热力学_统计物理学答案第四章
2020智慧树知道网课《热力学与统计物理》课后章节测试满分答案
第一章测试1【多选题】(1分)杨振宁认为中国大学生的学习方法有利有弊,最大的弊端是:A.讲课循序渐进B.他不能对整个物理学,有更高超的看法C.课外活动较少D.它把一个年轻人维持在小孩子的状态,老师要他怎么学,他就怎么学2【多选题】(1分)杨振宁认为“我一生中最重要的一年,不是在美国做研究,而是当时和黄昆同住一舍的时光。
”原因是:A.黄昆会做饭并经常和杨振宁共享B.杨振宁和黄昆都喜欢争论物理问题C.黄昆经常把听课笔记借给杨振宁参考D.黄昆对物理学的理解常常有独到之处,对杨振宁有启发3【多选题】(1分)杨振宁说:“我们学校里有过好几个非常年轻、聪明的学生,其中有一位到我们这儿来请求进研究院,那时他才15岁的样子,后来他到Princeton去了。
我跟他谈话以后,对于他前途的发展觉得不是那么最乐观。
”原因是这位学生:A.学到一些知识,学到一些技术上面的特别的方法,而没有对它的意义有深入的了解和欣赏B.只是学了很多可以考试得该高分的知识,不是真正做学问的精神C.对量子力学知识茫茫一片,不知道哪里更加好玩D.尽管吸收了很多东西,可是没有发展成一个taste4【多选题】(1分)梁启超的“智慧日浚则日出,脑筋日运则日灵”说明如下道理:A.人的智慧需要挖掘才会涌现出来B.大学生一开始接受教育的时候,就要弄清楚事物的本质C.人脑越用会越聪明D.认为初学之人不能穷凡物之理,而这种观点是不对的5【判断题】(1分)因为1=0.999…,所以对任何函数f(x),总有f(1)=f(0.999…)。
A.错B.对6【判断题】(1分)液态的水从100°C下降到0°C的过程中,密度单调下降。
A.对B.错7【判断题】(1分)温度和热是一个概念。
A.对B.错8【判断题】(1分)在冰箱中放一瓶纯净水,这瓶水在零下10°时依然不能结冰。
A.错B.对9【判断题】(1分)理想气体就是满足方程pV=nRT的气体。
A.错B.对10【判断题】(1分)所有相变都类似气液相变或者固液相变,总会有伴随相变潜热。
04 统计物理学基础lxc
五、理想气体的内能 (动能+势能)
分子间相互作用 可以忽略不计 分子间相互作用的势能=0
理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和 1mol 理想气体的内能为 E mol 一定质量理想气体的内能为
i i N A ( kT ) RT 2 2
温度改变,内能改变量为
4-3 麦克斯韦分子速率分布律
z
C ( x, y, z )
平动自由度t=3
i tr3
平动自由度t=3 转动自由度r=2
z
y
x
单原子分子
C ( x, y, z
y
i tr5
x 双原子分子
z
C ( x, y, z )
x
三原子或三 原子以上的 分子
y
平动自由度t=3 转动自由度r=3
itr 6
More: 实际气体不能看成刚性分子,因原子之 间还有振动.
12.8%
6.2% 0 90 140 190
v
4.0% 240 290 340 390
6.2%
v
N Nv
N Nv
速率分布曲线
v
O O dN f (v ) 速率分布函数 Ndv
面积大小代表速率v附 近dv区间内的分子数 占总分子数的比率
v
O
vp v
v
dN dN dv Ndv N
dN f (v ) Ndv f(v) f(vp)
2
压强的微观表达 : 宏观量用微观量的统计量来表达
1 W mv 2 2 ——分子的平均平动动能,
分子被看做质点
2 p nW 3
压强的微观量表达
2 p nW 3
热力学与统计物理学课后习题及解答
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数T k 。
解:由理想气体的物态方程为 nRT PV = 可得: 体胀系数:TP nR V T V V αp 111==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 压强系数:TV nR P T P P βV 111==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=等温压缩系数:P P nRT V P V V κT 1)(112=−⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂−=1.2 证明任何一种具有两个独立参量P T ,的物质,其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T k ,根据下述积分求得:()⎰−=dP κdT αV T ln 如果PκT αT 11==,,试求物态方程。
解: 体胀系数:p T V V α⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1,等温压缩系数:TT P V V κ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂−=1 以P T ,为自变量,物质的物态方程为:()P T V V ,= 其全微分为:dP κV VdT αdP P V dT T V dV T Tp −=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=,dP κdT αV dV T −= 这是以P T ,为自变量的全微分,沿任意的路线进行积分得:()⎰−=dP κdT αV T ln 根据题设 ,将P κT αT 1,1==,代入:⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛−=dP P dT T V 11ln 得:C pT V +=lnln ,CT PV =,其中常数C 由实验数据可确定。
1.4 描述金属丝的几何参量是长度L ,力学参量是张力£,物态方程是()0£=T L f ,,,实验通常在1n p 下进行,其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为:£1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=T L L α,等温杨氏模量定义为:TL A L Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=£,其中A 是金属丝的截面积。
一般来说,α和Y 是T 的函数,对£仅有微弱的依赖关系。
如果温度变化范围不大,可以看作常量。
热力学统计物理第四版汪志诚答案
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解:已知理想气体的物态方程为,pV nRT = (1)由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ (2) 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ (3) 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (4)1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质,其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ,根据下述积分求得:()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==,试求物态方程。
解:以,T p 为自变量,物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ (1) 全式除以V ,有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义,可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=- (2) 上式是以,T p 为自变量的完整微分,沿一任意的积分路线积分,有()ln .T V dT dp ακ=-⎰ (3)若11,T T pακ==,式(3)可表为 11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ (4)选择图示的积分路线,从00(,)T p 积分到()0,T p ,再积分到(,T p ),相应地体积由0V 最终变到V ,有000ln=ln ln ,V T pV T p - 即000p V pV C T T ==(常量), 或.p VC T = (5)式(5)就是由所给11,T T pακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.8 满足n pV C =的过程称为多方过程,其中常数n 名为多方指数。
统计物理-作业
1 dT =− γ−1 T
dV V
=⇒
ln F ( T ) + ln V = C
■
其中 C 为常数.
1.16 理想气体分别经等压过程和等容过程, 温度由 T1 升至 T2 . 假设 γ 是常数, 试证 明前者的熵增加值为后者的 γ 倍. 理想气体的熵可表示为 S = Cv ln T + R ln V + S0 = C p ln T − R ln p + S0 理想气体分别经等压过程和等容过程, 温度由 T1 升至 T2 , 其熵变分别为 ∆S p = C p ln T2 − C p ln T1 = C p ln 因此两过程的熵变比值为 Cp Sp = =γ SV CV
■
T2 , T1
∆SV = CV ln T2 − CV ln T1 = CV ln
T2 T1
1.17 温度为 0◦ C 的 1kg 水与温度为 100◦ C 的恒温热源接触后, 水温达到 100◦ C. 试 分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变. 欲使参与过程的整个系统的熵保持不 变, 应如何使水温从 0◦ C 升至 100◦ C? 已知水的比热容为 4.18J · g−1 K−1 . 温度为 0◦ C 的 1kg 水与温度为 100◦ C 的恒温热源接触后, 水温达到 100◦ C, 水的熵变为 ∆ S水 =
T
2
周吕文
力学所 (魏小林): 热力学统计物理
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在一定温度范围内可以把 α 和 κ T 看作常量, 选择适当的积分路径 ( p0 , T0 ) → ( p0 , T ) → ( p, T ) 对上式两端同时积分得 ( ) ln V − ln V0 = α( T − T0 ) − κ ( p − P0 ) =⇒ V = V0 exp α( T − T0 ) − κ ( p − P0 ) 对上式中的指数函数作泰勒展开得 [ ] (( )2 ) V = V0 1 + α( T − T0 ) − κ ( p − P0 ) + O α( T − T0 ) − κ ( p − P0 ) 由于固体和液体的体胀系数 α 和等温压缩系数 κ T 数值都很小, 因此上式中的高阶项可 忽略并取 p0 = 0, 则简单固体和液体的物态方程可近似为 V ( T , p) = V0 ( T0 , 0)[1 + α( T − T0 ) − κ T p]
热力学统计物理(第四版汪志诚)答案及习题解答
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解:已知理想气体的物态方程为,pV nRT = (1)由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ (2) 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ (3) 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (4)1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质,其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ,根据下述积分求得:()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==,试求物态方程。
