3.2导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(第1课时)
托克旗高级中学高二年级数学科导学案 文科选修1-1 第三章导数及其应用§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 苏海霞 编写 第20周 第 1页(共 2 页) 第 2页(共 2 页)主动 自信 合作 探究 发展自己 成就未来 安全是幸福家庭的保证，事故是人生悲剧的祸根姓名： 班级： 小组： 小组评价： 教师评价：§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则第1 课时 上课时间：【教学目标】1. 熟练的记忆导数的计算公式；学会用导数的计算公式计算的函数的导数.2.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数； 3理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数. 【重点难点】1.导数的计算公式，导数的计算公式的应用2.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；3.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数. 一、知识链接1.函数()y f x c ==的导数2.函数()y f x x ==的导数；3.函数1()y f x x==的导数； 4.函数2()y f x x ==的导数二、独立预习1.基本初等函数的导数公式：①='C ②=)'(nx ③=)'(sin x ④=)'(cos x⑤=')(x a ⑥=')(x e ⑦='][log x a ⑧=')(ln x2.导数的运算法则：①()()[]=±'x g x f ②()()[]='x g x f③()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'x g x f ④ ()[]='x cf 三、合作交流探究任务一、基本初等函数的导数公式： 根据常见函数的导数公式计算下列导数（1）6y x = （2）y =（3）21y x =（4）y =四、探究展示探究任务：两个函数的和(或差)积商的导数新知：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±； [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'=； 例1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数323y x x =-+的导数.变式：（1）522354y x x x =-+-； （2）3cos 4sin y x x =-.五、反馈总结1、 求下列函数的导数：（1）2log y x =； （2）2xy e =； （3）32log y x x =+； （4）n xy x e =； （5）31sin x y x-=2、（1）323y x x =-+ （2）sin y x x =⋅； （3）2(251)x y x x e =-+⋅； （4）4xx y =；3. 函数1y x x =+的导数是（ ） A ．211x - B ．11x - C ．211x + D ．11x+4. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（ ） A ．cos 2cos x x - B ．cos 2sin x x + C ．cos 2cos x x + D ．2cos cos x x +5. cos xy x =的导数是（ ）A ．2sin x x-B ．sin x -C ．2sin cos x x x x +- D ．2cos cos x x x x +- 6. 函数2()138f x x =-，且0()4f x '=，则0x =7. 已知2()f x x =,则(3)f '=（ ）A ．0B ．2xC ．6D ．9［小结］ 六、课后反思。
高中数学《几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》导学案
3．2.1几个常用函数的导数3．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1．几个常见函数的导数原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝□010f(x)＝x f′(x)＝□021f(x)＝x2f′(x)＝□032xf(x)＝1xf′(x)＝□04－1x2f(x)＝x f′(x)＝□0512x2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝□06αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝□07cos xf(x)＝cos x f′(x)＝□08－sin xf(x)＝a x f′(x)＝□09a x ln_a(a>0)f(x)＝e x f′(x)＝□10e xf(x)＝log a x f′(x)＝□111x ln a(a>0且a≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝□121x3．导数的运算法则 设两个函数分别为f (x )和g (x )两个函数的 和的导数 [f (x )＋g (x )]′＝□13f ′(x )＋g ′(x ) 两个函数的 差的导数 [f (x )－g (x )]′＝□14f ′(x )－g ′(x ) 两个函数的 积的导数 [f (x )·g (x )]′＝□15f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 两个函数的 商的导数 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝□16f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)4．导数的加法与减法法则(1)两个函数和(或差)的导数等于两个函数的导数的和(或差)，可推广到多个函数的和(或差)，即(f 1±f 2±…±f n )′＝□17f 1′±f 2′±…±f n ′.(2)两个函数和(或差)的导数还可推广为[mf (x )±ng (x )]′＝□18mf ′(x )±ng ′(x )(m ，n 为常数)．基本初等函数的求导公式可分为四类(1)第一类为幂函数，y ′＝(x α)′＝α·x α－1(注意幂指数α可推广到全体实数)．对于解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数．(2)第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号．(3)第三类为指数函数，y′＝(a x)′＝a x·ln a，当a＝e时，e x的导数是(a x)′的一个特例．(4)第四类为对数函数，y′＝(log a x)′＝1x·ln a，也可记为(log a x)′＝1x·log a e，当a＝e时，ln x的导数也是(log a x)′的一个特例．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若y＝2，则y′＝12×2＝1.()(2)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x.()(3)若f(x)＝x32，则f′(x)＝32x.()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)⎝⎛⎭⎪⎫1x3′＝________.(2)(2x)′＝________.(3)若f(x)＝x3，g(x)＝log3x则f′(x)－g′(x)＝________.答案(1)－3x4(2)2x ln 2(3)3x2－1x ln 3探究1利用导数公式及运算法则求导例1求下列函数的导数．(1)y＝5x3；(2)y＝log5x；(3)f(x)＝(x＋1)2(x－1)；(4)f(x)＝2－2sin2x2；(5)f(x)＝e x＋1e x－1.[解](1)y′＝(5x3)′＝(x35)′＝35x－25＝355x2.(2)y ′＝(log 5x )′＝1x ln 5.(3)因为f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋2x －1.(4)因为f (x )＝2－2sin 2x2＝1＋cos x ，所以f ′(x )＝－sin x . (5)解法一：f ′(x )＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x－1)2＝－2e x (e x－1)2.解法二：因为f (x )＝e x ＋1e x －1＝1＋2e x －1，所以f ′(x )＝2′(e x －1)－2(e x －1)′(e x －1)2＝－2e x(e x －1)2.拓展提升(1)当函数解析式能化简时，要先化简再求导．(2)当函数解析式能变形时，可以先变形再求导，要注意，变形的目的是为了求导更简单，如果变形后求导并不简单，那就不要变形，直接求导．【跟踪训练1】 求下列函数的导数． (1)y ＝13x 2；(2)y ＝x 3·e x ；(3)y ＝cos xx .解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2′＝(x －23 )′＝－23·x －23 －1 ＝－23·x －53(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝x 2e x (3＋x )．(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2.探究2 曲线切线方程的确定与应用例2 过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切点的坐标及切线的斜率．[解]因为(e x)′＝e x，设切点坐标为(x0，e x0)，则过该切点的直线的斜率为e x0，所以所求切线方程为y－e x0＝e x0(x－x0)．因为切线过原点，所以－e x0＝－x0·e x0，x0＝1.所以切点为(1，e)，斜率为e.[条件探究]已知点P是曲线y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e x相切于点P(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x＝1.y′＝(e x)′＝e x，e x0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.拓展提升利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标．【跟踪训练2】已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x＝2x0.