新最新初中数学—分式的知识点(1)
新人教版初中数学——分式方程-知识点归纳及典型题解析
新人教版初中数学——分式方程知识点归纳及典型题解析1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤： ①设未知数； ②找等量关系； ③列分式方程； ④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）； ⑥答．考向一 解分式方程分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根．典例1 解分式方程：312242x x x -=--． 【解析】去分母得：6-x =x -2， 解得：x =4，经检验x =4是分式方程的解．【名师点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 典例2 方程33122x x x-+=--的解为_______________． 【答案】1x =【解析】方程两边同乘以(2)x -，得(32)3x x -+-=-， 解得1x =，检验：1x =时，20x -≠， 所以1x =是原分式方程的解． 故填1x =．【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验．1．解分式方程13211x x-=--，去分母得 A ．12(1)3x --=-B ．12(1)3x --=C ．1223x --=-D ．1223x -+=2．方程24222x x x x =-+--的解为 A ．2B ．2或4C ．4D ．无解考向二 分式方程的解（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解. （3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.典例3 若关于x 的方程3111ax x x -=++的解为整数解，则满足条件的所有整数a 的和是 A ．6B ．0C ．1D ．9【答案】D【解析】分式方程去分母得：ax -1-x =3， 解得：x =41a -， 由分式方程的解为整数解，得到a -1=±1，a -1=±2，a -1=±4， 解得：a =2，0，3，-1，5，-3（舍去）， 则满足条件的所有整数a 的和是9， 故选D ．【名师点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．典例4 若关于x 的分式方程121k x -=+的解为负数，则k 的取值范围为_______________． 【答案】3k <且1k ≠【解析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母得122k x -=+，解得32x k =-，由分式方程的解为负数，可得203k -<且10x +≠，即213k -≠-，解得3k <且1k ≠．3．若关于x 的方程21111a x x -=++有增根，则a 的值为 A ．－12B ．12C ．2D ．2-4．关于x 的方程2334ax a x +=-的解为1x =，则a =A ．1B ．3C ．-1D ．-3考向三 分式方程的应用分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．典例5 某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为A ．2010154x x +=+B ．2010154x x -=+C ．201015x x+=D ．201015x x-= 【答案】A【解析】由题意可知原计划每天生产x 个零件，则实际每天生产了(4)x +个零件，实际15天共生产了(200)1x +个零件，因此根据题意可列分式方程为2010154x x +=+．故选A ．典例6 元旦假期即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%，那么乙种商品单价是A ．2元B ．2.5元C ．3元D ．5元【答案】B【解析】设乙种商品单价为x 元，则甲种商品单价为(1)20%x +元，由题易得，甲种商品花费300元，乙种商品花费400元，所以300400260120)%(x x+=+，解得 2.5x =元． 故选B ．5．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A ，B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个；已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外书．若设每个A 型包装箱可以装书x 本，则根据题意列得方程为A ．10801080615x x =+- B ．10801080615x x =-- C ．10801080615x x=-+D ．10801080615x x=++6．在“双十一”购物节中，某儿童品牌玩具淘宝专卖店购进了A 、B 两种玩具，其中A 类玩具的进价比B 玩具的进价每个多3元，经调查发现：用900元购进A 类玩具的数量与用750元购进B 类玩具的数量相同（1）求A 、B 的进价分别是每个多少元？（2）该玩具店共购进了A 、B 两类玩具共100个，若玩具店将每个A 类玩具定价为30元出售，每个B 类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元，则该淘宝专卖店至少购进A 类玩具多少个？1．下列关于x 的方程： ①153x -=，②121x x =-，③()111x x x -+=，④31x a b =-中，是分式方程的有 A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个2．方程2131x x 的解为 A ．3x B ．4x C ．5xD ．5x3．解分式方程11222x x x-+=-- A ．2x =是方程的解 B ．3x =是方程的解 C ．4x =是方程的解 D ．无解 4．若关于x 的方程223ax a x =-的解为x =1，则a 等于 A ．0.5B ．-0.5C ．2D ．-25．若代数式12x -和321x +的值相等，则x 的值为 A ．x =-7B ．x =7C ．x =-5D ．x =36．若关于x 的方程3111k x x=---有增根，则k 的值为 A ．3 B ．1 C ．0D ．1-7．若分式方程3211x m x x =+++无解，则m = A ．1- B ．3- C ．0D ．2-8．关于x 的方程2211x a ax x++=--的解不小于0，则a 的取值范围是 A ．2a ≤且1a ≠ B ．2a ≥且3a ≠ C ．2a ≤D ．2a ≥9．一艘船顺流航行90千米与逆流航行60千米所用的时间相等，若水流的速度是2千米/时，求船在静水中的速度．设船在静水中的速度为x 千米/时，则可列出的方程为A ．906022x x =+-B ．906022x x =-+ C ．90602x x += D ．60902x x+=10．若分式方程22111x m x x x x x++-=++有增根，则m 的值是A ．-1或1B ．-1或2C ．1或2D ．1或-211．已知关于x 的分式方程212x ax +=--的解为非负数，则a 的取值范围是 A ．a ≤2B ．a <2C ．a ≤2且a ≠-4D ．a <2且a ≠-412．一项工程，甲队单独做需20天完成，甲、乙合作需12天完成，则乙队单独做需多少天完成？若设乙单独做需x 天完成，则可得方程A ．1112012x += B ．2012x x +=1 C ．111220+=xD ．1112012x +=13．九年级（1）班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x 千米/时，根据题意列方程得A ．1501503012x x -=． B ．1501503012x x +=． C ．1501150212x x-=．D ．1501150212x x+=． 14．整数a 满足下列两个条件，使不等式-2≤352x +<12a +1恰好只有3个整数解，使得分式方程13522ax x x x-----=1的解为整数，则所有满足条件的a 的和为 A ．2B ．3C ．5D ．615．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时对“……”，设实际每天铺设管道x 米，则可得方程300030001510x x-=-．根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为 A ．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成B ．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成C ．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成D ．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成16．某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是 A ．20元B ．18元C ．15元D ．10元17．分式方程xx 412=+的解为_______________． 18．若关于x 的分式方程33x ax x+--=2a 无解，则a 的值为__________． 19．关于x 的方程123(2)(3)x x x ax x x x ++-=-+-+的解为非正数，则a 的取值范围为__________． 20．分式72x -与2x x-的和为4，则x 的值为_______________． 21．已知x =3是方程211kx k x x---=2的解，那么k 的值为__________． 22．某物流仓储公司用A ，B 两种型号的机器人搬运物品，已知A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20 kg ，A 型机器人搬运1000 kg 所用时间与B 型机器人搬运800 kg 所用时间相等，设B 型机器人每小时搬运x kg 物品，列出关于x 的方程为_______________．23．解下列方程：（1）1233x x x=+--； （2）2316111x x x +=+--；（3 （4）241111x x x +=---．24．“六一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用1500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用2700元购进第二批，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元，求第二批玩具每套的进价是多少元？25．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元．甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？26．某商店计划购进甲、乙两种商品，乙种商品的进价是甲种商品进价的九折，用3600元购买乙种商品要比购买甲种商品多买10件．（1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？（2）该商店计划购进甲、乙两种商品共80件，且乙种商品的数量不低于甲种商品数量的3倍．甲种商品的售价定为每件80元，乙种商品的售价定为每件70元，若甲、乙两种商品都能卖完，求该商店能获得的最大利润．A ．x =1B ．x =-1C ．x =2D ．x =-2A ．x =-1B ．x =1C ．x =2D ．x =-23．解分式方程21x x -+212x-=3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ） A ．x +2=3B ．x -2=3C ．x -2=3（2x -1）D ．x +2=3（2x -1）A ．m ≤3B ．m <3C ．m >-3D ．m ≥-35．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（ ）A ．1201508x x =- B ．1201508x x =+ C ．120150= D ．120150=7．方程1x -+21x -=1的解是__________．8．一艘轮船在静水中的最大航速为30 km /h ，它以最大航速沿江顺流航行120 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用时间相同，则江水的流速为__________km /h ．9．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A -B -C 横穿双向行驶车道，其中AB =BC =6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC ，其中通过BC 的速度是通过AB 速度的1.2倍，求小明通过AB 时的速度．设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，根据题意列方程得：__________．10．解分式方程：21x-=251x-．12．端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？13．列方程解应用题：小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．14．列方程（组）解应用题：德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．15．为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动，已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度.16．列方程解应用题：小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．1．【答案】A【解析】方程两边同乘以1x -得到12(1)3x --=-， 故选A ． 2．【答案】C【解析】去分母得：2x =（x -2）2+4，分解因式得：（x -2）[2-（x -2）]=0， 解得：x =2或x =4，经检验x =2是增根，分式方程的解为x =4， 故选C ． 3．【答案】B【解析】方程21111a x x -=++两边同时乘以(1)x +，可得211a x -=+， 因为方程21111a x x -=++有增根，所以最简公分母10x +=，即增根是1x =-， 把1x =-代入整式方程，可得12a =．故选B ． 4．【答案】D【解析】把x =1代入原方程得：23314a a +=-， 去分母得，8a +12=3a -3， 解得a =-3， 故选D ． 5．【答案】C【解析】设每个A 型包装箱可以装书x 本，则每个B 型包装箱可以装书(15)x +本，根据单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个，列方程得10801080615x x=-+， 故选C ．6．【解析】（1）设B 类玩具的进价为x 元，则A 类玩具的进价是(3)x +元，由题意得：9007503x x=+， 解得：15x =，经检验：15x =是原方程的解． 所以15+3=18（元）．答：A 类玩具的进价是18元，B 类玩具的进价是15元．（2）设购进A 类玩具a 个，则购进B 类玩具(100)a -个，由题意得：1210(100)1080a a +-≥，解得：40a ≥，答：该淘宝专卖店至少购进A 类玩具40个．1．【答案】C【解析】关于x 的方程①153x -=，该方程分母中不含未知数，不是分式方程． 关于x 的方程②121x x =-，该方程分母中含有未知数，是分式方程． 关于x 的方程③()111x x x -+=，该方程分母中含有未知数，是分式方程．关于x 的方程④31x a b =-中，该方程分母中不含未知数，不是分式方程．综上，是分式方程的有②、③，共2个． 故选C ． 2．【答案】C【解析】方程两边同乘()(31)x x +-，可得()213x x -=+，即223x x -=+，即5x =， 检验：当5x =时，1)03()(x x -≠+，所以5x =是原方程的根， 故选C ． 3．【答案】D【解析】方程两边分别乘以x -2得：1-x +2（x -2）=-1， 去括号整理得：x =2， 经检验x =2是方程的增根， 故原方程无解． 故选D ． 4．【答案】B【解析】把x =1代入方程223ax a x =-得：2213a a =-， 解得：a =-0.5，经检验a =-0.5是原方程的解， 故选B ． 5．【答案】B【解析】根据题意得：13221x x =-+， 去分母得：3x -6=2x +1， 解得：x =7，经检验x =7是分式方程的解． 故选B ． 6．【答案】A【解析】将方程的两边同时乘以(1)x -，可得31x k =-+，解得4x k =-，根据方程有增根可得1x =，即41k -=，所以3k =．故选A ． 7．【答案】B【解析】去分母，可得32(1)x m x =++，解得2x m =+， 因为分式方程3211x mx x =+++无解，所以12130x m m +=++=+=，解得3m =-， 故选B ． 8．【答案】A 【解析】2211x a ax x++=-- 方程两边同时乘以（x -1）得：x +a -2a =2（x -1）， 解得：x =2-a ，∵方程的解不小于0，∴2-a ≥0，解得：a ≤2， ∵分式方程分母不为0，∴2-a ≠1，解得：a ≠1， 即a 的取值范围是：a ≤2且a ≠1， 故选A ． 