公平的席位分配

结果 比例
结果
对 丙
加 惯
甲 1乙0
103 51.5 63 31.5
10.3 6.3
10.815 11 系 6.615 7 公
例 6丙乙 3634 3117..50
36..43
3.570
3
平 吗
总丙和 20304 11070..00 203..04 20 21.000 21
4
“公平”分配方 衡量公平分配的数量指标
~ 对A的相对不公平度 公平分配方案应
类似地定义 rB(n1,n2)
使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即
设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是 B
不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公 平
应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2
公平的席位分配
问 三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按 比例分配，三个系分别为10，6，4席。
题 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 若增加为21席，又如何分配。
系别 学生 比例 20席的分配 21席的分配
比 例
人数 （%） 比例
1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ，则这席应给 A
2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ，应计算rB(n1+1, n2)
3）若 p1/n1> p2/(n2+1)，应计算rA(n1, n2+1)
问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否!
若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应 A 给 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
法 人数
A方 p1 B方 p2
席位 n1 n2
当p1/n1= p2/n2 时，分配公 平 若 p1/n1> p2/n2 ，对A 不公 平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15
pp22=/np1210=/0n1,10–np2=2/1n02,=5
虽二者的绝对 不公平度相同
记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整.
1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之
m),
一
2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm)
p1=1050, n1=10, p1/n1=105
pp22=/n120=p0110/0n,01–n2p=21/n02, =5 但后者对A的不公平 程度已大大降低!
“公平”分配方 将绝对度量改为相对度量
法若 p1/n1> p2/n2 ，定
义
p1 / n1 p2 / n2 p2 / n2
rA (n1, n2 )
该席给Q值最大的一方 Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完
毕甲系：p1=103, n1=10
乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3
用Q值方法分配 第20席和第21
第20席
Q1
1032 1011
96.4,
Q2
6席32 67
94.5,
设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,… , nm (自然应有n1+n2+…+nm=N)，
ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , 记pmqi)=Npi /P, i=1,2, … , 若qi 均为整数，显然应 ni=qi m,
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则：
(i=1,2, … ,即m当) 总席位增加时， ni不应减少
“比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2）
Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！
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Q3
342 3 4
96.3
Q1最大，第20席给甲
第21席
Q1
1032 1112
80.4,
Q2 ,
系 Q3 同上
Q3最大，第 21席给丙系
Q值方法分配 结果
甲系11席，乙系6席，丙系4
公平吗？
席
进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？
席位分配的理想化准则 已知: m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数 为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。
当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给
A
rA, rB的定
p22
义
p12
该席给A
n2 (n2 1) n1(n1 1) 否则, 该席给
定义
Qi
pi2 ni (ni 1)
,
B
i 1,2, 该席给Q值较大的一方
推广到m方 分配席位
计算
Qi
pi2 , ni (ni 1)
i 1,2，, m