又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12， 所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.所以所求的切线方程为y －14＝x －12， 即4x －4y －1＝0.探究3 导数计算的综合应用例3 设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求y ＝f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解] (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，即f (2)＝12.由f ′(x )＝a ＋bx 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.所以所求解析式为f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，即切线与直线x ＝0的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0；令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，即切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0,2x 0)．故点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 围成的三角形的面积为12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 围成的三角形的面积为定值，此定值为6.拓展提升求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．【跟踪训练3】 已知f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx (b ，c ∈R )，f ′(1)＝0，当x ∈[－1,3]时，曲线y ＝f (x )的切线斜率的最小值为－1，求b ，c 的值．解 f ′(x )＝x 2＋2bx ＋c ＝(x ＋b )2＋c －b 2， 且f ′(1)＝1＋2b ＋c ＝0.① 若－b ≤－1，即b ≥1， 则f ′(x )在[－1,3]上是增函数， 所以f ′(x )min ＝f ′(－1)＝－1， 即1－2b ＋c ＝－1，②由①②，解得b ＝14，不满足b ≥1，应舍去． 若－1＜－b ＜3，即－3＜b ＜1， 则f ′(x )min ＝f ′(－b )＝－1， 即c －b 2＝－1，③由①③，解得b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1. 若－b ≥3，即b ≤－3，f ′(x )在[－1,3]上是减函数， 所以f ′(x )min ＝f ′(3)＝－1，即9＋6b ＋c ＝－1，④由①④，解得b ＝－94，不满足b ≤－3，应舍去． 综上可知，b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，要认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.准确记忆导数的运算法则是进行导数运算的前提，但在解题过程中要注意如何使用运算法则可使运算较为简单．例如，求y ＝x ·x 的导数，若使用积的导数公式可以求出结果，但不如先化简为y ＝x ·x ＝x32 ，再求y ′＝32x12简单.3.三次函数的导数为二次函数，当涉及与二次函数最值有关的问题时，常需要讨论，而讨论的立足点是二次函数的图象的对称轴与区间的位置关系.1．下列运算：①(sin x )′＝－cos x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2；③(log 3x )′＝13ln x .其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(log 3x )′＝1x ln 3.∴所给三个都不正确．2．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )为( ) A ．3x 2＋3x B ．3x 2＋3x ·ln 3＋13 C ．3x 2＋3x ·ln 3 D ．x 3＋3x ·ln 3答案 C解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误． 3．曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32处的切线方程为________．答案 x ＋2y －3－π6＝0解析 因为y ′＝(cos x )′＝－sin x ，所以k ＝－sin π6＝－12，所以在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即x ＋2y －3－π6＝0. 4．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．答案 1解析 ∵f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，∴f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1，从而有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1.5．已知直线y ＝kx 是函数y ＝ln x 的一条切线，试求k 的值． 解 设切点坐标为(x 0，y 0)．∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x ，∴y ′|x ＝x 0＝1x 0＝k .∵点(x 0，y 0)既在直线y ＝kx 上，也在曲线y ＝ln x 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，①y 0＝ln x 0，②把k ＝1x 0代入①式得y 0＝1，再把y 0＝1代入②式求出x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e .A 级：基础巩固练一、选择题1．已知函数f (x )＝2x n －nx 2(n ≠0)，且f ′(2)＝0，则n 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 由已知得f ′(x )＝2nx n －1－2nx .因为f ′(2)＝0，所以2n ·2n －1－2n ·2＝0，即n ·2n －4n ＝0.当n ＝2时，2×22－4×2＝0成立．故选B.2．已知f (x )＝1x ，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝( )A ．－25B ．－125 C.125 D ．25答案 B解析 因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2.故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝－25，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝f (－25)＝－125.3．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0) 答案 C解析 由题意知x >0，且f ′(x )＝2x －2－4x ，即f ′(x )＝2x 2－2x －4x >0，∴x2－x －2>0，解得x <－1或x >2.又∵x >0，∴x >2.4．若直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则实数b 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－12 D ．1 答案 B解析 设切点为(x 0，y 0)，由y ＝－12x ＋ln x ，得y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1x 0＝12，所以x 0＝1，y 0＝－12，代入直线方程得－12＝12＋b ，解得b ＝－1.故选B. 5．已知点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设动点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π D.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 答案 B解析 设P (x 0，y 0)，∵y ′＝3x 2－1，∴动点P 处的切线的斜率k ＝3x 20－1≥－1，∴tan α≥－1.又α∈[0，π)，∴0≤α<π2或3π4≤α＜π.二、填空题6．若曲线y ＝x －12 在点(a ，a －12)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为18，则a ＝________.答案 64解析 ∵y ′＝－12·x －32 ，∴y ′|x ＝a ＝－12·a －32 ，∴在点(a ，a －12 )处的切线方程为y －a －12 ＝－12·a －32 ·(x －a )．令x ＝0，得y＝32a－12，令y ＝0，得x ＝3a ，由题意得a >0，∴12×3a ×32a －12＝18，解得a ＝64.7．已知f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1)，且在x ＝1处的切线方程是y ＝x －2，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝52x 4－92x 2＋1解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝1，f ′(1)＝1，f (1)＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，4a ＋2b ＝1，a ＋b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－92，c ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.8．已知f (x )＝x －2x ＋lg 2，则f ′(x )＝________.答案 12x －12－2x ln 2解析 因为f (x )＝x12 －2x＋lg 2，所以f ′(x )＝12x －12 －2x ln 2.注意(lg 2)′＝0，避免出现(lg 2)′＝12ln 10的错误．三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝e xsin x .解 (1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos x x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x·(sin x )′sin 2x＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x ＝e x (sin x －cos x )sin 2x.10．