利用球坐标计算三重积分
利用球坐标计算三重积分
（2）若空间区域具有轮换对称性，即
(x, y, z) V , ( y, z, x), (z, x, y) V ,
也就是三字母轮换积分区域不改变，
则
f (x, y, z) f1(x, y, z) f1( y, z, x) f1(z, x, y)
f (x, y, z)dxdydz 3 f1(x, y, z)dxdydz.
0
0
h
1
2
d
h
r2 d z
4
2
2
0
[(1
h 1 2
4h) ln(1
(h 2 ) d
4 4h) 4h]
4
o x
y
例3. 计算三重积分
(x2 y2 z2 )d xd yd z ,其中
为锥面 z x2 y2 与球面 x2 y2 z2 R2 所围立体.
V
当 f (x, y, z) f (x, y, z) 即被积函数关于z为偶函数时
f
(x,
y,
z)dxdydz
2
f
(x,
y,
，
z)dxdydz
V
V1
其中 V1 是V 位于 xoy平面上侧的部分.
积分区域关于其它坐标平面：yoz, zox 对称，且被积
函数分别是 x, y, 的奇、偶函数，也有上述类似的结论
一、利用空间区域的对称性或被积函数的奇偶性
计算三重积分
（1）若空间闭区域关于平面 xoy 对称, 即
(x, y, z)V ,(x, y, z) V , 则当 f (x, y, z) f (x, y, z)
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是多元函数积分的一种形式，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要计算三维空间中某个区域内的函数取值总和，而三重积分就是用来描述这种情况的工具。
在本文中，我们将介绍三重积分的计算方法，包括直角坐标系下的三重积分和柱坐标系、球坐标系下的三重积分计算方法。
首先，我们来看直角坐标系下的三重积分计算方法。
设函数为f(x, y, z)，积分区域为V，那么三重积分的计算公式为：∫∫∫V f(x, y, z) dV。
其中，dV表示微元体积。
在直角坐标系下，微元体积可以表示为dV = dx dy dz，因此三重积分可以表示为：∫∫∫V f(x, y, z) dx dy dz。
这样，我们就可以按照一定的积分顺序，依次对x、y、z进行积分，从而计算出三重积分的值。
在实际计算中，我们需要根据具体的问题选择合适的积分顺序，以简化计算过程。
接下来，我们来看柱坐标系下的三重积分计算方法。
在柱坐标系下，积分区域V可以用柱坐标表示，即V={(ρ, φ, z) | (ρ, φ, z) ∈ D, α ≤ ρ ≤ β, α1 ≤ φ ≤ β1, γ1 ≤ z ≤γ2}。
这时，三重积分的计算公式变为：∫∫∫V f(ρ, φ, z) ρ dρ dφ dz。
在柱坐标系下，微元体积可以表示为dV = ρ dρ dφ dz，因此三重积分可以表示为：∫∫∫V f(ρ, φ, z) ρ dρ dφ dz。
通过将函数用柱坐标表示，并按照一定的积分顺序，依次对ρ、φ、z进行积分，我们也可以计算出三重积分的值。
最后，我们来看球坐标系下的三重积分计算方法。
在球坐标系下，积分区域V可以用球坐标表示，即V={(r, θ, φ) | (r, θ, φ) ∈ D, α ≤ r ≤ β, α1 ≤ θ ≤ β1, α2 ≤ φ ≤β2}。
这时，三重积分的计算公式变为：∫∫∫V f(r, θ, φ) r^2 sinφ dr dθ dφ。
三重积分的各种计算方法
三重积分的各种计算方法三重积分是微积分中的一种重要工具，用于计算三维空间中的体积、质量、质心等问题。
在实际应用中，我们经常需要计算三维物体的体积、密度、质心位置等信息，而三重积分提供了一种有效的方法来解决这些问题。
在本文中，我们将介绍三重积分的各种计算方法，包括直角坐标系下的直接计算方法、柱坐标系和球坐标系下的变量变换方法等。
