高考数学一轮总复习 第八章 第4节 双曲线课件
2025年高考数学一轮复习-8.6.1双曲线的定义、方程与性质【课件】
1关于点 N 的对称点为 M ，线段 F 1 M 的中
垂线与直线 F 2 M 相交于点 P ，则点 P 的轨迹是（
A. 椭圆
B. 双曲线
C. 抛物线
D. 圆
）
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高中总复习·数学（提升版）
解析：如图，连接 ON ，由题意可得｜
ON ｜＝1，且 N 为 MF 1的中点，又 O 为 F 1 F 2
的中点，所以｜ MF 2｜＝2.因为点 F 1关于点 N
第1课时 双曲线的定义、方程与性质
目录
C O N T E N T S
1
2
考点 分类突破
课时 跟踪检测
课堂演练
考点 分类突破
PART
1
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高中总复习·数学（提升版）
双曲线的定义及标准方程
【例1】 （1）已知定点 F 1（－2，0）， F 2（2，0）， N 是圆 O ： x
2＋ y 2＝1上任意一点，点 F
合｜｜ PF 1｜－｜ PF 2｜｜＝2 a ，运用平方的方法，建立关
于｜ PF 1｜·｜ PF 2｜的方程.
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高中总复习·数学（提升版）
2. 求双曲线标准方程的两种方法
（1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，
列出参数 a ， b ， c 的方程（组）并求出 a ， b ， c 的值；
1
1 2
｜2 ｜2 ＋｜2 ｜2 ＝
1
（ ）2 ＋（
2
21
2
5） ＝
.
2
目录
高中总复习·数学（提升版）
双曲线的几何性质
考向1 双曲线的渐近线问题
【例2】
2
（1）设 F 1， F 2是双曲线 C ： 2
高考数学一轮总复习课件：双曲线
(2)在△ABC中，B(4，0)，C(－4，0)，动点A满足条件sinB －sinC＝12sinA，则点A的轨迹方程为__x4_2_－__1y_22 _＝_1_(_x_>_2_)__．
y2 3
＝λ(λ≠0)，将点(2，3)代
入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－y32＝1，故选C.
5．若过双曲线
x2 4
－
y2 3
＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支
于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为
____8____．
解析 由双曲线的定义知道|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为4a＝8.
解析
双曲线C的标准方程为
x2 6
－
y2 3
＝1，a＝
6，b＝
3，则c
＝ a2＋b2 ＝3，则双曲线C的右焦点坐标为(3，0)，双曲线C的渐近
线方程为y＝±
2 2
x，即x±
2 y＝0，所以，双曲线C的焦点到其渐近
线的距离为 123＋2＝ 3.
3．若双曲线E：x92－1y62 ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P
第7课时 双曲线
[复习要求] 1.了解双曲线的定义、标准方程，能够根据 条件利用待定系数法求双曲线方程.2.知道双曲线的几何性质.3. 了解双曲线的一些实际应用．
课前自助餐
双曲线的定义 平 面 内 与 两 个 定 点 F1 ， F2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 ___等_于__常_数__2_a_(2_a_<_|F_1_F_2_|)____的点的轨迹叫做双曲线．
高考数学一轮复习 8.6双曲线课件 文
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24
(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用 双曲线的定义；(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义 中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的 一支．
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25
【拓展探究】 本例题(2)中若将条件“∠F1PF2＝60°”改为 “P→F1·P→F2＝0”，则结果如何？
a、b 只限制 a>0，b>0，二者没有大小要求，若 a>b>0，a＝ b>0,0<a<b，双曲线哪些性质受影响？
提示：离心率受到影响．∵e＝ac＝
1＋ba2，故当 a>b>0
时，1<e< 2，当 a＝b>0 时，e＝ 2(亦称等轴双曲线)，当 0<a<b
时，e> 2.
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9
1．已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的焦距为 10，点 P(2,1)
近线方程为 mx±3y＝0，
其中一个顶点到一条渐近线的距离 d＝ m12＋9＝15， ∴m2＝16. 又∵m>0，∴m＝4.故选 D.
答案：D
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14
3．已知双曲线的渐近线方程为 y＝±34x，则此双曲线的离心 率为________．
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15
解析：当焦点在 x 轴上时，其渐近线方程为 y＝±bax，依题意， 得ba＝34，b＝34a，所以 e＝54；
第
八
平面解析几何
章
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1
第六节
双曲线
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2
高考导航
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3
基础
知识回顾
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4
1．双曲线的定义 平面内与定点 F1、F2 的距离的 差的绝对值 等于常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦 点之间的距离叫做双曲线的焦距
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程 知识精讲
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。
（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。
说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。
2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0b,0a(1byax2222>>=-中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。
其渐近线方程为y＝±x 。
等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。
5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.6 双曲线课件
＝ 实虚轴
；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它
的长|B1B2|＝ a；2＋ab2叫做双曲线的实半轴长，
答案
知识拓展
巧设双曲线方程 (1)与双曲线ax22－by22＝1 (a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为ax22－by22 ＝t (t≠0). (2)过已知两个点的双曲线方程可设为xm2＋yn2＝1 (mn<0).
