求数列极限的方法

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求数列极限的十五种解法

求数列极限的十五种方法1．定义法N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ；记作：lim n n a a →∞=，否则称{}n a 为发散数列．例1．求证：1lim 1nn a →∞=，其中0a >．证：当1a =时，结论显然成立．当1a >时，记11n a α=-，则0α>，由()1111(1)nn a n n ααα=+≥+=+-，得111na a n--≤，任给0ε>，则当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<，即11na ε-<，即1lim 1nn a →∞=．当01a <<时，令1b a=，则1b >，由上易知：1lim 1nn b →∞=，∴111lim 1lim n n nn a b→∞→∞==．综上，1lim 1nn a →∞=，其中0a >．例2．求：7lim !nn n →∞．解：变式：77777777777771!1278917!6!n n n n n n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤⋅=⋅-；∴77710!6!n n n -≤⋅， ∴0ε∀>，7716!N ε⎡⎤∃=⋅⎢⎣⎦，则当n N >时，有77710!6!n n n ε-≤⋅<；∴7lim 0!n n n →∞=． 2．利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >、时，总有：n m a a ε-<成立．例3．证明：数列1sin (1, 2, 3, )2nn kk kx n ===⋅⋅⋅∑为收敛数列．证：11111sin(1)sin 111112(122222212n mn m m n m n m m m n x x m -+++-+-=+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+<<<-， 0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n m N >>时，有n m x x ε-<，由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛．例4．（有界变差数列收敛定理）若数列{}n x 满足条件：11221n n n n x x x x x x M ----+-+⋅⋅⋅-≤，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，则称{}n x 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛．证：令1112210, n n n n n y y x x x x x x ---==-+-+⋅⋅⋅-，那么{}n y 单调递增，由已知可知：{}n y 有界，故{}n y 收敛，从而0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >>时，有n m y y ε-<；此即1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-+⋅⋅⋅-<；由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛．注：柯西收敛准则把N ε-定义中的n a 与a 的关系换成了n a 与m a 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性． 3．运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．例5．证明：数列n x =n 个根式，0a >，1, 2, n = ）极限存在，并求lim nn x →∞．证：由假设知n x =；①用数学归纳法可证：1, n n x x k N +>∈；② 此即证{}n x 是单调递增的．事实上，10n x +<<<1=；由①②可知：{}n x 单调递增有上界，从而lim n n x l →∞=存在，对①式两边取极限得：l =解得：l =l =；∴lim n n x →∞=4．利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N ，当n N >时，有：n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=．例6．求：22212lim()12n nn n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+++++++．解：记：2221212n n x n n n n n n n =++⋅⋅⋅+++++++，则：2212121n n nx n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤≤++++；∴22(1)(1)2(2)2(1)n n n n n x n n n n ++≤≤+++；从而22(1)1(1)lim lim 2(2)22(1)n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++， ∴由迫敛性，得：222121lim()122n n n n n n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++++++．注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用． 5．利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为()f x 定义在[, ]a b 上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数0ε>，总存在某一正数δ，使得对[, ]a b 的任意分割T ，在其上任意选取的点集{}i ξ，i ξ∈[]1,i i x x -，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称函数()f x 在[, ]a b 上（黎曼）可积，数J 为()f x 在[, ]a b 上的定积分，记作()baJ f x dx =⎰．例7．求：()()11lim !2!nnn n n n --→∞⎡⎤⋅⋅⎣⎦．解：原式n n →∞→∞==112lim (1)(1)(1)nn n n n n →∞⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦11exp lim ln(1)nn i i nn →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑()()1expln(1)exp 2ln 21x dx =+=-⎰．例8．求：2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭．解：因为：222sinsinsin sin sin sin sin sin sin 111112n n n nn n n n n n n n n n n n n n nπππππππππ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<+++++，又：2sinsinsin 12limlim (sin sin sin )11n n n n n nn n n n n n n n ππππππππ→∞→∞++⋅⋅⋅+⎡⎤=⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥++⎣⎦∴02sinsinsin 12limsin 1n n nn n xdx n ππππππ→∞++⋅⋅⋅+=⋅=+⎰；同理：2sinsinsin 2lim1n n nn n n nππππ→∞++⋅⋅⋅+=+；由迫敛性，得：2sin sin sin 2lim 1112n n n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+= ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭．注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论．6．利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则：0lim ()x xf x A →=⇔对任何0 ()n x x n →→∞，有lim ()n n f x A →∞=．例9．求：11lim 1n n e n →∞-．解：11001lim lim ()111n nx x n n e e e e n n=→∞→∞--'===-．例10．计算：211lim 1nn n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭．解：一方面，2111(1)(1) ()n n e n n n n+-<+→→∞；另一方面，2221112221111(1)(1)(1n n n n n n n n n n n n n -------+-=+≥+；由归结原则：（取2, 2, 3, 1n n x n n ==⋅⋅⋅-），22222111222211111lim(1)lim(1lim(1lim(1)lim(1)n n n x n n n n n n n x n n n n e x n n n n ----→∞→∞→∞→∞→∞----+=+⋅+=+=+=；由迫敛性，得：211lim(1)nn e n n →∞+-=．注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决． 7．