用极大似然法进行参数估计
极大似然法原理
极大似然法原理在统计学中，极大似然法是一种常用的参数估计方法。
它的原理是基于已知数据集的情况下，通过寻找最大概率使模型参数最接近真实值。
接下来，我们将围绕极大似然法原理进行分步骤的阐述。
第一步，定义似然函数。
似然函数是指在已知数据集的情况下，模型参数的取值所产生的概率。
假设我们要估计一个二项分布模型的参数p，数据集中有n个实例，其中有m个成功实例（成功实例概率为p）。
那么这个模型的似然函数可以表示为：L(p;m,n) = C(n,m) * p^m * (1-p)^(n-m)其中，C(n,m)表示从n个实例中选择m个成功的组合数。
这个式子中，p取值不同，所对应的似然函数值也不同。
第二步，求解极大化似然函数的参数值。
在求解参数值时，我们要找到一个能使似然函数取到最大值的p值。
这个过程可以通过求解似然函数的导数为零来实现。
即：dL/dp = C(n,m) * [m/(p)] * [(n-m)/(1-p)] = 0这个式子中，p的值是可以求出来的，即为p = m / n。
这个p值被称为最大似然估计值，意味着在该值下，似然函数取值最大。
这个值也是对真实参数值的一个良好估计。
第三步，检验极大似然估计值的可靠性。
为了检验极大似然估计值的可靠性，我们需要进行假设检验。
通常我们会计算一个置信区间，如果实际参数值在置信区间内，那么我们就认为估计值是可靠的。
置信区间可以通过计算似然函数的二阶导数来得到。
即：d^2L/dp^2 = -C(n,m) * [m/(p^2)] * [(n-m)/((1-p)^2)]计算得到极大似然估计值的二阶导数在该参数值下是负数。
根据二阶导数的符号，可以确定p = m / n是最大值，同时也可以计算出该置信区间的范围。
在这个过程中，我们还需要参考似然比值，以便更好地确定参数估计值。
综上所述，极大似然法是统计学中重要的一种参数估计方法。
它的原理在求解模型参数时非常实用，能够帮助我们更好地估计真实值，从而使得我们的模型更加准确。
各种参数的极大似然估计
各种参数的极大似然估计1.引言在统计学中，参数估计是一项关键任务。
其中，极大似然估计是一种常用且有效的方法。
通过极大化似然函数，我们可以估计出最有可能的参数值，从而进行推断、预测和优化等相关分析。
本文将介绍各种参数的极大似然估计方法及其应用。
2.独立同分布假设下的参数估计2.1参数估计的基本理论在独立同分布假设下，我们假设观测数据相互独立且具有相同的概率分布。
对于一个已知的概率分布，我们可以通过极大似然估计来估计其中的参数。
2.2二项分布参数的极大似然估计对于二项分布，其参数为概率$p$。
假设我们有$n$个独立的二项分布样本，其中成功的次数为$k$。
通过极大似然估计，我们可以得到参数$p$的估计值$\h at{p}$为：$$\h at{p}=\f ra c{k}{n}$$2.3正态分布参数的极大似然估计对于正态分布，其参数为均值$\mu$和标准差$\si gm a$。
假设我们有$n$个独立的正态分布样本，记为$x_1,x_2,...,x_n$。
通过极大似然估计，我们可以得到参数$\mu$和$\si gm a$的估计值$\h at{\m u}$和$\ha t{\s ig ma}$分别为：$$\h at{\mu}=\f rac{1}{n}\su m_{i=1}^nx_i$$$$\h at{\si gm a}=\s q rt{\fr ac{1}{n}\s um_{i=1}^n(x_i-\h at{\mu})^2}$$3.非独立同分布假设下的参数估计3.1参数估计的基本理论在非独立同分布假设下，我们允许观测数据的概率分布不完全相同。
此时，我们需要更加灵活的方法来估计参数。
3.2伯努利分布参数的极大似然估计伯努利分布是一种二点分布，其参数$p$表示某事件发生的概率。
假设我们有$n$组独立的伯努利分布样本，其中事件发生的次数为$k$。
通过极大似然估计，我们可以得到参数$p$的估计值$\h at{p}$为：$$\h at{p}=\f ra c{k}{n}$$3.3泊松分布参数的极大似然估计泊松分布是一种描述罕见事件发生次数的概率分布，其参数$\la mb da$表示单位时间（或单位面积）内平均发生的次数。
指数分布的矩估计和极大似然估计
指数分布的矩估计和极大似然估计指数分布是一种常见的概率分布，它在统计学中有着广泛的应用。
在实际应用中，我们需要对指数分布的参数进行估计，以便更好地理解和分析数据。
本文将介绍指数分布的矩估计和极大似然估计方法。
一、指数分布的概念指数分布是一种连续概率分布，它的概率密度函数为：f(x) = λe^(-λx) (x≥0)其中，λ是分布的参数，表示单位时间内事件发生的平均次数。
指数分布的期望和方差分别为1/λ和1/λ^2。
二、矩估计矩估计是一种常用的参数估计方法，它基于样本矩与理论矩之间的对应关系来估计参数。
对于指数分布，我们可以利用样本均值和方差来估计参数λ。
样本均值为：X = (1/n)Σxi样本方差为：S^2 = (1/n)Σ(xi - X)^2根据指数分布的期望和方差公式，我们可以得到：E(X) = 1/λVar(X) = 1/λ^2将样本均值和方差代入上式，得到：X = 1/λS^2 = 1/λ^2解出λ，即可得到参数的矩估计值。
三、极大似然估计极大似然估计是一种常用的参数估计方法，它基于样本观测值的概率分布来估计参数。
对于指数分布，我们可以利用样本观测值的概率密度函数来估计参数λ。
样本观测值的概率密度函数为：L(λ|x) = Πf(xi) = Πλe^(-λxi) = λ^n e^(-λΣxi)取对数，得到：lnL(λ|x) = nlnλ - λΣxi对λ求导，令导数等于0，得到：dlnL(λ|x)/dλ = n/λ - Σxi = 0解出λ，即可得到参数的极大似然估计值。
四、总结指数分布是一种常见的概率分布，它在统计学中有着广泛的应用。
在实际应用中，我们需要对指数分布的参数进行估计，以便更好地理解和分析数据。
本文介绍了指数分布的矩估计和极大似然估计方法，它们都是常用的参数估计方法，可以帮助我们更准确地估计指数分布的参数。
极大似然 拟合指标
极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是统计学中一种常用的参数估计方法。
它通过寻找参数值，使得观测数据在给定参数下的概率最大化，来估计模型的参数。
极大似然估计常用于拟合概率分布或模型到观测数据，以便更好地理解数据的生成过程或进行预测。
