黄金分割法法
黄金分割法原理及算法流程
黄金分割法原理及算法流程
嘿，朋友们！今天咱来聊聊黄金分割法。
这玩意儿可神奇啦，就像一把神奇的钥匙，能打开好多奇妙的大门呢！
你看啊，黄金分割法就好像是大自然的偏爱。
那美丽的花朵，花瓣的排列是不是有种说不出的和谐美感？那蝴蝶翅膀上的花纹，是不是看着特别舒服？嘿嘿，这其实都有着黄金分割的影子呢！
咱就说人体吧，人的身材比例如果接近黄金分割，那看起来就是特别顺眼，特别好看。
那些模特们为啥看着那么迷人？这里面可就有黄金分割的功劳呢！
那黄金分割法的算法流程是啥呢？其实也不难理解。
就好像我们分蛋糕一样，要找到那个最合适的切分点。
我们要通过一些计算和比较，找到那个最能体现完美比例的地方。
比如说，在一幅画中，我们怎么安排画面的布局呢？这时候黄金分割法就派上用场啦！把画面分成不同的部分，按照黄金分割的比例来安排元素，哇，那整幅画一下子就变得生动起来了，就好像有了灵魂一样！
再想想建筑，那些漂亮的古建筑，为啥历经岁月依然让人赞叹不已？就是因为建筑师们巧妙地运用了黄金分割法呀！从整体的结构到细节的装饰，都有着黄金分割的智慧在里面。
在生活中，我们也可以试着用黄金分割法来让自己的生活更美好。
比如在布置房间的时候，按照黄金分割的比例来摆放家具，是不是感觉整个空间都更舒服了呢？
还有拍照的时候，试着找到那个黄金分割的点，让人物或者景物处在那个位置，拍出来的照片肯定特别棒！
黄金分割法真的是无处不在啊，它就像一个隐藏的魔法，等待我们去发现和运用。
我们可以用它来创造美，让我们的世界变得更加丰富多彩。
所以啊，朋友们，别小看了这个黄金分割法，它可有着大用处呢！让我们一起去探索它的奥秘，用它来让我们的生活更加精彩吧！。
黄金分割法求极小点例题
黄金分割法求极小点例题黄金分割法是一种优化算法，用于求解函数的极小点。
它基于黄金比例的特性，通过不断缩小搜索范围来逼近极小点。
下面我将给出一个例题，并从多个角度进行解答。
假设我们要求解函数 f(x) = x^2 + 2x + 1 的极小点。
首先，我们需要确定搜索范围。
由于该函数是一个二次函数，开口向上，因此极小点位于函数的顶点处。
为了简化问题，我们可以选择一个合适的搜索范围，比如 [-10, 10]。
接下来，我们可以使用黄金分割法进行迭代计算。
黄金分割法的基本思想是在搜索范围内选择两个距离极点较远的点，并通过比较函数值来缩小搜索范围。
首先，我们选择搜索范围内的两个初始点，可以选择两个距离较远的点，比如 -10 和 10。
然后，根据黄金分割比例，我们可以计算出两个新的点，分别是 -10 + (10 (-10)) 0.382 ≈ -1.18 和 -10 + (10 (-10)) 0.618 ≈ 1.18。
接下来，我们分别计算这两个新点的函数值。
f(-1.18) ≈ (-1.18)^2 + 2 (-1.18) + 1 ≈ 1.5724。
f(1.18) ≈ (1.18)^2 + 2 (1.18) + 1 ≈ 5.5724。
根据比较函数值的结果，我们可以确定新的搜索范围是 [-1.18, 10]。
然后，我们再次根据黄金分割比例计算出两个新的点，分别是-1.18 + (10 (-1.18)) 0.382 ≈ 2.2364 和 -1.18 + (10 (-1.18)) 0.618 ≈ 6.9436。
再次计算这两个新点的函数值。
f(2.2364) ≈ (2.2364)^2 + 2 (2.2364) + 1 ≈ 10.4722。
f(6.9436) ≈ (6.9436)^2 + 2 (6.9436) + 1 ≈ 63.4722。
根据比较函数值的结果，我们确定新的搜索范围是 [-1.18,2.2364]。
我们可以继续进行迭代计算，直到搜索范围足够小，或者满足特定的停止条件。
黄金分割法
黄金分割法1. 简介黄金分割法（Golden Section Method）是一种数学和美学原理，可以用于在一系列选择中找到最佳的比例。
它最早于公元前300年左右由希腊数学家欧几里得提出，是一种迭代的优化方法。
黄金分割法常被应用于艺术、设计、建筑、金融以及计算机算法等领域。
2. 黄金比例黄金比例是指两个物体之间的比例关系，这个比例被认为是最美的、最和谐的。
它可以更简洁地表示为1：0.618（或其倒数0.618：1），即较大部分与整体的比例约为0.618，较小部分与整体的比例约为0.382。
这种比例在建筑与艺术中被广泛使用，例如圣母百花大教堂、帕尔美多城宫等。
3. 黄金分割法的应用黄金分割法在实际应用中有许多用途。
下面介绍一些常见的应用领域。
3.1 网页设计黄金分割法在网页设计中被广泛应用。