答案
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) (5)若双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)与bx22－ay22＝1(a>0，b>0)的离心率分别是 e1，e2，则e121＋e122＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )
答案
2
考点自测
1.若双曲线ax22－by22＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则
解析答案
命题点2 利用待定系数法求双曲线方程
解 设双曲线的标准方程为 ax22－by22＝1 或ay22－bx22＝1(a>0，b>0). 由题意知，2b＝12，e＝ac＝54.∴b＝6，c＝10，a＝8. ∴双曲线的标准方程为6x42 －3y62 ＝1 或6y42 －3x62 ＝1.
解析答案
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)； 解 ∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点 在y轴上，且a＝12. 又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25. ∴双曲线的标准方程为1y424－2x52 ＝1.
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨 迹是双曲线.( × ) (2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( × ) (3)双曲线方程mx22－ny22＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是mx22－ny22＝0，即 mx ±ny＝0.( √ )
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：解析几何
当m＝－k时，直线PQ的方程为y＝kx－k＝k(x－1). 此时直线PQ过定点(1,0). 当直线PQ的斜率不存在时， 若直线PQ过定点(1,0)， P，Q 的坐标分别为1，32，1，－32. 满足 kAP·kAQ＝－14. 综上，直线PQ过定点(1,0).
1234
②求△APQ面积的最大值.
1234
则 x1·x2 ＋ 2(x1 ＋ x2) ＋ 4 ＋ 4(kx1 ＋ m)(kx2 ＋ m) ＝ (1 ＋ 4k2)x1x2 ＋ (2 ＋ 4km)(x1＋x2)＋4m2＋4＝1＋4k32＋44mk22－12＋(2＋4km)·3－＋84kmk2＋4m2＋ 4＝0， 则m2－km－2k2＝0， ∴(m－2k)(m＋k)＝0，∴m＝2k或m＝－k. 当m＝2k时，直线PQ的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)， 此时直线PQ过定点(－2,0)，显然不符合题意；
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设l1的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， x＝my＋1，
联立x42＋y32＝1， 消去 x 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， 易知 Δ>0 恒成立，由根与系数的关系得 y1＋y2＝3－m26＋m4，y1y2＝3m－2＋9 4，
由直线 A1M 的斜率为kA1M＝x1y＋1 2，得直线 A1M 的方程为 y＝x1y＋1 2(x＋2)，
第八章 直线和圆、圆锥曲线
必刷大题17 解析几何
1.(2022·南通模拟)已知P为抛物线C：y2＝4x上位于第一象限的点，F为C 的焦点，PF与C交于点Q(异于点P).直线l与C相切于点P，与x轴交于点M. 过点P作l的垂线交C于另一点N. (1)证明：线段MP的中点在定直线上；
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设 P(x0，y0)，则 y20＝4x0，
双曲线(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.4 双曲线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形（二）双曲线的几何性质 双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)（三）常用结论 1.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.【常考题型剖析】题型一：双曲线的定义及其应用例1.（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -|OP |=（ ）A ．222B 410C 7D 10【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= 故选：D.例2.（2017·上海·高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b -=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =. 【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 题型二：双曲线的标准方程例3.（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a -=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例4. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．例5.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C n C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD. 【规律方法】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C可以变形为x 2C A ＋y 2C B＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．题型三：双曲线的实际应用例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）A ．221169x y -=B ．2214x y -=C ．22189x y -=D ．22143x y -=【答案】D【分析】由已知得双曲线的焦点在x 轴上，设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点()4,3在该双曲线上．设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则222224,431,a a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =，3b =，故该双曲线的标准方程是22143x y -=．故选：D.例7.（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b-=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）A ．2B ．3πC ．3D ．4π【分析】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m ， 代入方程，即可解得23,3a a == 3，从而得解. 【详解】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m 代入双曲线方程可得 22222225134331,1m m a b a b -=-= ， 即22222213251312,14m m a b a b-=-=，作差可得2273124a =，解得23,3a a ==，所以杯身最细处的周长为23π . 故选：C 【总结提升】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤． 题型四 已知双曲线的方程，研究其几何性质例8.（2018·浙江·高考真题）双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（ ）A ．()2,0-，)2,0B ．()2,0-，()2,0C ．(0,2-，(2D ．()0,2-，()0,2【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.例9.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________． 5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，22543c a b ++，所以双曲线的右焦点为(3,0)， 所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+ 5例10.（2020·北京·高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】 ()3,0 3【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，6a =，3b =，则223c a b =+=，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0， 双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即20x y ±=， 所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+. 故答案为：()3,0；3.例11.（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>30x my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3y x m=-，即3b a m =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.例12.（2021·全国·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3y x =±【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a ==，即2c a =， 又22224a b c a +==，即223b a =，则3ba=， 故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±. 【总结提升】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为2222221b b c a e a a a-===-可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．题型五 由双曲线的性质求双曲线的方程例11. （2022·天津·高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a ，可得2ba=， 所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.例12.