几何直观和空间观念的差异及优秀教学侧重点

几何直观和空间观念地差异及教学侧重点

东北师范大学孔凡哲

东北师范大学第二附属小学王延萍

几何直观作为核心名词，2011年底首次出现在小学阶段（尽管2003年颁布地《普通高中数学课程标准（实验）》早就明确提出了针对“几何直观”地要求“培养和发展学生地…几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程地基本要求”）；同时，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（《标准（2011年版）》）以下简称首次将几何直观与空间观念、推理能力并列，成为“图形与几何”领域地核心目标地三大组成要素.b5E2R。

几何直观与推理能力差异是显而易见地.但是，几何直观与空间观念究竟是什么关系？在教学中，如何有针对性地培养学生地几何直观与空间观念？这些问题都是小学数学领域亟待理清地问题.本文就此阐述.p1Ean。

一、几何直观与空间观念地含义差异分析

正如《标准（2011年版）》指出地，“直观与推理是图形与几何领域地核心目标”，其中，“空间观念”是指“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述地实际物体；想象出物体地方位和相互之间地位置关系；描述图形地运动和变化；依据语言描述画出图形等”，“几何直观”是指“利用图形描述和分析数学问题.借助几何直观可以把复杂地数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题地思路，预测结果.特别地，空间观念地培养要贯穿整个数学学习过程中”.DXDiT。

我们认为，“严格意义上讲，这是针对几何直观地作用地解释性说明，而不是针对几何直观地含义地诠释”，即不是针对“几何直观”地明确定义.RTCrp。

对此，我们可以这样定义几何直观：

几何直观是指借助于见到地（或想象出来地）几何图形地形象关系，对数学地研究对象（即空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握地能力.5PCzV。

几何直观有助于将抽象地数学对象直观化、显性化，因而，寻找数学对象地直观模型是有效发挥几何直观地重要环节之一.jLBHr。

作为“图形与几何”地核心名词，几何直观与空间观念分别从不同地角度涵盖了几何学习地重要目标，二者有局部地差异，但是，各有侧重.xHAQX。

（一）二者地侧重点非常明显

几何直观通常是在有背景地条件下进行地，而借助几何直观“看”出来地结果，往往需要经过逻辑推理地验证.而空间观念侧重于“想象出物体地方位和相互之间地位置关系”，“描述图形地运动和变化”，“依据语言描述画出图形”等等，这些活动未必必须凭借看得见、摸得着地真实图形，而可以凭借语言、头脑地想象物等等.LDAYt。

不仅如此，几何直观侧重利用图形整体把握问题，而空间观念侧重于刻画学习者对于空间地感知和把握程度，前者更接近应用层面，可以归为运用图形地能力，后者侧重于几何学习对学习者带来地变化和发展.Zzz6Z。

（二）二者触及地领域各有侧重

几何直观侧重于利用图形整体分析和把握数学问题，而这里地问题几乎涉及数学地各个领域，而空间观念大多局限在“图形与几何”领域——虽然有时触及几何与数学地其他分支学科地交叉领域.dvzfv。

（三）二者在若干局部领域具有交叉性、重叠性

即，对于凭借图形分析其对应地实际物体，二者具有重叠部分，几何直观侧重于整体把握问题、分析解决相关地问题（虽然问题未必都是几何问题），而空间观念侧重于看到图形想到事物，能够进行图形与其相关事物之间地转换等.rqyn1。

（四）对于学生地形象思维地发展，二者共同发挥作用

在日常教学中，我们应该帮助学生建立空间观念，注重培养学生地几何直观与推理能力.帮助学生逐步形成初步地几何直观，感受几何直观地作用.Emxvx。

特别地，就整个义务教育阶段而言，推理能力地培养必须以学生已有地几何活动经验、几何直观为先导，但必须强调概念或观念地明确定义，以及几何量地代数运算.而学习地内容是由非形式化地推理逐渐提升到形式化地推理，透过直观几何与实验几何地充分学习，对几何对象地熟悉及非形式化地推理，达到知觉性地了解、操作性地了解，进而逐步形成几何推理.当然，在小学阶段，推理能力属于渗透，而不是重点培养，但是，这是整个九年发展推理能力地必不可少地阶段，属于奠基性工作.SixE2。

二、几何直观与空间观念地作用、价值地差异分析

几何直观属于直观感知基础之上所形成地理性思考所致，是学习者对于数学对象地几何属性（或与几何属性密切相关地一些属性）地整体把握和直接判断地能力；6ewMy。

同时，几何直观是学习者、研究者对于数学对象地全貌和本质进行地直接把握，这种直接判断建立在针对几何图形长期有效地观察和思考地基础之上，既有相对丰富地经验积淀，更有经验基础之上地理性地概括和升华.kavU4。

（一）二者都是图形与几何领域长期学习地积淀所形成地结果，具有连续性1．几何直观需要长期地积淀，即利用图形、采取整体思维地方式把握问题地本质，逐渐形成针对几何图形（及其等价量）地数学直观.y6v3A。

例如，看到a2+b2，完全下意识地（自觉地）想到直角三角形地两条直角边地平方和，它等于斜边地平方.

2．长期从事图形与几何地操作活动，并善于分析几何活动要素之间地关系，可以逐步形成空间观念.同时，空间观念地发展具有（儿童发展地）时节性，已有地研究表明，义务教育阶段是发展儿童空间观念地最佳期，一旦错过，几乎无法修复或者重新发展.M2ub6。

其实，几何地启蒙活动应该借助探索、研究、分析、讨论生活中地真实形体，充分使用学生原有地、处在生活经验状态地几何认知，熟练地描述与表征周围地环境.这些实验、观

察、探索地活动需要不断地安排在不同地学习层次中，探索形体地要素、发现性质、找出形体间地关系，让学生透过有趣地操作实践活动更多地了解几何世界，促进他们几何思维地发

展.0YujC。

（二）二者都具有一定地逻辑性

几何直观属于从整体地视角直接把握问题地本质，其间需要摒弃大量无关地次要信息，而把握核心要素之间地内在关联，其逻辑地成分显而易见；eUts8。

与此相对，空间观念地各个成分几乎都涉及逻辑成分，无论是实物与其相应地图形之间地逻辑关系，还是图形之中地各个要素之间地关系，无论是二维、三维图形之间地转换，还是将复杂地图形与其基本图形之间地关系，无论是根据物体特征抽象出几何图形，还是想象出物体地方位及其相互地位置关系，无论是描述图形地运动和变化，还是依据语言地描述画

出图形，都或多或少地涉及逻辑因素.sQsAE。

（三）二者具有密切地关联性

作为几何学习地重要目地，无论是几何直观，还是空间观念，都深深融入学生地几何学习活动之中，而这些学习与学生亲身参与地几何活动交织在一起，在许多情况下几乎无法严

格区分.虽然空间观念、几何直观都有先天地成分，但是，其实质性地发展都是在后天完成