在极大似然估计中，通常使用似然函数（Likelihood Function）来表示观测数据在不同参数下的概率。
似然函数通常记为L(θ|X)，其中θ表示待估计的参数，X表示观测数据。
极大似然估计的目标是找到最大化似然函数的参数θ：$$\hat{\theta}_{\text{MLE}} = \arg \max_{\theta} L(\theta|X)$$拟合指标通常用于评估极大似然估计的质量和模型拟合的好坏。
以下是一些常见的拟合指标：1. **对数似然（Log-Likelihood）**：对数似然是似然函数取对数的结果，通常用于数值计算和比较不同模型的拟合质量。
对数似然越大，表示模型对观测数据的拟合越好。
2. **AIC（Akaike Information Criterion）**：AIC是一种用于模型选择的指标，它考虑了对数似然和模型参数数量之间的权衡。
AIC越小，表示模型更好，因为它同时考虑了拟合程度和模型的复杂度。
3. **BIC（Bayesian Information Criterion）**：BIC也用于模型选择，类似于AIC，但对模型复杂度的惩罚更严格。
BIC同样越小越好。
4. **假设检验**：假设检验可以用于评估模型参数的显著性。
例如，对于回归模型，可以使用t检验或F检验来检验回归系数是否显著不同于零。
5. **残差分析**：在拟合模型时，对残差进行分析可以帮助评估模型的拟合质量。
残差是观测值与模型预测值之间的差异，正常情况下应该是随机的，没有明显的模式。
这些拟合指标可以帮助你评估极大似然估计的结果以及模型拟合的好坏。
参数估计极大似然法
将其取对数,然后对 1 , 2 ,, 2 , , k ) 0 1 ln L( 1 , 2 , , k ) 0 k
该方程组的解 ˆi ˆi (x1, x2 ,, xn ),i 1,2,, k , 即为 i 的极 大似然估计值.
求极大似然估计的一般步骤归纳如下：
（1）求似然函数 L( ) ；
（2）求出 ln L( ) 及方程
d ln L( ) 0 d
；
（3）解上述方程得到极大似然估计值
ˆ ˆ( x , x ,, x ) 1 2 n .
（4）解上述方程得到极大似然估计量
ˆ ˆ( X , X ,, X ) 1 2 n .
令
ˆ( x , x ,, x ) 解此方程得θ的极大似然估计值 1 2 n ,
从而得到θ的极大似然估计量ˆ( X1, X 2 ,, X n ) .
因为 解方程
L( )
与
ln L( )
具有相同的最大值点
d ln L( ) 0 d
也可得θ的极大似然估计值
ˆ( x , x ,, x ) 和θ的极大似然估计量 ˆ( X , X ,, X ) . 1 2 n 1 2 n
~ x d 2 ln L() 且 0 2 d ~ x
~ 从而得出λ的极大似然估计量为 X
例：设总体 X 服从参数为λ 的指数分布，其中λ 未
( x1 , x2 ,, xn ) ( X 1 , X 2 ,, X n ) 为从总体抽取一个样本， 知，
为其样本观测值， 试求参数λ 的极大似然估计值和 估计量.
例:设随机变量X服从泊松分布:
P{ X k}
k e
k!
,
极大似然估计方法
极大似然估计方法极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）方法是一种用于估计参数的统计方法，它基于观测到的样本数据，通过选择最大化观测数据出现的概率的参数值来估计未知参数。
极大似然估计是概率论和统计学中最重要的方法之一，广泛应用于各个领域的数据分析与建模中。
极大似然估计方法的核心思想是基于某一参数下观测数据出现的概率，选择使得这个概率最大的参数值。
具体而言，给定一个观测数据集合X，其来自于一个具有参数θ的概率分布，我们要估计未知参数θ的值。
极大似然估计的目标是找到一个参数值θ^，使得给定θ^条件下观测数据集合X出现的概率最大。
数学上，极大似然估计可以通过最大化似然函数来求解。
似然函数是一个参数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
似然函数的定义如下：L(θ|X) = P(X|θ)数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
极大似然估计的目标是寻找一个参数θ^，使得似然函数最大化，即：θ^ = arg max L(θ|X)为了方便计算，通常将似然函数转化为其对数形式，即对数似然函数：l(θ|X) = log L(θ|X)本文将主要介绍如何利用极大似然估计来估计参数。
具体而言，将分为两个部分：首先是介绍极大似然估计的理论基础，包括似然函数和对数似然函数的定义，以及如何通过最大化似然函数来估计参数；其次是通过一个实际的例子，展示如何使用极大似然估计来求解参数。
理论基础似然函数是极大似然估计的核心概念之一。
似然函数是一个参数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
似然函数的定义如下：L(θ|X) = P(X|θ)数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
似然函数的值越大，则表示给定参数θ的取值越可能产生观测数据X。
对数似然函数是似然函数的对数变换，通常在实际计算中会更加方便。
它的定义如下：l(θ|X) = log L(θ|X)对数似然函数和似然函数存在着一一对应关系，因此在求解参数时，两者等价。
极大似然估计 参数回归模型
极大似然估计参数回归模型极大似然估计是统计学中常用的一种参数估计方法，它通过寻找使得观测数据出现的概率最大化的参数值来估计模型的参数。
在回归分析中，极大似然估计可以用来估计线性回归模型的参数。
假设我们有一个简单的线性回归模型，表示为：Y = β0 + β1X + ε。
其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是我们要估计的参数，ε是误差项。
我们的目标是通过观测数据来估计β0和β1的值，使得观测数据出现的概率最大化。
假设我们有n个观测数据，表示为{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们假设误差项ε服从正态分布，即ε~N(0, σ^2)。
我们可以建立似然函数来描述观测数据出现的概率。
对于第i 个观测数据，其观测值yi可以表示为：yi = β0 + β1xi + εi.其中，εi服从正态分布N(0, σ^2)。