利用施托尔茨（stolz ）定理求数列极限stolz 定理1：()∞∞型：若{}n y 是严格递增的正无穷大数列，它与数列{}n x 一起满足：11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．stolz 定理2：0()0型：若{}n y 是严格递减的趋向于零的数列，n →∞时，0n x →且11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．例11．求：112lim ()p p pp n n p N n +→∞++⋅⋅⋅+∈．解：令112, , p p p p n n x n y n n N +=++⋅⋅⋅+=∈，则由定理1，得：112lim p p p p n n n +→∞++⋅⋅⋅+=11(1)lim (1)p p p n n n n ++→∞+=+-1(1)1lim (1)1(1)12p n p p n p p p p n n →∞-+=+⋅++-+⋅⋅⋅+．注：本题亦可由方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略．例12．设02ln nk nk n CS n ==∑，求：lim n n S →∞．解：令2n y n =，则{}n y 单调递增数列，于是由定理2得：lim n n S →∞=02ln lim nknk n C n =→∞∑110022ln ln lim (1)n nk k n nk k n C C n n++==→∞-=+-∑∑01ln 1lim 21nk n n n k n =→∞+-+=+∑11(1)ln(1)ln lim 21n k n n n k n +=→∞++-=+∑ 1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1lim lim 2122nn n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+．注：stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达（L'Hospita ）法则． 8．利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级数求和的知识使问题得到解决．例13．求：212lim()n n na a a→∞++⋅⋅⋅+，(1)a >．解：令1x a =，则1x <，考虑级数：1nn nx ∞=∑．∵11(1)lim lim 1n n n n n n a n x x a nx ++→∞→∞+==<， ∴此级数是收敛的．令1()nn S x nx ∞==∑11n n x nx∞-==⋅∑，再令11()n n f x nx ∞-==∑，∵111()xxn n n n f t dt nt dt x ∞∞-=====∑∑⎰⎰1xx-；∴21()(1(1)x f x x x '==--；而2()()(1)x S x x f x x =⋅=-；因此，原式=1112()(1)a S a a ---==-．9．利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题．例14．设00x >，12(1)2n n nx x x ++=+(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明：数列{}n x 收敛，并求极限lim nn x →∞．证：由00x >，可得：0n x >(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，令2(1)(), (0)2x f x x x+=>+，则2210'()(2)2f x x <=<+，且12(1)(), 0, (0, 1, 2, )2n nn n nx f x x x n x ++==>=⋅⋅⋅+，考虑级数：10n n n x x ∞+=-∑；由于11n n n n x x x x +--=-11()()n n n n f x f x x x ---=-11'()()12n n n n f x x x x ξ---<-；所以，级数10n n n x x ∞+=-∑收敛，从而10()n n n x x ∞+=-∑收敛．令()10nn k k k S x x +==-∑10n x x +=-，∵lim n n S →∞存在，∴10lim lim n n n n x x Sl +→∞→∞=+=（存在）；对式子：12(1)2n n n x xx ++=+，两边同时取极限：2(1)2l l l+=+，∴l =或l =（舍负）；∴lim nn x →∞= 例15．证明：111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在．（此极限值称为Euler 常数）．证：设1111ln 23n a n n =++⋅⋅⋅+-，则1n n a a --=[]1ln ln(1)n n n---；对函数ln y n =在[1, ]n n -上应用拉格朗日中值定理，可得：1ln ln(1) (01)1n n n θθ--=<<-+，所以1211111(1)(1)n n a a n n n n n θθθ---=-=<-+-+-；因为221(1)n n ∞=-∑收敛，由比较判别法知：12n n n a a ∞-=-∑也收敛，所以lim nn a →∞存在，即111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在． 10．利用幂级数求极限利用基本初等函数的麦克劳林展开式，常常易求出一些特殊形式的数列极限．例16．设11sin sin , sin sin(sin ) (2, 3, )n n x x x x n -===⋅⋅⋅，若sin 0x >，求：sin n n x →∞．解：对于固定的x ，当n →∞时，1sin n x单调趋于无穷，由stolz 公式，有： 2222111lim sin lim lim 111sin sin sin n n n n n n n n n n x x x x →∞→∞→∞++-==-221lim 11sin (sin )sin n n n x x→∞=-46622220002244221()1sin 3lim lim lim 111sin (())sin 3t t t t t o t t t t t t t t o t t t +++→→→-⋅+⋅===----+46622004411()1()33lim lim 311()(1)33t t t t o t t o t t o t o ++→→-⋅+-⋅+===++． 11．利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛．下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用．例17．求：2lim (arctan arctan )1n a an n n →∞-+，(0)a ≠．解：设()arctan f x x =，在[, 1a an n+上应用拉格朗日中值定理，得：21()()( [, ]1111a a a a a af f n n n n n nξξ-=-∈++++，故当n →∞时，0ξ→，可知：原式22lim 11n a nn a n ξ→∞=⋅⋅=++． 12．巧用无穷小数列求数列极限引理：数列{}n x 收敛于a 的充要条件是：数列{}n x a -为无穷小数列．注：该引理说明，若lim nn x a →∞=，则n x 可作“变量”替换：令n n x a α=+，其中{}n α是一个无穷小数列．定理1：若数列{}n α为无穷小数列，则数列{}n α也为无穷小数列，反之亦成立．定理2：若数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．推论1：设数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．例18．（算术平均收敛公式）设lim n n x a →∞=，求极限12limnn x x x n→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim nn x a →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，其中{}n α是一无穷小数列；由定理2的结论有：12lim n n x x x n →∞++⋅⋅⋅+12()()()lim n n a a a nααα→∞++++⋅⋅⋅++= 1212()()lim lim 0n n n n na a a a n nαααααα→∞→∞+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==+=+=．此题还可以用方法1（定义法）证明，也可通过方法7（stolz 公式）求得，此处略．例19．设lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，求极限1211lim n n n n x y x y x y n-→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，n n y b β=+，其中{}n α，{}n β都是一无穷小数列，故1211lim n n n n x y x y x y n -→∞++⋅⋅⋅+11()()()()lim n n n a b a b nαβαβ→∞+++⋅⋅⋅+++= 1111lim n n n n n ab b a n n n ααββαβαβ→∞+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦ 因为0n β→()n →∞，所以{}n β有界数列，即n M β≤，从而结合上述推论1，有：12110 ()nn n M n nnααααβαβ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅≤⋅→→∞，再根据定理1，即有：110 ()n n n nαβαβ+⋅⋅⋅→→∞；又由定理2，可知：10na nββ+⋅⋅⋅+⋅→，10 ()nb n nαα+⋅⋅⋅+⋅→→∞；∴1211lim n n n n x y x y x y ab n-→∞++⋅⋅⋅+=．