9．【答案】A【解析】因为船在静水中的速度为x 千米/时，所以由题意可得906022x x =+-， 故选A ． 10．【答案】D【解析】方程两边都乘x （x +1），得2x 2-（m +1）=（x +1）2， ∵最简公分母x （x +1）=0， ∴x =0或x =-1． 当x =0时，m =-2；当x =-1时，m =1．故选D ． 11．【答案】C 【解析】212x ax +=--， 去分母可得：22x a x +=-+， 移项可得：22x x a +=- ， 合并同类项可得：32x a =-， 系数化为1可得：23ax -=， 根据分式方程的解为非负数和分式有解可得：203a -≥，且223a-≠，解得：a ≤2且a ≠-4， 故选C ． 12．【答案】D【解析】设乙单独做需x 天完成， 由题意得：1112012x +=，故选D ． 13．【答案】C【解析】设慢车的速度为x 千米/小时，则快车的速度为1.2x 千米/小时， 根据题意可得：1501150212x x-=．． 故选C ． 14．【答案】C【解析】由不等式组-2≤352x +<12a +1，可知-3≤x <33a -， ∵x 有且只有3个整数解，∴-1<33a -≤0，∴0<a ≤3， 由分式方程可知：x =-64a -，将x =-64a -代入x -2≠0，∴a ≠1，∵关于x 的分式方程有整数解，∴6能被a -4整除， ∵a 是整数，∴a =2、3、5、6、7、10、-2； ∵0<a ≤3，∴a =2或3，∴所有满足条件的整数a 之和为5， 故选C ．【解析】题中方程表示原计划每天铺设管道(10)x -米，即实际每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成， 故选C ． 16．【答案】A【解析】设文学类图书平均价格为x 元/本，则科普类图书平均价格为1.2x 元/本， 依题意得：12000120001001.2x x-=， 解得：x =20，经检验，x =20是原方程的解，且符合题意． 故选A ． 17．【答案】2x =【解析】方程x x 412=+两边都乘以x ，可得24x +=，解得2x =，检验：当2x =时，0x ≠，即2x =是原方程的解，故答案为：2x =． 18．【答案】1或12【解析】去分母得：x -a =2a （x -3）， 整理得：（1-2a ）x =-5a ， 当1-2a =0时，方程无解，故a =12； 当1-2a ≠0时，x =521aa -=3时，分式方程无解，则a =3， 则a 的值为：1或12；故答案为：1或12．19．【答案】a ≤3且a ≠-12【解析】去分母，得：（x +1）（x +3）-x （x -2）=x +a ，解得x =35a -， 由题意知35a -≤0且35a -≠-3， 解得：a ≤3且a ≠-12， 故答案为：a ≤3且a ≠-12．【解析】首先根据分式72x -与2xx-的和为4，可得7422x x x +=--，去分母，可得748x x -=-，解得3x =，经检验3x =是原方程的解，故x 的值为3．故答案为：3．21．【答案】2【解析】当x =3时，有321223k k --=， 去分母得：9k -4k +2=12，5k =10， 解得：k =2，故答案为：2． 22．【答案】100080020x x=+ 【解析】设B 型机器人每小时搬运x kg 物品，则A 型机器人每小时搬运（x +20）kg 物品，根据题意可得100080020x x =+，故答案为：100080020x x=+．23．【解析】（1）去分母，可得126x x =--，解得7x =，经检验7x =是分式方程的解， 所以方程1233x x x=+--的解为7x =． （2）去分母，可得3316x x -++=，解得2x =， 经检验2x =是分式方程的解，所以方程2316+=的解为2x =．（3 即5（4）2111x x =---，去分母得2241(1)x x =-++，化简得321x =+，解得1x =， 经检验1x =为方程的增根， 所以方程无解．24．【解析】设第一批玩具每套的进价是x 元，则1500x×1.5=270010x +，解得：x =50．经检验：x =50是原方程的解，则第二批玩具每套的进价是x +10=60（元）． 答：第二批玩具每套的进价为60元．25．【解析】（1）设乙种款型T 恤衫购进x 件，则甲种款型的T 恤衫购进1.5x 件，根据题意：78006400301.5x x+=， 解得40x =，经检验，40x =是原方程的解，且符合题意，1.560x =．答：甲种款型的T 恤衫购进60件，乙种款型的T 恤衫购进40件． （2）6400160x=，16030130-=（元）， 13060%6016060%(402)160[1(160%)0.5](402)⨯⨯+⨯⨯÷-⨯-+⨯⨯÷468019206405960=+-=（元）答：售完这批T 恤衫商店共获利5960元．26．【解析】（1）设甲种商品的进价为x 元/件，则乙种商品的进价为0.9x 元/件，36003600100.9x x+=， 解得，x =40，经检验，x =40是原分式方程的解， ∴0.9x =36，答：甲、乙两种商品的进价各是40元/件、36元/件．（2）设甲种商品购进m 件，则乙种商品购进（80-m ）件，总利润为w 元， w =（80-40）m +（70-36）（80-m ）=6m +2720， ∵80-m ≥3m ， ∴m ≤20，∴当m =20时，w 取得最大值，此时w =2840， 答：该商店获得的最大利润是2840元．经检验x=-1是原方程的根；故选B．2．【答案】A【解析】方程两边同时乘以x（x-1）得，x（x-5）+2（x-1）=x（x-1），解得x=-1，把x=-1代入原方程的分母均不为0，故x=-1是原方程的解．故选A．3．【答案】C【解析】方程两边都乘以（2x-1），得x-2=3（2x-1），故选C．7．【答案】x=-2【解析】2121 1(1)(1)xx x x--=-+-，去分母，得（2x-1）（x+1）-2=（x+1）（x-1），去括号，得2x2+x-3=x2-1，移项并整理，得x2+x-2=0，所以（x+2）（x-1）=0，解得x=-2或x=1，经检验，x=-2是原方程的解．故答案为：x=-2．8．【答案】10【解析】设江水的流速为x km/h，根据题意可得：12030x+=6030x-，解得：x=10，10．【解析】两边都乘以（x+1）（x-1），得：2（x+1）=5，解得：x=32，检验：当x=32时，（x+1）（x-1）=54≠0，∴原分式方程的解为x=32．11．【答案】x=2【解析】方程两边都乘以（x+1）（x-1），去分母得x（x+1）-（x2-1）=3，即x2+x-x2+1=3，解得x=2．检验：当x=2时，（x+1）（x-1）=（2+1）（2-1）=3≠0，∴x=2是原方程的解，故原分式方程的解是x=2．12．【解析】设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是0.6x元/个，依题意，得：96x+720.6x=27，解得：x=8，经检验，x=8是原方程的解，且符合题意．答：这种粽子的标价是8元/个．经检验得：x=50是原方程的根，故3x=150，答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟．14．【解析】设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均15．【解析】设甲校师生所乘大巴车的平均速度为x km/h，则乙校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x km/h．根据题意得24027011.5x x-=，解得x=60，经检验，x=60是原分式方程的解，1.5x=90．答：甲、乙两校师生所乘大巴车的平均速度分别为60 km/h和90 km/h．16．【解析】设小明的速度是x米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x米/分钟，根据题意可得：1200x-4=30003x，解得：x=50，经检验得：x=50是原方程的根，故3x=150，答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟．。
人教版初中八年级数学上册第十五章《分式》知识点(含答案解析)(1)
一、选择题1．使分式21xx -有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≠1B ．x ≠0C ．x ≠±1D ．x 为任意实数2．若关于x 的一元一次不等式组()()1112232321x x x a x ⎧-≤-⎪⎨⎪-≥-⎩恰有3个整数解，且使关于y 的分式方程3133y ayy y++=--有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．33．若关于x 的分式方程3211m x x =---有非负实数解，且关于x 的不等式组102x x m +≥⎧⎨+≤⎩有解，则满足条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9-B ．8-C ．7-D ．6-4．如果关于x 的分式方程6312233ax x x x--++=--有正整数解，且关于y 的不等式组521510yy a -⎧≥-⎪⎨⎪+->⎩至少有两个整数解，则满足条件的整数a 的和为（ ） A ．2 B ．3C ．6D ．115．已知分式34x x -+的值为0，则x 的值是（ ） A ．3B ．0C ．－3D ．－46．如图，若x 为正整数，则表示3211327121(1)(1)543x x x x x x x x x--++--÷++++的值的点落在（ ）．A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④7．下列各式中，正确的是（ ）A ．22a a b b =B ．11a ab b +=+ C ．2233a b a ab b= D ．232131a ab b ++=--8．已知2340x x --=，则代数式24xx x --的值是（ ）A ．3B ．2C ．13D ．129．若2x 11x x 1+--的值小于3-，则x 的取值范围为（ ） A ．x 4>- B ．x 4<-C ．x 2>D ．x 2<10．若分式()22222x y x y a x a yax ay+-÷-+的值等于5，则a 的值是（ ）A ．5B ．-5C ．15D ．15-11．2222x y x y x y x y -+÷+-的结果是（ ） A ．222()x y x y ++B ．222()x y x y +-C ．222()x y x y -+D ．222()x y x y ++12．020*******)(0.125)8+⨯的结果是（ ）A B 2C ．2D ．013．下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）． A ．132x - B ．213x + C ．231x x+ D ．21xx + 14．当1x 0-<<时， 1x -，0x ，2x 的大小顺序是（ ） A ．102x x x -<< B ．012x x x -<<C ．021x x x -<<D ．120x x x -<<15．计算a ba b a÷⨯的结果是（） A ．aB ．2aC ．2b aD ．21a二、填空题16．已知5a b +=，6ab =，b aa b+=______． 17．已知3m n +=．则分式222m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭的值是_________． 18．已知5,3a b ab -==，则b aa b+的值是__________． 19．新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店抓住商机购进甲、乙、丙三种口罩进行销售．已知销售每件甲种口罩的利润率为30%，每件乙种口罩的利润率为20%，每件丙种口罩的利润率为5%．当售出的甲、乙、丙口罩件数之比为1：3：2时，药店得到的总利润率为20%；当售出的甲、乙、丙口罩件数之比为3：2：2时，药店得到的总利润率为24%．因丙种口罩利润较低，现药店准备只购进甲、乙两种口罩进行销售，若该药店想要获得的总利润率为28%，则该药店应购进甲、乙两种口罩的数量之比是______．20．某班在“世界读书日”当天开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍，则第一组的人数为_________人．21．某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg ，甲型机器人搬运800kg 所用时间与乙型机器人搬运600kg 所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg 产品？ 根据以上信息，解答下列问题．（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，可列方程为______小惠同学设甲型机器人搬运800kg 所用时间为y 小时，可列方程为____________． （2）乙型机器人每小时搬运产品_______________kg ．22．计算：2120192-⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 23．如图，将形状大小完全相同的“□”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“□”的个数为1a ，第2幅图中“□”的个数为2a ，第3幅图中“□”的个数为3a ，……，以此类推，若123201922222020n a a a a +++⋅⋅⋅+=（n 为正整数），则（1）5a =________；（2）n 的值为________．24．已知(3)1a a -=，则整数a 的值为______． 25．方程11212x x =+-的解是x =_____． 26．方程22020(1)1x x x ++-=的整数解的个数是_____．三、解答题27．雪梨是石家庄市某地的特色时令水果．雪梨上市后，水果店的老板用2400元购进一批雪梨，很快售完；老板又用3750元购进第二批雪梨，所购件数是第一批的32倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）求第一批雪梨每件进价是多少元？（2）老板以每件225元的价格销售第二批雪梨，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销，要使得第二批雪梨的销售利润为2460元，剩余的雪梨每件售价应该打几折？（利润＝售价－进价） 28．计算：（1）化简：()()22n m n m n -++；（2）解分式方程：2132163x x x -=---． 29．分式计算与解方程：（1）21211a a a a ----； （2）121221xx x +=-+． 30．先化简，再求值：22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中5x =．。
(完整版)初中数学分式章节知识点及典型例题解析
分式的知识点及典型例题分析1、分式的定义：例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2—a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、ma 1+中分式的个数为( ) （A ） 2 （B ） 3 (C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .⑴275x x -+； ⑵ 123x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹222xy x y +。
(2）下列式子,哪些是分式？5a -； 234x +；3y y ; 78x π+;2x xy x y +-；145b-+。
2、分式有，无意义,总有意义:(1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解； 注意：（12+x ≠0）例1：当x 时，分式51-x 有意义； 例2:分式xx -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义. 例4：当x 时，分式12+x x有意义例5：x ,y 满足关系 时，分式x yx y-+无意义; 例6:无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ）A ．122+x x B 。
12+x x C 。
133+x x D 。
25xx - 例7：使分式2+x x有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2<x例8：要是分式)3)(1(2-+-x x x 没有意义，则x 的值为（ ）A. 2 B 。
—1或—3 C 。
-1 D 。
3同步练习题：3、分式的值为零：使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使,看看是否使分母=0了,如果使分母=0了，那么要舍去.例1：当x 时,分式121+-a a的值为0 例2：当x 时，分式112+-x x 的值为0例3：如果分式22+-a a 的值为为零，则a 的值为( ) A. 2± B 。
初中数学知识归纳分式的简化与等价
初中数学知识归纳分式的简化与等价分式，在初中数学中占据着重要的地位。
简化与等价是分式的基本操作，掌握好这两个概念及其应用，对于学习代数和解方程等进阶数学内容都有着重要的帮助。
