三重积分的几种计算方法

三重积分
f ( X )d
当 R3，有 X=(x, y, z) , d = dv
z
则 f (x, y, z)dv 三重积分


dz
1. 直角坐标系下三重积分的计算
dy dx
直角坐标系下，记体积元素
y
dv=dxdydz
x0
则 f (x, y, z)dv f (x, y, z)dxdydz
z z2
z
z2 0
x

D(z) y
f (x, y, z)dxdydz


z2[ f
z1 D( z)
(x,
y,
z)dxdy]dz

z2 dz
z1

f
(x, y, z)dxdy
D(z)
:(x, y)D(z), z1≤z≤z2
例4. 计算 zdxdy, 其中 是由 z=x2+y2 和 z=1
x2+y2=1
z=1
z=1
y
0
1
x
Dxy
D: x2+y2≤1
z z=1
z= x2+y2
y
x
0 Dxy
1
f (x, y, z)dxdydz


1 dx
1

1 x 2 1 x
2
dy
1 x2 y2
f
(x, y, z)dz
z Dxz
解2：先对 y 积分，
将 向 xz 平面投影：
柱面
y


x及平面y=0,
z=0,
x

y


所围闭区域
2
z x 2
z 解： D: 0≤ y ≤ ,x 0 ≤ x ≤
2

y cos( x z)dxdydz,
x
0



dxdy

2
0
x
y
cos( x

z)dz
D
y y y x



2
0
dx0
x dy
x 2
0
y cos( x

z x2 y2 与 z=1 所围闭区域.
z
x
解：用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
原积分= zr 2drddz
*
y
2
d
zr 2drdz
0
D( )
z
x

2
0
d
zr 2drd
D( )

2
0
d
01r
2dr
1

z)dz
D
x
0

2
2 1
16 2
z
Dxz
y=y1(x, z) y=y2(x, z)
0
x
y

f (x, y, z)dxdydz

dxdz y2(x,z) f (x, y, z)dy
Dxz
y1( x,z)
z

Dyz
y 0
x x=x2(y, z) x=x1(y, z)
f (x, y, z)dxdydz
z

x
解： x2+y2+z2=a2 r=a
z
x2 y2



.
4
y 原积分
a
r 2 r 2 sin drdd *

2
0 d
r 4sindrd
D( )
z
y

a
x

2
0 d
r 4sindrd
D( )

2
0
d

4
0
sin d
zdz

2
d
1 r 2dr
1
zdz
r
0
0
r
D
2
1r2
(1
r2) dr

2
0
2
15
z
z=1
z=r
y
x
0
D
1
例2. 计算 zdxdydz, ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.

解： D: x2+y2≤1
z
z 1 r2
z 1 x2 y2 z 1 r2
z= x2+y2
y z x2
1
0 1 x
y z x2
y
z=1 Dxy: x2 ≤z ≤ 1,
1 ≤x≤1 z= x2+y2 y z x2

f
(x, y, z)dxdydz

1
1
dx
1
x2
dz

zx2 zx2
f
(x, y, z)dy

(2) 化为一个二重积分和一个定积分

与三个坐标面所围闭区域.
解： D(x): 0≤ y ≤1–x, 0≤ z ≤ 1xy
z
1
0
x1
x:0≤x≤1


xdxdydz

1
0
xdx
dydz
D(x)
1

1
0
x

1 (1 2

x2 )dx
1 24
1 (1 x)2 2
y
y
1x
z=1xy
D(x)
x
0
1x
2. 利用柱面坐标计算三重积分

dydz x2 ( y,z) f (x, y, z)dx
Dyz
x1( y,z)
例3. 将 f (x, y, z)dxdydz 化为三次定积分，其中

是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域.
z z=1
解：先对 z 积分，将
向 xy 平面投影.
z= x2+y2
z= x2+y2
x
z
cos r sin 0
y
z sin r cos 0 = r
0
01
z
z
故 dxdydz=rdrddz
f (x, y, z)dxdydz f (r cos ,r sin , z)rdrddz

