三重积分的几种计算方法
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是多元函数积分的一种，它是对三维空间内的函数进行积分运算。
在物理学、工程学和数学等领域都有着广泛的应用。
在进行三重积分的计算时，我们需要掌握一定的方法和技巧，下面将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们来看看三重积分的计算公式。
对于函数f(x, y, z)，其在空间区域V 上的三重积分可以表示为：∭f(x, y, z)dV。
其中，∭表示三重积分的符号，f(x, y, z)是被积函数，dV表示体积元素。
在直角坐标系中，体积元素dV可表示为dxdydz，因此三重积分可以表示为：∭f(x, y, z)dxdydz。
接下来，我们将介绍三种常见的计算方法，直角坐标系下的三重积分、柱坐标系下的三重积分和球坐标系下的三重积分。
在直角坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为x、y、z的函数，然后按照一定的积分次序进行计算。
通常情况下，我们会先对z进行积分，再对y 进行积分，最后对x进行积分。
这样可以将三重积分转化为三次一重积分的计算，简化计算过程。
在柱坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为ρ、θ、z的函数，其中ρ表示点到z轴的距离，θ表示点在xy平面上的极角。
通过变量替换和雅可比行列式的计算，我们可以将直角坐标系下的三重积分转化为柱坐标系下的三重积分，从而简化计算。
在球坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为r、θ、φ的函数，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在xy平面上的极角，φ表示点与z轴的夹角。
通过变量替换和雅可比行列式的计算，我们可以将直角坐标系下的三重积分转化为球坐标系下的三重积分，从而简化计算。
除了上述的常见计算方法外，我们在进行三重积分的计算时，还需要注意积分区域的确定、被积函数的合理选择、积分次序的调整等问题。
在实际应用中，我们还可以利用对称性、奇偶性等性质简化计算过程。
总之，三重积分是多元函数积分的一种重要形式，它在实际问题中有着广泛的应用。
掌握三重积分的计算方法，对于深入理解多元函数的性质和解决实际问题具有重要意义。
高数---第3讲 三重积分的计算
第3讲 三重积分的计算一、直角坐标系下三重积分的计算１.先一后二法例1 计算V xdV ⎰⎰⎰，其中V 是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的闭区域. 例2 计算VzdV ⎰⎰⎰,其中{(,,)|0V x y z z =≤≤ 例 3 计算三重积分cos()V y x z dxdydz +⎰⎰⎰,其中V是由抛物柱面y =及平面0,0y z ==及2x z π+=所围区域.2.先二后一法例4 计算sin Vz dxdydz z ⎰⎰⎰,其中V 是由平面,0,0z x y x y =+==及z π=所围成的立体. 例5 已知椭球222222:1x y z V a b c ++≤,其密度222222x y z a b cρ=++,求该椭球体的质量m . 二、柱面坐标下三重积分的计算（适用于有旋转体类型的区域）例1 计算VI zdV =⎰⎰⎰,其中V 是由柱面221x y +=,锥面z =及平面0z =围成的区域. 例2 计算22()V I x y dV =+⎰⎰⎰,其中V 是由曲线220y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所得曲面与平面2z =围成的空间区域.三、球面坐标下三重积分的计算（适用于区域含球形的情形）例1 计算2V I x dV =⎰⎰⎰,其中V由曲面z =和z = 0R >围成. 例2 计算222[()()()]V I x y y z z x dxdydz =-+-+-⎰⎰⎰,其中2222{(,,)|}V x y z x y z R =++≤例3 计算V xyzdxdydz ⎰⎰⎰,其中V 为球体2222xy z a ++≤在第一卦限的部分.例4 求抛物面222z x y =+与2262z x y =--所围立体的体积.练习：1、2V I z dV =⎰⎰⎰，222222:1x y z V a b c ++≤ 3415abc π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2、V I =，2222:(1)1,8V x y z x y +-==+及0z =所围。
三重积分计算法
如图,将 设 如图 将 向xoy面投影， 面投影 得 D xy ,以 D xy 的边界为准 以 线母线平行于z轴的柱面 线母线平行于 轴的柱面 分为下上两个边界： 把 分为下上两个边界：
O
z
z = z2 ( x, y) z2 S2
z = z1 ( x , y ) , z = z2 ( x , y )
0
xdz
= ∫ dx ∫
0
1 0
D 1
= ∫ xdx ∫
1 x 2 0 1 x 2 0
dy ∫
1 x 2 y
0
xdz
(1 x 2 y )dy
1 1 1 2 3 = ∫ ( x 2 x + x )dx = 4 0 48
例2 将 ∫∫∫ f (x, y, z)dv 化为直角坐标系下的
三次积分， 三次积分，其中 是由平面 x＋y＋z＝1， ＋ ＋＝ ， x＋y＝1，x＝0，y＝0，z＝1围成的区域。 ＋ ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ 围成的区域 围成的区域。 解 ， 的投影 Dxy 是x+y=1， y
Dρθ
1(
2 ( ρ,θ )
, )
f (ρ cosθ, ρ sinθ, z)dz
若 Dρθ : ρ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ρ2 (θ ) , α ≤ θ ≤ β 则三重积分化为柱面坐标的三次积分：
∫∫∫ f ( x, y, z )dv
= ∫ dθ ∫
α
β
ρ 2 (θ ) ρ1 (θ )
ρd ρ ∫
∫∫∫ f ( x , y, z )dv = ∫∫ [∫
Dxy
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz ]dxdy
三重积分的计算
方法2. 切片法 (“先二后一”)
设空间闭区域 ( x, y, z ) ( x, y ) D( z ), c1 z c2 ，
z
其中 D ( z ) 是用平面 z=z 截闭区域
所得的平面闭区域，则有
c2 dz c1
c2
z
c1
Dz
c1
f ( x, y, z)dv
D( z )
f ( x, y, z)dxdy.
