三重积分的计算方法
三重积分的计算方法小结与例题
三重积分的计算方法介绍:三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分(一重积分)和一个二重积分。
从顺序看：Z2如果先做定积分f (x, y, z)dz，再做二重积分 F (x, y)d；「，就是“投Z i D影法”也即“先一后二”。
步骤为：找0及在xoy面投影域D。
多D上一点(x,y) “穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步(定积分)；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完Z2成“后二”这一步。
III f (x, y, z)dv 二[f (x, y, z)dz]dcQ D z iC2如果先做一重积分11 f (x, y, z)d；二再做定积分F (z)dz，就是“截面D z q法”也即“先二后一”。
步骤为：确定。
位于平面z = °与z=c2之间，即z • [C1,C2]，过z作平行于xoy面的平面截门，截面D z。
区域D z的边界曲面都是z的函数。
计算区域D z上的二重积分i if(x, y,z)d二，完成D zC2了“先二”这一步(二重积分)；进而计算定积分.F(z)dz，完成“后C iC2一”这一步。
H I f(x,y,z)dv = [ f (x, y,z)d；「]dzQ C i D z当被积函数f (z)仅为z的函数(与x,y无关)，且D z的面积二⑵容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下几点考虑：将积分区域「投影到xoy面，得投影区域D(平面)(1) D是X型或丫型，可选择直角坐标系计算(当门的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算)(2)D是圆域(或其部分)，且被积函数形如f(x2・y2),fd)时,x 可选择柱面坐标系计算(当「为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算)(3)门是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2• y2z2)时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是多元函数积分的一种，它是对三维空间内的函数进行积分运算。
在物理学、工程学和数学等领域都有着广泛的应用。
在进行三重积分的计算时，我们需要掌握一定的方法和技巧，下面将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们来看看三重积分的计算公式。
对于函数f(x, y, z)，其在空间区域V 上的三重积分可以表示为：∭f(x, y, z)dV。
其中，∭表示三重积分的符号，f(x, y, z)是被积函数，dV表示体积元素。
在直角坐标系中，体积元素dV可表示为dxdydz，因此三重积分可以表示为：∭f(x, y, z)dxdydz。
接下来，我们将介绍三种常见的计算方法，直角坐标系下的三重积分、柱坐标系下的三重积分和球坐标系下的三重积分。
在直角坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为x、y、z的函数，然后按照一定的积分次序进行计算。
通常情况下，我们会先对z进行积分，再对y 进行积分，最后对x进行积分。
这样可以将三重积分转化为三次一重积分的计算，简化计算过程。
在柱坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为ρ、θ、z的函数，其中ρ表示点到z轴的距离，θ表示点在xy平面上的极角。
通过变量替换和雅可比行列式的计算，我们可以将直角坐标系下的三重积分转化为柱坐标系下的三重积分，从而简化计算。
在球坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为r、θ、φ的函数，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在xy平面上的极角，φ表示点与z轴的夹角。
通过变量替换和雅可比行列式的计算，我们可以将直角坐标系下的三重积分转化为球坐标系下的三重积分，从而简化计算。
除了上述的常见计算方法外，我们在进行三重积分的计算时，还需要注意积分区域的确定、被积函数的合理选择、积分次序的调整等问题。
在实际应用中，我们还可以利用对称性、奇偶性等性质简化计算过程。
总之，三重积分是多元函数积分的一种重要形式，它在实际问题中有着广泛的应用。
掌握三重积分的计算方法，对于深入理解多元函数的性质和解决实际问题具有重要意义。
三重积分计算方法
三重积分计算方法三重积分是多重积分中的一种，用于计算三维空间中的体积、质量、重心等物理量。
本文将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们需要了解三重积分的定义。
给定一个定义在三维空间上的函数f(x,y,z)，我们要计算其在一些区域V内的积分。
这个区域V可以用一组不等式给出，比如x的取值范围是a到b，y的取值范围是c到d，z的取值范围是e到f。
则三重积分的定义如下：∭f(x, y, z) dV = ∬∫f(x, y, z) dx dy dz其中，dV 表示体积元素，dx dy dz 分别表示 x、y、z 方向上的微小长度。
积分号的上方是积分的区域 V，下方是被积函数 f(x, y, z)。
下面我们将介绍三重积分的计算方法。
1.直角坐标系下的三重积分计算方法:在直角坐标系中，我们可以利用变量分离的方法计算三重积分。
