三重积分的计算方法
三重积分的计算方法小结与例题
三重积分的计算方法介绍:三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分(一重积分)和一个二重积分。
从顺序看：Z2如果先做定积分f (x, y, z)dz，再做二重积分 F (x, y)d；「，就是“投Z i D影法”也即“先一后二”。
步骤为：找0及在xoy面投影域D。
多D上一点(x,y) “穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步(定积分)；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完Z2成“后二”这一步。
III f (x, y, z)dv 二[f (x, y, z)dz]dcQ D z iC2如果先做一重积分11 f (x, y, z)d；二再做定积分F (z)dz，就是“截面D z q法”也即“先二后一”。
步骤为：确定。
位于平面z = °与z=c2之间，即z • [C1,C2]，过z作平行于xoy面的平面截门，截面D z。
区域D z的边界曲面都是z的函数。
计算区域D z上的二重积分i if(x, y,z)d二，完成D zC2了“先二”这一步(二重积分)；进而计算定积分.F(z)dz，完成“后C iC2一”这一步。
H I f(x,y,z)dv = [ f (x, y,z)d；「]dzQ C i D z当被积函数f (z)仅为z的函数(与x,y无关)，且D z的面积二⑵容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下几点考虑：将积分区域「投影到xoy面，得投影区域D(平面)(1) D是X型或丫型，可选择直角坐标系计算(当门的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算)(2)D是圆域(或其部分)，且被积函数形如f(x2・y2),fd)时,x 可选择柱面坐标系计算(当「为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算)(3)门是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2• y2z2)时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是多元函数积分的一种，它是对三维空间内的函数进行积分运算。
在物理学、工程学和数学等领域都有着广泛的应用。
在进行三重积分的计算时，我们需要掌握一定的方法和技巧，下面将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们来看看三重积分的计算公式。
对于函数f(x, y, z)，其在空间区域V 上的三重积分可以表示为：∭f(x, y, z)dV。
其中，∭表示三重积分的符号，f(x, y, z)是被积函数，dV表示体积元素。
在直角坐标系中，体积元素dV可表示为dxdydz，因此三重积分可以表示为：∭f(x, y, z)dxdydz。
接下来，我们将介绍三种常见的计算方法，直角坐标系下的三重积分、柱坐标系下的三重积分和球坐标系下的三重积分。
在直角坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为x、y、z的函数，然后按照一定的积分次序进行计算。
通常情况下，我们会先对z进行积分，再对y 进行积分，最后对x进行积分。
这样可以将三重积分转化为三次一重积分的计算，简化计算过程。
在柱坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为ρ、θ、z的函数，其中ρ表示点到z轴的距离，θ表示点在xy平面上的极角。
通过变量替换和雅可比行列式的计算，我们可以将直角坐标系下的三重积分转化为柱坐标系下的三重积分，从而简化计算。
在球坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为r、θ、φ的函数，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在xy平面上的极角，φ表示点与z轴的夹角。
通过变量替换和雅可比行列式的计算，我们可以将直角坐标系下的三重积分转化为球坐标系下的三重积分，从而简化计算。
除了上述的常见计算方法外，我们在进行三重积分的计算时，还需要注意积分区域的确定、被积函数的合理选择、积分次序的调整等问题。
在实际应用中，我们还可以利用对称性、奇偶性等性质简化计算过程。
总之，三重积分是多元函数积分的一种重要形式，它在实际问题中有着广泛的应用。
掌握三重积分的计算方法，对于深入理解多元函数的性质和解决实际问题具有重要意义。
三重积分计算方法
三重积分计算方法三重积分是多重积分中的一种，用于计算三维空间中的体积、质量、重心等物理量。
本文将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们需要了解三重积分的定义。
给定一个定义在三维空间上的函数f(x,y,z)，我们要计算其在一些区域V内的积分。
这个区域V可以用一组不等式给出，比如x的取值范围是a到b，y的取值范围是c到d，z的取值范围是e到f。
则三重积分的定义如下：∭f(x, y, z) dV = ∬∫f(x, y, z) dx dy dz其中，dV 表示体积元素，dx dy dz 分别表示 x、y、z 方向上的微小长度。
积分号的上方是积分的区域 V，下方是被积函数 f(x, y, z)。