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图象在点M (－1，f (－1))处的切线的方程为x ＋2y＋5＝0，求函数的解析式．解 由条件知，－1＋2f (－1)＋5＝0，f (－1)＝－2，－a －61＋b＝－2，①又直线x ＋2y ＋5＝0的斜率k ＝－12，f ′(－1)＝－12，f ′(x )＝－ax 2＋12x ＋ab (x 2＋b )2，f ′(－1)＝－a －12＋ab (1＋b )2＝－12，② 由①②解得，a ＝2，b ＝3(b ＋1≠0，b ＝－1舍去)． 所求函数解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3.B 级：能力提升练1．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2018(x )＝________.答案 －sin x解析 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝sin x ，….由此继续求导下去，发现四个一循环，从0到2018共2019个数，2019＝4×504＋3，所以f 2018(x )＝f 2(x )＝－sin x .2．已知函数f (x )＝x 2a －1(a >0)的图象在x ＝1处的切线l ，求l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．解 ∵f ′(x )＝2x a ，∴f ′(1)＝2a .又∵f (1)＝1a －1， ∴切线l 的方程为y －1a ＋1＝2a (x －1)． 分别令x ＝0，y ＝0得y ＝－1a －1，x ＝a ＋12， ∴三角形的面积为S＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1a－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a＋12＝14⎝⎛⎭⎪⎫a＋1a＋2≥14×(2＋2)＝1.当且仅当a＝1a，即a＝1时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为1.。
几个常见函数的导数公式和基本初等函数的导数公式
f ( x ) = sin x, f ' (x ) = cos x
x '
f ( x ) = xα α ∈ Q* , f ' (x ) = αxα −1
f (x ) = c , f
'
(
(x ) = 0
)
x
x
'
x
对数函数
{
1 f ( x ) = log a x, f ( x ) = x ln a
'
1 f (x ) = ln x, f (x ) = x
x（2） y = x −3 3） y = x x ） （ ）
( )
方法总结： 方法总结：把函数转化为可以直接利用导数公式的基本函数模式
y 自主迁移：求导数（ ） 自主迁移：求导数（1） =
6
二、基本初等函数的导数公式
常数函数 幂函数
三角函数
指数函数
{ f (x ) = cos x , f (x ) = − sin x f ( x ) = a , f ( x ) = a ln a { f (x ) = e , f (x ) = e
( ) 幂的乘积） 结论 (x ) = αx (α ∈ Q （幂指数与自变量的α − 1 幂的乘积） )
x =x
' 1 2 1 − 1 1 1 1 −1 = = × x 2 = × x2 2 x 2 2
'
α '
α −1
*
一、几个常见函数的导数
1 y y 5 3 ：（1） 例1、求导数：（ ） = x （2） = 4 （3） = x 、求导数：（ y ） ） x
几个常见函数的导数公式 和基本初等函数的导数公式
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数
高中数学第三章导数及其应用3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时提升作业2 新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章导数及其应用3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时提升作业2 新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式（25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列各式中正确的是( ）A。
（lnx)′=x B。
（cosx)′=sinxC。
(sinx）′=cosx D.（x-8)′=-x—9【解析】选C。
因为（lnx）′=，（cosx)′=—sinx，（x-8)′=-8x-9=—,所以A,B,D均不正确，C正确。
2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是（)A.1 B。
0 C。
2 D.【解析】选D。
因为y′=,所以当x=2时，y′=，故图象在x=2处的切线斜率为.3.（2015·西安高二检测）运动物体的位移s=3t2—2t+1,则此物体在t=10时的瞬时速度为( )A.281B.58 C。
85 D.10【解析】选B。
因为s=3t2-2t+1，所以s′=6t-2.当t=10时,s′=6×10—2=58.即此物体在t=10时的瞬时速度为58。
4。
正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是（)A.∪B。
课时作业4：3.2.1 几个常用函数的导数 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、选择题1.lim Δx →0 (1＋Δx )2－1Δx表示( ) A ．曲线y ＝x 2的斜率B ．曲线y ＝x 2在点(1,1)处的斜率C ．曲线y ＝－x 2的斜率D ．曲线y ＝－x 2在(1，－1)处的斜率2．若y ＝cos 2π3，则y ′＝( ) A ．－32 B ．－12 C ．0 D.123．下列命题中正确的是( )①若f ′(x )＝cos x ，则f (x )＝sin x②若f ′(x )＝0，则f (x )＝1③若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos xA ．①B ．②C ．③D ．①②③4．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( )A ．1B ．0C ．2 D.125．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( ) A.12 B ．－12 C.1e D ．－1e6．已知函数f (x )＝x 12，则⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12′＝( ) A ．0 B.22 C ．1 D ．－227．y ＝1x在点A (1,1)处的切线方程是( ) A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y －2＝08．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln2，则y ′＝12 ②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2x ln2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题9．在曲线y＝4x2上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________．10．y＝10x在(1,10)处切线的斜率为________．三、解答题11．已知曲线C：y＝x3(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其它公共点？12．已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．答案：一、选择题1.[答案] B[解析] 由导数的意义可知，lim Δx →0 (1＋Δx )2－1Δx表示曲线y ＝x 2在点(1,1)处的斜率． 2．[答案] C[解析] 常数函数的导数为0.3．[答案] C[解析] 当f (x )＝sin x ＋1时，f ′(x )＝cos x ，当f (x )＝2时，f ′(x )＝0.4．[答案] D[解析] ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝2＝12，故图象在x ＝2处的切线斜率为12. 5．[答案] C[解析] y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1， 又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e. 6．[答案] A[解析] ∵f ⎝⎛⎭⎫12＝12，∴⎝⎛⎭⎫12′＝0. 7．[答案] A[解析] ∵y ′＝－1x2，∴y ′|x ＝1＝－1. ∴y －1＝－1(x －1)，即x ＋y －2＝0.8．[答案] D[解析] ①y ＝ln2为常数，所以y ′＝0，①错．二、填空题9．[答案] (2,1)[解析] 设P (x 0，y 0)，y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 2′＝(4x －2)′＝－8x －3， ∴tan135°＝－1＝－8x －30.∴x 0＝2，y 0＝1.10． [答案] 10ln10[解析] y ′＝10x ln10，∴y ′|x ＝1＝10ln10.三、解答题11．[解析] (1)∵y ′＝3x 2∴切线斜率k ＝3∴切线方程y －1＝3(x －1)即3x －y －2＝0(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0y ＝x 3 ∴(x －1)(x 2＋x －2)＝0∴x 1＝1 x 2＝－2∴公共点为(1,1)及(－2，－8)12．[解析] ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0) 则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12.所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14.∴所求切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.。
高中数学 第三章3.2.13.2.2几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 1 求下列函数的导数：
(1)y＝x8；(2)y＝(12)x；(3)y＝x x；(4)y＝log1 x.