解:以,T p 为自变量,物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ (1) 全式除以V ,有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义,可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=- (2) 上式是以,T p 为自变量的完整微分,沿一任意的积分路线积分,有()ln .T V dT dp ακ=-⎰ (3)若11,T T pακ==,式(3)可表为11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ (4)选择图示的积分路线,从00(,)T p 积分到()0,T p ,再积分到(,T p ),相应地体积由0V 最终变到V ,有000ln=ln ln ,V T pV T p - 即00p V pV C T T ==(常量), 或.p V C T=(5) 式(5)就是由所给11,T Tpακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.3 在0C 和1n p 下,测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为51714.8510K 7.810.n p ακ----=⨯=⨯T 和T ακ和可近似看作常量,今使铜块加热至10C 。
热力学统计物理课后习题答案.doc
第七章 玻耳兹曼统计7. 1 试根据公式 Pa lL证明,对于非相对论粒子lVP21 2 22 U 222n x , n y , n z2m 2mL n x n yn z ,( 0, 1, 2, )有P3 V上述结论对于玻尔兹曼分布,玻色分布和费米分布都成立。
证明: 处在边长为 L 的立方体中,非相对论粒子的能量本征值为P21 222 22n x , n y , n z 0, 1, 2, ) ------- (1)n x , n y ,n z2m 2mLn x n yn z(为书写简便,我们将上式简记为aV 23----------------------- ( 2)其中 V=L 3 是系统的体积,常量a(2 ) 2222l 代表 n x ,n y ,n z 三2m n xn y n z ,并以单一指标个量子数。
由( 2)式可得L2aVV35 32l--------------------- ( 3)3 V代入压强公式,有 PL2 2 Ua lal l---------------------- ( 4)lV3V l3 V式中 Ual l是系统的内能。
l上述证明未涉及分布的具体表达式, 因此上述结论对于玻尔兹曼分布, 玻色分布和费米分布都成立。
注:( 4)式只适用于粒子仅有平移运动的情形。
如果粒子还有其他的自由度,式( 4)中的U 仅指平动内能。
7. 2 根据公式 Pa lL证明,对于极端相对论粒子lVcp c2n x 2 n y 2 n z 2 11 U2 , n x , n y , n z 0, 1, 2, 有PL3 V 上述结论对于玻尔兹曼分布,玻色分布和费米分布都成立。
证明:处在边长为L 的立方体中,极端相对论粒子的能量本征值为2 n x 2 n y 2 n z 2 1c 2 , n x , n y , n z 0, 1, 2,-------( 1)n x ,n y ,n zL1为书写简便,我们将上式简记为aV 3 ----------------------- ( 2)其中 V=L 3 是系统的体积, 常量 a 2 c n x 2 n y 2n z 212,并以单一指标 l 代表 n x ,n y ,n z 三个量子数。
热力学与统计物理习题
T
D 与温度有关。 试求电路为闭路 E
4Hale Waihona Puke 温度的函数。今忽略弹簧的热膨胀,试证明弹簧的自由能 F 、熵 S 和内能 U 的表达式 分别为
1 2 Ax , 2 1 dA ; S T , x S T , 0 x 2 2 dT
F T , x F T , 0
1 dA 2 U T , x U T , 0 A T x 。 dT 2
1 L , L T J L J , A L T
等温杨氏模量定义为: Y
其中 A 是金属丝的截面。一般说来, 和 Y 是 T 的函数,对 J 仅有微弱的依赖关系。 如果温度变化范围不大,可以看作常数。假设金属丝两端固定。试证明,当温度由 T1 降 至 T2 时,其张力的增加为 J YA T2 T1 。 1.6、 (1.5)一理想弹性物质的物态方程为 J bT
理想气体,求此气体的物态方程。 补充题:测得某顺磁物质的
磁化强度, C 为常数。试求此顺磁物质的物态方程。 力学参量是张力 J , 物态方程是 f J , L, T 0 , 1.5、 (1.4) 描述金属丝的几何参量是长度 L , 实验通常在大气压下进行,其体积变化可以忽略。 线胀系数定义为:
PV f T , U U T ,
试根据热力学理论,讨论该气体的物态方程可能具有什么形式。 2.8、 (2.9)证明
热力学与统计物理答案
第一章热力学的基本规律习题试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数T κ; 解:由得:nRT PV=V nRTP P nRT V ==; 所以,TP nR V T V V P 11)(1==∂∂=α习题试证明任何一种具有两个独立参量的物质p T ,,其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T κ,根据下述积分求得:⎰-=)(ln dp dT V T κα如果1Tα=1T p κ=,试求物态方程;解:因为0),,(=p V T f ,所以,我们可写成),(p T V V =,由此,dp p V dT T V dV T p )()(∂∂+∂∂=,因为T T p p VV T V V )(1,)(1∂∂-=∂∂=κα 所以,dp dT VdVdp V dT V dVT T κακα-=-=,所以,⎰-=dp dT VT καln ,当p T T /1,/1==κα.习题测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为1510*85.4--=K α和1710*8.7--=n T p κ,T κα,可近似看作常量,今使铜块加热至10°C;问1压强要增加多少np才能使铜块体积不变 2若压强增加100n p ,铜块的体积改多少解:分别设为V xp n ∆;,由定义得:所以,410*07.4,622-=∆=V p xn习题描述金属丝的几何参量是长度L ,力学参量是张力η,物态方程是0),,(=T L f η实验通常在n p 1下进行,其体积变化可忽略;线胀系数定义为ηα)(1T L L ∂∂=等杨氏摸量定义为T LA L Y )(∂∂=η其中A 是金属丝的截面积,一般说来,α和Y 是T 的函数,对η仅有微弱的依赖关系,如果温度变化范不大,可看作常数;假设金属丝两端固定;试证明,当温度由1T 降2T 时,其张力的增加为)(12T T YA --=∆αη解:),(,0),,(T L L T L f ηη==所以,dT TLd L dL T ηηη)()(∂∂+∂∂= 因AY L L L L T T T =∂∂∂∂=∂∂)(;)(1)(ηηη所以,)(12T T YA --=∆αη习题在C ︒25下,压强在0至1000n p 之间,测得水的体积13263)10046.010715.0066.18(---⨯+⨯-=mol cm p p V 如果保持温度不变,将1mol 的水从1n p 加压至1000n p ,求外界所做的功;解:外界对水做功: 习题解:外界所作的功:习题抽成真空的小匣带有活门,打开活门让气体充入;当压强达到外界压强p 0时将活门关上;试证明:小匣内的空气在没有与外界交换热量之前,它的内能U 与原来大气中的0U 之差为000V p U U =-,其中0V 是它原来在大气中的体积;若气体是理想气体,求它的温度和体积;解:假设先前的气体状态是P 0,dV 0,T 0内能是u 0,当把这些气体充入一个盒子时,状态为P 0,dV,T 这时的内能为u,压缩气体所做的功为:00dV p ,依绝热过程的热力学第一定律,得()000000=+-⎰dV P U U V积分得000V p U U=-对于理想气体,上式变为()001vRT T T vc V=-故有()01T R c T c V V +=所以001V T c c T VPγ==对于等压过程0101V T T V V γ==习题热泵的作用是通过一个循环过程将热量从温度较低的环境传送扫温度较高的物体上去;如果以理想气体的逆卡诺循环作为热泵的循环过程,热泵的效率可以定义为传送到高温物体的热量与外界所作的功的比值;试求热泵的效率;如果将功直接转化为热量而令高温物体吸收,则“效率”为何解:A →B 等温过程B →C 绝热过程 C →D 等温吸热D →A 绝热,2111Q Q Q A Q -==η由绝热过程泊松方程:1211--=r Cr B V T V T ;1112--=r Ar DV T V T∴D AC B V V V V =;CDB A V V V V =∴212212212111T T T T T T T T T T T -+=-+-=-=η将功A 直接转化为热量1Q ,令高温物体吸收;有A=Q 1∴11==AQ η; 习题假设理想气体的C p 和C V 之比γ是温度的函数,试求在准静态绝热过程中T 和V 的关系;该关系试中要用到一个函数FT ,其表达式为: 解:准静态绝热过程中:0=dQ,∴pdV dU -=1对于理想气体,由焦耳定律知内能的全微分为dT C dU v =2物态方程VnRT P nRT pV =⇒=32,3代入1得:dV VnRTdTC V -=其中1-=γnR C V ()dTVdV⎰⎰-=-11γ关系式γ为T 的函数∴V -1为T 的函数;∴VT F 1)(=1)(=V T F ; 第二章均匀物质的热力学性质习题已知在体积保持不变的情况下,一气体的压强正比于其绝对温度.试证明在温度保持不变时,该气体的熵随体积而增加; 解:由题意得:)()(V f T V k p +=;因V 不变,T 、p 升高,故kV >0T V S )(∂∂=V Tp)(∂∂=k VkV >0 由于kV >0,当V 升高时或V 0→V ,V >V 0,于是⇒T 不变时,S 随V 的升高而升高;设一物质的物态方程具有以下形式T V f P)(=,试证明其内能与体积无关;解:T V f P)(=,V T V U ∂∂),(T =T V T P)(∂∂-p =)()(V Tf V Tf -=0得证;习题求证:ⅰHP S )(∂∂<0ⅱU VS)(∂∂>0证VdP TdS dH +=等H 过程:H HVdP TdS )()(-=⇒PS ∂∂H=-TV <0V >0;T >0由基本方程:PdV TdS dU-=dV T pdU T dS +=⇒1;⇒VS ∂∂U =Tp>0.习题已知T VU)(∂∂=0,求证T p U )(∂∂=0;解T V U )(∂∂=T V T p )(∂∂-p ;⇒T V U )(∂∂=0;V TpT p )(∂∂= T VU )(∂∂=),(),(T V T U ∂∂=),(),(T p T U ∂∂),(),(T V T p ∂∂=0=T p U )(∂∂T Vp)(∂∂ ∵T Vp)(∂∂≠0;⇒T p U )(∂∂=0;习题试证明一个均匀物体在准静态等过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减;解:F =U-TS ,将自由能F 视为P ,V 的函数;F =Fp ,V=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂p V S ()()p V p S ,,∂∂=()()⋅∂∂p T p S ,,()()p V p T ,,∂∂()()()()p T p V p T p S ,,,,∂∂∂∂==pp T V T S ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎭⎫⎝⎛∂∂由关系T C p=p T S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂;⇒=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂pV S ⋅T C p pV T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂; 习题试证明在相同的压强降落下,气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落;提示:证明S p T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-Hp