（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（ ）A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】分析可得3b a =，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例13.（2018·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==， 双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项. 【规律总结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．题型六 求双曲线的离心率(或范围)例13.（2019·全国·高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2 D 5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．例14.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足2AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．12e << B ．312e <<C ．322e << D ．331e +<<【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c ，再根据给定条件求出|BF |长，列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c ，因BF AF ⊥，则由22221x c x ya b =⎧⎪⎨-=⎪⎩得2||||b y B a F ==，而AF a c =+， 于是得22b a c a +>⋅，即222c a a c a-+>⋅，整理得23a c >，从而有32c e a =<，又1e >，所以双曲线离心率e 的取值范围是312e <<. 故选：B例15.（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________． 【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=. 故答案为：364．例16.（2020·全国·高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2，则C 的离心率为_________． 【答案】3【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b -=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c be a a==+=.故答案为：3 1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关 系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭题型七：与双曲线有关的综合问题例17.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（ ）A ．4343,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．4343⎛ ⎝⎭C ．3333⎛ ⎝⎭D ．55⎛ ⎝⎭【答案】B【分析】由内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，将ME NE -表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ， 则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， ∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=， 得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上， 设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ， 当2πθ=时，||||0ME NE -=； 当2πθ≠时，由题知，2,4,3===ba c a， 因为A ，B 两点在双曲线的右支上， ∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan 3θ<-或tan 3θ>， ∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠， ∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ. 故选：B.例18.（2018·全国·高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ） A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒， 可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-， 分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立， 求得33(3,3),(,)22M N -，所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B.例19.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______. 【答案】21+【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解. 【详解】由题意知： ,2,2pc p c -=-∴= ∴抛物线方程为：224,y px cx =-=-M 在抛物线上，所以(,2),M c c -M 在双曲线上，222241,c c a b ∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+=2322e ∴=±，又()1,e ∈+∞，2 1.e ∴=+故答案为：21+例20.（2020·全国·高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1x cx y a b c b a =-==+，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223bc a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．例21. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________． 【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =-（舍去）． 故答案为：33．例22. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>43F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________． 【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可 【详解】因为22224316,33c a c a b a ==+=， 所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a -=，设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-， 与双曲线222231131433x y a a x y ak ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩联立得2221310431693033y ay a k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()()221212221043169,31333133ak a k y y y y k k +=⋅=--，因为||3||FA FB =， 所以123y y =，所以()()222222210431694,331333133ak a k y y k k ==--，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-， 化简得2121133k =-，即213k =， 因为0k >， 所以33k =， 故答案为：33例23．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x ya b a bΓ-=>>的左、右两焦点，过点2F 的直线:0l x my t --=（,R m t ∈）与Γ的右支交于M ，N 两点，Γ过点(2,3)-，且它的7(1)求双曲线Γ的方程；(2)当121MF F F =时，求实数m 的值；(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，当2212MF F N =时，求PMN 面积S 的值. 【答案】(1)2213y x -=； (2)1515m =±； (3)9354. 【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得2t =，根据1F 到直线:20l x my --=与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等，列方程求参数m ；（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213m y y m +=-，122913y y m =--，由向量的数量关系可得2135m =，根据对称点、三角形面积公式1222OMN S S y y ==-求PMN 面积. （1）由Γ过点(2,3)-，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7，所以()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，即2213a b ⎧=⎨=⎩， 则所求的双曲线Γ的方程为2213y x -=. （2）因为直线:0l x my t --=过点2(2,0)F ，所以2t =，由121MF F F =得：等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高的大小为22112()152MF MF --=， 又1F 到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高，则2202151m ---=+， 即2115m =，则1515m =±. （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得：22(31)1290m y my -++=， 则1221213m y y m +=-，122913y y m=--，又2212MF F N =，即212y y =-， 则121213m y m -=-，2129213y m =-，即22122()13m m =-2913m-，则2135m =， 又M 关于坐标原点O 的对称点为P ，则2121212222()4OMN S S y y y y y y ==-=+-222221*********()4()1313134m m m m m +=--==---. 则所求的PMN 面积为9354. 【总结提升】 双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。
高考数学一轮复习双曲线培优课ppt课件
所以ba＝12，解得 a＝2，b＝1， 故双曲线 C 的方程为x42－y2＝1.