3
解 (1)y′＝8x7；
(2)y′＝(12)xln 12＝－(12)xln 2；
(3)∵y＝x
x＝
x
3 2
，∴y′＝32
x
1 2
；
(4)y′＝ 1 1＝－xln1 3. xln 3
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝ 0
f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex
f′(x)＝ αxα－1 f′(x)＝ cos x f′(x)＝ －sin x f′(x)＝ axln a (a>0) f′(x)＝ ex
f(x)＝logax
1 f′(x)＝ xln a(a>0 且 a≠1)
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 5 画出函数 y＝1x的图象.根据图象，描述它的变化情 况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程. 结答合案函数函图数象y＝及1x其的导图数象y如′图＝所－示x12，发现，当 x<0 时，随着 x 的增加，函数 y＝1x减少得越 来越快；当 x>0 时，随着 x 的增加，函数减少得越来越慢.
3．2.1 几个常用函数的导数 3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的
运算法则(一)
【学习要求】 1.能根据定义求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
【学法指导】 1.利用导数的定义推导简单函数的导数公式，类推一般多项
式函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想.通过定义求 导数的过程，培养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣. 2.本节公式是下面几节课的基础，记准公式是学好本章内容 的关键.记公式时，要注意观察公式之间的联系，如公式 6 是公式 5 的特例，公式 8 是公式 7 的特例.公式 5 与公式 7 中 ln a 的位置的不同等.
课时作业5：3.2.1 几个常用函数的导数 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、选择题1.f(x,则f′(-1)=( )（A）52（B）52-（C）53（D）53-2.已知函数f(x)=x3的切线的斜率等于3，则切线有( )（A）1条（B）2条（C）3条（D）不确定3.直线y=12x+b是曲线y=lnx(x＞0)的一条切线，则实数b的值为( )（A）2（B）ln2+1（C）ln2-1（D）ln2 4.曲线y=e x在点A（0,1）处的切线斜率为( )（A）1（B）2（C）e（D）1 e二、填空题5.抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为__________.6.曲线yQ（16，8）处的切线斜率是__________.三、解答题7.求证双曲线y=1x上任意一点P处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值.8.已知直线y=kx与曲线y=lnx相切，求实数k的值.9.设抛物线y=x2与直线y=x+a（a是常数）有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别为l1，l2，求a值变化时l1与l2交点的轨迹.答案解析1.【解析】选D.∵f (x )=53x -,∴f ′(x )=835x 3--, ∴f ′(-1)=-()83513-- =-53. 2.【解析】选B.∵f ′(x )=3x 2=3，解得x =±1.切点有两个，即可得切线有两条.3.【解析】选C.∵y =lnx 的导数y ′=1x ， ∴令1x =12得x =2，∴切点为(2,ln 2). 代入直线y =12x +b 得b =ln 2-1. 4.【解析】选A.由条件得：y ′=e x ,根据导数的几何意义可得，k =y ′|x =0=e 0=1.5.【解析】∵y =x 2,∴y ′=2x ,而抛物线y =x 2与直线x -y -2=0平行的切线只有一条,即2x =1,这个切点坐标为(11,24),该点到直线的距离为d11|2|--==.答案：86.【解析】∵y =34x ,∵y ′=3114433x x .44--= ∴k =y ′|x =16=()11444333162.448--⨯=⨯= 答案：387.【证明】设双曲线上任意一点P (x 0,y 0), ∵y ′=21x-， ∴点P 处的切线方程y -y 0=-201x (x -x 0). 令x =0,得y =y 0+0012x x =； 令y =0，得x =x 0+x 02y 0=2x 0.∴S △=12|x |·|y |=2. ∴三角形面积为定值2.8.【解析】设切点坐标为（x 0，lnx 0），则切线方程为y -lnx 0=01x （x -x 0）， ∵切线过原点，∴把原点代入得-lnx 0=-1，∴x 0=e ，∴切线的斜率k =011x e=. 9【解析】将y =x +a 代入y =x 2整理得x 2-x -a =0① 为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须Δ=（-1）2+4a >0，所以a >-14. 设两交点为(α,α2)，(β,β2)，α<β，由y =x 2知y ′=2x ，则切线l 1,l 2的方程为y =2αx -α2，y =2βx -β2,设两切线交点为(x ,y )， 则x 2y α+β⎧=⎪⎨⎪=αβ⎩②因为α，β是①的解，由根与系数的关系可知α+β=1，αβ=-a .由此及②可得x =12，y =-a <14. 从而，所求的轨迹为直线x =12上的y <14的部分.。
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式常用函数的导数公式及基本初等函数的导数公式是微积分中非常重要的知识点。
在计算导数时，这些公式能帮助我们更加方便地得到结果。
下面是常用函数的导数公式及基本初等函数的导数公式：1.常数函数：若f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0。
2.幂函数：若 f(x) = x^n，其中 n 为常数，则 f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数：若 f(x) = a^x，其中 a 为常数且 a > 0，a ≠ 1，则 f'(x) =ln(a) * a^x。
4.对数函数：(1) 若 f(x) = ln(x)，则 f'(x) = 1/x。
(2) 对数函数的基本性质：若 f(x) = ln(g(x))，则 f'(x) =g'(x)/g(x)。
5.三角函数：(1) 若 f(x) = sin(x)，则 f'(x) = cos(x)。
(2) 若 f(x) = cos(x)，则 f'(x) = -sin(x)。
(3) 若 f(x) = tan(x)，则 f'(x) = sec^2(x)。
(4) 若 f(x) = cot(x)，则 f'(x) = -cosec^2(x)。
(5) 若 f(x) = sec(x)，则 f'(x) = sec(x) * tan(x)。
(6) 若 f(x) = cosec(x)，则 f'(x) = -cosec(x) * cot(x)。
6.反三角函数：包括反正弦函数（arcsin(x)或sin^(-1)(x)）、反余弦函数（arccos(x)或cos^(-1)(x)）和反正切函数（arctan(x)或tan^(-1)(x)）等。
根据反函数的导数公式，可以得到它们的导数公式：(1) 若 f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1/√(1-x^2)。
高中数学(人教版A版选修1-1)配套单元检测：3.2.1-3.2.2(含答案)
§3.2导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) 课时目标 1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．1．函数y ＝f (x )＝c 的导数为____________，它表示函数y ＝c 图象上每一点处，切线的斜率为0.若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的____________始终为0，即一直处于________状态．函数y ＝f (x )＝x 的导数为__________，它表示函数y ＝x 图象上每一点处切线的斜率为1.若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做____________为1的______________运动．2．常见基本初等函数的导数公式：(1)若f (x )＝c (c 为常数)，则f ′(x )＝______；(2)若f (x )＝x α (α∈Q *)，则f ′(x )＝________；(3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝________；(4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝________；(5)若f (x )＝a x ，则f ′(x )＝________ (a >0)；(6)若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝________；(7)若f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝________ (a >0，且a ≠1)；(8)若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝________.一、选择题1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－12x C ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝32．下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1e B ．－1eC ．－eD ．e 4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C ．⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤π2，3π4 5．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8)D ．⎝⎛⎭⎫－12，－18 6．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( )A ．12523B ．110523C ．25523D ．110523 题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为__________________________． 