三重积分的几种计算方法
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是多元函数积分的一种，它是对三维空间内的函数进行积分运算。
在物理学、工程学和数学等领域都有着广泛的应用。
在进行三重积分的计算时，我们需要掌握一定的方法和技巧，下面将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们来看看三重积分的计算公式。
对于函数f(x, y, z)，其在空间区域V 上的三重积分可以表示为：∭f(x, y, z)dV。
其中，∭表示三重积分的符号，f(x, y, z)是被积函数，dV表示体积元素。
在直角坐标系中，体积元素dV可表示为dxdydz，因此三重积分可以表示为：∭f(x, y, z)dxdydz。
接下来，我们将介绍三种常见的计算方法，直角坐标系下的三重积分、柱坐标系下的三重积分和球坐标系下的三重积分。
在直角坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为x、y、z的函数，然后按照一定的积分次序进行计算。
通常情况下，我们会先对z进行积分，再对y 进行积分，最后对x进行积分。
这样可以将三重积分转化为三次一重积分的计算，简化计算过程。
在柱坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为ρ、θ、z的函数，其中ρ表示点到z轴的距离，θ表示点在xy平面上的极角。
通过变量替换和雅可比行列式的计算，我们可以将直角坐标系下的三重积分转化为柱坐标系下的三重积分，从而简化计算。
在球坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为r、θ、φ的函数，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在xy平面上的极角，φ表示点与z轴的夹角。
通过变量替换和雅可比行列式的计算，我们可以将直角坐标系下的三重积分转化为球坐标系下的三重积分，从而简化计算。
除了上述的常见计算方法外，我们在进行三重积分的计算时，还需要注意积分区域的确定、被积函数的合理选择、积分次序的调整等问题。
在实际应用中，我们还可以利用对称性、奇偶性等性质简化计算过程。
总之，三重积分是多元函数积分的一种重要形式，它在实际问题中有着广泛的应用。
掌握三重积分的计算方法，对于深入理解多元函数的性质和解决实际问题具有重要意义。
高数---第3讲 三重积分的计算
第3讲 三重积分的计算一、直角坐标系下三重积分的计算１.先一后二法例1 计算V xdV ⎰⎰⎰，其中V 是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的闭区域. 例2 计算VzdV ⎰⎰⎰,其中{(,,)|0V x y z z =≤≤ 例 3 计算三重积分cos()V y x z dxdydz +⎰⎰⎰,其中V是由抛物柱面y =及平面0,0y z ==及2x z π+=所围区域.2.先二后一法例4 计算sin Vz dxdydz z ⎰⎰⎰,其中V 是由平面,0,0z x y x y =+==及z π=所围成的立体. 例5 已知椭球222222:1x y z V a b c ++≤,其密度222222x y z a b cρ=++,求该椭球体的质量m . 二、柱面坐标下三重积分的计算（适用于有旋转体类型的区域）例1 计算VI zdV =⎰⎰⎰,其中V 是由柱面221x y +=,锥面z =及平面0z =围成的区域. 例2 计算22()V I x y dV =+⎰⎰⎰,其中V 是由曲线220y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所得曲面与平面2z =围成的空间区域.三、球面坐标下三重积分的计算（适用于区域含球形的情形）例1 计算2V I x dV =⎰⎰⎰,其中V由曲面z =和z = 0R >围成. 例2 计算222[()()()]V I x y y z z x dxdydz =-+-+-⎰⎰⎰,其中2222{(,,)|}V x y z x y z R =++≤例3 计算V xyzdxdydz ⎰⎰⎰,其中V 为球体2222xy z a ++≤在第一卦限的部分.例4 求抛物面222z x y =+与2262z x y =--所围立体的体积.练习：1、2V I z dV =⎰⎰⎰，222222:1x y z V a b c ++≤ 3415abc π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2、V I =，2222:(1)1,8V x y z x y +-==+及0z =所围。
三重积分计算法
如图,将 设 如图 将 向xoy面投影， 面投影 得 D xy ,以 D xy 的边界为准 以 线母线平行于z轴的柱面 线母线平行于 轴的柱面 分为下上两个边界： 把 分为下上两个边界：
O
z
z = z2 ( x, y) z2 S2
z = z1 ( x , y ) , z = z2 ( x , y )
0
xdz
= ∫ dx ∫
0
1 0
D 1
= ∫ xdx ∫
1 x 2 0 1 x 2 0
dy ∫
1 x 2 y
0
xdz
(1 x 2 y )dy
1 1 1 2 3 = ∫ ( x 2 x + x )dx = 4 0 48
例2 将 ∫∫∫ f (x, y, z)dv 化为直角坐标系下的
三次积分， 三次积分，其中 是由平面 x＋y＋z＝1， ＋ ＋＝ ， x＋y＝1，x＝0，y＝0，z＝1围成的区域。 ＋ ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ 围成的区域 围成的区域。 解 ， 的投影 Dxy 是x+y=1， y
Dρθ
1(
2 ( ρ,θ )
, )
f (ρ cosθ, ρ sinθ, z)dz
若 Dρθ : ρ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ρ2 (θ ) , α ≤ θ ≤ β 则三重积分化为柱面坐标的三次积分：
∫∫∫ f ( x, y, z )dv
= ∫ dθ ∫
α
β
ρ 2 (θ ) ρ1 (θ )
ρd ρ ∫
∫∫∫ f ( x , y, z )dv = ∫∫ [∫
Dxy
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz ]dxdy
三重积分的计算
方法2. 切片法 (“先二后一”)
设空间闭区域 ( x, y, z ) ( x, y ) D( z ), c1 z c2 ，
z
其中 D ( z ) 是用平面 z=z 截闭区域
所得的平面闭区域，则有
c2 dz c1
c2
z
c1
Dz
c1
f ( x, y, z)dv
D( z )
f ( x, y, z)dxdy.