T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂>0证:()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂==⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂==dS S H dp p H H T dp p T dH H T dp p T dT H p T T dS S T dp p T dT S p T T p S p H p Hp S),(1),(联立1,2式得:Sp T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-H p T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=p H T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂S p H ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=pST H p H ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=pS C p H ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂据:pdV TdS dU-=熵不变时,dS =0,pdV dU -=Vdp TdS dH +=Sp H ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=V⇒S p T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-Hp T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=0>p C V;原题得证;习题一弹簧在恒温下的恢复力X 与其伸长x 成正比,即.X =-Ax ;今忽略弹簧的热膨胀,试证明弹簧的自由能F 、熵S 和内能U 的表达式分别为; 解:),();(,x T U U T A A Ax X==-==dU dT T U x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+dx x U T⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⇒+-=;)(xdx T A SdT dF S T F x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂;=x T A )(Tx F ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⇒S XT F ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=dT T dB x dT T dA )()(212--由于TS U F-=,)(2 dS S T dp p H H T p T p S p H ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-dT dB T T B x dT T dA T T A )()()(212∵X =0时,U =0,即不考虑自身因温度而带来的能量;实际上,dT dB TT B -)(=0或dTdBT T B -)(=)0,(T U 即得:2)()(21)0,(),(x dT T dA T T A T U X T U ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-221)0,(),(Ax T F T X F +=;dT dA x T S T X S 2)0,(),(2-= 进而求U ∆略;代入abd c V V V V V aT uV U=⇒==;4习题如下图所示,电介质的介电常数EDT =)(ε与温度有关,试求电路为闭路时电介质的热容量与充电后再令电路断开后的热容量之差;解:当电路闭合时,电容器电场恒定 当电路断开时,电容器电荷恒定D T TED S )()(∂∂-=∂∂,因而 习题已知顺磁物质的磁化强度为:H TCm =,若维持物质温度不变,使磁场由0增至H,求磁化热;解:;H TCm =mV M =;TH S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⇒=0μV H T m ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=H T C ⎪⎭⎫⎝⎛-20μ等T 下:22000H T CV HdH T C V S T Q H μμ⋅-=-=∆=∆⎰习题已知超导体的磁感应强度()00=+=m H B μ;求证:ⅰC m 与m 无关,只是T 的函数,其中C m 是在磁化强度m 保持不变时的热容量;ⅱ0202U m dT C U m +-=⎰μ;ⅲ0S dT TC S m+=⎰解:超导体()m H m H M B-=⇒=+=00ⅰT C H=HT S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∵m H-=;T C C m H ==⇒HT S ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ⅱHdM TdS dU0μ+=;mV M =代入m C 表达式,其中U 0 为0K 时的内能;ⅲ由ii 中已应用了dT C TdSm =⇒T C T S mm=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂;⇒0S dT TC S m+=⎰〈忽略因体积变化带来的影响〉; 习题实验测得顺磁介质的磁化率)(T χ;如果忽略其体积的变化,试求特性函数fm,t,并导出内能和熵;解:显然χ只与T 有关;)(T χ=TH m ⎪⎭⎫⎝⎛;()T H m m ,=HdMTdS dU 0μ+=;TS U f -=;SdT TdS dU df --=⇒HdM SdT df 0μ+-=;⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=dT T m dH H m V dM H T()H T V H f χμ0=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂;()()()T f m V T f H T V f 02002022+=+=⇒χμχμ f 既已知:-=S ()02202S dT T d m V T f m+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂χχμ HdMTdS dU 0μ+=;TS U f -=第三章单元系的相变习题试由0>vC 及0)(<∂∂T V p 证明0>p C 及0)(<∂∂S Vp; 证T C C V p =-⇒VT p ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂pT V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ =P C p T H ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=pT S T ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂;=V C V T U ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂V T S T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= ⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T V p V S p ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T V S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+SV p ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂1=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂V T p VS p ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂TT S ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂2 ⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂S V T -VS p ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⇒V C V T S T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=;即0>=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂VV C T S T . 于是:0>=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂T V p +⎪⎭⎫⎝⎛∂∂SV p 正数 于是:SV p ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂<0 0>V C ;因而0>P C习题求证:1-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂n V T ,μV T n S ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂;2-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂nT p ,μp T n V ,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ 证:1开系吉布斯自由能dn Vdp SdT dG μ++-=,),(T V p p =⇒VS T G n V +-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂,VT p ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂① V V G nT =⎪⎭⎫⎝⎛∂∂,T V p ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂② μ=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂VT n G ,③ 由式①⇒n V n V T G T p V S ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=V T n S ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂nV T ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=μ第1式得证;习题试证明在相变中物质摩尔内能的变化为:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=∆dp dT T p L u1如果一相是气相,可看作理想气体,另一相是凝聚相,试将公式化简; 解V p S T U∆-∆=∆VT L dT dp ∆=;S T L ∆=;dp dT T p L L U ⋅⋅-=∆⇒⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=dp dT T p L 1 习题在三相点附近,固态氨的蒸气压单位为a P 方程为:Tp 375492.27ln -= 液态氨的蒸气压方程为:Tp 306338.24ln -=,试求氨三相点的温度和压强,氨的汽化热、升华热及在三相点的熔解热;解:1固态氨的饱和蒸气压方程决定了固态-气态的相平衡曲线;液态氨的饱和蒸气压方程决定了氨的液态-气态的相平衡曲线;三相点是两曲线的交点,故三相点温度3T 满足方程:TT 306338.24375492.27-=-;由此方程可解出3T ,计算略; 2相变潜热可由RTLA p -=ln与前面实验公式相比较得到: 3754=RL S,从而求出S L ;类似可求出Q L ;计算略; 3在三相点,有r Q SL L L +=,可求得r L ,计算略;习题蒸汽与液相达到平衡;以dTdv 表在维持两相平衡的条件下,蒸汽体积随温度的变化率;试证明蒸汽的两相平衡膨胀系数为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅RT L T dT dv v 111; 解αV ~0.