1全等三角形判定一(SSS,SAS)(基础)知识讲解

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全等三角形专题讲解

CE O D B A 21C E D BA 全等三角形专题讲解专题一、全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种：1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”）2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS ”）3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”）4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS ”）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知：如图1，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．分析：由CE ⊥AB ，BD ⊥AC ，得∠AEO=∠ADO=90º．由AO 平分∠BAC ，得∠EAO=∠DAO ．又AO 为公共边，所以△AEO ≌△ADO ．所以EO=DO ，AE=AD ．又∠BEO=∠CDO=90º， ∠BOE=∠COD ，所以△BOE ≌△COD ．由 AE=AD ，∠AEO=∠ADO=90º，∠BAC 为公共角，所以△EAC ≌DAO ．所以AB=AC ．又∠EAO=∠DAO ， AO 为公共边，所以△ABO ≌△ACO ．所以图中全等的三角形一共有4对．（2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．例2 如图2，已知AB=AD ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个）_____．分析：要使△ABC ≌△ADE ，注意到∠1=∠2，所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ，即∠BAC=∠EAC ．要使△ABC ≌△ADE ，根据SAS 可知只需AC=AE即可；根据ASA 可知只需∠B=∠D ；根据AAS 可知只需∠C=∠E ．故可添加的条件是AC=AE 或∠B=∠D 或∠C=∠E ．2143C O B A GA B F D EC（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知：如图3，AB=AC ，∠1=∠2．求证：AO 平分∠BAC ．分析：要证AO 平分∠BAC ，即证∠BAO=∠BCO ，要证∠BAO=∠BCO ，只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．证明：连结BC ．因为AB=AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ．因为∠1=∠2，所以∠ABC -∠1＝∠ACB -∠2．因为AB=AC ，BO=CO ，AO=AO ，所以△ABO ≌△ACO ．所以∠BAO=∠CAO ，即AO 平分∠BAC ．（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ．证明：过B 作BG ⊥BC 交CF 延长线于G ，所以BG ∥AC ．所以∠G=∠ACE ．因为AC ⊥BC ，CE ⊥AD ，所以∠ACE=∠ADC ．所以∠G=∠ADC ．因为AC=BC ，∠ACD ＝∠CBG=90º，所以图4△ACD ≌△CBG ．所以BG=CD=BD ．因为∠CBF=∠GBF=45º，BF=BF ，所以△GBF ≌△DBF ．所以∠G=∠BDF ．所以∠ADC ＝∠BDF ．所以∠ADC ＝∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案﹒(1)画出测量图案﹒O D A C B 43O E DC B A 21F ED A 21(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒(3)计算A 、B 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1)题，测量图案如图5所示．第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB ，这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第(3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．解：(1)如图6示．(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD ＝OB ，这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．(3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ．又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ．∴CD=AB=a ．评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力，培养了学生用数学的意识﹒专题二角的平分线从一个角的顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．（1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等例6 如图20，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ，BD ⊥OA 于D ，交点为C ．求证：AC=BC ．证法：∵AE ⊥OB ，BD ⊥OA ，∴∠ADC=∠BEC= 90． ∵∠1＝∠2，∴CD=CE ．在△ACD 和△BCE 中， ∠ADC=∠BEC ，CD=CE ，∠3＝∠4．∴△ACD ≌△BCE(ASA)，∴AC=BC ．说明：本题若用全等方法证明点C 到OA 、OB 距离相等，浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法，不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理，应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法．例7 已知：如图21，△ABC 中，BD=CD ，∠1＝∠2．求证：AD 平分∠BAC ．证明：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．图21A FH D C G B EA D CB EA F DC B E 在△BED 与△CFD 中，∠1＝∠2，∠BED ＝∠CFD ＝ 90，BD=CD ，∴△BED ≌△CFD(AAS)．∴DE ＝DF ，∴AD 平分∠BAC ．说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．（2）利用角的平分线构造全等三角形①过角平分线上一点作两边的垂线段例8 如图22，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ．求证：AE=ED ．分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E 是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E 分别作AB 、BC 、CD 的垂线段．证明：过点E 作EF ⊥AB ，交BA 的延长线于点F ，作EG ⊥BC ，垂足为G ，作EH ⊥CD ，垂足为H ．∵BE 平分∠ABC ，EF ⊥AB ，EG ⊥BC ，∴EF=EG ．同理EG =EH ．∴EF=EH ．∵AB ∥CD ，∴∠FAE=∠D ．∵EF ⊥AB ，EH ⊥CD ，∴∠AFE=∠DHE=90º．在△AFE 和△DHE 中，∠AFE=∠DHE ，EF=EH ，∠FAE=∠D ．∴△AFE ≌△DHE ．∴AE=ED ．②以角的平分线为对称轴构造对称图形例9 如图23，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB 上截取AE=AC ，连接DE ，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB 分成AE 和BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了．证明：在AB 上截取AE=AC ，连接DE ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD=∠CAD ．在△EAD 和△CAD 中，∠EAD=∠CAD ，AD=AD ，AE=AC ，∴△EAD ≌△CAD ．∴∠AED=∠C ，CD=DE ．∵∠C=2∠B ，∴∠AED=2∠B ．∵∠AED=∠B+∠EBD ，∴∠B=∠EDB ． ∴BE=ED ．∴BE=CD ．∵AB=AE+BE ，∴AB=AC+CD ．③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例10 如图24，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．分析：注意到AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD ，于是可延长CE 交AB 于点F ，即可构造全等三角形．证明：延长CE 交AB 于点F ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠FAE=∠CAE ．∵CE ⊥AD ，∴∠FEA=∠CEA=90º．C EB A D 在△FEA 和△CEA 中，∠FAE=∠CAE ，AE=AE ，∠FEA=∠CEA ． ∴△FEA ≌△CEA ．∴∠ACE=∠AFE ．∵∠AFE=∠B+∠ECD ，∴∠ACE=∠B+∠ECD ．（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图25，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 交AC 于点E ．易证△AED 是等腰三角形．因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形．。

全等三角形的性质和判定(SSS、SAS)02

全等三角形的性质和判定（SSS、SAS）学生/课程初二-数学年级初二学科数学授课教师日期时段核心内容全等三角形的性质和判定（SSS、SAS）课型一对一/一对N教学目标1.掌握全等三角形的性质，能识别全等三角形中的对应边、对应角；2.掌握并判定全等三角形，能利用三角形的全等证明一些性质。

重、难点重点：掌握并应用全等三角形的性质；掌握并判定全等三角形；难点：能利用三角形的全等证明一些性质．课首沟通由老师自行填写知识导图课首小测1.如图，△OAD≌△OBC且∠O＝70°，∠D＝∠C＝25°，下列结论①OD＝OC，②BC＝OD，③BD＝AC正确的是．2.如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是．3.如图：点C，D在AB上，且AC=BD，AE=FB，DE=FC．求证：△ADE≌△BCF．4.如图，E、C、D三点在一条直线上，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB．求证：△EAD≌△CAB．导学一：全等三角形的概念和性质知识点讲解 1：全等三角形的概念1.观察下列每组中的两个图形，你发现它们的形状，大小，你能举出一些类似的生活实例吗？由此，你得到上述图形的共同特征是：、完全相同；放在一起能够．能够的两个图形叫做全等形．2.类似地，可以得出，能够的两个叫做全等三角形．3.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做，重合的边叫做，重合的角叫做．4.△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF．这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．【参考答案】1.相同，相等；2.完全重合，三角形；3.对应点，对应边，对应角。

例 1. （1）如图1，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF，△ABC△DEF，点A与点D，点与点，点与点是对应顶点；AB和DE，和，和是对应边；∠A和∠D，和，和是对应角．（2）如图2，把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC，可得△ABC△DBC．AC的对应边是，BC的对应边是，∠A的对应角是，∠ACB的对应角是．（3）如图3，把△ABC绕点A旋转，得到△ADE，可得△ABC≌△．点A的对应点是点，DE是的对应边，AE是的对应边，∠BAC和∠是对应角，∠E是∠的对应角．例 2. [单选题] 下列语句：①面积相等的两个三角形全等；②两个等边三角形一定是全等图形；③如果两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同；④边数相同的图形一定能互相重合．其中错误的说法有（）A．4个B．3个C．2个D．1个我爱展示1. 如图，△EFG≌△NMH，在△EFG中，FG是最长的边，在△NMH中，MH是最长的边，∠F和∠M是对应角，且EF=2.4cm，FH=1.9cm，HM=3.5cm．写出对应相等的边及对应相等的角；知识点讲解 2：全等三角形的性质1.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．例 1. 如图，若△ABC≌△CDE，∠B和∠D是对应角，BC和DE是对应边．（1）按要求填空：①点A和点是对应点，点和点E是对应点；②AB的对应边是，AC的对应边是；③∠A的对应角是，∠ACB的对应角是．（2）求证：∠B＝∠ACD．例 2. 如图，已知△ABC≌△DEF，AF=5cm．（1）求CD的长．（2）AB与DE平行吗？为什么？解：（1）∵△ABC≌△DEF（已知），∴AC=DF（），∴AC﹣FC=DF﹣FC（等式性质）即 =∵AF=5cm∴ =5cm（2）∵△ABC≌△DEF（已知）∴∠A=（）∴AB∥（）例 3. 如图，点D，E在BC上，且△ABE≌△ACD．求证：（1）BD＝CE；（2）∠BAD＝∠CAE．我爱展示1.如图所示，已知△ABC≌△EDC，点D、C、A在同一直线上，∠E=∠A=30°，∠D=50°，则∠BCE=．2.如图，△ABC≌△DEF，求证：（1）AD＝BE；（2）AC∥DF．3.如图，D是BC上一点，AB=AD，BC=DE．△ABC≌△ADE，求证：∠CDE=∠BAD．导学二：全等三角形的判定知识点讲解 1：三角形全等的条件（一）“SSS”三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）证明格式：在△ABC和△DEF中，∴≌（）．【参考答案】DE；EF；DF；△ABC；△DEF；SSS例 1. 如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，AF=DE．求证：∠A=∠D．证明：∵BE＝CF（已知）∴BE＋＝CF＋（等式的性质1）即＝CE（等量代换）在△ABF和△DCE中∴△ABF≌△DCE（）∴∠A=∠D（）我爱展示1.如图，中，，现想利用证三角形全等证明，若证明三角形全等所用的公理是公理，则途中所添加的辅助线应是．2.如图，CE＝DE，EA＝EB，CA＝DB。