设计师可以使用黄金比例来确定页面上不同元素的大小和位置关系，使得页面更加和谐、平衡。
例如，在布局中使用一个大块的主要内容区域和两个较小的辅助内容区域，它们的比例可以接近黄金比例。
3.2 图像设计在图像设计中，黄金分割法可以用于确定图像的主题、构图和比例。
通过将图像分割为黄金比例的不同部分，可以使图像更加吸引人、有层次感。
黄金分割法还可以用于确定图像中的线条、空间和形状的位置关系。
3.3 建筑设计在建筑设计中，黄金分割法可以用于确定建筑物、房间和空间的比例关系。
通过使用黄金比例，可以创建出更加和谐、美观的建筑物。
黄金分割法还可以用于确定建筑物中的窗户、门廊等元素的位置和比例。
3.4 金融分析在金融领域，黄金分割法可以应用于股票和证券的分析。
通过将时间序列分成不同的部分，可以确定出重要的市场转折点和趋势。
黄金分割法还可以用于确定投资组合中不同资产的权重分配。
4. 黄金分割法的计算黄金分割法的计算方法相对简单。
对于一个大的整体，黄金分割法建议将其分割为两个部分，比例为黄金比例（0.618）。
然后，再对较大的部分采用相同的方法进行分割，形成一个更小的和一个稍大一些的部分。
黄金分割法算法步骤
黄金分割法算法步骤
黄金分割法是一种用于分析和预测趋势的技术分析方法。
以下是黄金分割法的算法步骤：
1. 确定基数：选择一段上升或下降的行情，将其最高点和最低点之间的差值作为基数。
2. 计算黄金分割位：使用以下公式计算黄金分割位：
- 上涨行情：从波段的高点减去0.382倍及0.618倍，作为其下跌支撑。
- 下跌行情：从波段的低点加上0.382倍、0.618倍、1.382倍、1.618倍，作为其涨升压力。
3. 确定买点和卖点：
- 买点：回调到0.618处比较安全，回调到0.382处对于激进型投资者较适合，稳健型投资者选择回调到0.618处介入。
- 卖点：在上升突破某端行情终点后，涨升1.382处比较保守，趋势保持上升通道，可选择涨升1.618处卖出。
需要注意的是，黄金分割法只是一种辅助工具，不能完全依赖它来进行投资决策。
在使用黄金分割法时，需要结合其他因素进行综合分析。
实验设计与数据处理黄金分割法和分数法
实验设计与数据处理黄⾦分割法和分数法
例题：已知某材料合成的反应温度范围为340～420℃，请分别采⽤黄⾦分割法与分数法进⾏试验合成温度点的优选过程，详细写出试验设计过程并总结试验次数。
假设在试验范围内合成率是温度的单峰函数，温度为400℃时，产品的合成率最⾼。
1、黄⾦分割法：
（1）第⼀个实验点位置：（420-340）*0.618+340=389.4，取390℃
（2）第⼆个试验点的位置：420+340-390=370
由题⽬中告知，最佳温度为400，因⽽390℃的转化率⼤于370，删去340-370摄⽒度。
（3）第三个试验点是： 420+370-390=400℃
分析得 400℃的转化率⼤于390 再删去370-390℃段
（4）第四个试验点的位置： 420+390-400=410
此时转化率低于400摄⽒度时，因⽽最佳温度为400℃
2、分数法
第⼀个试验点是：（420-340）*5/8+340=390
第⼆个试验点是：（420-340）*3/5+340=370
分析得， 390℃，370℃的转化率都低于400℃，因⽽舍去340-370℃段
第三个试验点（420-370）*3/5+370=400
400摄⽒度的转化率⼤于390摄⽒度，因⽽舍去370-390段
第四个试验点：（420-390）*2/3+390=410
分析得 410的转化率低于400，因⽽最佳温度为400℃。
黄金分割法的数学理论
ＡＢ ｂｂａ-ｂ ａ 黄金分割法的数学理论０．６１８０３３９８８……一个极为迷人而神秘的数字，它有着一个很动听的名字——黄金分割率。
黄金分割由２５００多年前古希腊的数学家、哲学家毕达哥拉斯提出，并由数学家欧几里德第一次用几何的方法给出了计算。
古往今来，这个数字一直被后人奉为科学和美学的金科玉律。
这个数值不但在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面都发挥着不可忽视的作用。
（一） 黄金分割点的计算设一条线段ＡＢ的长度为ａ，Ｃ点在靠近Ｂ点的黄金分割点上且ＡＣ为ｂ，则： ＡＣ/ＡＢ=ＢＣ/ＡＣ ｂ^２=ａ×(ａ-ｂ)ｂ^２=ａ^２-ａｂａ^２-ａｂ+(１/４)ｂ^２=(５/４)×ｂ^２(ａ-ｂ/２)^２=(５/４)ｂ^２ ａ-ｂ/２=（√５/２）×ｂａ-ｂ/２=(√５)ｂ/２ａ=ｂ/２+(√５)ｂ/２ａ=ｂ(√５+１）/２ ｂ/ａ=(√５-１）/２人们常用希腊字母表示黄金比值。
根据定义，如果假设ａ是单位长度，那么，即有:黄金分割奇妙之处，在于其倒数为自身减１。