假设要计算的函数f(x,y,z)可以分离为三个只与一个变量有关的函数，即f(x,y,z)=g(x)h(y)i(z)。
则三重积分可以分解为三个单重积分的乘积：∭f(x, y, z) dV = ∫g(x)dx * ∫h(y)dy * ∫i(z)dz这种方法适用于函数可以分离的情况，但是实际上很少遇到这种情况。
2.柱面坐标系下的三重积分计算方法:在柱面坐标系中，我们用(ρ,φ,z)表示点的坐标，其中ρ表示点到z轴的距离，φ表示点到x轴的夹角，z表示点在z轴上的高度。
在柱面坐标系中，体积元素dV可以表示为：dV = ρ dρ dφ dz因此，柱面坐标系下的三重积分可以表示为：∭f(x, y, z) dV = ∫∫∫ f(ρ cos φ, ρ sin φ, z) ρ dρdφ dz这种方法适用于具有柱面对称性的函数，即函数在ρ和φ方向上具有分离变量的特点。
3.球面坐标系下的三重积分计算方法:在球面坐标系中，我们用(r,θ,φ)表示点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点到z轴的夹角，φ表示点到x轴的夹角。
三重积分计算法
如图,将 设 如图 将 向xoy面投影， 面投影 得 D xy ,以 D xy 的边界为准 以 线母线平行于z轴的柱面 线母线平行于 轴的柱面 分为下上两个边界： 把 分为下上两个边界：
O
z
z = z2 ( x, y) z2 S2
z = z1 ( x , y ) , z = z2 ( x , y )
0
xdz
= ∫ dx ∫
0
1 0
D 1
= ∫ xdx ∫
1 x 2 0 1 x 2 0
dy ∫
1 x 2 y
0
xdz
(1 x 2 y )dy
1 1 1 2 3 = ∫ ( x 2 x + x )dx = 4 0 48
例2 将 ∫∫∫ f (x, y, z)dv 化为直角坐标系下的
三次积分， 三次积分，其中 是由平面 x＋y＋z＝1， ＋ ＋＝ ， x＋y＝1，x＝0，y＝0，z＝1围成的区域。 ＋ ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ 围成的区域 围成的区域。 解 ， 的投影 Dxy 是x+y=1， y
Dρθ
1(
2 ( ρ,θ )
, )
f (ρ cosθ, ρ sinθ, z)dz
若 Dρθ : ρ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ρ2 (θ ) , α ≤ θ ≤ β 则三重积分化为柱面坐标的三次积分：
∫∫∫ f ( x, y, z )dv
= ∫ dθ ∫
α
β
ρ 2 (θ ) ρ1 (θ )
ρd ρ ∫
∫∫∫ f ( x , y, z )dv = ∫∫ [∫
Dxy
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz ]dxdy
三重积分
知识结构图1、三重积分概念理解三重积分的概念是要注意⑴若1),,(=z y x f 时，则⎰⎰⎰=vv dv z y x f ),,(，其中|v|为V 的体积。
例:利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体体积：1) 226y x z --=及)(22y x z +=;2)az z y x 2222=++(a>0)及222z y x =+（含有Z 轴的部分） 3) )(22y x z +=及22y x z += 4))5(22y x z --=及z y x 422=+⑵三重积分的物理意义:若V 是某物体所占有的空间闭区域，连续函数),,(z y x f 为该物体的密度函数，则三重积分⎰⎰⎰vdv z y x f ),,(的值等与该物体的质量。
例1:设有一物体，占有空间闭区域}10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ，在点),,(z y x 处的密度为z y x z y x ++=),,(ρ，计算该物体的质量。
例2:球心在原点、半径为R 的球体，在任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的质量。
2、三重积分的计算方法一、利用直角坐标进行三重积分 投影法步骤为:以平行与坐标轴的直线穿过区域V 的边界曲面而定，先穿过的为下限后穿过的为上限，确定的积分限，完成“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。
围成的闭区域。
例：计算三重积分⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I，其中Ω为平面1=++z y x 与三个坐标面0,0,0===z y x解：画出Ω及在xoy 面投影域D.“穿线”y x z --≤≤10X 型D ：xy x -≤≤≤≤1010 ∴Ω：yx z xy x --≤≤-≤≤≤≤10101三重积分概念三重积分 存在性三重积分 计算利用球面坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----Ω+---=--===101032210101010102]31)1()1[(21)1(21dx y y x y x dy y x dx zdz dydx zdxdydz I x x y x x241]4123[61)1(6110410323=-+-=-=⎰x x x x dx x截面法步骤为：计算区域上的二重积分 ，完成“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分，完成“后一”这一步。
三重积分的计算方法
关于三重积分，是数一的内容。
三重积分核心也就是选对三重积分三大类方法，做什么题适合什么样的方法比较简便。