似然函数可以表示为：L(β0, β1,σ^2) = Π(1/√(2πσ^2)) exp(-(yi β0β1xi)^2 / (2σ^2))。
为了简化计算，通常我们会对似然函数取对数，得到对数似然函数：l(β0, β1, σ^2) = Σ(-log(√(2πσ^2))) Σ((yi β0β1xi)^2 / (2σ^2))。
然后通过最大化对数似然函数来估计参数β0和β1的值。
这通常可以通过数值优化算法来实现，比如梯度下降法或者牛顿法。
通过极大似然估计，我们可以得到对参数β0和β1的估计值，从而建立起回归模型。
这种方法在统计学和机器学习中被广泛应用，能够帮助我们通过观测数据来估计模型参数，从而进行预测和推断。
极大似然估计法步骤
极大似然估计法步骤极大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是一种常用的参数估计方法，它利用样本数据来估计概率模型的参数。
它的基本思想是选择参数值使得观测到的样本出现的概率最大化。
极大似然估计法被广泛应用于统计学、机器学习以及其他领域。
极大似然估计法的步骤可以概括为以下几个主要步骤：1.确定参数化模型：首先，必须确定概率模型的形式和参数化，以便进行参数估计。
例如，对于二项分布模型，我们需要确定参数p 表示成功概率。
2.构建似然函数：接下来，需要构建似然函数。
似然函数是指在给定模型参数条件下观测到的样本的条件概率密度（或离散情况下的概率质量函数）。
似然函数的形式可以根据不同的概率模型进行定义。
例如，对于离散情况下的伯努利分布，似然函数可以表示为：L(p) = p^k * (1-p)^(n-k)，其中k是观测到的成功次数，n是总的观测次数。
对于连续情况下的正态分布，似然函数可以表示为：L(μ,σ) = (2πσ^2)^(-n/2) * exp[-(1/2σ^2) * Σ(xi-μ)^2]。
3.对数似然函数的求解：通常，为了便于计算和优化，我们会使用对数似然函数进行求解。
对数似然函数和似然函数具有相同的最大值点，但其大大简化了计算过程。
4.最大化对数似然函数：确定参数的MLE估计值等于使得对数似然函数最大化时的参数值。
常见的最大化方法包括数值方法（如牛顿法、梯度下降法等）和解析方法。
对于某些简单的模型，可以通过求导数等条件判断来获得解析解。
例如，对于伯努利分布中的参数p，可以通过求取对数似然函数的一阶导数，并令其等于0，解得MLE估计值为p = k/n。
5.参数估计：得到MLE估计值后，就可以根据估计参数进行进一步的分析和预测了。
通常，MLE估计值具有良好的频率特性，即当样本数量趋近于无穷大时，估计值收敛到真实参数。
极大似然估计法的优点在于其较好的性质和理论基础。
极大似然估计量的标准误差
极大似然估计量的标准误差一、引言极大似然估计量（Maximum Likelihood Estimator，MLE）是一种在统计学中常用的参数估计方法。
它通过最大化样本数据的似然函数来估计未知参数。
然而，MLE的估计结果往往受到样本数据的影响，存在一定的误差。
本文将探讨极大似然估计量的标准误差及其计算方法。
二、极大似然估计量的定义极大似然估计量是一种参数估计方法，它通过最大化样本数据的似然函数来估计未知参数。
似然函数描述了样本数据在给定参数下的概率分布。
通过最大化似然函数，MLE可以找到最有可能的参数值，使得样本数据出现的概率最大。
三、极大似然估计量的标准误差极大似然估计量的标准误差是衡量MLE估计结果稳定性的一个重要指标。
标准误差越小，MLE的估计结果越稳定。
计算MLE的标准误差通常需要使用样本数据的方差和协方差矩阵。
1.方差计算方差是衡量数据波动程度的一个指标，它描述了数据点与其均值的偏离程度。
对于极大似然估计量，其方差可以通过以下公式计算：方差= 2 * Σ (likelihood function) / (n * number of parameters)其中，Σ表示求和符号，likelihood function表示样本数据的似然函数，n表示样本数量，number of parameters表示未知参数的数量。
2.协方差矩阵计算协方差矩阵描述了各个参数之间的相关性。
对于极大似然估计量，其协方差矩阵可以通过以下公式计算：协方差矩阵= -1 * Σ (likelihood function) / (n * numb er of parameters)其中，Σ表示求和符号，likelihood function表示样本数据的似然函数，n表示样本数量，number of parameters表示未知参数的数量。
3.标准误差计算标准误差是方差的平方根，它描述了MLE估计结果的波动程度。
对于极大似然估计量，其标准误差可以通过以下公式计算：标准误差= √ 方差四、结论本文探讨了极大似然估计量的标准误差及其计算方法。
矩估计和极大似然估计
矩估计和极大似然估计
统计学研究中估计参数是最基本的技术。
它是推断未知参数值的重要方法，它可以应用于任何分布，而无论它是均衡的还是不均衡的。
本文将介绍两种最常用的而且最有效的估计方法，即矩估计和极大似然估计。
矩估计是一种无偏估计。
它用平均方差作为估计的标准，以期获得无偏估计量。
它的思想是找到一组参数，使得它与观测数据的总平方和达到最小。
最小二乘法把参数的估计量分解为一系列不受体系误差影响的估计量，以便更加准确地估计。
极大似然估计也是无偏估计，但它是通过最大似然函数来求参数估计量的。
这个函数的思想是，根据观测数据，计算出参数的估计量，使得似然性最大。
极大似然估计就是使用给定观测数据和某个参数模型，来求出使这个参数模型似然函数最大的参数估计量。
矩估计和极大似然估计都有许多优点，如无偏性、处理简单，可以使用不同的统计模型以及可以计算准确率等等。
然而，它们也有一定的弊端。
矩估计假设数据服从正态分布，而实际数据常常不会服从正态分布，这时估计值可能会出现误差。
极大似然估计也存在类似的问题，因为它依赖于正确假设分布模型，它在模型类别选择和设定参数上可能会出现错误。
总的来说，矩估计和极大似然估计是统计学中重要的估计参数技术，它们都具有优点和缺点，但由于它们的效率和准确性，它们仍然是统计学的基础。
在选择估计方法时，应考虑到参数类别、数据分布
和分析技术，以选择最适宜的估计方法。
用极大似然法进行参数估计
用极大似然法进行参数估计极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）是一种统计推断方法，用于通过观测数据确定概率分布的参数值。
它的基本思想是选择使得已观测数据出现的概率最大化的参数值。
在本文中，我们将介绍极大似然法的基本原理、计算步骤以及一些常见的应用。