本文将对初中数学中分式的简化与等价进行归纳总结，并探讨其实际应用。
一、分式的简化简化分式就是将分式化简为最简形式，即分子与分母互不含有相同的因式，且约分到最简。
下面以几个例子来说明分式的简化方法。
1. 例子一：简化分式将分式3/6进行简化。
解答：首先，观察分子3和分母6，可以发现它们都能被3整除。
因此，将分子分母同时除以3，得到1/2。
所以，分数3/6可以简化为1/2。
2. 例子二：简化分式将分式12/16进行简化。
解答：首先，观察分子12和分母16，它们都能同时被2整除。
所以，将分子分母同时除以2，得到6/8。
然后，继续简化6/8分式，观察到分子分母都能被2整除，继续除以2，得到3/4。
分式的简化需要注意以下几点：- 分式的简化是将分子和分母约分到最简形式；- 可以通过找出分子分母的最大公因数，将其约去；- 多进行试除，直到不能再进行约分为止；- 在简化分式时，应保持分子分母的符号一致。
二、分式的等价等价分式，指的是分子与分母相等的两个分式，它们的值是相等的，只是表达方式不同。
下面以几个例子来说明分式的等价性质。
1. 例子一：等价分式将分式2/3和4/6进行等价变换。
解答：观察到分子3乘以2等于分母6，分子2乘以3等于分母6。
因此，可以得出2/3=4/6。
所以，分数2/3和4/6是等价的。
2. 例子二：等价分式将分式8/12和2/3进行等价变换。
解答：观察到分子8乘以1/4等于分母12，分子2乘以4等于分母8。
因此，可以得出8/12=2/3。
在进行分式的等价变换时，需要注意以下几点：- 可以对分式的分子和分母同时乘以一个同样的非零数，得到一个等价的分式；- 可以对分式的分子和分母同时除以一个同样的非零数，得到一个等价的分式；- 等价的分式，在计算数值时具有相同的结果。
初中数学之分式方程知识点汇总
初中数学之分式方程知识点汇总
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：
（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 初中数学分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。
在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。
因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.。
新最新初中数学—分式的图文解析(1)
一、选择题1．已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3，则用科学记数法表示该数为（ ）g /cm 3．A ．1.239×10﹣3B ．1.2×10﹣3C ．1.239×10﹣2D ．1.239×10﹣4 2．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时，则可列方程（ ）A ．B ．C ．D ．3．若要使分式23363(1)x x x -+-的值为整数，则整数x 可取的个数为（ ） A ．5个B ．2个C ．3个D ．4个 4．已知：分式的值为零，分式无意义，则的值是（ ） A ．-5或-2B ．-1或-4C ．1或4D ．5或2 5．若分式12+-x x 的值为0，则x 的值为（ ） A ．2或－1 B ．0 C ．－1 D ． 26．下列等式成立的是（ ）A ．212x y x y=++ B ．2(1)(1)1x x x ---=-C ．x x x y x y=--++ D ．22(1)21x x x --=++7．若分式的值为零，则x 的值为（ ）A ．0B ．﹣2C ．2D ．﹣2或28．用科学记数方法表示0.0000907，得（ ）A ．49.0710-⨯B ．59.0710-⨯C ．690.710-⨯D ．790.710-⨯9．已知+=3，则分式的值为（ ）A ．B ．9C ．1D ．不能确定 10．下列算式，计算正确的有（ ）①10－3＝0.0001； ②(0.0001)0＝1； ③3a －2＝213a ； ④(－2)3÷(－2)5＝－2－2． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个11．若分式的值为0，则x 的值为（ ） A ．0B ．2C ．﹣2D ．2或﹣2 12．计算1÷11m m+-(m 2－1)的结果是( ) A ．－m 2－2m －1B ．－m 2＋2m －1C ．m 2－2m －1D ．m 2－1 13．无论x 取何值，总是有意义的分式是（ ）A ．21x x +B ．221x x +C ．331x x +D ．21x x + 14．雾霾已经成为现在生活中不得不面对的重要问题，PM2.5是大气中直径小于或等于0.000 002 5米的颗粒物，将0.000 002 5用科学记数法表示为（ ）A ．2.5×10﹣6B ．0.25×10﹣6C ．2.5×10﹣5D ．0.25×10﹣515．已知为整数,且分式的值为整数,则可取的值有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 16．在代数式，，+，，中，分式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个17．若将分式（a ，b 均为正数）中a ，b 的值分别扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A ．扩大为原来的3倍 B ．缩小为原来的C ．不变D ．缩小为原来的18．下列运算错误的是A ．B ．C ．D ．19．在标准大气压下氢气的密度为0.00009g/cm 3 ，用科学记数法表示0.00009正确的是（ ）A ．5910⨯B ．5910-⨯C ．4910-⨯D ．40.910⨯20．下列4个分式：①；②；③；④中最简分式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个21．计算的结果是（ ）A ．a+bB ．2a+bC ．1D ．-122．在函数中，自变量的取值范围是（ ） A ．＞3 B ．≥3且≠4 C ．＞4 D ．≥323．若a ＞－1，则下列各式中错误．．的是（ ） A ．6a ＞－6 B ．2a ＞－12 C ．a ＋1＞0 D ．－5a ＜－524．已知：a=（）﹣3，b=（﹣2）2，c=（π﹣2015）0，则a ，b ，c 大小关系是（ ） A ．b ＜a ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜a D ．a ＜c ＜b 25．如果把分式22a b ab +中的a 和b 都扩大了2倍，那么分式的值（ ） A ．扩大2倍 B ．不变 C ．缩小2倍 D ．缩小4倍【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示方法（一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定）可得：0.001239 =1.239×0.001=1.239×10﹣3，故选A ． 2．A解析：A【解析】试题分析：因为轮船在静水中的最大航速为30千米/时，江水的流速为x 千米/时，所以轮船在顺流航行中的航速为（30+x ）千米/时，轮船在逆流航行的航速为（30-x ）千米/时，根据以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，可得：，故选A．考点：列分式方程．3．C解析：C【解析】试题分析：根据x为整数，且分式23363(1)x xx-+-的值为整数，可得3是（x-1）的倍数，可得答案．试题解析：由题意得，x-1=-3，1，3，故x-1=-3，x=-2；x-1=1，x=2；x-1=3，x=4，故选C．考点：分式的值．4．A解析：A【分析】当分式的分子为零，且分母不为零时，则分式的值为零；当分式的分母为零时，则分式无意义.【详解】根据题意可得：，=0，解得：x=-3，y=1或-2，则x+y=-2或-5.【点睛】考核知识点：分式的性质.5．D解析：D【解析】试题分析：当分式的分子为零，分母不为零时，则分式的值为零，根据题意可得：x-2=0，解得：x=2.考点：分式的意义6．D解析：D【分析】此题考查了分式的基本性质，解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0，即可得出答案．【详解】A 、2122x y x y =++，22x y +≠1x y+，不符合题意； B 、（-x-1）（1-x ）=[-（x+1）]（1-x ）=-（1-x 2）=x 2-1，不合题意；C 、x x y -+=--x x y ，x x y -+≠-+x x y，不合题意； D 、（-x-1）2=x 2+2x+1，符合题意.故选D.考点：分式的基本性质.7．B解析：B【解析】试题分析：要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．解：由分子x 2﹣4=0解得：x=±2． 当x=2时分母x 2﹣2x=4﹣4=0，分式没有意义； 当x=﹣2时分母x 2﹣2x=4+4=8≠0． 所以x=﹣2．故选B ．8．B解析：B【详解】解：根据科学记数法的表示—较小的数为10n a ⨯，可知a=9.07，n=-5，即可求解. 故选B【点睛】本题考查科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．9．A解析：A 【解析】试题解析：∵113x y +=， ∴x+y=3xy， ∴23223333===23255x xy y xy xy xy x xy y xy xy xy -+⨯-+++． 故选A ．10．A解析：A【解析】分析：本题考查的是负指数幂的运算.解析：①10－3＝0.00001，故①错误；②(0.0001)0＝1正确；③3a －2＝23a ，故③错误；④(－2)3÷(－2)5＝2－2，故④错误.故选A.11．B解析：B【解析】根据分式的值为0，分子为0，分母不为0可得且x+2≠0，解得x=2，故选B. 12．B解析：B【解析】1÷11mm+-·(m2－1)＝1×11mm-+(m＋1)·(m－1)＝－(m－1)2＝－m2＋2m－1.13．B 解析：B 【解析】A. 当2x+1≠0时,分式有意义,即x≠−12，所以A选项错误；B. 当x为任何实数，分式有意义，所以B选项正确；C. 当3x+1≠0时，分式有意义，即x≠−1，所以C选项错误；D. 当x²≠0时，分式有意义，即x≠0，所以D选项错误．故选B.14．A解析：A【解析】由科学记数法知0.0000025=2.5×10−6，故选A.15．C解析：C【详解】==，由题意可知x-1=1，-1，-2,2为整数，且x≠±1，解得：x=2,0,3故选：C.16．B解析：B【解析】试题分析：依据分式的定义进行判断即可．解：分母中不含字母，故不是分式；分母中含有字母是分式；+分母不含字母，故不是分式；分母中含有字母是分式；中π是数字，不是字母，故不是分式．故选B17．B解析：B【解析】由题意得==，缩小为原来的故选B18．D解析：D【解析】根据分式的基本性质作答，分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，即可得出答案．解：A、==1，故本选项正确；B、==﹣1，故本选项正确；C、，故本选项正确；D、，故本选项错误；故选D．19．B解析：B【解析】根据科学记数法的书写规则，易得B.20．B解析：B【解析】①是最简分式；②，不是最简分式；③=，不是最简分式； ④是最简分式；最简分式有①④，共2个；故选：B.21．C解析：C 【解析】试题解析：故选C. 22．B解析：B【解析】试题分析：根据分式的意义，可知x-4≠0，解得x≠4，根据二次根式有意义的条件可知x-3≥0，解得x≥3，因此x 的取值范围为x≥3，且x≠4.故选：B.点睛：此题主要考查了复合算式有意义的条件，解题关键是根据复合算式的特点，逐步确定条件即可.主要有：分式有意义的条件是分母不等于0，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.23．D解析：D【解析】根据不等式的基本性质可知，A. 6a >−6，正确；B. 2a ＞12- , 正确； C. a +1>0，正确；D. 根据性质3可知，a >−1两边同乘以−5时，不等式为−5a <5，故D 错误；故选D.24．C解析：C【解析】a =31()2-=8，b =(−2) ² =4，c =(π−2015) º =1，∵1<4<8，∴c <b <a ，故选C.25．C解析：C【解析】 分式22a b ab+中的a 和b 都扩大了2倍，得: 4212822a b a b ab ab++=⨯, 所以是缩小了2倍.故选C.。
初中数学知识归纳分式的化简和运算
初中数学知识归纳分式的化简和运算在初中数学中，分式的化简和运算是一个重要的知识点。
我们将在本文中对这一内容进行归纳和总结。
一、分式的化简要化简一个分式，我们需要将其化简为最简形式。
在化简分式时，我们可以使用以下方法：1.因式分解法如果分子和分母都是多项式，我们可以尝试使用因式分解法来化简分式。
首先，我们需要对分子和分母进行因式分解，然后消去分子和分母的公因式，并将得到的结果写成最简形式。
例如，化简分式$\frac{6x^2}{12x}$，我们可以将分子和分母都因式分解为$2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$和$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x$，然后消去公因式$2 \cdot 3 \cdot x$，得到最简形式$\frac{x}{2}$。
2.约分法如果分式的分子和分母存在公因式，我们可以使用约分法来化简。
具体做法是将分子和分母的公因式约去，保留最简形式。
例如，化简分式$\frac{8y}{12}$，我们可以发现分子和分母都可以被2整除，即存在公因式2。
约去公因式2后，得到最简形式$\frac{4y}{6}$。
再次约分，得到$\frac{2y}{3}$。
二、分式的运算在进行分式运算时，我们主要涉及到加法、减法、乘法和除法。
下面我们将分别介绍这些运算的方法。
1.分式的加法和减法要进行分式的加法和减法，我们需要先找到这些分式的公共分母，然后将分子进行相应的加法或减法操作，并保持公共分母不变。
例如，我们要计算$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$，首先找到这两个分式的公共分母，由于2和3的最小公倍数为6，因此通分后，我们得到$\frac{3}{6}+\frac{4}{6}=\frac{7}{6}$。
最后，我们可以将$\frac{7}{6}$化简为最简形式，得到$\frac{7}{6}$。
2.分式的乘法对于分式的乘法，我们只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。
数学八下分式
数学八下分式
八年级下册数学课程中有关分式的主题主要包括分式的运算、分式的化简、分式方程等内容。
以下是八年级下册数学中关于分式的一些常见知识点：
1. 分式的乘法和除法：学习如何进行分式的乘法和除法运算，包括分子乘法、分母乘法、分子除法和分母除法等。
2. 分式的加法和减法：掌握分式的加法和减法运算规则，包括通分、合并同类项等操作。
3. 分式的化简：学习如何化简分式，包括约分、提取公因式、分子分母同乘同除等方法，使分式的表达更简洁。
4. 分式方程：解决涉及分式的方程，包括一元一次分式方程和一元二次分式方程等，掌握解题的方法和技巧。
5. 分式的应用：了解分式在实际问题中的应用，如物品分配、比例关系、时间速度等问题，通过分式运算解决实际生活中的计算问题。
八年级下册数学中的分式知识是数学学习中的重要内容，需要通过练习和实践来加深理解和掌握。
建议学生多做练习题，加强对分式运算规则的理解和掌握，提高解决问题的能力和技巧。
2022最新湘教版初中数学八年级上册数学知识点大全
第3章 实 数
要点梳理
一、平方根
1. 平方根的概念及性质 a (1)定义：若r2=a，则r叫作a的一个平方根. (2)性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；
0的平方根是0，负数没有平方根.
2. 算术平方根的概念及性质 a (1)定义：a的正平方根叫作a的算术平方根. (2)性质：0的算术平方根是0，只有非负数才有算术平
2. 线段垂直平分线性质定理的逆定理(判定) 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
3. 线段垂直平分线的作法
五、全等三角形 1.全等三角形的性质
对应角相等，对应边相等
2.全等三角形的判定 SAS ASA AAS SSS
3.三角形的稳定性
依据：SSS
六、用尺规作三角形 1.作一个角的平分线
方程； （2）解：解这个整式方程； （3）验：把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的
值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则， 这个解不是原分式方程的解，而是其增根，舍去；
（4）写根：写出原方程的根.
3.列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：审清题意，弄清楚已知量和未知量的关系； （2）找：找出题目中的等量关系； （3）设：根据题意设出未知数； （4）列：列出分式方程； （5）解：解这个分式方程； （6）验：检验，既要检验所求的解是否为所列分式方程
分式的除法
（1）同分母分式相加减
分式的乘方
（2）异分母分式加减时需通分化为同分母分式加减.这个相同的 分母叫公分母.