方程近似为:TVLT p ≈∆∆,V —气相摩尔比容;Vp T L T V V 11⋅∆=∆⋅⇒①气相作理想气体,pV=RT ②T R V p pV ∆=∆+∆⇒③联立①②③式,并消去△p 、P 得:TL TV VVP T R ∆=⋅∆-∆21RT LRT T V V -=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆⇒;⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⇒RT L T RT T T V V P 111112α 习题证明爱伦费斯公式:()()()()1212k k dT dp --=αα;()()()())(1212αα--=Tv c c dT dpp p 证:对二级相变0)(=∆dS ;即()2dS -()1dS =00)(=∆dV ;即()2dV -()1dV =0()2dS()dT T S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2()dp p S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+1;()1dS ()dT T S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1()dp p S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+1 )(0dS ∆=()2dS=-()1dS⇒()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂dT T S TS 12()()dp p S p S ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-12 ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=⇒p S p S T S T S dT dp 1212;将pp T S T C ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=代入得;()()[]()()pS p S C C T dT dppP ∂∂-∂∂--=12121①即为:()-∂∂p S 2()()()()121αα--=∂∂V pS ;代入①得:()()()()1212αα--=TV C C dT dp p P类似地,利用0)(=∆dV 可证第二式;略第四章多元系的复相平衡和化学平衡习题若将U 看作独立变数T ,V ,n 1,…n k 的函数,试证明:1VUV n U n Ui ii∂∂+∂∂=∑;2VUv n U u i i i∂∂+∂∂=证:1),,,(),,,(11k k n n V T U n n V T U λλλλ=根据欧勒定理,f x fx iii=∂∂∑,可得 2i ii i i i i i iiu n V Uv n U n V U V n U n U∑∑∑=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=)( 习题证明),,,(1k i n n p T μ是k n n ,1的零次齐函数,0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∑j ij j n n μ; 证:),,,(),,,(11k m k n n p T n n p T μλλλμ=,化学势是强度量,必有m =0,习题二元理想溶液具有下列形式的化学势:其中g i T ,P 为纯i 组元的化学势,x i 是溶液中i 组元的摩尔分数;当物质的量分别为n 1、n 2的两种纯液体在等温等压下合成理想溶液时,试证明混合前后 1吉布斯函数的变化为)ln ln (2211x n x n RT G+=∆2体积不变0=∆V3熵变)ln ln (2211x n x n R S +-=∆4焓变0=∆H ,因而没有混合热;5内能变化如何解: 1222211112211ln ),(ln ),( x RT n p T g n x RT n p T g n n n n G i ii +++=+==∑μμμ所以22110ln ln x RT n x RT n G G G+=-=∆2p G V ∂∂=;0)(=∂∆∂=∆∴pG V ; 3T G S ∂∂-= ;2211ln ln )(x R n x R n TG S --=∂∆∂-=∆∴ 4TSH G -=50=∆-∆=∆V p H U习题理想溶液中各组元的化学势为:i i ix RT P T g ln ),(+=μ;(1) 假设溶质是非挥发性的;试证明,当溶液与溶剂蒸发达到平衡时,相平衡条件为其中'1g 是蒸汽的摩尔吉布斯函数,g 1是纯溶剂的摩尔吉布斯函数,x 是溶质在溶液中的摩尔分数; (2) 求证:在一定温度下,溶剂的饱和蒸汽压随溶液浓度的变化率为 (3) 将上式积分,得)1(0x p p x -=其中p 0是该温度下溶剂的饱和蒸汽压,p x 是溶质浓度为x 时的饱和蒸汽压;该公式称为拉乌定律; 解:1设“1”为溶剂,())1ln(,'111x RT P T g g -+==μ2由⇒=∂∂v p g Tp x x RT p g p g ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂)1(1'1Tp x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ -=⇒v v ')1(x RT-Tp x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂;v’—蒸汽相摩尔热容 v —凝聚相摩尔热容故有v’-v ≈v’,又有pv’=RT 代入⇒ Tx p ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂x p --=1 3积分2式得拉乌定律习题的气体A 1和n 0v 2mol 的气体A 2的混合物在温度T 和压强p 下所占体积为V 0,当发生化学变化,0A A A A 22114433=--+νννν;并在同样的温度和压强下达到平衡时,其体积为V e ;试证明反应度为 证:未发生化学变化时,有当发生化学变化时,原来有n 0v 1mol 的气体A 1,反应了n 0v 1εmol,未反应1-εn 0v 1mol,n 0v 2mol 的气体A 2,反应了εn 0v 2mol,未反应1-εn 0v 2mol,生成εn 0v 3molA 3和εn 0v 4molA 4,有习题根据第三定律证明,在T →0时;表面张力系数与温度无关;即0→dTd σ; 证:表面膜系统,dA SdT Fσ+-=S T F A -=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⇒;σ=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂T A F=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T A S AT ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-σ;而实际上σ与A 无关,即=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂TA S dT d σ-T →0时,根据热力学第三定律;()0lim 0=∆→TT S于是得:dT d σ0=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=TA S ;原式得证; 习题试根据第三定律证明,在T →0时,一级相变两平衡曲线的斜率dTdp为零;证:VS dT dp ∆∆=;T →0;000=⎪⎭⎫⎝⎛∆∆=⎪⎭⎫⎝⎛→→T T V S dT dp ()0lim 0=∆→TT S ;原式得证;习题设在压强p 下,物质的熔点为T 0,相变潜热为L ,固相的定压热容量为C p ,液相的定压热容量为C p ’.试求液体的绝对熵表达式;解:为计算T 温度,p 压强下,液体绝对熵,可假想如下图过程;p液相 ABC 固相T 0T①A →B,等压过程:⎰=∆→0T p BA TdT C S②B 点相变过程.0T L S B =∆相变③B →C,等压过程:⎰=∆→TT p CB TdT C S 0'于是∑=∆+=S S S)0(⎰T p TdT C 0T L+⎰+TT p T dT C 0'习题试根据第三定律讨论图ab 两图中哪一个是正确的 图上画出的是顺磁性固体在H =0和H=H i 时的S-T 曲线;解:图b 正确;拒热力学第三定律;T →0;S 0=0;且T →0,0=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂Tx S ; 即0K 附近,S 在等温过程中的变化与任何其它参量无关;第五章不可逆过程热力学简介习题带有小孔的隔板将容器分为两半,容器与外界隔绝,其中盛有理想气体,两侧气体存在小的温差ΔT 和压强差Δp 而各自处于局域平衡;以dt dn J n=和dtdUJ u =表示单位时间内通过小孔从一侧转移到另一侧的气体的物质的量和内能;试导出熵产生率公式,从而确定相应的动力; 解:根据热力学基本方程∑-=iii dn dU Tdsμ得dtdn T dt dU T dt ds i i i ∑-=μ11设温度为T +ΔT 的一侧熵为s 1;温度为T 的一侧熵为s 2,则 因为0 ;0='+='+n d dn U d dU所以dn n d dU U d -='-=';,dtdnT dt dU T dt ds μ+-=12熵产生率 dt ds dt ds dt s d i 21+==dtdnT dt dU T dt dn T T dt dU T T μμμ+-∆+∆+-∆+11 =dtdn T T T dt dU T T T ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆+∆+-⎪⎭⎫⎝⎛-∆+μμμ11=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆T J T J n u μ1 相应的动力22 ,1T T T T X T T T X n u μμμ∆-∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-=∆-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=第六章近独立粒子的最概然分布习题试证明,对子一维自由粒子,再长度L 内,在ε到εεd +的能量范围内,量子态数为:证:一维自由粒子,x P 附近的量子态为x dP hLdn =;x x x x x dP m dP m m m dP P d m P εεεε21222+=⋅+==⇒= 于是;()εεεεd mh Ld D2+=而±P x对应同一能量ε,于是:()mh L m h L D εεε2222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=习题试证明,对于二维自由粒子,在长度L 2内,在ε到εεd +的能量范围内,量子态数为证:二维;在P x ,P y 附近dP x dP y 区间上内的粒子数;ϕPdPd hSdP dP h S dn y x 22==s -面积 因mP 22=ε只与P 有关P >0,故对ϕ积分可得:()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==m P h S PdP h S d D 222222ππεε,επd h mSm 22= ()22hmS D πε=⇒s=L 2习题在极端相对论情形下,粒子的能量动量关系为cp =ε;试求在体积V 内,在ε到εεd +的能量范围内能量范围内三维粒子的量子态数; 解:φθθd dpd p hV dp dp dp h V dn z y x sin 233==由于cp =ε只与p 有关,与θ、φ无关,于是以上已经代入了cdp d cp =⇒=εε于是,32)(4)(hc V D επε=习题设系统含有两种粒子,其粒子数分别为N 和N ’.