o
x
y
（先二后一法) （切片法）
例1.计算 xdxdydz , 其中为三个坐标面
及平面x y z 1所围成的闭区域。
z
1
o
1
1
y
x
2 2 2 2 求由两个旋转抛物面 z 3 x y 和 z 5 x y 例2 的 x 0, y 0 部分所围成的立体区域 的体积.
2 2
点到 z 轴的距离 成正比，求其 质量 m 。
解：密度函数 ( x, y, z ) k x 2 y 2 (k 0) ，则
m k x 2 y 2 dxdydz 。
z
y z 4
x y 16
在 xoy 平面上的投影区域为
2
2
4
o x
Dxy {( x, y) x 2 y 2 16} ，
z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) : ( x, y ) D 细长柱体微元的质量为
z2 ( x, y ) z ( x, y ) f ( x, y, z )d z d xd y 1 该物体的质量为
z z2 ( x, y )
三重积分的计算与应用
三重积分的计算与应用在数学中，积分是一个重要的概念，可以用来求解面积、体积等问题。
而在三维空间中，我们需要使用三重积分来计算更加复杂的问题。
本文将介绍三重积分的计算方法以及其在实际应用中的意义。
一、三重积分的计算方法三重积分表示在三维空间中求解某个函数在一个立体区域上的总体积。
要计算三重积分，我们首先需要确定积分的区域，即确定三个坐标轴上的边界。
然后，我们需要将该区域分割成许多小的体积元，每个体积元上的函数值可以近似看作常数。
接下来，我们需要将整个立体区域分成若干个小的体积元，可以通过将整个立体分成若干个小立方体或者棱柱来实现。
然后，我们计算每个小的体积元上的函数值与该体积元的体积的乘积，并将所有的结果相加。
最后，将这个和乘以一个适当的缩放因子，就可以得到三重积分的近似值。
当我们缩小每个体积元的大小趋近于零时，这个近似值会趋近于准确值。
在实际的计算中，我们可以使用不同的积分方法，如直角坐标系的直接积分、柱面坐标系的旋转积分和球面坐标系的球面积分等。
具体使用哪种方法取决于问题的性质和计算的方便程度。
二、三重积分的应用三重积分在实际问题中有着广泛的应用。
下面将介绍几个常见的应用领域。
1. 几何体的体积计算三重积分可以用来计算复杂几何体的体积，例如球体、圆柱体、锥体等。
通过将几何体分割为许多小的体积元，并进行求和，可以得到整个几何体的体积。
2. 质量和质心的计算对于一个具有密度分布的物体，可以使用三重积分来计算其质量。
将物体分割为小的体积元，并将每个体积元的密度和体积相乘，再将结果求和，即可得到总质量。
而质心则可以通过将每个体积元的质心与其质量相乘，再将结果求和来计算。
3. 物理场的描述与计算三重积分在物理学中有着广泛的应用。
例如，在电磁学中，我们可以使用三重积分来计算电场、磁场的分布以及力的大小。
通过将空间分割为小的体积元，并计算每个体积元上的电荷、电流与位移向量的乘积，再将结果求和，就可以得到电场、磁场以及力的分布情况。
三重积分的定义和计算方法
三重积分的定义和计算方法在多元微积分中，三重积分被用来计算三维空间中复杂曲面或体积的性质。
本文将介绍三重积分的定义和计算方法，以帮助读者更好地理解和应用这个概念。
一、定义三重积分是对一个三维空间区域内的函数进行积分。
类似于二重积分用来计算二维平面区域内的函数性质，三重积分将函数在三维空间内的性质展现出来。
它可以用于计算体积、质心、质量等相关问题。
二、直角坐标系下的三重积分计算在直角坐标系下，三重积分的计算可以通过以下步骤进行：1. 建立坐标系：确定一个适当的坐标系，常见的是笛卡尔坐标系(x, y, z)。
2. 划定积分区域：确定要求解的函数所在的空间区域，通常使用不等式或图形的方程来描述。
3. 分割积分区域：将积分区域划分为许多小立方体或长方体。
4. 选择积分方式：根据问题的要求选择适当的积分方式，常见的有直角坐标系下的直角坐标形式、柱坐标形式和球坐标形式。
5. 计算积分：根据所选择的积分方式，将函数进行变量替换并进行积分计算。
三、柱坐标系和球坐标系下的三重积分计算柱坐标系和球坐标系是常用的坐标系，它们在计算具有对称性的问题时非常有用。
1. 柱坐标系下的三重积分计算：柱坐标系中，用(r, θ, z)表示点的坐标。
三重积分的计算在柱坐标系下往往更加便捷，特别适用于具有圆柱对称性的问题。
2. 球坐标系下的三重积分计算：球坐标系中，用(ρ, φ, θ)表示点的坐标。
球坐标系下的三重积分计算常常用于具有球对称性的问题。