索引
(2)(2023·潍坊调研)已知双曲线的离心率 e＝ 25，且该双曲线经过点(2，2 5)，则 该双曲线的标准方程为____y4_2_－__x_2＝__1_____.
解析 由题意，知 e＝ac＝ 解得a＝2b，
索引
感悟提升
在焦点三角形中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运 用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
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训练1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与
圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__x_2_－__y8_2＝__1_(_x_≤__－__1_)__.
索引
角度2 离心率
索引
3.(选修一P121T1改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线 方程为__x_82_－__y8_2_＝__1__. 解析 设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)， 把点A(3，－1)代入，得9－1＝λ，λ＝8， 故所求双曲线方程为x82－y82＝1.
索引
4.(2020·北京卷)已知双曲线 C：x62－y32＝1，则 C 的右焦点的坐标为__(_3_，__0_)___； C 的焦点到其渐近线的距离是____3______. 解析 由x62－y32＝1，得 c2＝a2＋b2＝9，
索引
考点二 双曲线的标准方程
例 2 (1)(2023·泉州质检)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的焦距为 2 5，点
P(2，1)在 C 的一条渐近线上，则 C 的方程为( B )
【优化设计】高考数学(人教版,文科)一轮总复习精品课件：8.6 双曲线(共24张PPT)
A.3
B.2
C. 3
D. 2
解析:由题意可知椭圆的长轴长 2a1 是双曲线实轴长 2a2 的 2 倍,即 a1=2a2, 而椭圆与双曲线有相同的焦点.
������
故离心率之比为
������2 ������
������1
=
������������12=2.
第八章
8.6 双曲线
-21-
1234
2.(2013 湖南高考)设 F1,F2 是双曲线 C:������������22 − ������������22=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小内角为 30°,则 C 的离心率为
-17-
(2)设 P 为直线 y=3������������x 与双曲线������������22 − ������������22=1(a>0,b>0)左支的交点,F1 是左
焦点,PF1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e=
32 4
.
解析:因为 F1 为左焦点,PF1 垂直于 x 轴,
所以 P 点坐标为
点的轨迹叫做 双曲线 .这两个定点叫做双曲线的 焦点 ,两焦点间 的距离叫做双曲线的 焦距 .
想一想双曲线定义中,为什么要规定||PF1|-|PF2||<|F1F2|?
答案:(1)在双曲线的定义中,除了满足||PF1|-|PF2||=定值,还要满 足||PF1|-|PF2||<|F1F2|且不等于零这一条件,动点 P 的轨迹才是双曲 线;若||PF1|-|PF2||=|F1F2|,则动点 P 的轨迹是以 F1,F2 为端点的两条 射线(包括端点);若||PF1|-|PF2||=0,则动点 P 的轨迹为线段 F1F2 的垂 直平分线;若||PF1|-|PF2||>|F1F2|,则动点 P 的轨迹不存在.(2)若定义 中的“绝对值”去掉后,则动点 P 的轨迹为双曲线的一支.若 |PF1|-|PF2|=定值,则动点 P 的轨迹为双曲线靠近 F2 的一支;若 |PF2|-|PF1|=定值,则动点 P 的轨迹为双曲线靠近 F1 的一支.
高三数学一轮复习 第8篇 第4节 双曲线课件 理
3.等轴双曲线的定义及性质 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其标准方程为 x2-y2=λ(λ≠
0),离心率 e= 2 .渐近线方程为 y=±x .它们互相 垂直 ,并且平分实
轴和虚轴所成的角.
基础自测
1.已知方程 x2 + y2 =1 表示双曲线,则 k 的取值范围为( B )
k 3 k 5
(3)已知圆 C:(x-3)2+y2=4,定点 A(-3,0),求过定点 A 且和圆 C 外切的动圆圆心 M 的轨迹
方程为
.
解析:(1)设双曲线的右焦点为 F, 则 F(c,0)(其中 c= a2 b2 ), 且 c=|OF|=r=4,
不妨将直线 x=a 代入双曲线的一条渐近线方程 y= b x,得 y=b, a
x2 - y 2 =1 的( A )
16 k 5
(A)焦距相等
(B)离心率相等
(C)虚半轴长相等 (D)实半轴长相等
解析:因为 0<k<5,所以 5-k>0,16-k>0,这两个方程表示的是双曲线.焦距 都是 2 21 k .故选 A.