例如：１．６１８的倒数是０．６１８，恰为１．６１８-１。
因为：归纳一下，黄金分割存在以下特点：（1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。
（2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即０．６１８。
（3）后一数字与前一数字之比例，趋近于１．６１８。
（4）１．６１８与０．６１８互为倒数，其乘积则约等于１。
（5）任一数字如与后两数字相比，其值趋近于２．６１８；如与前两数字相比，其值则趋近于０．３８２。
（二）黄金分割中的数学思想●『斐波那契数列』说起黄金分割，就不得不提起大名鼎鼎的斐波那契数列。
斐波那契数列指的是这样一个数列：１，１，２，３，５，８，１３，２１……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(１/√５)×{[(１+√５)/２]^ｎ - [(１-√５)/２]^ｎ}斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？实际上，相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
黄金分割法
黄金分割法目录一、数学·黄金分割法二、摄影·黄金分割法一、数学·黄金分割法二、摄影·黄金分割法展开编辑本段一、数学·黄金分割法把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618，所以也称为0.618法。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1/0.618=1.618(1-0.618)/0.618=0.618这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。
让我们首先从一个数列开始，它的前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做"菲波那契数列"，这些数被称为"菲波那契数"。
特点是即除前两个数（数值为1）之外，每个数都是它前面两个数之和。
菲波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
即f(n-1)/f(n)→0.618…。
由于菲波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。
但是当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。
一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。
五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。
正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。
由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18 。
黄金分割点约等于0．618：1是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点。
华罗庚0.618法
华罗庚0.618法
华罗庚，我国著名的数学家，他在数学领域的贡献举世闻名。
他的研究涉及许多数学分支，其中包括黄金分割比例0.618。
华罗庚0.618法，即黄金分割法，是一种求解优化问题的数学方法。
0.618法是基于黄金分割比例的数值计算方法。
黄金分割比例是一个无理数，约等于0.618，它在数学、艺术、自然界等许多领域都有着广泛的应用。
在数学领域，0.618法主要用于求解优化问题，如最值问题、插值问题等。
通过利用黄金分割比例的特性，0.618法能够在较短时间内找到问题的最优解。
0.618法的应用领域非常广泛，包括工程、经济、管理、生物等。
在工程领域，0.618法可以用于优化设计、计算结构强度等；在经济领域，0.618法可以用于投资决策、风险评估等；在管理领域，0.618法可以用于制定战略、规划发展等。
在我国，0.618法的研究和应用得到了广泛关注。
许多学者致力于研究0.618法的改进和拓展，如引入黄金分割搜索区间法、黄金分割复合搜索法等。
这些研究为我国的经济、科技、社会发展提供了有力支持。
总之，华罗庚0.618法作为一种求解优化问题的数学方法，在我国得到了广泛的应用和发展。
