三重积分的计算方法及 例题
三重积分的概念与计算
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,球面
关于xoy面对称
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
dxdydz
0.
例 计算 ( x y z)2dxdydz其中是由抛物面
z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的空间闭 区域.
解 ( x y z)2
x2 y2 z2 2( xy yz zx)
其中 xy yz是关于 y的奇函数,
在球面坐标系中
体积元素为
化为三次积分， 从小到大，从边界到边界。
例6.求 的体积，它由球心在(0,0, a), 半径为a 的球面
顶点在原点，半顶角为 的锥面围成，如图.
解： 球面方程为 x2 y2 (z a)2 a2
z
2a
在球坐标系下方程为r 2a cos
锥面方程为 所以
且关于zox面对称, ( xy yz)dv 0,
同理 zx是关于 x 的奇函数,
且关于 yoz面对称, xzdv 0,
由 x,y 位置对称性知 x2dv y2dv,
则I ( x y z)2dxdydz
(2x2 z2 )dxdydz,
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
3. 设
计算
提示: 利用对称性
计算三重积分详细方法
一般，先对 z 积分，再对 r ，最后对 积分。 6
例1 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdyd, z 其中
是由z曲 x2面 y2与平 z面 4所围成的闭
解 (1) 画 图
z
(2) 确定 z，r， 的上下限
44
将 向 xoy 面投影，得
D :x2y24
或
02,
D:
0r2.
o•(r,)
yy
xx
就叫M 点 的柱面坐标． z
规定： 0r,
02 ,
•M (x,y,z)
z . 简单地说，柱面坐标就是
or
y
•
P(r,)
x
xoy 面上的极坐标 + z 坐标
4
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐标的 关系为
x r cos ,
y
r
sin
,
z
z.
z
z
or
y
x
z
M (x ,y,z)
•
o
x
r
y
• P(r,) 5
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
d v rdd rd, z
z
rd
dr r dz
于是，
o
y
f(x,y,z)dxdydz
x d
f (r c o ,r ssi,z n )r d dr d . z
再根据 中 z，r， 的关系，化为三次积分。
z
R
任取一 [0,2],过 z
轴作半平面，得
04.
在半平面上，任取一
[0, 4],
x
三重积分的计算方法
学号：2010311010316 姓名：王丰 班级：数统1008班三重积分的计算方法三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：如果先做定积分⎰21),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰Dd y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。
多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。
σd dz z y x f dv z y x f Dz z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=21]),,([),,(如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
区域z D 的边界曲面都是z 的函数。
计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一”这一步。
dz d z y x f dv z y x f c c D z]),,([),,(21σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22xyf y x f +时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。
高数---第3讲 三重积分的计算