8．已知f (x )＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a ＝________________________________________________________________________.9．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________. 三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝10x .11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．能力提升12．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．13．求过曲线y ＝e x 上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．1．准确记忆八个公式是求函数导数的前提．2．求函数的导数，要恰当选择公式，保证求导过程中变形的等价性．3．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．§3.2 导数的计算3．2.1 几个常用函数的导数3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)知识梳理1．y ′＝0 瞬时速度 静止 y ′＝1 瞬时速度 匀速直线2．(1)0 (2)αx α－1 (3)cos x (4)－sin x(5)a x ln a (6)e x (7)1x ln a (8)1x作业设计1．B [y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －32＝－12x x.] 2．B [直接利用导数公式．因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误； ⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则y ′|x ＝3＝－227， 所以③正确．]3．D [设切点为(x 0，y 0)．由y ′＝e x ，得y ′|x ＝x 0＝e x 0，∴过切点的切线为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，即y ＝e x 0x ＋(1－x 0)e x 0，又y ＝kx 是切线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝e x 0，(1－x 0)e x 0＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，k ＝e.] 4．A [∵y ′＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]．∴直线l 的斜率的范围是[－1,1]，∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π.] 5．B [y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．]6．B [s ′＝15t －45. 当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523.] 7．x ＋2y －3－π6＝0 解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ， ∴y ′|x ＝π6＝－sin π6＝－12， ∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6， 即x ＋2y －3－π6＝0. 8．4解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，∴f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，∴a ＝4.9．2x解析 ∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2，∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x .10．解 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25＝355x 2. (4)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.11．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．－2解析 y ′＝(n ＋1)x n ，曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝n n ＋1. a n ＝lg x n ＝lg n n ＋1＝lg n －lg(n ＋1)， 则a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg 3＋…＋lg 99－lg 100＝－lg 100＝－2.13．解 ∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x ＝1＝e ，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率k ＝－1e， ∴所求直线方程为y －e ＝－1e(x －1)， 即x ＋e y －e 2－1＝0.。
课时作业1：3.2.1 几个常用函数的导数 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)一、基础过关1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227； ③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．2．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2C.⎝⎛⎭⎫－12，－2 D.⎝⎛⎭⎫12，－2答案 B解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B. 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4.4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定答案 B解析 ∵y ′＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝⎛⎭⎫33，39和点⎝⎛⎭⎫－33，－39处有斜率为1的切线． 5．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于( )A ．64B ．32C ．16D ．8答案 A解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32， ∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －32， ∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )． 令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 6．若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________.答案 10ln 10解析 y ′＝10x ln 10，∴y ′|x ＝1＝10ln 10.7．求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3； (4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4. 解 (1)y ′＝(x x )′＝⎝⎛⎭⎫x 32′＝32x 32－1＝32x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝⎝⎛⎭⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x2.(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.(5)∵y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1e B ．－1e C ．－e D ．e答案 D解析 y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝kx 0 ①y 0＝e x 0 ②k ＝e x 0 ③∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是() A ．－1 B ．±1 C ．1 D ．±3答案 B解析 由y ＝x 3知y ′＝3x 2，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2.又切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，∴3a 2·(－13)＝－1，∴即a 2＝1，a ＝±1，故选B.10．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.答案 ln 2－1解析 设切点为(x 0，y 0)，∵y ′＝1x ，∴12＝1x 0，∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b ，∴b ＝ln 2－1.11．求与曲线y ＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直于点P 的直线方程．解 ∵y ＝3x 2，∴y ′＝(3x 2)′＝⎝⎛⎭⎫x 23′＝23x －13， ∴y ′|x ＝8＝23×8－13＝13. 即在点P (8,4)处的切线的斜率为13. ∴适合题意的切线的斜率为－3.从而适合题意的直线方程为y －4＝－3(x －8)，即3x ＋y －28＝0.12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1， 所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 三、探究与拓展13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )． 解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x .。
【成才之路15学年高中数学 3.2 第1课时 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式课件 新人教A版选修1-1
[解析] ∵f
1 1 ′(x)＝ x ′＝－x2，
1 1 ∴f ′(－2)＝－x2|x＝－2＝－4.