注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法．用这种方法求某类数列的极限是极为方便的． 13．利用无穷小的等价代换求某些函数列的极限定理：设函数()f x 、()g x 在0x =的某个领域有意义，()0g x >，0()lim 1()x f x g x →=，且当n →∞时，0mn a →(1, 2, 3, )m =⋅⋅⋅，11lim ()lim ()nnmn mn n n m m f a g a →∞→∞===∑∑，则在右端极限存在时成立．例20．求极限1lim 1)nn i →∞=∑．解：令()1f x =-，1()3g x x =，当0x →1x ~，由定理1，得：2111111lim 1)lim 3326nnn n i i i n→∞→∞===⋅=⋅=∑∑．例21．求：2231lim (1)nn i i a n →∞=+∏，（a 为非零常数）．解：原式2331exp lim ln(1)nn i i a n →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑；令()ln(1)f x x =+，当0x →时，ln(1)x x +~，由定理1，得：22333311lim ln(1)lim nnn n i i i i a a n n→∞→∞==+=∑∑223(1)(21)1lim 63n n n n a a n →∞++==；∴2231lim (1)nn i i a n →∞=+=∏21exp()3a ．注：我们知道，当0x →时，函数sin , tan , arcsin , arctan , 1, ln(1)x x x x x e x -+都x 与等价，倘若熟悉这些等价函数，观察它们与本文定理中的()f x 的关系，把求某些函数列极限问题转化为求熟知的数列极限问题，这样就会起到事半功倍的效果． 14．利用压缩映射原理求数列极限定义1：设()f x 在[, ]a b 上有定义，方程()f x x =在[, ]a b 上的解称为()f x 在[, ]a b 上的不动点．定义2：若存在一个常数k ，且01k ≤<，使得[, ]x y a b ∀∈、有()()f x f y k x y -≤-，则称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射．压缩映射原理：设称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射且0x ∈[, ]a b ，1()n n x f x +=，对n N ∀∈，有[, ]n x a b ∈，则称()f x 在[, ]a b 上存在唯一的不动点c ，且lim nn x c →∞=．例22．设12ax =，212n n a x x ++=(01)a <<，1, 2, n =⋅⋅⋅，求lim nn x →∞．解：考察函数2()22a x f x =+，1[0,2ax +∈，易见对1[0, ]2a x +∀∈，有：21()2n n n a x x f x ++==，11[0, 22a a x +=∈，1()12af x x +'=≤<；所以，()f x 是压缩的，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛．设lim nn x c →∞=，则c 是222a x x =+在1[0, ]2a +的解，解得1c =，即lim 1n n x →∞=例23．证明：数列n x =（n 个根式，14a >，1, 2, n =⋅⋅⋅）极限存在，并求lim nn x →∞．解：易知：n x =，考察函数：()f x =，[0, )x ∈+∞且在[0, )+∞上有：1f '<，因此，()f x 在[0, )+∞上是压缩的；1[0, )x =+∞，1()n n x f x +=，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛且极限为方程：()x f x ==的解，解得：lim n n x →∞=本题也可通过方法三（单调有界定理）解得，此处略．注：压缩映射原理在实分析中有着十分广泛的应用，如用它可十分简单的证明稳函数存在定理、微分方程解的存在性定理，特别的在求一些数列极限中有着十分重要的作用，往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决．15．利用矩阵求解一类数列的极限（1）若数列的递推公式形如：12n n n x px qx --=+且已知01x x 、，其中p q 、为常数且0p ≠，0q ≠，2, 3, n =⋅⋅⋅；解：可将递推公式写成矩阵形式，则有1111201010n n n n n x x x p q p q x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2, 3, n =⋅⋅⋅，从而可利用线性代数知识求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞．（2）若数列的递推公式形如：11n n n ax bx cx d--+=+且已知0x ，其中0c ≠且ad bc ≠，1, 2, n =⋅⋅⋅，解法1：令211n n n y cx d y ---+=，则1121()n n n y x d c y ---=-，11()n n n yx d c y -=-，从而有：121211()(())n n n n n n y yy a d d b c y c y y ------=-+⋅，整理得：12()()n n n y a d y bc ad y --=++-，再由（1）可以求解．解法2：设与关系式010ax b x cx d +=+对应的矩阵为a b A c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由关系式11n nn ax b x cx d --+=+；逐次递推，有00n nn n n a x b x c x d +=+，其对应的矩阵为nn n n a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用数学归纳法易证得n B A =，通过计算n A 可求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞．例24．证明：满足递推公式11(1)n n n x x x αα+-=+-(01)α<<的任何实数序列{}n x 有一个极限，并求出以α、0x 及1x 表示的极限．解：由已知可得：111111200111010n n n n n n x x x x A x x x x αααα-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（110A αα-⎛⎫=⎪⎝⎭）；矩阵A 的特征值121, 1λλα==-，对应的特征向量分别为：''12(1, 1), (1, 1)ξξα==-；令1211(, )11P αξξ-⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11001P AP α-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而有：()()11111111111111120101n n n AP P ααααα----⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()111111121111n nn n ααααααα--⎛⎫---+- ⎪= ⎪----+-⎝⎭；于是，101(1(1))(1(1))2n n n x x x αααα=--+-+-⎡⎤⎣⎦-．因为11α-<，所以lim(1)0nn α→∞-=，从而[]011lim (1)2n n x x x αα→∞=-+-．例25．已知斐波那契数列定义为：1101 (1, 2, 1)n n n F F F n F F +-=+=⋅⋅⋅==；；若令1n n n F x F +=，01x =且111n n x x -=+，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明极限lim nn x →∞存在并求此极限．解：显然1011x x =+，相应矩阵0111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征值12 λλ==，对应的特征向量分别为：''12 1), 1)ξξ==；令()21121211, 111111P λλλλξξ⎛⎫--⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭，11211P λλ-⎫=⎪--⎭；则有：11200P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭；于是11112121112121200nn n n n nn n n n n A P P λλλλλλλλλλ---++--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭；从而，()111212111212, 1, 2, n n n nn nn n n x n λλλλλλλλ--++-+-==⋅⋅⋅-+-，由于211λλ<，上式右端分子、分母同时除以1n λ，再令n →∞，则有：1lim limn n n n n F x F →∞→∞+==．注：求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限有很多种方法，矩阵解法只是其一，但与之相关的论述很少，但却简单实用．。

