所要求解的问题。
载荷
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
. . 2 nodes ...
1 node
...
A
B
.. .
A
B
...
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
3）有限元模型（node） 有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由
2）热分析
热分析用于确定物体中 的温度分布。考虑的物理量 是：热量、热梯度、热通量。
有限元可模拟三种热传 递方式（热传导、热对流、 热辐射），可进行稳态分析 和瞬态分析，还可模拟相变 （蒸发与冷凝、熔化及凝固）
3）电磁分析
电磁分析用于计算电磁装置 中的磁场，考虑的物理量是：磁 通量密度、磁场密度、磁力和磁 力矩、阻抗、电感、涡流、能耗 及磁通量泄漏等。
单元形函数描述的是给定单元的一种假定的 特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度 直接影响求解精度。
响应值二次分布
.
.
二次曲线的线性近似 (不理想结果)
真实的二次曲线
.
.
1 节点
单元
2 节点
单元
线性近似(更理想的结果)
真实的二次曲线
.. . . .
二次近似 (接近于真实的二次近 似拟合) (最理想结果)
.
.
3 节点
单元
4 节点
单元
n如果单元形函数不能精确描述单元内部的响应， 就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据 是通过单元形函数推导出来的。 n当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择 并接受该种单元类型所假定的单元形函数。 n在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下， 必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确 描述所要求解的问题。
载荷
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
. . 2 nodes ...
1 node
...
A
B
.. .
A
B
...
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
3）有限元模型（node） 有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由
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(1 )(1 2) 1 1
1
0
0
0
0
1 2 2(1 )
7
轴对称单元的特点(与平面三角形单元的区别)
轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；
节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；
单元边界是一回转面；
应变分量 中出现了 ur r ，即应变不是常量；
且应变矩阵在r→0时，存在奇异点，需特殊处
由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到，
为简化计算可以用三角形单元形心位置的坐标 rc , zc代替 B 矩阵中的变
量 。r, z
rc
1 3
(ri
rj
rm )
zc
1 3
(
zi
zj
zm )
实践证明采用近似积分也能达到一定的精度，具体对于三角形环单元
用形心处坐标代替应变矩阵中的坐标变量。
uj wj
N
q
um
wm
单元应变：
将单元位移函数代入几何方程得：
u r
1 2A (biuiBiblioteka bju jbmum )
u r
1 2A
(
fi
ui
f
ju j
f mum )
11
其中，
fs
as r
bs
cs zs r
(s i, j, m)
w z
1 2A
(ci
wi
cjwj
cmwm )
u z
1 2A (ciui
Fe
Fir
Fiz
＝
２A
15
9rc2
0
2ri2
rjrm
(3) 分布面力移置
(i，j，m)
设rz平面上单元ijm的ij边有线性分布的径向表面力，在节点i, j
的集度分别为 pi ， p j ，ij边的边长l。此时
有，pr pi Ni p j N j ，pz 0，于是节点i的等效节点载荷为
z
T zr
其中 r表示沿半径方向的正应变，称为径向正应变；表示沿 方向的 正应变，称为环向正应变或切向正应变； z表示沿ｚ方向的正应变，称
为轴向正应变； zr表示沿ｒ和ｚ方向的剪应变。
在轴对称问题中，弹性体内任意一点上，不存在切向位移，只存在
径向位移 u 和轴向位移 w ，两个位移分量表示为，
基本方程
A1
(bs A2cs
fs fs )
A1cs
A1cs
cs A2bs
(s i, j, m)
14
3.单元刚度矩阵 有了单元应力场和应变场，可以利用虚位移原理或最小势能原理建
立单元刚度矩阵
K e 2 BT DBrdrdz
单元刚度矩阵的分块矩阵为
Ksp 2 BsT DBprdrdz (s, p i, j, m)
轴对称及空间问题有限元法
上海工程技术大学机械工程学院 工程力学部
1
第一节 轴对称问题有限元法 第二节 空间问题有限元法