1 2 4．抛物线 y＝4x 在点(2,1)处的切线方程是( A．x－y－1＝0 C．x－y＋1＝0
[答案] A
)
B．x＋y－3＝0 D．x＋y－1＝0
1 1 [解析] y′＝2x，y′|x＝2＝2×2＝1， 1 2 ∴抛物线 y＝4x 在点(2,1)处的切线斜率为 1，方程为 x－y －1＝0.
2
②y ＝x
③y＝
1 ④y＝x 的导数并对照教材检查， 然后自己求函数 y＝ x的导
数．
Δy fx＋Δx－fx [解析] ∵Δx＝ Δx x＋Δx－ x 1 ＝ ＝ ， Δx x＋Δx＋ x Δy ∴y′＝ lim ＝ lim → Δ x Δx 0 Δx→0 1 1 ＝ . x＋Δx＋ x 2 x
－4 －5
1 (4)y′＝(lgx)′＝xln10.
[ 方法规律总结 ] 程，降低运算难度．
1. 用导数的定义求导是求导数的基本方
法，但运算较繁．利用常用函数的导数公式，可以简化求导过 2 ．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地
选择求导公式，将题中函数的结构进行调整．如将根式、分式
转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．
利用导数公式求切线方程
求过曲线 y＝cosx 上点 线垂直的直线方程．
π 1 P3，2且与在这点的切
[解析] ∵y＝cosx，∴y′＝－sinx， 曲线在点
π 1 P3，2处的切线斜率是
π π 3 y′|x＝3＝－sin3＝－ 2 .
2 ∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为 ， 3 1 2 π ∴所求的直线方程为 y－2＝ x－3， 3 2π 3 即 2x－ 3y－ 3 ＋ 2 ＝0.
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
§1.2 导数的计算第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式学习目标 1.利用导数的定义推导常用的五个函数的导数公式，并归纳得出一般幂函数的导数公式.2.掌握基本初等函数的导数公式．知识点一 几个常用函数的导数原函数 导函数 f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x思考 “若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0”，从几何意义怎样说明？ 答案 函数f (x )＝c 的图象上每一点处切线的斜率都是0. 知识点二 基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln a (a >0)f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a(a >0且a ≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝1x思考 求f ′(x 0)有哪些方法？ 答案 方法一 f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .方法二 先求导函数f ′(x )，然后代入求f ′(x 0)．1．若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.( × )2．f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3x 4.( √ )3．若f (x )＝5x ，则f ′(x )＝5x log 5e.( × ) 4．若f (x )＝3x ，则f ′(x )＝x ·3x －1.( × )一、利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12x； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝x 2x ；(4)y ＝2cos 2x2－1.解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (2)y ′＝1x ln 10.(3)∵y ＝x 2x＝32x ，∴y ′＝(32x )′＝3212x ＝32x .(4)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .反思感悟 利用公式求函数的导数：(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后再求导．跟踪训练1 (多选)下列运算不正确的是( ) A ．(x 5)′＝x 5ln 5 B ．(lg x )′＝1xC ．(π5)′＝5π4D ．(log 2x )′＝1x ln 2答案 ABC解析 对于A ，因为(x 5)′＝5x 4，所以A 错误；对于B ，因为(lg x )′＝1x ln 10，所以B 错误；对于C ，因为(π5)′＝0，所以C 错误；对于D ，因为(log 2x )′＝1x ln 2，所以D 正确．二、导数公式的应用例2 已知曲线y ＝ln x ，点P (e,1)是曲线上一点，求曲线在点P 处的切线方程． 解 ∵y ′＝1x ，∴k ＝y ′|x ＝e ＝1e，∴切线方程为y －1＝1e (x －e)，即x －e y ＝0. 延伸探究求曲线y ＝ln x 过点O (0,0)的切线方程． 解 ∵O (0,0)不在曲线y ＝ln x 上． ∴设切点Q (x 0，y 0)， 则切线的斜率k ＝1x 0.又切线的斜率k ＝y 0－0x 0－0＝ln x 0x 0，∴ln x 0x 0＝1x 0，即x 0＝e ， ∴Q (e,1)， ∴k ＝1e，∴切线方程为y －1＝1e(x －e)，即x －e y ＝0.反思感悟 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．跟踪训练2 (1)函数y ＝－1x 在⎝⎛⎭⎫12，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4 C ．y ＝4x ＋4 D ．y ＝2x －4答案 B解析 ∵y ′＝⎝⎛⎭⎫－1x ′＝x －2， ∴k ＝y ′|12x =＝⎝⎛⎭⎫12－2＝4，∴切线方程为y ＋2＝4⎝⎛⎭⎫x －12， 即y ＝4x －4.(2)点P 是曲线y ＝－x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x ＋2的最小距离为( ) A ．1 B.728 C.528 D. 3答案 B解析 依题意知，点P 就是曲线y ＝－x 2上与直线y ＝x ＋2平行的切线的切点． 设点P 的坐标为(x 0，－x 20)， 因为y ′＝－2x ，所以曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝－2x 0. 因为该切线与直线y ＝x ＋2平行， 所以有－2x 0＝1，得x 0＝－12.故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－14，这时点P 到直线y ＝x ＋2的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－12＋14＋22＝728.(3)以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点得切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 A解析 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x . ∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]． ∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.1．(多选)下列结论正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝3 答案 ACD解析 若y ＝1x＝12x -，则y ′＝－12112x --＝－1232x -＝－12x 3 .2．已知f (x )＝x ，则f ′(8)等于( ) A ．0 B ．2 2 C.28D ．－1 答案 C解析 f (x )＝x ，得f ′(x )＝1212x -，∴f ′(8)＝12×(8)12-＝28.3．已知函数f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4， ∴a ＝4.4．y ＝3x 4的导数为 ． 答案 y ′＝4313x解析 ∵y ＝3x 4＝43x ，∴y ′＝(43x )′＝4313x .5．已知y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的一条切线，则k ＝ . 答案 1e解析 设切点坐标为(x 0，y 0)， 由题意得y ′|0x x ＝＝1x 0＝k ，①又y 0＝kx 0，② 而且y 0＝ln x 0，③由①②③可得x 0＝e ，y 0＝1，则k ＝1e.1．知识清单：(1)几个常用函数的导数． (2)基本初等函数的导数公式． 2．方法归纳：公式法，待定系数法． 