4.已知双曲线 x2 - y 2 =1 的一个焦点坐标为(- 3 ,0),则其渐近线 a2
(提示:只有当0<2a<|F1F2|时,动点的轨迹才是双曲线,当2a=0时,动 点的轨迹是线段F1F2的中垂线;当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是以F1、 F2为端点的两条射线;当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在)
2.双曲线的标准方程及简单几何性质 见附表
质疑探究2:方程Ax2+By2=1表示双曲线的条件是什么? (提示:若A>0,B<0表示焦点在x轴上的双曲线;若A<0,B>0表示焦点 在y轴上的双曲线,当上述两种条件都不满足时,不表示双曲线,所以 Ax2+By2=1表示双曲线的条件是AB<0)
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(
A.相交
√
C.相离
D.无法判断
)
B.相切
解析:圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离 d=
与圆相切.故选B.
|-|
,所以直线
=1=r
+
3.直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于(
A.
B.
C.2
)
D.
√
解析:圆心(-2,2)到直线 x-y+3=0 的距离 d= ,圆的半径 r= ,
解直角三角形得,半弦长为 ,所以弦长等于 .故选 D.
4.圆O1:(x-1)2+y2=1与圆O2:x2+(y+2)2=4的位置关系是(
A.外离
B.外切
C.相交
D.内切
故选C.
判断直线与圆的位置关系常见的方法:
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直
线与圆相交;若点在圆上,直线与圆可能相切,也可能相交.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法更适用于动直
A.x-2y+3=0
B.2x+y-4=0
√
D.2x-y-4=0
C.x+2y-5=0
)
解析:圆心为O(0,0),kOP=2,故切线的斜率为
y-2=- (x-1) ,即x+2y-5=0.故选C.
双曲线高三数学一轮复习考点课件
03
双曲线与圆关系
圆与双曲线交点问题
交点个数判断
通过联立圆与双曲线的方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式判断交点个 数。
交点坐标求解
利用求根公式或韦达定理求解交点坐标。
切线长公式及应用
切线长公式
切线长公式为$|TA| cdot |TB| = |OP|^2 - r^2$，其中$TA, TB$为切 点，$OP$为圆心到直线的距离，$r$ 为圆半径。
标准方程
双曲线的标准方程为$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$（焦点在x轴上）或$frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$（焦点在y轴上），其中a、b分别为双曲线的实半轴和虚 半轴。
焦点、准线与离心率
焦点
双曲线的两个焦点到曲线上任意 一点的距离之差等于常数，且这
双曲线高三数课学件一轮复习考点
汇报人：XX 2024-01-13
目 录
• 双曲线基本概念与性质 • 双曲线与直线关系 • 双曲线与圆关系 • 双曲线综合应用 • 历年高考真题回顾与模拟测试
01
双曲线基本概念与性质
双曲线定义及标准方程
定义
双曲线是由在平面内满足“从两个定点F1和F2出发的线段长 度之差等于常数（且小于两定点间距离）的点的轨迹”构成 的曲线。
知识梳理
题型训练
建议学生对双曲线的相关知识点进行全面 梳理，形成完整的知识体系。
针对不同类型的题目进行专项训练，提高 解题速度和准确性。
错题总结
考前冲刺
鼓励学生建立错题本，对做错的题目进行 总结和反思，避免重复犯错。
在考试前进行模拟测试和针对性复习，巩 固所学知识，提高应试能力。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第8章 §8.6 双曲线
教材改编题
1.已知曲线 C 的方程为k＋x21＋5－y2 k＝1(k∈R)，若曲线 C 是焦点在 y 轴上
(2)(2023·连云港模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为 2 的等
边三角形，则双曲线的标准方程为
A.x42－1y22 ＝1 C.x32－y2＝1
B.1x22 －y42＝1
√D.x2－y32＝1
性质
对称性 顶点
轴
对称轴：_坐__标__轴__；对称中心：_原__点___
_A__1(_－__a_,0_)_，__A_2_(_a_,0_)_
_A_1_(_0_，__－__a_)，__A_2_(_0_，__a_)_
实轴：线段__A_1_A_2__，长：__2_a_；虚轴：线段B1B2，
长：__2_b__，实半轴长：_a__，虚半轴长：_b__
4.若 P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2 分别为双曲线
的左、右焦点，则 S△
＝
PF1F2
b2θ，其中 θ 为∠F1PF2.
tan 2
常用结论
5.与双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为ax22－by22 ＝t(t≠0).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第8章 解析几何 8.6 双曲线
2
8
2
2
D. −
=1
44 176
根据题意,设双曲线的方程为
将点(4,4√3)的坐标代入方程,
解得
2
x2- =k(k≠0),
4
2
k=4.因此双曲线的标准方程为 4
2
− 16=1.