2
§4-1 轴对称问题有限元法
一. 轴对称问题的定义
工程中有一类结构，它们的几何形状、约束条件及作用的荷载都对称 于某一固定轴(可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周的结果)，其力学分
A1cs
A1cs
cs A2bs
(s i, j, m)
由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到，为
简化计算可以用三角形单元形心位置的坐标 rc , zc 代替 B 矩阵中的变量，将
单元中的r和z近似地当作常量，并且分别等于 rc , zc 。
r
rc
1 3
(ri
rj
rm )
z
单元、曲边六面体单元 、轴对称单元。（2）结点位移3个分量。（3）基
本方程比平面问题多。3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。 21
• 4结点四面体单元：是空间问题最简单的单元，也是常应变、常应 力单元，可以类似平面问题三结点三角形单元进行分析。
• 8结点长方体单元：可以类似平面四结点矩形单元进行分析。 • 8结点直边六面体单元：可以类似平面四结点任意四边形等参元分
c
ju j
cmum )
w r
1 2A (bi wi
bjwj
bmwm )
用几何矩阵表示单元的应变：
ε Bq B [Bi Bj Bm ]
bs 0
Bs
1 2A
fs 0
cs
0
cs bs
(s i, j, m)
由于
f
在是坐标
s
r、z
的函数，
分量在单元中不为常量，其它三
个应变分量在单元中仍为常量。几何矩阵B 不再是常数，轴对称三角形
zc
1 3
( zi
zj
zm )
13
fs
as rc
bs
cs zcs rc
(s i, j, m)
经过简化，就可以把各个单元近似地当作常应变单元。
bs 0
Bs
1 2A
fs 0
cs
0
cs bs
(s i, j, m)
bs fs
Ss
DBs
E(1 ) 2(1 )(1 2) A
A1bs
d u wT
z
P(r, z, )
1.平衡方程
r
r
zr
z
Xr
0
z
z
zr
r
zr
r
Xz
0
z wy
ru
x
5
2.几何方程
u
r
rzz
r u r w z u w z r
A
u w
A
N
q Bq
u
x
x
y
v y w
z xy yz zx
析称为轴对称问题。典型例子为烟囱、储液罐等受恒载作用。
1.离散化 由于可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周的结果，因此轴 对称问题分析可在子午面内划分单元，实际是取子午面内图形绕对称轴旋 转所得“圆环形单元”对物体进行离散。因此可用的单元与平面问题一样。
2.应力和应变 对轴对称问题进行分析一般取柱坐标系，对称轴为Z轴，
单元自重移置到节点i，j，m上的等效节点载荷为
Fi e
Fir
Fiz
０
－
A
６
3rc
ri
(i，j，m)
如果单元离开对称轴较远（ rc r ri rj rm ） 可认为将1/3的 自重移置到每个节点上。
18
➢若体积力为惯性离心力，则单位体积的力为
f
＝0
2r
单元离心力移置到节点i，j，m上的等效节点力
15
应变矩阵变成：
B Bi
Bj
Bm
其中：
bs
Bs
1 2A
as
rc
bs cs zc 0
0
0
(s i, j, m)
cs
单元刚度矩阵的近似表达式为： cs
bs
K e 2 rc BT DB
单元刚度矩阵的分块矩阵近似表达式为：
Ksp 2 rc BsT DBp
bsbp
fs f p A1(bs A1(csbp cs
aj bj cj
am bm
ui uj
cm um
4 5 6
1 2A
abii ci
aj bj cj
am bm
wi wj
cm wm
1 其中：A 1 1
2
ri rj
zi zj
1 rm zm
ai rj zm zmrj
bi z j zm
ci rm rj
a j rm zi zirm
z u y v z
v x w y
x 0
0 y 0
0
y
0
x z
0
0
z
0
u
v
w
y
w x
u z
z
0
x6
2.物理方程
r
D
rzz
1
1 1
0
D
E(1 )
1
1
1
0
f p fsbp ) f p ) A2bscp
A2cs c p
fs
as r
bs
cs zs r
(s i, j, m)
A1(bscp cs c p
fscp ) A2csbp A2bsbp
16
4.总刚度矩阵集成
求出了每一个三角形单元的刚度矩阵后，按照平面问题介绍的总刚 矩阵的集成方法，就可以得到结构的总刚矩阵。
径向为r 轴，环向为θ轴。
z
对称面上任一点p只会在该对称面上发生位移，
P(r, z, )
即所有的应力、应变和位移只是z和r的函数，而
与坐标θ无关。那么轴对称问题就可转化为二维
平面问题来进行研究。但因与平面问题有区别，
zw y
常称二维半问题。
ru
3
x
b
a
y
z p
x
如图所示的受均布内压作用的长圆筒，通过z轴的一个纵截面就是对
bj zm zi
c j ri rm
am ri z j z jri
bm zi z j
cm rj ri
形函数：Ns
1 2A
(as
bsr
cs z)
(s i, j, m)
10
用矩阵表示的单元位移为：
ui
wi
d
u w
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
高斯消去法、 波前法等