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第三节三重积分的概念与计算-PPT课件
第八章
重积分
第三节 三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念
问题的提出： 设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z )， 求立体 V 的质量 M 为了求 V 的质量，仍采用：分割、近似代替、
求和、取极限四个步骤.
首先把 V 分成 n 个小块
V1 , V2 , . . . , Vn ,
Vi 的体积 记为 V i
例1 设有一物体Ω=[0,1;0,1;0,1](即长方体)它在点
p(x,y,z)处的密度为点p到原点距离的平方,求物体的质
量M.
2 2 2 1 D xy
2 2 2 M ( x y z ) dxdydz dxdy ( x y z ) d 解 0
3 1 1 y y1 2 2 2 ( x y) dxdy ( x y ) dx 0 0 3 3 3 D xy
过点 ( x ,y ) D 作直线 , o xy
a
z2 S 2
z1
S1
z z ( x ,y ) 1
从 z 穿入，从 z b 1 2穿出．
x
( x, y)
D
y
y y ( x ) 2
y y ( x ) 1
先将 x , y 看作定值，将 f ( x , y , z ) 只看作 z 的 函数，则
1 2 13 2 ( x ) dx x x 1 0 3 3 3 0
1 2
其中 D : 0 x 1 , 0 y 1 xy
当积分区域是长方体的时候,三重积分的积分限最
容易安排
g ( x , y , z ) dV dx ( x , y , z ) dz dy g
重积分
第三节 三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念
问题的提出： 设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z )， 求立体 V 的质量 M 为了求 V 的质量，仍采用：分割、近似代替、
求和、取极限四个步骤.
首先把 V 分成 n 个小块
V1 , V2 , . . . , Vn ,
Vi 的体积 记为 V i
例1 设有一物体Ω=[0,1;0,1;0,1](即长方体)它在点
p(x,y,z)处的密度为点p到原点距离的平方,求物体的质
量M.
2 2 2 1 D xy
2 2 2 M ( x y z ) dxdydz dxdy ( x y z ) d 解 0
3 1 1 y y1 2 2 2 ( x y) dxdy ( x y ) dx 0 0 3 3 3 D xy
过点 ( x ,y ) D 作直线 , o xy
a
z2 S 2
z1
S1
z z ( x ,y ) 1
从 z 穿入，从 z b 1 2穿出．
x
( x, y)
D
y
y y ( x ) 2
y y ( x ) 1
先将 x , y 看作定值，将 f ( x , y , z ) 只看作 z 的 函数，则
1 2 13 2 ( x ) dx x x 1 0 3 3 3 0
1 2
其中 D : 0 x 1 , 0 y 1 xy
当积分区域是长方体的时候,三重积分的积分限最
容易安排
g ( x , y , z ) dV dx ( x , y , z ) dz dy g
三重积分ppt
0 2
在球面坐标下 x2 y2 z2 2, 因此
1. 若被积函数形如 f (x2 y2 z2);
2. 积分区域是由球面、锥面或平面所围成. 常用球面坐标计算
球面坐标下的三坐标面分别为
z
动点M(ρ, ,)
ρ=常数: 球面S
=常数:
M
S
ρ
0
x y
动点M(ρ, ,)
ρ=常数: 球面S
f
( x,
y, z)dxdy.
例4 计算三重积分 zdxdydz, 其中为三个坐
标面及平面x y z 1所围成的闭区域.
解 截面法(先二后一法)
zdxdydz
1
0
zdz
dxdy
Dz
Dz {(x, y) | x y 1 z}
z
1 x yz1
1O
x
Dz
1y
1
dxdy 2(1 z)(1 z)
z
• M (x, y, z)
z
O
Ax x
y
•P
y
向xOy平面投影, 记投影向量与x轴正方向的
夹角为 , 称 ( , , ) 为点M 的球面坐标. 规定: 0 , 0 , 0 2 .
