四年级数学培优：质数、合数与因数分解

四年级数学培优：质数、合数与因数分解

一个大于1的正整数，若除了1与它自身，再没有其他的约数，这样的正整数叫做质数；一个大于1的正整数，除了1与它自身，若还有其他的约数，这样的正整数称为合数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：

⎪⎩

⎪⎨⎧合数质数单位正整数1

质数，合数有下面常用的性质：

1．1不是质数，也不是合数；2是惟一的偶质数．

2．若质数p │ab ，则必有p │a 或p │b ．

3．若正整a 、b 的积是质数p ，则必有a=p 或b=p ．

4．算术基本定理：任意一个大于l 的整数N 能分解成K 个质因数的乘积，若不考虑质因数之间的顺序，则这种分解是惟一的，从而N 可以写成标准分解形式：

k k p p p N α

αα 2121=

其中k p p p <<21，i p 为质数，i a 为非负整数，(i ＝1，2，…k)．

【例1】 已知三个不同的质数a ，b ，c 满足ab b c+a=2000，那么a 十b 十c= ．

思路点拨 运用乘法分配律、算术基本定理，从因数分解人手，突破a 的值．

+注： 对于研究者来说，寻找最大质数的精神，犹如物理学家在寻找比原子更懂小的粒子、或天文学家在不断追寻未为人所知的星体般，都须付出惊人的救力，正是这种单纯为满足求知欲的好奇心，正好是人类突破知识领域的动力．

18世纪，欧拉发现了当时最大的质数231一l ，20世纪末人类借助超级计算机，发现了最大的质数2859433—1．

【例2】 不超过100的所有质数的乘积减去不超过60且个位数字为7的所有质数的乘积所得之差的个位数字是( )．

A ．3

B ．1

C ．7

D ．9

思路点拨 从寻找适合题意的质数人手．

【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．

思路点拨由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数进行实验，但这样的质数惟一吗?还需按剩余类的方法进行讨论．

【例4】(1)将l，2，…，2004这2004个数随意排成一行，得到一个数N．求证：N一定是合数；

(2)若n是大于2的正整数，求证：2n一1与2n+1中至多有一个是质数．

思路点拨(1)将1到2004随意排成一行的数有很多，不可能一一排出，不妨能找出无论怎样排．所得数都有非1和本身的约数；(2)只需说明2n一1与2n+1中必有一个是合数，不能同为质数即可．

【例5】用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为xcm规格的地砖，恰用n块；若选田边长为ycm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块．已知x，y、n都是正整数．且(x，y)＝1．试问这块地有多少平方米?

思路点拨虽然同一块地有不同的铺法，但是这块地的面积不变，利用面积不变建立x、y、n的等式．寻找解题的突破口．

【例6】由超级计算机运算得到的结果2859433—1是一个质数，则2859433+1是( ) A．质数B．合数C奇合数D．偶合数

思路点拨∵2859433—1，2859433，2859433+1是三个连续正整数，∵2859433—1的末位数字是1，∴2859433是偶合数．∵上述三个数中一定有一个能被3整除，而2859433—1是质数，∴2859433+1的末位数字是奇数且能被3整除，故2859433+1是奇合数，故选C．

注：同学们，你们知道什么是“哥德巴赫猜想”吗?二百多年前，德国数学家哥德巴赫发现：任一个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数之和．如6=3+3，12=5+7等．对许多偶数进行检验，都说明这个猜想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一个反例．到目前最好的结论是我国数学家陈景润证明的“1+2”，即任一充分大的偶数，都可表示成一个质数加上一个质数或两个质数的积，这一结论被命名为“陈氏定理”．

【例7】用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为x(㎝)规格的地砖，恰用n 块；若选用边长为了y(cm)规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块．已知x，、y、n都是正整数，且(x，y)=1．试问：这块地有多少平方米?

思路点拨 设这块地的面积为S ，则S=nx 2=(n+124)y 2，得n (x 2—y 2)=124y 2．

∵ x>y ，(x ，y)=1，∴．(x 2－y 2，y 2)=l ，得(x 2－y 2)│124．

∵124=22×31，x 2－y 2=(x 十y)(x －y)，x 十y>x －y ，且x 十y 与x －y 奇偶性相同， ⎩⎨⎧=-=+131y x y x 或⎩

⎨⎧=-⨯=+2312y x y x 解之得x=16，y=15，此时n=900．

故这块地的面积为S=nx 2=900×162=230400(cm 2)=23．04(m 2) ．

注：虽然同—块地有不同的铺法，但是这块地的面积不变，利用面积不变建立x 、y 、n 的等式，寻找解题的突破口．

【例8】p 是质数，p 4+3仍是质数，求p 5+3的值．

思路点拨 ∵ p 是质数，∴p 4+3 >3

又p 4+3为质数，∴p 4+3必为奇数，∴p 4必为偶数，∴p 必为偶数．

又∵p 是质数，∴p=2，

∴p 5+3=25+3=35．

【例9】已知正整数p 和q 都是质数，且7p+q 与pq+11也都是质数，试求p q +q p 的值． 思路点拨 pq+11＞11且pq+11是质数，∴pq+11必为正奇质数，pq 为偶数，而数p 、q 均为质数，故p=2或q=2．

当p=2时，有14+q 与2q+11均为质数．当q=3k+1(k ≥2)时，则14+q=3 (k+5)不是质数； 当q==3k+2(k ∈N)时，2q+11=3(2k+5)不是质数，因此，q=3k ，且q 为质数，故q=3． 当q=2时，有7p+2与2p+11均为质数．当p==3k+1(k ≥2)时，7p+2=3(7k+3)不是质数；当p=3k+2(k ∈N )时，2p+11=3(2k+5)不是质数，因此，p=3k ，当p 为质数，故p=3． 故p q +q p =23+32=17．

【例10】若n 为自然数，n+3与n+7都是质数，求n 除以3所得的余数．

思路点拨 我们知道，n 除以3所得的余数只可能为0、1、2三种．

若余数为0，即n=3k(k 是一个非负整数，下同)，则n+3=3k+3=3(k+1)，所以3│n+3，又3≠n+3，故n+3不是质数，与题设矛盾．

若余数为2，且n=3k+2，则n+7=3k+2+7=3(k+3)，故3│n+7，n+7不是质数；与题设矛盾．所以n 除以3所得的余数只能为1．

注：一个整数除以m 后，余数可能为0，1，…，m —1，共m 个，将整数按除以m 所得