下面我们将介绍三重积分的计算方法。
1.直角坐标系下的三重积分计算方法:在直角坐标系中，我们可以利用变量分离的方法计算三重积分。
假设要计算的函数f(x,y,z)可以分离为三个只与一个变量有关的函数，即f(x,y,z)=g(x)h(y)i(z)。
则三重积分可以分解为三个单重积分的乘积：∭f(x, y, z) dV = ∫g(x)dx * ∫h(y)dy * ∫i(z)dz这种方法适用于函数可以分离的情况，但是实际上很少遇到这种情况。
2.柱面坐标系下的三重积分计算方法:在柱面坐标系中，我们用(ρ,φ,z)表示点的坐标，其中ρ表示点到z轴的距离，φ表示点到x轴的夹角，z表示点在z轴上的高度。
在柱面坐标系中，体积元素dV可以表示为：dV = ρ dρ dφ dz因此，柱面坐标系下的三重积分可以表示为：∭f(x, y, z) dV = ∫∫∫ f(ρ cos φ, ρ sin φ, z) ρ dρdφ dz这种方法适用于具有柱面对称性的函数，即函数在ρ和φ方向上具有分离变量的特点。
3.球面坐标系下的三重积分计算方法:在球面坐标系中，我们用(r,θ,φ)表示点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点到z轴的夹角，φ表示点到x轴的夹角。
三重积分计算法
如图,将 设 如图 将 向xoy面投影， 面投影 得 D xy ,以 D xy 的边界为准 以 线母线平行于z轴的柱面 线母线平行于 轴的柱面 分为下上两个边界： 把 分为下上两个边界：
O
z
z = z2 ( x, y) z2 S2
z = z1 ( x , y ) , z = z2 ( x , y )
0
xdz
= ∫ dx ∫
0
1 0
D 1
= ∫ xdx ∫
1 x 2 0 1 x 2 0
dy ∫
1 x 2 y
0
xdz
(1 x 2 y )dy
1 1 1 2 3 = ∫ ( x 2 x + x )dx = 4 0 48
例2 将 ∫∫∫ f (x, y, z)dv 化为直角坐标系下的
三次积分， 三次积分，其中 是由平面 x＋y＋z＝1， ＋ ＋＝ ， x＋y＝1，x＝0，y＝0，z＝1围成的区域。 ＋ ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ 围成的区域 围成的区域。 解 ， 的投影 Dxy 是x+y=1， y
Dρθ
1(
2 ( ρ,θ )
, )
f (ρ cosθ, ρ sinθ, z)dz
若 Dρθ : ρ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ρ2 (θ ) , α ≤ θ ≤ β 则三重积分化为柱面坐标的三次积分：
∫∫∫ f ( x, y, z )dv
= ∫ dθ ∫
α
β
ρ 2 (θ ) ρ1 (θ )
ρd ρ ∫
∫∫∫ f ( x , y, z )dv = ∫∫ [∫
Dxy
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz ]dxdy
三重积分
知识结构图1、三重积分概念理解三重积分的概念是要注意⑴若1),,(=z y x f 时，则⎰⎰⎰=vv dv z y x f ),,(，其中|v|为V 的体积。
例:利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体体积：1) 226y x z --=及)(22y x z +=;2)az z y x 2222=++(a>0)及222z y x =+（含有Z 轴的部分） 3) )(22y x z +=及22y x z += 4))5(22y x z --=及z y x 422=+⑵三重积分的物理意义:若V 是某物体所占有的空间闭区域，连续函数),,(z y x f 为该物体的密度函数，则三重积分⎰⎰⎰vdv z y x f ),,(的值等与该物体的质量。
例1:设有一物体，占有空间闭区域}10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ，在点),,(z y x 处的密度为z y x z y x ++=),,(ρ，计算该物体的质量。
例2:球心在原点、半径为R 的球体，在任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的质量。
2、三重积分的计算方法一、利用直角坐标进行三重积分 投影法步骤为:以平行与坐标轴的直线穿过区域V 的边界曲面而定，先穿过的为下限后穿过的为上限，确定的积分限，完成“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。
围成的闭区域。
例：计算三重积分⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I，其中Ω为平面1=++z y x 与三个坐标面0,0,0===z y x解：画出Ω及在xoy 面投影域D.“穿线”y x z --≤≤10X 型D ：xy x -≤≤≤≤1010 ∴Ω：yx z xy x --≤≤-≤≤≤≤10101三重积分概念三重积分 存在性三重积分 计算利用球面坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----Ω+---=--===101032210101010102]31)1()1[(21)1(21dx y y x y x dy y x dx zdz dydx zdxdydz I x x y x x241]4123[61)1(6110410323=-+-=-=⎰x x x x dx x截面法步骤为：计算区域上的二重积分 ，完成“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分，完成“后一”这一步。