全等三角形(知识点讲解)

学习必备欢迎下载全等三角形全等三角形知识梳理性质对应角相等对应边相等二、基础知识梳理一）、基本概念1、“全等 ”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质（ 1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理、知识网络全等形全等三角形边边边SSS边角边SAS判定角边角ASA角角边 AAS斜边、直角边HL角平分线作图性质与判定定理应用1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ ASA ）②任一组等角的对边相等（AAS ）（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等（SAS ） ②第三组边也相等（SSS ）（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等（AAS 或 ASA ） ②夹等角的另一组边相等（SAS ） 5. 经典例题透析证明图形全等基础版—— “ SSS ” （1）已知： AB=DC ，AD=BC ，求证：∠ A= ∠C2）如图， E 是 AD 上的一点， AB=AC ，AE=BD ，CE=BD+DE ，求证：∠ CED=∠ B+ C基础版—— “ SAS ”（3）如图， AD ∥ BC ，AD=CB ， AE=CF ，求证： BE=DF4）已知：如图，点 A 、B 、C 、D 在同一条直线上， EA AD ，FD AD ， AE DF ， AB DC ．求证： ACE DBF ．基础版——“ ASA ”与“ AAS ”（5）如图，已知： AB ＝ AC ，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，BE 和CD 相交于点 O ，∠B ＝∠ C ，求证： BD ＝CEDB举一反三：变式 1】如图，△ABC ≌△ DBE . 问线段 AE 和 CD 相等吗？为什么？（ 6）如图，△ABC 中，∠BAC=90 ，AB ＝AC ，直线 MN 过点 A ，于 E ，求证： DE ＝BD+CE基础版 HL ”（ Rt △） N（7）如图， AB AC ，AB//CD ，AC=CD ，BC=DE ，BC 与 DE 相交于点 O ，求证： DE BC 类型一：全等三角形性质的应用 1、如图，△ ABD ≌△ ACE ， AB =AC ，写出图中的对应边和对应角、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠ B=50°，BF=2，求∠ DFE的度数与EC举一反三：如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，∠ACB=90°求证：（ 1）CD⊥AB；（ 2） EF∥ AC.变式 1】类型二：全等三角形的证明3、如图， AC＝BD，DF＝CE，∠ ECB＝∠ FDA，求证：△ ADF≌△BCE．举一反三：【变式 1】如图，已知 AB∥DC，AB＝ DC，求证：AD∥BC【变式 2】如图，已知 EB⊥ AD于 B，FC⊥ AD 于 C，且 EB＝ FC，AB＝CD．求证 AF ＝DE．、类型三：综合应用4、如图，AD为ΔABC的中线。

三角形知识点总结完

三角形知识点全面总结1、三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL （RtA^RtA）2、等腰三角形的判定及性质性质：①两腰相等②等边对等角（即“等腰三角形的两个底角相等”）③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”）判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）结论总结：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰【即：DE+DF=CP，（D为BC上的任意一点）】3、等边三角形的性质及判定定理性质：①三条边都相等②三个角都相等，并且每个角都等于60度③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”）④等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形。

③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

结论总结：①高二亘边【即： AD =巨AB 】 2 2②面积二三3边2【即：S=三3AB 2】4 A ABC 4 4、直角三角形的性质及判定性质：①两锐角互余②勾股定理③30°角所对的直角边等于斜边的一半。

④斜边中线等于斜边一半判定：①有一个内角是直角的三角形是直角三角形②勾股定理的逆定理（即“如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

”）5、线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

判定：①定义法②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

（2）三角形三边的垂直平分线的性质③一边中线等于这边一半的三角形是直角三角形结论总结：直角三角形斜边上的高二直角边的乘积斜边（1）线段垂直平分线的性质及判定【即:三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线：分别以线段的两个端点人、B 为圆心，以大于AB 的一半长为半径作弧，两弧交于点乂、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段 AB 的垂直平分线。

《三角形的证明》全章复习与巩固--知识讲解(基础)

《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）知识梳理【要点】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE．求证：△ABC是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BD CD=⎧⎨=⎩ ∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋•江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，∴∠MBO=∠OBC ，∠NCO=∠OCB ，∴∠MBO=∠BOM ，∠NCO=∠CON ，∴BM=OM ，CN=ON ，∵△AMN 的周长为18，∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=18．【变式2】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 在BC 上，且AD=AE ，求证：BD=CE ．【答案】证明：∵AB=AC ，AD=AE ，∴∠B=∠C ，∠ADE=∠AED ，∵∠ADE=∠B+∠BAD ，∠AED=∠C+∠EAC ，∴∠BAD=∠CAE ，∵AB=AC ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴ BD=CE ．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，沿过B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C 点与AB 边上的一点D 重合．（1）当∠A 满足什么条件时，点D 恰为AB 的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC 的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE ≌△BDE ，BC=BD ，当点D 恰为AB 的重点时，AB=2BD=2BC ，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED ⊥AB ，可证D 为AB 的中点；（2）在Rt △ADE 中，根据∠A 及ED 的值，可将AE 、AD 的值求出，又D 为AB 的中点，可得AB 的长度，在Rt △ABC 中，根据AB 、∠A 的值，可将AC 和BC 的值求出，代入S △ABC =AC ×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵C 点折叠后与AB 边上的一点D 重合，∴BE 平分∠CBD ，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB ，所以EB=EA ；∵ED 为△EAB 的高线，所以ED 也是等腰△EBA 的中线，∴D 为AB 中点．（2）∵DE=1，ED ⊥AB ，∠A=30°，∴AE=2．在Rt △ADE 中，根据勾股定理，得22213-=∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3．在Rt △ABC 中，AC=22AB BC -=3，∴S △ABC =12×AC ×BC=332．【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB 的两边上分别取点M ，N ，使OM=ON ，再过点M 作OB 的垂线，过点N 作OA 的垂线，垂足分别为C 、D ，两垂线交于点P ，那么射线OP 就是∠AOB 的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP 就是∠AOB 的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB 的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt △OCM 与Rt △ODN 中，依据ASA 得出OC=OD;在Rt △OCP 与Rt △ODP 中，因为OP=OP ，OC=OD 得出Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），所以∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ． ②可作出两个直角三角形，利用HL 定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt △OCM 和Rt △ODN 中，COM DON OCM ODN OM ON ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OCM ≌△ODN （AAS ），∴OC=OD ，在△OCP 与△ODP 中，∵,OC OD OP OP=⎧⎨=⎩∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt△OCE与Rt△ODE中，∵OC OD OE OE=⎧⎨=⎩，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），∴∠EOC=∠EOD，∴OE为∠AOB的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋•麻城市校级期中）如图所示：在△ABC中，AB＞BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC的度数；（2）若△ABC的周长为41cm，边长为15cm，△BCE的周长．【思路点拨】（1）由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而求得∠A的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC的度数，则可求得答案；（2）由△BCE的周长=AC+BC，然后分别从腰等于15cm与底边等于15cm去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC；∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5. 如图，在△ABC中，∠BAC=80°，延长BC到D，使AC=CD，且∠ADB=20°，DE平分∠ADB交AC于F，交AB于E，连接CE，求∠CED的度数．【思路点拨】作EG⊥DA，EH⊥BD，EP⊥AC，根据角平分线的性质得到EG=EH，根据△EGA≌△EPA，得出∠ECB，就可以得到∠CED的度数．【答案与解析】证明：作EG⊥DA交DA的延长线于G，再作EH⊥BD，EP⊥AC，垂足分别为H，P，则EG=EH ∵∠ADC=20°，AC=CD，∴∠CAD=20°，而∠BAC=80°，∴∠GAE=180°﹣20°﹣80°=80°，∴Rt△EGA≌Rt△EPA，∴EG=EP∴EP=EH，∴∠ECB=∠ECA=12∠BCA=12×40°=20°∴∠CED=∠BCE﹣∠BDE=20°﹣10°=10°【总结升华】主要考查了角平分线的性质定理及逆定理、三角形全等的性质和判定；做题中两次用到角平分线的知识是正确解答本题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。

