第四章北航 材料力学 全部课件 习题答案

布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻，试确定 AB 与 BC 段的长度 l1 与 l2 以及直径 d1 与 d2。 已知轴总长为 l，许用切应力为[ ]。
题 4-13 图
5
解：1.轴的强度条件 在截面 A 处的扭矩最大，其值为
Tmax1 ml
由该截面的扭转强度条件
max1
得
Tmax1 16ml [τ ] Wp1 πd13
2
T T 0 2 2
M y 0，Fz
8Tl 8Tl 0 3πd 3πd 4Tl 4Tl M z 0，Fy4 l Fy3 l 3πd 3πd 0 l Fx1 (2ez1 )
既然是力偶系，力的平衡方程（共三个）自然满足，这是不言而喻的。 上述讨论中，所有的 T 在数值上均等于 M 。
3.72 108 Pa 372MPa
结论： max [ ] ，该弹簧满足强度要求。
4-20
图示圆锥形薄壁轴 AB，两端承受扭力偶矩 M 作用。设壁厚为，横截面 A 与
B 的平均直径分别为 dA 与 dB，轴长为 l，切变模量为 G。试证明截面 A 和 B 间的扭转角为
A/ B
R0
此管不是薄壁圆管。
D 80 6 mm 37mm， δ 6mm R0 10 2 2

80－ 6 2 68 0.85 80 80
max2
由此得 M 的许用值为
M2 16M 2 [ 2 ] Wp2 πD 3 (1 4 )
[M 2 ]
T (2 1) T δ T ( R0 ) (2 R0 ) 2 2 Ip 2 πR0 (4 R0 ) π 3 (4 2 1)
τ max
(b)
比较式(a)与式(b)，得
τ τ max
当

T 2π 2
3
π 3 (4 2 1) 4 2 1 T (2 1) 2 (2 1)
( m 1) / m
(b)
A ρdA C ( dx ) A ρ
1/ m
d
dA T
(c)
取径向宽度为 dρ 的环形微面积作为 dA ，即 dA 2πρdρ 将式(d)代入式(c)，得
(d)
2πC (
由此得
d 1/ m d / 2 ( 2 m1) / m ) ρ dρ T 0 dx
Fy4 Fy1 Fy2
4T 3πd
方向均示如图 c。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为 e z2 。 由图 c 可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个 力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。
M x 0，Fy
4
(2ez2 ) Fz2 e y Fy1 (2ez2 ) Fz1 e y
4
题 4-11 图 解：由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于 M。 1.由圆轴 AB 求 M 的许用值
max1
由此得 M 的许用值为
M 1 16M 1 [ 1 ] Wp1 πd 3
πd 3 [ 1 ] π 0.0563 80 106 N m 2.76103 N m 2.76kN m 16 16 2．由套管 CD 求 M 的许用值 [M1 ]
T 2 2πR0 δ 设 R0 / δ β ，按上述公式计算的扭转切应力为 T T τ 2 2πR0 δ 2πβ 2 δ 3 τ
按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径分别为
(a)
d 2R0 δ， D 2R0 δ
极惯性矩为
Ip
由此得
πR δ π π 2 ( D 4 d 4 ) [(2 R0 δ ) 4 (2 R0 δ ) 4 ] 0 (4 R0 δ2 ) 32 32 2
M A M B 2M A 2M
即
M A MB M
(b)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩 M B ，示如图 4-21b。
2 Ml （d A d B ) 2 2 πG d A dB
题 4-20 图 证明：自左端 A 向右取坐标 x ，轴在 x 处的平均半径为
d dA 1 1 R0 ( x ) (d A B x ) (d A cx) 2 l 2
式中，
c
截面 x 的极惯性矩为
d B d A l
1 πδ 3 I p 2πR0 2π [ (d A cx)]3 (d A cx)3 2 4
4-11
如图所示，圆轴 AB 与套管 CD 用刚性突缘 E 焊接成一体，并在截面 A 承受扭
力偶矩 M 作用。圆轴的直径 d = 56mm，许用切应力[ 1 ]=80MPa，套管的外径 D = 80mm，壁 厚 = 6mm，许用切应力[ 2 ]= 40MPa。试求扭力偶矩 M 的许用值。
第四章 扭 转
4-5
一受扭薄壁圆管，外径 D = 42mm，内径 d = 40mm，扭力偶矩 M = 500N•m，切
变模量 G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管表面纵线的倾斜角。 解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为
1 D d D d R0 ( ) 20.5mm， 1mm 2 2 2 2 2 于是，该圆管横截面上的扭转切应力为 T 500N 1.894108 Pa 189.4MPa 2 2 2 2πR0 2π 0.0205 0.001m
1 d 4Tl Fx1 τ max ( l) 2 2 2 πd
同理，得截面 OCFO1 上分布内力的合力为
Fx2
方向示如图 c。
4Tl πd 2
设 Fx1 与Fx2 作用线到 x 轴线的距离为 ez1 ，容易求出
2 d d ez1 3 2 3 根据图 b，可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为
R0