它不仅在数学领域具有重要意义，还为其他领域的创新发展提供了有力工具。
黄金分割法
黄金分割法学习目标➢理解单谷函数及其性质➢理解黄金分割法的基本原理➢掌握黄金分割法的步骤➢编程实现黄金分割法黄金分割法也叫0.618法，属于区间收缩方法。
首先找出包含极小点的初始搜索区间，然后按黄金分割点通过对函数值的比较不断缩小搜索区间。
当然，要保证极小点始终在搜索区间内，当区间长度小到精度范围之内时，可以粗略地认为区间中点为极小点的近似值。
黄金分割法适用于单谷函数，即在某一区间中存在唯一极小点的函数。
f (x )O a 1 x * b 1 x一、单谷函数及其性质定义1设单变量函数f(x)在区间a 1,b 1内存在唯一的极小点x ∗,x ∗∈a 1,b 1,且f(x)在x ∗点的左侧严格下降，在x ∗点的右侧严格上升，则称f(x)在区间a 1,b 1上是单谷函数或者下单峰函数，a 1,b 1为f(x)的单谷区间，见图1。
图1 单谷区间与单谷函数单谷函数具有一个重要的消去性质(I) 若f(a) < f(b), x *∈[a1,b]f(x)xa 1b 1(I) 消去[b, b 1]x *b a （II ）若f(a)≥f(b)，x *∈[a,b 1]f(x)xa 1b 1(II) 消去[a 1, a ]x *a b单谷区间与单谷函数有如下性质：若f(x)是单谷区间a1,b1上的单谷函数，极小点为x∗，在a1,b1任取两点a和b，且a<b，计算这两点的函数值f(a)和f(b)，则：(1)当f a<f(b)时，x∗∈a1,b。
(2)当f a≥f(b)时，x∗∈a,b1。
由单谷函数的性质可知:➢在单谷区间a1,b1内任取两点a和b都可以求得一个相对更小的单谷区间。
➢这个过程可以一直重复下去，如果某个单谷区间的长度足够小，该区间的中点就可以作为极小点的近似。
二、黄金分割法的基本原理设计思路：反复使用单谷函数的消去性质，不断缩小包含极小点的搜索区间，直到满足精度为止。
设计原则：（1）迭代公式简单；（2）消去效率高；（3）对称性：a−a1=b1−b；（4）保持缩减比，即保留的区间长度与原区间长度之比保持不变。
黄金分割法
黄金分割法黄金分割法也叫0.618法，它是一种基于区间收缩的极小值点搜索算法，当用进退法确定搜索区间后，我们只知道极小值点包含于搜索区间内，但是具体是哪个点，无法得知。
1. 算法原理黄金分割法的思想很直接，既然极小值点包含于搜索区间内，那么可以不断地缩小搜索区间，就可以使搜索区间的端点逼近到极小值点。
[]a,b 为搜索区间，黄金分割法首先根据黄金比例产生两个内点12,x x 。
120.382*()0.618*()x a b a x a b a =+-=+-然后根据()1f x ，()2f x 的大小关系来重新选择搜索区间。
（1） 若()()12f x f x <，则搜索区间变为1[,]x b ；（2） 若()()12f x f x >，则搜索区间变为2[,]a x 。
2. 算法步骤用黄金分割法求无约束问题min (),f x x R ∈的基本步骤如下：（1） 选定初始区间11[,]a b 及精度0ε>，计算试探点：11110.382*()a b a λ=+-11110.618*()a b a μ=+-。
（2） 若k k b a ε-<，则停止计算。
否则当()()k k ff λμ>时转步骤（3）。
当()()k k f f λμ≤转步骤（4）。
（3） 置 11111110.382*()k k k k k kk k k k a b b a b a λλμμ+++++++=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=+-⎩转步骤（5） （4） 置11111110.382*()k k k k k kk k k k a a b a b a μμλλ+++++++=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=+-⎩转步骤（5） （5） 令1k k =+，转步骤（2）。
3. 算法的MATLAB 实现在MATLAB 中编程实现黄金分割法的函数为：min HJ 。
功能：用黄金分割法求解一维函数的极值。
调用格式：[,min ]min (,,,)x f HJ f a b eps =其中，f ：为目标函数；a ：极值区间的左端点；b ：极值区间的右端点；e p s ：精度；x ：目标函数取最小值时的自变量值；m i n f ：目标函数的最小值。
黄金分割法
黄金分割法——0.618法（1）黄金分割常数 记618.0215≈-=ω为黄金分割常数。
（2）定义试验方法中，利用黄金分割常数ω确定试点的方法叫做黄金分割法。