1.极大似然法的基本原理假设我们有一组独立同分布的随机样本观测值X1，X2，...，Xn，其概率密度函数（或概率质量函数）为f(x;θ)，其中θ是待估计的参数。
MLE的目标是通过最大化似然函数（Likelihood Function）L(θ)来估计参数θ的值，即找到能最大化样本观测值出现概率的参数值。
似然函数L(θ)的定义为：L(θ) = f(x1;θ) * f(x2;θ) * ... * f(xn;θ)为了简化计算，常常使用对数似然函数logL(θ)进行最大化：logL(θ) = log(f(x1;θ)) + log(f(x2;θ)) + ... +log(f(xn;θ))2.极大似然法的计算步骤-确定似然函数L(θ)的表达式，即样本观测值的联合概率密度函数（或概率质量函数）的乘积。
- 对似然函数取对数，得到logL(θ)。
- 对logL(θ)求导，并令导数等于0，解出参数θ的估计值。
-检查导数的二阶偏导数，以确保估计值是一个极大值点，并非极小值或驻点。
-检验估计值的结果，并进行统计推断。
值得注意的是，当样本观测值满足一定的正则条件时，估计值通常具有一些优良的统计性质，如渐近正态性、渐近有效性等。
3.极大似然法的常见应用-二项分布参数估计：假设我们有一组成功/失败的观测数据，用于估计成功的概率p。
我们可以建立二项分布模型，并通过MLE来估计参数p 的值。
-正态分布参数估计：假设我们有一组服从正态分布的观测数据，用于估计均值μ和方差σ^2、我们可以通过MLE来分别估计这两个参数的值。
-泊松分布参数估计：假设我们有一组服从泊松分布的观测数据，用于估计平均发生率λ。
参数估计极大似然法
参数估计极大似然法参数估计是统计学中的一个重要问题，其目标是根据观测数据来估计未知参数的值。
极大似然法（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是一种常用的参数估计方法，它是在给定观测数据情况下，通过寻找使得观测数据出现概率最大的参数值来进行参数估计的。
极大似然法的基本思想是，对于给定的观测数据，将参数看作是自变量，而观测数据的概率函数则是关于参数的函数。
最大化这个概率函数，即寻找参数空间中的一个点，使得在此点处的似然函数取得最大值，并称这个点上的参数值为极大似然估计值。
首先，我们需要定义似然函数。
给定一个随机变量X，其概率密度函数为f(x;θ)，其中θ为待估的参数。
对于n个独立同分布的观测值{x1, x2, ..., xn}，其似然函数L(θ; x1, x2, ..., xn)定义为：L(θ; x1, x2, ..., xn) = f(x1;θ) *f(x2;θ) * ... * f(xn;θ)经过对数变换，我们可以将似然函数转化为对数似然函数，即：ln L(θ; x1, x2, ..., xn) = ln f(x1;θ) + ln f(x2;θ) + ...+ ln f(xn;θ)这样的转换是合理的，因为对数函数是一个连续且单调递增的函数，最大化对数似然函数值等价于最大化似然函数值。
接下来，我们需要找到使得对数似然函数取得最大值的参数值。
为了寻找这个极值点，我们可以使用一些优化算法，比如梯度下降法、牛顿法等。
这些算法可以通过不断迭代来逼近最大化对数似然函数值的参数值。
当然，寻找极大似然估计值的过程可能会面临一些困难，比如求解似然函数和对数似然函数的最大值可能涉及到复杂的计算问题，此外，对于一些复杂模型，可能无法直接找到解析解。
在这些情况下，我们可以利用数值优化算法来近似求解，或者通过一些近似方法来简化问题。
需要注意的是，极大似然估计的结果并不一定是无偏的，也不一定是最优的。
极大似然估计公式推导
极大似然估计公式推导极大似然估计是一种常用的统计参数估计方法，其核心思想是基于已知的样本数据，通过最大化似然函数来估计未知的参数值。
它在统计学中有着广泛的应用，并且在大量实际问题中都得到了验证和应用。
我们需要明确似然函数的概念。
似然函数是指已知样本数据和未知参数之间的关系函数，其数学表达形式为在给定参数条件下，样本数据发生的概率密度函数或概率质量函数。
通过调整参数的取值，使得似然函数最大化，就可以得到对未知参数值的估计。
在推导极大似然估计公式之前，我们先来看一个简单的例子。
假设有一组观测样本数据{x1, x2, ... , xn}，其服从某个参数为θ的概率分布。
我们的目标是通过这些观测样本数据，估计出参数θ的值。
我们需要建立参数θ的似然函数L(θ)。
对于离散型分布，似然函数可以表示为样本数据出现的概率质量函数的乘积；对于连续型分布，则为概率密度函数的乘积。
假设我们的样本数据是独立同分布的，那么似然函数可以表示为：L(θ) = f(x1;θ) * f(x2;θ) * ... * f(xn;θ)其中，f(xi;θ)表示样本数据xi在参数θ条件下的概率密度函数或概率质量函数。
接下来，我们需要找到使得似然函数最大化的参数值。
在实际应用中，通常会对似然函数取对数，即lnL(θ)，这是因为对数函数具有单调性，可以保持极值点的位置不变，但是更容易求导。
因此，我们可以将似然函数转化为对数似然函数：lnL(θ) = ln[f(x1;θ)] + ln[f(x2;θ)] + ... + ln[f(xn;θ)]接下来，我们需要求解对数似然函数关于参数θ的导数，并令其等于0，求出使得对数似然函数取得极大值的参数值。
这个过程通常需要使用一些数学技巧，如求导、求和等。
最终，我们可以得到极大似然估计的公式。
对于连续型分布，极大似然估计的公式通常可以表示为：∂lnL(θ)/∂θ = 0对于离散型分布，极大似然估计的公式通常可以表示为：∂lnL(θ)/∂θ = ∑(x∈X) P(x;θ) * ∂lnP(x;θ)/∂θ = 0其中，X表示样本空间，P(x;θ)表示概率质量函数。
用极大似然法进行参数估计
用极大似然法进行参数估计极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation,MLE）是一种常用的统计方法，用于从已知样本中估计模型的参数。
它基于以下思想：我们选择那些使得已知样本的出现概率最大化的参数值作为估计值。
在进行极大似然估计时，需要知道样本的概率分布模型。
对于连续型分布，我们通常使用概率密度函数（probability density function,PDF）描述该分布的概率情况；而对于离散型分布，我们则使用概率质量函数（probability mass function,PMF）。