求极限的12种方法总结及例题

求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。

在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。

本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。

2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。

根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。

利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。

3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。

当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。

要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。

4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。

利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。

要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。

5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。

洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。

通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。

6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。

当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。

通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。

7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。

通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。

对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。

数列极限方法

数列极限方法一、引言数列极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了一个数列当项数趋于无穷时的行为。

理解数列极限的概念是深入理解数学分析和其他数学领域的基础。

本文将介绍几种常用的数列极限的求解方法。

二、数列极限的基本概念一个数列 {an} 的极限定义为：对于任意小的正数ε，都存在一个正整数 N，使得当 n > N 时，|an - L| < ε恒成立，其中 L 为常数。

我们记作 lim(n→∞) an = L。

三、求解数列极限的方法1.直接观察法：对于一些简单的数列，我们可以通过观察它们的规律来直接得出极限。

例如，对于数列 {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...}，显然有 lim(n→∞) 1/n = 0。

2.夹逼法：对于一个数列 {an}，如果存在两个常数 M 和 m，使得 m ≤ an ≤M 对于所有的 n 都成立，那么 lim(n→∞) an = M（或 lim(n→∞) an = m）。

这是因为对于任意的ε > 0，存在一个 N，使得当 n > N 时，M - ε≤ an ≤M + ε。

由于 m ≤ an ≤ M，我们可以得到 |an - M| < ε，即 lim(n→∞) an = M。

3.收敛的级数法：如果一个级数Σan 收敛到 S，那么其部分和 Sn 必定趋近于S。

因此，对于任何的 n，我们有 lim(n→∞) Sn = S。

特别地，如果级数的每一项都非负（或都非正），且级数收敛，那么该数列必定有界且单调。

4.洛必达法则：洛必达法则是求解极限的一种有效方法，特别适用于0/0型和∞/∞型的极限问题。

如果 f 和 g 在某点 a 的某邻域内可导，且 g' (a)≠0，那么 lim(x→a) f'(x)/g'(x) = f'(a)/g'(a)。

在数列的情境下，这可以被应用于求和公式的展开。

5.斯特林公式：斯特林公式给出了一个非负整数 n 的正整数次幂的阶乘与 n!的近似比。

数列极限求解的几种常用方法

数列极限是微积分理论的基础，其求解方法对学习函数极限理论至关重要。本文总结了数列极限求解的几种常用方法：首先，可以利用定义法，通过找出满足条件的N来求解数列极限；其次，可以利用基本定理，如夹逼准则等，来简化极限的求解过程；此外，还可以应用重要极限，如lim(1+1/n)^n=e等，通过适当变形来求解数列极限；另外，微分中值定理也是求解数列极限的有力工具，特别是在处理复杂数列时；最后，还可以利用极限存在的准则来判断数列极ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是否存在，并进一步求解。每种方法都通过具体的例子进行了详细说明，以帮助读者更好地理解和掌握数列极限的求解技巧。希望本文能对大家在学习数列极限乃至日后学习函数极限的过程中有所帮助。

求极限的若干方法

求极限的若干方法一、数列极限的求解方法1、夹逼准则法（夹逼定理）：若数列{an}、{bn}、{cn}满足an≤bn≤cn（n≥N0），且lim an=lim cn = L，则数列{bn}有极限且lim bn = L。

2、单调有界数列必有极限法：单调递增的数列有上确界、单调递减的数列有下确界，因此，单调有界数列必有极限。

3、数列按定义法：对于任何一个ε>0，只要找到一个正整数N，使得当n>N时，有|an-L|<ε，则该数列的极限为L。

二、函数极限的求解方法1、极限的定义法：通过定义式计算出函数在某一点的极限。

2、夹逼定理法：当x趋近于a时，若能找到两个函数f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim f(x) = lim h(x) = L，则函数g(x)在x→a时有极限，且lim g(x) = L。

3、函数的分解法（分子分母有理化、公式替代、三角函数化合成、指数幂换底等方式）：通过对函数进行分解或替换等操作，将其转换为可以用其它非分数函数进行极限操作的形式。

4、洛必达求极限法：当函数f(x)和g(x)在某一点均为0或无穷大时，计算并求出函数f(x) / g(x) 的极限l。

如果极限l存在，则f(x) / g(x) 在该点处的极限也是l。

三、无穷级数的求极限方法1、比项法则法：若某一级数后一项于前一项同比变化的极限为L，则这个级数也有极限，且级数的极限为L。

2、积分判断法：对于大于1的自然数n，若函数f(x)在[1，n+1]上是单调递减的且非负，那么它可以累次积分，获得一个极限值；相反地，若g(x)在[1，∞)上是单调递增的和非负的，若及时积分比对之后的级数的部分和同比下减小，则极限l存在；否则若极限不存在，则级数发散。

