材料力学第04章 杆件变形分析

T T j dj dx l 0 GI GI P P
l
Tl 0 dx GI P
l
乘积GIP称为圆轴截面的抗扭刚度（torsion rigidity）
对于扭矩、横截面或剪切弹性模量沿杆轴逐段变化的圆
截面轴，其扭转变形为
Ti li j i 1 Gi I Pi
式中，Ti、li、Gi与IPi分别为轴段i的扭矩、长度、剪切 弹性模量与极惯性矩，n为杆件的总段数。
j [j ]
式中，[j ]为许用扭转角。
例4-3 图4-5所示圆截面轴AC，承受外力偶矩MA、MB和 MC作用。试计算该轴的总扭转角jAC（截面C相对于截面A的 扭转角），并校核轴的刚度。已知MA=180N· m， MB=320N· m，MC=140N· m，IP=3.0×105mm4，l=2m， G=80GPa，[j′]=0.5°/m。
第一节
杆件轴向拉压变形
当杆件承受轴向载荷时，其轴向尺寸和横向尺寸均发生 变化，杆件沿轴线方向的变形，称为轴向变形（axial deformation）；垂直于轴线方向的变形，称为横向变形 （lateral deformation）。 1．拉压杆的轴向变形与胡克定律 实验表明，杆件受拉时，轴向尺寸增大，横向尺寸缩小， 杆件受压时，轴向尺寸缩小，横向尺寸增大。设拉压杆的横 截面的面积为A，原长为l，在轴向拉力F 作用下产生变形， 如图4-1所示， 变形后杆长为l1， 则杆在轴线方向的 伸长量为
dx GI P 80 10 3.0 10 10
可见，该轴满足刚度条件。
第三节
积分法求梁弯曲变形
当直梁发生平面弯曲时，对于细长梁，剪力对其变形的影 响一般均可忽略不计，而认为弯曲时各横截面仍保持平面， 与弯曲后的梁轴正交。因此，梁的变形可用横截面形心的线 位移与截面的角位移表示。 横截面的形心在垂直于梁轴 方向的线位移，称为挠度 （deflection），用w表示 不同截面的挠度不相同，且挠度是连续变化的，所以如果 沿变形前的梁轴建立坐标轴x，则挠度可以表示为 w w( x) 梁的轴线从原来的直线变成一条连续、光滑的曲线，该曲线称 为梁的挠曲轴或挠曲线（deflection curve） ，截面形心的 轴向位移远小于其横向位移，因而可忽略不计。上式也代表挠 曲线的解析表达式，称为挠曲线方程（deflection equation）。
对于轴向力、横截面面积或弹性模量沿杆轴逐段变化的 拉压杆，如下图所示，其轴向变形为
FN i li l i 1 Ei A i
n
对于轴力和横截面面积沿轴向连续变化的情况，其轴向 变形量为
FN ( x) l dx l EA( x )
将式
FN l 等号两边同除以杆长，即 l EA l FN l EA
得到