根据样本的特点，选择合适的概率分布模型是进行估计的首要步骤。
下面以一个例子来说明如何使用极大似然法进行参数估计。
假设我们有一组数据，表示了城市每天的降雨量，我们希望通过已知数据来估计该城市的降雨量的概率分布的参数。
首先考虑已知数据的概率分布模型，降雨量通常可以使用指数分布来表示。
设随机变量X表示降雨量，参数λ表示降雨率（1/天），则X服从参数为λ的指数分布，其概率密度函数为f(x;λ) = λ * exp(-λx)，其中λ > 0。
假设我们有n个样本，分别为x1, x2, ..., xn，它们是独立同分布的，并且都是X的观测值。
我们要通过这些样本来估计参数λ的值。
我们需要计算已知样本的似然函数，即f(x1, x2, ..., xn; λ)。
由于样本是独立同分布的，可以将似然函数表示为各个样本的联合概率密度函数的乘积，即L(λ) = f(x1;λ) * f(x2;λ) * ... * f(xn;λ)，将概率密度函数代入，得到L(λ) = λ^n * exp(-λ ∑xi)。
为了方便计算，一般采用对数似然函数进行求解。
对上述似然函数取对数，得到lnL(λ) = nln(λ) - λ∑xi。
我们的目标是最大化似然函数，那么等价于最大化对数似然函数。
接下来，我们需要求解似然函数对参数λ的一阶导数，并将其置为0，得到参数的估计值。
概率论中的极大似然估计和贝叶斯估计
概率论中的极大似然估计和贝叶斯估计是两个重要的概率统计方法，它们在实际问题中都有着广泛的应用。
虽然它们的思想和理论有所不同，但是它们的目的都是为了找到最优的精度和效率的估计值。
一、极大似然估计极大似然估计是一种参数估计方法，用于确定某个未知参数的值。
在估计未知参数时，我们可以把这个参数想象成一个未知的点，而通过样本数据作为输入，就可以得到输出。
极大似然估计方法的目的就是在所有可能的输入中，选择能让输出概率最大的那个未知点的值。
举个例子，假设我们有一个包含50个人的样本，我们想知道这里面有多少人患有某种疾病。
我们假设这个患病率为p，那么患病的人数X就是一个二项式分布。
使用极大似然估计方法，我们通过观察样本数据，找到一个最能代表这个患病率的值。
这个最优的值要满足以下两个条件：1.它使得已知的样本数据出现的概率最大。
2.它是能够真实描述数据分布的。
在这个例子中，我们要找到最优的p值，使得在我们观测到的50个人中，恰好有x个人患病的概率最大，那么这个最大概率就是我们需要估计出来的患病率。
二、贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法，它允许我们使用先验知识来估计参数。
在贝叶斯估计中，我们假设参数并不是一个恒定的值，而是一个概率分布。
这个概率分布被称为先验分布，它反映了我们关于参数的先前知识。
在样本数据输入之后，我们可以使用贝叶斯定理来更新我们对参数的估计，得到概率分布后验分布。
后验分布包含了更准确的信息，反映了我们对参数的新认知。
举个例子，假设我们要估计某种疾病的患病率，并且我们之前已经知道，在某些人群中这种疾病的患病率为0.5。
我们可以把这个先前知识，即患病率的先验概率，引入到概率模型中。
使用贝叶斯定理，我们可以得到这个患病率的后验概率，即在观测到当前数据后，我们对患病率的估计。
这个后验概率还可以反过来被用作先验概率，随着新的数据不断输入，我们的后验概率不断被更新和调整。
三、极大似然估计和贝叶斯估计的比较极大似然估计和贝叶斯估计各有优点与不足。
经济学毕业论文中的计量经济模型参数估计方法
经济学毕业论文中的计量经济模型参数估计方法计量经济模型在经济学研究中扮演着重要的角色，它通过对经济变量之间的关系进行量化，并运用统计学方法来估计这些关系的参数。
本文将介绍一些常用的计量经济模型参数估计方法，以及它们在经济学毕业论文中的应用。
一、最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）最小二乘法是最经典的参数估计方法之一，它通过最小化实际观测值与模型预测值之间的差异来估计参数。
在OLS中，我们假设误差项服从正态分布，且具有零均值和常数方差。
这种方法通常适用于线性回归模型。
二、广义最小二乘法（Generalized Least Squares, GLS）广义最小二乘法是对OLS的一种扩展，它允许误差项不符合OLS 的基本假设。
当误差项具有异方差或者相关性时，GLS可以提供更为准确的参数估计。
通过引入协方差矩阵的倒数作为权重矩阵，GLS可以对不同方程的参数进行加权，以提高估计的有效性。
三、仪器变量法（Instrumental Variables, IV）仪器变量法是一种用于解决内生性问题的参数估计方法。
当存在内生性问题时，OLS的估计结果会偏倚，仪器变量法可以通过寻找具有相关性但不影响被解释变量的仪器变量来解决该问题。
该方法常用于面板数据模型或者工具变量回归模型。
四、差分法（Difference-in-Differences, DID）差分法是一种用于估计政策效果的方法。
该方法通过比较政策实施前后不受政策影响的对照组和实施组之间的差异来估计政策效果。
差分法需要具备实验和对照组的数据，并且假设两组在政策实施前具有平行趋势。
五、面板数据模型（Panel Data Model）面板数据模型是一种将时间序列与横截面数据相结合的经济学模型。
它可以用于估计个体效应和时间效应对经济变量的影响。
面板数据模型可以采用固定效应模型、随机效应模型或者混合效应模型进行估计。
六、极大似然法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）极大似然法是一种在统计学中广泛使用的参数估计方法。
python极大似然估计参数
python极大似然估计参数
极大似然估计是统计学中常用的一种参数估计方法，用于估计
概率分布的参数。
在Python中，我们可以使用各种统计库来进行极
大似然估计的参数计算，比如NumPy、SciPy和StatsModels等库。
首先，假设我们有一组观测数据，我们想要估计这组数据所符
合的概率分布的参数。
以正态分布为例，我们可以使用SciPy库中
的norm模块来进行极大似然估计。
假设我们的数据存储在一个名为data的NumPy数组中，我们可以使用norm.fit(data)来获得数据的均值和标准差的极大似然估计值。
另外，如果我们想要自定义概率分布模型并进行极大似然估计，可以使用StatsModels库。
该库提供了更多复杂的统计模型，比如
线性回归模型、广义线性模型等。
我们可以使用该库来拟合自定义
