勾股定理及其逆定理+(习题及答案)

勾股定理及其逆定理

➢ 例题示范

例1：如图，强大的台风使得一棵树在离地面3m 处折断倒下，树的顶部落在离树的底部4m 处，这棵树折断之前有多高？

解：如图，由题意，得 AC =3，BC =4，∠ACB =90° 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°， 由勾股定理，得 AC 2+BC 2=AB 2

∴32+42=AB 2 ∴AB =5

∴AB +AC =5+3=8

答：这棵树折断之前高8m ．

例2：如图，在△ABC 中，AB =13cm ，AC =5cm ，BC =12cm ． 求证：∠C =90°．

C

B A

证明：如图

在△ABC 中，AB =13，AC =5，BC =12 ∵52+122=132 ∴AC 2+BC 2=AB 2

∴△ABC 为直角三角形，且∠C =90°．

➢ 巩固练习

1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =8，AB =17，则AC 的长为________．

C B

A

2. 已知甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了12km ，乙往南走了5km ，这时甲、乙两人之间的

距离为___________．

C B

A

3. 如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，三个半圆的面积从小

到大依次记为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ） A ．S l +S 2>S 3 B ．S l +S 2

D ．S 12+S 22=S 32

4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角

形，若其中最大正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2．

5. 如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c ．图2

是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． （1）画出拼成的这个图形的示意图，并利用这个图形证明勾股定理；

（2）假设图1中的直角三角形有若干个，你能运用图1中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼成的图形的示意图，并利用该图形证明勾股定理．

图2

图1

a

c

b

b

c

c

c

a

S 1

S 2

S

3

6. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）

A ．1.5，2，2.5

B ．9，12，15

C ．7，24，25

D ．1，1，2

7. 已知三条线段的长是：

①5k ，12k ，13k （k >0）；②

111345，，；③32，42，52； ④11，60，61；⑤22

()12()()1m n m n m n +-+++，，（m ，n 为正整数）．

其中能构成直角三角形的有（ ） A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

8. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，CD 边上，若

AB =4，

AE =2，DF =1，则图中的直角三角形共有____个．

9. 如图，求出下列直角三角形中未知边的长度：b =_______，c =________.

b c

9

15

10

24

10. 如图，一架长25米的云梯斜靠在一面墙上，梯子底端与墙根之间的距离为7米．

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向上滑动了几米？

11. 在△ABC 中，AB =10，BC =12，BC 边上的中线AD =8，求AC 的长．

F

E

D C

B

A

D

C

B

A

12.在△ABC中，点D是线段BC上的一点，已知AB=15，AD=12，AC=13，BD=9．求BC的长．

➢思考小结

1.赵爽弦图和毕达哥拉斯弦图都是由四个全等的__________三角形拼成的，但是在拼的过程中有

区别，赵爽弦图的弦在____（填“内”或“外”），毕达哥拉斯弦图的弦在____（填“内”或“外”），请你画出对应的弦图．

赵爽弦图毕达哥拉斯弦图

2.我们知道3，4，5是一组勾股数，那么3k，4k，5k（k是正整数）____（填“是”或“不是”）一组勾

股数；一般地，如果a，b，c（a b c

<<）是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．

解：ak，bk，ck（k是正整数）______一组勾股数，理由如下：

∵a，b，c是一组勾股数

∴___________________

∵k≠0

∴k2a2+k2b2______k2c2

∴(ak)2+(bk)2_____(ck)2

∵k为正整数

∴ak，bk，ck也是________

∴ak，bk，ck（k是正整数）_______一组勾股数

c

b

a

A C

B

【参考答案】 ➢ 巩固练习

1. 15

2. 13 km

3. C

4. 49

5. 略

6. D

7. B

8. 4

9.

12，26

10. （1）24米（2）8米

11. AC 的长为10 12. BC 的长为14

➢ 思考小结

1. 直角，外，内

图略

2. 是，是，222a b c +=，=，=，正整数，是