(确定公分母的方法:一般取各分母系数的最小公倍数与各分母各 个因式的最高次幂的积为公分母)
三、整数指数幂
1.同底数幂除法：a m an
amn
(a≠0, m、n为正整数且m>n)
(易错题精选)最新初中数学—分式的图文答案(1)
一、选择题1．（下列化简错误的是（ ）A ）﹣1=2B =2C 52=±D ）0=12．下列各式中，正确的是（ ） A ．a m ab m b+=+ B ．a b0a b+=+ C ．ab 1b 1ac 1c 1--=-- D ．22x y 1x y x y-=-+3．分式x 22x 6-- 的值等于0，则x 的取值是 A ．x 2=B ．x ?2=-C ．x 3=D ．x ?3=-4．计算： ()332xy ?-一 的结果是A ．398x y --B ．398x y ---C ．391x y 2---D ．361x y 2---5．在式子：2x、5x y + 、12a - 、1x π-、21x x +中，分式的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．下列关于分式的判断，正确的是( )A ．当x =2时，12x x +-的值为零B ．无论x 为何值，231x +的值总为正数C ．无论x 为何值，31x +不可能得整数值D ．当x ≠3时，3x x-有意义7．下列各式中，正确的是（ ）．A ．1122b a b a +=++B ．22142a a a -=-- C ．22111(1)a a a a +-=-- D ．11b ba a---=- 8．下列变形正确的是（ ）.A ．11a ab b +=+ B ．11a ab b--=-- C ．221a b a b a b-=-- D ．22()1()a b a b --=-+ 9．下列计算，正确的是（ ）A ．2(2)4--=B ．222()-=-C ．664(2)64÷-=D ．826-=10．下列选项中，使根式有意义的a 的取值范围为a ＜1的是（ ） A ．a 1-B ．1a -C ．()21a - D ．11a- 11．下面是一位同学所做的5道练习题： ①()325a a = ，②236a a a ⋅=，③22144m m-=， ④()()253aa a -÷-=-，⑤()3339a a -=-，他做对题的个数是 （ ）A ．1道B ．2道C ．3道D ．4道12．若分式||11x x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1C ．±1 D ．无解13．4a +在实数范围内有意义，则a 的取值范围是（ ） A ．4a ≠- B ．4a ≥-C ．4a >-D ．4a >-且0a ≠14．如果把分式2mnm n-中的m.n 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A ．扩大9倍B ．扩大3倍C ．扩大6倍D ．不变15．下列分式中：xy x ，2y x -,+-x yx y，22x y x y +-不能再约分化简的分式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．分式b ax ，3c bx -，35acx 的最简公分母是（ ） A ．5cx 3 B ．15abcxC ．15abcx 3D ．15abcx 517．已知m ﹣1m 7，则1m+m 的值为（ ） A ．±11B 11C ．±7D ．1118．下列计算正确的是（ ）A ．3x x＝xB ．11a b ++＝abC ．2÷2﹣1＝﹣1D ．a ﹣3＝（a 3）﹣119．下列运算正确的是( )A ．a ﹣3÷a ﹣5＝a 2 B ．(3a 2)3＝9a 5 C ．(x ﹣1)(1﹣x)＝x 2﹣1D ．(a+b)2＝a 2+b 220．下列说法：①在一个装有2白球和3个红球的袋中摸3个球，摸到红球是必然事2(21)12a a +=--，则12a ≥-； 181822a ba b -+是最简分式；其中正确的有（）个．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个21．若a ＝－0.32，b ＝－3－2，c ＝（－13)－2，d ＝（－13)0，则它们的大小关系是（ ） A ．a<c<b<d B ．b<a<d<cC ．a<b<d<cD ．b<a<c<d22．如果把分式2+mm n中的m 和n 都扩大2倍，那么分式的值 （ ） A ．扩大4倍B ．缩小2倍C ．不变D ．扩大2倍23．如果2310a a ++=，那么代数式229263a aa a ⎛⎫++⋅ ⎪+⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-24．下列分式从左到右的变形正确的是( )A ．2=2x xy yB ．22=x x y yC ．22=x x xx D ．515(2)2xx25．如果把分式2xx y-中的x 与y 都扩大2倍，那么分式的值（ ） A ．不变B ．扩大2倍C ．缩小2倍D ．扩大4倍【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】分别利用负指数幂的性质以及二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】A ﹣1=2，正确，不合题意；B ，正确，不合题意；C 52=，故此选项错误，符合题意；D 0=1，正确，不合题意； 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了负指数幂的性质以及二次根式的性质、零指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．2．D解析：D 【解析】A.在分式的分子、分母上同时加上或减去同一个非0的数或式子分式的值要改变，故A 错误；B.a ba b++=1，故B 错误； C.a 不是分子、分母的因式，故C 错误；D.22x y x y --=()()x y x y x y -+-=1x y+；故D 正确. 故选D.3．A解析：A 【解析】由题意得：20260x x -=⎧⎨-≠⎩，解得：2x =. 故选A.点睛：分式值为0需同时满足两个条件：（1）分子的值为0；（2）分母的值不为0.4．B解析：B 【解析】3333939(2)=(-2)8xy x y x y -------=-.故选B.5．B解析：B 【解析】 解：分式有2x 、12a -、21x x +共3个．故选B ． 点睛：此题主要考查了分式的定义，正确把握分式的定义是解题关键．6．B解析：B 【解析】A 选项中，因为当2x =时，分式12x x +-无意义，所以本选项错误； B 选项中，因为无论x 取何值，21x +的值始终为正数，则分式231x +的值总为正数，所以本选项正确；C 选项中，因为当2x =时，分式311x =+，所以本选项说法错误； D 选项中，因为0x ≠时，分式3x x-才有意义，所以本选项说法错误； 故选B.7．C解析：C 【解析】解；A ．分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，故A 错误； B ．分子除以（a ﹣2），分母除以（a +2），故B 错误；C ．分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故C 正确；D ．分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故D 错误； 故选C ．8．B解析：B 【解析】 A 选项中，11a b ++不能再化简，所以A 中变形错误； B 选项中，11a ab b--=--，所以B 中变形正确； C 选项中，221()()a b a b a b a b a b a b--==-+-+，所以C 中变形错误；D 选项中，2222()()1()()a b a b a b a b --+==++，所以D 中变形错误； 故选B.9．C解析：C 【解析】 【详解】 解：A ．()2124--=，所以A 错误；B 2=，所以B 错误；C ．()666664242264÷-=÷==，所以C 正确；D ==D 错误，故选C ．10．D解析：D 【解析】解：A ．当a ≥1时，根式有意义． B ．当a ≤1时，根式有意义． C ．a 取任何值根式都有意义．D ．要使根式有意义，则a ≤1，且分母不为零，故a ＜1． 故选D ．点睛：判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母的不等于0混淆．11．A解析：A 【解析】分析：原式各项利用幂的乘方，同底数幂的乘法，负整数指数幂法则，单项式除以单项式以及积的乘方计算得到结果，判断即可．详解：①236a a =（） ，故①错误；②235a a a ⋅=，故②错误； ③2244mm -=，故③错误； ④523a a a -÷-=-（）（），故④正确； ⑤33327a a -=-（）．故⑤错误．故选A ．点睛：本题考查了整式的除法，幂的乘方与积的乘方，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．12．A解析：A 【解析】试题解析：∵分式||11x x -+的值为0， ∴|x|﹣1=0，且x+1≠0， 解得：x=1． 故选A ．13．C解析：C 【解析】分析：根据二次根式与分式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出a 的范围． 详解：由题意可知：a+4＞0 ∴a ＞-4 故选C ．点睛：解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，本题属于基础题型．14．B解析：B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案. 【详解】 原式=1862333mn mn mnm n m n m n==⨯---故选B ． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．15．B解析：B 【分析】找出各项中分式分子分母中有没有公因式，即可做出判断． 【详解】xyx=y, 22x y x y +-= ()()x y x y x y ++-= 1x y -所以，不能约分化简的有：- 22y x +-x yx y共两个，故答案选B. 【点睛】本题考查的知识点是分式的约分，解题的关键是熟练的掌握分式的基本性质.16．C解析：C 【分析】要求分式的最简公分母，即取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积． 【详解】最简公分母为3⨯5⨯a ⨯b ⨯c ⨯x 3=15abcx 3 故答案选：C. 【点睛】本题考查的知识点是最简公分母，解题的关键是熟练的掌握最简公分母.解析：A 【分析】根据完全平方公式即可得到结果. 【详解】1m-=m21m-=7m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭, 221m -2+=7m ∴, 221m +=9m∴,22211m+=m +2+=11m m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,1m+m ∴=.故选A. 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟悉掌握公式是关键.18．D解析：D 【解析】 【分析】分子和分母同乘以（或除以）一个不为0的数，分数值不变． 【详解】A 、3x x=x 2，错误；B 、11a b ++＝+1+1a b ，错误； C 、2÷2﹣1＝4，错误； D 、a ﹣3＝（a 3）﹣1，正确； 故选D ． 【点睛】此题考查分式的基本性质，关键是根据把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变解答．19．A解析：A【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则、积的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答案． 【详解】A ．a ﹣3÷a ﹣5=a 2，故此选项正确；B ．（3a 2）3=27a 6，故此选项错误；C ．（x ﹣1）（1﹣x ）=﹣x 2+2x ﹣1，故此选项错误；D ．（a +b ）2=a 2+2ab +b 2，故此选项错误． 故选A ． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法运算法则、积的乘方运算法则、完全平方公式等知识，正确掌握相关运算法则是解题的关键．20．C解析：C 【解析】 【分析】根据必然事件的定义，二次根式的性质，最简分式的定义以及同类二次根式的定义进行判断． 【详解】①在一个装有2白球和3个红球的袋中摸3个球，摸到红球是必然事件，正确．②12a =--，则12a ≤-，错误；4== ④分式22a ba b -+是最简分式，正确；故选：C ． 【点睛】本题主要考查了随机事件、二次根式以及命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．21．B解析：B 【解析】 【分析】首先根据一个数的平方的计算方法，负整数指数幂的运算方法，以及零指数幂的运算方法，分别求出a 、b 、c 、d 的大小；然后根据实数大小比较的方法，判断出它们的大小关系即可．∵20221110.30.09,3,9,1933a b c d --⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴10.09199-<-<<, ∴b ＜a ＜d ＜c ． 故选：B ． 【点睛】考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a -p =1pa （a≠0，p 为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（3）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a 0=1（a≠0）；②00≠1．22．C解析：C 【解析】 【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），分式的值不变，可得答案． 【详解】 分式2+m m n 中的m 和n 都扩大2倍，得4222m mm n m n=++，∴分式的值不变， 故选A ． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），分式的值不变．23．D解析：D 【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a 2+3a+1=0，即可求得所求式子的值． 【详解】229263a a a a ⎛⎫++⋅ ⎪+⎝⎭， =22962•3a a a a a +++=()2232•3 a aa a++=2a（a+3）=2（a2+3a），∵a2+3a+1=0，∴a2+3a=-1，∴原式=2×（-1）=-2，故选D．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．24．D解析：D【分析】根据分式的基本性质逐项判断．【详解】解：A、当y=-2时，该等式不成立，故本选项错误；B、当x=-1，y=1时，该等式不成立，故本选项错误；C.22=x xx x--+-，故本选项错误；D、正确.故选D.【点睛】本题考查分式的基本性质，属于基础题型，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变．25．A解析：A【解析】分析：解答此题时，可将分式中的x，y用2x，2y代替，然后计算即可得出结论．详解：依题意得：2222xx y⨯-=222xx y⋅⋅-（）=原式．故选A．点睛：本题考查的是对分式的性质的理解和运用，扩大或缩小n倍，就将原来的数乘以n 或除以n．。
【教师卷】初中数学八年级数学上册第十五章《分式》知识点总结(培优)(1)
一、选择题1．将分式2+x x y中的x ，y 的做同时扩大到原来的3倍，则分式的值（ ） A ．扩大到原来的3倍 B ．缩小到原来的13 C ．保持不变 D ．无法确定A解析：A【分析】将x 变为3x ，y 变为3y 计算后与原式比较即可得到答案．【详解】 222(3)93333()x x x x y x y x y==⨯+++， 故分式的值扩大到原来的3倍，故选：A ．【点睛】此题考查分式的基本性质，正确掌握积的乘方运算，分解因式是解题的关键． 2．世界上数小的开花结果植物是激大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花架，质做只有0.000000076克，0.000000076用科学记数法表示正确的是（ ） A ．-60.7610⨯B ．-77.610⨯C ．-87.610⨯D ．-97.610⨯ C解析：C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】0.000000076=87.610-⨯，故选：C【点睛】此题考查了科学记数法，注意n 的值的确定方法，当原数小于1时，n 是负整数，n 等于原数左数第一个非零数字前0的个数，按此方法即可正确求解 3．如果分式11m m -+的值为零，则m 的值是（ ） A ．1m =- B ．1m = C ．1m =± D ．0m = B 解析：B【分析】先根据分式为零的条件列出关于m 的不等式组并求解即可．【详解】解：∵11m m -+=0∴m-1=0，m+1≠0，解得m=1．故选B ．【点睛】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解答本题的关键，同时分母不等于零是解答本题的易错点．4．若使分式2x x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠B ．0x =C ．1x ≠-D ．2x = A解析：A【分析】根据分式有意义分母不为零即可得答案．【详解】 ∵分式2x x -有意义， ∴x-2≠0，解得：x≠2．故选：A ．【点睛】 本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．5．已知分式34x x -+的值为0，则x 的值是（ ） A ．3B ．0C ．－3D ．－4A 解析：A【分析】根据分式的值为0的条件可以求出x 的值；分式为0时，分子为0分母不为0；【详解】由分式的值为0的条件得x-3=0，x+4≠0，由x-3=0，得x=3，由x+4≠0，得x≠-4，综上，得x=3时，分式34x x -+ 的值为0； 故选：A ．【点睛】本题考查了分式的值为0的情况，若分式的值为0，需要同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．6．计算()3222()m m m -÷⋅的结果是（ ） A ．2m -B ．22mC ．28m -D ．8m - C解析：C先分别计算积的乘方运算，再利用单项式除以单项式法则计算即可．