（3）试验点的选取原则：①每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中心对称；②每次舍去的区间占舍去前的区间长度的比例数应相同。
（4）试验点的选取方法设n x 表示第n 个试验点，存优范围内相应的好点是m x ，因素范围的两端分别记为小头和大头，则小）（大小-⨯+=618.01x ；12x x -+=大小； 一般：m n x x -+=大小。
可概括为“加两头，减中间”。
分数法（1）定义优选法中，用渐进分数近似代替ω确定试点的方法叫做分数法。
（2）斐波那契数列),,2(,1,12110N n n F F F F F n n n ∈≥+===--即：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……（2）分数法的最优性①在目标函数为单峰的情形，通过n 次试验，最多能从)1(1-+n F 个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n 次试验中的最优试验点；②在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n 次试验保证从)1(1-+n F 个试点中找出最佳点。
（3）试验点的选取方法设n x 表示第n 个试验点，存优范围内相应的好点是m x ，因素范围的两端分别记为小头和大头，则小）（大小-⨯+=+11n n F F x ；12x x -+=大小； 一般：m n x x -+=大小。
可概括为“加两头，减中间”。
练习1. 在配置一定量的某种清洗液时，需要加入某种溶剂，经验表明，加入量大于5 000 ml 或小于3 000 ml 时，效果肯定不好，用0.618法来确定这种溶剂的最佳加入量，则前两次试验加入的量分别为（ ）Ａ. 4 500，3 500 Ｂ. 4 382，3 618 Ｃ. 4 236，3 764 Ｄ. 4 618，3 6182.某主妇在学做用一定量的面粉蒸馒头时，按照邻居的建议放了１３克碱后发现馒头发黄且有碱味，决定自己用分数法找出合适的放碱量，则她第１，２次试点的放碱量分别为 克和 克.3.用0.618法选取试点过程中，如果试验区间为[2,4]，第一试点1x 应先在 处；若1x 处结果比2x 好，那么3x 应选在 处。
2.黄金分割法——0.618法-人教A版选修4-7优选法与试验设计初步教案
2. 黄金分割法——0.618法-人教A版选修4-7 优选法与试验设计初步教案一、引言优化设计中的黄金分割法，也称为0.618法，是一种基于数学原理的试验设计方法，广泛应用于各行各业的优化设计和科学实验中。
本文主要介绍该方法原理、应用场景及实践操作。
二、基本原理黄金分割法基于斐波那契数列，每个数是前两个数之和。
数列中相邻两数之比逐渐接近0.6180339887，这一比例被称为黄金分割率。
黄金分割法依赖数学原理和数据来确定最优化的参数。
在试验设计中，可以将黄金分割法应用于寻找设计参数、优化配比、提高产品质量等方面。
根据黄金分割法的原理，选择合适的样本比例、数据范围和实验方案，不断调整参数，最终达到优化目的。
三、应用场景黄金分割法广泛应用于工程设计、产品研发、市场营销等多个领域。
以下是一些常见的应用场景：1.工程设计中的优化设计：根据黄金分割法的原理，在确定初始参数后，通过实验数据不断调整最优参数，以达到最佳效果。
2.产品模型设计：黄金分割法可以用于确定产品模型各部分的尺寸比例，以使整体效果更加协调。
3.金融、股市投资：通过黄金分割法的原理，可以根据数据的走势和规律预测股票、外汇等市场的走向，指导投资决策。
四、实践操作以下是黄金分割法在试验设计中的实践步骤：步骤一：制定实验计划在实验设计之前，需要制定实验计划。
需要识别实验目的、确定实验要素和范围、设置参数、确定实验方案等。
步骤二：确定样本量和数据范围在试验设计中，样本量和数据范围是重要的考虑因素。
根据黄金分割法的原理，可以根据样本量和数据范围确定最优化的参数。
步骤三：执行实验并记录数据实验执行时需要记录实验数据，包括实验样本数据和实验结果数据。
数据分析和评估是后续步骤中的重要环节。
步骤四：分析和优化数据在实验完成后，需要对数据进行分析和优化。
通过基于数学原理的黄金分割法，可以识别数据的规律和变化趋势，从而优化实验结果。
五、总结黄金分割法是一种基于数学原理的试验设计方法，广泛应用于各行各业的优化设计和科学实验中。
简述黄金分割法的基本原理和特点
简述黄金分割法的基本原理和特点一、黄金分割的基本原理：1。