o
x
y
（先二后一法) （切片法）
例1.计算 xdxdydz , 其中为三个坐标面
及平面x y z 1所围成的闭区域。
z
1
o
1
1
y
x
2 2 2 2 求由两个旋转抛物面 z 3 x y 和 z 5 x y 例2 的 x 0, y 0 部分所围成的立体区域 的体积.
2 2
点到 z 轴的距离 成正比，求其 质量 m 。
解：密度函数 ( x, y, z ) k x 2 y 2 (k 0) ，则
m k x 2 y 2 dxdydz 。
z
y z 4
x y 16
在 xoy 平面上的投影区域为
2
2
4
o x
Dxy {( x, y) x 2 y 2 16} ，
z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) : ( x, y ) D 细长柱体微元的质量为
z2 ( x, y ) z ( x, y ) f ( x, y, z )d z d xd y 1 该物体的质量为
z z2 ( x, y )
三重积分的计算与应用
三重积分的计算与应用在数学中，积分是一个重要的概念，可以用来求解面积、体积等问题。
而在三维空间中，我们需要使用三重积分来计算更加复杂的问题。
本文将介绍三重积分的计算方法以及其在实际应用中的意义。
一、三重积分的计算方法三重积分表示在三维空间中求解某个函数在一个立体区域上的总体积。
要计算三重积分，我们首先需要确定积分的区域，即确定三个坐标轴上的边界。
然后，我们需要将该区域分割成许多小的体积元，每个体积元上的函数值可以近似看作常数。
接下来，我们需要将整个立体区域分成若干个小的体积元，可以通过将整个立体分成若干个小立方体或者棱柱来实现。
然后，我们计算每个小的体积元上的函数值与该体积元的体积的乘积，并将所有的结果相加。
最后，将这个和乘以一个适当的缩放因子，就可以得到三重积分的近似值。
当我们缩小每个体积元的大小趋近于零时，这个近似值会趋近于准确值。
在实际的计算中，我们可以使用不同的积分方法，如直角坐标系的直接积分、柱面坐标系的旋转积分和球面坐标系的球面积分等。
具体使用哪种方法取决于问题的性质和计算的方便程度。
二、三重积分的应用三重积分在实际问题中有着广泛的应用。
下面将介绍几个常见的应用领域。
1. 几何体的体积计算三重积分可以用来计算复杂几何体的体积，例如球体、圆柱体、锥体等。
通过将几何体分割为许多小的体积元，并进行求和，可以得到整个几何体的体积。
2. 质量和质心的计算对于一个具有密度分布的物体，可以使用三重积分来计算其质量。
将物体分割为小的体积元，并将每个体积元的密度和体积相乘，再将结果求和，即可得到总质量。
而质心则可以通过将每个体积元的质心与其质量相乘，再将结果求和来计算。
3. 物理场的描述与计算三重积分在物理学中有着广泛的应用。
例如，在电磁学中，我们可以使用三重积分来计算电场、磁场的分布以及力的大小。
通过将空间分割为小的体积元，并计算每个体积元上的电荷、电流与位移向量的乘积，再将结果求和，就可以得到电场、磁场以及力的分布情况。
三重积分的定义和计算方法
三重积分的定义和计算方法在多元微积分中，三重积分被用来计算三维空间中复杂曲面或体积的性质。
本文将介绍三重积分的定义和计算方法，以帮助读者更好地理解和应用这个概念。
一、定义三重积分是对一个三维空间区域内的函数进行积分。
类似于二重积分用来计算二维平面区域内的函数性质，三重积分将函数在三维空间内的性质展现出来。
它可以用于计算体积、质心、质量等相关问题。
二、直角坐标系下的三重积分计算在直角坐标系下，三重积分的计算可以通过以下步骤进行：1. 建立坐标系：确定一个适当的坐标系，常见的是笛卡尔坐标系(x, y, z)。
2. 划定积分区域：确定要求解的函数所在的空间区域，通常使用不等式或图形的方程来描述。
3. 分割积分区域：将积分区域划分为许多小立方体或长方体。
4. 选择积分方式：根据问题的要求选择适当的积分方式，常见的有直角坐标系下的直角坐标形式、柱坐标形式和球坐标形式。
5. 计算积分：根据所选择的积分方式，将函数进行变量替换并进行积分计算。
三、柱坐标系和球坐标系下的三重积分计算柱坐标系和球坐标系是常用的坐标系，它们在计算具有对称性的问题时非常有用。
1. 柱坐标系下的三重积分计算：柱坐标系中，用(r, θ, z)表示点的坐标。
三重积分的计算在柱坐标系下往往更加便捷，特别适用于具有圆柱对称性的问题。
2. 球坐标系下的三重积分计算：球坐标系中，用(ρ, φ, θ)表示点的坐标。
球坐标系下的三重积分计算常常用于具有球对称性的问题。
四、应用举例三重积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用举例：1. 计算体积：通过三重积分可以计算具有复杂形状的立体体积。
2. 计算质心：对于有一定密度分布的物体，可以使用三重积分来计算其质心坐标。
3. 计算质量：类似地，通过三重积分可以计算具有复杂密度分布的物体的总质量。
4. 计算电荷分布：在电磁学中，可以利用三重积分来计算复杂电荷分布下的电势。
五、总结本文介绍了三重积分的定义和计算方法，包括在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下的计算。