E
或 E
上式为胡克定律的另一种表达式。
2．拉压杆的横向变形与泊松比
如图所示，设杆件的原宽度为b，在轴向拉力作用下，宽 度变为b1，横向变形量为Δb=b1-b，则横向应变为
b b
显然，如果杆件是如图所示的拉伸变形，则ε′为负值，即 轴向拉伸时，杆沿轴向伸长，其横向尺寸减小；轴向压缩时， 杆沿轴向缩短，横向尺寸增大。也就是说，轴向的正应变与 横向的正应变的符号是相反的。
l l1 l
Δl是杆件长度尺寸的绝对改变量，称为绝对变形，表示
整个杆件沿轴线方向总的变形量，绝对变形不能说明杆件的 变形程度。要度量杆件变形程度的大小，必须消除杆件原有 尺寸的影响，杆件均匀变形时杆件沿轴线方向的相对变形， 即轴向线应变（axial strain）为
l l
其中ε为杆件轴线方向的线应变，是无量纲量，拉伸时为正， 压缩时为负。 实验表明，对于工程中的大部分材料，当杆内应力在一 定范围（比例极限）内时，杆的变形量与外力和杆的原长成 正比，与杆的横截面面积成反比，并引入比例常数弹性模量， 则可以得到杆件变形的计算公式为
FN l l EA
上述为描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的 胡克定律（Hooke’s law），适用于等截面常轴力拉压杆。 在比例极限内，拉压杆的轴向变形与材料的弹性模量及杆的 横截面面积成反比，乘积EA称为拉压杆的抗拉压刚度 （tensile or compression rigidity）。显然，对于给定 长度的等截面拉压杆，在一定的轴向载荷作用下，抗拉压刚 度EA越大，杆的轴向变形就越小。
d 12 Fl1 12 (4 103 ) (100 103 ) 8.7 103 m 8.7mm E [l ] (200 109 ) (0.10 103 )
可以取直径为 d 9mm
3．桁架的节点位移
桁架的变形通常用节点的位移（displacement）表示，现 以下图所示桁架为例，说明桁架节点位移的分析方法。 例4-2 桁架是由1、2杆组成， 通过铰链连接，在节点A承受 铅垂载荷F=40kN作用。已知 杆1为钢杆，横截面面积 A1=960mm2，弹性模量 E1=200GPa，杆2为木杆，横 截面面积A2=2.5×104mm2， 弹性模量E2=10GPa，杆2的杆 长为1m。求节点A的位移。
【解】（1）利用截面法，可以求得1、2两杆的轴力分别为
FN1 80kN
（拉力）
FN2 40 3Hale Waihona Puke BaiduN （压力）
由胡克定律可以求得两杆的变形分别为
FN1l1 80 103 (1/ cos30 ) l1 4.81 104 m E1 A1 200 109 960 106
0 0.5
例4-1 圆截面杆如图4-3所示，已知F=4kN，l1=l2=100mm， 弹性模量E=200GPa。为保证杆件正常工作，要求其总伸长不 超过0.10mm，即许用轴向变形[Δl]=0.10mm。试确定杆的直 径d。
【解】（1）变形分析。 AB段和BC段的轴力分别为 杆AC的总伸长为
第四章
杆件变形分析
中北大学理学院力学系
第一节
第二节
杆件轴向拉压变形
圆轴扭转变形
第三节
第四节
积分法求梁弯曲变形叠加法求梁弯曲变形
提高梁弯曲刚度的措施
总结与讨论
杆件在载荷作用下都将发生变形（deformation）。在
有些结构或实际工程中，杆件发生过大的变形将影响杆件或
结构的正常使用，必须对杆件的变形加以限制，如工程中使 用的传动轴、车床主轴等变形过大会造成机器不能正常工作；
AA3 ( Ax )2 ( Ay ) 2 0.277 2 1.442 1.47mm
在小变形条件下，通常可按结构原有几何形状与尺寸计算 约束力与内力，并可采用以垂线代替圆弧法确定节点位移。
第二节
1．圆轴扭转变形
圆轴扭转变形
圆轴的扭转变形，用各横截面间绕轴线作相对转动的相对 角位移j 表示。相距为dx的两个横截面间有相对转角dj，即 微段dx的扭转变形为 T dj dx GI P 因此，对于间距为l 的两截面的扭转角（angle of twist）为 T j dj dx l l GI P 对于长度为l，扭矩T为常数的等截面圆轴，其两端横截面的相 对扭转角为
根据平面假设，横截面在梁弯曲变形后，仍与梁轴垂直， 则横截面会发生角位移，即绕中性轴转过一个角度，称为转 角（slope of cross section），用q表示。由几何关系可知， 横截面的转角q与挠曲线在该截面处的切线与坐标轴x的夹角 q′相等，即 q q
由于梁的变形一般很小，这时转角q也很小，于是有挠曲线与 转角之间的近似关系为 dw q tan q tan q w dx 它表明，横截面的转角等于挠 曲线在该截面处的斜率。可见， 在忽略剪力影响的情况下，转 角与挠度相互关联。 在右手坐标系中，挠度w向上为正，向下为负。转角q规定为 截面法线与x轴夹角逆时针为正，顺时针为负。
通过实验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的轴向正 应变ε与横向正应变ε′成正比。用μ来表示横向正应变ε′ 与轴向正应变ε之比的绝对值，有