直角坐标与球面坐标的关系为
x sin cos
y
sin
sin
z cos
0 0
z
C
=常数: 锥面C
=常数: 半平面P
M
S
P
0
x
y
球面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成：
圆锥面
球面ρ+dρ
半平面 及+d ； ρsind
半径为ρ及ρ+dρ的球
在球面坐标下 x2 y2 z2 2, 因此
1. 若被积函数形如 f (x2 y2 z2);
2. 积分区域是由球面、锥面或平面所围成. 常用球面坐标计算
球面坐标下的三坐标面分别为
z
动点M(ρ, ,)
ρ=常数: 球面S
=常数:
M
S
ρ
0
x y
动点M(ρ, ,)
ρ=常数: 球面S
f
( x,
y, z)dxdy.
例4 计算三重积分 zdxdydz, 其中为三个坐
标面及平面x y z 1所围成的闭区域.
解 截面法(先二后一法)
zdxdydz
1
0
zdz
dxdy
Dz
Dz {(x, y) | x y 1 z}
z
1 x yz1
1O
x
Dz
1y
1
dxdy 2(1 z)(1 z)
z
• M (x, y, z)
z
O
Ax x
y
•P
y
向xOy平面投影, 记投影向量与x轴正方向的
夹角为 , 称 ( , , ) 为点M 的球面坐标. 规定: 0 , 0 , 0 2 .
直角坐标与球面坐标的关系为
x sin cos
y
sin
sin
z cos
0 0
z
C
=常数: 锥面C
=常数: 半平面P
M
S
P
0
x
y
球面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成：
圆锥面
球面ρ+dρ
半平面 及+d ； ρsind
半径为ρ及ρ+dρ的球
第四部分三重积分的计算教学课件
2
1
Iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ d dr
2r2 r(2r2 cos2 z2 )dz
0
0
r2
(90 2 89). 60
三、小结
三重积分换元法
柱面坐标 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrddz
（2） 球面坐标的体积元素
dxdydz r2 sindrdd
（3） 对称性简化运算
思考题
知交线为
r2 z2 4
r2 3z
z 1, r 3,
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图，
: r2 z 4 r2， 3 0 r 3, 0 2.
I
2
3
4r2
0
d 0
dr r2
3
r zdz
13 . 4
例２ 计算 I ( x2 y2 )dxdydz， 其中
z .
• M(x, y,z)
or
•
y
P(r, )
x
如图，三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面；
z
为常数
z 为常数
半平面； 平 面．
• M (x, y, z)
z
柱面坐标与直角坐 标的关系为
or
• P(r, )
y
x r cos ,
y
r
sin
,
x
z z.
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
za r a , cos
x2 y2 z2 ,
4
: 0 r a , 0 , 0 2,
cos
4
I ( x2 y2 )dxdydz
2
d
4 d
a
cos r 4 sin 3dr
三重积分ppt课件
dv称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如
2
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二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分
先假设连续函数 f (x, y, z) 0, 并将它看作某物体
的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法:
z1( x, y)
z z1(x, y)
该物体的质量为
O
y
f (x, y, z)d v
xD
dxd y
D
z2 (x,y) f (x, y, z)dz dxdy
z1( x, y)
记作
dxd y z2 (x,y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
aπ
0 zdz 0 2 d
2cos 2 d
0
Oy 2 x 2cos
4a2 3
π 2 cos3 d
0
8a2 9
dv d ddz
10
例4. 计算三重积分
其中 由抛物面
x2 y2 4z 与平面 z h (h 0)所围成 .
微元线密度≈
f (x, y, z) dxdy
6
方法2. 截面法 (“先二后一”)
以Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为
该物体的质量为
ab Dz f (x, y, z) d x d y dz
记作 b
a dzDz f (x, y, z)dxdy
z
b
z Dz
a
O
三重积分.ppt
小结: 三重积分的计算方法
方法1. “先一后二”
dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)d z
D
z1( x, y)
方法2. “先二后一”
b
a d zDz f (x, y, z)dxdy
方法3. “三次积分”
bd x y2 (x) d y z2 (x, y) f (x, y, z)d z
（也表示体积）
n
作和式 f (i ,i , i )Vi i 1
记作
f (x, y, z)dV
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在 上的三重积分.
dv 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
三重积分的性质与二重积分相似.