在直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边的一半，同理，斜边上的高等于斜边的一半。
直角三角形中的两个锐角互余，两个钝角互补。
2。
设A、 B、 C是直角三角形的三个顶点，点A是A'、 B'、 C'三点连线的中点，如果三边AB、 BC、 CA的长度比例是1： 1： 2，那么斜边AC的长就等于点A到这三点连线中点的距离。
3。
四边形的内角和是360度，三角形ABC的内角和是180度，内切圆半径是点A到AB边上的高，所以过点A作圆的切线，交AB边于C点。
则： 4。
在直角梯形中，两个直角边的比等于另一直角边的比加上斜边的比。
5。
黄金分割可以用来确定直线的斜率，也可以用来确定点的位置。
二、黄金分割法的基本特点： 1。
不考虑两个图形大小和形状的差异，完全从最优化出发来考虑图形问题。
2。
对于一些规则的几何图形，如矩形、正方形、圆形、菱形、多边形等，都可以通过黄金分割的方法进行处理。
3。
适合处理一些无法或很难用其他方法解决的规律问题，尤其是处理那些由直线与射线构成的图形。
4。
运用黄金分割的方法，能够给我们的设计工作带来很多方便，能更容易地找到问题的最优解，从而使我们的工作效率大大提高。
如果用0— 1.618这条线段作为高低点的平均线，再把图形近似看作是一个扇形，那么这条线段平均分成的扇形的弧度，恰好等于圆周角的弧度，即0.618，亦即这条线段平均分成的扇形所对的圆心角正好是它所对的圆周角的一半。
因此，黄金分割具有如下性质： 1。
0.618的圆心角所对的弧度是0.618，这个圆周角是0度。
2。
以0.618为底边的对称图形是一个等腰三角形。
3。
一条线段若从第一个端点起，沿着直线走到第六个端点，它所形成的图形是一个菱形。
4。
黄金分割的特点是它是一条无限逼近但永远无法走到头的线。
一维搜索的最优方法(黄金分割法)
05 黄金分割法的应用举例
在函数优化中的应用
一元函数优化
黄金分割法可用于一元函数的极值求解，通过不断缩小搜索区间来逼近最优解。
多元函数优化的辅助手段
在多元函数优化中，黄金分割法可作为辅助手段，用于一维搜索或线搜索过程。
在工程问题中的应用
结构设计优化
在结构设计中，黄金分割法可用于寻 找最优的结构参数，如梁、柱的截面 尺寸等，以实现结构性能和经济性的 平衡。
二分法每次迭代将搜索区间减半，而黄金分割法每次迭代将搜索区间缩小为原来的约 0.618倍。在收敛速度上，二分法通常比黄金分割法更快。但二分法要求函数在搜索区间 内连续且单调，而黄金分割法则没有这样的限制。
与牛顿法相比
牛顿法是一种基于导数信息的搜索方法，具有较快的收敛速度。但在一维搜索问题中，当 导数信息不可用或难以获取时，黄金分割法则更为适用。此外，牛顿法对初始点的选择较 为敏感，而黄金分割法则相对稳健。
解决一维搜索问题的方法有多种，其中黄金分割法是一种较为常用且有效的方法。
黄金分割法简介
黄金分割法是一种通过不断缩小搜索 区间来逼近函数极小值点的方法。
黄金分割法具有简单、快速、稳定等 优点，适用于单峰函数的一维搜索问 题。
它在每次迭代中，通过比较区间两个 端点处的函数值，来确定下一步的搜 索区间。
黄金分割点
在一条线段上，按照黄金分割比 例将线段分割成两部分，分割点
即为黄金分割点。
函数图像
对于一元函数，可以将其图像视 为一条曲线。黄金分割法通过不 断在曲线上选取试探点来逼近最
优解。
搜索区间缩小
每次迭代后，根据试探点的函数 值比较结果，将搜索区间缩小，
使得下一步的搜索更加精确。
黄金分割法的算法步骤
黄金分割法梯度法及罚函数
黄金分割法梯度法及罚函数
黄金分割法也称为中外比，指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618，所以也称为0.618法。
梯度下降法（英语：Gradient descent）是一个一阶最优化算法。
要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值，必须向函数上当前点对应梯度（或者是近似梯度）的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索。
如果相反地向梯度正方向迭代进行搜索，则会接近函数的局部极大值点；这个过程则被称为梯度上升法。
罚函数是指在求解最优化问题(无线性约束优化及非线性约束优化)时，在原有目标函数中加上一个障碍函数，而得到一个增广目标函数，罚函数的功能是对非可行点或企图穿越边界而逃离可行域的点赋予一个极大的值，即将有约束最优化问题转化为求解无约束最优化问题。
优化练习-黄金分割法
一维搜索——黄金分割法在迭代算法中，需要进行一维搜索。