人教版八年级数学上《三角形全等的判定方法》课堂笔记

《三角形全等的判定方法》课堂笔记
一、知识点回顾
1.
三角形全等的定义：两个三角形能够完全重合，我们就说这两个三角形是全等的。

2.
三角形全等的五种判定方法：
1.边边边（SSS）判定
2.边角边（SAS）判定
3.角边角（ASA）判定
4.角角边（AAS）判定
5.直角边斜边（HL）判定
二、重点内容
1.理解每一种判定方法的条件：确保正确应用每一种判定方法，必须深入理
解其条件。

2.应用判定方法证明三角形全等：通过具体的例子，展示如何运用五种判定
方法证明三角形全等。

三、例题解析
1.例1：使用边边边（SSS）判定证明两个三角形全等。

2.例2：使用边角边（SAS）判定证明两个三角形全等。

3.例3：使用角边角（ASA）判定证明两个三角形全等。

4.例4：使用角角边（AAS）判定证明两个三角形全等。

5.例5：使用直角边斜边（HL）判定证明两个三角形全等。

四、练习巩固
1.练习1：给出两组条件，判断是否能够证明两个三角形全等，并说明理由。

2.练习2：根据给定的条件，使用适当的判定方法证明两个三角形全等。

3.练习3：给出多个三角形，选择其中两个，使用适当的判定方法证明它们
全等。

五、课堂小结
本节课主要学习了三角形全等的五种判定方法，通过讲解、示范和练习，大家基本掌握了这些知识。

希望同学们在今后的学习中，能够多加练习，提高解题能力。

全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(基础)知识讲解

全等三角形判定一（SAS,ASA ，AAS ）（基础）撰稿：常春芳【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边角边”，判定方法2——“角边角”，判定方法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边角边” 1. 全等三角形判定1——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.要点二、全等三角形判定2——“角边角” 全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点三、全等三角形判定3——“角角边” 1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边角边”1、已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．【思路点拨】由条件AB＝AD，AC＝AE，需要找夹角∠BAC与∠DAE，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明：∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中AB ADBAC DAEAC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC≌△ADE（SAS）∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.2、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE＝CD，并且AE⊥CD证明：延长AE交CD于F，∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形∴AB＝BC，BD＝BE在△ABE和△CBD中90AB BCABE CBDBE BD=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE≌△CBD（SAS）∴AE＝CD，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°∴AE⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD看作是由△ABE绕着B点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：【变式】已知：如图，PC⊥AC，PB⊥AB，AP平分∠BAC，且AB＝AC，点Q在PA上，求证：QC＝QB【答案】证明：∵ AP平分∠BAC∴∠BAP＝∠CAP在△ABQ与△ACQ中∵∴△ABQ≌△ACQ(SAS)∴ QC＝QB类型二、全等三角形的判定2——“角边角”【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例5】2、已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求证：AE＝CF．【答案与解析】证明：∵AD∥CB∴∠A＝∠C在△ADF与△CBE中A CAD CBD B∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF≌△CBE （ASA）∴AF ＝CE ，AF＋EF＝CE＋EF故得：AE＝CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证：AB＝CD.【答案】证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C.∵AF ∥DE ，，∴∠AFB ＝∠DEC.又∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE. 在△ABF 和△DCE 中，B C BF CEAFB DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）.类型三、全等三角形的判定3——“角角边”【高清课堂：379110 全等三角形的判定二，例6】3、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD在△BAC和△EAD中BAC EADB ECB=DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC≌△EAD（AAS）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．举一反三：【变式】如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.求证：BE＝CF.【答案】证明：∵AD为△ABC的中线∴BD＝CD∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED和△CFD中BED CFDBDE CDFBD CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等）∴△BED≌△CFD（AAS）∴BE＝CF4、已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．（1）求证：AC与BD互相平分；（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE＝OF.【思路点拨】（1）证△ABO≌△CDO，得AO＝OC，BO＝DO（2）证△AEO≌△CFO或△BEO≌△DFO【答案与解析】证明：∵AB∥DC∴∠Ａ＝∠Ｃ在△ABO与△CDO中A C(AOB COD∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝对顶角相等）AB=CD∴△ABO≌△CDO（AAS）∴AO＝CO ，BO=DO在△AEO和△CFO中A C(AOE COF∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝AO=CO＝对顶角相等）∴△AEO≌△CFO（ASA）∴OE＝OF.【总结升华】证明线段相等，就是证明它们所在的两个三角形全等．利用平行线找角等是本题的关键.类型四、全等三角形判定的实际应用5、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.【答案与解析】设战士的身高为AB，点C是碉堡的底部，点D是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知∠BAD＝∠BAC，∠ABD＝∠ABC＝90°.在△ABD和△ABC中，ABD ABCAB ABBAD BAC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABD≌△ABC（ASA）∴BD＝BC.这名战士的方法有道理.【总结升华】解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决.。

(完整版)全等三角形的性质及判定

全等三角形第 1 节全等三角形的性质和判断【知识梳理】1、全等图形：能够完整重合的两个图形就是全等图形．2、全等三角形的观点与表示：能够完整重合的两个三角形叫作全等三角形．能够互相重合的极点、边、角分别叫作对应极点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．3、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角均分线相等，面积相等．4、全等三角形的判断方法：(1)边角边定理 ( SAS) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理 ( ASA) ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理 ( SSS) ：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理 ( AAS ) ：两个角和此中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理 ( HL ) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．【诊疗自测】1、假如ABC≌Δ DBC，则 AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠DBC的对应角是_____，∠ DCB的对应角是_____．2、如图，已知△ABE≌△ DCE， AE＝2 cm， BE＝1.5 cm，∠ A＝25°，∠ B＝48°；那么 DE＝_____cm，EC＝ _____cm，∠C＝ _____°；∠D＝ _____°．C 和点E，点 B 和点D 分别是对应点，则另一3、假如△ABC和△ DEF这两个三角形全等，点组对应点是，对应边是，对应角是，表示这两个三角形全等的式子是．【考点打破】种类一：全等形例 1、由同一张底片冲刷出来的两张五寸照片的图案 _____全等图案，而由同一张底片冲刷出来的五寸照片和七寸照片 ____全等图形。