四、应用举例三重积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用举例：1. 计算体积：通过三重积分可以计算具有复杂形状的立体体积。
2. 计算质心：对于有一定密度分布的物体，可以使用三重积分来计算其质心坐标。
3. 计算质量：类似地，通过三重积分可以计算具有复杂密度分布的物体的总质量。
4. 计算电荷分布：在电磁学中，可以利用三重积分来计算复杂电荷分布下的电势。
五、总结本文介绍了三重积分的定义和计算方法，包括在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下的计算。
三重积分的各种计算方法
三重积分的各种计算方法计算： ()f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰，，. 当积分区域Ω的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数 () f x y z ，， 用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标( )F z d d dz ρρθρθΩ⎰⎰⎰，，()2s ()in r F r drd d θϕϕθϕΩ⎰⎰⎰，或，计算三重积分比较简单。
—— 重积分的换元积分法_____________________________________________________________________三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：_____________________________________________________________________1. 如果先做定积分21() z z f x y z dz ⎰，，，再做二重积分(,)xyD F x y d σ⎰⎰，就是投影法，也即 “先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影区域D 。
过D 上一点() x y ，“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D 上的二重积分，完成“后二”这一步，即()()21,,(,,)[(,,)]xy z x y D z x y f x y z dv f x y z dz d σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰_____________________________________________________________________2. 如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是截面法，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面1 z c =与2 z c =之间，即12[,]z c c ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
三重积分的几种计算方法
例5. 计算 zdxdydz,
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解：x2+y2+z2=1 r=1
z
用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
0
x
y
原积分
r cos r 2sindrdd
*
2
0 d
r 3cos sin drd
D ( )
z x 0
2
0 d
z
z=z2(x, y)
f (x, y, z)dxdydz
y
[ z2 (x,y) f (x, y, z)dz]dxdy
z=z1(x, y)
D z1 ( x, y)
D
y=y2(x)
0
a y=y1(x) b
x
设 D 为 在 xy 平面上投影区域.
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
z
x2 y2
.
4
y 原积分
a
r 2 r 2 sin drdd *
2
0 d
r 4sindrd
D( )
z
y
a
x
2
0 d
r 4sindrd
D( )
2
0
d
4
0
sin d
0ar
4dr
z
1a5 (2 2)
r=a
5
4
例7. 计算 f (x, y, z)dxdydz,表为球坐标系中的三 次积分，其中 为x2+y2+(z1)2≤1.