【详解】解：()3222()m m m -÷⋅ ＝()468m m -÷＝()468m m -÷ ＝28m -，故选：C ．【点睛】本题考查单项式除以单项式，积的乘方运算．在做本题时需注意运算顺序，先计算积的乘方，再算除法．7．如图，若a 为负整数，则表示2a 111a a 1⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的值的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④C解析：C【分析】将所给式子化简，根据a 为负整数，确定化简结果的范围，再从所给图中可得正确答案．【详解】 解：2a 111a a 1⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭=()()a a 111a 1a a 1a 1+⎛⎫÷- ⎪+-++⎝⎭ =()()a a 1a 1a a 1÷+-+ =()()a a 11a 1a a+⋅+- =11a -； ∵a 为负整数，且a 1≠-，∴1a -是大于1的正整数，则1101a 2<<-． 故选C ．本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．8．分式242x x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．2-B ．2-或2C ．2D ．1或2C解析：C【分析】分式的值为零时，分子等于零，分母不等于零．【详解】解：依题意，得x 2-4=0，且x+2≠0，所以x 2=4，且x≠-2，解得，x=2．故选：C ．【点睛】本题考查了求一个数的平方根，分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．9．下列分式中，最简分式是（ ） A ．211x x +- B ．2211x x -+ C ．2222x xy y x xy -+- D ．21628x x -+ B 解析：B【分析】 最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分；【详解】A 、()()21111111x x x x x x ++==-+-- ； B 、2211x x -+ 的分子分母不能再进行约分，是最简分式； C 、()()22222x y x xy y x y x xy x x y x--+-==-- ； D 、()()()24416428242x x x x x x +---==++ ； 故选：B ．【点睛】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题，在解题中一定要引起注意；．10．已知227x ,y ==-，则221639y x y x y ---的值为（ ） A ．-1B ．1C ．-3D ．3B解析：B【分析】 先通分，再把分子相加减，把x 、y 的值代入进行计算即可．【详解】原式=()()16333y x y x y x y --+- =()()3633x y y x y x y +-+-=()()333x y x y x y -+- =13x y+， 当227x ,y ==-，原式=112221=-， 故选B ．【点睛】 本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．二、填空题11．已知3m n +=．则分式222m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭的值是_________．【分析】根据分式运算法则即可求出答案【详解】解：===当m+n=-3时原式=故答案为：【点睛】本题考查分式解题的关键是熟练运用分式的运算法则本题属于基础题型 解析：13【分析】根据分式运算法则即可求出答案．【详解】 解：222m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭=22(2)m n m mn n m m+-++÷=2()m n m m m n +⋅-+ =1m n-+， 当m+n=-3时， 原式=13 故答案为：13【点睛】 本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．12．已知关于x 的分式方程239133x mx x x ---=--无解，则m 的值为______．1或4【分析】先去分母将原方程化为整式方程根据一元一次方程无解的条件得出一个m 值再根据分式方程无解的条件得出一个m 值即可【详解】解：去分母得：2x-3-mx+9=x-3整理得：（m-1）x=9∴当m解析：1或4【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个m 值，再根据分式方程无解的条件得出一个m 值即可．【详解】解：去分母得：2x-3- mx+9 =x-3，整理得：（m-1）x=9，∴当m-1=0，即m=1时，方程无解；当m-1≠0时，由分式方程无解，可得x-3=0，即x=3，把x=3代入（m-1）x=9，解得：m=4，综上，m 的值为1或4．故答案为：1或4．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键． 13．已知2510m m -+=，则22125m m m -+=____．22【分析】根据m2﹣5m+1=0可得m+=55m=m2+1然后将原分式适当变形后整体代入计算即可【详解】解：∵m2﹣5m+1=0∴m ﹣5+=05m=m2+1∴m+=5∴2m2﹣5m+=2m2﹣m2解析：22【分析】根据m 2﹣5m+1=0可得m +1m =5，5m=m 2+1，然后将原分式适当变形后整体代入计算即可．【详解】解：∵m 2﹣5m+1=0，∴m ﹣5+1m =0，5m=m 2+1， ∴m +1m=5， ∴2m 2﹣5m+21m =2m 2﹣m 2﹣1+21m =m 2+21m ﹣1 =（m +1m）2﹣3 =52﹣3=25﹣3=22．故答案为：22．【点睛】 本题考查分式的求值．掌握整体代入思想是解题关键．在本题中还需理解22211()2m m m m+=++． 14．某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg ，甲型机器人搬运800kg 所用时间与乙型机器人搬运600kg 所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg 产品？根据以上信息，解答下列问题．（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，可列方程为______小惠同学设甲型机器人搬运800kg 所用时间为y 小时，可列方程为____________．（2）乙型机器人每小时搬运产品_______________kg ．【分析】（1）设乙型机器人每小时搬运产品根据甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等列方程；设甲型机器人搬运所用时间为小时根据甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运列方程；（2）设乙型机器人每 解析：80060010x x=+80060010y y =+ 【分析】（1）设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，根据甲型机器人搬运800kg 所用时间与乙型机器人搬运600kg 所用时间相等列方程；设甲型机器人搬运800kg 所用时间为y 小时，根据甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg 列方程；（2）设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，则甲型机器人每小时搬运（x+10）kg ，由题意得80060010x x=+，解方程即可． 【详解】（1）设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，则甲型机器人每小时搬运（x+10）kg ，由题意得 80060010x x=+， 设甲型机器人搬运800kg 所用时间为y 小时，由题意得80060010y y=+， 故答案为：80060010x x=+，80060010y y =+； （2）设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，则甲型机器人每小时搬运（x+10）kg ，由题意得 80060010x x=+， 解得x=30，经检验，x=30是方程的解，答：乙型机器人每小时搬运产品30kg ．故答案为：30．【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意，利用直接设未知数的方法和间接设未知数的方法列方程解决问题，注意：解分式方程需检验．15．观察给定的分式，探索规律：（1）1x ，22x ，33x ，44x ，…其中第6个分式是__________； （2）2x y ，43x y -，65x y ，87x y-，…其中第6个分式是__________； （3）2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…其中第n 个分式是__________（n 为正整数）．【分析】（1）分子是连续正整数分母是以x 为底指数是连续正整数第六个分式的分子是6分母是x6（2）分子是以x 为底指数是连续偶数分母是以y 为底指数是连续奇数第奇数个分式符号是正第偶数个分式符号为负第六个 解析：66x 1211x y - 31(1)n n n b a--【分析】（1）分子是连续正整数，分母是以x 为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是 x 6（2）分子是以x 为底，指数是连续偶数，分母是以y 为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x 12，分母是 y 11,（3）分子是以b 为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n 个指数是3n-1；分母是以a 为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n 个分式的符号是（-1）n , 分子是b 3n-1，分母是 a n ,【详解】解：（1）分子是连续正整数，分母是以x 为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是66x ， （2）分子是以x 为底，指数是连续偶数，分母是以y 为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是1211x y-， （3）分子是以b 为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n 个指数是3n-1；分母是以a 为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n 个符号为（-1）n ，所以，第六个分式是31(1)n nn b a-- 【点睛】 本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键16．23()a -＝______（a≠0），2-=______，1-=______．【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可【详解】=；；【点睛】此题考查了负整数指数幂：a-n=也考查了分母有理化解析：61a 13+ 【分析】 根据负整数指数幂的运算法则计算即可.【详解】23()a -=661a a -==；2-==13；1-=== 【点睛】此题考查了负整数指数幂：a -n =1(0)n a a ≠.也考查了分母有理化. 17．已知关于x 的分式方程211a x +=+的解是负数，则a 的取值范围_____________．且【分析】先解分式方程得到x=a+1根据方程的解是负数列不等式a+1<0且a+20求解即可得到答案【详解】解：a+2=x+1x=a+1∵方程的解是负数x≠-1∴a+1<0且a+20解得a<-1且a-解析：1a <-且2a ≠-【分析】先解分式方程得到x=a+1，根据方程的解是负数，列不等式a+1<0，且a+2≠0，求解即可得到答案．【详解】 解：211a x +=+ a+2=x+1x=a+1， ∵方程的解是负数，x≠-1∴a+1<0，且a+2≠0，解得a<-1，且a ≠-2，故答案为：1a <-且2a ≠-．【点睛】此题考查解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，解题中考虑分式的分母不等于0的情况．18．已知114y x-=，则分式2322x xy y x xy y +---的值为______．【分析】先根据题意得出x-y=4xy 然后代入所求的式子进行约分就可求出结果【详解】∵∴x-y=4xy ∴原式=故答案为：【点睛】此题考查分式的基本性质正确对已知式子进行化简约分正确进行变形是关键 解析：112【分析】先根据题意得出x-y=4xy ，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果．【详解】 ∵114y x-=， ∴x-y=4xy ， ∴原式=2()383112422x y xy xy xy x y xy xy xy -++==---，故答案为：112． 【点睛】 此题考查分式的基本性质，正确对已知式子进行化简，约分，正确进行变形是关键．19．约分：22618m n mn=-________________【分析】根据分式的基本性质:分子和分母同时除以6mn 化简【详解】故答案为：【点睛】此题考查分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式分式的值不变 解析：3m n-【分析】根据分式的基本性质:分子和分母同时除以6mn 化简．【详解】 22618m n mn=-3m n -， 故答案为：3m n -． 【点睛】此题考查分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．20．九年级()1班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x 千米/时，根据题意列方程为________．【分析】设慢车的速度为x 千米/小时则快车的速度为12x 千米/小时根据题意可得走过150千米快车比慢车少用小时列方程即可【详解】解：设慢车的速度为则快车的速度为根据题意得：故答案为：【点睛】本题考查了 解析：15011502 1.2x x-= 【分析】设慢车的速度为x 千米/小时，则快车的速度为1.2x 千米/小时，根据题意可得走过150千米，快车比慢车少用12小时，列方程即可． 【详解】解：设慢车的速度为xkm /h ，则快车的速度为1.2xkm /h ， 根据题意得：1501150x 2 1.2x-=．故答案为：1501150x 2 1.2x-=． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．三、解答题21．先化简，再求值：213(1)211x x x x x +--÷-+-，其中4x =-． 解析：1x x -；45【分析】 分式的混合运算，注意先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里的，然后代入求值即可．【详解】 解：213(1)211x x x x x +--÷-+- =2221(1)1(1)3x x x x x x -+-+-⨯-- =222111(1)3x x x x x x -+---⨯-- 2231(1)3x x x x x --=⨯-- 2(3)1(1)3x x x x x --=⨯-- 1x x =- 当4x =-时，原式441415x x -===---． 【点睛】 本题考查分式的混合运算，分式的化简求值，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．22．先化简，再求值：()()()()2222222a b a b b a a a b a ⎡⎤-+-+--÷⎣⎦，其中12a =，112b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 解析：a b --，32【分析】原式中括号中利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值．【详解】解：()()()()2222222a b a b b a a a b a ⎡⎤-+-+--÷⎣⎦()22222444422a ab b a b a ab a ⎡⎤=-++---÷⎣⎦()2224422a ab a ab a =--+÷()2222a ab a =--÷a b =--， ∵1122b -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴当12a =，2b =-时，原式()13222=---=． 【点睛】 本题考查了整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．某商店购进 A B 、两种商品，购买1个A 商品比购买1个B 商品多花10元，并且花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等（1）求购买一个A 商品和一个B 商品各需要多少元（2）商店准备购买A B 、两种商品共80个，若A 商品的数量不少于B 商品数量的4倍，并且购买A B 、商品的总费用不低于1000元且不高于1060元，那么商店有哪几种购买方案？ 解析：（1）购买一个A 商品需要15元，购买一个B 商品需要5元；（2）商店有3种购买方案，方案①：购进A 商品66个，B 商品14个；方案②：购进A 商品65个，B 商品15个；方案③：购进A 商品64个，B 商品16个【分析】（1）设购买一个B 商品需要x 元，则购买一个A 商品需要()10x +元，列出分式方程求解；（2）设购买B 商品m 个，则购买A 商品()80m -个，根据题意列出不等式组求出m 的范围，取整数解．【详解】解：()1设购买一个B 商品需要x 元，则购买一个A 商品需要()10x +元，依题意， 得：30010010x x=+， 解得：5x =， 经检验， = 5x 是原方程的解，且符合题意，1015x ∴+=，答：购买一个A 商品需要15元，购买一个B 商品需要5元；()2设购买B 商品m 个，则购买A 商品()80m -个，依题意，得：()()804158051000158051060m m m m m m ⎧-≥⎪-+≥⎨⎪-+≥⎩，解得：1416m ≤≤， m 为整数，14m ∴=或15或16，∴商店有3种购买方案，方案①：购进A 商品66个，B 商品14个，方案②：购进A 商品65个，B 商品15个，方案③：购进A 商品64个，B 商品16个．【点睛】本题考查分式方程的应用和不等式的应用，解题的关键是掌握根据题意列分式方程和不等式的方法．