（填“是”或许“不是”）种类二：全三角形的定义和性质例 2、如图，点 E，F 在线段 BC 上，△ ABF 与△ DCE 全等，点 A 与点 D ，点 B 与点 C 是对应极点， AF 与 DE 交于点 M ，则∠ DCE= （）A ．∠B B．∠ A C．∠ EMF D ．∠ AFB例 3、如图，△ ABE 和△ ADC 是△ ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折 180°形成的，若∠ BAC ：∠ABC ：∠ BCA=28 ： 5： 3，则∠α的度数为（）A ． 90° B． 85° C． 80° D． 75°种类三：全等三角形的判断（SSS）例 4、用直尺和圆规作一个角等于己知角的作图印迹如下图，则作图的依照是（）A ． SSS B． SAS C． ASA D． AAS例 5、已知：如图 2－ 1，△ RPQ 中， RP＝ RQ， M 为 PQ 的中点．求证： RM 均分∠ PRQ．剖析：要证 RM 均分∠ PRQ，即∠ PRM＝ ______，只需证 ______≌ ______证明：∵M 为 PQ 的中点（已知），∴______＝ ______在△ ______和△ ______中，RP RQ(已知 ),PM ______,______ ______(),∴______≌ ______（）．∴∠ PRM ＝ ______（ ______）．即 RM．例 6．已知：如图， AD ＝BC． AC＝ BD ．试证明：∠ CAD ＝∠ DBC .种类四：全等三角形的判断（SAS）例 7. 已知：如图3－1，AB、CD订交于O点，AO＝CO，OD＝OB．求证：∠ D＝∠ B．剖析：要证∠ D＝∠ B，只需证 ______≌ ______证明：在△ AOD 与△ COB 中，AO CO ( ),______ ______( ),OD ______( ),∴△ AOD ≌△ ______ （）．∴∠D＝∠ B （ ______）．例8、小红家有一个小口瓶（如下图），她很想知道它的内径是多少？可是尺子不可以伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有方法了．她拿来了两根长度同样的细木条，而且把两根长木条的中点固定在一同，木条能够绕中点转动，这样只需量出AB 的长，就能够知道玻璃瓶的内径是多少，你知道这是为何吗？请说明原因．（木条的厚度不计）例 9、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接∠ABC= ∠ EBD=90 °），连结 AE 、 CD，试确立 AE 结论．（A 、B、D 三点共线，AB=CB ，EB=DB ，与 CD 的地点与数目关系，并证明你的种类五：全等三角形的判断（AAS和 ASA）例 10、某同学把一块三角形的玻璃打坏成了 3 块，现要到玻璃店去配一块完整同样的玻璃，同学小明知道只需带③ 去就行了，你知道此中的道理是（）A ． SAS B． SSA C． ASA D． HL例 11.如图，已知△ ABC的六个元素，则以下甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是例 12、已知：如图，PM ＝ PN，∠ M＝∠ N．求证： AM＝ BN．剖析：∵ PM＝ PN，∴要证AM＝BN，只需证PA＝ ______，只需证 ______≌ ______．证明：在△ ______与△ ______中，______ ______( ),______ ______( ),______ ______( ),∴△ ______≌△ ______ （）．∴ PA＝ ______ （）．∵PM＝PN （），∴PM － ______＝ PN－ ______，即 AM ＝ ______．例 13、已知： AB ⊥ AE ，AD ⊥ AC ，∠ E=∠ B， DE=CB ．求证： AD=AC ．．例 14、如图，在△ ABC中，∠ ACB＝90°， AC＝BC，BE⊥CE于点 E． AD⊥CE于点D．求证：△ DEC≌△ CDA．种类六：全等三角形的判断（HL）例 15. 已知在△ ABC和△ DEF中 , ∠ A=∠D=90°, 则以下条件中不可以判断△ABC和△DEF全等的是 ( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠ F,BC=EF例 16、如下图，在△ ABC中，∠ C=90°， DE⊥AB 于点 D， BD=BC,若 AC=6，则AE+DE=_____BDAE C【易错优选】1、如下图，△ABC ≌△ DEC，则不可以获得的结论是（）A ． AB=DEB ．∠ A= ∠ D C． BC=CD D ．∠ ACD= ∠ BCE2、如图，梯形 ABCD中，AD∥BC，点 M是 AD的中点，且 MB=MC，若 AD=4，AB=6，BC=8，则梯形 ABCD的周长为（）A．22 B．24 C．26 D． 283、如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则∠ ABC+∠ DFE=__________度【精髓提炼】判断三角形全等的基本思路：找夹角SAS已知两边 SS找直角HL找另一边SSS边为角的对边→找随意一角→AAS找这条边上的另一角→ASA已知一边一角 SA边就是角的一条边找这条边上的对角→AAS找该角的另一边→ SAS找两角的夹边ASA已知两角 AA找随意一边AAS备注：找寻对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边 ( 或最大角 ) 是对应边 ( 或对应角 ) ，一对最短边 ( 或最小角 ) 是对应边 ( 或对应角 ) ．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是重点．全等三角形的图形概括起来有以下几种典型形式：⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型【本节训练】训练【 1】如图， E 为线段 BC 上一点， AB ⊥BC，△ ABE ≌△ ECD ，判断 AE 与 DE 的关系，并证明你的结论．训练【 2】如图，点A、F、C、D在同向来线上，点 B 和点 E 分别在直线 AD的双侧，且 AB＝DE，∠ A＝∠ D，AF＝ DC．求证： BC∥EF．训练【 3】已知图中的两个三角形全等，则∠ 1 等于度．【训练 4】．如图，∠ BAC= ∠DAE ，∠ ABD= ∠ ACE ，AB=AC ．求证： BD=CE ．基础稳固一、选择题1、以下说法：①有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；④有一条边相等的两个等腰直角三角形全等．此中正确的有（）．A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个DE=BC，以D、 E 为两个极点作地点不一样的三2、如图，△ABC是不等边三角形，角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多能够画出[ ] ．A．2 个B．4 个C．6 个D．8 个3、以下说法正确的选项是（）A、全等三角形是指周长和面积都同样的三角形;B、全等三角形的周长和面积都同样;C、全等三角形是指形状同样的两个三角形;D、全等三角形的边都相等4、以下两个三角形中，必定全等的是（）A.两个等边三角形B.有一个角是 40°，腰相等的两个等腰三角形C.有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形D.有一个角是 100°，底相等的两个等腰三角形5、如图，△ ABC与△ BDE都是等边三角形， AB<BD，若△ ABC不动，将△ BDE绕点CD的大小关系为( )B 旋转，则在旋转过程中，AE与A．AE=CD B ． AE>CD C．AE<CD D．没法确立ECA B D6、如图，已知 AB=AD，那么增添以下一个条件后，仍没法判断△ABC≌△ ADC的是（）A．CB=CD B ．∠ BAC=∠DAC C．∠ BCA=∠ DCA D．∠ B=∠D=90°二、填空题6、如图，在△ ABC 中，AD⊥ BC 于 D，BE⊥ AC 于 E，AD 与 BE 订交于点F，若 BF=AC，则∠ ABC=_______7、如图，等腰直角三角形ABC的直角极点 B 在直线 PQ上，AD⊥ PQ于 D，CE⊥PQ 于 E，且 AD=2cm，DB=4cm，则梯形 ADEC的面积是 _____ ．8、（着手操作实验题）如下图是小明自制对顶角的“小仪器”表示图：（1）将直角三角板 ABC的 AC边延伸且使 AC固定；（2）另一个三角板 CDE?的直角极点与前一个三角板直角极点重合；（3）延伸 DC，∠PCD与∠ ACF就是一组对顶角，已知∠ 1=30°，∠ ACF为多少？三、简答题9、如图，已知AB=AC ，∠ 1=∠ 2，AD=AE ，求证：∠ C=∠ B．10、如图，在△ ABC中， AD是∠ BAC的均分线， DE、DF分别是△ ABD和△ ACD的高线，求证： AD⊥EF。