或

式中，比例常数μ称为泊松比（Poisson radio）。在比例极 限内，泊松比是一个材料的弹性常数，不同材料具有不同的 泊松比，大多数各向同性材料的泊松比
而有些结构又需要杆件有较大的变形，如汽车上所使用的叠
板弹簧，只有当弹簧有较大变形时，才能起缓冲作用。在结 构的设计中，无论是限制杆件的变形，还是利用杆件的变形， 都必须掌握计算杆件变形的方法。本章将具体讨论杆件轴向 拉伸（或压缩）、圆轴扭转和弯曲三种情况下的杆件变形。 研究杆件变形的目的，一方面是为了分析杆件的刚度问题， 另一方面则是为了求解超静定问题。
FNi li 8Fl1 4 Fl1 12 Fl1 l 2 2 E d E d E d 2 i 1 Ei Ai
2
FN1=2F
FN2=F
例4-1 圆截面杆如图4-3所示，已知F=4kN，l1=l2=100mm， 弹性模量E=200GPa。为保证杆件正常工作，要求其总伸长不 超过0.10mm，即许用轴向变形[Δl]=0.10mm。试确定杆的直 径d。 （2）直径设计。 按照设计要求，总伸长Δl不得超过许用变形[Δl]，即要求 12 Fl1 [l ] 2 E d 由此得
dx
GI P
所以，圆轴扭转的刚度条件为
T jmax [j ] GI P max
对于等截面圆轴，其刚度条件为
jmax
Tmax [j ] GI P
式中，[j′]为许用单位长度扭转角。 另外，对于某些特定的杆件，会限制两个指定截面的相对 扭转角，其刚度条件可以表达为
n
2．圆轴扭转的刚度条件 在圆轴设计中，除考虑其强度问题外，在许多情况下对刚 度的要求更为严格，常常对其变形有一定限制，即应该满足 相应的刚度条件。 在工程实际问题中，通常是限制扭转角沿轴线的变化率， 即单位长度扭转角j′，使其不得超过某一规定的许用值 [j′]。由第三章圆轴扭转强度分析时得到的扭转角的变化 率为 dj T j 其单位是rad/m
1．挠曲线近似微分方程 纯弯曲正应力的推导过程可知，在纯弯曲梁的情况下，梁 的中性层曲率与梁的弯矩之间关系为 1 M

EI
由于纯弯曲梁的弯矩为常数，对于等截面梁，弯曲刚度为常 数时，曲率半径为常数，其挠曲线为一段圆弧。而当截面上 同时存在剪力与弯矩即横力弯曲时，显然这两项内力对梁的 变形均有影响。研究表明：当横力弯曲时，若梁的跨度远大 于梁的高度，剪力对梁的变形影响可以忽略不计，上式仍可 用来计算横力弯曲梁弯曲后的曲率，但由于弯矩不再是常量， 上式变为 1 M ( x)
【解】
（1）扭转变形分析。
利用截面法，得AB和BC段的扭矩分别为
TAB=180N· m
TBC=-140N· m
则两段的扭转角分别为 TAB l 180 2 j AB 1.50 102 rad GI P 80 109 3.0 105 1012 T l 140 2 jBC BC 1.17 102 rad GI P 80 109 3.0 105 1012 则轴的总扭转角为 j AC j AB jBC 1.50 102 (1.17 102 ) 0.33 102 rad （2）刚度校核。 轴为等截面轴，AB段的扭矩最大，所以， 应校核该段轴的扭转刚度。 AB段的扭转角变化率，即单位长度扭转角为 dj TAB 180 180 180 j 0.43 / m<[j ] 9 5 12
FN2l2 40 3 103 1 l2 2.77 104 m E2 A2 10 109 2.5 104 106
（2）求节点A的位移。
节点A的水平位移与 铅垂位移分别为
Ax AA2 l2 2.77 104 m 0.277mm （←） l1 l2 Ay AA4 A4 A5 14.4 104 （↓） sin 30 tan 30 A点的位移为