0
y= OPsin = rsin sin
yy
z= r cos
三重积分的计算及重积分的应用
三重积分的计算及重积分的应用三重积分是在三维空间中计算一些函数在一个有界区域内的体积的方法。
它是对二重积分的一种扩展，可以应用于多种问题中，包括物理、工程和数学等领域。
本文将从三重积分的计算方法开始，然后介绍一些三重积分的应用，以及如何解决这些应用问题。
一、三重积分的计算方法要计算三重积分，首先需要定义积分的坐标系和被积函数。
常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
选择合适的坐标系可以简化计算过程。
被积函数通常是一个连续函数或分段连续函数，也可以是具有一些特殊性质的函数，如奇函数或偶函数。
在直角坐标系中，三重积分的一般形式为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是被积函数，dV表示元体积元素。
元体积元素可以表示为dx dy dz，也可以写成其他坐标系对应的形式。
根据积分的定义，三重积分可以分解为对三个变量的依次积分。
具体方法为，先对z进行积分，然后再对y进行积分，最后对x进行积分。
以直角坐标系为例，三重积分可以表示为∭f(x,y,z)dxdydz。
其中，积分范围为对每个变量的积分范围进行限定。
对被积函数的积分范围的限定可以通过对空间区域的几何性质进行分析得到。
常见的限定方式有矩形区域和曲线边界。
根据具体问题，可以采用不同的方法来确定积分限定条件。
计算三重积分时，可以选择适当的计算工具，如数值积分、符号计算软件或计算机程序，并利用计算机进行数值计算。
三重积分在许多领域都有广泛的应用。
以下将介绍几个常见的应用以及解决这些应用问题的方法。
1.计算物体体积三重积分可以用于计算复杂形状的物体的体积。
通过将物体分解为无穷小的体积元素，然后对每个体积元素进行积分，最后将所有体积元素的积分结果相加，就可以得到整个物体的体积。
例如，计算一个以球面为上下界的圆锥体的体积。
首先可以选择球坐标系，然后确定积分限定条件，如半径和角度范围。
然后将球坐标系下的体积元素转换为直角坐标系下的体积元素进行积分。
最后将所有体积元素的积分结果相加，即可得到圆锥体的体积。
三重积分的各种计算方法
x 2 + y 2 dz
= dx
−1
1
1− x 2
− 1− x 2
x 2 + y 2 (1 − x 2 + y 2 )dy
=
6
（注：可用柱坐标计算。 ）
解法二： “截面法” 1. 画出 。
0 2 : 0 r z 0 z 1
2. z [0,1] 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截 得 D z ： x 2 + y 2 z 2
c1
c2
完成“后一”这一步，即
f ( x, y, z)dxdydz = [ f ( x, y, z ) d ] dz
c1 Dz
c2
当被积函数 f ( z ) 仅为 z 的函数（与 x，y 无关） ，且 D z 的面积 ( z) 容易求出时， “截 面法”尤为方便。
_____________________________________________________________________
0 2 Dz ： 0 r z
下面用柱坐标计算积分结果 3. 计算：
x + y dxdydz = [ x 2 + y 2 dxdy ]dz
2 2 0 Dz
1
= [ d r 2 dr ]dz
0 0 0
1
2
z
1 2 z = 2 [ r 3 ]0 dz = z 3dz 3 3 0 0
2 2
三重积分的计算方法例题：
补例 1：计算三重积分 I
= zdxdydz ，其中 为平面 x + y + z = 1 与三个坐标面 x = 0，y = 0，z = 0
三重积分计算方法
(1 y z )2
Dyz
1 dy
0
1
x
1 1 y -(1-y )2 (1 e )dy 0 4e 2
1
y
0
(1 y )(1 y z )e
-(1-y-z )2
例4 计算 ( z 2 x )dv， : x 2 y 2 z 2 R 与
于是引力F在三个坐标方向上的分量为
m ( x , y , z )( x a ) Fx G dv, 3 r V m ( x , y , z )( y b) Fy G dv, 3 r V m ( x , y , z )( z c ) Fz G dv. 3 r V
,
M zx y M
y ( x , y, z )dV ( x , y, z )dV
x
, z M xy M
o x
z
dV y
y
z ( x , y, z )dV ( x , y, z )dV
(二) 转动惯量
(1) 平面薄片的转动惯量
y
y
I x y 2 ( x , y )d
x 2 y 2 2az 所围成立体的表面积. z
a
o
x
y
例10 求半球面 z 3a 2 x 2 y 2与旋转抛物面
x 2 y 2 2az 所围成立体的表面积. z
S = S1 S2
S1
S2
. .
o
D
.