人教版数学八上第6讲全等三角形判定一(SSS,SAS)(提高)知识讲解

全等三角形判定一（SSS ，SAS ）（提高）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”； 2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边”1、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：∠BAD ＝∠CAE.【答案与解析】证明：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE （SSS ）∴∠BAD ＝∠CAE （全等三角形对应角相等）.【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD ＝∠CAE ，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA 和△CAE ，然后证这两个三角形全等. 举一反三：【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.【答案】证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边∴△ACD≌△BDC（SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定2——“边角边”2、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．【思路点拨】延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．通过证全等将AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．利用三角形两边之和大于第三边解决问题. 【答案与解析】证明：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．在△ABD 和△ECD 中，AD ＝DE ，∠ADB ＝∠EDC ，BD ＝CD ． ∴△ABD ≌△ECD ． ∴AB ＝CE ． ∵AC ＋CE ＞AE ，∴AC ＋AB ＞AE ＝2AD ．即AC ＋AB ＞2AD ．【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明AB ＋AC ＞2AD ，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD 绕点D 逆时针旋转180°得到△CED ，也就把AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．3、已知，如图：在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD ⊥BC ，求证：AB ＝CD －BD ．【思路点拨】在DC 上取一点E ，使BD ＝DE ，则△ABD ≌△AED ，所以AB ＝AE ，只要再证出EC ＝AE 即可．【答案与解析】证明：在DC 上取一点E ，使BD ＝DE ∵ AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADE在△ABD 和△AED 中， BD ＝DE ，AD ＝AD ． ∴△ABD ≌△AED （SAS ）．∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AED ．又∵∠B ＝2∠C ＝∠AED ＝∠C ＋∠EAC ． ∴∠C ＝∠EAC ．∴AE ＝EC ．∴AB ＝AE ＝EC ＝CD —DE ＝CD —BD ．【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决．如图，要证明AB ＝CD －BD ，AED C B把CD －BD 转化为一条线段，可利用翻折变换，把△ABD 沿AD 翻折，使线段BD 运动到DC 上，从而构造出CD －BD ，并且也把∠B 转化为∠AEB ，从而拉近了与∠C 的关系. 举一反三：【变式】已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且AE＝12（AB ＋AD ），求证：∠B ＋∠D ＝180°.【答案】证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° 在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△CBE ≌△CFE （SAS ） ∴∠B ＝∠CFE ∵AE ＝12（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB ∵AE ＝AF ＋EF ，∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）∴△AFC ≌△ADC （SAS ） ∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE. ∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°. 类型三、全等三角形判定的实际应用4、如图，公园里有一条“Z 字形道路ABCD ，其中AB ∥CD ，在AB ，BC ，CD 三段路旁各有一个小石凳E ，M ，F ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点.试判断三个石凳E ，M ，F 是否恰好在一条直线上？为什么？【答案与解析】三个小石凳在一条直线上证明：∵AB 平行CD （已知）∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等） ∵M 在BC 的中点（已知） ∴BM ＝CM （中点定义）在△BME 和△CMF 中BE CF B C BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BME ≌△CMF （SAS ）∴∠EMB ＝∠FMC （全等三角形的对应角相等）∴∠EMF ＝∠EMB ＋∠BMF ＝∠FMC ＋∠BMF ＝∠BMC ＝180°（等式的性质） ∴E ，M ，F 在同一直线上【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决. 由已知易证△BME ≌△CMF ，可得∠EMB ＝∠FMC ，再由∠EMF ＝∠EMB ＋∠BMF ＝∠FMC ＋∠BMF ＝∠BMC ＝180°得到E ，M ，F 在同一直线上. 【巩固练习】一、选择题1. 如图，已知AB ＝AC ，D 为BC 的中点，结论：①AD ⊥BC ；②AD 平分∠BAC ；③∠B ＝∠C ；④△ABC 是等边三角形.其中正确的是（）. A.①② B. ②③ C. ①②③ D. ③④2．如图，AD 是ABC ∆的中线，E 、F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连接BF 、CE ，下列说法：①CE BF =；② ABD ∆和ACD ∆的面积相等；③//BF CE ；④ BDF ∆≌CDE ∆，其中正确的有（）．A.1个B.2个C.3个D.4个3. AD为△ABC中BC边上的中线, 若AB＝2, AC＝4, 则AD的范围是( )A .AD＜6 B. AD＞2 C. 2＜AD＜6 D. 1＜AD＜34．如图，AB＝DC，AD＝BC，E、F是DB上两点，且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF＝（）．A.150°B.40°C.80°D.90°5. 根据下列条件能唯一画出△ABC的是（）A.AB＝3，BC＝4，AC＝8B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C.AB＝5，AC＝6，∠A＝45°D. ∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°6. 如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，并且BD＝CE，BE＝CF，则∠DEF等于（）A.50°B.60°C. 65°D. 70°二、填空题7. 如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________.8. 如图，△ABC是三边均不等的三角形，DE＝BC，以D、E为两个顶点画位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画个.9. 如图，已知AE＝AF，AB＝AC，若用“SAS”证明△AEC≌AFB，还需要条件 .10. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，则图中全等三角形共有_____对.11. 如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝°.AA BB的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），12. 把两根钢条','如图，若测得AB＝5厘米，则槽宽为厘米．三、解答题13. 如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．14. 如图, ∠B＝∠C, BD＝CE, CD＝BF.求证: ∠EDF ＝ 90︒－12∠A15. 已知：如图，BE、CF是△ABC的高，且BP＝AC，CQ＝AB，求证：AP⊥AQ.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C【解析】由SSS证全等可得①②③是正确的.2. 【答案】Ｄ；3. 【答案】D；【解析】用倍长中线法；4. 【答案】D；【解析】证△ABE≌△CDF，△ADE≌△BCF；5. 【答案】C；【解析】A不能构成三角形，B没有SSA定理，D没有AAA定理.6. 【答案】C；【解析】证△DBE≌△ECF，∠DEF＝180°－∠DEB－∠FEC＝180°－∠DEB－∠BDE＝∠B ＝180502︒-︒＝65°.二.填空题7. 【答案】66°；【解析】可由SSS 证明△ABC ≌△DCB ，∠OBC ＝∠OCB ＝82412︒=︒，所以∠DCB ＝ ∠ABC ＝25°＋41°＝66°8. 【答案】4；【解析】在DE 的两侧可以各画2个. 9. 【答案】∠EAB ＝∠FAC ；【解析】答案不唯一. 10.【答案】4；【解析】△AOD ≌△COB ，△AOB ≌△COD ，△ABD ≌△CDB ，△ABC ≌△CDA. 11.【答案】27；【解析】可证△ADB ≌△CDB ≌△CDE. 12.【答案】5；三.解答题13.【解析】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD 证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形 ∴AB ＝AC ，BD ＝BE 在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ） ∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等） ∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90° ∴AE ⊥CD14.【解析】证明：在△ABC 中，∠B ＝∠C ， ∴∠B ＝90︒-12∠A 在△DBF 和△ECD 中BD CE B C BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DBF ≌△ECD （SAS ） ∴∠BFD ＝∠CDE∴∠EDF ＝180°－∠BDF －∠CDE ＝180°－（∠BDF ＋∠BFD ）＝∠B ＝90︒－12∠A .15.【解析】证明：∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB （已知）∴∠ACF ＋∠BAC ＝90°，∠ABE ＋∠BAC ＝90°，（三角形内角和定理） ∠ACF ＝∠ABE （等式性质）在△ACQ 和△PBA 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BP AC ABP ACF AB CQ ∴△ACQ ≌△PBA （SAS ）∴∠Q ＝∠BAP （全等三角形对应角相等）∵CF ⊥AB （已知） ∴∠Q ＋∠QAF ＝90°，（垂直定义） ∴∠BAP ＋∠QAF ＝90°，（等量代换）∴AP ⊥AQ.（垂直定义）。

ass数学全等三角形-概念解析以及定义

ass数学全等三角形-概述说明以及解释1.引言1.1 概述全等三角形是初等几何学中一个重要的概念。

它指的是具有相同形状和大小的两个三角形。

在几何学中，全等三角形是一种基本的几何变换，很多定理和性质都是基于全等三角形的。

全等三角形的研究对于解决各种几何问题和实际应用中的测量、建模等方面具有重要意义。

在本文中，我们将首先给出全等三角形的定义，然后介绍全等三角形的性质以及判定方法。

全等三角形的定义是指两个三角形的对应边长和对应角度都相等。

全等三角形的性质包括边长相等、角度相等、周长相等、面积相等等，这些性质是判定两个三角形是否全等的重要依据。

而全等三角形的判定方法有一些常见的几何形状和几何变换，如SSS准则、SAS准则、ASA准则、AAS准则等。

这些判定方法对于解决实际问题中的各种几何关系具有指导意义。

全等三角形的重要性主要体现在两个方面。

首先，它是几何学的基础，通过研究全等三角形的性质和判定方法，可以推导出其他几何形状的性质和判定方法，从而进一步拓展几何学的理论。

其次，全等三角形在实际问题中有着广泛的应用，在测量、建模、工程设计等领域都有重要意义。

例如，在地形测量中，通过观测地面上的三角形，利用全等三角形的性质可以计算出未知的距离、高度等，从而获得准确的地形信息。

在建筑设计中，通过应用全等三角形的判定方法可以确定不同角度和比例下的建筑结构，确保建筑物的稳定性和美观性。

对全等三角形的进一步研究是一个广阔而有趣的领域。

在研究过程中，可以探索更多全等三角形的性质、判定方法和应用，还可以通过引入新的几何概念和工具，进一步拓展几何学的研究领域。

此外，全等三角形的研究也可以与其他数学领域进行交叉，如代数、数论等，从而推动整个数学学科的发展。

综上所述，全等三角形作为初等几何学中的重要概念，具有广泛的应用价值和研究意义。

本文将围绕全等三角形的概念、性质和判定方法展开详细讨论，并探讨其在实际问题中的应用和进一步研究的可能性。

12.2三角形全等的判定(一)(SSS、SAS)(原卷版)