三重积分的计算方法
关于三重积分，是数一的内容。
三重积分核心也就是选对三重积分三大类方法，做什么题适合什么样的方法比较简便。
先总结关于三重积分的方法三重积分的计算方法：总结三种坐标形式1.直角坐标法①先一后二（先对z求积分，再对xy求积分）需要注意的是，在对xy积分的时候，积分区域是在xoy上面的投影②先二后一（先对xy积分，再对z积分）这里对z的积分的时候，积分区域是垂直z轴平面所截的区域适合先二后一：①被积函数：只含有x，y，z其中一个②积分区域：用 z=z0 截取后面积易求直角坐标系下求三重积分“先二后一”2.柱坐标{x=rcosθy=rsinθz=z公式∭Ωf(x,y,z)=∭Ωf(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdzx2+y2=r2注意：什么时候适合柱坐标①被积函数：出现x2+y2②积分区域：积分区域在xoy面上能用极坐标表示用柱面坐标计算三重积分3.球坐标{x=rsinφcosθy=rsinφsinθz=zcosφ,公式∭Ωf(x,y,z)dv=∭Ωf(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)r2sinφdrdθdzx2+y2+z2=r2注意：什么时候适合球坐标①被积函数出现x2+y2+z2②积分区域是一个球或者是一个锥体θ就是投影在xoy的角度范围，φ就是过原点，引一条射线,向下转，转出积分区域范围就是φ的范围用球面坐标计算三重积分4.一些常见积分区域的几何图形① z=x2+y2② z=x2+y2③ z=a−x2−y2④ z=a−x2−y25.更换三重积分的次序这里常见的是两种问题，一种是累次积分交换次序，另一种是计箅累次积分，计算累次积分通常也是通过交换累次积分次序来进行.交换三重累次积分次序本应像二重累次积分一样，先画域，然后再重新定限，然而，这里画域往往比较困难，通常利用二重积分交换次序逐步实现三重累次积分交换次序。
三重积分的各种计算方法
三重积分的各种计算方法计算： ()f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰，，. 当积分区域Ω的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数 () f x y z ，， 用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标( )F z d d dz ρρθρθΩ⎰⎰⎰，，()2s ()in r F r drd d θϕϕθϕΩ⎰⎰⎰，或，计算三重积分比较简单。
—— 重积分的换元积分法_____________________________________________________________________三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：_____________________________________________________________________1. 如果先做定积分21() z z f x y z dz ⎰，，，再做二重积分(,)xyD F x y d σ⎰⎰，就是投影法，也即 “先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影区域D 。
过D 上一点() x y ，“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D 上的二重积分，完成“后二”这一步，即()()21,,(,,)[(,,)]xy z x y D z x y f x y z dv f x y z dz d σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰_____________________________________________________________________2. 如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是截面法，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面1 z c =与2 z c =之间，即12[,]z c c ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
三重积分的几种计算方法
例5. 计算 zdxdydz,
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解：x2+y2+z2=1 r=1
z
用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
0
x
y
原积分
r cos r 2sindrdd
*
2
0 d
r 3cos sin drd
D ( )
z x 0
2
0 d
z
z=z2(x, y)
f (x, y, z)dxdydz
y
[ z2 (x,y) f (x, y, z)dz]dxdy
z=z1(x, y)
D z1 ( x, y)
D
y=y2(x)
0
a y=y1(x) b
x
设 D 为 在 xy 平面上投影区域.
