(整理)几种求极限方法的总结

几种求极限方法的总结摘 要 极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过n s 对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 定积分 数列[]1根据极限的定义：数列{n x }收敛⇔∃a,ε∀〉0,∃N N ∈+,当n 〉N 时，有n x -a 〈ε. 例1 用定义证明11lim=+∞→n nn证明：0,ε∀>要使不等式11-+n n =11n ε<+成立：解得n 11ε>-,取N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11ε，于是0,ε∀>∃ N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11ε，n N ∀>，有1,1n n ε-<+即11lim =+∞→n n n2利用两边夹定理求极限[]1例2 求极限⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++∞→n n n n n n 22221312111lim 解：设=n c nn n n +++++22212111则有：2n cn n>=+同时有：21nc n<=+，于是nc<<1nn <=+>=. 有11n nnc n n<<<<=+ 已知：11lim=+∞→n n n ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++∞→n n n n n n 22221312111lim =1 3利用函数的单调有界性求极限[]1实数的连续性定理：单调有界数列必有极限.例3 设a x =1，a a x +=2， a a a x n +++= （n=1,2, ）(0a >),求n n x ∞→lim解：显然{}n x 是单调增加的。

我们来证明它是有界的.易见12x a x +=，23x a x += ， 1-+=n n x a x ，从而 12-+=n n x a x ，显然n x 是单调增加的，所以2n n x a x <+两段除以n x ，得 1n nax x <+ 1+≤≤⇒a x a n 这就证明了{}n x 的有界性 设l x n →，对等式12-+=n n x a x 两边去极限，则有∞→-∞→+=n n n n x a x 12l i m l i m⇒a l l +=2解得214++=a l l 4利用无穷小的性质求极限[]2关于无穷小的性质有三个，但应用最多的性质是：若函数f(x)(x )a →是无穷小，函数g(x)在U （),ηa 有界，则函数f(x)*g(x)(x )a →是无穷小. 例 求极限)cos 1(cos lim x x x -++∞→解4 )221sin()221sin(2cos 1cos xx x x x x -+++-=-+ 2)221sin(2≤++-xx 而)1(21221)221sin(0x x x x xx ++=-+≤-+≤ 而,0)1(21lim=++∞→x x x 故 02_1lim=+∞→xx n 5 应用“两个重要极限”求极限[]2e xx x x x x =+=∞→→)11(lim ,1sin lim例5求)1cos 1(sin lim xx x +∞→解2sin 1222sin 211112(sin cos )(sin cos )(1sin )xx xx xx x x x x ⎡⎤+=+=+⎢⎥⎣⎦∴原式=e xxxxx =+∞→22sin 2sin 1)2sin 1(lim6利用洛必达法则求极限[]2例6求xx x 1sin arctan 2lim -∞→π（)00 解： xx n 1sin arctan 2lim -∞→π=11cos111lim 22=-+-∞→x xx n 例7 求极限xx x 3tan tan lim2π→（)∞∞解 xxx 3tan tan lim2π→= 3262cos 26cos 6lim 2sin 6sin lim sin cos 63sin 3cos 6lim )(cos 3)3(cos lim )3(tan )(tan lim 222232,,2=--===--==→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x πππππ7利用泰勒公式求极限[]2例8：求极限 xx x x n cos sin 1lim2-+∞→解 ∵xx x x cos sin 12-+中分子为2x ，∴将各函数展开到含2x 项。

当→x 时，222211co s0(),2x x x xxx -=+=+从而)(0)(021211)(0211)cos 1(1cos 22222x x x x x x x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=+-=--==1-)(04122x x +)(0211)(01sin 12222x x x x x x ++=++=+ ∴原式=)(043lim)(0411)(0211lim 22222222x x x x x x x x n n +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++∞→∞→ 8利用数列求和来求极限[]2有时做一些求极限的题时，若对原函数先做一些变形，化简之后再利用极限性质去求极限过程简便些。