二.三重积分的性质
1. k f (x, y, z)dV k f (x, y,) dV ( k 为常数)
同样也有轮换对称性，如
x2
dV
y 2 dV
z 2 dV
1 3
(x2
y2
z2 )dV
第四节 三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 方法:
方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”)
方法1. 投影法 (“先一后二” )
设区域 :
(
x,
y)
D
:
y1
(
x) a
y x
y2 b
(
x)
利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得:
投影法
b
dx
y2 (x) dy
三重积分 ppt课件
点不多于两个.
f (x, y, z)dv
dydz x2( y,z) f ( x, y, z)dx
Dyz
x1 ( y,z )
PPT课件
(3)Ω：平行于 y 轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
f (x, y, z)dv
dxdz y2( x,z) f ( x, y, z)dy
z z1( x, y) (x, y)
z z1( x, y)
(x, y)
10
步骤： z z2(x, y)
1、求Ω在xoy面的投影区域 ;
z z1( x, y)
2、过( x, y) Dxy做平行与 z轴的 射线 ，确定 z1( x, y) z z2( x, y) 3、
PPT课件
解 关于yoz面对称, e y2 sin x3关于x为奇函数，
PPT课件
e y2 sin x3dv 0
关于xoz面对称, yz2关于x为奇函数，
yz2dv 0
(e y2 sin x3 yz2 3)dv 3dv
3 4 三重积分的计算
（一）直角坐标
用平行坐标平面的平面
来划分区域Ω ,
v xyz dv dxdydz
f ( x, y)dxdydz
9
1、投影法
(1)Ω：平行于z轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
z z2(x, y)
z z2(x, y)
PPT课件
18
PPT课件
例4 解
19
例5
解
z
PPT课件
o
y
x
20
PPT课件
f (x, y, z)dv
dydz x2( y,z) f ( x, y, z)dx
Dyz
x1 ( y,z )
PPT课件
(3)Ω：平行于 y 轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
f (x, y, z)dv
dxdz y2( x,z) f ( x, y, z)dy
z z1( x, y) (x, y)
z z1( x, y)
(x, y)
10
步骤： z z2(x, y)
1、求Ω在xoy面的投影区域 ;
z z1( x, y)
2、过( x, y) Dxy做平行与 z轴的 射线 ，确定 z1( x, y) z z2( x, y) 3、
PPT课件
解 关于yoz面对称, e y2 sin x3关于x为奇函数，
PPT课件
e y2 sin x3dv 0
关于xoz面对称, yz2关于x为奇函数，
yz2dv 0
(e y2 sin x3 yz2 3)dv 3dv
3 4 三重积分的计算
（一）直角坐标
用平行坐标平面的平面
来划分区域Ω ,
v xyz dv dxdydz
f ( x, y)dxdydz
9
1、投影法
(1)Ω：平行于z轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
z z2(x, y)
z z2(x, y)
PPT课件
18
PPT课件
例4 解
19
例5
解
z
PPT课件
o
y
x
20
PPT课件
重积分直角坐标系下三重积分的计算PPT课件
z
(2) x2 yzdv
H
: x2 y2 z H (H 0) •
•
解 区域 是关于zox面是对称的
o
y
f ( x, y, z)关于y是奇函数 x
x2 yzdv
x 2 zdxdz
z x2
ydy
zx2
Dzx
x2z 0dxdz 0 。
Dzx
16
第16页/共45页
z ln(x2 y2 z2 1)
f ( x, y, z)dv
0
2
1
f (x,
y, z)dv
f 关于y是奇函数 f 关于y是偶函数
其中1是的右半部分
11
第11页/共45页
2、若 空间区域 是关于yoz面是对称的, 则
f ( x, y, z)dv
其中1是的前半部分
0
f 关于x是奇函数
2
1
f
( x,
y, z)dv
f 关于x是偶函数
• z Dz
o
y
1
x
zdv 0 dz zd
: x2 y2 z 1
Dz
1
0 zdzd
1
z(z
2
)dz
0
Dz
1 z3dz
0
z4
4
1 0
。
4
Dz oz
Dz:x2 y2 z2
24
第24页/共45页
练习二计算 I ( y4 sin x z)dv z
: x2 y2 z2 2Rz。
(1) : y1(z, x) y y2(z, x),(z, x) Dzx
f ( x, y, z)dv dzdx y2 (z,x) f ( x, y, z)dy
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广州大学数学与信息科学学院
1
工科高等数学
广州大学袁文俊、邓小成、尚亚东
2
一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分 三、小结
3
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x,y,z)为空间内一点M ， 在x并 o面 y设上 点
的投P影 的极坐r标 , ， 为则这样的r,三 ,z个数
zdxdydz zrdrddz
0 2d0 2drr42rzdz
02d02r z224r2dr 1 20 2d0 2(1r 6r5)dr
1 2028r21 6r60 2d
1228r216r602
64 3
.