24．（1）计算：22y x x y x y-++ （2）解方程：4322x x x=+-- 解析：（1）y x -；（2）5x =． 【分析】（1）根据分式运算的性质，结合平方差公式计算，即可得到答案；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）22y x x y x y-++， =22y x x y-+， =()()x y x y x y +--+，=()x y y x --=-，y x =-；（2）4322x x x=+--， 去分母得()4=32x x --，去括号得436x x =--，移项合并得210x =，系数化1得5x =，当x=5时，25230x -=-=≠，所以x=5是原方程的解．【点睛】本题考查了分式的混合运算及解分式方程，能正确根据分式的运算法则进行化简以及掌握解分式方程的方法是解答此题的关键，注意解分式方程要验根．25．先化简，再求值：2246221121x x x x x x ++⎛⎫-÷⎪---+⎝⎭，其中x 取－1、＋1、－2、－3中你认为合理的数． 解析：22(1)x x -+；3x =-；4 【分析】先算分式的减法运算，再把除法化为乘法，进行约分化简，再代入求值，即可．【详解】 原式2462(1)2(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ⎡⎤+++=-÷⎢⎥+-+--⎣⎦ 224(1)(1)(1)(2)x x x x x +-=⋅+-+ ()211x x -=+221x x -=+ 当3x =-时，原式2(3)2431⨯--==-+． 【点睛】 本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则，是解题的关键．26．解答下列各题：（1）计算：()()()2233221x x x x x -⋅++--+（2）计算：()()()33323452232183a b cac a b a c -⋅÷-÷ （3）解分式方程：11222x x x++=-- 解析：（1）5x -；（2）19b ；（3）23x =【分析】 （1）首先利用同底数幂的乘法法则、平方差公式、完全平方公式计算，然后合并同类项求出答案；（2）先算积的乘方、幂的乘方，再从左到右计算同底数幂的乘法除法求出答案；（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）()()()2233221x x x x x -⋅++--+=223421x x x x +----=5x -；（2）()()()33323452232183a b cac a b a c -⋅÷-÷ =()()963345662721827a b c ac a b a c -⋅÷-÷=()()10664566541827a b c a b a c -÷-÷=()6666327a bc a c ÷ =19b ； （3）解分式方程：11222x x x++=-- 去分母得：1+2（x-2）=-（1+x ），去括号合并得，2x-3=-1-x ，移项合并得，3x=2， 解得：23x =， 经检验23x =是分式方程的解． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．也考查了解分式方程，去分母转化为整式方程是关键．27．计算：0212|( 3.14)()2π---+-解析：5【分析】先计算绝对值、0指数、负指数，再加减．【详解】解： 0212|( 3.14)()2π---+-214=+5=【点睛】本题考查了包含绝对值、0指数和负指数的实数计算，准确应用各种法则，熟练计算是解题关键．28．分式计算与解方程：（1）21211a a a a----； （2）121221x x x +=-+． 解析：（1）1a -；（2）13x =【分析】 （1）先对分式变形化成同分母的分式，然后利用同分母分式的运算法则运算即可； （2）利用分式的性质，将分式方程化成整式方程，然后再求解，最后验根得出结果．【详解】解：（1）21211a a a a ----21211a a a a -=+--2211a a a -+=-()211a a -=-1a =-； （2）121221x x x +=-+ 方程两边同乘()()221x x -+，得：()()()()2122122x x x x x ++-+=- 解得：13x =， 检验：当13x =时，()()2210x x -+≠， 所以，原方程的解为13x =． 【点睛】本题考查分式的加减运算及解分式方程，熟练掌握分式运算的法则及解分式方程的方法是解题的关键．。
最新初中数学方程与不等式之分式方程知识点总复习附答案解析(1)
最新初中数学方程与不等式之分式方程知识点总复习附答案解析(1) 一、选择题1．关于x 的方程无解，则m的值为（）A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5【答案】A【解析】解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m①．由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，代入整式方程①得：﹣5=﹣2+2+m，解得：m=﹣5．故选A．2．若数a使关于x的不等式组()3x a2x11x2x2⎧-≥--⎪⎨--≥⎪⎩有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式方程y51y--+3=ay1-有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【解析】【分析】由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可．【详解】不等式组整理得：13x ax≥-⎧⎨≤⎩，由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，分式方程去分母得：5-y+3y-3=a，即y=22a-，由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，故选：D．【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少千克货物．设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】 甲种机器人每小时搬运x 千克，则乙种机器人每小时搬运（x+600）千克， 由题意得：，故选B.【点睛】本题考查了列分时方程解实际问题的运用，解答时根据甲搬运5000kg 所用时间与乙搬运8000kg 所用时间相等建立方程是关键．4．若 x=3 是分式方程2102a x x --=- 的根，则 a 的值是 A ．5B ．-5C ．3D ．-3 【答案】A【解析】把x=3代入原分式方程得，210332a --=-，解得，a=5，经检验a=5适合原方程. 故选A.5．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（ ）A ．4 1.2540800x x ⨯-=B ．800800402.25x x -= C ．800800401.25x x-= D ．800800401.25x x -= 【答案】C【解析】【分析】 先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可．【详解】 小进跑800米用的时间为8001.25x 秒，小俊跑800米用的时间为800x秒， ∵小进比小俊少用了40秒， 方程是800800401.25x x-=， 故选C ．【点睛】 本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．6．如果关于x 的分式方程11222a x x-+=--有整数解，且关于x 的不等式组43(1)211(1)22x x x x a ≥-⎧⎪⎨-+<-⎪⎩有且只有四个整数解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．4B ．-2C ．-3D ．2 【答案】A【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，不等式组整理后，由解只有四个整数解，确定出a 的值，求出之和即可．【详解】解：分式方程去分母得：1-a+2x-4=-1， 解得：22a x +=，且222a +≠，a 为偶数， 即2a ≠，a 为偶数， 不等式组整理得：34x a x ≥-⎧⎪⎨⎪⎩＜， 由不等式组只有四个整数解，得到x=-3，-2，-1，0，可得0＜4a ≤1，即0＜a≤4，即a=1，2，3，4， 经检验a=4，则和为4，故选：A ．【点睛】 此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路x 公里，根据题意列出的方程正确的是（ ）A ．60(125%)6060x x ⨯+-= B ．6060(125%)60x x ⨯+-= C ．606060(125%)x x -=+ D ．606060(125%)x x-=+ 【答案】D【解析】【分析】设原计划每天修路x 公里，则实际每天的工作效率为(125%)x +公里，根据题意即可列出分式方程.【详解】解：设原计划每天修路x 公里，则实际每天的工作效率为(125%)x +公里， 依题意得：606060(125%)x x -=+． 故选：D ．【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.8．如果关于x 的不等式（a +1）x >2的解集为x <-1，则a 的值是（ ）．A ．a =3B ．a ≤-3C ．a =-3D ．a >3 【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解集得出关于a 的方程，解方程即可．【详解】解：因为关于x 的不等式（a +1）x >2的解集为x <-1，所以a+1＜0，即a ＜-1，且21a +=-1，解得：a=-3． 经检验a=-3是原方程的根故选：C ．【点睛】此题主要考查了不等式的解集，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．9．若数a 使关于x 的分式方程2311a x x x--=--有正数解，且使关于y 的不等式组21142y a y y a ->-⎧⎪⎨+⎪⎩有解，则所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a>-1且a ≠1，根据不等式组有解，即可得：a<3，找出所有的整数a 的个数为2．【详解】解方程2311a x x x--=--，得： 12a x +=， ∵分式方程的解为正数，∴1a +>0，即a>-1，又1x ≠， ∴12a +≠1，a ≠1， ∴a>-1且a ≠1， ∵关于y 的不等式组21142y a y y a ->-⎧⎪⎨+⎪⎩有解， ∴a-1<y ≤8-2a ，即a-1<8-2a ，解得：a<3，综上所述，a 的取值范围是-1<a<3，且a ≠1，则符合题意的整数a 的值有0、2，有2个，故选：B ．【点睛】本题考查了根据分式方程解的范围求参数的取值范围，不等式组的求解，找到整数解的个数，掌握分式方程的解法和不等式组的解法是解题的关键．10．关于x 的分式方程2x a 1x 1+=+的解为负数，则a 的取值范围是( ) A ．a 1>B ．a 1<C ．a 1<且a 2≠-D ．a 1>且a 2≠ 【答案】D【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可确定出a 的范围．【详解】分式方程去分母得：x 12x a +=+，即x 1a =-，因为分式方程解为负数，所以1a 0-<，且1a 1-≠-，解得：a 1>且a 2≠，故选D ．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.注意在任何时候都要考虑分母不为0．11．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）A ．606030(125%)x x -=+B ．606030(125%)x x-=+ C ．60(125%)6030x x⨯+-= D ．6060(125%)30x x⨯+-= 【答案】C【解析】 分析：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为125%x +万平方米， 依题意得：606030125%x x -=+，即()60125%6030x x ⨯+-=． 故选C ．点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．12．“绿水青山就是金山银山”某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了25%，结果提前30天完成了这任务，设原计划工作时每天绿化面积为x 万平方米，则下面所到方程中正确的是（ ） A ．()006060-30x 125x =+ B ．()6060-30125%x x =+ C ．()60125%60-30x x⨯+= D ．()60125%60-30x x ⨯+= 【答案】A【解析】【分析】根据实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了25%，结果提前30天完成了这任务，可列出方程．【详解】 解：设原计划工作时每天绿化面积为x 万平方米，则根据题意可得：()00606030125x x-=+，故答案为：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程．13．若分式方程2+1kx x 2--＝12x -有增根，则k 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】根据分式方程有增根得到x=2，将其代入化简后的整式方程中求出k 即可.【详解】解：分式方程去分母得：2（x ﹣2）+1﹣kx ＝﹣1，由题意将x ＝2代入得：1﹣2k ＝﹣1，解得：k ＝1．故选：C ．【点睛】此题考查分式方程的增根，由增根求方程中其他未知数的值，根据增根的定义得到方程的解是解题的关键.14．若整数a 使关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+的解为负数，且使关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩无解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．10 【答案】C【解析】【分析】解分式方程和不等式得出关于x 的值及x 的范围，根据分式方程的解不是增根且为负数和不等式组无解得出a 的范围，继而可得整数a 的所有取值，然后相加．【详解】解：解关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+，得x ＝−2a+1， ∵x ≠±1，∴a ≠0，a≠1，∵关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+的解为负数， ∴−2a+1＜0， ∴12a >， 解不等式1()02x a -->，得：x ＜a ， 解不等式2113x x +-≥，得：x≥4， ∵关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩无解， ∴a ≤4，∴则所有满足条件的整数a 的值是：2、3、4，和为9，故选：C ．【点睛】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的方法，并根据题意得到a 的范围是解题的关键．15．已知关于x 的分式方程21m x -+=1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤3B ．m≤3且m≠2C ．m ＜3D ．m ＜3且m≠2 【答案】D【解析】【分析】解方程得到方程的解，再根据解为负数得到关于m 的不等式结合分式的分母不为零，即可求得m 的取值范围.【详解】 21m x -+=1， 解得：x=m ﹣3，∵关于x 的分式方程21m x -+=1的解是负数， ∴m ﹣3＜0，解得：m ＜3，当x=m ﹣3=﹣1时，方程无解，则m≠2，故m 的取值范围是：m ＜3且m≠2，故选D．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不为零是解题关键．16．若整数a使得关于x的方程3222ax x-=--的解为非负数，且使得关于y的不等式组3221223y yy a--⎧+>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩至少有四个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（）．A．17 B．18 C．22 D．25【答案】C【解析】【分析】表示出不等式组的解集，由不等式至少有四个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和．【详解】解：3221223y yy a--⎧+>⎪⎪⎨-⎪⎪⎩，不等式组整理得：1 yy a>-⎧⎨⎩，由不等式组至少有四个整数解，得到－1＜y≤a，解得：a≥3，即整数a＝3，4，5，6，…，2－322ax x=--，去分母得：2（x－2）－3＝－a，解得：x＝72a -，∵72a-≥0，且72a-≠2，∴a≤7，且a≠3，由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为4，5，6，7，之和为22．故选：C．【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x 天，则可列方程为（ ） A ．900900213x x ⨯=+- B ．900900213x x =⨯+- C ．900900213x x ⨯=-+ D ．900900213x x =⨯-+ 【答案】A【解析】【分析】设规定时间为x 天，可得到慢马和快马需要的时间，根据快马的速度是慢马的2倍的速度关系即可列出方程．【详解】解：设规定时间为x 天，则慢马需要的时间为（x +1）天，快马的时间为（x -3）天， ∵快马的速度是慢马的2倍 ∴900900213x x ⨯=+- 故选A ．【点睛】 本题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程．18．关于x 的分式方程26344ax x x -+=---的解为正数，且关于x 的不等式组1722x a x x >⎧⎪⎨+≥-⎪⎩有解，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值之和为（ ） A ．12B ．14C ．16D ．18【答案】C【解析】【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a ＜2且a≠1，根据不等式组有解，即可得出a ＞-5，找出-5＜a ＜2且a≠1中所有的整数，将其相加即可得出结论．【详解】 解分式方程26344ax x x -+=---得：x=43a -， 因为分式方程的解为正数， 所以43a -＞0且43a-≠4， 解得：a ＜3且a≠2，解不等式1722x a x x >⎧⎪⎨+≥-⎪⎩，得：x≤a+7， ∵不等式组有解，∴a+7＞1，解得：a ＞-6，综上，-6＜a ＜3，且a≠2，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值的和为：|-5|+｜-4｜+｜-3｜+｜-2｜+｜-1｜+｜0｜+｜1｜=16，故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组有解，找出-6＜a ＜3且a≠2是解题的关键．19．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得 A ．25301018060(%)x x -=+ B ．253010180(%)x x -=+ C ．30251018060(%)x x -=+ D ．302510180(%)x x -=+ 【答案】A【解析】若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．解：设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，()253010180%60x x -=+ 故选A ．20．若关于x 的分式方程233x m x x -=--有增根，则m 的值是（ ） A ．1-B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】【分析】根据分式方程的增根的定义得出x-3=0，再进行判断即可．【详解】去分母得：x-2=m，∴x=2+m∵分式方程233x mx x-=--有增根，∴x-3=0，∴x= 3，∴2+m=3，所以m=1，故选：B．【点睛】本题考查了对分式方程的增根的定义的理解和运用，能根据题意得出方程x-3=0是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．。