粒子间的相互作用很弱,可 看作是近独立的;假设粒子可分辨,处在一个个体量子态的粒子数不受限制;试证明, 在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为:le a l lβεαω--=和'--'='l e a l lβεαω;其中l ε和'l ε是两种粒子的能级,l ω和'l ω是能级简并度;证:粒子A 能级,粒子数分布:l ε——{a l }——简并度l ω 粒子B 能级,粒子数分布:'l ε——{a ’l }——简并度'l ω由21Ω⋅Ω=Ω21ln ln ln Ω+Ω=Ω即使Ω最大,()11ln ΩΩ,()22ln ΩΩ达到最大;l e a l l εβαω''-'-'='注:'l a δ与l a δ在此情况下独立讨论,若将一系作为子系统,意味总能守恒,于是参照教材玻尔兹曼分布证明……0ln ln =⎪⎭⎫ ⎝⎛''+-''-'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒∑∑∑∑∑∑l l l l l l l l l llla a a a a a a a δεδεβδαδωδαδω同一0β,原题得证;这也是满足热平衡的要求;第七章玻耳兹曼统计习题根据公式∑∂∂-=lllVa Pε证明,对于非相对论粒子:)()2(21222222z y x n n n Lm m p s ++== π,z y x n n n ,,=0,±1,±2,…有VU p 32=,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立;证:∑∂∂-=lllVa Pε=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∂∂-∑)()2(212222z y x lln n n L m V a π=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∂∂-∑)()2(222223z y x l l n n n L m L V a π 其中Va ul l ε∑=;V ~3L 对同一l ,222zy x n n n ++=m a ll21∑-2)2( π)(222z y x n n n ++)32(35--V =m a ll21∑-22222)()2(L n n n z y x ++ π)32(3532--V V =V U32习题试根据公式∑∂∂-=lllVa Pε证明,对于极端相对论粒子:21222)(2z y x n n n L c cp ++== πε,z y x n n n ,,=0,±1,±2,…有VU p 31=,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立;证:∑∂∂-=ll lVa Pε;对极端相对论粒子21222)(2z y x n n n Lc cp ++== πε类似得31212)()2(-∑∂∂-=∑V n V a P i ll π=VUVV a ll l 31)31(3431-=---∑ε 习题当选择不同的能量零点时,粒子第l 个能级的能量可以取为ll *εε或,以∆表示二者之差=∆l l εε-*;试证明相应的配分函数存在以下关系11Z e Z ∆-*=β,并讨论由配分函数Z 1和Z 1求得的热力学函数有何差别; 证:配分函数∑-=le Z l βεω1以内能U 为例,对Z 1:1ln Z NUβ∂∂-=对Z 1:()U N e N Z NU Z +∆=∂∂-=∂∂-=-1ln ln 1**βββ习题试证明,对于遵从玻尔兹曼分布的系统,熵函数可以表示为式中P s是总粒子处于量子态s 的概率,1Z e N e P ss s βεβεα---==,∑s对粒子的所有量子态求和;证法一:出现某状态s ψ几率为P s设S 1,S 2,……S k 状态对应的能级s 'ε;设S k+1,S k+2,……S w 状态对应的能级s 'ε;类似………………………………;则出现某微观状态的几率可作如下计算:根据玻尔兹曼统计Ne P sS βεα--=;显然NP s 代表粒子处于某量子态S 下的几率,Se NP Sβεα--=;于是Se βεα--∑代表处于S 状态下的粒子数;例如,对于s 'ε能级⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑=--'K S S S S e 1βεα个粒子在s 'ε上的K 个微观状态的概率为: 类似写出:()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''∑=''=''--k S S S s e S PS P1βεα ………………………………………………等等; 于是N 个粒子出现某一微观状态的概率; 一微观状态数P1=Ω,基于等概率原理将Se NP Sβεα--=带入S SS P P kN S ln ∑-=⇒;习题固体含有A 、B 两种原子;试证明由于原子在晶体格点的随机分布引起的混 合熵为k S=㏑[][][])1ln()1(ln !)1(!!x x x x N x N N N x --+-=-κ其中N 是总原子数,x 是A原子的百分比,1-x 是B 原子的百分比;注意x<1,上式给出的熵为正值; 证:显然[]!)1()!(!!!!21x N Nx N n n N -==ΩS=k ㏑Ω=-N k [])1ln()1(ln x x x x --+=)1()1(ln x x x x Nk ---;由于)1()1(x xx x--<1,故0〉S ;原题得证;习题气体以恒定的速度沿方向作整体运动;试证明,在平衡状态下分子动量的最 概然分布为证:设能级l ε这样构成:同一l ε中,P z 相同,而P x 与P y 在变化,于是有:∑==0p a p p l z参照教材玻耳兹曼分布证明;有E N βδαδδ--Ωln -z p γ,其中)(22221Z y x lp p p m++=ε 由1知:N dp dp dp ehV z y x p z=⎰---γβεα3 将l ε代入并配方得:=N dp dp dp e hV z y x m p mm z y x =⎰+-+---2)(2)()22(3βγβεεββγα其中mp m p y y xx 2,222==εε整个体积内,分布在z z z y y y x x x dp p p dp p p dp p p +→+→+→,,内分子数为:由条件3知⎰=0),,(Np dp dp dp p p p f pz y x z y x z计算得 =z m p my x dp em dp dp emkTz y x ⎰⎰+-+--2)(2)(23)()21(βγβεεββγπ=0p Ndp dp fdp m zy x =-⎰βγ0p m -=⇒βγ代入得出分布:[]3)(22022"hdp dp Vdp ezy x p p p p mz y x-++--βα其中βγαα22'm -=,0p m -=βγ习题试根据麦克斯韦速度分布率导出两分子的相对速度12v v v r-=和相对速率rr v v =的概率分布,并求相对速率的平均值r v ;解:两分子的相对速度r v在rz ry rx dv dv dv 内的几率2122111])()()()[(23211)()2()()()(2212121212121--∞∞-+++++++-===⎰⎰⎰⎰kTm edv dv dv e kT m v V v V v d v V rx rz z ry y rx x z y x v kT m zy x v v v v v v v v v kT mr r ππ 同理可求得z y v v 11,分量为2122)(2--kTm ery v kT m π和2122)(2--kTm er v kT m π引进2m=μ,速度分布变为r r v kT mdv v e kT r 22232)2(-πμ 利用球极坐标系可求得速率分布为:r r v kT m dv v e kTr22232)2(4-πμπ 相对速率平均值v kT dv v e v kT v r r v kT m r r r28)2(4220232===-∞⎰πμπμπ习题试证明,单位时间内碰到单位面积上,速率介于v 与dv v +之间的分子数为:dv v e kTm n d kTmv 322/32)2(-=Γππ证:在斜圆柱体内,分速度为z v 的v 方向的分子数为:对于:0,,积分得从对从+∞→+∞→∞-z y x v v vdt 时间碰撞到ds 面积上的分子数dv v v +→=dsdt d dvd v ekTm n kTmv ϕθθπππcos )2(2/032202\32⎰⎰-得到:若只计算介于dv v v +→分子数则为:只对φθ,积分习题分子从器壁小孔射出,求在射出的分子束中,分子平均速度和方均根速度;解:dvv e kT m n dvv e kT m n v kT nv v kT m3022/30422/322)2()2(⎰⎰∞+-+∞-=ππππ;变量代换⇒==dx mkTdv x n kT m2;2 习题已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布,其能量表达式为:bx ax p p p mz y x ++++=2222)(21ε其中b a ,是常数,求粒子的平均能量; 解:ab a b a bx x a m p 4)4(222222-+++=ε习题气柱的高度为H ,截面为S ,在重力场中;试求解此气柱的内能和热容量;解:配分函数⎰-++-=z y x mgz p p p mdp dp dxdydzdp ehZ z y x ββ)(232221 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=mg m hS A 1)2(2/33π;[]mgH e A Z ββ--+-=1ln ln )2/5(ln ln习题试求双原子理想气体的振动熵;解:振动配分函数ωβωβ ---=e e Z V 12/1代入式)1ln(2/ln 1ωβωβ ----=⇒e Z代入熵计算式V V k T Nk Nk S θωθ=+=⇒其中)./ln(;习题对于双原子分子,常温下kT 远大于转动的能级间距;试求双原子分子理 想气体的转动熵; 解转动配分函数212 βI Z r=);/ln(;/1ln ;2ln ln 121r T Nk Nk S Z I Z θβββ+=⇒-=∂∂=其中r k I h θ=22习题气体分子具有固有电偶极矩0d ,在电场ε下转动能量的经典表达式为:θεθεφθcos )sin 1(210222d p p I r -+=,证明在经典近似下转动配分函数: 解:经典近似下,rε视为准连续能量配分函数⎰⎰⎰⎰⎰⋅==∞∞-+⋅---πφθεβθβθβφθβεφθφθθ20cos sin 21222102211d dp d edp ehd d dp dpe hZ d I p Ir利用π=⎰∞∞--dx ex 2习题同19题,试证在高温10≤εβd 极限下,单位体积电偶极矩电极化强度为:εξkT d 320=; 解:电极化强度)1(1ln 0000001εβββεβξεβεβεβεβ--+=∂∂=--d d d d ee e d e d Z N 高温极限下,0→β,保留至20)(εβd εεβkTnd d 222020=⇒;其中VN n =习题试求爱因斯坦固体的熵;解:将ωβωβh h eeZ ---=121,代入至S 表达式即得,注意N 取3N;略第九章系综理论习题证明在正则分布中熵可表为∑-=ss s k S ρρln 其中sE s e Zβρ-=1是系统处在s 态的概率; 证:)ln (ln ββ∂∂-=Z Z k S多粒子配分函数)1(1ss E s E e Z e Z ββρ--=⇒=∑由1知[]s s s s s E Z E Z E Z esρβρβρβln ln 1;ln ln +=-+=-⇒=-代至2得[]∑∑+=+=∂∂ssss s s Z Z Z ρρββρρββln 1ln 1ln ln 1ln ;于是∑-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=s ss k Z Z k Sρρββln ln ln习题试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程,内能和熵 证:()222121;iziy