9
例 2求 Izdx， d其 y中 d z是 球 面x2y2z24
与 抛 物 面x2y23z 所 围 的 立 体 .
射线，得 0r1 .
18
(3) 在半平面上，任取一 [0,],过原点作
射线，得 0r1 .
z
0 2 , 即 : 0 ,
0 r 1.
o
y
x
z2dv r2 co 2sr2sin dd rd
0 2 d0 d0 1 r4 c2 ossid nrzxy
r sin cos , r sin sin , r cos.
样的三个数 r，， 就叫做点M的球面坐标．
规定： 0r ,
0,
0 2 .
z
r•M (x,y,z)
o
y
•P
15
x
z
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
球 面； 圆锥面；
r
o
y
为常数 半平
面．
x
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos .
z
r •M(x,y,z)
解
求交线：
x2 y2 z2 4
x2 y2 3z
zx21.y2 3,
z
o x
y
将 向 xoy 面投影，得
D: x2y23.
或
D:
02,
0r 3.
r 3
o
A
10
或
D:
02,
0r 3.
过 (r, )∈D 做平行于 z 轴
的直线，得
r2 z 4r2.
x
3
0 2,
即 : 0r 3, r2 3z 4r2.
02d0 co2ssinr551 0d
d vr2sin drd d
19
z2dv r2 co 2sr2sin dd rd
就叫M 点 的柱面坐标． z
规定： 0r ,
02,
•M(x,y,z)
z . 简单地说，柱面坐标就是
or
y
•
P(r,)
x
xoy 面上的极坐标 + z 坐标
4
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐标的 关系为
x r cos ,
y
r
sin
例1 利用柱面坐标计算三重积分 z dxdyd,z 其中
是由z曲 x2 面 y2与平z面 4所围成的闭
解 (1) 画 图
z
(2) 确定 z，r， 的上下限
44
将 向 xoy 面投影，得
D: x2y24
或
0 2,
D:
0r 2.
o•(r,)
yy
xx
r2
过 (r, )∈D 做平行于 z 轴
的直线，得
D: x2y2H2
HH
或
D:
0 2,
0rH.
Hale Waihona Puke 过 (r, )∈D 做平行于 z 轴
的直线，得
rzH .
o•(r,)
y
y
x
H
H o H
Hx
12
或
D:
0 2,
0rH.
z
HH
过 (r, )∈D 做平行于 z 轴
的直线，得
o•(r,)
y
rzH .
0 2 ,
即 : 0 r H , r z H
20H(H3rr4)dr
H5
10
.
x y
r r
cos sin
, ,
z z .
d vrddr d,z
14
二、利用球面坐标计算三重积分
设M(x, y,z)为空间内一点，则M点 可用三个有次
序的数r，， 来确定，其r中为原点O与点M间 的距离， 为有向线段 OM与z轴正向所夹的角 ，
为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转向 到线 有段 OP的角，这里 P 为点M 在xoy面上的投影，这
z
o
x
A
y
x
•
P
y
16
如图， 球面坐标系中的体积元素为
d vr2sin dd r d,
z
dr
d
rsin
r
rsin d
rd
d
f(x, y,z)dxdydz
o
y
d
x
f ( r s i cn , o r ss i sn , i r c n ) o r 2 ss i d d n d r.
