2017年考研数学二真题与解析

2017年考研数学二真题与解析2017年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．若函数1cos 0(),0xx f x b x ->=⎪≤⎩在0x =处连续，则（A ）12ab = （B ）12ab =- （C ）0ab = （D ）2ab = 【详解】00011cos 12lim ()lim lim2x x x xx f x ax a+++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ） 2．设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1f f =-=，(0)1f =-，且()0f x ''>，则（ ）（A ）11()0f x dx ->⎰ （B ）11()0f x dx -<⎰（C ）011()()f x dx f x dx->⎰⎰ （D ）011()()f x dx f x dx-<⎰⎰【详解】注意到条件()0f x ''>，则知道曲线()f x 在[][]1,0,0,1-上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然当[]1,0x ∈-时，()21f x x ≤--，当[]0,1x ∈时，()21f x x ≤-，而且两个式子的等号不是处处成立，否则不满足二阶可导．所以1111()(21)(21)0f x dx x dx x dx --<--+-=⎰⎰⎰．所以选择（B ）． 当然，如果在考场上，不用这么详细考虑，可以考虑代一个特殊函数2()21f x x=-，此时011011(),()33f x dx f x dx -=-=-⎰⎰，可判断出选项（A ），（C ），（D ）都是错误的，当然选择（B ）．希望同学们在复习基础知识的同时，掌握这种做选择题的技巧．3．设数列{}nx 收敛，则（A ）当limsin 0nn x →∞=时，lim 0nn x→∞= （B ）当lim()0nn n xx →∞=时，lim 0nn x→∞=(C ）当2lim()0nn n xx →∞+=时，lim 0nn x→∞= （D ）当lim(sin )0nn n xx →∞+=时，lim 0nn x→∞=【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有（D ）是正确的．其实此题注意，设lim nn xA→∞=，则22limsin sin ,lim(),lim(),lim(sin )sin n n n n n n n n n n n x A x x A A x x A A x x A A→∞→∞→∞→∞==+=++=+分别解方程2sin 0,0,0,sin 0A A A A A A A ==+=+=时，发现只有第四个方程sin 0A A +=有唯一解0A =，也就是得到lim 0nn x →∞=．４．微分方程2489(1cos 2)xy y e x '''-+=+的特解可设为*y =（ ）（A ）22(cos 2sin 2)xx Aee B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)xx Axe xe B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)xx Aexe B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)xx Axexe B x C x ++【详解】微分方程的特征方程为2480r r -+=，有一对共轭的复数根22r i =±． 所以12λ=不是特征方程的根，所以对应方程2489xy y e '''-+=的特解应该设为21*xy Ae =；而222iλ=+是方程的单根，所以对应方程2489cos 2xy y ex'''-+=的特解应该设为22*(cos 2sin 2)x y xe B x C x =+；从而微分方程2489(1cos 2)x y y e x '''-+=+的特解可设为2212***(cos 2sin 2)x x y y y Ae xe B x C x =+=++，应该选（C ）．5．设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y 都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂><∂∂，则（ ）（A ）(0,0)(1,0)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < 【详解】由条件对任意的(,)x y 都有(,)(,)0,0f x y f x y x y ∂∂><∂∂可知(,)f x y 对于x 是单调增加的，对y 就单调减少的．所以(1,1)(1,0)(0,0),(1,1)(0,1)(0,0),(0,1)(0,0)(1,0)f f f f f f f f f <>><<<，只有第三个不等式可得正确结论（D ），应该选（D ）．6．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t ，则（ ）（A ）010t = （B ）01520t <<（C ）025t= （D ）025t>【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，21()()T T S t v t dt =⎰表示时刻[]12,T T 内所走的路程．本题中的阴影面积123,,S S S -分别表示在时间段[][][]0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在25t =时乙追上甲，应该选（C ）．7．设A 为三阶矩阵，()123,,P ααα=为可逆矩阵，使得1000010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，则123()A ααα++=（ ）（A ）12αα+ （B ）232αα+ （C ）23αα+（D ）132αα+【详解】显然这是矩阵相似对角化的题目．可知()()12312323000000(,,)010,,0100,,2002002A AP P αααααααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以12312323()2A A A A αααααααα++=++=+，所以可知选择（B ）． 8．已知矩阵200021001A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似（C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况． 对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭，秩等于 1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ． 对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪⎪⎝⎭，秩等于 2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．曲线2(1arcsin )y x x =+的斜渐近线为 ． 解：2(1arcsin )lim lim 1x x x y x x x→∞→∞+==，2lim()lim arcsin 2x x y x x x→∞→∞-==，所以斜渐近线为2y x =+． 10．设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t⎧=+⎨=⎩确定，则202|t d y dx== ．【详解】223cos 1cos (1)sin cos ,1(1)t t t tt t d e dy t d y e t e t dt dx dx e dx e dt⎛⎫ ⎪+⎝⎭++===-++，所以2021|8t d y dx ==-．112ln(1)(1)x dx x +∞++⎰.【详解】022000ln(1)1ln(1)1ln(1)|1(1)11(1)x x dx x d dx x x x x +∞+∞+∞+∞++=-+=-+=++++⎰⎰⎰12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy=++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xyeC=+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =．13．11tan y xdy dx x=⎰⎰．【详解】交换二重积分的积分次序得：1111100000tan tan tan ln cos ln cos1.x y x x dy dx dx dy xdx x x x ===-=-⎰⎰⎰⎰⎰14．设矩阵41212311A a -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭的一个特征向量为112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则a =．【详解】根据特征向量的定义，有412111121132311222A a a αλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪===+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1a =-．三、解答题15．（本题满分10分） 求极限030lim t x x te dt x+→-⎰【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，0t x u x te dt ue du--=⎰⎰33300002limlim limlim 332txuu x x x x x x te dt eue du ue du xe xxxx ++++---→→→→-====⎰⎰⎰16．（本题满分10分）设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,cos )xy f e x =，求0|x dy dx=，202|x d ydx=．【详解】12(,cos )(,cos )(sin )xxx dy f e x e f e x x dx''=+-，01|(1,1)x dy f dx='=； 2111122222122(,cos )((,cos )sin (,cos ))cos (,cos )sin (,cos )sin (,cos )x x x x x x x x x x d ye f e x e f e x e xf e x xf e x dxxe f e x xf e x ''''''=+--''''-+2011122|(1,1)(1,1)(1,1)x d yf f f dx=''''=+-．17．（本题满分10分）求21lim ln 1nn k k k n n→∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx nn n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分） 已知函数()y x 是由方程333320xy x y +-+-=．【详解】在方程两边同时对x 求导，得2233330x y y y ''+-+= （1）在（1）两边同时对x 求导，得2222()0x y y y y y '''''+++=也就是222(())1x y y y y '+''=-+令0y '=，得1x =±．当11x =时，11y=；当21x=-时，20y=当11x=时，0y '=，10y ''=-<，函数()y y x =取极大值11y =；当21x=-时，0y '=，10y ''=>函数()y y x =取极小值2y=．19．（本题满分10分）设函数()f x 在区间[]0,1上具有二阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x -→<，证明：（1）方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根； （2）方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件0()lim 0x f x x -→<可知，存在01δ<<，及1(0,)x δ∈，使得1()0f x <，由于()f x 在[]1,1x 上连续，且1()(1)0f x f ⋅<，由零点定理，存在1(,1)(0,1)x ξ∈⊂，使得()0f ξ=，也就是方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；（2）由条件0()lim 0x f x x -→<可知(0)0f =，由（1）可知()0f ξ=，由洛尔定理，存在(0,)ηξ∈，使得()0f η'=；设()()()F x f x f x '=，由条件可知()F x 在区间[]0,1上可导，且(0)0,()0,()0F F F ξη===，分别在区间[][]0,,,ηηξ上对函数()F x 使用尔定理，则存在12(0,)(0,1),(,)(0,1),ξηξηξ∈⊂∈⊂使得1212,()()0F F ξξξξ''≠==，也就是方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．20．（本题满分11分） 已知平面区域{}22(,)|2D x y xy y =+≤，计算二重积分2(1)Dx d σ+⎰⎰【详解】由于积分区域关于y 轴左右对称，所以由二重积分对称性可知20Dxd σ=⎰⎰．所以2sin 2222044224620(1)(1)(cos 1)2sin cos 2sin 4(4sin 4sin 2sin )54DDx d x d d r rdrd d πθππσσθθθθθθθθθθπ+=+=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中利用瓦列斯公式，知24600013135315sin ,sin ,sin 2242864216d d d ππππππθθπθθπθθπ⨯⨯⨯=⨯==⨯==⨯=⨯⨯⨯⎰⎰⎰21．（本题满分11分）设()y x 是区间30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的可导函数，且(1)0y =．点P 是曲线:()L y y x =上的任意一点，L 在点P 处的切线与y 轴相交于点()0,P Y ，法线与X 轴相交于点(),0P X ．若P p X Y =，求L 上的点的坐标(,)x y 满足的方程．【详解】曲线过点(,)P x y 的切线方程为()()()Y y x y x X x '-=-，令X =，得()()pYy x xy x '=-；曲线过点(,)P x y 的法线方程为1()()()Y y x X x y x -=--'，令0Y =，得()p X x yy x '=+．由条件PpXY =，可得微分方程y xy x yy ''-=+标准形为11y dy x y x y y dx x y x--+'===++，是个一阶齐次型微分方程． 设yu x=，方程化为11du u u x dx u -+=+，整理，得211du u x dx u+=-+分离变量，两边积分，得1arctan ln ln ln 2u u x C +=-+由初始条件(1)0y =，得1,0,0x y u ===，确定常数1C =所以曲线的方程为1arctan ln ln 2y yx x x+=-．22．（本题满分11分）设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+（1）证明：()2r A =； （2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．23．（本题满分11分） 设二次型222123123121323(,,)2282f x x x xx ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122yy λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0iE A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量11131ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量21021ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，3λ=的特征向量31261ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭．所以()123326,,036326Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵．。