先总结关于三重积分的方法三重积分的计算方法：总结三种坐标形式1.直角坐标法①先一后二（先对z求积分，再对xy求积分）需要注意的是，在对xy积分的时候，积分区域是在xoy上面的投影②先二后一（先对xy积分，再对z积分）这里对z的积分的时候，积分区域是垂直z轴平面所截的区域适合先二后一：①被积函数：只含有x，y，z其中一个②积分区域：用 z=z0 截取后面积易求直角坐标系下求三重积分“先二后一”2.柱坐标{x=rcosθy=rsinθz=z公式∭Ωf(x,y,z)=∭Ωf(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdzx2+y2=r2注意：什么时候适合柱坐标①被积函数：出现x2+y2②积分区域：积分区域在xoy面上能用极坐标表示用柱面坐标计算三重积分3.球坐标{x=rsinφcosθy=rsinφsinθz=zcosφ,公式∭Ωf(x,y,z)dv=∭Ωf(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)r2sinφdrdθdzx2+y2+z2=r2注意：什么时候适合球坐标①被积函数出现x2+y2+z2②积分区域是一个球或者是一个锥体θ就是投影在xoy的角度范围，φ就是过原点，引一条射线,向下转，转出积分区域范围就是φ的范围用球面坐标计算三重积分4.一些常见积分区域的几何图形① z=x2+y2② z=x2+y2③ z=a−x2−y2④ z=a−x2−y25.更换三重积分的次序这里常见的是两种问题，一种是累次积分交换次序，另一种是计箅累次积分，计算累次积分通常也是通过交换累次积分次序来进行.交换三重累次积分次序本应像二重累次积分一样，先画域，然后再重新定限，然而，这里画域往往比较困难，通常利用二重积分交换次序逐步实现三重累次积分交换次序。
三重积分的各种计算方法
三重积分的各种计算方法计算： ()f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰，，. 当积分区域Ω的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数 () f x y z ，， 用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标( )F z d d dz ρρθρθΩ⎰⎰⎰，，()2s ()in r F r drd d θϕϕθϕΩ⎰⎰⎰，或，计算三重积分比较简单。
—— 重积分的换元积分法_____________________________________________________________________三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：_____________________________________________________________________1. 如果先做定积分21() z z f x y z dz ⎰，，，再做二重积分(,)xyD F x y d σ⎰⎰，就是投影法，也即 “先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影区域D 。
过D 上一点() x y ，“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D 上的二重积分，完成“后二”这一步，即()()21,,(,,)[(,,)]xy z x y D z x y f x y z dv f x y z dz d σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰_____________________________________________________________________2. 如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是截面法，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面1 z c =与2 z c =之间，即12[,]z c c ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
三重积分的几种计算方法
例5. 计算 zdxdydz,
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解：x2+y2+z2=1 r=1
z
用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
0
x
y
原积分
r cos r 2sindrdd
*
2
0 d
r 3cos sin drd
D ( )
z x 0
2
0 d
z
z=z2(x, y)
f (x, y, z)dxdydz
y
[ z2 (x,y) f (x, y, z)dz]dxdy
z=z1(x, y)
D z1 ( x, y)
D
y=y2(x)
0
a y=y1(x) b
x
设 D 为 在 xy 平面上投影区域.
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
z
x2 y2
.
4
y 原积分
a
r 2 r 2 sin drdd *
2
0 d
r 4sindrd
D( )
z
y
a
x
2
0 d
r 4sindrd
D( )
2
0
d
4
0
sin d
0ar
4dr
z
1a5 (2 2)
r=a
5
4
例7. 计算 f (x, y, z)dxdydz,表为球坐标系中的三 次积分，其中 为x2+y2+(z1)2≤1.
0
y= OPsin = rsin sin
yy
z= r cos