2a
y
z 3a 2 x 2 y 2 D: 2 2 x y 2az x 2 y 2 2a 2 即 z 0
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法引言在数学中，积分是一个重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
而在多元函数中，我们可以通过三重积分来对三维空间中的函数进行求积分。
三重积分是对三维空间内一个闭区域上的函数进行积分操作，它涉及到对三个变量的积分运算。
本文将介绍三重积分的计算方法。
一重积分回顾在介绍三重积分之前，我们首先回顾一下一重积分的概念和计算方法。
一重积分是对一维空间上的函数进行积分操作。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，我们可以将[a, b]分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx。
则在每个小区间上，我们可以取一点ξ_i，其中i=1, 2, 3, …, n。
根据黎曼和的定义，可以得到以下等式：∫[a, b] f(x)dx = lim(n→∞)[Σf(ξ_i)Δx]其中，Σ表示求和符号。
当Δx趋向于0时，Σf(ξ_i)Δx趋向于f(x)在[a, b]上的积分值。
二重积分回顾与一重积分类似，二重积分也是对二维空间上的函数进行积分操作。
设函数f(x, y)在闭区域D上连续，我们可以将D划分为n个小矩形区域，每个小矩形区域的面积为ΔA。
则在每个小矩形区域上，我们可以取一点(ξ_i, η_i)，其中i=1, 2,3, …, n。
根据黎曼和的定义，可以得到以下等式：∬D f(x, y)dA = lim(n→∞)[Σf(ξ_i, η_i)ΔA]当ΔA趋向于0时，Σf(ξ_i, η_i)ΔA趋向于f(x, y)在D上的积分值。
三重积分的引入三重积分是对三维空间内的函数进行积分操作。
设函数f(x, y, z)在闭区域E上连续，我们可以将E划分为n个小立体区域，每个小立体区域的体积为ΔV。
在每个小立体区域上，我们可以取一点(ξ_i, η_i, ζ_i)，其中i=1, 2, 3, …, n。
根据黎曼和的定义，可以得到以下等式：∭E f(x, y, z)dV = lim(n→∞)[Σf(ξ_i, η_i, ζ_i)ΔV]当ΔV趋向于0时，Σf(ξ_i, η_i, ζ_i)ΔV趋向于f(x, y, z)在E上的积分值。
二重积分与三重积分的计算方法
二重积分与三重积分的计算方法积分是微积分中的重要概念之一，它可以用来求解曲线下的面积、体积等问题。
在微积分中，二重积分和三重积分是常见的积分形式，用于计算平面区域和空间区域的面积和体积。
本文将介绍二重积分和三重积分的计算方法。
一、二重积分的计算方法在计算二重积分之前，我们首先需要确定被积函数的定义域。
设被积函数为f(x,y)，定义域为D。
一般情况下，D可以是一个矩形区域、三角形区域或其他形状的区域。
1. 矩形区域上的二重积分当被积函数在矩形区域D上连续或仅有有限个第一类间断点时，可以使用定积分的方法计算二重积分。
设矩形区域D的边界分别为a、b、c、d，则D的表示为D={(x,y)|a≤x≤b, c≤y≤d}。
二重积分的计算公式为：∬D f(x,y) dxdy = ∫[a,b]∫[c,d] f(x,y) dxdy其中，f(x,y)是被积函数，D是积分区域。
2. 非矩形区域上的二重积分以利用坐标变换的方法将非矩形区域映射到矩形区域上，然后再进行求积。
设非矩形区域D的映射为S，坐标变换为x=g(u,v)，y=h(u,v)，则有：∬D f(x,y) dxdy = ∬S f(g(u,v),h(u,v)) |J| dudv其中，|J|表示变换的Jacobi行列式。
二、三重积分的计算方法类似于二重积分，三重积分也需要先确定被积函数的定义域。
设被积函数为f(x,y,z)，定义域为R。
一般情况下，R可以是一个长方体区域、立体区域或其他形状的区域。
1. 长方体区域上的三重积分当被积函数在长方体区域R上连续或仅有有限个第一类间断点时，可以使用定积分的方法计算三重积分。
设长方体区域R的边界分别为a、b、c、d、e、f，则R的表示为R={(x,y,z)|a≤x≤b, c≤y≤d, e≤z≤f}。
三重积分的计算公式为：∭R f(x,y,z) dxdydz = ∫[a,b]∫[c,d]∫[e,f] f(x,y,z) dxdydz其中，f(x,y,z)是被积函数，R是积分区域。
三重积分求解方法
三重积分求解方法
三重积分求解方法有以下几种：
1. 直接计算法：将三重积分中的函数用多重积分的方法进行展开，然后进行求解。
2. 矢量法：将三重积分转化为矢量积分进行求解。
这种方法适用于区域比较复杂的情况，可以通过对积分路径的选择来简化计算。
3. 极坐标法：当被积函数在直角坐标系下比较复杂时，可以用极坐标系进行积分，将三重积分转化为二重积分进行求解。
4. 柱坐标法：类似于极坐标法，将三重积分转化为柱坐标系下的二重积分。
5. 球坐标法：将三重积分转化为球坐标系下的二重积分进行求解。
这种方法适用于被积函数具有球对称性的情况。
通过选择合适的积分方法，可以简化三重积分的计算过程，提高求解效率。
三重积分的几种计算方法
适用范围：适用于积分区 域复杂的情况
步骤：选择适当的坐标系， 进行坐标变换
优点：简化计算过程，提 高计算效率
奇偶性法
定义：利用奇偶函数的性质简化三重积分的计算 适用范围：被积函数或其变量具有奇偶性时 步骤：判断奇偶性，选择合适的坐标系和积分顺序，简化计算 示例：计算三重积分时，利用奇偶性法可以简化计算过程
添加标题