3、柯西收敛定理法：当对于任意ε >0，存在自然数N>0，使得对于所有的n>m>N，都有|\sum_{k=m}^n a_k|<ε 成立，则此级数是收敛的；如果它不满足上述条件，则是发散的。

求数列极限的若干方法

求数列极限的若干方法求解数列极限是数学分析中一个重要的问题，常用的方法有以下几种：1.直接求解最简单的方法是直接计算数列的通项公式，然后逐渐增加项数，观察数列的变化趋势，看是否有收敛或发散的特性。

如果数列趋向于一个确定的数，即极限存在，则该数即为极限值。

这种方法适用于简单数列，例如等差数列、等比数列等。

2.夹逼定理夹逼定理是数学分析中的一个基本定理，可以用来求解一些复杂数列的极限。

夹逼定理的基本思想是将待求极限数列夹在两个已知极限数列之间。

如果两个已知极限数列的极限相同，那么待求极限就是它们的共同极限。

夹逼定理适用于求解一些无法通过直接求解得到极限的数列，例如级数、递推数列等。

3.利用数列性质数列具有一些基本性质，例如收敛数列的任意子列也收敛，并且极限相同；发散数列的一些子列无极限等。

可以通过这些性质来判断数列的极限是否存在，或者通过子列的极限值来确定数列的极限。

4.数列分解对于一些复杂的数列，可以将其分解成多个部分，然后分别求解每个部分的极限。

通过对各个部分的极限进行分析，再根据极限的性质进行组合，可以得到整个数列的极限。

这种方法常用于数列具有递推关系或递归定义的情况。

5.数列收敛性的判别数列收敛有一系列的判别法则，例如柯西收敛准则、单调有界准则、无穷大准则等。

这些准则可以用来判断一个数列是否收敛，或者一部分的数列是否收敛。

6.使用极限性质根据极限的性质，例如极限的四则运算性质、极限的保号性等，可以推导出一些数列的极限值。

通过运用这些性质，可以简化数列极限的求解过程。

总结起来，求解数列极限的方法是多种多样的。

我们可以根据数列的特点和性质，选择适合的方法进行求解。

常用的方法包括直接求解、夹逼定理、数列性质、数列分解、数列收敛性的判别和使用极限性质等。

数列极限的计算方法

数列极限的计算方法一、引言数列极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了数列随着项数的增加而逐渐接近的某个数值。

数列极限的计算方法多种多样，包括直接代入法、夹逼定理、单调有界定理等。

本文将详细介绍这些计算方法，并探讨它们的适用范围和优缺点。

二、直接代入法直接代入法是最简单直观的数列极限计算方法。

当数列的通项公式较为简单时，我们可以直接代入n趋向于无穷大的情况，从而求出数列的极限值。

例如，对于数列an = 1/n，当n趋向于无穷大时，an趋向于0，即lim an = 0。

直接代入法的优点在于操作简单、容易理解；但其缺点也很明显，即仅适用于通项公式简单、易于计算的数列。

三、夹逼定理夹逼定理是计算数列极限的常用方法之一。

它适用于那些通项公式较为复杂、难以直接代入计算的数列。

夹逼定理的基本思想是通过找到两个收敛于同一极限的数列{an}和{bn}，使得对于所有正整数n，都有an ≤ xn ≤ bn，从而得出数列{Xn}的极限值。

例如，对于数列Xn = sin(n)/n，我们可以利用夹逼定理来求解其极限。

首先，找到两个收敛于0的数列{an}和{bn}，使得对于所有正整数n，都有an ≤ sin(n)/n ≤ bn。

显然，当n > 0时，-1/n ≤ sin(n)/n ≤ 1/n，即an = -1/n，bn = 1/n。

由于lim an = lim bn = 0，根据夹逼定理，我们得出lim Xn = 0。

夹逼定理的优点在于适用范围广，可以处理许多直接代入法无法处理的复杂数列；但其缺点在于需要找到合适的{an}和{bn}，这往往需要一定的数学技巧和经验。

四、单调有界定理单调有界定理是计算数列极限的另一个重要方法。

它适用于那些单调递增或单调递减且有界的数列。

单调有界定理的基本思想是，如果一个数列单调递增（或递减）且有上界（或下界），则该数列必定收敛，且其极限值等于其上界（或下界）。

例如，对于数列Xn = 1/n^2，我们可以看出这是一个单调递减且有下界的数列（下界为0）。

求数列极限的若干方法

求数列极限的若干方法求数列极限方法如下：1、用夹逼准则求解数列极限夹逼定理是数列极限中非常重要的一种方法, 也是容易出综合题的点, 夹逼定理的核心就是如何对数列进行合理的放缩, 这个点也是夹逼定理使用过程中的难点。

适用情形：夹逼定理一般使用在 n 项和式极限中, 函数不易于连续化。

夹逼定理的适用情形和用定积分的定义十分相似，需要注意区分，它们的区别是夹逼定理适用的情形是一个分子分母齐次的形式。

放缩基本公式:2.、用单调有界准则求极限定理: 单调有界数列必有极限.具体来说,若数列 {xn} 单调增加(减少)且有上(下) 界M(m) , 则 limn→∞xn 存在，且 limn→∞xn⩽M (或 limn→∞xn⩾m ). 定理同样适用于函数.这个定理是证明数列(或函数) 极限存在的唯一依据, 一般分为两个步骤, 第一步证明单调性, 第二步证明有界。