一、直角坐标系下的直接计算方法直角坐标系是我们最常见的坐标系，三重积分在直角坐标系下的计算方法较为直观。
我们以计算三维实体体积为例来介绍直角坐标系下的直接计算方法。
假设我们要计算一个由函数z=f(x, y)所定义的三维曲面与xy平面围成的体积V。
为了计算这个体积，我们将其划分成n个小立方体，每个小立方体的体积可以近似看作dV=Δx×Δy×Δz。
那么整个体积V可以通过对每个小立方体的体积进行求和得到，即V = ∫∫∫dV = ∫∫∫f(x,y)dxdydz,其中∫∫∫表示对整个三维空间的积分。
我们可以先对z方向进行积分，然后对y方向进行积分，最后对x方向进行积分。
这个积分过程可以通过数值积分的方法进行近似计算。
二、柱坐标系下的变量变换方法直角坐标系下的直接计算方法在计算一些特殊形状的物体时可能不太方便，这时可以采用柱坐标系下的变量变换方法。
柱坐标系与直角坐标系的关系可以表示为x=r*cosθ，y=r*sinθ，z=z，其中r表示点到z轴的距离，θ表示点在xy平面的极角。
在柱坐标系下，三重积分的计算公式为V = ∫∫∫f(r*cosθ,r*sinθ,z)r dz dr dθ,其中r的取值范围为[0,∞)，θ的取值范围为[0,2π]。
在进行柱坐标系下的三重积分计算时，我们需要进行相关的变量替换和坐标范围的调整。
具体方法如下：1.将直角坐标系中的函数f(x,y,z)进行变量替换，将x、y、z用r、θ、z表示，并计算出新的函数F(r,θ,z)。
2.确定新的坐标范围，即r的取值范围、θ的取值范围和z的取值范围。
球坐标系三重积分 球的体积
球坐标系三重积分球的体积1. 球坐标系介绍球坐标系是一种描述三维空间的坐标系，其中每个点的位置由一个半径、一个极角和一个方位角决定。
在球坐标系中，半径代表点到坐标原点的距离，极角代表点与正轴的夹角，方位角代表点在xy平面上的投影与正x轴的夹角。
2. 球坐标系的三重积分我们可以使用球坐标系来求解球的体积。
球的体积可以通过三重积分计算得出。
三重积分是对三元函数在三维空间中的积分，通常用于计算体积、质心、转动惯量等物理量。
在球坐标系中，三重积分的表达式如下：V = ∭R f(r,θ,φ) r^2sinθ dV其中，f(r,θ,φ)是被积函数，r、θ、φ分别是球坐标系中的半径、极角和方位角，dV是元体积。
由于我们要计算球体的体积，所以被积函数可以取为1，积分区域R为整个球体。
因此，球体的体积可以表示为：V = ∭R r^2sinθ dV这个式子可以通过球坐标系下的三重积分求解。
3. 求解球体的体积现在，我们来看一下如何求解球体的体积。
为了方便计算，我们假设球体的半径为R。
首先，我们需要确定三重积分的积分区域。
积分区域R可以通过以下条件确定：- 0 ≤ r ≤ R- 0 ≤ θ≤ π- 0 ≤ φ ≤ 2π其中，第一个条件限定了半径的取值范围，第二个条件限定了极角的取值范围，第三个条件则限定了方位角的取值范围。
接下来，我们需要将被积函数替换到三重积分的表达式中，并计算出元体积dV。
在球坐标系中，元体积可以表示为：dV = r^2sinθ dr dθ dφ将被积函数和元体积代入原式，得到球体的体积V为：V = ∭r^2sinθ dr dθ dφ积分区域为：积分区域R: 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π被积函数为：f(r,θ,φ) = 1元体积为：dV = r^2sinθ dr dθ dφ因此，球体的体积为：V = ∫∫∫R r^2sinθ dr dθ dφ= ∫0^R ∫0^π ∫0^2π r^2sinθ dφ dθ dr= 4/3πR^34. 结论通过球坐标系下的三重积分计算，我们得出了球体的体积公式为4/3πR^3。
2.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
0 ≤ θ ≤ 2 π,
z
M ( x,
∞ < z < +∞ .