(2)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2
a,c为常数,且a>0,c>0,则有如下结论:(1)当2a<|F1F2|时,点M的轨迹是双曲
线;(2)当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是两条射线;(3)当2a>|F1F2|时,点M的轨迹
不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2
a2
−
y2
b2
=1(a>0,b>0)
y2
a2
−
x2
b2
=1(a>0,b>0)
所以动圆圆心M的轨迹为双曲线的左支.
又a=1,c=3,则b2=8.
故动圆圆心 M 的轨迹方程为 x
2
- =1(x≤-1).
8
2
解题心得求双曲线标准方程的方法
(1)定义法.
(2)待定系数法.
①当双曲线的焦点位置不确定时,设双曲线方程为Ax2+By2=1(AB<0);
2 2
2 2
②与双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程设为 2 − 2 =λ(λ≠0);
所以- =- ,所以 2
2
√5
=
2 -2 2
中职高考数学一轮复习讲练测专题8-5 双曲线 (讲)(含详解)
专题8.5双曲线【考纲要求】1.理解双曲线的定义和双曲线的标准方程，能够根据条件写出双曲线的标准方程；2.了解双曲线的性质：范围、对称性、顶点、实轴和虚轴、渐近线方程、离心率；3.了解等轴双曲线的概念和特点．【考向预测】1. 双曲线定义的应用2. 求双曲线的标准方程3. 求双曲线的离心率【知识清单】1．双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)__的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；(1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线__；(2)当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线__；(3)当a＞c时，集合P是__空集__．2.双曲线的标准方程和几何性质3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为__x2－y2＝±a2__考点一双曲线的定义及其应用例. 已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是() A．||PF1|－|PF2||＝5B．||PF1|－|PF2||＝6C．||PF1|－|PF2||＝7D．||PF1|－|PF2||＝0【变式探究】P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝__ _.考点二双曲线的标准方程例1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)、(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(26，22)．例2.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，实轴长与虚轴长之比为2：3，且经过点P (6，2)； (2)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为53，且经过点M (－3,23)；(3)若双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6. 【方法归纳】利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论；(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 【变式探究】1.根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(2)过点P (3，154)，Q (－163，5)且焦点在坐标轴上．2. 已知双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程是__ __.考点三 双曲线的简单几何性质求双曲线的性质时，应把双曲线方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的数值，进而求出c ，求出双曲线的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标、渐近线方程等几何性质．例.求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 【变式探究】 把本例中的双曲线方程改为9y 2－4x 2＝36，再求顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程．考点四 双曲线的离心率例1. 双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为( )A ．54B ．52 C ．53或54D ．52或153【变式探究】1.渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( )A ．22B ．1C ．2D ．22. “m ＝1”是“双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件专题8.5双曲线【考纲要求】1.理解双曲线的定义和双曲线的标准方程，能够根据条件写出双曲线的标准方程；2.了解双曲线的性质：范围、对称性、顶点、实轴和虚轴、渐近线方程、离心率；3.了解等轴双曲线的概念和特点．【考向预测】1. 双曲线定义的应用2. 求双曲线的标准方程3. 求双曲线的离心率【知识清单】1．双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)__的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；(1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线__；(2)当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线__；(3)当a＞c时，集合P是__空集__．2.双曲线的标准方程和几何性质3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为__x2－y2＝±a2__考点一双曲线的定义及其应用例. 已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是(A) A．||PF1|－|PF2||＝5B．||PF1|－|PF2||＝6C．||PF1|－|PF2||＝7D．||PF1|－|PF2||＝0[解析]A中，∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故动点p的轨迹是双曲线；B中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点)；C中，∵||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，∴动点P的轨迹不存在；D中，∵||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选A．【变式探究】P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝__－8__.[解析] 双曲线方程为x 216－y 216＝1，∴a ＝4，∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8， 又∵P 在左支上，F 1为左焦点， ∴|PF 1|－|PF 2|＝－8. 考点二 双曲线的标准方程例1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)、(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； (2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22)． [解析] (1)由已知得，c ＝5,2a ＝8，即a ＝4. ∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9. ∵焦点在x 轴上，∴所求的双曲线标准方程是x 216－y 29＝1.(2)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧16m ＋4n ＝124m ＋8n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝18n ＝－14，∴双曲线方程为x 28－y 24＝1.