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
z
x2 y2
.
4
y 原积分
a
r 2 r 2 sin drdd *
2
0 d
r 4sindrd
D( )
z
y
a
x
2
0 d
r 4sindrd
D( )
2
0
d
4
0
sin d
0ar
4dr
z
1a5 (2 2)
r=a
5
4
例7. 计算 f (x, y, z)dxdydz,表为球坐标系中的三 次积分，其中 为x2+y2+(z1)2≤1.
0
y= OPsin = rsin sin
yy
z= r cos
三重积分的计算及重积分的应用
三重积分的计算及重积分的应用三重积分是在三维空间中计算一些函数在一个有界区域内的体积的方法。
它是对二重积分的一种扩展，可以应用于多种问题中，包括物理、工程和数学等领域。
本文将从三重积分的计算方法开始，然后介绍一些三重积分的应用，以及如何解决这些应用问题。
一、三重积分的计算方法要计算三重积分，首先需要定义积分的坐标系和被积函数。
常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
选择合适的坐标系可以简化计算过程。
被积函数通常是一个连续函数或分段连续函数，也可以是具有一些特殊性质的函数，如奇函数或偶函数。
在直角坐标系中，三重积分的一般形式为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是被积函数，dV表示元体积元素。
元体积元素可以表示为dx dy dz，也可以写成其他坐标系对应的形式。
根据积分的定义，三重积分可以分解为对三个变量的依次积分。
具体方法为，先对z进行积分，然后再对y进行积分，最后对x进行积分。
以直角坐标系为例，三重积分可以表示为∭f(x,y,z)dxdydz。
其中，积分范围为对每个变量的积分范围进行限定。
对被积函数的积分范围的限定可以通过对空间区域的几何性质进行分析得到。
常见的限定方式有矩形区域和曲线边界。
根据具体问题，可以采用不同的方法来确定积分限定条件。
计算三重积分时，可以选择适当的计算工具，如数值积分、符号计算软件或计算机程序，并利用计算机进行数值计算。
三重积分在许多领域都有广泛的应用。
以下将介绍几个常见的应用以及解决这些应用问题的方法。
1.计算物体体积三重积分可以用于计算复杂形状的物体的体积。
通过将物体分解为无穷小的体积元素，然后对每个体积元素进行积分，最后将所有体积元素的积分结果相加，就可以得到整个物体的体积。
例如，计算一个以球面为上下界的圆锥体的体积。
首先可以选择球坐标系，然后确定积分限定条件，如半径和角度范围。
然后将球坐标系下的体积元素转换为直角坐标系下的体积元素进行积分。
最后将所有体积元素的积分结果相加，即可得到圆锥体的体积。
三重积分的计算及重积分的应用
三重积分的计算及重积分的应用三重积分是多元函数积分中的一种，用于计算三维空间内的体积、质量、重心、转动惯量等物理量。
在实际应用中，三重积分可以用于求解物体的质心、转动惯量、力矩等问题，对于解决工程问题具有重要的应用价值。
一、三重积分的计算方法1.直接计算法直接计算法是指直接根据题目给出的积分区域及被积函数的表达式，逐步求解三个方向上的单重积分，然后相乘求和得到最终结果。
以计算空间区域内的体积为例，设被积函数为f(x,y,z)，积分区域为D。
则三重积分的计算公式为：V=∬∬∬_Df(x,y,z)dV其中dV表示体积元素，其表达式为：dV = dx dy dz通过逐步计算对应方向上的单重积分，并依次相乘求和，即可得到最终结果。
2.换元积分法换元积分法是指通过变换坐标系，使得原三重积分的积分区域变得简单，从而通过较简单的计算求解三重积分。
例如，对于柱坐标系下的三重积分计算，可以通过将空间直角坐标系(x,y,z)转换为柱坐标系(ρ,θ,z)，从而简化积分区域的描述。