的概率分布模型，并使用极大似然估计来估计模型参数。
除了使用现有的库，我们也可以手动实现极大似然估计的算法。
这涉及到最大化似然函数的过程，通常可以通过梯度下降等优化方
法来实现。
我们需要定义似然函数，并通过迭代优化来找到使似然
函数最大化的参数值。
总之，在Python中进行极大似然估计参数，我们可以利用现有的统计库进行估计，也可以根据需要自行实现估计算法。
无论采用哪种方法，都需要谨慎处理数据并理解所使用的概率模型，以确保得到合理的参数估计结果。
威布尔分布的极大似然估计过程
威布尔分布是一种常见的概率分布，在许多领域都有着重要的应用。
在统计学中，我们经常需要对数据进行概率分布的估计，以便做出进一步的推断和分析。
而其中一种常见的估计方法就是极大似然估计。
本文将就威布尔分布的极大似然估计过程进行详细的介绍和分析。
一、威布尔分布的概述威布尔分布是描述事件发生时间的概率分布，常用于可靠性分析中。
它的概率密度函数可以写为：f(x|λ, k) = (k/λ) * (x/λ)^(k-1) * exp(-(x/λ)^k)其中，λ和k是分布的参数，λ>0，k>0。
威布尔分布具有灵活的形状，可以适应各种类型的数据分布。
二、极大似然估计的原理极大似然估计是一种常用的参数估计方法，通过最大化样本的似然函数（概率密度函数的乘积）来确定参数的值。
具体来说，对于给定的样本，我们希望找到一组参数，使得观测到这组样本的概率最大。
我们要找到能最好地“解释”已有数据的参数值，这就是极大似然估计的基本原理。
三、威布尔分布的极大似然估计过程对于威布尔分布的参数λ和k的极大似然估计过程，我们可以按照以下步骤来进行：1. 构造似然函数我们需要构造威布尔分布的似然函数。
对于给定的样本x1, x2, ..., xn，其似然函数可以写为：L(λ, k|x1, x2, ..., xn) = ∏[i=1->n] (k/λ) * (xi/λ)^(k-1) * exp(-(xi/λ)^k)2. 求对数似然函数由于对数函数是单调递增的，对数似然函数和似然函数在参数估计中具有相同的极值点。
我们可以对似然函数取对数，得到对数似然函数：l(λ, k|x1, x2, ..., xn) = ∑[i=1->n] (log(k) - log(λ) + (k-1)*log(xi/λ) - (xi/λ)^k)3. 求偏导数接下来，我们需要对对数似然函数分别对λ和k求偏导数，并令偏导数为0，得到参数λ和k的估计值。
4. 求解参数通过求解偏导数为0的方程组，我们可以得到参数λ和k的极大似然估计值。
极大似然估计方法估计GARCH模型参数
极大似然估计方法估计GARCH模型参数极大似然估计方法是一种常用的统计参数估计方法，广泛应用于金融领域中的GARCH模型参数估计。
GARCH模型是一种用于金融市场波动率预测的时间序列模型，它基于过去的波动率来预测未来的波动率。
该模型包括ARCH(自回归条件异方差)模型和GARCH(广义自回归条件异方差)模型。
GARCH模型参数估计的目标是通过观测数据最大化似然函数，找到最优的参数值，从而使模型的预测误差最小化。
1.假设GARCH模型的形式，并将其转化为等价的线性模型形式。
GARCH模型包括自回归方差，平方残差自回归以及方差残差之间的协方差。
为了进行参数估计，可以将GARCH模型转化为等价的线性模型形式，例如，将方差转化为对数形式。
2.构建似然函数。
似然函数是在给定参数的条件下，样本的观测值出现的概率，可以通过对数似然函数的方式来描述。
对GARCH模型，可以根据条件概率密度函数计算似然函数。
3.通过最大化似然函数来估计参数。
通过求解似然函数的导数等于零，可以得到似然函数的最大值，从而得到参数的估计值。
4.进行参数估计的迭代过程。
由于似然函数通常是非线性的，并且具有多个局部最大值，因此需要使用迭代的方法来找到全局最大值。
常用的迭代算法有牛顿-拉弗森法和Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS)法等。
5.通过估计参数来进行模型拟合和波动率预测。
通过估计的参数，可以进行模型拟合和波动率预测。
可以使用已知数据进行模型拟合，然后利用估计的参数来预测未来的波动率。
极大似然估计方法在GARCH模型参数估计中有着广泛的应用。
它可以对金融市场的波动进行有效预测，并为投资者提供重要的决策依据。
然而，极大似然估计方法也存在一些限制，例如对初始值敏感以及计算复杂性较高等问题。
学者们也提出了一些改进方法，例如基于遗传算法的估计方法和贝叶斯估计方法等，以提高参数估计的效果。
总之，极大似然估计方法是一种有效的GARCH模型参数估计方法，可以通过最大化似然函数来得到最优的参数估计值。
简述极大似然估计的基本原理
简述极大似然估计的基本原理极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）是统计学中一种常见的方法，用于在给定一些观察数据的情况下，找到一个最有可能产生这些数据的模型参数值。
它的基本思想是，通过分析样本数据来推断总体的分布参数，使所观测到的样本概率最大化。
简言之，MLE方法就是找到一个参数值，使样本数据出现的概率最大。
MLE方法具有很多优点。
它不需要对总体的分布做出假设，而是直接通过样本数据来推断分布参数。
它具有一致性和渐近正态性等优良的性质，使得其估计结果具有较高的可靠性。
它易于计算，常用的最优化方法可以轻松地实现。
下面我将从MLE的基本原理、MLE的求解方法、MLE的优点以及其应用等方面进行详细介绍。
一、MLE的基本原理MLE的基本思想是，给定一组样本数据，找到它们的概率密度函数（或分布函数）的参数，使得这些数据在该概率密度函数下对应的似然函数取最大值。
在统计学的术语中，对于某个参数θ，似然函数L(θ)定义为，给定一组由随机变量X取值得到的样本数据，其在某一条件概率分布f(x|θ)下的概率密度函数值：L(θ) = f(x1,x2,...,xn|θ) = ∏ f(xi|θ)其中∏表示对于所有i从1到n的乘积。
似然函数表示了在给定参数θ的情况下，样本数据出现的概率。
那么，为了确定最佳的参数值θ，我们需要寻找使似然函数L(θ)最大的值。
也就是说，最大化似然函数的值，就是求解MLE问题的目标。
我们有一组观测数据：(2,4,6)。
将这些数据视为从概率分布N(μ,σ^2)中抽取的样本，其中μ和σ^2是分布的参数。
我们可以根据样本数据计算似然函数：L(μ,σ^2) = f(2,4,6|μ,σ^2) = (√(2πσ^2))^-3 × exp(-3/2)exp表示自然常数e的指数形式。