3、用数列定义求解数列极限主要运用数列的ε−N 定义: 对∀ε>0,∃N>0 , 使得当 n>N 时, 有 |an−a|<ε , 则称数列 {an} 收敛, 定数a 称为 {an} 的极限。

从定义上来看，我们的ε是可以任意小的正数, 那ε/2,3ε也可以任意小, 这一点大家要明确。

其次, 我们的 N 具有相应性, 一般地, N 随着ε的变小而增大, 也就是 N 依赖于ε0从几何意义上来讲, 当我的 n 逐渐趋近于无穷时, 我的数列总围绕着 a 在波动, 也就是对∀ε>0, 在我们的 U(a;ε) 领域内有无穷个数。

这样就得到了一个关于数列极限的一个等价定义: 对∀ε>0 , 若在 U(a;ε) 之外数列 an 至多有有限项，那么数列 an 必定收敛于 a 。

求数列极限的方法

求数列极限的方法要求解数列极限，我们首先需要了解数列的定义和性质。

数列是指按照一定规律排列的一系列数的集合。

数列的极限是指当数列中的数字无限接近某个固定值时，该固定值就是数列的极限。

求数列极限的方法有很多，下面我将介绍几种常见的方法。

1. 通过数列的定义求极限。

要求解数列的极限，可以通过对数列的定义进行推导。

数列的定义是指按照一定规律排列的一系列数的集合。

根据定义，我们可以通过逐渐增加数列的项数，观察数列的变化趋势，推测数列的极限。

例如，对于递归数列an = n^2，我们逐渐增加n的值，可以观察到当n趋近于无穷大时，an也趋近于无穷大。

因此，可以猜测该数列的极限是正无穷大。

2. 使用极限运算法则求极限。

极限运算法则是指通过对数列中的各个项进行特定的运算，从而得到数列的极限。

常见的极限运算法则有加法法则、乘法法则和除法法则等。

例如，对于数列an = 1/n，可以将每一项分子分母都乘以n，得到新的数列bn = 1。

由于bn的每一项都是常数1，因此bn的极限是1。

根据极限的乘法法则，我们可以得到原数列an的极限也是1。

3. 利用数列的收敛性求极限。

数列中的一部分项可能已经足够接近极限值，我们可以利用数列的收敛性来求解数列的极限。

数列的收敛性是指当数列中的项逐渐增加时，数列的极限趋于一个固定值。

例如，对于递归数列an = 1/n，随着n的增大，an逐渐接近于0。

因此，我们可以推测该数列的极限是0。

4. 利用夹逼定理求极限。

夹逼定理是利用数列的中间项来确定数列的极限。

夹逼定理是指当一个数列在某一项之后受到两个趋于同一极限的数列夹逼时，该数列的极限也趋于相同的极限。

夹逼定理常用于求解复杂的数列极限。

例如，对于递归数列an = (n^2 +1)/(n^2 + n + 1)，我们可以证明该数列的极限是1。

首先，我们可以通过将分子和分母都除以n^2，得到新的数列bn = (1 + 1/n^2)/(1 + 1/n + 1/n^2)。

求数列极限的几种方法

求数列极限的几种方法求数列极限是数学中一个重要的概念，它也是数学家研究多类数列的重要理论基础。

求数列极限有几种方法，下面我们来权衡它们。

- 单调变换法：单调变换法是将求取极限转化为求内隐函数极限的方法，从而实现极限求取。

单调变换法使用连续性、联系性和函数极限的概念，允许在一定范围内，特定的函数值不断变化，推到特定的独立的函数的极值。

单调变换法可以用来求取数列的极限，但它需要求出原函数的极限才有效。

- 无穷级数法：无穷级数法也称为极限法，它是一种利用级数无限增长变成收敛的定义来求取数列极限的方法。

无穷级数法要求数列中各项均为连续函数。

使用本方法求解的特点是，数列的有限项收敛速度越快，其极限就越容易求解。

比如多项式无穷级数，若多项式的项数不断增加，多项式前n项的和就会越来越接近多项式的极限，最后当n趋于无穷，多项式无穷级数的和就会收敛至它的极限。

- 分析法：分析法是求数列极限的一种有效方法，它利用大数量数学分析手段，包括局部函数之间的联系、连续性、导数法则等，把数列中的局部性函数转换成无穷级数法来求取极限，从而解决数列极限问题。

这样不仅能够求出数列极限，还能得出某一种函数的定义。

- 平方根测试法：平方根测试法，不仅可以求取数列的极限，也可以用来判断某数列是否存在极限。

特别是求取不可分解的方程的极限的时候，可以应用此方法。

它的基本原理是：如果某一数列的 n 项和有如下关系，即 an ∗ an+1=bn，那么该数列必须存在极限，并且极限的值为 b 的平方根；如果 an ∗ an+1=ln，则表明该数列无限增长，即有极限，而且极限值为∞。

以上就是常见求数列极限的几种方法，在不同的情况下，可以根据特定的情况来选择合适的方法，来实现数列极限的求取。

数列极限的计算方法总结

数列极限的计算方法总结
计算数列极限的方法有以下几种：
1. 算术平均法：如果数列的前n项的平均值与极限L足够接近，则认为该数列的极限为L。

2. 递推法：通过递归的方式计算数列的每一项，当数列的前n
项与极限L足够接近时，认为该数列的极限为L。

3. 代数运算法：对数列进行一系列代数运算，如取对数、求导、化简等，将其转化为易于计算的形式，然后计算其极限。

4. 特殊数列的极限公式：对于一些特殊的数列，有固定的计算公式可以直接得出其极限。

例如，等差数列的极限公式为首项加末项再除以2；等比数列的极限公式为首项与公比的幂次幂
乘积等等。

5. 单调有界数列的极限定理：如果一个数列是单调递增（递减）且有上界（下界）的话，那么该数列就有极限。

此时极限即为数列的上界（下界）。

6. 夹逼定理：如果一个数列在无穷大或无穷小的部分夹在两个收敛数列之间，并且这两个收敛数列的极限相等，那么该数列也会收敛，并且极限也等于这两个收敛数列的极限。

总结来说，计算数列极限的方法主要包括直接求均值、递推推导、代数运算等方法，也可以利用数列的特性或数列的极限定
理快速计算。

不同的方法适用于不同的数列，需要具体分析问题来选择合适的方法。

数列极限方法总结

数列极限方法总结数列极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了数列随着项数的增加趋向于一个确定的数值或趋向于无穷大的特性。