ix Ni s sE p p p mE eZs++==∑∑=-β符号∏=i iz iy ix dp dp dp dp符号∏=i ii i dz dy dx dq 利用式V NTk V Z Z Z P =∂∂=∂∂=⇒βββ1ln 1类似求S U ,;习题体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体,其摩尔数为1n 和2n ,温度为T ; 试由正则分布导出混合理想气体的物态方程,内能和熵;解:习题利用范氏气体的配分函数,求内能和熵;解:Q m N Z N 2/32!1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βπ()⎰⎰⎰-----++=-=∂∂⇒dr f V N V dr e V N NTk U dr e V N Q N N N N 12121212122/3;22βφβφφφβ一般认为dr f VN 1222较小; 习题利用德拜频谱求固体在高温和低温下配分函数对数Z ln ,从而求内能和熵; 解:式 德拜频谱B ND 93=ω 对于振动())(1ln 1ln ln ln 2020020x d e e B d D e e e Z D D =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰⎰-----ωβωωβφωωωωβωβωωβωββφ 代换 S 计算略高温近似,∞→T ,0→ωβ()N N +--=ωββφ ln 30计算略习题用巨正则分布导出单原子分子理想气体的物态方程,内能,熵和化学势; 解:参照关于玻耳兹曼体系配分函数的处理过渡到连续能量分布得: 利用热力学式可求得kT N pV =,kT N U 23=等略 注:l ε--------单粒子处于l 能级的能量;习题利用巨正则分布导出玻耳兹曼分布; 解:∑∑--=ΞN S E N s eβα;由于玻耳兹曼系,粒子可分辨,从而为简单起见,考虑无简并有简并情况完全可类似处理 于是:(){}∏∞=+-=Ξ0ex p l a l l eβα即对无简并情况()l e a l βεα+-=对有简并者,类似处理可得()l e a l lβεαω+-=略 l ω——简并度。
热力学统计物理第五版答案
热力学统计物理第五版答案【篇一:热力学与统计物理答案第四章】ass=txt>4.1 若将u看作独立变量t,v,n1,?,nk的函数,试证明:(a)u??nii?u?u?v; ?ni?v(b)ui??u?u?ui. ?ni?v解:(a)多元系的内能u?u?t,v,n1,?,nk?是变量v,n1,?,nk的一次齐函数. 根据欧勒定理(式(4.1.4)),有??u??uu??ni??v,(1) ??vi??ni?t,v,nj式中偏导数的下标ni指全部k个组元,nj指除i组元外的其他全部组元.(b)式(4.1.7)已给出v??nivi,i其中vi??u??niui,(2)i??v???u?偏摩尔体积和偏摩尔内能. 将式(2),u????i??ni?t,p,nj??ni?t,p,nj代入式(1),有??u???u?(3) nu?nv?n????iiii?i????v?t,nii??ni?t,v,njii上式对ni的任意取值都成立,故有4.2 证明?i?t,p,n1,?,nk?是n1,?,nk的零次齐函数???i?ni???0. ??ni?i???u???u?ui?vi??.(4) ?????v?t,ni??ni?t,v,nj解:根据式(4.1.9),化学势?i是i组元的偏摩尔吉布斯函数 ?i????g?.(1) ???ni?t,p,njg是广延量,是n1,?,nk的一次齐函数,即g?t,p,?n1,?,?nk???g?t,p,n1,?,nk?.(2)将上式对?求导,有左方??g?t,p,?n1,?,?nk???????g?t,p,?n1,?,?nk???ni???i??ni??nii???nig?t,p,?n1,?,?nk???ni?i?t,p,?n1,?,?nk?,(3)i右边????g?t,p,n1,?,nk??? ????g?t,p,n1,?,nk???ni?i?t,p,n1,?,nk?.(4)i令式(3)与式(4)相等,比较可知?i?t,p,?n1,?,?nk???i?t,p,n1,?,nk?. (5)???i?n??0. (6) ?j?j??ni?上式说明?i是n1,?,nk的零次齐函数. 根据欧勒定理(式(4.1.4)),有4.3 二元理想溶液具有下列形式的化学势:?1?g1?t,p??rtlnx1,?2?g2?t,p??rtlnx2,xi是溶液中i组元的摩尔分数. 当物其中gi?t,p?为纯i组元的化学势,质的量分别为n1,n2的两种纯液体在等温等压下合成理想溶液时,试证明混合前后(a)吉布斯函数的变化为?g?rt?n1lnx1?n2lnx2?.(b)体积不变,即?v?0.(c)熵变?s??r?n1lnx1?n2lnx2?. (d)焓变?h?0, 因而没有混合热. (e)内能变化为多少?解:(a)吉布斯函数是广延量,具有相加性. 混合前两纯液体的吉布斯函数为g0?t,p??n1g1?t,p??n2g2?t,p?.(1)根据式(4.1.8),混合后理想溶液的吉布斯函数为g?t,p??n1?1?t,p??n2?2?t,p??n1g1?t,p??n1rtinx1?n2g2?t,p??n2rtinx2.(2)混合前后吉布斯函数的变化为?g?g?t,p??g0?t,p?其中x1??rt?n1lnx1?n2lnx2?, (3)n1n2,x2?分别是溶液中组元1,2的摩尔分数. n1?n2n1?n2(b)根据式(4.1.10),混合前后体积的变化为????v???g??0. (4)?p??t,n1,n2(c)根据式(4.1.10),混合前后熵的变化为????s????g???t?p,n1,n2??r?n1lnx1?n2lnx2?. (5)注意x1和x2都小于1,故?s?0, 混合后熵增加了.(d)根据焓的定义h?g?ts, 将式(3)和式(5)代入,知混合前后焓的变化为?h??g?t?s?0.(6)混合是在恒温恒压下进行的.在等压过程中系统吸收的热量等于焓的增加值,式(6)表明混合过程没有混合热.(e)内能u?h?pv. 将式(6)和式(4)代入,知混合前后内能的变化为?u??h?p?v?0.(7)4.4 理想溶液中各组元的化学势为?i?gi?t,p??rtlnxi.(a)假设溶质是非挥发性的. 试证明,当溶液与溶剂的蒸气达到平衡时,相平衡条件为g1??g1?rtln?1?x?,其中g1?是蒸气的摩尔吉布斯函数,g1是纯溶剂的摩尔吉布斯函数,x是溶质在溶液中的摩尔分数.(b)求证:在一定温度下,溶剂的饱和蒸气压随溶质浓度的变化率为p??p???. ??1?x??x?t(c)将上式积分,得px?p0?1?x?,其中p0是该温度下纯溶剂的饱和蒸气压,px是溶质浓度为x时的饱和蒸气压. 上式表明,溶剂饱和蒸气压的降低与溶质的摩尔分数成正比. 该公式称为拉乌定律.解:(a)溶液只含一种溶质. 以x表示溶质在液相的摩尔分数,则溶剂在液相的摩尔分数为1?x. 根据式(4.6.17),溶剂在液相的化学势?1为?1?t,p,x??g1?t,p??rtln?1?x?.(1)??t,p?. (2) ?1??t,p??g1在溶质是非挥发性的情形下,气相只含溶剂的蒸气,其化学势为平衡时溶剂在气液两相的化学势应相等,即?1?t,p,x???1??t,p?.(3)??t,p?, (4) g1?t,p??rtln?1?x??g1将式(1)和式(2)代入,得式中已根据热学平衡和力学平衡条件令两相具有相同的温度t和压强p. 式(4)表明,在t,p,x三个变量中只有两个独立变量,这是符合吉布斯相律的.(b)令t保持不变,对式(4)求微分,得????g1???g1rtdp?dx?????dp. (5) 1?x??p?t??p?t??g???vm,所以式(5)可以表示为 ?p??t根据式(3.2.1),?rtdx, (6) 1?x?和vm分别是溶剂气相和液相的摩尔体积. 由于vm???vm,略去其中vm?vm??vm?dp??vm,并假设溶剂蒸气是理想气体,pvm??rt,可得rtp??p?????. (7) ????x?t?1?x?vm?1?x(c)将上式改写为dpdx??.(8) p1?x在固定温度下对上式积分,可得px?p0?1?x?, (9)式中p0是该温度下纯溶剂的饱和蒸气压,px是溶质浓度为x时溶剂的饱和蒸气压. 式(9)表明,溶剂饱和蒸气压的降低与溶质浓度成正比.4.5 承4.4题:(a)试证明,在一定压强下溶剂沸点随溶质浓度的变化率为rt??t??, ????x?pl1?x2其中l为纯溶剂的汽化热.(b)假设x??1. 试证明,溶液沸点升高与溶质在溶液中的浓度成正比,即rt2?t?x.l解:(a)习题4.4式(4)给出溶液与溶剂蒸气达到平衡的平衡【篇二:热力学统计物理_答案】程可由实验测得的体胀系数?及等温压缩系数??,根据下述积分求得:如果??,?t?1t1,试求物态方程。
热力学统计物理总复习第四章_多元系的复相平衡
=热统1>热统2>=在多元系中既可以发生相变,也可以发生化学变化。
多元系:含有两种或两种以上化学组分的系统。
氧气一氧化碳二氧化碳混合气体三元(单相)均匀系盐的水溶液和水蒸气二元二相系复相系均匀系热统3>=选T, P, n 1, n 2, …n k (n i 为i 组元的摩尔数)为状态参量,系统的三个基本热力学函数体积、内能和熵为),...,,,(1k n n P T V V =1(,,,...,)k U U T P n n =1(,,,...,)k S S T P n n =一、多元均匀系的热力学函数广延量的性质§4. 1 多元系的热力学函数和热力学方程对于K 个组元的多元均匀系(这指单相系或者是复相系中的一个相),因有可能发生化学变化,所以,需引进描述物质量的状态参量.热统4>=体积、内能和熵都是广延量。
如果保持系统的温度和压强(与物质量无关的强度量)不变而令系统中各组元的摩尔数都增为λ倍,系统的体积、内能和熵也增为λ倍11(,,,...,)(,,,...,)k k V T P n n V T P n n λλλ=11(,,,...,)(,,,...,)k k U T P n n U T P n n λλλ=11(,,,...,)(,,,...,)k k S T P n n S T P n n λλλ=热统5>=11(,...,)(,...,)m k k f x x f x x λλλ=如果函数满足以下关系式:1(,...,)k f x x 这个函数称为的m次齐函数.1,...,k x x 补充数学知识:(1)齐次函数定义:当m=1时,对应的就是一次齐次函数。
热统6>=欧勒定理11(,...,)(,...,)mk k f x x f x x λλλ=i i ifx mf x ∂=∂∑(2)齐次函数的一个定理——欧勒(Euler)定理(将上式两边对λ求导数后,再令λ=1,即可得到)补充数学知识:多元函数f(x 1, x 2, …, x n )是x 1, x 2, …,x n 的m 次齐次函数的充要条件为下述恒等式成立热统7>=ii ifx fx ∂=∂∑,,()j i T P n i i V V n n ∂=∂∑,,()j i T P ni i U U n n ∂=∂∑,,()ji T P n i iSS n n ∂=∂∑式中偏导数的下标n j 指除i 组元外的其它全部组元11(,,,...,)(,,,...,)k k V T P n n V T P n n λλλ=11(,,,...,)(,,,...,)k k U T P n n U T P n n λλλ=11(,,,...,)(,,,...,)k k S T P n n S T P n n λλλ=由欧勒定理如前所述因此,体积、内能和熵都是各组元摩尔数的一次齐函数热统8>=定义:,,()j i T P n i Vv n ∂=∂,,()j i T P n i U u n ∂=∂,,()j i T P n iS s n ∂=∂物理意义为:在保持温度、压强及其它组元摩尔数不变的条件下,增加1摩尔的i 组元物质时,系统体积(内能、熵)的增量。
2023年大学_热力学统计物理第五版(汪志诚著)课后答案下载