然后，利用变量替换求解对应的柱坐标系下的三重积分。
1.质心的求解质心是物体在三维空间中的一个特殊点，对于均匀物体而言，质心位于其几何中心。
通过三重积分，可以求解复杂物体的质心位置。
设物体的质量密度函数为ρ(x,y,z)，则质心的坐标(x₀,y₀,z₀)可以通过以下公式计算得到：x₀=∬∬∬_Dxρ(x,y,z)dV/my₀=∬∬∬_Dyρ(x,y,z)dV/mz₀=∬∬∬_Dzρ(x,y,z)dV/m其中m表示物体的总质量，D表示物体的几何形状。
2.转动惯量的求解转动惯量是刻画物体对转动运动的惯性特征，通过三重积分可以求解物体的转动惯量。
设物体的质量密度函数为ρ(x,y,z)，则绕一些轴旋转的转动惯量I 可以通过以下公式计算得到：I=∬∬∬_D(y²+z²)ρ(x,y,z)dV3.力矩的求解力矩是物体受力后产生的力矩矩阵，通过三重积分可以计算物体受力后的力矩。
三重积分计算法
柱面坐标法
柱坐标系
将直角坐标系中的点表示为柱坐标形式，适用于具有圆柱对称性的三重积分。
积分顺序
通常按照先对半径进行积分，再对角度进行积分，最后对高度进行积分的顺序 进行计算。
球面坐标法
球坐标系
将直角坐标系中的点表示为球坐标形式 ，适用于具有球对称性的三重积分。
VS
积分顺序
通常按照先对半径进行积分，再对天顶角 进行积分，最后对方位角进行积分的顺序 进行计算。
计算质心坐标
质心坐标的定义
质心是物体质量的中心，其坐标可通过三重积分计算 得到。
质心坐标的计算公式
在直角坐标系下，质心坐标的计算公式为质量密度函 数对坐标的三重积分除以物体总质量。
质心坐标的应用
质心坐标在物理学、工程学等领域有广泛应用，如计 算物体的转动惯量、稳定性分析等。
计算转动惯量
转动惯量的定义
计算曲面面积
参数曲面面积的计算
对于由参数方程表示的曲面，可利用参数方 程求导得到曲面的法向量，进而计算曲面面 积。
显式曲面面积的计算
对于由显式方程表示的曲面，可利用偏导数求得曲 面的法向量，进而计算曲面面积。
隐式曲面面积的计算
对于由隐式方程表示的曲面，可利用隐函数 的求导法则求得曲面的法向量，进而计算曲 面面积。
02
三重积分的计算方法
先一后二法
投影法
将三重积分转化为二重积分，通过投 影确定积分区域。
截面法
通过截面确定被积函数在不同区间的 表达式，进而计算三重积分。
先二后一法
逆序法
将三重积分转化为累次积分，先对两 个变量进行积分，再对第三个变量进 行积分。
变量替换法
通过变量替换简化被积函数和积分区 域，进而计算三重积分。
三重积分的计算方法与例题
三重积分的计算⽅法与例题三重积分的计算⽅法：三重积分的计算是化为三次积分进⾏的。
其实质是计算⼀个定积分（⼀重积分）和⼀个⼆重积分。
从顺序看：如果先做定积分?21),,(z z dz z y x f ，再做⼆重积分??Dd y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先⼀后⼆”。
步骤为：找Ω及在xoy ⾯投影域D 。
多D 上⼀点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先⼀”这⼀步（定积分）；进⽽按⼆重积分的计算步骤计算投影域D 上的⼆重积分，完成“后⼆”这⼀步。
σd dz z y x f dv z y x f Dz z Ω=21]),,([),,(如果先做⼆重积分??zD d z y x f σ),,(再做定积分?21)(c c dz z F ，就是“截⾯法”，也即“先⼆后⼀”。
步骤为：确定Ω位于平⾯21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平⾏于xoy ⾯的平⾯截Ω，截⾯z D 。
区域z D 的边界曲⾯都是z 的函数。