三重积分的各种计算方法
三重积分的各种计算方法计算： ()f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰，，. 当积分区域Ω的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数 () f x y z ，， 用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标( )F z d d dz ρρθρθΩ⎰⎰⎰，，()2s ()in r F r drd d θϕϕθϕΩ⎰⎰⎰，或，计算三重积分比较简单。
—— 重积分的换元积分法_____________________________________________________________________三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：_____________________________________________________________________1. 如果先做定积分21() z z f x y z dz ⎰，，，再做二重积分(,)xyD F x y d σ⎰⎰，就是投影法，也即 “先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影区域D 。
过D 上一点() x y ，“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D 上的二重积分，完成“后二”这一步，即()()21,,(,,)[(,,)]xy z x y D z x y f x y z dv f x y z dz d σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰_____________________________________________________________________2. 如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是截面法，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面1 z c =与2 z c =之间，即12[,]z c c ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
三重积分的几种计算方法
例5. 计算 zdxdydz,
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解：x2+y2+z2=1 r=1
z
用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
0
x
y
原积分
r cos r 2sindrdd
*
2
0 d
r 3cos sin drd
D ( )
z x 0
2
0 d
z
z=z2(x, y)
f (x, y, z)dxdydz
y
[ z2 (x,y) f (x, y, z)dz]dxdy
z=z1(x, y)
D z1 ( x, y)
D
y=y2(x)
0
a y=y1(x) b
x
设 D 为 在 xy 平面上投影区域.
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
z
x2 y2
.
4
y 原积分
a
r 2 r 2 sin drdd *
2
0 d
r 4sindrd
D( )
z
y
a
x
2
0 d
r 4sindrd
D( )
2
0
d
4
0
sin d
0ar
4dr
z
1a5 (2 2)
r=a
5
4
例7. 计算 f (x, y, z)dxdydz,表为球坐标系中的三 次积分，其中 为x2+y2+(z1)2≤1.
0
y= OPsin = rsin sin
yy
z= r cos
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yy
z= r cos
x
x
P
(0≤r<+, 0≤≤, 0≤≤2)
球面坐标的三组坐标面：
z
r =常数
=常数
=常数
(x, y, z) r 2 sin (r,, )
y
dxdydz= r2sin drdd x
f (x, y, z)dxdydz
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos)r 2sindrdd
r
zdz
2
y
15
z
1
0
r
1
例4. 再解例2 zdxdydz,
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
z
0
x
解：用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
y
原积分 = zrdrddz
*
2
0 d zrdrdz D( )
z
x
解： x2+y2+z2=a2 r=a
z
x2 y2
.