3．常见误区：公式记混用错．1．(多选)下列各式不正确的是( ) A ．(2x )′＝2x log 2e B.⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2 C ．(cos x )′＝sin x D ．(x －5)′＝－5x －4答案 ACD解析 根据题意，依次分析选项：对于A ，(2x )′＝2x ln 2，A 错误；对于B ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，B 正确； 对于C ，(cos x )′＝－sin x ，C 错误；对于D ，(x －5)′＝－5x －6，D 错误． 2．若函数f (x )＝cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＋f ⎝⎛⎭⎫π4的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 A解析 f ′(x )＝－sin x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π4＋f ⎝⎛⎭⎫π4＝－sin π4＋cos π4＝0. 3．已知函数f (x )＝ax 2，且f ′(1)＝4，则a 的值为( ) A ．2 019 B ．2 015 C ．2 D. 2答案 C解析 f ′(x )＝2ax ，若f ′(1)＝4，即2a ＝4，解得a ＝2.4．(多选)已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－1，－1) B ．(1,1) C ．(2,8) D.⎝⎛⎭⎫－12，－18 答案 AB解析 y ′＝3x 2，因为k ＝3，所以3x 2＝3，所以x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)． 5．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( ) A.12523 B.110523 C.25523 D.110523 答案 B解析 ∵s ′＝1545t -.∴当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523. 6．下列各式中正确的是 ．①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；③(5x 2)′＝2535x ；④(cos x )′＝－sin x ；⑤(cos 2)′＝－sin 2. 答案 ①③④解析 根据导数公式①③④正确． ∵(x －1)′＝－x －2，(cos 2)′＝0. ∴②⑤错误．7．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是 ．答案 x ＋y －6＝0 解析 y ′＝－9x －2， 所以k ＝y ′|x ＝3＝－1，所以在点M (3,3)处的切线方程为y －3＝－(x －3)， 即x ＋y －6＝0.8．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 ． 答案 (1,1)解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率为k 2＝－1m 2 (m >0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1， 所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．9．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．解 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ， 所以0e x＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22. 10．若曲线y ＝12x -在x ＝a 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求实数a 的值．解 ∵y ＝12x-，y ′＝－1232x -，∴曲线在点(a ，12a-)处的切线的斜率k ＝－1232a -，∴切线方程为y －12a-＝－1232a -(x －a )．令x ＝0，得y ＝3212a -；令y ＝0，得x ＝3a .故该切线与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×3a ·3212a -＝9412a ＝18，∴a ＝64.11．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2 答案 C解析 ∵y ＝ln x 的导数为y ′＝1x，∴令1x ＝12，得x ＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)．代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.12．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 020(x )＝ . 答案 sin x解析由已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…依次类推可得，f2 020(x)＝f4(x)＝sin x.13．已知在曲线y＝1x2上存在一点P，曲线在点P处的切线的倾斜角为135°，则点P的横坐标为．答案32解析设P(x0，y0)．∵y′＝(x－2)′＝－2x－3，tan 135°＝－1，∴－2x－30＝－1，∴x0＝32.14．函数f(x)的导数为f′(x)，若对于定义域内任意x1，x2(x1≠x2)有f(x1)－f(x2)x1－x2＝f′⎝⎛⎭⎫x1＋x22恒成立，则称f(x)为恒均变函数，给出下列函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝e x；④f(x)＝cos x.其中为恒均变函数的是．(填序号)答案①②解析对于①，f(x1)－f(x2)x1－x2＝1，f′(x)＝1，∴f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝1，故①满足；对于②，f(x1)－f(x2)x1－x2＝x21－x22x1－x2＝x1＋x2，f′(x)＝2x，∴f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝2×x1＋x22＝x1＋x2，故②满足；对于③，令x1＝0，x2＝1，∴f(x1)－f(x2)x1－x2＝1－e0－1＝e－1，f′(x)＝e x，∴f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝f′⎝⎛⎭⎫12＝12e，故③不满足；对于④，令x1＝0，x2＝π2，∴f(x1)－f(x2)x1－x2＝1－00－π2＝－2π，f′(x)＝－sin x，f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝f′⎝⎛⎭⎫π4＝－sin π4＝－22，故④不满足．15．函数y＝x2(x>0)的图象在点(a k，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是 ．答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，令y＝0，得x ＝a k 2， 又该切线与x 轴的交点坐标为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项为a 1＝16，公比为q ＝12的等比数列， ∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.16．已知抛物线y ＝x 2，求过点⎝⎛⎭⎫－12，－2且与抛物线相切的直线方程． 解 设直线的斜率为k ，直线与抛物线相切的切点坐标为(x 0，y 0)，则直线方程为y ＋2＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12， 因为y ′＝2x ，所以k ＝2x 0，又点(x 0，x 20)在切线上． 所以x 20＋2＝2x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋12， 所以x 0＝1或x 0＝－2，当x 0＝1时，则y 0＝x 20＝1，k ＝2x 0＝2，直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0；当x 0＝－2时，则y 0＝x 20＝4，k ＝2x 0＝－4，直线方程为y －4＝－4(x ＋2)，即4x ＋y ＋4＝0.综上所述，直线方程为2x －y －1＝0或4x ＋y ＋4＝0.。
高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算课件新人教A版选修1_1
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
x2
-
1
1
x2
.