计算区域z D 上的⼆重积分??zD d z y x f σ),,(，完成了“先⼆”这⼀步（⼆重积分）；进⽽计算定积分?21)(c c dz z F ，完成“后⼀”这⼀步。
dz d z y x f dv z y x f c c D z]),,([),,(21σΩ=当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y ⽆关），且z D 的⾯积)(z σ容易求出时，“截⾯法”尤为⽅便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下⼏点考虑：将积分区域Ω投影到xoy ⾯，得投影区域D(平⾯)（1） D 是X 型或Y 型，可选择直⾓坐标系计算（当Ω的边界曲⾯中有较多的平⾯时，常⽤直⾓坐标系计算）（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22xyf y x f +时，可选择柱⾯坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常⽤柱⾯坐标计算）以上是⼀般常见的三重积分的计算⽅法。
三重积分的各种计算方法
x 2 + y 2 dz
= dx
−1
1
1− x 2
− 1− x 2
x 2 + y 2 (1 − x 2 + y 2 )dy
=
6
（注：可用柱坐标计算。 ）
解法二： “截面法” 1. 画出 。
0 2 : 0 r z 0 z 1
2. z [0,1] 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截 得 D z ： x 2 + y 2 z 2
c1
c2
完成“后一”这一步，即
f ( x, y, z)dxdydz = [ f ( x, y, z ) d ] dz
c1 Dz
c2
当被积函数 f ( z ) 仅为 z 的函数（与 x，y 无关） ，且 D z 的面积 ( z) 容易求出时， “截 面法”尤为方便。
_____________________________________________________________________
0 2 Dz ： 0 r z
下面用柱坐标计算积分结果 3. 计算：
x + y dxdydz = [ x 2 + y 2 dxdy ]dz
2 2 0 Dz
1
= [ d r 2 dr ]dz
0 0 0
1
2
z
1 2 z = 2 [ r 3 ]0 dz = z 3dz 3 3 0 0
2 2
三重积分的计算方法例题：
补例 1：计算三重积分 I
= zdxdydz ，其中 为平面 x + y + z = 1 与三个坐标面 x = 0，y = 0，z = 0
三重积分计算方法
(1 y z )2
Dyz
1 dy
0
1
x
1 1 y -(1-y )2 (1 e )dy 0 4e 2
1
y
0
(1 y )(1 y z )e
-(1-y-z )2
例4 计算 ( z 2 x )dv， : x 2 y 2 z 2 R 与
于是引力F在三个坐标方向上的分量为
m ( x , y , z )( x a ) Fx G dv, 3 r V m ( x , y , z )( y b) Fy G dv, 3 r V m ( x , y , z )( z c ) Fz G dv. 3 r V
,
M zx y M
y ( x , y, z )dV ( x , y, z )dV
x
, z M xy M
o x
z
dV y
y
z ( x , y, z )dV ( x , y, z )dV
(二) 转动惯量
(1) 平面薄片的转动惯量
y
y
I x y 2 ( x , y )d
x 2 y 2 2az 所围成立体的表面积. z
a
o
x
y
例10 求半球面 z 3a 2 x 2 y 2与旋转抛物面
x 2 y 2 2az 所围成立体的表面积. z
S = S1 S2
S1
S2
. .
o
D
.