第3讲 三重积分的计算一、直角坐标系下三重积分的计算１.先一后二法例1 计算V xdV ⎰⎰⎰，其中V 是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的闭区域. 例2 计算VzdV ⎰⎰⎰,其中{(,,)|0V x y z z =≤≤ 例 3 计算三重积分cos()V y x z dxdydz +⎰⎰⎰,其中V是由抛物柱面y =及平面0,0y z ==及2x z π+=所围区域.2.先二后一法例4 计算sin Vz dxdydz z ⎰⎰⎰,其中V 是由平面,0,0z x y x y =+==及z π=所围成的立体. 例5 已知椭球222222:1x y z V a b c ++≤,其密度222222x y z a b cρ=++,求该椭球体的质量m . 二、柱面坐标下三重积分的计算（适用于有旋转体类型的区域）例1 计算VI zdV =⎰⎰⎰,其中V 是由柱面221x y +=,锥面z =及平面0z =围成的区域. 例2 计算22()V I x y dV =+⎰⎰⎰,其中V 是由曲线220y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所得曲面与平面2z =围成的空间区域.三、球面坐标下三重积分的计算（适用于区域含球形的情形）例1 计算2V I x dV =⎰⎰⎰,其中V由曲面z =和z = 0R >围成. 例2 计算222[()()()]V I x y y z z x dxdydz =-+-+-⎰⎰⎰,其中2222{(,,)|}V x y z x y z R =++≤例3 计算V xyzdxdydz ⎰⎰⎰,其中V 为球体2222xy z a ++≤在第一卦限的部分.例4 求抛物面222z x y =+与2262z x y =--所围立体的体积.练习：1、2V I z dV =⎰⎰⎰，222222:1x y z V a b c ++≤ 3415abc π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2、V I =，2222:(1)1,8V x y z x y +-==+及0z =所围。
三重积分先一后二例题
三重积分先一后二例题
摘要：
一、三重积分的概念和性质
1.三重积分的定义
2.三重积分的性质
二、三重积分的计算方法
1.先一后二法则
2.例题解析
a.计算三重积分∫∫∫(x^2y^3) dxdydz
b.计算三重积分∫∫∫(x^2z^2) dxdydz
三、三重积分在实际问题中的应用
1.物理中的应用
2.工程中的应用
正文：
三重积分是数学中的一种积分方法，用于计算空间中某一个函数在某一范围内的总和。
它的定义是将一个三维空间划分为无数个微小的矩形、立方体或者其它形状的小区域，然后对这些小区域中的函数值进行求和。
三重积分具有一定的性质，例如，它的积分次序可以改变，即先对x 积分、再对y 积分、最后对z 积分，或者先对y 积分、再对z 积分、最后对x 积分，结果是相同的。
这就是所谓的“先一后二”法则。
在计算三重积分时，我们可以利用“先一后二”法则，将三重积分转化为
多次单积分。
例如，对于函数f(x,y,z)=x^2y^3，我们可以先对x 积分，得到一个新的函数g(y,z)=y^3∫x^2dx，然后再对y 和z 积分。
这样就可以将复杂的三重积分转化为简单的多次单积分。
在实际问题中，三重积分常常应用于物理和工程等领域。
例如，在物理学中，可以用三重积分来计算物体的质量、体积和密度等；在工程中，可以用三重积分来计算流体的压力、速度和温度等。
三重积分例题分析
方程变为
4
;
球面方程变为r
=
a,
区域变为＊
{(r,, ) | 0 2 ,0 ,0 r a},
4
故
I (x2 y2 z2 )dxdydz
r2 r2 sindrdd
2
d
4 sind
a r 4dr
0
0
0
2 a5
4 sind
1 a5(2
2).
50
5
(该题也可选择柱面坐标计算，请读者自行完成.)
3x+2y =1Ω2 和 x+y+z z = 6所围成的区域
6
x+y+z=6
y=0 0
.
2 z=0
4
x
6
6
y
计算 I f (x, y,z)dxdydz ：平面y=0 , z=0，3x+y =6,
3x+2y =1Ω2 和 x+y+z z = 6所围成的区域
y
6
6 x y
6
I dxdy0 f ( x, y,z)dz
0
x
zdxdydz zrdrddz
y
*
1
1r 2
rdrd 0 zdz
D
2
1
1r 2
0 d 0 rdr0 zdz
2 1 r (1 r 2 )dr
0
2
4
例例 83. 计算三重积分 z dxdydz。
其中 ：平面 x 1, x 2, y x, z 0,及
2z y 所围成的闭区域.
例1. 计算 xdxdydz, 其中是由平面x+y+z=1
与三个坐标面所围闭区域.