再根据再 中 r， ， 的关系，化为三次积分。
o 2A
7
过 (r, )∈D 做平行于 z 轴
的直线，得 r2z4
0 2 ,
即 : 0 r 2, r 2 z 4
于是，
z
4
o•(r,)
y
x
r2 o 2A
zdxdydz zrdrddz.
0 2d0 2drr42rzdz
x y
r r
cos sin
, ,
z z .
d vrddr d8,z
,
z
z.
z
z
or
y
x
z
M (x,y,z)
•
o
x
r
y
• P(r,) 5
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
d vrddr d,z
z
rd dr
r dz
于是，
f(x, y,z)dxdydz
o
y
x d
f(rc o ,rs i,n z)rdd rd.z
再根据 中 z，r， 的关系，化为三次积分。
一般，先对 z 积分，再对 r ，最后对 积分。 6
一般，先对 r 积分，再对 ，最后对 积分。 17
例4 用球面坐标计算 z2dv . 其中
z
: x2y2z21.
解 画 图。
o
y
确定 r， ， 的上下限。 x
(1) 将 向 xoy 面投影，得
0 2 .
(2) 任取一 [0,2],过 z 轴作半平面，得
0.
(3) 在半平面上，任取一 [0,],过原点作
Izd xd yzd rdz rddz
02d03drr324r2rzdz
13 4
.
z
o •(r,) y
x y
r r
cos sin
, ,
z z .
d vrddr d,z
11
例3 计算三重积分 (x2y2)dv, 其中 是由曲
面 z x2y2与平 zH 面 (H0)所围成
z
解 将 向 xoy 面投影，得
x
y
H
H o H
Hx
(x2y2)dv r2rdrddz.
0 2d0 HdrrHr3dz
x y
r r
cos sin
, ,
z z .
d vrddr d 13,z
0 2 ,
即 : 0 r H , r z H
(x2y2)dv r2rdrddz.
0 2d0 HdrrHr3dz
0 2d0 Hr3zH rdr
广州大学数学与信息科学学院
1
工科高等数学
广州大学袁文俊、邓小成、尚亚东
2
一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分 三、小结
3
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x,y,z)为空间内一点M ， 在x并 o面 y设上 点
的投P影 的极坐r标 , ， 为则这样的r,三 ,z个数
zdxdydz zrdrddz
0 2d0 2drr42rzdz
02d02r z224r2dr 1 20 2d0 2(1r 6r5)dr
1 2028r21 6r60 2d
1228r216r602
64 3
.
9
例 2求 Izdx， d其 y中 d z是 球 面x2y2z24
与 抛 物 面x2y23z 所 围 的 立 体 .
射线，得 0r1 .
18
(3) 在半平面上，任取一 [0,],过原点作
射线，得 0r1 .
z
0 2 , 即 : 0 ,
0 r 1.
o
y
x
z2dv r2 co 2sr2sin dd rd
0 2 d0 d0 1 r4 c2 ossid nrzxy
r sin cos , r sin sin , r cos.
样的三个数 r，， 就叫做点M的球面坐标．
规定： 0r ,
0,
0 2 .
z
r•M (x,y,z)
o
y
•P
15
x
z
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
球 面； 圆锥面；
r
o
y
为常数 半平
面．
x
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos .
z
r •M(x,y,z)
解
求交线：
x2 y2 z2 4
x2 y2 3z
zx21.y2 3,
z
o x
y
将 向 xoy 面投影，得
D: x2y23.
或
D:
02,
0r 3.
r 3
o
A
10
或
D:
02,
0r 3.
过 (r, )∈D 做平行于 z 轴
的直线，得
r2 z 4r2.
x
3
0 2,
即 : 0r 3, r2 3z 4r2.