2a
y
z 3a 2 x 2 y 2 D: 2 2 x y 2az x 2 y 2 2a 2 即 z 0
三重积分的计算
第三节 三重积分的计算一、 利用直角坐标系计算三重积分 三重积分的定义：∑⎰⎰⎰=→=ni i i i i V f dV z y x f 1),,(lim),,(∆ςηξλΩ． 三重积分中体积元素可表示为dxdydz dV =，于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩΩdxdydz z y x f dV z y x f ),,(),,(．三重积分的计算是将其化为计算一个定积分和一个二重积分，最终都要转化为计算三次定积分．１、 坐标面投影法（先一后二计算法） 由上次课的引例知，三重积分⎰⎰⎰ΩdV z y x f ),,(可看成为体密度为),,(z y x f 且占有空间区域Ω的立体的质量．设区域Ω在xOy 面上的投影区域为D ，以D 的边界为准线作平行于z 轴的柱面，将V 分为上下两个曲面，其方程分别为),(:22y x z z =∑ ),(:11y x z z =∑设它们为D 上的单值连续函数，且),(),(21y x z z y x z ≤≤，用垂直于x轴和y 轴的平面将区域D 分为若干个细长条，对应于小区域σd 高度为dz 的小薄片的质量近似等于dz d z y x f σ),,(，所以细长条的质量用微元法求得为σσd dz z y x f dz d z y x f y x z y x z y x z y x z ]),,([),,(),(),(),(),(2121⎰⎰=再将其在区域D 上求二重积分，得到立体的质量为⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Dy x z y x z d dz z y x f dV z y x f σΩ]),,([),,(),(),(21上面公式对于一般情形仍然成立，于是我们有下面结果． 当积分区域Ω可以表示为:Ω⎩⎨⎧∈≤≤xyD y x y x z z y x z ),(),(),(21 其中xy D 为Ω在xOy 面上的投影，此时称Ω为xy －型区域． 则有计算公式⎰⎰⎰⎰⎰⎰=xyD y x z y x z dxdy dz z y x f dV z y x f ]),,([),,(),(),(21Ω．进一步，如果D 是x －型区域，即Ω可表示为如下不等式组Ω：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤),(),( )()( 2121y x z z y x z x y y x y b x a 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Dy x z y x z dxdy dz z y x f dxdydz z y x f ]),,([),,(),(),(21Ω⎰⎰⎰=),(),()()(2121),,(y x z y x z x y x y ba dz z y x f dy dx由于上面计算公式实际上是先求一个单积分，再求一个二重积分，因此称为先一后二计算法．类似地，积分区域还有yz －型区域，zx －型区域，都有类似公式．例如对于yz －型区域，Ω可表示为⎩⎨⎧∈≤≤),(),(),(21yz D z y z y x x z y x 则有公式⎰⎰⎰⎰⎰⎰=yzD z y x z y x d dx z y x f dV z y x f σΩ]),,([),,(),(),(21例１ 计算三重积分⎰⎰⎰Vxdxdydz ，其中V 为三个坐标面和平面12=++z y x 所围成的闭区域．解 从图上看出，积分区域可以用如下不等式组表示为⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤-≤≤≤≤yx z x y x 210 21010 由上面公式有481)2(41)21(10322101021021010=+-=--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----dx x x x dyy x x dx xdz dy dx xdxdydz xy x x V例２ 求由抛物面z y x -=+622，平面0=x ，0=y ，1=x ，2=y 及z y 4=所围成的立体的体积．解 从立体图形看出，区域V 可以用不等式组表示为⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤≤≤≤≤2264/ 2010y x z y y x 6492264201===⎰⎰⎰⎰⎰⎰--y x y Vdz dy dx dV V ． ２、 坐标投影法（截面法或先二后一法）如果将空间区域Ω向z 轴作投影得一投影区间],[q p ，且Ω能够表示为Ω：⎩⎨⎧≤≤∈qz p D y x z),(．其中z D 是过点),0,0(z 且平行于xOy 面的平面截Ω所得的平面区域，就称Ω为z 型空间区域。