22
(2)y′=(
ln
x
)′=
(ln
x)x
x ln
x
=
1 x
x
ln
x
x
x2
x2
= 1 ln x . x2
(3)y=tan x; (4)y=3xex-2x+e.
解:(3)y′=( sin x )′= (sin x)cos x sin x(cos x)
cos x
cos2 x
课堂探究 素养提升
题型一 利用导数公式求函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数:
(1)y=x8;(2)y=
5
x2
;(3)y=4x;(4)y= log1
2
x;(5)y=sin(x+
π 2
);(6)y=sin
π 3
.
解:(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7.
(2)y′=(
5
x2
)′=(
2
x 5 )′=
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
几种常见函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
几种常见函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、常见函数的导数公式：1.常数函数的导数公式：若f(x)=C（C为常数），则f'(x)=0。
2. 幂函数的导数公式：若f(x) = x^n（n为常数），则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数公式：若f(x) = a^x（a为正常数且a≠1），则f'(x) = ln(a)・a^x。
4. 对数函数的导数公式：若f(x) = log_a(x)（a为正常数且a≠1），则f'(x) = 1 / (x • ln(a))。
5.三角函数的导数公式：a) 正弦函数的导数公式：f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
b) 余弦函数的导数公式：f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
c) 正切函数的导数公式：f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
d) 余切函数的导数公式：f(x) = cot(x)，则f'(x) = -csc^2(x)。
二、基本初等函数的导数公式：1.(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)（求和法则）2.(a・f)'(x)=a・f'(x)（常数倍法则）3.(f・g)'(x)=f'(x)・g(x)+f(x)・g'(x)（乘积法则）4.(f/g)'(x)=(f'(x)・g(x)-f(x)・g'(x))/(g(x))^2（商法则）5.(fⁿ)'(x)=n・f'(x)・f^(n-1)(x)（幂法则）其中，f'表示f的导数，fⁿ表示f的n次幂，f^(n-1)表示f的n-1次导数。
三、导数的运算法则：1.和差法则：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)；(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
人教新课标版数学高二课件 3.2 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
x＝
1x＝x
1 2
，
∴y′＝
1
x
3 2
.
2
解答
(2)y＝2cos22x－1. 解 ∵y＝2cos22x－1＝cos x， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
解答
类型二 导数公式的应用 命题角度1 求切线方程 例2 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，请说明理由.
解答
反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用 (1)切点处的导数是切线的斜率. (2)切点在切线上. (3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.
跟踪训练2 已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一 个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 解 设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直， 则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为 k1＝ y' |xx0 ＝cos x0，k2＝ y' |xx0 ＝－sin x0. 要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1， 即sin 2x0＝2，这是不可能的. 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.
f′(x)＝_α_x_α－__1
f(x)＝sin x
f′(x)＝_c_o_s _x_
f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex
f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝－__s_i_n_x_
f′(x)＝ axln a(a>0)
f′(x)＝_ex_ 1 f′(x)＝_x_ln__a_(a>0，且a≠1)
解答
3.2 导数的计算 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
3.y=f(x)=x2的导数
解：根据导数定义， y f ( x x ) f ( x ) ( x x ) 2 x 2 2 x x x 2 ,
y 2 x x x 2 2 x x , x x
y 所以f ( x ) lim lim ( 2 x x ) x 0 x x 0 2 x.
2.导函数 当x=x0时, f（x0) 是一个确定的数.那么,当x变化 时,f(x)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:
y f ( x x ) f ( x ) f ( x) y lim lim . x 0 x x 0 x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数． f ( x) 3x 2 关系
（6）若f(x)=ex,则f′(x)=____. ex
1 x ln a (a>0,且a≠1). （7）若f(x)=logax,则f′(x)=_____
1 （8）若f(x)=lnx,则f′(x)=____. x
例 假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%. 物价（单位 p :元）与时间（单位：年）有如下关系 t : p( t ) p0 (1 5%)t .其中p0为t 0时的物价.假定某种 商品的p0 1，那么在第10个年头，这种商品的价格 上涨的速度大约是多少？（精确到0.01）
解：由导数公式：p '(t ) 1.05t p0 ln1.05,
所以p '(10) 5 0.08 0.4(元/年).
1.下列各式正确的是（ C ）
A. (sin ) ' cos (为常数） B. （cos x) ' sin x C. (sin x) ' cos x 1 6 D. (x ) ' x 5
2019秋人教版高中数学选修1-13.2.1
【跟踪训练】
1.已知f(x)=xa,若f′(-1)=-4,则a的值等于 ( )
A.4
B.-4
C.5
D.-5
【解析】选A.f′(x)=axa-1,f′(-1)=a(-1)a-1=-4,a=4.
2.已知f(x)=cos x,g(x)=x,求适合f′(x)+g′(x)≤0 的x的值.
【解析】因为f(x)=cos x,g(x)=x, 所以f′(x)=(cos x)′=-sin x,g′(x)=x′=1, 由f′(x)+g′(x)≤0,得-sin x+1≤0, 即sin x≥1,但sin x∈[-1,1], 所以sin x=1, 所以x=2kπ + 2 ,k∈Z.
所以S△= 1 ×1×|-e2|= 1 e2.
2
2
答案: 1 e2
2
类型一 常用函数的导数
【典例1】(1)下列结论中正确的个数为 ( )
①y=ln
2,则y′=
1 2
;②y=
1 x2
，
则y′|x=3=
2; 27
③y=
2x,则y′=2xln
2;④y=log2x,则y′=
1. xln 2
A.0
B.1
，所以y′|x=3=
2 ，②对;若y=2x,则y′=
27
2xln 2,③对,④也对.
(2)选B.因为y′= － 1 ，所以当x= 1 时,y′=-4.
x2
2
【方法总结】求简单函数导数的策略
(1)看形式:首先观察函数的形式,看是否符合基本初等
函数的形式,如对于形如
y＝
1 xp
，y＝n
x
的函数一般先转