*
例1. 计算 z x2 y2dxdydz, 其中 由z x2 y2

与 z=1 所围闭区域.
z
z=1
z=r
y
0
x
D
z x2 y2 解：
z =1 x2 y2 1
z =0
D: x2+y2≤1
z x2 y 2 z =r
z x2 y2dxdydz zr 2drddz

*

r 2drd
1

2 cos
d 2 d
0
0
0
f (r sin cos ,
r sin sin , r cos)r 2sindr

y
yy
z= r cos

x
x
P
(0≤r<+, 0≤≤, 0≤≤2)
球面坐标的三组坐标面：
z
r =常数
=常数
=常数
(x, y, z) r 2 sin (r,, )
y
dxdydz= r2sin drdd x
f (x, y, z)dxdydz

f (r sin cos ,r sin sin ,r cos)r 2sindrdd
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)

b
dx
y2 (x) dy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
a
y1 ( x)
z1 ( x, y)
例1. 计算 xdxdydz, 其中是由平面x+y+z=1

与三个坐标面所围闭区域.
z
M (r, , z)
z
M
•
x=rcos
0
r x
x
y
y=rsin
y z=z
(0≤r<+, 0≤≤2, <z<+)
柱面坐标的三组坐标面分别为
z
r=常数
=常数
z=常数
o y
x
x x
r
(x, y, z) y y
(r, , z) r
z z
r
z x 0

2
0
d
zrdrd
D( )
2
1
1r 2
0 d 0 rdr0 zdz
y
.
z
4
1
z来自百度文库 1 r2
0
r
1
3. 利用球面坐标计算三重积分
z z
M (r, ,)
•M
x=OPcos = r sin cos
r

0
y= OPsin = rsin sin
解： D: 0≤ y ≤1–x, 0 ≤ x ≤ 1
z
x+y+z=1

xdxdydz


dxdy
1
0
x
y
xdz

D

1dx 1x dy 1xy xdz
00
0

1 24
0
x
y
y
1
x+y=1
D
x
1
例2. 计算 y cos( x z)dxdydz, 其中 是由抛物
r
zdz
2
y
15
z
1
0
r
1
例4. 再解例2 zdxdydz,

其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
z
0
x
解：用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
y
原积分 = zrdrddz
*
2
0 d zrdrdz D( )

所围成的闭区域.
解：D(z): x2+y2≤z
z
1 0 x
D(z) y
1
z[0, 1] ( z)2 z

zdxdydz

1
0
zdz
dxdy

D(z)

1
0
z
zdz



z3 3
1 0


3
例5. 计算 xdxdydz, 其中 是由平面 x+y+z=1


(1) 化成一个定积分和一个二重积分
z
z=z2(x, y)
f (x, y, z)dxdydz

y
[ z2 (x,y) f (x, y, z)dz]dxdy
z=z1(x, y)
D z1 ( x, y)
D
y=y2(x)
0
a y=y1(x) b
x
设 D 为 在 xy 平面上投影区域.
0
x
zdxdydz zrdrddz
y

*
1
1r 2
rdrd 0 zdz
D
2
1
1r 2
0 d 0 rdr0 zdz
2 1 r (1 r 2 )dr
0
2
4
例3. 再解例1 z x2 y2dxdydz, 其中是 由
0ar
4dr
z
1a5 (2 2)
r=a
5
4
例7. 计算 f (x, y, z)dxdydz,表为球坐标系中的三 次积分，其中 为x2+y2+(z1)2≤1.
z x0
y z
解：x2+y2+(z1)2≤1 r=2cos
f (x, y, z)dxdydz

2

r 3cos sin drd
D ( )
z x 0

2
0 d
r 3cossindrd
D( )

2
0
d

2
0
cossind
01r 3dr
y

2

sin 2

2

2 0

r4

4
1 0

4
z
1
• r=1
0 1
例6. (x2 y2 z 2 )dxdydz,其中Ω 是由z x2 y2 和 x2+y2+z2=a2 所围成闭区域.
*
例5. 计算 zdxdydz,

其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解：x2+y2+z2=1 r=1
z
用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
0
x
y
原积分
r cos r 2sindrdd
*
2
0 d