o
θ
y, z )
r
P (r ,θ )
y
x
如图, 如图,三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面; 圆柱面; 半平面; 半平面; 平 面.
z
θ 为常数
z 为常数
M ( x, y , z )
z
柱面坐标与直角坐 标的关系为 x = r cosθ , y = r sinθ , z = z.
o
θ
r
P (r ,θ )
y
x
讨论下列柱坐标系下的曲面方程表示的曲面
Answer : (a ) r = 5 x 2 + y 2 = 55
(b) (c )
Question: In rectangular coordinates the volume element dV is given by dV=dxdydz, dV=dxdydz,
D1 2
8
2π
0
45 dθ ∫ dr ∫r 2 r r 2dz = π , 0 3 2
4 8
I 2 = ∫∫ rdrdθ ∫r 2 fdz = ∫
D2 2
2
2π
0
25 dθ ∫ dr ∫r 2 r r 2dz = π , 0 2 6
2 2
45 25 原式 I = π π = 336π . 3 6
球面坐标与直角坐标的关系为
x = ρ sin cosθ, y = ρ sin sin θ, z = ρ cos.
A
x
ρ M ( x , y, z )
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是微积分中的重要内容，它在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们常常需要对三维空间中的某些物理量进行积分运算，而三重积分就是用来描述这种三维空间中的积分运算的工具。
下面，我们将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们来看三重积分的定义。
对于空间中的一个有界闭区域V，如果函数f(x, y, z)在V上有定义且在V上可积，那么三重积分∬∬∬_{V}f(x,y,z)dxdydz的计算方法如下：1. 将积分区域V投影到xy平面上，得到投影区域D。
2. 在D上选择一个合适的坐标系，通常选择直角坐标系或极坐标系。
3. 再在D上选择一个曲线坐标系，通常选择柱坐标系或球坐标系。
4. 根据选择的坐标系，写出积分的累次积分式。
5. 按照累次积分的顺序依次进行积分运算。
在实际计算中，我们通常会遇到一些复杂的积分问题，下面我们来看一些常见的计算方法。
首先是直角坐标系下的三重积分计算。
在直角坐标系下，积分区域V可以用不等式形式表示，利用三次积分的性质，可以将三重积分化为三个一重积分的累次积分。
这样就可以分别对x、y、z进行积分，从而简化计算。
其次是极坐标系下的三重积分计算。
在极坐标系下，积分区域V通常是某个平面区域在z轴上的投影区域，利用极坐标系的性质，可以将三重积分化为一个二重积分和一个一重积分的累次积分。
这样就可以利用极坐标系的简洁性，简化计算过程。
最后是球坐标系下的三重积分计算。
在球坐标系下，积分区域V通常是一个球体或球体的一部分，利用球坐标系的性质，可以将三重积分化为一个球面上的二重积分和一个一重积分的累次积分。
这样就可以利用球坐标系的简洁性，简化计算过程。
总之，三重积分的计算方法是多样的，我们可以根据具体的问题选择合适的坐标系和积分顺序，从而简化计算过程。
在实际问题中，我们需要灵活运用不同的计算方法，以便高效地解决问题。
希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。
(简)3-5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
0 ≤ r ≤ a,
0 ≤ θ ≤ 2π ,
2π a a
I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz = ∫ dθ ∫ rdr ∫ r 2dz
Ω
0
0
r
a4 a5 π 5 3 = 2π ∫ r (a − r )dr = 2π[a ⋅ − ] = a . 0 10 4 5
a
例 4 求曲面x2 + y2 + z2 ≤ 2a2 与z ≥ x2 + y2 所围 成的立体体积.