上式中的(√(2πσ^2))^-3是概率密度函数的归一化项，不影响MLE的求解。
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北京工商大学《系统辨识》课程上机实验报告（2014年秋季学期）专业名称：控制工程上机题目：极大似然法进行参数估计专业班级：2015年1 月一 实验目的通过实验掌握极大似然法在系统参数辨识中的原理和应用。
二 实验原理1 极大似然原理设有离散随机过程}{k V 与未知参数θ有关，假定已知概率分布密度)(θk V f 。
如果我们得到n 个独立的观测值,21,V V …n V ,，则可得分布密度)(1θV f ，)(2θV f ，…,)(θn V f 。
要求根据这些观测值来估计未知参数θ，估计的准则是观测值{}{k V }的出现概率为最大。
为此，定义一个似然函数)()()(),,,(2121θθθθn n V f V f V f V V V L = （1.1）上式的右边是n 个概率密度函数的连乘，似然函数L 是θ的函数。
如果L 达到极大值，}{k V 的出现概率为最大。
因此，极大似然法的实质就是求出使L 达到极大值的θ的估值∧θ。
为了便于求∧θ，对式（1.1）等号两边取对数，则把连乘变成连加，即 ∑==ni iV f L 1)(ln ln θ （1.2）由于对数函数是单调递增函数，当L 取极大值时，lnL 也同时取极大值。
求式（1.2）对θ的偏导数，令偏导数为0，可得0ln =∂∂θL（1.3）解上式可得θ的极大似然估计ML ∧θ。
2 系统参数的极大似然估计Newton-Raphson 法实际上就是一种递推算法，可以用于在线辨识。
不过它是一种依每L 次观测数据递推一次的算法，现在我们讨论的是每观测一次数据就递推计算一次参数估计值得算法。
本质上说，它只是一种近似的极大似然法。
设系统的差分方程为)()()()()(11k k u z b k y z a ξ+=-- （2.1）式中111()1...nn a z a z a z ---=+++1101()...nn b z b b z b z---=+++因为)(k ξ是相关随机向量，故（2.1）可写成)()()()()()(111k z c k u z b k y z a ε---+= （2.2）式中)()()(1k k z c ξε=- （2.3）nn z c z c z c ---+++= 1111)( （2.4）)(k ε是均值为0的高斯分布白噪声序列。
多项式)(1-z a ，)(1-z b 和)(1-z c 中的系数n n c c b b a a ,,,,,10,1和序列)}({k ε的均方差σ都是未知参数。
设待估参数n a a 1[=θ n b b 0 ]Tn c c 1 （2.5）并设)(k y 的预测值为+-+++-----=∧∧∧∧∧)()()()1()(01n k u b k u b n k y a k y a k y n n)()1(1n k e c k e c n -++-∧∧（2.6） 式中)(i k e -为预测误差；i a ∧，i b ∧，i c ∧为i a ，i b ，i c 的估值。
预测误差可表示为+-+-⎢⎣⎡--=-=∑∑=∧=∧∧)()()()()()(01i k u b i k y a k y k y k y k e n i i n i i-+++-+++=⎥⎦⎤--∧-∧∧-∧-∧=∧∑)()()()1()(110111k u z b z b b k y z a z a i k e c n n n n n i i )()(2211k e z c zc z c n n -∧-∧-∧+++ （2.7）或者)()1(11k e z c z c nn -∧-∧+++ =-+++-∧-∧)()1(11k y z a z a nn)()(110k u z b z b b nn -∧-∧∧+++ （2.8）因此预测误差{})(k e 满足关系式)()()()()()(111k u z b k y z a k e z c -∧-∧-∧-= （2.9）式中n n z a z a z a -∧-∧-∧+++= 1111)( n n z b z b b z b -∧-∧∧-∧+++= 1101)( n n z c z c z c -∧-∧-∧+++= 1111)(假定预测误差)(k e 服从均值为0的高斯分布，并设序列{})(k e 具有相同的方差2σ。
因为{})(k e 与)(1-∧z c ，)(1-∧z a 和)(1-∧z b 有关，所以2σ是被估参数θ的函数。
为了书写方便，把式（2.9）写成)()()()()()(111k u z b k y z a k e z c ----= （2.10）-------++-+= )1()1()()1()()(101k u b k u b n k y a k y a k y k e n,2,1),()1()(1++=------n n k n k c k e c n k u b n n （2.11） 或写成)()()()()(11i k e c i k u b i k y a k y k e ni ini ini i-----+=∑∑∑=== （2.12）令k=n+1,n+2,…,n+N,可得)(k e 的N 个方程式，把这N 个方程式写成向量-矩阵形式θN N N Y e Φ-= （2.13） 式中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=)()2()1(N n y n y n y Y N ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=)()2()1(N n e n e n e e N ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n b b a a 01θ⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+--=Φ)1()1()(N n y n y n y N )()2()1(N y y y --- )()2()1(N n u n u n u +++ )()2()1(N u u u)1()1()(-++N n e n e n e ⎥⎥⎥⎥⎦⎤)()2()1(N e e e因为已假定{})(k e 是均值为0的高斯噪声序列，高斯噪声序列的概率密度函数为])(21ex p[)2(122212m y f --=σπσ （2.14）式中y 