八年级上册数学《第十二章全等三角形》1.2.2 三角形全等的判定（一）“边边边”与“边角边”◆利用“SSS ”判定两个三角形全等文字语言：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.几何语言：在△ABC 和△DEF 中，AB =DE BC =EF CA =FD∴△ABC ≌△DEF (SSS).◆利用“SAS ”判定两个三角形全等1、文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.2、几何语言：在△ABC 和△DEF 中，AB =DE ∠B =∠E BC =EF∴△ABC ≌△DEF (SSS).3、方法：（1）已知两边，可以找“夹角”；（2）已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边【注意】1. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.2. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.3. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.【例题1】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，EB ＝EC ，则由“SSS ”可以判定（）A．△ABE≌△ACE B．△ABD≌△ACDC．△BDE≌△CDE D．以上答案都不对【变式1-1】如图，在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用“SSS”证明△ACE≌△BDF，需添加的一个条件可以是（）A．AB＝BC B．DC＝BC C．AB＝CD D．以上都不对【变式1-2】下列四个三角形中，与图中的△ABC全等的是（）A．B．C ．D ．【变式1-3】如图，已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AC ＝EF ，AD ＝FB ，要使△ABC ≌△FDE ，还需添加一个条件，这个条件可以是（）A ．AC ∥EFB ．∠E ＝∠C C ．∠ABC ＝∠FDED ．AB ＝DF【变式1-4】如图，已知∠1＝∠2，若用“SAS ”证明△BDA ≌△ACB ，还需加上条件（）A ．AD ＝BCB ．BD ＝AC C ．∠D ＝∠C D ．OA ＝OB【例题2】如图，已知点B ，C ，D ，E 在同一直线上，且AB ＝AE ，AC ＝AD ，BD ＝CE ．求证：△ABC ≌△AED．【变式2-1】（2023•云南）如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC．求证：△ABC≌△EDC．【变式2-2】如图，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC，△ABC和△DEF全等吗？请说明理由．【变式2-3】（2023•永善县三模）如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF．【例题3】11．（2018秋•庆云县校级月考）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出∠A ′O ′B ′＝∠AOB 的依据是．【变式3-1】小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：已知：∠AOB ．求作：∠A ′O ′B ′，使∠A ′O ′B ′＝∠AOB ．作法：（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′；（3）以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D ′；（4）过点D '画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′＝∠AOB ．小聪作法正确的理由是（）A ．由SSS 可得△O ′C ′D′≌△OCD ，进而可证∠A ′O ′B ′＝∠AOBB ．由SAS 可得△O ′C ′D ′≌△OCD ，进而可证∠A ′O ′B ′＝∠AOBC ．由ASA 可得△O ′C ′D ′≌△OCD ，进而可证∠A ′O ′B ′＝∠AOBD ．由“等边对等角”可得∠A ′O ′B ′＝∠AOB【变式3-2】（2023春•白银期中）已知∠AOB ，点C 是OB 边上的一点．用尺规作图画出经过点C 与OA 平行的直线．【变式3-3】如图，以△ABC 的顶点A 为圆心，以BC 长为半径作弧，再以顶点C 为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧交于点D ；连接AD 、CD ，若∠B ＝56°，则∠ADC 的大小为度．【例题4】（2023•官渡区一模）如图，点A ，B ，C ，D 在同一直线上，AF ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ＝DB ．求证：△ABF ≌△DCE．【变式4-1】（2023•从化区二模）为了制作燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，证明：△ABC≌△AED．【变式4-2】（2023•祥云县模拟）已知：如图，点F、C在线段BE上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝EC，求证：△ABC≌△DEF．【变式4-3】（2023•乾安县四模）已知：如图，BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE，求证：△ABE≌△DBC．【变式4-4】（2023•宁江区二模）如图，△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，满足CD ＝AB ，过点C 作CE ∥AB 且CE ＝BC ，连接DE 并延长，分别交AC 、AB 于点F 、G ，求证：△ABC ≌△DCE ．【变式4-5】（2023•五华区校级模拟）如图，已知AB ∥DE ，AB ＝DE ，AF ＝DC ．求证：△ABC ≌△DEF ．【例题5】如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，CD 与BE 相交于点O ，且AD ＝AE ，∠B ＝∠C ，若BE ＝4，则CD ＝　　．【变式5-1】（2022春•成华区期末）如图，在等腰△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AC 的中点，过点A 作直线BD 的垂线交BC 的延长线于点E ，若BC ＝4，则CE 的长为．【变式5-2】茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B ＝∠E ，AB ＝DE ，BF ＝EC ，其中△ABC 的周长为24cm ，CF ＝3cm ，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 cm ．【变式5-3】（2023•青海一模）在△ABC 中，D 是BC 边的中点，若AB ＝9，AC ＝5，则△ABC 的中线AD 长的取值范围是（）A ．5＜AD ＜9B ．4＜AD ＜9C ．2＜AD ＜14D ．2＜AD ＜7【例题6】如图，已知OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝50°，∠D＝35°，则∠OBC ＝（）A．95°B．120°C．50°D．105°【变式6-1】（2022春•福山区期中）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．（1）求证：∠D＝∠2；（2）若EF∥AC，∠D＝76°，求∠BAC的度数．【变式6-2】（2023春•青羊区期末）如图在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DBE；（2）若∠A＝100°，∠C＝40°，求∠DEC的度数．【变式6-3】（2022秋•湟中区校级期末）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE 并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．（1）求证：CF∥AB（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．【例题7】（2022秋•甘井子区校级月考）如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，BF ＝CE，试判断AB和DE的关系，并说明理由．【变式7-1】（2023春•罗湖区校级期末）已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，AB∥DE，连接BC，BF，CE．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）BC∥EF．【变式7-2】（2023春•萍乡期末）如图，已知：AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE，那么AC与CE 有什么关系？写出你的猜想并说明理由．【变式7-3】如图，在△ABC中，D为AB的中点，F为BC上一点，DF∥AC，延长FD至E，且DE＝DF，联结AE、AF．（1）求证：∠E＝∠C；（2）如果DF平分∠AFB，求证：AC⊥AB．【例题8】如图，AC ＝DC ，BC ＝EC ，请你添加一个适当的条件：，使得△ABC ≌△DEC ．【变式8-1】如图，已知在△ABC 和△DEF 中，∠B ＝∠E ，BF ＝CE ，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，若使△ABC ≌△DEF ，则还需添加的一个条件是（只填一个即可）．【变式8-2】如图，AB ＝AE ，AC＝AD，要使△ABC ≌△AED ，应添加一个条件是．【变式8-3】问题：如图，在△ABC 和△DEF 中，B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB ＝DE ，若．求证：△ABC ≌△DEF ．在①AC ＝DF ，②∠ABC ＝∠DEF ，③BE ＝CF 这三个条件中选择其中两个，补充在上面的问题中，并完成解答．【例题9】（2022春•包头期末）如图，已知点A ，C 在线段BD 两侧，AB ＝AD ，CB ＝CD ，线段AC ，BD 相交A 于点O ．下列结论：①∠ABC ＝∠ADC ；②AC ⊥BD ；③AC 平分∠BAD ；④OB ＝OD ．其中正确的是　（填写所有正确结论的序号）．【变式9-1】（2023•禅城区校级一模）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且B、D、E三点共线，（1）证明：△ABD≌△ACE；（2）证明：∠3＝∠1+∠2．【变式9-2】（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，点C在线段AB上，AD∥BE，AC＝BE，AD＝BC，CF 平分∠DCE．求证：△DCF≌△ECF【变式9-3】（2023春•浦东新区校级期末）如图，已知AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，AD∥BC．（1）△ADE与△ACB是否全等？说明理由；（2）如果∠B＝30°，∠D＝40°，求∠BAE的度数．【变式9-4】（2022秋•自流井区校级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，AD、BC相交于点F．（1）求证：∠B＝∠D；（2）若AB∥DE，AE＝3，DE＝4，求△ACF的周长．【变式9-5】如图，AD＝CB，E、F是AC上两动点，且有DE＝BF．（1）若点E、F运动至如图（1）所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；（2）若点E、F运动至如图（2）所示的位置，仍有AF＝CE，则△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？（3）若点E、F不重合，则AD和CB平行吗？请说明理由．。

全等三角形判定一(ASA,SAS)(提高)知识讲解

【学习目标】全等三角形判定一（ASA ，SAS ）1. 理解和掌握全等三角形判定方法 1——“角边角”，和判定方法 2——“边角边”；2. 能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】要点一、全等三角形判定 1——“角边角”全等三角形判定 1——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A＝∠ A ' ，AB ＝ A ' B ' ，∠B＝∠ B ' ，则△ABC≌△ A ' B 'C ' .要点二、全等三角形判定 2——“边角边”1. 全等三角形判定 2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果 AB ＝ A ' B ' ，∠A＝∠ A ' ，A C ＝ A 'C ' ，则△ABC≌△ A ' B 'C ' . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B＝∠B，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定 1——“角边角”1、如图，G 是线段 AB 上一点，AC 和 DG 相交于点 E.请先作出∠ABC 的平分线 BF ，交AC 于点 F ；然后证明：当 AD∥BC，AD ＝BC ，∠ABC＝2∠ADG 时，DE ＝BF.⎨ ⎩【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF【答案与解析】证明： ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF 平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE 与△BCF 中⎧∠ADG = ∠CBF ⎪ AD = BC⎪∠DAC = ∠C ∴△DAE≌△BCF（ASA ）∴DE＝BF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．举一反三：【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例 7】【变式】已知：如图，在△MPN 中，H 是高 MQ 和 NR 的交点，且 MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.【答案】证明：∵MQ 和 NR 是△MPN 的高，∴∠MQN＝∠MRN＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，⎨ ⎩⎧∠1 = ∠2 ⎪MQ = NQ ⎪∠MQP = ∠NQH ∴△MPQ≌△NHQ（ASA ）∴PM＝HN类型二、全等三角形的判定 2——“边角边”2、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．【思路点拨】延长 AD 到点 E ，使 AD ＝DE ，连接 CE ．通过证全等将 AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了 2AD ．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：如图，延长 AD 到点 E ，使 AD ＝DE ，连接 CE ．在△ABD 和△ECD 中，AD ＝DE ，∠ADB＝∠EDC，BD ＝CD ．∴△ABD≌△ECD．∴AB＝CE ．∵AC＋CE ＞AE ，∴AC＋AB ＞AE ＝2AD ．即 AC ＋AB ＞2AD ．【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明 AB ＋AC ＞2AD ，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD 绕点 D 逆时针旋转 180°得到△CED，也就把 AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了 2AD ．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．3、（2016•济宁二模）已知：如图，点 B 、F 、C 、E 在一条直线上，BF=CE,AC=DF,且 AC ∥DF,求证：△ABC≌△DEF．⎪ ⎩【思路点拨】求出 BC=FE ，∠ACB=∠DFE，再根据 SAS 推出全等即可．【答案与解析】证明：∵BF=CE∴BF+FC=CE+FC∴BC=FE∵AC∥DF∴∠ACB=∠DFE，在△ABC 和△DEF 中，⎧ AC = DF ⎨∠ACB = ∠DFE ，⎪BC = EF ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．【总结升华】本题考查利用“边角边”定理来证明三角形全等，注意等量加等量，和相等. 举一反三：【变式】（2015•启东市模拟）如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF ，AC=DF ；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF ；③∠B=∠E，BC=EF ，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF ，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF 的条件共有（）A.1 组B.2 组C.3 组D.4 组【答案】C ．解：第①组满足 SSS ，能证明△ABC≌△DEF．第②组满足 SAS ，能证明△ABC≌△DEF．第③组满足 ASA ，能证明△ABC≌△DEF．第④组只是 SSA ，不能证明△ABC≌△DEF．所以有 3 组能证明△ABC≌△DEF．故符合条件的有 3组．故选：C ．类型三、全等三角形判定的实际应用⎨ ⎩4、如图，公园里有一条“Z 字形道路 ABCD ，其中 AB∥CD，在 AB ，BC ，CD 三段路旁各有一个小石凳 E ，M ，F ，且 BE ＝CF ，M 在 BC 的中点.试判断三个石凳 E ，M ，F 是否恰好在一条直线上？为什么？【答案与解析】三个小石凳在一条直线上证明：∵AB 平行 CD （已知）∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）∵M 在 BC 的中点（已知）∴BM＝CM （中点定义）在△BME 和△CMF 中⎧BE = CF ⎪∠B = ∠C⎪BM = CM ∴△BME≌△CMF（SAS ）∴∠EMB＝∠FMC（全等三角形的对应角相等）∴∠EMF＝∠EMB＋∠BMF＝∠FMC＋∠BMF＝∠BMC＝180°（等式的性质）∴E，M ，F 在同一直线上【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决. 由已知易证△BME≌△CMF，可得∠EMB＝∠FMC，再由∠EMF＝∠EMB＋∠BMF＝∠FMC＋∠BMF＝ ∠BMC＝180°得到 E ，M ，F 在同一直线上.。