解 积分域关于三个坐标面都对称， 积分域关于三个坐标面都对称， 奇函数, 被积函数是 z 的奇函数
z ln( x 2 + y 2 + z 2 + 1) ∫∫∫ x 2 + y 2 + z 2 + 1 dxdydz = 0. Ω
例6
计算 ∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz 其中Ω 是由抛物
2
2
面 z = x + y 和球面 x + y + z = 2 所围成的空 间闭区域.
2 2 2
Ω 2
解
Q ( x + y + z)
2 2 2
2
= x + y + z + 2( xy + yz + zx )
的奇函数, 其中 xy + yz 是关于 y 的奇函数
面对称, 且 Ω 关于 zox 面对称 ∴
所围成的立体如图， 所围成的立体如图，
所围成立体的投影区域如图， 所围成立体的投影区域如图，
D1 : x 2 + y 2 = 16,
0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ r ≤ 4 , Ω1 : 2 r ≤ z ≤ 8 2
利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
2
D2 : x2 y 2 4, 2 :
D1 D2
0 2
0 r 2
r
2
z
. 2
2
I I1 I2
( x2 y2 )dxdydz ( x2 y2 )dxdydz,
1 8
I1 rdrd r2 fdz
D1
2
2
d
0
2
4
dr
0
8
r2
r
r
2dz
2
45 3
,
2
3.5 利用柱面坐标和球面坐标 计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分
三、小结
一、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三 个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 r ,
0 2,
z .
• M(x, y,z)
or
•
y
P(r, )
x
如图，三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面；
z
为常数
z 为常数
半平面； 平 面．
• M (x, y, z)
z
柱面坐标与直角坐 标的关系为
or
• P(r, )
y
x r cos ,
y
r
sin
,
x
z z.
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
x2 y2 z2， 与平面z a (a 0) 所围的立体.
解: 采用球面坐标
za r a , cos
x2 y2 z2 ,
4
: 0 r a , 0 , 0 2,
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可得
n
M
lim
0
(k ,k , k )vk
k 1
vk
(k ,k , k )
定义. 设 f (x, y, z) , (x, y, z) , 若对 作任意分割:
vk ( k 1 , 2 , , n), 任意取点 (k ,k , k ) vk ,
解: 在柱面坐标系下
2 z R2 2
: 0 R
z rR
2
0 2
4
( x2 y2 z2 )dxdydz
oy
2
d
0
R
2 dr R22 ( 2 z2) d z
0
x
1 R5(2 2)
注：这个式子虽容易写出，但是要 求积分结果非常难，我们能不能找
V
当 f (x, y, z) f (x, y, z) 即被积函数关于z为偶函数时
f
(x,
y,
z)dxdydz
2
f
(x,
y,
，
z)dxdydz
V
V1
其中 V1 是V 位于 xoy平面上侧的部分.
积分区域关于其它坐标平面：yoz, zox 对称，且被积
函数分别是 x, y, 的奇、偶函数，也有上述类似的结论
1
d xd yd x2
z y
2
,
其中由抛物面
x2 y2 4z 与平面 z h (h 0)所围成 .
z
2 4
z
பைடு நூலகம்
h
h
解: 在柱面坐标系下
02 h
0 2
1
h
原式 =
D
1 x2 y2
dxd y
r2 dz
4
2
2
d
因此有
f (x, y, z)dxdydz F(r, ,) r2 sin d r d d
d dr
r d
o
x
y
d
其中 F(r, ,) f (r sin cos , r sin sin , r cos )
适用范围:
1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;
利用对称性
关于 x为奇函
z
1 2
(
x2
y2
)d
数
xd yd
z
1
4
dz
( x2 y2 )d xd y
21
Dz
1
4
dz
2
d
2z r3 d r 21
21 0
0
4
1
Dz
oy x
下列“乘积和式” 极限
n
记作
lim
0
k
1
f
( k
,k
,
k
)vk
f (x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在上的三重积分.