三重积分及其计算
三重积分及其计算三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算。
它在物理、工程、计算机图形学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍三重积分的概念、计算方法以及一些常见的应用。
一、三重积分的定义在直角坐标系中，设函数f(x,y,z)在体积为V的闭区域D上连续，将V分割成许多小体积ΔV，取P_i(x_i,y_i,z_i)为小体积ΔV中的任一点，使ΔV_i=f(P_i)ΔV，其中f(P_i)是P_i点上的函数值。
三重积分的定义为：\[\iiint\limits_{V} f(x, y, z) dV = \lim_{\，\Delta V_i\，\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n} f(P_i) \Delta V_i \]其中，\(\Delta V_i\)表示小体积的体积，n为分割的小体积数量。
二、三重积分的计算方法根据三重积分的定义，可以推导出以下三种计算方法：直接计算、分离变量法和坐标变换法。
1.直接计算法直接计算法较为繁琐，适用于函数f(x,y,z)的表达式较简单的情况。
将积分区域V分成若干个小区域，然后对每个小区域使用定积分的计算方法进行计算，最后将所有小区域的积分值相加即可。
2.分离变量法当函数f(x,y,z)具有可分离变量性质时，可以使用分离变量法来简化积分计算。
即假设有f(x,y,z)=g(x)h(y)k(z)，则有：\[\int\int\int f(x, y, z) dV = \int g(x)dx \int h(y)dy \int k(z)dz\]3.坐标变换法当函数f(x,y,z)在直角坐标系中表达较为复杂时，可以通过坐标变换将其转换为其他坐标系，从而简化积分计算。
常用的坐标变换方法包括球坐标、柱坐标和三角代换等。
具体的变换公式可参考相关数学教材。
三、常见的应用三重积分在物理、工程和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用。
1.物理学在物理学中，三重积分常用于计算物体的质量、质心和转动惯量等。
三重积分先一后二例题
三重积分先一后二例题
摘要：
1.三重积分的概念
2.三重积分的一般步骤
3."先一后二"的例题演示
4.总结
正文：
一、三重积分的概念
三重积分是多元函数积分的一种，它是对一个三维空间中的函数值进行积分。
在实际问题中，常常需要对三维空间中的物理量进行积分计算，例如质点在空间中的位移、速度等。
三重积分就是解决这类问题的有力工具。
二、三重积分的一般步骤
1.确定被积函数：首先，要确定需要积分的函数。
2.确定积分区间：然后，要确定积分的区间，也就是x、y、z 的取值范围。
3.确定积分顺序：接下来，要确定积分的顺序，常见的顺序有"先一后二"、"先二后一"、"先三后二"等。
4.进行积分运算：最后，按照确定的积分顺序，逐步进行积分运算。
三、"先一后二"的例题演示
假设有一个被积函数f(x,y,z)，我们需要对它在区间[0,1]×[0,1]×[0,1] 上进行三重积分。
按照"先一后二"的顺序，我们首先对x 进行积分，然后在结果上对y 进行积分，最后在结果上对z 进行积分。
具体的积分过程如下：
1.对x 进行积分，得到一个关于y 和z 的函数F(y,z)。
2.对F(y,z) 关于y 进行积分，得到一个关于z 的函数G(z)。
3.对G(z) 关于z 进行积分，得到最终的结果。
四、总结
三重积分是解决三维空间问题的重要工具，其中"先一后二"是常见的积分顺序。
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三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：如果先做定积分⎰21),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰Dd y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。
多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。
σd dz z y x f dv z y x f Dz z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=21]),,([),,(如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
区域z D 的边界曲面都是z 的函数。
计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一”这一步。
dzd z y x f dv z y x f c c D z]),,([),,(21σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)（1）D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2）D 是圆域（或其部分），且被积函数形如(),(22xyf y x f +时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。
对Ω向其它坐标面投影或Ω不易作出的情形不赘述。
三重积分的计算方法小结：1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域Ω及被积函数f(x,y,z)的情况选取。
一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）：z D 是Ω在z 处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。
特殊地，对z D 积分时，f(x,y,z)与x,y 无关，可直接计算z D S 。
因而Ω中只要],[b a z ∈,且f(x,y,z)仅含z 时，选取“截面法”更佳。
2.对坐标系的选取，当Ω为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z 或)(22y x zf +时，可考虑用柱面坐标计算。
三重积分的计算方法例题：补例1：计算三重积分⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I ，其中Ω为平面1=++z y x 与三个坐标面0,0,0===z y x 围成的闭区域。
解1“投影法” 1.画出Ω及在xoy 面投影域D.2.“穿线”yx z --≤≤10X 型D ：xy x -≤≤≤≤1010∴Ω：yx z xy x --≤≤-≤≤≤≤1010103.计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----Ω+---=--===10103221101010102]31)1()1[(21)1(21dx y y x y x dy y x dx zdz dydx zdxdydz I x xyx x241]4123[61)1(6110410323=-+-=-=⎰x x x x dx x 解2“截面法”1.画出Ω。
2.]1,0[∈z 过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D 。
