2013电磁场与电磁波1(散度旋度)

第一章矢量分析

矢量场和标量场

三种常用的坐标系

矢量的基本运算

标量场的梯度

矢量场的散度

矢量场的旋度

亥姆霍兹定理

* 标量场的梯度是一个矢量场；

* 当a l的方向与梯度方向一致时，方向导数取得最大值。* 标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。

矢量场的散度

✧闭合面的通量

✧散度的定义

✧散度的性质

✧高斯散度定理

矢量场的矢量线

为描绘矢量场在空间的分布状况，引入矢量线的概念。矢量线上每一点的切线方向都代表该点的矢量场的方向。线的疏密代表场的大小。

一般说来，矢量场的每一点均有唯一的一条矢量线通过，所以矢量线充满了整个矢量场所在的空间。电场中的电力线和磁场中的磁力线等，都是矢量线的例子。

x y z d F F F dx dy dz

F l 求出该微分方程的通解可绘出矢量线

z

y x F F F

式中,C

1和C

2

为任意常数，可以看出，

电力线是一簇从点电荷所在点向空间发散的径向辐射线，这一簇矢量线形象地描绘出点电荷的电场分布状况。

矢量场的通量

面元通量 反映矢量通过面元的量（如：水量） 对于开表面, n 与表面的闭合曲线构成右手螺旋关系。

对于闭合表面, n 为外法向单位矢。 矢量与n 成锐角，通量为正

cos d d Ads

A s 将曲面的一个面元用矢量d S 来表示，其方向取为面元的法线方向，其大小为d S ，即d S =n dS ,n

是面元法线方向的单位矢量。

矢量场的通量

矢量的通量Φ

S S d dS

A S A n 通量的意义：通过曲面S 的量（对于流速场：水流量） 通量是个标量。矢量场的通量

闭合面通量Φ的物理意义

对于封闭曲面S ，如果 >0，表示净通量线从曲面S 的内部穿出曲面，因为通量线一定是通量正源发出的，所以根据能量守恒原理，可以判断曲面S 内必然包含发出通量线的正源。 反之，如果 <0，则曲面内必然包含吸收通量线的负源。 如果 ＝0，则曲面内不包含净源。 因此，通量可以是封闭曲面内通量源的判据。

•矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；•散度代表场中任一点处，通量对体积的变化率，因此又可称为通量源密度。

在场中任意一点M 处

若，表明该点有发出通量线的正源。 若，表明该点有吸收通量线的负源。 若，表明该点无源。

div 0 A div 0 A div 0 A div 0

A div 0

A div 0 A 散度运算能起到验源的作用。

x x x x A x y z A y z

x A x y z x

前后

x

y

o x

x A A x

x

S

y x z d A A A V x

y z

左右前后

上下

A S

x y z x x y y z z A A A x y z a a a a a a A

0r r r

a a 0r z z a a

散度基本运算公式C

A A

C C

()

A B A B

()

A A A

u u u

()

2222

533()04y x z

D D D div x y z

q r x y z r

D D 含义：散度为0→通量源的密度为0→??

V S

V

S

dV d

A A S

1

1

lim i

i k k

i

S V i i V d

A A S

公共面上

则

V

S

dV d

A A S Guass 定理把通量源的体积分变换为S 面上场的面积分。

得证。

in jn

n n i j

d d A S A S 1

i

k

S S

i d d

A S A S

33

43343

S V V d dV dV R R r S r

矢量场的旋度

✧矢量场在闭合路径的环量✧矢量场的旋度

✧旋度的基本运算公式

✧斯托克斯定理

矢量的环量

环量:矢量A 沿闭合路径的线积分。

cos c

c

d A d

A l l

•环量表达的是旋涡特性，环量越大，旋转的趋势越强

•与矢量及路径有关

•描述的是旋涡特性的总量

如果某矢量的环量不为零，则认为场中必然有产生这种场的旋涡源。

如果环量为零，则这个场中不可能有旋涡源。

lim

S rot S

A n 对比方向导数和梯度的概念！！

旋度为0，该点无漩涡 旋度不为0，该点有漩涡

如果矢量场处处旋度为0，则该矢量场为无旋场

以点M (x ,y ,z )为顶点在平行于yoz 平面上，取矩形面元 设点M 处的面元矢量为

旋度在三个坐标系中的计算公式

直角坐标系

x x y z

S a x x y y z z

A A A A a a a