2023年热力学统计物理第五版(汪志诚著)课后答案下载热力学统计物理第五版(汪志诚著)内容简介导言第一章热力学的基本规律1.1 热力学系统的平衡状态及其描述1.2 热平衡定律和温度1.3 物态方程1.4 功1.5 热力学第一定律1.6 热容和焓1.7 理想气体的内能1.8 理想气体的绝热过程附录1.9 理想气体的卡诺循环1.10 热力学第二定律1.11 卡诺定理1.12 热力学温标1.13 克劳修斯等式和不等式1.14 熵和热力学基本方程1.15 理想气体的熵1.16 热力学第二定律的数学表述1.17 熵增加原理的简单应用1.18 自由能和吉布斯函数习题第二章均匀物质的热力学性质2.1 内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分 2.2 麦氏关系的简单应用2.3 气体的节流过程和绝热膨胀过程2.4 基本热力学函数的确定2.5 特性函数2.6 热辐射的热力学理论2.7 磁介质的.热力学2.8 获得低温的方法习题第三章单元系的相变3.1 热动平衡判据3.2 开系的热力学基本方程3.3 单元系的复相平衡条件3.4 单元复相系的平衡性质3.5 临界点和气液两相的转变3.6 液滴的形成3.7 相变的分类3.8 临界现象和临界指数3.9 朗道连续相变理论习题第四章多元系的复相平衡和化学平衡热力学第三定律 4.1 多元系的热力学函数和热力学方程4.2 多元系的复相平衡条件4.3 吉布斯相律4.4 二元系相图举例附录4.5 化学平衡条件4.6 混合理想气体的性质4.7 理想气体的化学平衡4.8 热力学第三定律习题第五章不可逆过程热力学简介5.1 局域平衡熵流密度与局域熵产生率 5.2 线性与非线性过程昂萨格关系5.3 温差电现象5.4 最小熵产生定理5.5 化学反应与扩散过程5.6 非平衡系统在非线性区的发展判据 5.7 三分子模型与耗散结构的概念习题第六章近独立粒子的最概然分布6.1 粒子运动状态的经典描述6.2 粒子运动状态的量子描述6.3 系统微观运动状态的描述6.4 等概率原理6.5 分布和微观状态6.6 玻耳兹曼分布6.7 玻色分布和费米分布……第七章玻耳兹曼统计第八章玻色统计和费米统计第九章系综理论第十章涨落理论第十一章非平衡态统计理论初步附录A 热力学常用的数学结果B 概率基础知识C 统计物理学常用的积分公式索引参考书目物理常量表热力学统计物理第五版(汪志诚著)图书目录《“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材:热力学统计物理(第5版)》是“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材,是作者在第四版的基础上全面修订而成的。
热力学统计物理 课后习题 答案 (4)
第三章 单元系的相变3.4求证 (1)VT n V n S T ,,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂μ (2)PT n T n V P ,,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂μ 证明:(1)由自由能的全微分方程dF=-SdT-PdV+μdn 及偏导数求导次序的可交换性,可以得到VT n V n S T ,,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂μ 这是开系的一个麦氏关系。
(2)由吉布斯函数的全微分方程dG=-SdT+VdP+μdn 及偏导数求导次序的可交换性,可以得到PT n T n V P ,,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂μ 这是开系的一个麦氏关系。
3.5求证μ-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂V T n U ,nV T T ,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=μ 解:自由能TS U F -=是以n V T ,,为自变量的特性函数,求F 对n 的偏导数,有VT V T V T n S T n U n F ,,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ (1) 但自由能的全微分dn pdV Sdt dF μ=--=可得V T n F ,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=μ, V T n S T ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂=-n V T ,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂μ (2) 代入(1),即有V T n U ,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-μ=-T nV T ,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂μ 3.6两相共存时,两相系统的定压热容量C P =pT S T ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂,体胀系数 P T V V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α和等温压缩系数TP V V k T ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=1均趋于无穷。
试加以说明。
解: 我们知道,两相平衡共存时,两相的温度,压强和化学式必须相等。
如果在平衡压强下,令两相系统准静态地从外界吸取热量,物质将从比熵较低的相准静态地转移到比熵较高的相,过程中温度保持为平衡温度不变。
两相系统吸取热量而温度不变表明他的热容量 C P 趋于无穷。
在上述过程中两相系统的体积也将变化而温度不变,说明两相系统的体胀系数PT V V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α也趋于无穷。
热力学统计物理习题、作业
热力学统计物理习题、作业本课程习题、作业分为三类。
1随手练习:结合教学具体内容设置,供学生在课后复习时使用,边复习边练习,起到加深理解、熟悉运算技巧、及时巩固所学知识的作用,其中有些难度的可作为习题课讨论内容;2习题:与随手练习相比,难度与综合性均略有提高,放在每章后面,作为课外作业。
其中又分为两个层次,带星号的选自国内外考博、考硕中的难题,供有志于此业务方向的学生练习;3综合性作业:有助于学生作阶段性小结或全课程总结。
1、随手练习:第一章 随手练习题L.S 1.3.2 经典二维转子,可以用广义坐标ϕϑ,和广义动量ϕϑp p ,描述。
转子的能量表达式为I n Si p p 2/)2/(22ϑ+=εϕϑ,其中I 为转子的转动惯量。
证明在μ空间中等能曲面所包围的相体积为 επ=ϑ⎰⎰⎰ϕϑϕ=εωεI dp dp d d 28)(L.S 1.3.3 自由的刚性双原子分子与弹性双原子分子其µ空间各是多少维?分别写出它们的相体积元和能量表达式。
L.S 1.3.6 利用L.S ,求转子的态密度。
L.S 1.3.7 已知光子的能量与动量的关系为cp =ε,其中c 为光速,处于同一平动状态的光子还可处在两个不同的偏振状态,试证明光子的态密度 332/8)(c h V g επ=ε由N个全同粒子组成的系统,个体量子态只有两个,系统的微观量子态共有N+1个,试问该系统是由定域子、费密子、玻色子三种粒子中的哪一种组成的?若系统中所含N个粒子中有两种全同非定域粒子,数目分别为NN 12,£在d Γ中所含系统微观态数为何?L.S 1.4.4 已知分子自由程介于x —x+dx 之间的概率密度为Aexp(-x/λ),其中λ是一个常数,求归一化常数A 以及自由程超过2λ的概率。
L.S 1.4.5 利用上题给出的概率密度计算分子的平均自由程。
L.S 1.4.6 已知粒子能量的概率密度正比于εε12//e kT -,求粒子的平均能量和能量平方平均值。
热力学统计物理复习资料
热力学统计物理第一章:热力学的基本规律 1.焦耳实验:(1)实验结果:水温发生变化(2)结果分析:①气体向真空自由膨胀,气体对外界不作功,即W=0; ②水温没有发生变化,说明气体与水没有交换热量,即Q=0。
∴0=+=∆W Q U 说明气体的内能在过程前后不变。
(3)焦耳定律:理想气体的内能只是温度的函数,与体积无关。
即)(T U U =(4)适用范围:理想气体(5)推论:nRT U pV U H +=+=,故理想气体的焓也是温度的单值函数。
2. 熵增加原理:系统经可逆绝热过程后熵不变,经不可逆绝热过程后熵增加,在绝热条件下熵减少的过程是不可能实现的。
即 0≥-A B S S3. 最大功原理:系统在等温过程中对外界所作的功不大于其自由能的减少量。
即B A F F W -≤-4. 两个例题:1)一理想气体,经准静态等温过程,体积有A V 变为B V ,求过程前后气体的熵变。
解:已知理想气体的物态方程为:nRT pV = 等容热容为:dT C dU dTdUC V V =⇒=∴nRpV pdVTdT C T pdV dU T dQ dS V +=+==V dV nR T dT C V += ∴⎰++==0ln ln S V nR T C dS S V∴初态),(A V T 的熵为:0ln ln S V nR T C S A V A ++= 末态),(A V T 的熵为:0ln ln S V nR T C S B V B ++= 故熵变为:BAA B V V nR S S S ln=-=∆ 2)热量Q 从高温热源T 1传到低温热源T 2,求熵变. 解:根据熵变的定义,得①高温热源的熵变为:11T Q S -=∆(放热) ②低温热源的熵变为:22T QS =∆(吸热) 由于熵是广延量,具有可加性 ∴)11(1221T T Q S S S -=∆+∆=∆ 第二章:均匀物质的热力学性质1.平衡辐射:如果辐射体对电磁波的吸收和辐射达到平衡,热辐射的特性将只取决于温度,与辐射体的其他特性无关。
热力学统计物理课后习题答案
1. 1试求理想气体的体胀系数 :,压强系数:和等温压缩系数:T解:已知理想气体的物态方程为 pV 二nRT 由此得到体胀系数-貯。
诵冷,1. 2证明任何一种具有两个独立参量 T ,P 的物质,其物态方程可由实验测量的体胀系数和 等温压缩系数,根据下述积分求得 InV =:・dT -:T dp ,如果:•二丄「.T -,试求物态方TP程。
解:体胀系数:=-—V 5丿p等温压缩系数K T =--—]V 2P 人这是以T ,P 为自变量的完整微分,沿一任意的积分路线积分,得根据题设,若〉=丄,冷=丄T p则有InV =ln T C , PV=CTp要确定常数C,需要进一步的实验数据。
1. 4描述金属丝的几何参量是长度 L ,力学参量是张力£,物态方程是(£丄,T )=0,实验通 1 r 鬥)常在大气压下进行,其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为a =丄丄| ,等温杨氏模量L 5丿F定义为Y -L 「匚 ,其中A 是金属丝的截面。
一般来说,:和Y 是T 的函数,对£仅有微A I^L 人第一章热力 学 的 基 本压强系数1 仔、_ n R _ 1 B JT 厂而=T等温压缩系数'-T =以T ,P 为自变量, 物质的物态方程为V =V T,p其全微分为 dV =eVdp 二 V : dT -V T dp i印」n RT ) T~) p所以C n = C Vn -1弱的依赖关系。
如果温度变化范围不大,可以看作常数。
假设金属丝两端固定。
试证明,当 温度由T1降至T2时,其张力的增加为厶£ = -YA/T 2-TJ 。
解:f ( £ 丄,T)=0, £ =F £ (L,T)d £=空;dT +( dL — i dT (dL=0)©丿Li 此丿T &T .丿L所以:£= -YA MT ? -TJ1. 6 1mol 理想气体,在27o C 的恒温下发生膨胀,其压强由20P n 准静态地降到1P n ,求气体 所做的功和所吸收的热量。
热力学统计物理试题及其参考答案完整版
一、1. B, 2. D, 3. A, 4. A, 5. B, 6. A, 7. C, 8. C, 9.A, 10. A.
评分标准:本题共20分, 每个答案2分。
二、1.状态,2.系统从外界吸收,3. , 4. , ,
5. , 6. 0, 7. , 8.负温度状态, 9. ,
(4)
评分标准:(1)和(4)式各2分,(2)(3)式各3分
五、计算题:
1.解:范氏方程可表为
对范氏方程取导数得
(1)
按循环关系式,我们有
(2)
因此
(3)
(4)
. (5)
评分标准:(1)--(5)式各2分。
2.解:双原子分子的转动自由度 =2,选广义坐标和广义动量为 。双原子分子的配分函数为
.(1)
双原子分子理想气体的转动内能和熵
.(2)
。(3)
评分标准:(1)式4分,(2)和(3)式各3分。
令 ,得
=- <0.(2)
这里应用了 和 。
再由
.(3)
令 ,得
= .(4)
这里应用了 和 .