分式运算初中数学知识点之分式的四则运算法则
分式运算初中数学知识点之分式的四则运算法则初中数学中，分式是一个重要的知识点，它在数学运算中起到了重要的作用。
分式的四则运算法则是我们学习分式运算的基础，掌握了这些法则，我们就能够正确地进行分式的加减乘除运算。
下面我们将详细介绍分式的四则运算法则。
一、分式的加法和减法假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，它们的分子分别为a和c，分母分别为b和d。
那么它们的加法运算可以通过以下步骤进行：1. 找到两个分式的公共分母，记为m；2. 将两个分式的分子分别乘以m/b和m/d，得到分子为am/b，cm/d的两个分式；3. 将两个新分式的分子相加，即(am/b) + (cm/d)；4. 分子的和除以公共分母m，即[(am/b) + (cm/d)] / m。
同样地，分式的减法运算也可以按照上述步骤进行，只需要将第3步的相加改为相减即可。
二、分式的乘法分式的乘法运算较为简单，只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。
假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，那么它们的乘法运算可以用以下公式表示：(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)。
三、分式的除法分式的除法与乘法类似，只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。
假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，那么它们的除法运算可以用以下公式表示：(a/b) / (c/d) = (a * d) / (b * c)。
需要注意的是，除法的时候我们需要将第二个分式取倒数后再进行乘法运算。
以上就是分式的四则运算法则，通过掌握这些法则，我们可以正确地进行分式的加减乘除运算。
在实际运算中，我们还需要注意约分的情况和分母为0的特殊情况。
当分式中的分子和分母有公因子时，我们需要将其约分为最简形式，即分子和分母没有共同的约数。
而当分式的分母为0时，这个分式是无定义的，因为在数学中，除数不能为0。
通过不断的练习和运用，我们可以更好地掌握分式的四则运算法则，为更复杂的数学运算打下坚实的基础。
分式的定义-初中数学知识点
1 / 1 分式的定义
1．分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B
叫做分式． （2）因为0 不能做除数，所以分式的分母不能为0 ．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是
A B
的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如12x x ++是分式，如果形式都不是A B
的形式，那就不能算是分式了，如：()()12x x +÷+ ，它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如 ()2a b -+ ，1y - ，则为分式，因为11y y
-= 仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．。
初中数学知识归纳分式方程的解法
初中数学知识归纳分式方程的解法初中数学知识归纳：分式方程的解法在初中数学学习中，分式方程是一个重要的知识点。
解决分式方程的问题，需要了解并掌握一些基本的解法和技巧。
本文将对初中数学中分式方程的解法进行归纳和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、分式方程的定义分式方程是指方程中存在有分数形式的未知数。
一般形式为：分子是未知数的有理式，分母不含未知数或者含有未知数的有理式。
例如：2/x + 3/x^2 = 1/x二、分式方程的基本解法1. 消去分母法有些分式方程的难点在于方程中含有未知数的分母，导致方程难以求解。
在这种情况下，我们可以利用消去分母的方法化简方程。
具体步骤如下：（1）找到分母的最小公倍数。
（2）将方程两边同乘以最小公倍数，以消去分母。
举例说明：对于方程 2/x + 3/(x+1) = 5/x(x+1)，我们可以采用以下步骤来解方程：（1）最小公倍数为 x(x+1)。
（2）两边同乘以 x(x+1)，得到 2x(x+1) + 3x = 5。
（3）化简方程 2x^2 + 2x + 3x = 5。
（4）整理方程得到 2x^2 + 5x - 5 = 0。
（5）利用因式分解或配方法求解上述方程，得到 x 的值。
2. 分离变量法对于分式方程中含有多个分式的情况，我们可以借助分离变量的方法将方程转化为更简单的形式。
具体步骤如下：（1）将方程中的分式分离，分别移至方程两边。
（2）通过移项的方式将方程变为等式。
（3）对方程两边进行合并和化简。
（4）解出未知数。
举例说明：对于方程 1/(x-3) + 1/(x+3) = 2/(x-1)，我们可以采用以下步骤来解方程：（1）方程中存在三个分式，我们将分式分离得到：1/(x-3) + 1/(x+3) - 2/(x-1) = 0。
（2）通过移项得到 (x+3)(x-1)+ (x-3)(x-1) - 2(x-3)(x+3) = 0。
（3）整理方程得到 (x^2+2x-3) + (x^2-4) - 2(x^2-9) = 0。
最新初中数学方程与不等式之分式方程知识点
最新初中数学方程与不等式之分式方程知识点一、选择题1．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）A．10x-102x=20 B．102x-10x=20 C．10x-102x=13D．102x-10x=13【答案】C【解析】【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【详解】由题意可得，10 x -102x=13，故选：C．【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．2．若数a使关于x的不等式组()3x a2x11x2x2⎧-≥--⎪⎨--≥⎪⎩有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式方程y51y--+3=ay1-有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【解析】【分析】由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可．【详解】不等式组整理得：13x ax≥-⎧⎨≤⎩，由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，分式方程去分母得：5-y+3y-3=a，即y=22a-，由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，故选：D．【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．如果关于x的不等式（a+1）x>2的解集为x<-1，则a的值是（）．A．a=3 B．a≤-3 C．a=-3 D．a>3【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解集得出关于a的方程，解方程即可．【详解】解：因为关于x的不等式（a+1）x>2的解集为x<-1，所以a+1＜0，即a＜-1，且21a+=-1，解得：a=-3．经检验a=-3是原方程的根故选：C．【点睛】此题主要考查了不等式的解集，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．4．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与做60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（）A．90606x x=-B．90606x x=+C．90606x x=-D．90606x x=+【答案】A 【解析】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣6）个零件，由题意得：90606x x=-．故选A．5．甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（）A ．1101002x x =+ B ．1101002x x =+ C ．1101002x x=- D ．1101002x x =- 【答案】A 【解析】设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．解：设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，由题意得：1102x +=100x， 故选A ．6．若关于x 的方程244x ax x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．-4 B ．2C ．0D ．4【答案】D 【解析】 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x-4=0，得到x=4．再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4. 【详解】解：由分式方程的最简公分母是x-4， ∵关于x 的方程244x a x x =+--有增根， ∴x-4=0，∴分式方程的增根是x=4．关于x 的方程244x a x x =+--去分母得x=2(x-4)+a, 代入x=4得a=4 故选D ． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．7．下列运算正确的是( )A ．25=B ．()33626x x =C ．3222x x x ÷=D ．若111x x -=-则211x x -+= 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出每一项的结果，再进行判断即可. 【详解】A. 2=B. ()33928x x =，故原选项错误；C. 3222x x x ÷= ，计算正确；D. 若111x x -=-则22=0x -，，故原选项错误 故选C. 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、积的乘方与幂的乘方、单项式除以单项式和解分式方程，熟练运用法则是解题关键.8．为有效落实党中央“精准扶贫”战略决策，某市对农村实施“户户通”修路计划，已知该市计划在某村修路5000m ，在修了1000m 后，由于引入新技术，工作效率提高到原来的1.2倍，结果提前5天完成了任务.若设原来每天修路 m x ，则可列方程为( ) A ．50004000100051.2x x x=+- B ．5000100040005 1.2x x x+=+ C ．5000400010005 1.2x x x -=+ D ．5000100040005 1.2x x x-=+ 【答案】D 【解析】 【分析】本题依题意可知等量关系为原计划工作时间-实际工作时间=5，根据等量关系列出方程即可.【详解】设原来每天修路xm ，引入新技术后每天修路1.2xm ，实际工作天数为（100040001.2x x+），原计划工作天数为5000x天，根据题意得， 5000100040005 1.2x x x -=+， 故选D. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，列出关系式．9．解分式方程11222xx x-+=--的结果是（）A．x="2" B．x="3" C．x="4" D．无解【答案】D【解析】【分析】【详解】解：去分母得：1﹣x+2x﹣4=﹣1，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无解．故选D．考点：解分式方程．10．关于x的方程无解，则m的值为（）A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5【答案】A【解析】解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m①．由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，代入整式方程①得：﹣5=﹣2+2+m，解得：m=﹣5．故选A．11．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（）A．1000100030x x-+=2 B．1000100030x x-+=2C．1000100030x x--=2 D．1000100030x x--=2【答案】A【解析】分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据题意，可列方程：1000100030x x-+=2，故选A．点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．12．为保证某高速公路在2019年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用30天，如果甲乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务．若设规定的时间为x 天，由题意可以列出的方程是（ ） A ．111103020+=--+x x x B ．111103020+=++-x x x C ．111103020-=++-x x x D ．111102030+=-+-x x x 【答案】B 【解析】【分析】设规定的时间为x 天．则甲队单独完成这项工程所需时间是（x+10）天，乙队单独完成这项工程所需时间是（x+30）天．根据甲、乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务，列方程为111103020+=++-x x x . 【详解】设规定时间为x 天，则 甲队单独一天完成这项工程的110+x ， 乙队单独一天完成这项工程的130x +， 甲、乙两队合作一天完成这项工程的120x -. 则111103020+=++-x x x . 故选B. 【点睛】此题考查分式方程，解题关键在于由实际问题抽象出分式方程.13．解分式方程221112x x x x --=--时，去分母后所得的方程正确的是（ ） A ．220x x -+= B ．4241x x x -+=- C ．4241x x x +-=- D ．221x x x +-=-【答案】C 【解析】 【分析】根据等式的性质，方程两边同时乘以最简公分母2（x-1），整理即可得答案． 【详解】∵221112x x x x --=--， ∴221112x x x x -+=--， 方程两边同时乘以最简公分母2（x-1）得：4x+2(x-2)=x-1， 去括号得：4x+2x-4=x-1， 故选：C ． 【点睛】本题考查解分式方程，正确得出最简公分母是解题关键．14．已知关于x 的分式方程213x mx -=-的解是非正数，则m 的取值范围是（ ） A ．3m ≤ B ．3m <C ．3m >-D ．3m ≥-【答案】A 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m 的范围即可 【详解】213x mx -=-， 方程两边同乘以3x -，得23x m x -=-，移项及合并同类项，得3x m =-，Q 分式方程213x mx -=-的解是非正数，30x -≠，30(3)30m m -≤⎧∴⎨--≠⎩， 解得，3m ≤， 故选：A ． 【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m 的值15．如果关于x 的分式方程2ax 423x x 3++=--有正整数解，且关于y 的不等式组()3y 34yy a⎧-⎨≥⎩＞无解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．﹣16B ．﹣15C ．﹣6D ．﹣4【答案】D 【解析】 【分析】先根据分式方程有正整数解确定出a 的值，再由不等式组无解确定出满足题意的a 的值，求出之和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：2+ax ﹣2x+6＝﹣4， 整理得：(a ﹣2)x ＝﹣12(a ﹣2≠0)， 解得：x 12a 2=--， 由分式方程有正整数解，得到a ＝1，0，﹣1，﹣2，﹣4，﹣10， 当a ＝﹣2时，x ＝3，原分式方程无解， 所以a ＝1，0，﹣1，﹣4，﹣10，不等式组整理得：y<9y a -⎧⎨≥⎩，由不等式组无解，即a≥﹣9，∴符合条件的所有整数a 有1，0，﹣1，﹣4， ∴a ＝1，0，﹣1，﹣4，之和为﹣4， 故选：D ． 