最新导数和微分的概念
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导数和微分的概念
一元函数微分学
§1 导数和微分的概念
基本概念
1.导数定义
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
几种极限形式都要掌握
函数在某点可导即上述极限存在，极限存在«Skip Record If...»左右极限都存在且相等，左极限为左导，右极限为右导，
«Skip Record If...»， «Skip Record If...»
导数定义是非常重要的概念，一定要灵活掌握。
2.导函数«Skip Record If...»,«Skip Record If...».
f(x)在（a, b）可导, f(x)在[a, b]可导
3.可导与连续的关系
可导一定连续，但连续不一定可导（如函数«Skip Record If...»在x=0点处连续，但是不可导）
4.导数的几何意义
切线方程：«Skip Record If...»；
法线方程：«Skip Record If...» «Skip Record If...»，
5.微分的定义
微分的几何意义
6.微分与导数的关系
«Skip Record If...»在x处可微«Skip Record If...»«Skip Record If...»在x处可导，且«Skip Record If...»
同时 «Skip Record If...»。
§2 导数与微分的计算
基本概念
1.基本初等函数的导数、微分公式（书159页，166页）
2.导数（微分）四则运算公式
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
特别地 «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»
特别地 «Skip Record If...»。
后面两个公式不要记错。
3.复合函数的求导法则
如何正确运用好复合函数求导法则（必须明确函数的复合过程），并且应到最后一层复合
4．高阶导数（计算同一阶导数）。
§3 中值定理
基本概念
1. 罗尔定理
若函数«Skip Record If...»在闭区间«Skip Record If...»上连续，在开区间«Skip Record If...»内可导，且«Skip Record If...»，则至少存在一点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»。
罗尔定理的几何解释
2. 拉格朗日中值定理
若函数«Skip Record If...»在闭区间«Skip Record If...»上连续，在开区间«Skip Record If...»内可导，则至少存在一点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»，
或 «Skip Record If...» «Skip Record If...»。
拉格朗日中值定理的几何解释
罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形
3. 拉格朗日中值定理的推论1
若函数«Skip Record If...»在区间I上的导数恒为零，则«Skip Record If...»在区间I上是一个常数。
4. 拉格朗日中值定理的推论2
若函数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在区间I上每一点导数都相等，则这两个函数在区间I上至多相差一个常数。
§4 导数的应用
基本概念
1. 罗比达法则：若函数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»满足
（1）«Skip Record If...»；
（2）在极限点附近，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»都存在，且«Skip Record If...»；
（3）«Skip Record If...»存在或为无穷大。
则有«Skip Record If...»。
注（1）罗比达法则运用的条件：«Skip Record If...»或«Skip Record If...»型不定式；
（2）每次使用看之前是否能够化简或等价无穷小代换；
（3）只要符合罗比达法则条件，可多次使用。
2. 函数的单调性
用函数的一阶导数的符号判定单调性
3．极值的概念极值是局部性质
4. 极值存在的必要条件，驻点
5. 极值存在的充分条件
第一充分条件（用一阶导数即单调性来判断是否是极值以及是极大值还是极小值）
设函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»的邻域内可导（可在点«Skip Record If...»不可导，但连续），当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，则函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处取得极大值；当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，则函数«Skip Record If...»在点«Skip
Record If...»处取得极小值；当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»不变号，则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处不是极值。
第二充分条件（用二阶导数来判断是否是极值以及是极大值还是极小值）
设函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处具有二阶导数，且«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则当«Skip Record If...»时，函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处取得极大值；当«Skip Record If...»时，函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处取得极小值。
两个充分条件各有利弊，第一条件对函数的要求较低，结论直观上非常好理解，而第二条件对函数要求较高（二阶导数要存在），运用较方便。
6. 函数的最值最值是整体性质
若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内可导，且«Skip Record If...»点是«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内唯一驻点，若
«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的极小（大）值点，则«Skip Record If...»必是«Skip Record If...»的最小（大）值点。此结论在实际中非常有用。
7. 函数的凹凸性及其判定，拐点