例2.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，实轴长与虚轴长之比为2：3，且经过点P (6，2)； (2)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为53，且经过点M (－3,23)；(3)若双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6.[解析] (1)设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意知a b ＝23.又∵双曲线过点P (6，2)，∴4a 2－6b 2＝1，依题意可得⎩⎨⎧a b ＝234a 2－6b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝43b 2＝3.故所求双曲线方程为y 243－x 23＝1.(2)设所求双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝53，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝259，∴b a ＝43.由题意得⎩⎨⎧b a ＝439a 2－12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94b 2＝4.∴所求的双曲线方程为x 294－y 24＝1.(3)设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ4－y 2λ9＝1(λ≠0)，由题意得a ＝3. 当λ>0时，λ4＝9，λ＝36，双曲线方程为x 29－y 24＝1；当λ<0时，－λ9＝9，λ＝－81，双曲线方程为y 29－4x 281＝1.故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 29－4x 281＝1.【方法归纳】利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论；(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求．【变式探究】1.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(2)过点P (3，154)，Q (－163，5)且焦点在坐标轴上．[解析] (1)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x 轴上，且c 2＝a 2＋b 2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．(2)已知双曲线经过两个已知点，因焦点位置不确定，需分类讨论求解，或设出一般方程求解．(1)解法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴c 2＝16＋4＝20，即a 2＋b 2＝20，① ∵双曲线经过点(32，2)， ∴18a 2－4b2＝1.② 由①②得a 2＝12，b 2＝8， ∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.解法二：设所求双曲线的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)．∵双曲线过点(32，2)， ∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.(2)设双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，mn <0.∵点P ，Q 在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.2. 已知双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程是__x 24－y 2＝1__.[解析] 设双曲线方程为y 2－14x 2＝λ，代入点(4，3)，可得3－14×16＝λ，∴λ＝－1，∴双曲线的标准方程是x 24－y 2＝1.故答案为x 24－y 2＝1.考点三 双曲线的简单几何性质求双曲线的性质时，应把双曲线方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的数值，进而求出c ，求出双曲线的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标、渐近线方程等几何性质．例.求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.[解析] 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，所以a ＝3，b ＝2，c ＝13，因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4，离心率e ＝ca ＝133，渐近线方程y ＝±b a x ＝±23x . 【变式探究】 把本例中的双曲线方程改为9y 2－4x 2＝36，再求顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程．[解析]把方程9y 2－4x 2＝36化为标准形式为y 24－x 29＝1，∴a ＝2，b ＝3，c ＝13，∴顶点为(0，－2)，(0,2)，焦点坐标为(0，－13)，(0，13)，离心率e ＝c a ＝132.渐近线方程为y ＝±23x . 考点四 双曲线的离心率例1. 双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为( C )A ．54 B ．52C ．53或54D ．52或153[解析] 当焦点在x 轴上时b a ＝34，∴e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝54，当焦点在y 轴上时，a b ＝34，∴e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝53，故选C ．【变式探究】1.渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( C )A ．22 B ．1C ．2D ．2 [解析] 由题意可得b a ＝1，∴ e ＝1＋b 2a 2＝1＋12＝ 2.故选C ．2. “m ＝1”是“双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]∵双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2，∴a 2＝m >0，b 2＝3.∵e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝1＋3m ＝2，∴m ＝1.∴“m ＝1”是“双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2”的充要条件．故选C ．。
双曲线-高三数学(新高考)一轮复习优质ppt课件
e＝2
或
e＝2
3
3 .
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三、走进高考 5．[2019·全国Ⅰ卷]双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近 线的倾斜角为 130°，则 C 的离心率为( ) A．2sin 40° B．2cos 40° C．sin150° D．cos150°
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6．[2019·全国Ⅲ卷]设 F 为双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的右 焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2＋y2＝a2 交于 P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则 C 的离心率为( )
近线的方程为 y＝±bax，由题意可得ab＝tanπ3＝ 3，b＝ 3a，可得 c＝2a，则 e＝ac＝2；若双曲线的焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为ay22－bx22＝1，则渐近
线的方程为 y＝±bax，由题意可得ab＝tan3π＝ 3，a＝ 3b，可得 c＝2 3 3a，则
e＝2
3
3.综上可得
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为 y＝±43x，即 4x＋3y＝0 或 4x－3y＝0.