评分标准:(1)和(3)式各2分,(2)和(4)式各3分。
3.证明:由 (1)
绝对零度下自由电子气体中电子动量(大小)的分布为
(2)
其中 是费米动量,)
因此电子的平均速率为
四、1.证:由正则分布 ,得
.(1)
将上式代入广义熵的表示式,得
.(2)
上式即正则系综中系统熵的表示式。
或者,由正则分布中熵的表示式出发
,(3)
利用(1)式,由上式得熵的普遍表示式
. (4)
评分标准:(1),(2)式各5分。
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习题 4.4 理想溶液中各组元的化学势为:
答 案
其中 g 1 ' 是蒸汽的摩尔吉布斯函数,g1 是纯溶剂的摩尔吉布斯函数,x 是溶质在溶 液中的摩尔分数。 (2) 求证:在一定温度下,溶剂的饱和蒸汽压随溶液浓度的变化率为
(3) 将上式积分,得
w.
(2) 由 ∂g =v⇒ ∂p
ww
其中 p0 是该温度下溶剂的饱和蒸汽压, px 是溶质浓度为 x 时的饱和蒸汽压。该 公式称为拉乌定律。 解:(1) 设“1”为溶剂, g '1 = µ 1 = g1 (T , P ) + RT ln( 1 − x)
当发生化学变化时, 原来有 n0v1 mol 的气体 A1, 反应 了 n0v1ε mol , 未反 应 (1- ε) n0v1 mol, n0v2 mol 的气体 A2,反应了 εn0 v2 mol ,未反应 (1- ε) n0v2 mol, 生成 εn0 v3 mol A3 和εn0v4 mol A4,有
ww
习题 4.9 试证明,在 NH3 分解为 N2 和 H2 的反应中 1 3 N 2 + H 2 − NH3 = 0 2 2
w.
∆S = S 2 − S1 ∆S = ( n1 + n 2 ) R ln
(3)如果两种气体是相同的,混合后的熵变
S1 = ( n1 + n2 )CV ln T + n1 R ln V1 + n2 R ln V2 − n1 R ln n1 − n2 R ln n2 + ( n1 + n2 ) S 0
kh da
后
∑n
j
µ1 = g 1 (T , p ) + RT ln x1 µ 2 = g 2 (T , p ) + RT ln x2
w.
∂U ∂U + vi ∂ni ∂V
网
(2)
U = ∑ ni
∂U ∂U ∂U ∂U +V = ∑ ni ( + vi ) = ∑ ni ui ∂ni ∂V ∂ni ∂V i i
∆S 2 = n 2 CV ln T + n 2 R ln( V1 + V2 ) − n 2 R ln n 2 + n2 S 0 − n2 CV ln T − n 2 R ln V2 + n2 R ln n2 − n 2 S 0 V + V2 = n 2 R ln 1 V2 ∆S = n1 R ln
kh da
后 课
p ⎛ ∂p ⎞ ⎜ ⎟ =− 1− x ⎝ ∂x ⎠ T
(1) 假设溶质是非挥发性的。试证明,当溶液与溶剂蒸发达到平衡时,相平衡条 件为
g 1 ' = g 1 (T , P) + RT ln( 1 − x )
p x = p 0 (1 − x)
[( x + x1 ) = 1]
⎛ ∂g1' ⎞ ⎛ ∂g 1 ⎞ RT ⎛ ∂x ⎞ ⎜ ⎜ ∂p ⎟ ⎟ − (1 − x) ⎜ ⎜ ∂p ⎟ ⎟ ⎜ ∂p ⎟ ⎟=⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠T ⎝ ⎠ ⇒ v' = v − ⎛ ∂x ⎞ ⎜ ⎜ ∂p ⎟ ⎟ ⎝ ⎠T
证:未发生化学变化时,有
kh da
后
xN 2 =
=
如果反应方程写作
N 2 + 3H 2 − 2NH 3 = 0
n0 ε 3n0 ε 2(1 − ε ) n0 ; xH 2 = ; x NH 3 = ; 2(1 + ε ) n0 2(1 + ε ) n0 2(1 + ε ) n0
K p = ( x N 2 ) 1 ( x H 2 ) 3 ( x NH 3 ) −2 p 1+ 3− 2 ε 33 ε 3 (1 − ε ) − 2 2 27 ε 4 × 3 × p = p2 3 −2 2 2 2(1 + ε ) 2 (1 + ε ) 16 (1 − ε ) (1 + ε )
课
⎛ ∂µ ⎞ 习题 4.2 证明 µ i (T , p, n1 ,⋯ n k ) 是 n1 ,⋯ n k 的零次齐函数, ∑ n j ⎜ i ⎟ = 0 。 ⎜ ∂n j ⎟ j ⎝ ⎠
w.
ww
其中 gi(T, P)为纯 i 组元的化学势,xi 是溶液中 i 组元的摩尔分数。当物质的量分 别为 n1、n2 的两种纯液体在等温等压下合成理想溶液时,试证明混合前后 (1) 吉布斯函数的变化为 (2) 体积不变 ∆V = 0 (3) 熵变 ∆S = −R (n1 ln x1 + n2 ln x2 ) (4) 焓变 ∆ H = 0 ,因而没有混合热。 (5) 内能变化如何? 解: ∆G = RT (n1 ln x1 + n2 ln x2 )
V1 + V2 V +V2 + n2 R ln 1 V1 V2
= n1 R ln
课
后
V1 + V 2 V1
答 案
w.
网
co m
平衡常量可表为 如果反应方程写作 平衡常量如何?
27 ε2 Kp = × p 4 1− ε 2 N 2 + 3H 2 − 2NH 3 = 0 1 n ε mol N2 2 0
证:设 NH3 原来有 n0 mol, 分解了 n0 ε mol , 未分 解 (1- ε)n0 mol, 生成 和 3 n0 ε mol H2,共有摩尔数(1+ε) n0 2 1 3 n 0ε n 0ε (1 − ε ) n0 2 2 = ; xH 2 = ; x NH 3 = ; (1 + ε )n 0 (1 + ε )n 0 (1 + ε ) n0
w.
RT (1 − x )
(5) ∆U = ∆H − p∆V = 0
网
µ i = g i (T , P) + RT ln x i ;
⎛ ∂x ⎞ ⎜ ⎜ ∂p ⎟ ⎟ ;v’ —蒸汽相摩尔热容 ⎝ ⎠T
co m
∂G ∂ (∆ G ) ;∴ ∆S = − = −n1 R ln x1 − n 2 R ln x 2 ∂T ∂T
' p1'V = n1 RT ; p 2 V = n2 RT 解:( 1) n +n n +n p = 1 2 RT = 1 2 RT V V1 + V2
(2)根据 S = nCV ln T + nR ln V − nR ln n + nS 0 ∆S = ∆S 1 + ∆S 2
∆ S 1 = n1 CV ln T + n1 R ln( V1 + V 2 ) − n1 R ln n1 + n 1 S 0 − n1C V ln T − n1 R ln V1 + n1 R ln n1 − n1 S 0
S2 = ( n1 + n2 )CV ln T + (n1 + n2 )R ln(V1 + V2 ) − ( n1 + n2 ) R ln( n1 + n2 ) + ( n1 + n2 ) S 0 V1 + V2 V V − n1 R ln 1 − n2 R ln 2 n1 + n 2 n1 n2
kh da
v—凝聚相摩尔热容 p ⎛ ∂p ⎞ 故有 v’-v ≈v’,又有 pv’=RT 代入 ⇒ ⎜ ⎟ = − 1− x ⎝ ∂x ⎠ T
(3) 积分(2)式得拉乌定律 习题 4.8 绝热容器中有隔板隔开,一边装有 n1 mol 的理想气体,温度为 T,压 强为 P1;另一边装有 n2 mol 的理想气体,温度为 T,压强为 P2。今将隔板抽去, (1) 试求气体混合后的压强; (2) 如果两种气体是不同的,计算混合后的熵变; (3) 如果两种气体是相同的,计算混合后的熵变。
B
C
T0
T0
T T
① A→B,等压过程: ∆S A → B =
∫
0
C p dT
② B 点相变过程. ∆S B相变 =
L T0
T
③ B→C,等压过程: ∆S B →C =
T0
∫
T0
C p ' dT T
1 3
xN 2
答 案
平衡常量
=
和
3n0 ε mol H2,共有摩尔数 2(1+ ε)n0 ;
课
设 NH3 原来有 2n0 mol, 分解了 2n0ε mol , 未分解 2(1- ε)n0 mol, 生成 n 0 ε mol N2
w.
平衡常量
ww
习题 4.10 n0v1 mol 的气体 A1 和 n0v2 mol 的气体 A2 的混合物在温度 T 和压强 p 下所占体积为 V0, 当发生化学变化,ν 3 A 3 + ν 4 A 4 − ν 1 A1 − ν 2 A 2 = 0 ; 并在同样的温度和压强下达到平衡时,其体积为 Ve。试证明反应度为
(∆ S )T lim T →0
= 0
;原式得证。
习题 4.14 设在压强 p 下,物质的熔点为 T0, 相变潜热为 L,固相的定压热容量 为 Cp,液相的定压热容量为 Cp’ . 试求液体的绝对熵表达式。 解: 为计算 T 温度,p 压强下,液体绝对熵,可假想如下图过程。
液相
w.
网
co m
A 固相
于是得:
⎛ ∂S ⎞ ⎛ ∂σ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ; 而实 际 上 σ 与 A 无关 , 即 ⎝ ∂A ⎠ T ⎝ ∂T ⎠ A
T→0 时,根据热力学第三定律; lim (∆S )T = 0
T →0
w.
答 案
证:表面膜系统,
⎛ ∂F ⎞ ⎛ ∂F −S ; ⎜ ⎟ =σ ⎝ ∂T ⎠ A ⎝ ∂A ⎠ T