三重积分的几何意义：三重积分可以理解为三维空间中一个函数与一个封闭曲面所围成 的区域的体积。
添加标题
三重积分的计算方法：三重积分可以通过累次积分的方法计算，即先对一个变量进行积 分，再对另一个变量进行积分，最后对第三个变量进行积分。
添加标题
三重积分的物理应用：三重积分在物理学中有广泛的应用，如计算物体的质量、质心、 转动惯量等物理量。
对于每个微元体，我们可以计算其上的函数值与微元体的体积的乘积，即 微元体的质量。
将所有微元体的质量相加，即可得到整个积分区域上的函数值与体积的乘 积，即三重积分的结果。
利用微元法计算三重积分时，需要注意每个微元体的形状和大小，以及函 数值在微元体上的变化情况。
三重积分的计算技 巧
坐标变换法
定义：将三重积分转化为 容易计算的形式
近似计算法
近似计算法：利用泰勒级数展开或数值积分方法，将三重积分转化为数值计算，适用于复 杂函数或高维空间的积分计算。
坐标变换法：通过坐标变换简化积分计算，适用于某些特殊函数或几何形状的积分计算。
分部积分法：将三重积分转化为多个一元或二元积分的和或差，适用于具有易于计算积分 的部分的三重积分计算。
计算三维物体的体积 计算三维物体的表面积 计算三维物体的质心 计算三维物体的转动惯量
在工程中的应用
计算复杂几何体 的质量、质心和 转动惯量
三重积分的积分性质和计算规则
三重积分的积分性质和计算规则三重积分是数学中的一个重要概念，它在物理、工程、计算机科学等领域被广泛应用。
三重积分的计算需要掌握一些性质和规则，本文将详细介绍三重积分的积分性质和计算规则，以帮助读者更好地掌握这一知识点。
一、三重积分的定义三重积分是指对三维空间内的一个体积区域进行积分运算，其数学表达式为：$$\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V$$其中，$V$ 表示积分区域，$f(x,y,z)$ 表示被积函数，$\mathrm{d}V$ 表示体积元素。
二、三重积分的积分性质1. 可积性若$f(x,y,z)$在闭合的积分区域 $V$ 上连续，则其在 $V$ 上可积。
2. 线性性设$f(x,y,z)$和$g(x,y,z)$在闭合的积分区域 $V$ 上可积，$k$为常数，则有：$$\iiint\limits_{V}(kf(x,y,z)+g(x,y,z))\mathrm{d}V=k\iiint\limits_ {V}f(x,y,z)\mathrm{d}V+\iiint\limits_{V}g(x,y,z)\mathrm{d}V$$3. 保号性设$f(x,y,z)$在闭合的积分区域 $V$ 上可积，则有：$$\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V\geq0$$当且仅当 $f(x,y,z)$在 $V$ 上恒为 $0$ 时，等号成立。
4. 区域可加性设积分区域 $V$ 可以分成若干个不相交的子区域$V_1,V_2,\cdots,V_n$，则有：$$\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V=\sum_{i=1}^{n}\iiint\limi ts_{V_i}f(x,y,z)\mathrm{d}V$$三、三重积分的计算规则1. 直角坐标系下的计算在直角坐标系下，我们可以将积分区域先按照 $x,y,z$ 的顺序分解，将三重积分化为三重定积分，然后按照积分顺序先计算$z$ 再计算 $y$ 最后计算 $x$。
三重积分概念及其计算
三重积分概念及其计算三重积分是多重积分的一种，它用于计算三维空间中的体积、质量、质心等物理量。
在本文中，我们将详细介绍三重积分的概念和计算方法。
一、三重积分的概念三重积分是对三维空间中的函数进行求和的一种数学运算。
它可以用于计算空间中的体积、质量、质心等物理量。
三重积分通常表示为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是定义在三维空间中的函数，dV表示微小体积元素。
二、三重积分的计算方法1.直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，三重积分的计算可以采用分步积分的方法。
具体而言，首先需要确定积分区域的边界，然后分别对x、y、z进行积分。
设积分区域为V，边界为S。
根据积分的基本原理，三重积分可以表示为：∭f(x,y,z)dV=∫∫∫_Vf(x,y,z)dV其中V表示积分区域的体积，dV表示微小体积元素。
假设积分区域可以被表示为：V:a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x),p(x,y)≤z≤q(x,y)那么，三重积分可以分步计算为：∭f(x,y,z)dV = ∫∫∫_V f(x,y,z)dxdydz= ∫_a^b∫_(g(x))^(h(x)) ∫_(p(x,y))^(q(x,y)) f(x,y,z) dzdydx依次对x、y、z进行积分即可得到结果。
2.柱坐标系中的三重积分在柱坐标系中，三重积分的计算可以采用柱坐标系下的坐标变换公式。
具体而言，用柱坐标r、θ、z替换直角坐标系中的x、y、z，然后对新的坐标进行积分。
设柱坐标系下的积分区域为V，边界为S。
根据柱坐标系下的坐标变换公式，三重积分可以表示为：∭f(x,y,z)dV = ∬∬∬_V f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ其中 r 表示到原点的距离，θ 表示与正 x 轴的夹角，z 表示垂直于 xy 平面的坐标。