数列是一系列按照一定规律排列的数的集合，数列极限的研究是为了求得这些数列的趋势和性质。

在数学和物理等学科中，数列极限的求解是基础和关键的一步。

数列极限的求解方法有很多，这里我将总结一些常用的数列极限方法。

一、代入法：代入法是数列极限求解的一个简单而直接的方法。

用代入法求解数列极限时，只需要将数列的项数逐一代入数列规律中，找出当项数趋于无穷大时数列的极限。

例如，对于数列an=3n-1，当n≥1时，对于任意的正整数n，有：当n=1时，a1=3*1-1=2；当n=2时，a2=3*2-1=5；当n=3时，a3=3*3-1=8；...当n趋于无穷大时，数列中的每一项都趋于无穷大，所以该数列的极限为正无穷大。

二、数列递推关系：对于一些含有递推关系的数列，可以通过观察数列之间的关系，找到数列极限的方法。

以Fibonacci数列为例，该数列的递推关系是每一项等于前两项的和，即：Fn=Fn-1+Fn-2。

根据这个递推关系，可以得到该数列的前几项：F1=1，F2=1，F3=2，F4=3，F5=5，F6=8，...通过观察可以发现，当n趋于无穷大时，Fn/Fn+1的值趋于黄金分割比例(1+√5)/2，即Fibonacci数列的极限是黄金分割比例。

三、夹逼法：夹逼法是一种常用的求解数列极限的方法。

当数列难以直接求得极限时，可以通过迫近的方式利用夹逼法求得数列的极限。

夹逼法的思想是通过构造两个不等式，将数列逐渐夹逼到一个确定的极限值。

夹逼法的步骤如下：1）找到两个数列，一个上界数列bn，一个下界数列cn，并确定它们的极限值分别为L，M；2）构造两个不等式，即：cn≤an≤bn；3）证明bn和cn的极限都为L，M；4）由bn≥an和cn≤an可以得到bn=M≤an≤L=cn；5）根据夹逼定理，当n趋于无穷大时，数列an的极限也是L。

求数列极限的几种典型方法

求数列极限的几种典型方法在数学中，极限是研究数列和函数的一个基本概念。

求解一个数列的极限可以帮助我们了解数据的趋势和规律，从而进行预测和决策。

下面介绍几种常见的数列极限求解方法：1. 递推法递推法是一种基本的数列极限求解方法。

其基本思路是找到数列的递推式，然后通过递推式不断推导出数列的前n项，从而得出数列的极限。

例如，对于递推数列a_n = a_{n-1} + 1/n，我们可以按照以下步骤求出其极限：Step 1: 找到数列的递推式a_n = a_{n-1} + 1/n。

Step 2: 给出数列的初值a_1。

Step 3: 利用递推式计算出数列的前几项，如a_2, a_3, a_4……a_n。

Step 4: 根据推导出的前n项，估算数列的极限。

通过递推法求解数列极限的基本思路就是这样的。

当然，在实际求解中会存在很多细节问题，比如要确定递推式的正确性、初值的选取等。

但总体来说，递推法是一个非常直观、简单易行的方法。

2. 插值法插值法是一种利用待求函数在一组已知点处的函数值构造出一个近似函数然后进行近似计算的方法。

在数列极限求解中，我们也可以采用插值法来求极限值。

具体来说，我们可以对于某个数列{a_n}，假设存在一个连续的函数f(x)，它在n个不同的位置x_1、x_2……x_n处的函数值分别为a_1、a_2……a_n。

我们希望利用f(x)在x趋近于无穷大时的行为来估计数列{a_n}的极限。

通过插值法，我们可以构造一个插值函数L(x)来近似代替f(x)，从而得到数列极限的近似值。

3. 逼近法具体来说，我们可以通过求解一系列子问题，然后逐步逼近数列的极限值。

每次逼近都会得到数列的一个更接近极限的值。

逼近法是一种利用简洁的代数方法逐步逼近数列极限值的方法，常常用于解决复杂的计算问题。

4. 性质法在数学中，我们经常可以根据数列的基本性质来求解其极限值。

例如，对于一个收敛的数列{a_n}，其极限值必须满足以下两个条件：1）极限存在。

数列求极限的方法

数列求极限的方法数列求极限是数学中一个重要的概念和技巧，被广泛应用于解析几何、微积分、数学分析等领域。

数列的极限是指当数列的项无限接近某一个常数时，这个常数就是数列的极限。

数列的极限可以通过多种方法来求解，以下将介绍一些常用的方法。

1. 代入法代入法是数列求极限中最简单的方法之一。

它要求我们将自变量n代入数列的通项公式，然后计算出相应的函数值。

当n趋于无穷大时，如果函数值趋于一个有限的常数，那么这个常数就是数列的极限。

例如，考虑数列an = (2n + 1) / (3n - 1)，我们可以将n代入到an中，得到an = (2n + 1) / (3n - 1) = 2/3 + 3/(3n - 1)。