它的快慢、好坏，直接影响最优化问题的求解速度。
迭代算法的基本公式，可写成()()kkX X S α=+其涵义是从()k X 点出发，沿()k S 方向，寻求最小值点。
当()kαα=时，则找到了最小值点()1k X +，所以X 点的函数值可表示为：()()()()()kk F X F X S αϕα=+=可以看出，当()k X 、()kS 一定，()F X 只是α的函数，这就是一维搜索。
其意义是寻求一最优的α，使函数值最小。
在实际计算中，最常用的一维搜索试探方法是黄金分割法，黄金分割法的计算次数较少。
黄金分割法也称做0.618法。
是在给定的14~αα 区间内，搜索最优步长*α的值。
如图1所示：图1 黄金分割法区间分割 如果14~αα 区间很小，则可令()*1412ααα=+ 如何使14~αα区间缩小，首先在区间内插入两个分割点1α ，2α ，且满足1234αααα<<<，这样就可以根据分割点的函数值，决定割舍区间。
可以证明，对于单峰函数，设*α已在14~αα区间内，且不管*α在哪一点上，只要经过()2ϕα 和()3ϕα函数值比较，将函数值大的邻近部份去掉，*α仍将保留在剩余段的区间内，如图2所示。
图2 缩小分割区间图中阴影部分即为根据函数比较而去掉的部分。
可以看出*α在任何情况下，都将保留在剩余段中。
用这种办法缩小区间，每一步都建立两个分割点，进行两次函数值计算。
如把分割点按对称原则建立，就能利用前次保留的一个分割点，就可使计算工作量减少一半，使计算速度提高一倍。
按这一思路形成的算法，就是黄金分割法。
具体做法如图3所示。
图3确定缩短率第一次区间是14~αα，假定()()32ϕαϕα>,根据缩小规则，去掉34~αα段。
此时区间缩短率λ为：V lλ=式中V 、l 分别对应区段的长度。
第二次区间是14~αα'，假定()()32ϕαϕα''>，去掉34~αα''段。
黄金分割法 二分法
黄金分割法二分法
黄金分割法和二分法是数学中常用的两种数值计算方法。
黄金分割法是一种寻找极值的优化算法，而二分法则是一种寻找根的算法。
在黄金分割法中，将区间按照黄金比例分成两部分，然后根据函数值的大小关系选择一个新的区间，不断缩小区间范围，最终可以找到函数的极值点。
而在二分法中，同样是将区间分成两半，然后判断函数值的符号，并根据符号改变区间的端点，不断缩小区间范围，最终可以找到函数的根。
这两种方法都是比较简单而有效的数值计算方法，常常被应用于各种科学和工程领域中。
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简述黄金分割法的基本思想
简述黄金分割法的基本思想
黄金分割法是一种常用的逻辑思维方法。
它通过引用一个古典前言，可以比较客观地划分事件，或者用一些原则和原则对一个大型系统进行仔细分析，从而形成一个较可靠的决定。
“黄金分割法”这个名称来自于古希腊数学家聚集。
它指的是在一个数的分割点，左边加起来等于或者接近右边加起来的。
最初，希腊数学家发现，一个数字分为两半，应该是它的一半乘以一个比率系数，即 0.618。
黄金分割法把原则应用于各种商业生活中的抉择。
它是一种使用客观准则分析大小财务负担的工具。
有了这种方法，投资者可以更有效地把资金分成几个部分，以适应自己投资策略的需要。
在每一笔投资之前，通过黄金分割法，可以帮助投资者快速有效地排列资产的价值并决定何时做出决定。
此外，黄金分割法也广泛应用在市场推广活动中。
比如在进行市场分析的时候，商家可以针对目的市场的消费人群的不同需求进行分析，利用黄金分割法来确定市场分割，了解消费者的需求，从而有效地划分市场细分和改善品牌定位。
有了这种方法，商家可以更有效地找到目标市场，改善企业的产品定位和增加市场份额。
黄金分割法有很强的优势：它可以帮助投资者快速有效地排列资产的价值；它可以使商家快速有效地把握目标市场；它可以简化企业决策的流程，更好地控制财务风险。
总的来说，黄金分割法简化了复杂的逻辑思维步骤，使得投资者和商家更有效地做出决定，从而取得良好的投资收益和商业成功。
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• 案例 炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料,使 炼出来的钢满足一定的指标要求。假设为了炼出某 种特定用途的钢，每吨需要加入某些元素的重量在 1000g到2000g之间，问如何通过试验的方法找到它 的最优加入量。
最朴素的想法是:以1g为间隔,从1001开始,直到 1999,把1000g到2000g的所有情况都做一遍实验, 一定可以得到最优值.