积分区域 V 在柱坐标系下的表示方式为：V:α≤θ≤β,g(θ)≤r≤h(θ),p(r,θ)≤z≤q(r,θ)根据这个表示，可以将三重积分计算为：∭f(x,y,z)dV = ∬∬∬_V f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ= ∫_α^β ∫_(g(θ))^(h(θ)) ∫_(p(r,θ))^(q(r,θ))f(rcosθ,rsinθ,z) zdrdθ依次对θ、r、z进行积分即可得到结果。
三重积分的各种计算方法
三重积分的各种计算方法计算： ()f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰，，. 当积分区域Ω的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数 () f x y z ，， 用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标( )F z d d dz ρρθρθΩ⎰⎰⎰，，()2s ()in r F r drd d θϕϕθϕΩ⎰⎰⎰，或，计算三重积分比较简单。
—— 重积分的换元积分法_____________________________________________________________________三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：_____________________________________________________________________1. 如果先做定积分21() z z f x y z dz ⎰，，，再做二重积分(,)xyD F x y d σ⎰⎰，就是投影法，也即 “先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影区域D 。
过D 上一点() x y ，“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D 上的二重积分，完成“后二”这一步，即()()21,,(,,)[(,,)]xy z x y D z x y f x y z dv f x y z dz d σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰_____________________________________________________________________2. 如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是截面法，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面1 z c =与2 z c =之间，即12[,]z c c ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
9.5_三重积分计算2
一般地，先对 ，后对r， 一般地，先对z，后对 ，最后对 θ 积分
二、利用球面坐标计算三重积分
z
设 M ( x, y, z ) 为空间内一点， 则点 M 可用三个有次序的数r，
A
x
r
M ( x,
z
y, z )
o
P ，θ 来确定，其中 r 为原点 O 与 x 点 M 间的距离， 为有向线段 OM 与 z轴正向所夹的 角，θ 为从正 z 轴往下看自 x 轴按逆时针方向转到有
0
π 2 0
π 2 0
R
x
.
例 4、 求曲面 x2 + y2 + z2 ≤ 2a2与 z ≥ x2 + y2 成的立体体积. 所围 成的立体体积
解
由x
2
由锥面和球面围成， 采用球面坐标， 由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
+ y + z = 2a
2 2
2 2
2
r = 2a ,
z=
π x + y = , 4
z
M ( x,
∞ < z < +∞ .
x = r cos θ , 直角坐标与柱面坐标的关系为 y = r sin θ , z = z.
o
θ
y, z )
r
P (r ,θ )
y
x
柱面坐标的坐标面 动点M( 动点 r, θ, z) z r =常数：圆柱面 常数： 常数 圆柱面S z =常数： 平面Π 常数： 常数 S
‘
= abc ∫ dθ ∫ sin d ∫ 1 r 2 dr =
0 0 0
2π
π
1
π2
4
例7、计算∫∫∫ ( x + y + z ) cos( x + y + z ) 2 dxdydz
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yy
z= r cos
x
x
P
(0≤r<+, 0≤≤, 0≤≤2)
球面坐标的三组坐标面：
z
r =常数
=常数
=常数
(x, y, z) r 2 sin (r,, )
y
dxdydz= r2sin drdd x
f (x, y, z)dxdydz
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos)r 2sindrdd
r
zdz
2
y
15
z
1
0
r
1
例4. 再解例2 zdxdydz,
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
z
0
x
解：用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
y
原积分 = zrdrddz
*
2
0 d zrdrdz D( )
z
x
解： x2+y2+z2=a2 r=a
z
x2 y2
.