【点睛】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．若关于x 的分式方程2233x mx x -=--有增根，则m 的值为（ ）．A ．3B ．CD ．【答案】D 【解析】解关于x 的方程2233x mx x -=--得：26x m =-， ∵原方程有增根，∴30x -=，即2630m --=，解得：m = 故选D.点睛：解这类题时，分两步完成：（1）按解一般分式方程的步骤解方程，用含待定字母的式子表示出方程的根；（2）方程有增根，则把（1）中所得的结果代入最简公分母中，最简公分母的值为0，由此即可求得待定字母的值.17．甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x个，那么可列方程为( )A．30x＝456x+B．30x＝456x-C．306x-＝45xD．306x+＝45x【答案】A【解析】【分析】设甲每小时做x个，乙每小时做（x+6）个，根据甲做 30 个所用时间与乙做 45 个所用时间相等即可列方程.【详解】设甲每小时做 x 个，乙每小时做（x+6）个，根据甲做 30 个所用时间与乙做 45 个所用时间相等可得30x=456x+.故选A．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，正确找出等量关系是解决问题的关键．18．《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（）A．900900213x x⨯=+-B．900900213x x=⨯+-C．900900213x x⨯=-+D．900900213x x=⨯-+【答案】A【解析】【分析】设规定时间为x天，可得到慢马和快马需要的时间，根据快马的速度是慢马的2倍的速度关系即可列出方程．【详解】解：设规定时间为x天，则慢马需要的时间为（x+1）天，快马的时间为（x-3）天，∵快马的速度是慢马的2倍∴900900213 x x⨯=+-故选A．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程．19．对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：23a b a ab⊗=-，这里等式右边是通常的四则运算．若32x x ⊗⊗（﹣）＝，则x 的值为（ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】利用题中的新定义变形已知等式，然后解方程即可． 【详解】根据题中的新定义化简得：339342x x=+-，去分母得：12﹣6x =27+9x ，解得：x =﹣1，经检验x =﹣1是分式方程的解． 故选B ． 【点睛】本题考查了新定义和解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．关于x 的分式方程230+=-x x a解为4x =，则常数a 的值为( ) A ．1a = B ．2a =C ．4a =D ．10a =【答案】D 【解析】 【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a 的一次方程，解得a 的值即可． 【详解】解：把x=4代入方程230+=-x x a，得 23044a +=-， 解得a=10．经检验，a=10是原方程的解 故选D ．点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．。
分式的化简求值-初中数学知识点
分式的化简求值
1．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为时，原式=”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
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一、选择题1．2018年3月3日，新浪综合网报道：“中科院发明首个抗癌DNA 纳米机器人，可精准阻断肿瘤血管饿死肿瘤!”．中国科学家团队研发出的这种可编程、基于 DNA 折纸技术的纳米机器人大小只有90×60×2nm ，nm 是长度计量单位，1nm=0.000000001米，则2nm 用科学记数法表示为（ ）A ．2×109米 B ．20×10-8米 C ．2×10-9米 D ．2×10-8米 2．下列判断错误．．的是（ ） A ．当23x ≠时，分式132x x +-有意义 B ．当a b 时，分式22aba b -有意义 C ．当12x =-时，分式214x x+值为0D ．当x y ≠时，分式22x yy x--有意义3．分式x 5x 6-+ 的值不存在，则x 的取值是 A ．x ?6=-B ．x 6=C ．x 5≠D ．x 5=4．下列式子中，错误的是 A ．1a a 1a a --=- B ．1a a 1a a ---=- C ．1a 1aa a---=- D ．1a 1aa a+---= 5．下列分式：24a 5b c ，23c 4a b ，25b2ac 中，最简公分母是 A ．5abc B ．2225a b cC ．22220a b cD ．22240a b c6．分式：22x 4- ，x 42x- 中，最简公分母是 A ．()()2x 4?42x --B ．()()x 2x ?2+C ．()()22x 2x 2-+-D ．()()2x 2?x 2+-7．下列各式中，正确的是（ ）． A ．1122b a b a +=++B ．22142a a a -=-- C ．22111(1)a a a a +-=-- D ．11b ba a ---=- 8．计算32-的结果是（ ） A ．-6B ．-8C ．18-D ．189．如果112111S t t =+，212111S t t =-，则12S S =（ ）A ．1221t t t t +- B ．2121t t t t -+ C ．1221t t t t -+ D ．1212t t t t +- 10．下列各式中的计算正确的是（ ）A ．22b b a a=B ．a ba b++=0 C ．a c ab c b+=+ D ．a ba b-+-=-1 11．分式a x ，22x y x y +-，2121a a a --+，+-x y x y中，最简分式有（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．把分式2210x y xy+中的x y 、都扩大为原来的5倍，分式的值（ ）A ．不变B ．扩大5倍C ．缩小为15D ．扩大25倍13．下列各式计算正确的是（ ）A ．a x ab x b+=+ B ．112a b a b+=+C ．22()a a b b=D ．11x y x y-=-+- 14．若()3231tt --=，则t 可以取的值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．下列各式：2116,,4,,235x y xx y x π++-中，分式有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个16．分式b ax ，3c bx -，35a cx的最简公分母是（ ） A ．5cx 3 B ．15abcxC ．15abcx 3D ．15abcx 517．已知12x y-=3，分式4322x xy y x xy y +-+-的值为( )A ．32B ．0C ．23D ．9418．氢原子的半径约为0.000 000 000 05m ，用科学记数法表示为（ ）A ．5×10﹣10m B ．5×10﹣11m C ．0.5×10﹣10m D ．﹣5×10﹣11m 19．下列计算正确的是（ ）A ．3x x＝xB ．11a b ++＝abC ．2÷2﹣1＝﹣1D ．a ﹣3＝（a 3）﹣120．下列说法：①在一个装有2白球和3个红球的袋中摸3个球，摸到红球是必然事12a =--，则12a ≥-；22a ba b -+是最简分式；其中正确的有（）个．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个21．若（x -2016）x =1，则x 的值是（ ） A ．2017B ．2015C ．0D ．2017或022．在12 ，2x y x - ，212x + ，m +13 ，－2x y - 中分式的个数有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个23．如果把代数式x yxy+中的x 与y 都扩大到原来的8倍，那么这个代数式的值（ ） A ．不变 B ．扩大为原来的8倍 C ．缩小为原来的18D ．扩大为原来的16倍24．下列运算错误的是（ ）A 4=B ．12100-=C 3=- D 2=25．下列分式中，最简分式是（ ）A ．x y y x--B ．211x x +-C ．2211x x -+D ．2424x x -+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C【解析】分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 详解：0.000000001×2=2×10﹣9． 故选C ．点睛：本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10﹣n ，其中1≤|a |＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．B解析：B 【解析】A 、当分母3x-2≠0，即当x≠23时，分式x 13x 2+-有意义．故本选项正确； B 、当分母a 2-b 2≠0，即a≠±b 时，分式22aba b -有意义．故本选项错误；C 、当分子2x+1=0，即x ＝−12时，分式2x 14x+值为0．故本选项正确； D 、当分母y-x≠0，即x≠y 时，分式22x y y x--有意义．故本选项正确；故选：B ．3．A解析：A 【解析】 ∵分式56x x -+的值不存在， ∴分式56x x -+无意义， ∴60x +=，解得：6x =-. 故选A.4．B解析：B 【解析】 A 选项中，1(1)1a a a a a a ----==--，所以A 正确； B 选项中，1(1)1a a a a a a -----=-=---，所以B 错误； C 选项中，11a aa a ---=-，所以C 正确； D 选项中，11a aa a+---=，所以D 正确. 故选B.5．C解析：C 【解析】根据最简公分母的定义：“通常取各分母的系数的最小公倍数与各分母中所有字母因数的最高次幂的积作为各分母的公分母，这个公分母叫做这几个分式的最简公分母”可知，分式：24a 5b c ，23c 4a b ，25b 2ac 的最简公分母是：22220a b c . 故选C.6．D解析：D 【解析】∵2224(2)(2)x x x =-+-，422(2)x xx x =---，∴分式22 442xx x --、的最简公分母是：2(2)(2)x x +-. 故选D.7．C解析：C 【解析】解；A ．分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，故A 错误； B ．分子除以（a ﹣2），分母除以（a +2），故B 错误；C ．分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故C 正确；D ．分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故D 错误； 故选C ．8．D解析：D 【解析】3311228-==. 故选D. 9．B解析：B 【解析】∵112111S t t =+，212111S t t =-， ∴S 1=1212t t t t +，S 2=1221t t t t -，∴12112211221221t t s t t t t t t s t t t t +-==+-， 故选B ．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.10．D解析：D 【解析】解：A ． 22b b a a≠，故A 错误；B ．a ba b++=1，故B 错误；C ． a c ab c b+≠+，故C 错误； D ．a ba b -+-=-1，正确． 故选D ．11．B解析：B 【解析】 试题解析：a x，+-x y x y 是最简分式， 221()()x y x y x y x y x y x y ++==-+--，2211121(1)1a a a a a a --==-+--．故选B.12．A解析：A 【详解】∵要把分式2210x y xy+中的x y 、都扩大5倍，∴扩大后的分式为：()()()22222225551055251010x y x y xy x yxyxy+++==⨯⨯⨯，∴把分式2210x y xy+中的x y 、都扩大5倍，分式的值不变.故选A.点睛：解这类把分式中的所有字母都扩大n 倍后，判断分式的值的变化情况的题，通常是用分式中每个字母的n 倍去代替原来的字母，然后对新分式进行化简，再把化简结果和原来的分式进行对比就可判断新分式和原分式相比值发生了怎样的变化.13．D解析：D 【解析】根据分式的基本性质，可知A 不正确；根据异分母的分式相加，可知11a b +=b a a b ab ab ab ++=，故不正确；根据分式的乘方，可知2a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭22a b ，故不正确；根据分式的性质，可知11x y x y-=-+-，故正确. 故选：D.解析：B 【解析】 【分析】根据任何非0数的零次幂等于1，1的任何次幂等于1，-1的偶数次幂等于1解答． 【详解】当3-2t=0时，t=32，此时t-3=32-3=-32，（-32）0=1， 当t-3=1时，t=4，此时3-2t=2-3×4=-6，1-6=1， 当t-3=-1时，t=2，此时3-2t=3-2×2=-1，（-1）-1=-1，不符合题意， 综上所述，t 可以取的值有32、4共2个． 故选：B ． 【点睛】本题考查了零指数幂，有理数的乘方，要穷举所有乘方等于1的数的情况．15．A解析：A 【解析】分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 详解：216,,4,,23x y xx y π++的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．15x -的分母中含有字母，因此是分式． 故选A ．点睛：本题主要考查分式的定义,注意π不是字母,6xπ是常数,所以不是分式,是整式.16．C解析：C 【分析】要求分式的最简公分母，即取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积． 【详解】最简公分母为3⨯5⨯a ⨯b ⨯c ⨯x 3=15abcx 3 故答案选：C. 【点睛】本题考查的知识点是最简公分母，解题的关键是熟练的掌握最简公分母.17．A解析：A【分析】先根据题意得出2x-y=-3xy，再代入原式进行计算即可．【详解】解：∵12x y-=3,∴2x-y=-3xy，∴原式=()()2232x y xyx y xy-+-+，=633xy xyxy xy-+-+，=32xyxy --，=32，故选A．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．18．B解析：B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.00000000005=5×10﹣11．故选B．【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．19．D解析：D【解析】【分析】分子和分母同乘以（或除以）一个不为0的数，分数值不变．【详解】A 、3x x=x 2，错误；B 、11a b ++＝+1+1a b ，错误； C 、2÷2﹣1＝4，错误； D 、a ﹣3＝（a 3）﹣1，正确； 故选D ． 【点睛】此题考查分式的基本性质，关键是根据把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变解答．20．C解析：C 【解析】 【分析】根据必然事件的定义，二次根式的性质，最简分式的定义以及同类二次根式的定义进行判断． 【详解】①在一个装有2白球和3个红球的袋中摸3个球，摸到红球是必然事件，正确．②12a =--，则12a ≤-，错误；4== ④分式22a ba b -+是最简分式，正确；故选：C ． 【点睛】本题主要考查了随机事件、二次根式以及命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．21．D解析：D 【解析】 【分析】根据零指数幂：a 0=1（a≠0）和1的任何次幂都是1可得x=0或x-2016=1，再解即可． 【详解】由题意得：x=0或x-2016=1， 解得：x=0或2017. 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了零次幂和乘方，关键是掌握零指数幂：a 0=1（a≠0）．22．A解析：A 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，找到分母中含有字母的式子的个数即可． 【详解】 解：式子2x yx- ，－2x y -中都含有字母是分式．故选：A ． 【点睛】本题考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数．23．C解析：C 【解析】 【分析】根据x 与y 都扩大到原来的8倍，分别判断出x+y 、xy 的变化情况，即可判断出这个代数式值的变化情况. 【详解】因为x 与y 都扩大到原来的8倍，所以x+y 扩大到原来的8倍，xy 扩大到原来的64倍，所以这个代数式的值缩小为原来的18.所以A 、B 、D 错误，C 正确. 【点睛】本题主要考察了分式的基本性质应用，要熟练掌握分式的基本性质；解答此题的关键在于分别判断出x+y 、xy 的变化情况.24．B解析：B 【解析】 【分析】分别根据立方根及算术平方根的定义对各选项进行逐一解答即可． 【详解】A 、∵42=16=4，故本选项正确；B 、12100-110，故本选项错误；C 、∵（-3）3=-273=-，故本选项正确；D =2，故本选项正确．故选B ．【点睛】本题考查的是立方根及算术平方根，熟知立方根及算术平方根的定义是解答此题的关键．25．C解析：C【解析】试题分析：A 、x y y x--＝－1，不是最简分式； B 、21111(1)(1)1x x x x x x ++==-+--，不是最简分式； C 、2211x x -+分子、分母不含公因式，是最简分式； D 、24(2)(2)2242(2)2x x x x x x -+--==++，不是最简分式． 故选C ．点睛：本题考查最简分式，解题的关键是明确最简分式的定义，即分子、分母不含公因式的分式．。