二试对折重合点; 留下含好那一段; 按此办法反复做;
每次打折六成多, 直到结果满意止;
何时才算满意呢?
什么时候结束我们的试验呢?这要看你要求试验达到 什么精度.
定义:存优范围与原始范围的比值叫做精度.
δn=
第n次试验后的存优范围 原始的因素范围
δn=0.618n-1
例如:若要求精度达到0.05.要做多少次试验呢?
用黄金分割法的操作步骤如下:
用一张纸条表示1000-2000g,以1000为起点标出刻度, 找出它的黄金分割点x1作为第一试点; 对折纸条,找出x1的对称点x2作为第二试点; 用黄金分割常数计算出两个试点对应的材料加入量:
1000 1382 1618 2000
x2
x1
试验点的选取：
x1=小+0.618×(大－小)……(1)
0 1-x x
1 0 2x-1x-1 x
(1-x)/1=(2x-1)/x,即x2+x-1=0,得x≈0.618. 这就是黄金
分割常数。
黄金分割常数用ω表示，我们常常取近似值，记作ω=0.618
怎样用黄金分割常数来缩小因素范围[a,b]，从而找到最佳点呢? 这是我们今天要解决的问题.
黄金分割法---0.618法
黄金分割法—0.618法
1974年，数学家华罗庚(左3)在农村推广优选法
什么是线段的黄金分割点？
A
C
B
如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，若AC2=BC×AB， 则称点C为线段AB的黄金分割点。
线段AC与AB的比值是多少?
A
C
B
设线段AC=x,为了计算方便,不妨设AB=1.
不难得出:x2+x-1=0 解之:x≈0.618
x2=小+大－x1
……(2)
对于(2)来说,相当于“加两头,减中间”.
一般公式：xn=小+大－xm
比较两次实验结果,如果x2是好点,则将纸条沿 1618处剪断,去掉1618以上的部分,保留1618以下 的部分.
重复上面的步骤,找出x2的对称点x3作为第三试点. X3=1000+1618-1382=1236 (第三次加入材料1236g)
尽快的找到最佳点的两个原则是什么？
（1）每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中 心对称；（2）每次舍去的区间占舍去前的区间长度的比例数应 为相同。
• 根据上面的两个原则:
(b-x1)/(b-a)=(x1-x2)/(x1-a)
a
x2 x1
b
a x3 x2 x1
• 为了简单起见，可以假设试验区间为[0,1].
一般公式：xn=小+大－xm
0.618n-10.05 .lg0.618
+1≈7.22
所以,只要安排8次试验,就可以使精度达到0.05.
精度计算公式:
n≥ . lgδ
.lg0.618
+1
其中,δ为精度.
小结:
1、黄金分割法适应于目标函数为单峰的情形. 2、第一个实验点确定在因素范围的0.618处.
3、后续实验点用“加两头，减中间”的方法来确 定.
1000
1236 1382
1618
x3
x2
如果第二试点仍是好点,则剪掉1236以下的部分,
在留下的部分内找出x2的对称点x4作为第四试点.
1236 1382 1472 1618
x3
x2
x4
x1
重复上面的步骤,最佳点被限制在越来越小的范围内, 即存优范围越来越小.
上面的过程可以总结如下:
一试零点六一八, 对准差点切一刀, 再试好点对称处,