4
y 原积分
a
r 2 r 2 sin drdd *
2
0 d
r 4sindrd
D( )
z
y
a
x
2
0 d
r 4sindrd
D( )
2
0
d
4
0
sin d
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
b
dx
y2 (x) dy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
a
y1 ( x)
z1 ( x, y)
例1. 计算 xdxdydz, 其中是由平面x+y+z=1
与三个坐标面所围闭区域.
z x 0
2
0
d
zrdrd
D( )
2
1
1r 2
0 d 0 rdr0 zdz
y
.
z
4
1
z 1 r2
0
r
1
3. 利用球面坐标计算三重积分
z z
M (r, ,)
•M
x=OPcos = r sin cos
r
0
y= OPsin = rsin sin
z z2
z
z2 0
x
D(z) y
f (x, y, z)dxdydz
z2[ f
z1 D( z)
(x,
y,
z)dxdy]dz
z2 dz
z1
f
(x, y, z)dxdy
D(z)
:(x, y)D(z), z1≤z≤z2
例4. 计算 zdxdy, 其中 是由 z=x2+y2 和 z=1
2 cos
d 2 d
0
0
0
f (r sin cos ,
r sin sin , r cos)r 2sindr
y
解： D: 0≤ y ≤1–x, 0 ≤ x ≤ 1
z
x+y+z=1
xdxdydz
dxdy
1
0
x
y
xdz
D
1dx 1x dy 1xy xdz
00
0
1 24
0
x
y
y
1
x+y=1
D
x
1
例2. 计算 y cos( x z)dxdydz, 其中 是由抛物
(1) 化成一个定积分和一个二重积分
z
z=z2(x, y)
f (x, y, z)dxdydz
y
[ z2 (x,y) f (x, y, z)dz]dxdy
z=z1(x, y)
D z1 ( x, y)
D
y=y2(x)
0
a y=y1(x) b
x
设 D 为 在 xy 平面上投影区域.
0ar
4dr
z
1a5 (2 2)
r=a
5
4
例7. 计算 f (x, y, z)dxdydz,表为球坐标系中的三 次积分，其中 为x2+y2+(z1)2≤1.
z x0
y z
解：x2+y2+(z1)2≤1 r=2cos
f (x, y, z)dxdydz
2
与三个坐标面所围闭区域.
解： D(x): 0≤ y ≤1–x, 0≤ z ≤ 1xy
z
1
0
x1
x:0≤x≤1
xdxdydz
1
0
xdx
dydz
D(x)
1
1
0
x
1 (1 2
x2 )dx
1 24
1 (1 x)2 2
y
y
1x
z=1xy
D(x)
x
0
1x
2. 利用柱面坐标计算三重积分
x
z
cos r sin 0
y
z sin r cos 0 = r
0
01
z
z
故 dxdydz=rdrddz
f (x, y, z)dxdydz f (r cos ,r sin , z)rdrddz
*
例1. 计算 z x2 y2dxdydz, 其中 由z x2 y2
柱面
y
x及平面y=0,
z=0,
x
y
所围闭区域
2
z x 2
z 解： D: 0≤ y ≤ ,x 0 ≤ x ≤
2
y cos( x z)dxdydz,
x
0
dxdy
2
0
x
y
cos( x
z)dz
D
y y y x
2
0
dx0
x dy
x 2
0
y cos( x
z x2 y2 与 z=1 所围闭区域.
z
x
解：用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
原积分= zr 2drddz
*
y
2
d
zr 2drdz
0
D( )
z
x
2
0
d
zr 2drd
D( )
2
0
d
01r
2dr
1
dydz x2 ( y,z) f (x, y, z)dx
Dyz
x1( y,z)
例3. 将 f (x, y, z)dxdydz 化为三次定积分，其中
是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域.
z z=1
解：先对 z 积分，将
向 xy 平面投影.
z= x2+y2
z= x2+y2
0
x
zdxdydz zrdrddz
y
*
1
1r 2
rdrd 0 zdz
D
2
1
1r 2
0 d 0 rdr0 zdz
2 1 r (1 r 2 )dr
0
2
4
例3. 再解例1 z x2 y2dxdydz, 其中是 由
所围成的闭区域.
解：D(z): x2+y2≤z
z
1 0 x
D(z) y
1
z[0, 1] ( z)2 z
zdxdydz
1
0
zdz
dxdy
D(z)
1
0
z
zdz
z3 3
1 0
3
例5. 计算 xdxdydz, 其中 是由平面 x+y+z=1
三重积分
f ( X )d
当 R3，有 X=(x, y, z) , d = dv
z
则 f (x, y, z)dv 三重积分
dz
1. 直角坐标系下三重积分的计算
dy dx
直角坐标系下，记体积元素
y
dv=dxdydz
x0
则 f (x, y, z)dv f (x, y, z)dxdydz
z)dz
D
x
0
2
2 1
16 2
z
Dxz
y=y1(x, z) y=y2(x, z)
0
x
y
f (x, y, z)dxdydz
dxdz y2(x,z) f (x, y, z)dy
Dxz
y1( x,z)
z
Dyz
y 0
x x=x2(y, z) x=x1(y, z)
f (x, y, z)dxdydz
x2+y2=1
z=1
z=1
y
0
1
x