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法
计算三重积分的方法主要包括直接计算、分离变量法和曲面边界法。
下面将对这些方法逐一介绍。
1. 直接计算法：
首先要确定积分的积分区域，并将其表示为三个变量的范围。
然后，可以选择合适的坐标系来描述该区域，并将被积函数转化为所选坐标系中的函数表达式。
下一步，可以将积分区域分成小块，对每一个小块进行积分。
当小块足够小的时候，可以近似将积分区域看作是直角坐标系中的长方体，这样就可以直接应用三重积分的定义式进行计算。
2. 分离变量法：
分离变量法适用于被积函数可以分离成三个变量的乘积形式
的情况。
首先，将被积函数分别对三个变量进行积分，得到三个独立的一重积分。
然后，将这些一重积分结果相乘，即可得到三重积分的值。
3. 曲面边界法：
曲面边界法适用于积分区域可以被曲面围成的情况。
首先，
需要找到这个曲面，然后对其进行参数化描述。
接下来，可以通过对参数化曲面的法向量和被积函数进行点乘，来得到被积函数在曲面上的投影。
最后，对该投影在参数域内的面积进行二重积分，即可得到三重积分的值。
以上是三重积分的计算方法的简要介绍。
具体的计算步骤和技
巧会因具体问题的不同而有所变化。
需要根据具体问题的要求和特点，选择适合的方法进行计算。
三重积分的计算方法例题
三重积分的计算方法例题摘要：一、三重积分的概念及应用场景二、三重积分的计算方法1.重积分的计算2.重积分的换元法3.重积分的性质4.重积分的几何意义三、实例解析四、总结与拓展正文：一、三重积分的概念及应用场景三重积分是一种多元函数的积分形式，通常表示为对空间中一个几何体内部的属性进行积分。
它在物理学、工程学、经济学等领域具有广泛的应用。
三重积分的计算方法有多种，包括重积分、换元法等。
二、三重积分的计算方法1.重积分的计算重积分是指对一个空间函数在某个区域内的值进行积分。
求解重积分的过程通常包括以下步骤：确定被积函数、确定积分区域、选择积分顺序、进行积分计算。
2.重积分的换元法重积分的换元法是一种求解重积分的高效方法。
通过引入一个新的变量，将复杂的重积分问题转化为简单的一重积分问题。
换元法的关键在于选择合适的换元函数，使得积分过程变得简洁。
3.重积分的性质重积分具有线性、可交换、满足乘法公式等性质。
这些性质使得重积分在实际计算中具有很好的灵活性，可以简化计算过程。
4.重积分的几何意义重积分在几何上的意义是对一个立体图形的质量进行求解。
具体来说，重积分可以表示为空间曲线长度、曲面面积或体积的函数。
这为求解空间几何问题提供了理论依据。
三、实例解析以一个球体的体积为例，介绍三重积分的计算过程。
设球体的半径为R，球体的密度为ρ。
我们需要求解球体内部某一区域内质量的分布。
1.确定被积函数：球体内部的密度函数，即ρ(x, y, z)。
2.确定积分区域：球体内部，用球坐标系表示为x^2 + y^2 + z^2 <R^2。
3.选择积分顺序：先对z积分，再对y积分，最后对x积分。
4.进行积分计算：利用重积分公式，计算出球体内部的质量分布。
四、总结与拓展本文详细介绍了三重积分的计算方法，包括重积分、换元法等。
通过实际应用场景和实例解析，加深了对三重积分的理解。
在实际问题中，三重积分有着广泛的应用，掌握其计算方法有助于解决诸多实际问题。
三重积分的计算方法与例题
三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：如果先做定积分⎰21),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰Dd y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。
多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。
σd dz z y x f dv z y x f Dz z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=21]),,([),,(如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
区域z D 的边界曲面都是z 的函数。
计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一”这一步。
dz d z y x f dv z y x f c c D z]),,([),,(21σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22xyf y x f +时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。