为观测值，2σ和m 为y 的方差和均值，那么)](21ex p[)2(122212k e f σπσ-=（2.15）对于)(k e 符合高斯噪声序列的极大似然函数为)21exp()2(1)]}()2()1([21exp{)2(1])([])2([])1([])(,),2(),1([),(222222222N T N NN N e e N n e n e n e N n e f n e f n e f N n e n e n e L Y L σπσσπσθθθθσθ-=++++++-=+++=+++=（2.16）或]2)()(ex p [)2(1),(222σθθπσσθΦ-Φ--=N T N N N Y Y Y L （2.17） 对上式（2.17）等号两边取对数得N T N NT N NN e e N N e e Y L 2222221ln 22ln 2)21ex p(ln )2(1ln),(ln σσπσπσσθ---=-+= （2.18）或写为∑++=---=N n n k N k e N N Y L 1222)(21ln 22ln 2),(ln σσπσθ （2.19）求),(ln σθN Y L 对2σ的偏导数，令其等于0，可得0)(212),(ln 12422=+-=∂∂∑++=Nn n k N k e N Y L σσσσθ （2.20）则J N k e N k e NN n n k Nn n k 2)(212)(112122===∑∑++=++=∧σ （2.21） 式中∑++==N n n k k e J 12)(21 （2.22）2σ越小越好，因为当方差2σ最小时，)(2k e 最小，即残差最小。
因此希望2σ的估值取最小J Nmin 22=∧σ （2.23） 因为式（2.10）可理解为预测模型，而e(k)可看做预测误差。
因此使式（2.22）最小就是使误差的平方之和最小，即使对概率密度不作任何假设，这样的准则也是有意义的。
因此可按J 最小来求n n c c b b a a ,,,,,10,1的估计值。
由于e(k)式参数n n c c b b a a ,,,,,10,1的线性函数，因此J 是这些参数的二次型函数。
求使),(ln σθN Y L 最大的∧θ，等价于在式（2.10）的约束条件下求∧θ使J 为最小。
由于J 对i c 是非线性的，因而求J 的极小值问题并不好解，只能用迭代方法求解。
求J 极小值的常用迭代算法有拉格朗日乘子法和牛顿-拉卜森法。
下面介绍牛顿-拉卜森法。
整个迭代计算步骤如下：(1)确定初始的0∧θ值。
对于0∧θ中的n b b a a ,,,0,1可按模型)()()()()(11k u z b k y z a k e -∧-∧-= （2.24）用最小二乘法来求，而对于0∧θ中的nc c ,1可先假定一些值。
(2)计算预测误差)()()(k y k y k e ∧-= （2.25） 给出∑++==N n n k k e J 12)(21并计算∑++=∧=Nn n k k eN 122)(1σ （2.26）(3)计算J 的梯度θ∂∂J和海赛矩阵 22θ∂∂J ,有 θθ∂∂=∂∂∑++=)()(1k e k e J N n n k （2.27） 式中⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂n a k e a k e k e )()()(1 θ n b k e b k e ∂∂∂∂)()(0 Tn c k e c k e ⎥⎦⎤∂∂∂∂)()(1--------++-+∂∂=∂∂)()1()()()1()([)(101n k u b k u b k u b n k y a k y a k y a a k e n n i i )]()1(1n k e c k e c n ----in i i a n k e c a k e c a k e c i k y ∂-∂--∂-∂-∂-∂--=)()2()1()(21（2.28） 即i nj j i a j k e c i k y a k e ∂-∂--=∂∂∑=)()()(1（2.29） 同理可得i nj j i b j k e c i k u b k e ∂-∂---=∂∂∑=)()()(1 （2.30） in j j i c j k e c i k e c k e ∂-∂---=∂∂∑=)()()(1 （2.31） 将式（2.29）移项化简，有in j j i n j j i a j k e c a j k e c a k e i k y ∂-∂=∂-∂+∂∂=-∑∑==)()()()(01 （2.32）因为j z k e j k e -=-)()( （2.33）由)(j k e -求偏导，故iji a z k e a j k e ∂∂=∂-∂-)()( （2.34） 将（2.34）代入（2.32），所以j nj j i i j n j j i nj j z c a k e a z k e c a j k e c i k y -=-==∑∑∑∂∂=∂∂=∂-∂=-000)()()()( （2.35） n n z c z c z c ---+++= 1111)(所以得)()()(1i k y a k e z c i-=∂∂- （2.36） 同理可得（2.30）和（2.31）为 )()()(1i k u b k e z c i--=∂∂- （2.37） )()()(1i k e c k e z c i--=∂∂- （2.38） 根据（2.36）构造公式)(])([)]([)(1i k y j j i k y a j i k e z c j-=---=∂--∂- （2.39）将其代入（2.36），可得ij a k e z c a j i k e z c ∂∂=∂--∂--)()()]([)(11 (2.40）消除)(1-z c 可得1)1()()(a i k e a j i k e a k e j i ∂+-∂=∂+-∂=∂∂ （2.41） 同理可得（2.37）和（2.38）式0)()()(b i k e b j i k e b k e j i ∂-∂=∂+-∂=∂∂ （2.42）1)1()()(c i k e c j i k e c k e j i ∂+-∂=∂+-∂=∂∂ （2.43） 式（2.29）、式（2.30）和式（2.31）均为差分方程，这些差分方程的初始条件为0，可通过求解这些差分方程，分别求出e(k)关于n n c c b b a a ,,,,,10,1的全部偏导数，而这些偏导数分别为)}({k y ，)}({k u 和)}({k e 的线性函数。