4
y 原积分
a
r 2 r 2 sin drdd *
2
0 d
r 4sindrd
D( )
z
y
a
x
2
0 d
r 4sindrd
D( )
2
0
d
4
0
sin d
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
b
dx
y2 (x) dy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
a
y1 ( x)
z1 ( x, y)
例1. 计算 xdxdydz, 其中是由平面x+y+z=1
与三个坐标面所围闭区域.
z x 0
2
0
d
zrdrd
D( )
2
1
1r 2
0 d 0 rdr0 zdz
y
.
z
4
1
z 1 r2
0
r
1
3. 利用球面坐标计算三重积分
z z
M (r, ,)
•M
x=OPcos = r sin cos
r
0
y= OPsin = rsin sin
z z2
z
z2 0
x
D(z) y
f (x, y, z)dxdydz
z2[ f
z1 D( z)
(x,
y,
z)dxdy]dz
z2 dz
z1
f
(x, y, z)dxdy
D(z)
:(x, y)D(z), z1≤z≤z2
例4. 计算 zdxdy, 其中 是由 z=x2+y2 和 z=1
2 cos
d 2 d
0
0
0
f (r sin cos ,
r sin sin , r cos)r 2sindr
y
解： D: 0≤ y ≤1–x, 0 ≤ x ≤ 1
z
x+y+z=1
xdxdydz
dxdy
1
0
x
y
xdz
D
1dx 1x dy 1xy xdz
00
0
1 24
0
x
y
y
1
x+y=1
D
x
1
例2. 计算 y cos( x z)dxdydz, 其中 是由抛物
(1) 化成一个定积分和一个二重积分
z
z=z2(x, y)
f (x, y, z)dxdydz
y
[ z2 (x,y) f (x, y, z)dz]dxdy
z=z1(x, y)
D z1 ( x, y)
D
y=y2(x)
0
a y=y1(x) b
x
设 D 为 在 xy 平面上投影区域.
0ar
4dr
z
1a5 (2 2)
r=a
5
4
例7. 计算 f (x, y, z)dxdydz,表为球坐标系中的三 次积分，其中 为x2+y2+(z1)2≤1.
z x0
y z
解：x2+y2+(z1)2≤1 r=2cos
f (x, y, z)dxdydz
2
与三个坐标面所围闭区域.
解： D(x): 0≤ y ≤1–x, 0≤ z ≤ 1xy
z
1
0
x1
x:0≤x≤1
xdxdydz
1
0
xdx
dydz
D(x)
1
1
0
x
1 (1 2
x2 )dx
1 24
1 (1 x)2 2
y
y
1x
z=1xy
D(x)
x
0
1x
2. 利用柱面坐标计算三重积分
x
z
cos r sin 0
y
z sin r cos 0 = r
0
01
z
z
故 dxdydz=rdrddz
f (x, y, z)dxdydz f (r cos ,r sin , z)rdrddz
*
例1. 计算 z x2 y2dxdydz, 其中 由z x2 y2
柱面
y
x及平面y=0,
z=0,
x
y
所围闭区域
2
z x 2
z 解： D: 0≤ y ≤ ,x 0 ≤ x ≤
2
y cos( x z)dxdydz,
x
0
dxdy
2
0
x
y
cos( x
z)dz
D
y y y x
2
0
dx0
x dy
x 2
0
y cos( x
z x2 y2 与 z=1 所围闭区域.
z
x
解：用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
原积分= zr 2drddz
*
y
2
d
zr 2drdz
0
D( )
z
x
2
0
d
zr 2drd
D( )
2
0
d
01r
2dr
1
dydz x2 ( y,z) f (x, y, z)dx
Dyz
x1( y,z)
例3. 将 f (x, y, z)dxdydz 化为三次定积分，其中
是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域.
z z=1
解：先对 z 积分，将
向 xy 平面投影.
z= x2+y2
z= x2+y2
0
x
zdxdydz zrdrddz
y
*
1
1r 2
rdrd 0 zdz
D
2
1
1r 2
0 d 0 rdr0 zdz
2 1 r (1 r 2 )dr
0
2
4
例3. 再解例1 z x2 y2dxdydz, 其中是 由
所围成的闭区域.
解：D(z): x2+y2≤z
z
1 0 x
D(z) y
1
z[0, 1] ( z)2 z
zdxdydz
1
0
zdz
dxdy
D(z)
1
0
z
zdz
z3 3
1 0
3
例5. 计算 xdxdydz, 其中 是由平面 x+y+z=1
三重积分
f ( X )d
当 R3，有 X=(x, y, z) , d = dv
z
则 f (x, y, z)dv 三重积分
dz
1. 直角坐标系下三重积分的计算
dy dx
直角坐标系下，记体积元素
y
dv=dxdydz
x0
则 f (x, y, z)dv f (x, y, z)dxdydz
z)dz
D
x
0
2
2 1
16 2
z
Dxz
y=y1(x, z) y=y2(x, z)
0
x
y
f (x, y, z)dxdydz
dxdz y2(x,z) f (x, y, z)dy
Dxz
y1( x,z)
z
Dyz
y 0
x x=x2(y, z) x=x1(y, z)
f (x, y, z)dxdydz
x2+y2=1
z=1
z=1
y
0
1
x