三角形全等的判定(SSS,SAS,ASA)

教学标题
全等三角形性质及判定（SSS,SAS,ASA) 1.了解三角形全等，对应角，对应边的概念
教学目标
2.掌握全等三角形的性质（对应元素相等）及判定（主要是 SSS,SAS,ASA） 3.学会书写证明题的思路及主要格式，养成数学推理思想 1.确定全等三角形的对应元素，掌握找对应元素的方法 2.理解 SSS，SAS,ASA 的涵义，会利用这三种方法判定三角形全等，并熟练掌
A D B E
C
F
练习 5：如图，已知 AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。 A
B D
E C
练习 6：如图，在 △ ABC 中， AB AC，BAC 40° ，分别以 AB，AC 为边作两个等腰直角三角形 ABD 和 ACE ，使 BAD CAE 90° ．（1）求 DBC 的度数；（2）求证： BD CE 。
3.已知：如图 T-3，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度. 4.如下右图所示，AB = AD，∠1 = ∠2，添加一个适当的条件，使△ABC ≌ △ADE，则需要添加的条件是________
O B E D
T-3
A C
A
5.已
E O
知：如图，DC∥AB，且 DC=AE，E 为 AB 的中点，求证：△AED≌△EBC．
B
1 2 3 4
A
O D
C
练习 9：如图，在 ABC 中， BAC 90 ，AB=AC，BD 是∠ABC 的角平分线，BD 的延长线垂直于过点 C 的直线于 E，直线 CE 交 BA 的延长线于点 F。求证：BD=2CE.（提示：等腰三角形底边上的高和中线重合，将底边平均分成两段）
F A E D

三角形基础全等三角形讲义

三角形基础全等三角形讲义一、三角形的定义与基本元素三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。

这三条线段就是三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形有三条边、三个内角和三个顶点。

边可以用小写字母 a、b、c 表示，角可以用大写字母 A、B、C 表示。

例如，边 a 所对的角就是角 A。

三角形按照边的关系可以分为等边三角形（三条边都相等）、等腰三角形（至少有两条边相等）和不等边三角形（三条边都不相等）；按照角的大小可以分为锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）和钝角三角形（有一个角是钝角）。

二、三角形的内角和三角形的内角和是 180°。

这是三角形的一个重要性质，可以通过多种方法来证明。

比如，我们可以将三角形的三个角剪下来，拼在一起，会发现正好组成一个平角，也就是 180°。

又或者，我们作三角形一条边的平行线，利用平行线的性质，也能证明三角形的内角和是 180°。

这个性质在解决很多与三角形内角有关的问题中非常有用。

三、三角形的外角三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

三角形的每个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，所以三角形共有六个外角。

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

例如，在三角形 ABC 中，外角∠ACD 等于∠A ＋∠B。

三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

四、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

这个关系可以通过实际操作来理解。

比如，我们用三根长度分别为3cm、4cm、5cm 的小棒来摆三角形，能摆成一个三角形；但是如果用1cm、2cm、4cm 的小棒，就无法摆成三角形。

在判断三条线段能否组成三角形时，只需要判断两条较短的线段之和是否大于最长的线段即可。

五、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等三角形判定一(SSS,SAS)(基础)知识讲解

全等三角形判定一（SSS ，SAS ）（基础）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”；2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边”1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．【思路点拨】由中点的定义得PM ＝QM ，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等.【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知），∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边 ∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定.类型二、全等三角形的判定2——“边角边”2、如图，△ABC 、△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E 在AB 上．求证：△CDA ≌△CEB ．【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD ，BC=AC ，再利用全等三角形的判定证明即可．【答案与解析】证明：∵△ABC 、△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CE=CD ，BC=AC ，∴∠ACB ﹣∠ACE=∠DCE ﹣∠ACE ，∴∠ECB=∠DCA ，在△CDA 与△CEB 中，∴△CDA ≌△CEB ．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键，同时注意证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.举一反三：【变式】如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ，CD=CE ．求证：△ACD ≌△BCE ．【答案】证明：∵C 是线段AB 的中点，∴AC=BC ，∵CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ，∴∠ACD=∠ECD ，∠BCE=∠ECD ，∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）．3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案与解析】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD看作是由△ABE绕着B点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：【变式】已知：如图，AP平分∠BAC，且AB＝AC，点Q在PA上，求证：QC＝QB【答案】证明：∵ AP平分∠BAC∴∠BAP＝∠CAP在△ABQ与△ACQ中∵∴△ABQ≌△ACQ(SAS)∴ QC＝QB类型三、全等三角形判定的实际应用4、如图，点D为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，DA，DB为海岸线．一轮船离开码头，计划沿∠ADB的角平分线航行，在航行途中C点处，测得轮船与灯塔A和灯塔B 的距离相等．试问：轮船航行是否偏离指定航线？请说明理由．【思路点拨】只要证明轮船与D点的连线平分∠ADB就说明轮船没有偏离航线，也就是证明∠ADC=∠BDC.要证明角相等，常常通过把角放到两个三角形中，利用题目条件证明这两个三角形全等，从而得出对应角相等．【答案与解析】解：此时轮船没有偏离航线．理由：由题意知：DA=DB，AC=BC，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SSS），∴∠ADC=∠BDC，即DC为∠ADB的角平分线，∴此时轮船没有偏离航线．【总结升华】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是：根据条件设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找对应角相等．要学会把实际问题转化为数学问题来解决．举一反三：【变式】工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，边OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D、E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线，你能先说明△OPE与△OPD全等，再说明OP平分∠AOB吗？【答案】证明：在△OPE与△OPD中∵OE OD OP OP PE PD=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△OPE≌△OPD （SSS）∴∠EOP＝∠DOP(全等三角形对应角相等) ∴ OP平分∠AOB.。

全等三角形的判定

全等三角形的判定一、判定定理：☐SSS 定理：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等。

（边边边定理）☐SAS 定理：在两个三角形中，如果有两条边相等及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等。

（边角边定理）☐AAS定理：在两个三角形中，如果有两个角相等及其一条边对应相等，那么这两个三角形全等。

（角角边定理）☐ASA定理：在两个三角形中，如果有两个角相等及其夹边相等，那么这两个三角形全等。

（角边角定理）即：两个三角形只要找到两对角，一条边对应相等，就可以判定两个三角形全等，无非是根据具体情况来判断是选择AAS 还是ASA而已二、例题讲解：1.如图所示：已知△ABC与△DEF中，AB=DE, BC=EF, AC=DF求证：△ABC≌△DEF证明：2、如图所示：已知△ABC与△DEF中，已知：①AB=DE, BC=EF,∠B=∠E, 求证：△ABC≌△DEF②AB=DE, AC=DF, ∠A=∠D, 求证：△ABC≌△DEF③BC=EF, AC=DF, ∠C=∠F, 求证：△ABC≌△DEF证明：注：以上情况的角都是两边的夹角对应相等，否则无法用SAS来证明，切记3、如图所示：已知△ABC与△DEF中，已知AB=DE，请在不添加角和线的情况下，请问添加什么条件可以证明：△ABC≌△DEF ？并证明。

三、练习：1、已知：AB=AC，AE是角平分线。

试问图中有几对全等三角形？并分别证明总结：性质1：等腰三角形的两底角相等性质2：等腰三角形的中线、角平分线、高线互相重合2、如图所示：已知AC=BD,AD=BC，则△ABC≌△BAD吗？说明理由3、如图所示，O是AB的中点，∠A=∠B,求证：△AOC≌△BOD4、如图所示，已知AC=AD,AB平分∠CAD,试说明△ACB≌△ADB5如图所示，AB=DF, AC=DE, BE=CF, 试说明△ABC≌△DEF6、如图所示，AC, BD相交于点O,AB=CD,AC=DB,那么∠A=∠D吗？试说明理由7、如图所示，∠BAC=∠DAE, ∠ABD=∠ACE,BD=CE,试说明AB=AC,AD=AE8、如图所示：AB=AE,C,D分别是边AE,AB的中点，试说明△ABC≌△AED9、如图所示：AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,试说明ED=BC四、能力提升：1、如图所示：点E在边AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，则AC=AD，为什么？2、如图所示：∠ACB=90°，AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N，AC=BC,试说明MN=AM+BN3、如图所示：AB⊥AC于点A,AB=AC,AD=AE,BD=CE,试说明AD⊥AE4、如图所示：已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，试说明AB=AD5、如图所示：AB=AD,AC=AE, ∠BAD=∠CAE,试说明：BC=DE6、如图AD∥BC, ∠1=∠2，∠3=∠4，点E在DC上，求证，AD+BC=AB。