例9：求极限).2122321(lim 2n n n -+++∞→ []2解：令n n n s 21223212-+++= ，则143221225232121+-+++=n n n s122121212121-++++=-n n n s s -1212+-n n =,212211211*21211+---⎪⎭⎫⎝⎛-+n nn 从而n n n n s 21221121111---⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-，∴ 原式=3212112111lim 1=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→n n n n9用定积分求和式的极限[]2例10 设函数f(x)在[]1,0上连续，且f(x)0 ,求n n n nf n n f n f n f )()1()2().1(lim -∞→ []2 解 令T=n n nnf n n f n f n f )()1()2().1(lim -∞→ 于是lnT=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-)()1().2().1(ln 1n n f n n f n f n f n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++)(ln ))2(ln )1(ln 1n n f n f n f n 而dx x f n n k f T nk n n )(ln 1).(ln lim ln lim 101⎰∑===∞→∞→ 所以 nn n nf n n f n f n f )()1()2().1(lim -∞→ =⎰1)(ln dx x f10 利用定积分求极限[]4利用定积分求极限可分为以下两种形式（1）nn n f n f n f nf n )()3()2()1(lim ++++∞→ 型. 定理1 设f(x)在[]1,0上可积，则有：n n nf n f n f n f n )()3()2()1(lim ++++∞→ =⎰10)(dx x f 例12 求nn nnn n n ++++∞→ 321lim []4 解：设f(x)=x,f(x)在[]1,0上可积。

则n n nn n n n ++++∞→ 321lim =⎰1oxdx =21 （2）n n nnf n f n f )()2()1(lim ∞→型[]4.定理2 设f(x)在[]1,0上可积，则有nn n nf n f n f )()2()1(lim ∞→=epx ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎰10)(ln dx x f 例13 求nn nn !lim∞→ []4 解：n n nn !lim∞→=n n nn n n 2.1lim ∞→ 令 f(x)=x,则有n n nn !lim ∞→=n n n n n n 2.1lim ∞→=exp ⎰1ln xdx =e 1-11利用数列的递推公式求极限[]3这种方法实际上包含有两种方法（1）利用递推关系求出通项公式，然后求极限。

这是基本的解法，它把极限的存在性与求极限问题一起解决.例14 设1a =1，22=a ，30412=+-++n n n a a a （1)n >，求nn a ∞→lim []3解：递推公式可化为3（=-++)12n n a a n n a a -+1 设nn n a a b -=+1，那么311=+n n b b 所以，121a a b -==1，234323231,31=-==-=a a b a a b 21131---=-=n n n n a a b将以上各式相加得 2321313131311-+++=-n n a a2131.21253113111---=--+=⇒n n n a ⇒25lim =∞→nn a （1） 如果数列极限存在设为A ，则根据递推公式求出A.令数列的第n 项记为A+n a ，利用无穷小和极限的关系，只需证明0→n a （)∞→n ，便可确定数列的极限确实存在且就为A.例15 证明数列 2，2+21，2+2121+， 极限存在并求出这个极限[]3.解：由题意知递推关系为n n a a 121+=+，若数列的极限存在并设为A ，则A=2+A1设 n n a β++=21，有递推关系得1+nn ββ+++=++211221，即nn n βββ++-=+21)21(1因为11121)21(12)21(--+-=+-+=+-=n n n n a a a β而111212n n n n a ββββ-+>⇒<⇒<≤ 但2=1+⇒+12β211-=β，所以11122n n ββ<⇒<即)(0∞→→n n β 由此推出数列的极限存在并且就为1+212 利用级数收敛的必要条件求极限[]1当计算的题目形式很复杂时，可以作一个级数，看其是否收敛.再根据收敛的必要条件计算极限.收敛的必要条件：若级数∑∞=1n n u 收敛，则)(0∞→→n u n例16 计算2lim (!)nn n n →∞解：作级数∑∞=12)! (nnnn，令2(!)nnnun=11lim111limlim1<=+=+⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→∞→+∞→nennuunnnnnn有达朗贝尔判别法知∑∞=12)! (nnnn收敛.又有级数收敛的必要条件⇒2lim(!)nnnn→∞=0参考文献[]1陈传璋金福临朱学炎数学分析（第二版）高等教育出版社 .1983.7[]2解红霞.《浅谈求极限的几种方法》.太原教育学院学报.2001.6 第19卷第2期[]3杨曼英《极限的证明与求极限的方法》娄底师专学报 1994.第2期[]4唐守宪《几种求极限的方法》沈阳师范学院学报 2003.1第22卷第1期。