10 时，
max

4 102 1 0.9548 2 10 (2 10 1)
1
可见，当 R0 / δ 10 时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算 τ 的最大误差不超过 4.53％。
4-8
布图。
图 a 所示受扭圆截面轴，材料的 曲线如图 b 所示，并可用 C 1/ m 表示，
(
d 1/ m (3m 1)T ) d dx 2πCm( ) ( 3m 1) / m 2
(e)
将式(e)代入式(b)，并注意到 T=M ，最后得扭转切应力公式为
M 1/ m 2πm d (3 m 1)/m ( ) 3m 1 2 横截面上的切应力的径向分布图示如图 4-8。

Fz2
同理，左端面上的合力为
π d /2 T
0 0

π 8T cos( θ ) ρdρdθ Ip 2 3πd
8T 3πd
Fz1
方向亦示如图 c。
设 Fz2 作用线到水平直径 DF 的距离为 e y （见图 b） ，由
3
Fz2 e y
得
T Ip
0 cos
π
2
d /2 π T ( )d 3d 0 2 4
依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为 τ τ 189.4MPa 该圆管表面纵线的倾斜角为

τ 189.4 106 rad 2.53103 rad 9 G 7510
4-7
试证明，在线弹性范围内，且当 R0/≥10 时，薄壁圆管的扭转切应力公式的最
大误差不超过 4.53%。 解：薄壁圆管的扭转切应力公式为
7
4-21
为已知常数。
图示两端固定的圆截面轴，承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度
题 4-21 图 (a)解：此为静不定轴，但有对称条件可以利用。 设 A 与 B 端的支反力偶矩分别为 M A和M B ，它们的转向与扭力偶矩 M 相反。由于左右 对称，故知
M A MB
由 M x 0 可得
2
图 4-8
4-9
在图 a 所示受扭圆截面轴内，用横截面 ABC 和 DEF 与径向纵截面 ADFC 切出单
元体 ABCDEF（图 b） 。试绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何平衡的。
题 4-9 图 解：单元体 ABCDEF 各截面上的应力分布图如图 4-9a 所示。
图 4-9 根据图 a，不难算出截面 AOO1D 上分布内力的合力为
(c)
d2 (
16m 1/3 1/ 3 3 1/2 3 16ml ) l2 ( ) 0.775d1 π[ ] 5 π[ ]
(d)
该轴取式(a)~(d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。
4-14
解：由于
一圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向压缩载荷 F = 1kN 作用。设弹簧的平均直径
设 Fy3 作用线到竖向半径 O1E 的距离为 e z2 （见图 b） ，由
Fy3 ez2
得
d /2 3 T π/2 2 cos d d T 0 0 Ip 8
ez 2
T 3πd 3πd 0.295d 8 4T 32
同理，可算出另半个右端面 O1FE 以及左端面 AOB、OCB 上的竖向分布内力的合力为
D = 40mm，弹簧丝的直径 d = 7mm，许用切应力[ ]= 480MPa，试校核弹簧的强度。
6
m
故需考虑曲率的影响，此时，
D 40 5.71 10 d 7
max
8FD(4m＋2） 8 1.00 103 0.040 (4 5.71 2)N πd 3 (4m 3) π 0.0073 (4 5.71 3)m2
d1
3
16ml π[τ ]
(a)
BC 段上的最大扭矩在截面 B 处，其值为
Tmax2 ml2
由该截面的扭转强度条件得
d2
2．最轻重量设计 轴的总体积为
3
16ml2 π[τ ]
16ml2 2 / 3 π π 2 π 16ml 2 / 3 V d12 (l l2 ) d 2 l2 [( ) (l l 2 ) ( ) l2 ] 4 4 4 π[τ ] π[τ ]
式中的 C 与 m 为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分
题 4-8 图 解：所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到
d dx 根据题设，轴横截面上距圆心为 ρ 处的切应力为

(a)
τ ρ C(
由静力学可知，
d 1/ m ) dx
πD 3 (1 4 )[ 2 ] π 0.0803 (1 0.854 ) 40 106 Nm 16 16 1.922103 N m 1.922kN m
可见，扭力偶矩 M 的许用值为
Fra Baidu bibliotek
[ M ] [ M 2 ] 1.922kN m
4-13
图示阶梯形轴，由 AB 与 BC 两段等截面圆轴组成，并承受集度为 m 的均匀分
依据
d T ( x ) 4M dx GI p Gπ (d A cx)3
得截面 A 和 B 间的扭转角为
A/ B

4M πG
c(d
d( d A cx) 2M (d A cx) 2 | l0 3 0 πGδc A cx)
l
2Ml 1 1 2Ml (d A d B ) ( 2 2 ) 2 πGδ (d B d A ) d B d A πGδd 2 A dB
ey
T 3πd 3πd 0.295d 4 8T 32
同理， Fz1 作用线到水平直径 AC 的距离也同此值。 根据图 b，还可算出半个右端面 DO1 E 上竖向分布内力的合力为
Fy3
π / 2 d / 2 Tρ
0
0
Ip
π 4T sin( θ ) ρdρ dθ 2 3πd
根据极值条件
dV 0 dl2
得
(
由此得
16ml 2/3 16m 2/3 5 2 / 3 ) ( ) l2 0 π[ ] π[ ] 3
3 l2 ( ) 3/2 l 0.465l 5
从而得
(b)
3 l1 l l2 [1 ( ) 3/2 ]l 0.535l 5