[答案] 4x＋3y＝0或4x－3y＝0
5．给出下列命题： ①平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于 6 的点的 轨迹是双曲线． ②平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线． ③方程xm2－yn2＝1(mn＞0)表示焦点在 x 轴上的双曲线．
ay22－bx22＝1 (a＞0，b＞0)
图形
范围
x∈R，y≤－a 或 x≥a 或 x≤－a，y∈R
y≥a
性 对称性 质 顶点
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0， a)
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
离心率 e＝ac，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2＋b2
(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|， 因为|MA|＝|MB|，
⑤正确．等轴双曲线：x2－y2＝a2(a＞0)的渐近线方程为 x2 －y2＝0，即 y＝±x，显然两直线互相垂直，其实轴、虚轴长均 为 2a，所以 c＝ 2a，
所以 e＝ac＝ a2a＝ 2. [答案] ④⑤
[典例透析]
考向一 双曲线的定义及应用
例1 (1)(2015·陕西师大附中模拟)设过双曲线x2－y2＝9左
P 在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝( )
A．5
B．3
C．7
D．3 或 7
[解析] 因为||PF1|－|PF2||＝2，所以|PF2|＝7 或 3. 故选 D. [答案] D
3．(2014·新课标高考全国卷Ⅰ) 已知双曲线ax22－y32＝1(a＞
0)的离心率为 2，则 a＝( )
A．2
思路点拨 (1)利用双曲线定义|PF2|－|QF2|＝2a及三角形周 长的计算求解．
(2) 根据双曲线的定义求轨迹方程．
[解析] (1)如图，由双曲线的定义 可得||PQFF22||－－||PQFF11|＝|＝22aa，， 将两式相加得|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝4a， ∴△F2PQ 的周长为|PF2|＋|QF2|＋|PQ| ＝4a＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.
[基础自测]
1．若 k∈R，则方程k＋x23＋k＋y22＝1 表示焦点在 x 轴上的双
曲线的充要条件是( )
A．－3＜k＜－2
B．k＜－3
C．k＜－3 或 k＞－2
D．k＞－2
[解析] 由题意可知，kk＋＋23＜＞00，， 解得－3＜k＜－2. [答案] A
2．设 F1，F2 分别是双曲线 x2－y92＝1 的左、右焦点．若点
④双曲线方程mx22－ny22＝1(m＞00，即mx ±ny＝0.
⑤等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. 其中正确的是________．( 写出所有正确命题的序号 ) [解析] ①错误．由双曲线的定义知，应为双曲线的一支， 而非双曲线的全部． ②错误．因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条 射线．
③错误．当 m＞0，n＞0 时表示焦点在 x 轴上的双曲线， 而 m＜0，n＜0 时则表示焦点在 y 轴上的双曲线．
④正确．因为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为即ax22－ by22＝0, 所以当 λ＞0 时，λxm22－λyn22＝1(m＞0，n＞0)的渐近线方 程为λxm22－λyn22＝0，即mx22－ny22＝0，即mx ±ny＝0.同理当 λ＜0 时，仍 成立，故结论正确．
提示：只有当0＜2a＜|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线， 当 2a ＝ 0 时 ， 动 点 的 轨 迹 是 线 段 F1F2 的 中 垂 线 ； 当 2a ＝ |F1F2| 时，动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当2a＞|F1F2| 时，动点的轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 ax22－by22＝1 (a＞0，b＞0)
第八章 平面解析几何
第4节 双曲线
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简 单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．
[要点梳理] 1．双曲线的概念 平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离的差 的绝对值为常数2a(2a＜2c)，则点P的轨迹叫_双__曲__线__．这两个 定点叫双曲线的_焦__点__，两焦点间的距离叫_焦__距__． 质疑探究：与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数 2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？
B.
6 2
5 C. 2 [解析]
D．1 因为 c2＝a2＋3，所以 e＝ac＝
a2a＋2 3＝2，得 a2
＝1，所以 a＝1.故选 D.
[答案] D
4
．
(2015·天
津
模
拟
)
双
曲
线
x2 9
－
y2 16
＝
1
的渐近线方程为
________． [解析] 因为双曲线方程为x92－1y62 ＝1，所以其渐近线方程
焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦
点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为( )
A．19
B．26
C．43
D．50
(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动 圆 M 同 时 与 圆 C1 及 圆 C2 相 外 切 ， 则 动 圆 圆 心 M 的 轨 迹 方 程 为 ________．
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|
性 实虚轴 ＝2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的
质
长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b
叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c 的关系
c2＝a2＋b2 (c＞a＞0，c＞b＞0)
3．等轴双曲线 _实__轴__和虚__轴___等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程 为 x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率 e＝ 2，渐近线方程为_y_＝__±__x_，它 们互相_垂__直__，并且_平__分__实轴和虚轴所成的角．