02d0 co2ssinr551 0d
d vr2sin drd d
19
z2dv r2 co 2sr2sin dd rd
就叫M 点 的柱面坐标． z
规定： 0r ,
02,
•M(x,y,z)
z . 简单地说，柱面坐标就是
or
y
•
P(r,)
x
xoy 面上的极坐标 + z 坐标
4
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐标的 关系为
x r cos ,
y
r
sin
例1 利用柱面坐标计算三重积分 z dxdyd,z 其中
是由z曲 x2 面 y2与平z面 4所围成的闭
解 (1) 画 图
z
(2) 确定 z，r， 的上下限
44
将 向 xoy 面投影，得
D: x2y24
或
0 2,
D:
0r 2.
o•(r,)
yy
xx
r2
过 (r, )∈D 做平行于 z 轴
的直线，得
D: x2y2H2
HH
或
D:
0 2,
0rH.
Hale Waihona Puke 过 (r, )∈D 做平行于 z 轴
的直线，得
rzH .
o•(r,)
y
y
x
H
H o H
Hx
12
或
D:
0 2,
0rH.
z
HH
过 (r, )∈D 做平行于 z 轴
的直线，得
o•(r,)
y
rzH .
0 2 ,
即 : 0 r H , r z H
20H(H3rr4)dr
H5
10
.
x y
r r
cos sin
, ,
z z .
d vrddr d,z
14
二、利用球面坐标计算三重积分
设M(x, y,z)为空间内一点，则M点 可用三个有次
序的数r，， 来确定，其r中为原点O与点M间 的距离， 为有向线段 OM与z轴正向所夹的角 ，
为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转向 到线 有段 OP的角，这里 P 为点M 在xoy面上的投影，这
z
o
x
A
y
x
•
P
y
16
如图， 球面坐标系中的体积元素为
d vr2sin dd r d,
z
dr
d
rsin
r
rsin d
rd
d
f(x, y,z)dxdydz
o
y
d
x
f ( r s i cn , o r ss i sn , i r c n ) o r 2 ss i d d n d r.
再根据再 中 r， ， 的关系，化为三次积分。
o 2A
7
过 (r, )∈D 做平行于 z 轴
的直线，得 r2z4
0 2 ,
即 : 0 r 2, r 2 z 4
于是，
z
4
o•(r,)
y
x
r2 o 2A
zdxdydz zrdrddz.
0 2d0 2drr42rzdz
x y
r r
cos sin
, ,
z z .
d vrddr d8,z
,
z
z.
z
z
or
y
x
z
M (x,y,z)
•
o
x
r
y
• P(r,) 5
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
d vrddr d,z
z
rd dr
r dz
于是，
f(x, y,z)dxdydz
o
y
x d
f(rc o ,rs i,n z)rdd rd.z
再根据 中 z，r， 的关系，化为三次积分。
一般，先对 z 积分，再对 r ，最后对 积分。 6
一般，先对 r 积分，再对 ，最后对 积分。 17
例4 用球面坐标计算 z2dv . 其中
z
: x2y2z21.
解 画 图。
o
y
确定 r， ， 的上下限。 x
(1) 将 向 xoy 面投影，得
0 2 .
(2) 任取一 [0,2],过 z 轴作半平面，得
0.
(3) 在半平面上，任取一 [0,],过原点作
Izd xd yzd rdz rddz
02d03drr324r2rzdz
13 4
.
z
o •(r,) y
x y
r r
cos sin
, ,
z z .
d vrddr d,z
11
例3 计算三重积分 (x2y2)dv, 其中 是由曲
面 z x2y2与平 zH 面 (H0)所围成
z
解 将 向 xoy 面投影，得
x
y
H
H o H
Hx
(x2y2)dv r2rdrddz.
0 2d0 HdrrHr3dz
x y
r r
cos sin
, ,
z z .
d vrddr d 13,z
0 2 ,
即 : 0 r H , r z H
(x2y2)dv r2rdrddz.
0 2d0 HdrrHr3dz
0 2d0 Hr3zH rdr