有复习资料-直角三角形全等判定(基础)知识讲解

直角三角形全等判定要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：（1）AB＝CD：（2）AD∥BC．【思路点拨】先由“HL”证Rt△ABD≌Rt△CDB，再由内错角相等证两直线平行.【答案及解析】证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°在Rt△ABD 和Rt△CDB中，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB＝∠CBD∴AD∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.【变式】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．【答案】证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠DAE＝∠CBA＝90°在Rt△DAE 及Rt△CBA中，∴Rt△DAE≌Rt△CBA （HL）∴∠E＝∠CAB∵∠CAB＋∠EAF＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED⊥AC．2、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF是其中一边上的高，AE＝DF（3）×. 在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，AE为第三边上的高，3、已知：如图，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD ＝BC ；【答案及解析】证明：连接DC∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD∴∠DAC ＝∠CBD ＝90°在Rt △ADC 及Rt △BCD 中，∴Rt △ADC ≌Rt △BCD （HL ）∴AD ＝BC .（全等三角形对应边相等）【变式】已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.【答案】∵∠C ＝∠D ＝90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BABD AC=⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)∴AD ＝BC在△AOD 和△BOC 中∴△AOD ≌△BOC(AAS)∴OD ＝OC ．4、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.【答案及解析】解：全等三角形为：△ACD ≌△CBE.证明：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE在△ACD 及△CBE 中，∴△ACD ≌△CBE （AAS ）.【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参及，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.【巩固练习】一、选择题1．下列说法正确的是（）A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图，AB＝AC，AD⊥ BC于D，E、F为AD上的点，则图中共有（）对全等三角形．A．3 B．4 C．5 D．63. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等4. 在Rt△ABC及Rt△'''A B C中, ∠C ＝∠'C＝ 90, A＝∠'B, AB ＝''A B, 那么下列结论中正确的是( )A. AC ＝''B C D. ∠A C B.BC ＝''B C C. AC ＝''A ＝∠'A5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A．形状相同B．周长相等C．面积相等D．全等6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（）A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE 的依据是“______”．8. 已知，如图，∠A＝∠D＝90°，BE＝CF，AC＝DE，则△ABC ≌_______.9. 如图，BA∥DC，∠A＝90°，AB＝CE，BC＝ED，则AC＝_________.10. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，EC⊥AC，AC＝EC，若DE＝2，AB＝4，则DB＝______.11．有两个长度相同的滑梯，即BC＝EF，左边滑梯的高度AC及右边滑梯的水平方向的长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝________．12. 如图，已知AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且BF ＝AC ，FD ＝CD.则∠BAD ＝_______.三、解答题13. 如图，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打开，墙壁厚是35cm ，B 点及O 点的铅直距离AB 长是20cm ，工人师傅在旁边墙上及AO 水平的线上截取OC ＝35cm ，画CD ⊥OC ，使CD ＝20cm ，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．13.【解析】解：在Rt △AOB 及Rt △COD 中，(3590AOB COD AO CO A C ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠=︒⎩对顶角相等）∴Rt △AOB ≌Rt △COD （ASA ） ∴AB ＝CD ＝20cm14. 如图，已知AB ⊥BC 于B ，EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，BC ＝DF. 求证：AC ＝EF.证明：由EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，AC 和DF 相交，可得： ∠F ＋∠FED ＝∠C ＋∠FED ＝90°即 ∠C ＝∠F （同角或等角的余角相等），在Rt △ABC 及Rt △EDF 中 B EDF BC DFC F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△EDF （ASA ），∴AC ＝EF （全等三角形的对应边相等）.15. 如图，已知AB ＝AC ，AE ＝AF ，AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，垂足分别是点E 、F.求证：∠1＝∠2.证明：∵AE⊥EC，AF⊥BF，∴△AEC、△AFB为直角三角形在Rt△AEC及Rt△AFB中∴Rt△AEC≌Rt△AFB（HL）∴∠EAC＝∠FAB∴∠EAC－∠BAC＝∠FAB－∠BAC，即∠1＝∠2.【答案及解析】一、选择题1. 【答案】C；【解析】等腰直角三角形确定了两个锐角是45°，可由AAS定理证明全等.2. 【答案】D；【解析】△ABD≌△ACD；△ABF≌△ACF；△ABE≌△ACE；△EBF ≌△ECF；△EBD≌△ECD；△FBD≌△FCD.3. 【答案】D；4. 【答案】C；【解析】注意看清对应顶点，A对应'B，B对应'A.5. 【答案】C；【解析】等底等高的两个三角形面积相等.6. 【答案】C；【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.二、填空题7. 【答案】HL；8. 【答案】△DFE9. 【答案】CD；【解析】通过HL证Rt△ABC≌Rt△CDE.10.【答案】6；【解析】DB＝DC＋CB＝AB＋ED＝4＋2＝6；11.【答案】90°；【解析】通过HL证Rt△ABC≌Rt△DEF，∠BCA＝∠DFE. 12.【答案】45°；【解析】证△ADC及△BDF全等，AD＝BD，△ABD为等腰直角三角形.。

全等三角形的判定-综合讲解

全等三角形的判定-综合讲解【当堂训练】1.如图，已知△ABC 和△DCB 中，AB=DC ，请补充一个条件，能直接判定△ABC ≌ △DCB ，判定方法为（写出所有可能的情况）,并总结该题类型和思路。

注意:公共边这一隐含条件思路1：已知两边→找第三边 AC=DB （SSS ） →找夹角∠ ABC=∠DCB （SAS ）… 2.如图，已知AB 和CD 交于O ，AD=CB ，请补充一个条件，能直接判定△AOD ≌ △COB ，判定方法为（写出所有可能的情况），并总结该题类型和思路。

注意:对顶角这一隐含条件思路2：已知一边一对角→找任一角 ∠A=∠C 或 ∠B=∠D （AAS ）3、如图，已知∠1= ∠2，请补充一个条件，能直接判定△ABC ≌ △CDA ，判定方法为（写出所有可能的情况），并总结该题类型和思路。

思路3：已知一边一邻角 →找夹这个角的另一边AD=CB （SAS）→找任一角∠ACD=∠CAB （ASA ）或 ∠D=∠B （AAS ）4、如图，已知∠B= ∠E ，请补充一个条件，能直接判定△ABC ≌ △AED ，判定方法为（写出所有可能的情况），并总结该题类型和思路。

注意:公共角这一隐含条件思路4：已知两角→找任一边 AB=AE （ASA) 或AC=AD (AAS)或 DE=BC (AAS)例题讲解：1．已知：如图1，AE=AC ， AD=AB ，∠EAC=∠DAB ，求证：△EAD ≌△CAB ．解：提示：先证∠EAD=∠CAB ，再由SAS 即可证明．（学生完成）ACBED2．已知，如图2，D 是△ABC 的边AB上一点, DF 交AC 于点E, DE=FE, FC ∥AB,求证：AD=CF ．解：提示：由ASA 或AAS ，证明△ADE ≌△CFE ．．（学生完成）3．阅读下题及证明过程：已知：如图3， D 是△ABC 中BC 边上一点，E 是AD 上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE ．证明：在△AEB 和△AEC 中， ∵EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，AE=AE ，∴△AEB ≌△AEC ……第一步∴∠BAE=∠CAE ……第二步问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．解：上面证明过程不正确; 错在第一步. 正确过程如下：在△BEC 中，∵BE=CE ， ∴∠EBC=∠ECB ，又∵∠ABE=∠ACE ，∴∠ABC=∠ACB ， ∴AB=AC. 在△AEB 和△AEC 中, AE=AE. BE=CE, AB=AC, ∴△AEB ≌△AEC, ∠BAE=∠CAE.4．如图4所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．解：如图5所示，过B 点作BH ⊥BC 交CE 的延长线于H 点． ∵∠CAD ＋∠ACF ＝90°，∠BCH ＋∠ACF ＝90°， ∴∠CAD ＝∠BCH ．在△ACD 与△CBH 中,∵∠CAD ＝∠BCH ，AC ＝CB ，∠ACD ＝∠CBH ＝90°，∴△ACD ≌△CBH ．∴∠ADC ＝∠H ① CD ＝BH ， ∵CD ＝BD ，∴BD ＝BH ． ∵△ABC 是等腰直角三角形，∠CBA ＝∠HBE ＝45°∴在△BED 和BEH 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠=BE,BE EBH,EBD ,＝＝BH BD ，∴△BED ≌△BEH ．∴∠BDE ＝∠H ， ② 由①②得，∠ADC ＝∠BDE ．二．直角三角形全等的判定重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ）难点：创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。