dv称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
1. 利用直角坐标计算三重积分
先假设连续函数 f (x, y, z) 0, 并将它看作某物体
f (x, y, z)dv
d xd y z2 (x,y) f (x, y, z)dz
D
z1 ( x, y)
方法2. 截面法 (“先二后一”)
:
(x, y)
c
z
Dz d
以Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为
Dz f (x, y, z) d x d y
( x2 y2 z2 )dxdydz
2
d
4 sin d
Rr4 dr
oy x
0
0
0
dv r2 sin drd d
1 R5(2 2)
5
这种方法简单多了！
内容小结
坐标系
体积元素
适用情况
直角坐标系 dxdydz
积分区域多由坐标面
柱面坐标系 d d dz
5
到更加简便的方法来研究这道题目
呢？
3. 利用球坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) R3, 其柱坐标为(, , z), 令 OM r,
ZOM , 则(r, ,) 就称为点M 的球坐标.
直角坐标与球面坐标的关系
z z
x rsin cos y r sin sin z r cos
0
0
h
1
2
d
h
r2 d z
4
2
2
0
[(1
h 1 2
4h) ln(1
(h 2 ) d
4 4h) 4h]
4
o x
y
例3. 计算三重积分
(x2 y2 z2 )d xd yd z ,其中
为锥面 z x2 y2 与球面 x2 y2 z2 R2 所围立体.
2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.
例5. 计算三重积分
(x2 y2 z2 )d xd yd z ,其中
为锥面 z x2 y2 与球面 x2 y2 z2 R2 所围立体.
解: 在球面坐标系下
0rR
z rR
:
0
4
0 2
4
用球坐标
2
d
0
4 0
sin d 2r 4 d r 64 1
0
5
2 2
2. 计算 I
( x2 5xy2 sin x2 y2 ) d x d y d z,其中
由 z 1 (x2 y2 ), z 1, z 4围成. 2
解: I x2 d x d y d z 5 xy2 sin x2 y2 d x d y d z
坐标面分别为
0 r
0 2 0
rM
o
y x
r 常数
常数
球面
M (r, ,)
半平面
r sin z r cos
常数
锥面
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为
z
d v r 2 sind rd d
y,0)
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为，在二重积分的时候我
们讲过极坐标的转化 面积微元为 d d d
体积微元 d v d dd z
z
d
因此 f (x, y, z)dxdydz
z
d
dz
F(, , z) d d dz
其中 F(, , z) f ( cos , sin , z )
该物体的质量为
f (x, y, z)d v
abDZ f (x, y, z) d x d ydz
记作
bd
a
z
DZ
f (x, y, z)dxdy
z
d
z Dz
c
y
x
面密度≈
f (x, y, z) d z
2. 利用柱坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) R3,将x, y用极坐标, 代替, 则（, , z)
第三节 三重积分
换元法计算三重积分
一、柱面坐标求三重积分 二、球面坐标求三重积分
回顾 三重积分的概念
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为(x, y, z) C,求分布在 内的物质的
质量 M .
解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用
“分割, 近似, 求和, 取极限”
0 2cos z
解: 在柱面坐标系下 :
0
2
a
先二后一
0 z a
原式 z 2 d dd z
a
zdz
2 d
2cos 2 d
0
0
0
o y
2 x 2cos
4a2 2 cos3 d 8 a3
30
9
例2. 计算三重积分
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
x cos y sin zz
坐标面分别为
常数 常数
z 常数
0 0 2
z
圆柱面 半平面 平面
z z
M (x, y, z)
o
y
x
(x,
V
V1
4. 设由锥面 z x2 y2 和球面 x2 y2 z2 4
所围成 , 计算 I (x y z)2 dv.
z 2
提示:
I (x2 y2 z2 2 xy 2 yz 2 xz) dv
4
利用对称性
oy
x
(x2 y2 z2 ) dv
的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法:
方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”)
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
方法1 . 投影法 (“先一后二”)
找 及在 xoy面投影区域D。过D上一点 (x, y)“穿线”确定z
的积分上下限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按照 二重积分的计算步骤计算投影区域D上的二重积分，完成”后 二“这一步。