当n趋于无穷大时，3/(3n - 1)趋于0，所以数列的极限为2/3。

2. 变形法对于一些复杂的数列，可以通过变形来简化计算。

变形法通过对数列的通项公式进行一系列的代数操作，得到一个更简单的数列，从而求出极限。

例如，考虑数列an = (n^2 - 5n + 6) / (2n^2 - 3n + 1)，我们可以将分子和分母同时除以n^2得到an = (1 - 5/n + 6/n^2) / (2 - 3/n + 1/n^2)。

当n趋于无穷大时，5/n和3/n趋于0，1/n^2趋于0^2=0，所以数列的极限为1/2。

3. 夹逼法夹逼法是数列求极限中一个重要的理论工具。

它基于这样一个事实：如果数列bn ≤an ≤cn，且极限lim(bn) = lim(cn) = L，那么极限lim(an)也等于L。

夹逼法常用于求解一些难以直接计算的极限，特别适用于处理无限次方根等问题。

例如，考虑数列an = (n^2 + 2)^(1/n)，可以发现an > 1对任意n成立。

另一方面，通过放缩可以得到an < (n^4 + 2n^2)^(1/n) = (n^2(1 + 2/n^2))^(1/n) = sqrt(n^2) = n。

求极限的方法

求数列极限的方法极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。

求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。

夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。

泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。

还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。

1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn ﹜是一个数列,a 是实数,如果对任意给定的ε〉0,总存在一个正整数N ，当n 〉N 时,都有a Xn -<ε,我们就称a 是数列{Xn}的极限.记为a Xn n =∞→lim .例1: 按定义证明0!1lim=∞→n n . 解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n令1/n<ε,则让n>ε1即可,存在N=[ε1],当n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<ε成立,所以0!1lim =∞→n n .2.利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.例2: 求nnn b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim ,其中1,1<<b a .解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限bb b b b a a a a a n nn n --=++++--=++++++111,1111212 ,原式=a b ba b b a a n n n n --=--=----+∞→+∞→11111111lim11lim 11, 3. 利用夹逼性定理求极限若存在正整数N,当n>N 时,有Xn ≤Yn ≤Zn,且a Zn Xn n n ==∞→∞→lim lim ,则有a Yn n =∞→lim .例3:求{21nn+}的极限. 解: 对任意正整数n,显然有n nn n n n 221122=≤+<,而01→n ,02→n,由夹逼性定理得 01lim 2=+∞→nnn .4．换元法通过换元将复杂的极限化为简单.例4.求极限21lim +-∞→n n n a a ，此时解：若有，令则5.单调有界原理例5.证明数列有极限，并求其极限。

数列极限的三种求法

数列极限的三种求法在数学学科中，数列是一种有规律的数字序列，其中每个数字都按照特定的规则来排列。

而数列极限则是数列中无限靠近某一特定值的最终数字，也就是说，数列极限可以确定一个数列的整体趋势。

在实际应用中，数列的极限在物理、计算机科学、经济学等领域发挥着重要的作用。

因此，学会如何求解数列的极限非常重要。

接下来就介绍三种常见的数列极限求解方法：一、代数法第一种方法是代数法，这种方法比较直接，只需要代入n趋向无穷大的值即可。

例如，对于数列{1/n}（n=1, 2, 3, ……），我们可以使用代数法求它的极限。

当n趋向无穷大时，1/n的值越来越小，而我们可以看到1/n的值最小为无限接近于0。

因此，根据代数法，当n趋向无穷大时，1/n的极限为0。

二、夹逼法第二种方法是夹逼法，这种方法需要利用已知的数列加上一个比较紧密的数列来夹逼住待求解的数列，从而推导出它的极限。

当然，夹逼法对所要求解的数列和两个比较紧密的数列有一定的要求。

例如，对于数列（-1）的n次方/n，我们可以使用夹逼法求它的极限。

当n为奇数时，数列（-1）的n次方/n小于等于0，而数列（-1）的n+1次方/n大于等于0。

因此，当n趋向无穷大时，夹在它们之间的数列（-1）的n次方/n的极限为0。

三、通项法第三种方法是通项法，也就是通过特定的公式推导出数列的通项公式，然后求出它的极限。

通项法对于有规律的数列比较有效，但是如果无规律，通项公式就很难求出。

例如，对于数列{sin(n*π/4)}（n=1, 2, 3, ……），我们可以使用通项法求它的极限。

由于规律是sin(n*π/4)，而当n趋向无穷大时，sin(n*π/4)在8个值中循环。

因此，当n趋向无穷大时，数列{sin(n*π/4)}的极限等于该循环的最大值和最小值之间的所有值的平均值，即（1+√2）/2和（1-√2）/2的平均值，即0。

这三种方法，代数法相对简单直接，夹逼法应用范围比较广泛，而通项法对于有规律的数列比较有效。

数列极限计算的方法与技巧

数列极限计算的方法与技巧
有：
1.用变量来代表特殊数列，例如用a_n来代表第n项的值，这样可以使推导变得更清晰。

2.先要观察和把握函数的特点，才能选择合适的解法。

3.通过序列的规律发现其函数关系，有时候可能需要先分解较为复杂的序列，然后进行合并，从而得出其函数关系。

4.对于简单的数列，比如等比数列，等差数列等，可以使用简单的极限运算来求解。

5.当处理考虑极限时，通常有一些变换或转化，比如把分母换算为其因子的乘积，把分子分解成其因子的加和（如果有），以及将指数表达式转化为指数的乘方等技巧。

6.将极限的结果推出后，可能还需要进一步的判断，比如：取极限的结果是无穷，但是可能这个无穷大的值不存在，或者有极限，但是却不存在，或者存在但是又不是有界的，这需要根据例题具体分析对比才能推出结论。