z D 是两直角边为x,y 的直角三角形，zy z x -=-=1,13.计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰====Ω111][][zz zD D D dzzS dz dxdy z dz zdxdy zdxdydz I ⎰⎰⎰=+-=--==10321010241)2(21)1)(1(21)21(dz z z z dz z z z dz xy z 补例2：计算⎰⎰⎰+dv y x 22，其中Ω是222z y x =+和z=1围成的闭区域。
解1“投影法”1.画出Ω及在xoy 面投影域D.由⎩⎨⎧=+=1222z y x z 消去z ，得122=+y x 即D ：122≤+y x 2.“穿线”122≤≤+z y x ，X 型D ：⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≤≤-221111x y x x∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨≤≤+-≤≤--Ω111:2222z y x x y x 3.计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω---+-----=+-+=+=+xxyx x x dy y x y x dxdz y x dydxdv y x 11111112222221122222226)1(π注：可用柱坐标计算。
解2“截面法”1.画出Ω。
2.]1,0[∈z 过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D ：222z y x ≤+z D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤zr 020πθ用柱坐标计算⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω10020:z z r πθ3.计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω====+=+1010200101030322222632]31[2][][zD z zdz z dz r dz dr r d dz dxdy y x dv y x ππππθ补例3：化三重积分⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分，其中Ω：222x 2z 2-=+=及y x z 所围成的闭区域。
解：1.画出Ω及在xoy 面上的投影域D.由⎪⎩⎪⎨⎧-=+=22222x z y x z 消去z ，得122=+y x 即D ：122≤+y x 2.“穿线”22222x z y x -≤≤+X 型D ：⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≤≤-221111x y x xΩ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨-≤≤+-≤≤--222222211x z y x x y x 3．计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω-----+==11112222222),,(),,(x x x y x dzz y x f dydxdxdydz z y x f I 注：当),,(z y x f 为已知的解析式时可用柱坐标计算。
补例4：计算⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω为22226y x z y x z +=--=及所围成的闭区域。
解1“投影法”1.画出Ω及在xoy 面投影域D ，用柱坐标计算由⎪⎩⎪⎨⎧===z z r y r x θθsin cos 化Ω的边界曲面方程为：z=6-r 2，z=r2.解262=⎩⎨⎧=-=r rz r z 得∴D：2≤r 即⎩⎨⎧≤≤≤≤2020r πθ“穿线”26r z r -≤≤∴⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≤≤≤≤Ω262020:rz r r πθ3．计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---Ω===Dr rr rr r drz r zdz rdrd rdrd zdz zdv 22262026262]21[2][ππθθ⎰⎰=+-=--=2522222392)1336(])6[(πππdr r r r dr r r r 。
解2“截面法”1.画出Ω。
如图：Ω由r z r z =-=及26围成。
2.]6,2[]2,0[]6,0[ =∈z 21Ω+Ω=Ω1Ω由z=r 与z=2围成；]2,0[∈z ，z D ：z r ≤1Ω：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤20020z zr πθ2Ω由z=2与z=26r -围成；]6,2[∈z ，z D ：zr -≤62Ω：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤626020z zr πθ3.计算⎰⎰⎰Ωzdv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+ΩΩ20621212][][z z D D dzrdrd z dz rdrd z zdv zdv θθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-+=-+=+=2622362222622392)6(])6([)]([21πππππdz z z dz z dz z z dz z z dz zS dz zS z z D D 注：被积函数z 是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r 代换。
补例5：计算⎰⎰⎰+dv y x )(22，其中Ω由不等式A z y x a ≤++≤≤2220，0≤z 所确定。
解：用球坐标计算。
由⎪⎩⎪⎨⎧===φρφθρφθρcos sin sin sin cos z y x 得Ω的边界曲面的球坐标方程：Aa ≤≤ρP Ω∈，连结OP=ρ，其与z 轴正向的夹角为φ，OP=ρ。
P 在xoy 面的投影为P '，连结P O '，其与x 轴正向的夹角为θ。
∴Ω：A a ≤≤ρ，20πφ≤≤，πθ20≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=+ππρφρφρφθ202022222sin )sin ()(Aa d d d dv y x =⎰253]51[sin 2πφρφπd A a =)(154132)(52sin )(5255552355a A a A d a A -=⨯⨯-=-⎰ππφφππ三重积分的计算方法练习1.计算⎰⎰⎰+dv y x )22（，其中Ω是旋转面z y x 222=+与平面z=2,z=8所围成的闭区域。
2.计算⎰⎰⎰Ω+dv z x )（，其中Ω是锥面22y x z +=与球面221y x z --=所围成的闭区域。
为了检测三重积分计算的掌握情况，请同学们按照例题的格式，独立完成以上的练习，答案后续。